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LaboratoriodiSperimentazionediFisicaCorsodiLaureainMatematica

UniversitàdegliStudidiRomaTorVergataDr.R.Cerulli

Guidedilaboratorio(meccanica)

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Esperienzan.1

Studiodelmotodelpendolosempliceemisuradell’accelerazionedigravità

Scopo dell’esperienza: Parte 1

A. Valutazione dell’indeterminazione nella misura di singolo periodo. B. Valutazione del moto armonico del pendolo

Parte 2

C. Verifica della legge .

D. Misura dell’accelerazione di gravità, g. E. Indipendenza del periodo di oscillazione dalla massa del pendolo.

Materiale a disposizione:

§ sostegni metallici § filo di nylon § due pesi di massa diversa § cronometro al centesimo di secondo § metro a nastro e righello § pc § sistema di acquisizione dati § software di analisi dati LoggerPro

Montaggio: Si realizzi un pendolo semplice ponendo una massa in sospensione su un filo di nylon con gli estremi fissati a due supporti; i due supporti, che possono scorrere su due aste fisse, devono essere posizionati alla stessa altezza. Si veda la figura sottostante.

gLT π2=

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Parte 1 A. Procedura per la valutazione dell’indeterminazione nella misura di singolo periodo

1. Montare il pendolo con L~ 50 cm. Misurare L e valutare la sua incertezza. 2. Far oscillare il pendolo con un angolo iniziale α0 “piccolo” (regime di piccole oscillazioni).

Spiegare come si è realizzata tale condizione. 3. Eseguire 200 misure di singola oscillazione. 4. Si calcoli media, deviazione standard della distribuzione delle misure e deviazione standard

della media. Descrivere il significato di ciascuna grandezza ricavata. 5. Si riporti la migliore stima del periodo del pendolo con la sua incertezza. 6. Utilizzando il software in dotazione, LoggerPro, si costruisca l’istogramma delle misure (si

consiglia: ΔT=0.03 s). Si esegua un fit gaussiano e si riportino media, deviazione standard e deviazione standard della media ottenuti dal fit. Si confrontino i valori ottenuti con quelli ricavati al punto 4.

7. Stimare quale incertezza si deve associare alla misura del tempo, Tn , impiegato dal pendolo per compiere n oscillazioni.

8. Ottenere da questa singola misura di L e T il valore di g con relativa incertezza, σ(g),

utilizzando la relazione . Per l’incertezza su g si scriva la formula di

propagazione delle incertezze utilizzata. 9. Commentare il risultato ottenuto.

B. Visualizzazione del moto armonico

1. Utilizzare il sistema di acquisizione dati, installando il sonar per la misura della posizione. 2. Mettere in oscillazione il pendolo e posizionare il sensore in modo che acquisisca la

posizione della massa che oscilla in funzione del tempo. 3. Acquisire la posizione della massa in oscillazione per circa 30 secondi. 4. Visualizzare e stampare il grafico posizione vs tempo e velocità vs tempo ottenuto. 5. Ricavare il valore del periodo dell’oscillazione. 6. Commentare

Parte 2

C. Procedura per la verifica della legge

1. Effettuare misure di periodo del pendolo per almeno cinque valori di L (~ 50 cm, ~ 60 cm,

~ 70 cm, ~ 80 cm, ~ 90 cm). 2. Per ciascun caso, misurare L e relativa incertezza. Misurare T100, tempo impiegato dal

pendolo per compiere 100 oscillazioni. L’errore da associare a T100 può essere stimato dalle misure precedenti.

3. Scrivere e ricavare il periodo di un’oscillazione con il suo errore, T1, σ1; ricavare, inoltre, i valori di T1

2 e σ(T12)

4. Scrivere la seguente tabella con i dati misurati e relativi errori:

gLT π2=

gLT π2=

4

LL Δ± (cm) 100100 σ±T (s) (s) (s2)

5. Utilizzando il software in dotazione, LoggerPro, disegnare il grafico 2

1T vs L. 6. Stampare il grafico, verificare e commentare l’andamento ottenuto. 7. Valutare il coefficiente di correlazione lineare e commentare. 8. Eseguire il fit lineare con la funzione LmqT ⋅+=21 usando il programma LoggerPro;

riportare e commentare i valori di q e m con le loro relative incertezze. 9. Verificare che q risulti compatibile con zero e commentare.

D. Misura dell’accelerazione di gravità, g 1. Dalla relazione, 𝑚 = !!!

! ottenere la migliore stima di g, e, applicando le regole di

propagazione degli errori, del suo errore σg a partire dalla determinazione di m e σm. E. Verifica della indipendenza del periodo di oscillazione dalla massa del pendolo.

1. Montare una massa diversa da quella usata precedentemente. Posizionarla ad un valore già utilizzato di L

2. Procedere come prima per la determinazione di T100 e T1. 3. Confrontare la misura di T1 con quella ottenuta precedentemente per lo stesso L.

Commentare i risultati ottenuti.

11 σ±T )( 21

21 TT σ±

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... un pò di Fisica: il pendolo semplice Si definisce pendolo semplice una massa “puntiforme”, m, vincolata a muoversi senza attriti a distanza fissa L intorno ad un punto O.

Abbandonando la massa al punto P0, il corpo compirà un moto periodico sul piano OP0G. Le forze esterne agenti sul corpo sono la forza peso, gm! , diretta verso il basso lungo la verticale e la reazione vincolare. La reazione vincolare è uguale in intensità ed opposta in verso alla componente della forza peso ortogonale al moto. L’equazione relativa per la componente tangenziale è:

dtdvmgsenm t

ig =− α ; dove dtdLvtα

= è il modulo della velocità tangenziale. Utilizzando

l’equivalenza della massa gravitazionale, gm , e della massa inerziale, im , ( ig mmm == ) si ottiene:

αα sen

Lg

dtd

−=2

2

. Per piccoli angoli di oscillazione ( o8≤α ) si ha αα ≈sen . Definendo Lg

=2ω , si

ottiene: 022

2

=+ αωαdtd . Questa equazione differenziale del secondo ordine descrive un oscillatore

armonico con equazione del moto: )()( 0 φωαα += tsent e con periodo di oscillazione

gLT π

ωπ 22== . Quindi, il periodo di oscillazione di un pendolo semplice:

i) non dipende dalla massa del pendolo (conseguenza del principio di equivalenza della

massa gravitazionale e della massa inerziale); ii) non dipende dalla apertura angolare iniziale del pendolo, 0α , nel limite o8≤α

(isocronismo del pendolo); iii) è proporzionale alla radice quadrata della lunghezza del pendolo e, quindi, dal

coefficiente di proporzionalità si può ottenere una misura della accelerazione di gravità, g.

O

G

L

α

α

mg

P0

x

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Esperienzan.2Cannoncinobalistico(misuradellagittata)

Materiale a disposizione:

§ Cannoncino ad alzo variabile § pedana § pallina di acciaio § carta millimetrata § metro a nastro § carta copiativa § pc § software di analisi dati LoggerPro

Scopo dell’esperienza:

A. Misura della gittata, gx , a vari alzi, α , ed a velocità iniziale, 0v , fissata.

B. Verifica della legge )2(20 αsengvxg = .

C. Misura della velocità iniziale del proiettile. Montaggio: Fissare il cannoncino al tavolo di lavoro. Montare la pedana sull’asta e fissarla alla stessa altezza del punto di partenza del proiettile. Fissare la carta millimetrata sulla pedana. Posizionare senza fissarla la cara copiativa sopra la carta millimetrata.

A. Procedura per la misura della gittata a vari alzi ed a velocità iniziale fissata.

1. Si scelga una velocità iniziale tra le tre disponibili sul cannoncino balistico. 2. Effettuare misure della gittata, gx , (e relativo errore) per almeno cinque valori dell’alzo, α

(~ 10o, ~ 20o, ~ 30o, ~ 35o, ~ 45o) alla velocità iniziale scelta. Valutare l’errore di lettura su α.

P

d1 d2

O

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Procedura per la misura di gx e relativo errore.

1. Posizionare la carta copiativa ed il foglio di carta millimetrata sulla pedana. 2. Alla velocità iniziale scelta e per ciascun valore dell’alzo effettuare almeno 10 lanci del

proiettile. 3. La gittata,

igx , di ciascun lancio è data dalla somma

iiddxg 21 += , dove 1d è la distanza

misurata con il metro a nastro tra il punto di sparo ed un punto fisso di riferimento sul foglio di carta millimetrata. La grandezza

id 2 è la distanza tra il punto di impatto della pallina sulla

carta millimetrata (segnata dalla carta copiativa) ed il punto fisso di riferimento sul foglio di carta millimetrata. Naturalmente 1d può essere misurato una sola volta per ciascun alzo, mentre

id 2 varierà per ciascun lancio; questo è dovuto alle fluttuazioni statistiche associate

alla determinazione della gittata. Commentare questo punto. 4. Si calcoli la miglior stima della gittata e la sua incertezza. Si calcoli la media ( gx ),

deviazione standard della distribuzione delle misure e deviazione standard della media. 5. Per quel che riguarda l’errore sulle singole determinazioni,

igx , si dovrà tenere in

considerazione la sensibilità del metro a nastro e dell’errore associato alla lettura sulla carta millimetrata.

B. Procedura per la verifica della legge )2(20 αsengvxg = e misura di 0v .

1. Costruire la seguente tabella con i dati misurati e relativi errori:

αα Δ± )2()2( αα sensen Δ±

gg xx Δ± (m) ~ 10o ~ 20o ~ 30o ~ 35o ~ 45o

2. Riportare i dati su di un grafico con LoggerPro: gx vs )2( αsen . 3. Verificare qualitativamente che si è in presenza di una dipendenza lineare. 4. Applicare il metodo dei minimi quadrati per stimare i parametri del fit lineare e i loro errori

(utilizzando il software LoggerPro): )2( αsenmqxg ⋅+= . Stampare il grafico. 5. a risulta compatibile con zero? Commentare.

6. Sapendo che gvm20= , ottenere la migliore stima di 0v e della sua incertezza a partire dalla

determinazione di m e dell’accelerazione di gravità, g. Per calcolare l’incertezza su 0v si utilizzi la formula di propagazione degli errori.

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... un pò di Fisica: il cannoncino balistico ... Un proiettile di massa m viene lanciato da un cannoncino balistico con velocità iniziale 0v

! .

Esso è soggetto alla sola forza peso e il suo moto è descritto dall’ equazione: gmF !!

= . Questa equazione può essere riscritta nel sistema di coordinate x,y: 0== xmFx !! ; mgymFy −== !! da cui, per integrazioni successive, e considerando le condizioni iniziali:

0)0( ==tx ; )cos()0( 0 αvtx ==! 0)0( ==ty ; )()0( 0 αsenvty ==!

si ottiene:

⎩⎨⎧

⋅−=

=

tgsenvtyvtx

)()()cos()(

0

0

α

α!!

e ⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅−⋅=

⋅=2

0

0

21)()(

)cos()(

tgtsenvty

tvtx

α

α

Quindi, la traiettoria seguita dal proiettile è una parabola nel piano x,y descritta dall’equazione parametrica precedente. La gittata, gx , è definita dalle condizioni: gxttx == )( * e 0)( * == tty . Cioé:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅−⋅=

⋅=2**

0

*

21)(0

)cos(

tgtsenv

tvx og

α

α ⇒ )(2 0* αsen

gvt = e )2()cos()(2 2

020 ααα sen

gvsen

gvxg =⋅= c.v.d.

(la soluzione 0* =t è triviale).

gm!

α

0v!

xg

gm!

o x

y

xv0

yv0

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Esperienzan.3Misurastaticaedinamicadellacostanteelastica

diunamolla Materiale a disposizione:

§ Una molla di costante elastica k § Vari pesi di massa Mi § Una asta con scala graduata § Una bilancia di precisione § Un cronometro § Pc § Sistema di acquisizione dati e software LoggerPro

Scopo dell’esperienza:

§ Misura della costante elastica, k, di una molla mediante misure statiche. § Misura della costante elastica di un sistema di 2 molle in parallelo e in serie.

§ Verifica della legge 0xMkgx += .

§ Misura della costante elastica di una molla e di un sistema di 2 molle in parallelo e in serie mediante misure dinamiche.

§ Verifica della legge kMT π2=

Montaggio:

Misura della costante elastica, k, della molla mediante misure statiche.

1. Misurare con la bilancia di precisione la massa della calamita e dell’indicatore e le masse date in dotazione.

x0 x1

gm!

10

2. Misurare l’allungamento della molla per almeno sei valori diversi della massa m. Lo zero della scala dell’asta graduata può essere fissato come si preferisce (la sua definizione rinormalizza il valore di x0).

3. Per ciascun caso, la lettura dell’allungamento sull’asta graduata avviene con l’aiuto di un indice montato su una calamita.

4. Stimare l’errore per ogni lettura di x. 5. Costruire la seguente tabella con i dati misurati e relativi errori:

MM Δ± (g) xx Δ± (cm) M1 M2 M3 M4 M5 M6

6. Riportare in un grafico “ x vs m” utilizzando il software LoggerPro

Verifica della legge 0xMkgx +=

7. Verificare qualitativamente che si è in presenza di una dipendenza lineare. 8. Applicare il metodo dei minimi quadrati per stimare i parametri del fit lineare e i loro errori:

Mmqx ⋅+= 9. q risulta compatibile con x0? commentare.

10. Sapendo che kgm = , ottenere la migliore stima di k e del suo errore a partire dalla

determinazione di m e dell’accelerazione di gravità g.

Misura della costante elastica, k, di un sistema di due molle in serie e in parallelo mediante misure statiche.

1. Si dispongano due molle in serie, fissando la seconda all’estremità della prima e si ripeta quanto fatto nei punti precedenti.

2. Si ricorda che in questo caso la costante elastica equivalente del sistema, ks, risulta: 1/ks=1/k1+1/k2

3. Si dispongano due molle in parallelo e si ripeta quanto fatto nei punti precedenti. 4. Si ricorda che in questo caso la costante elastica equivalente del sistema, kp, risulta:

kp=k1+k2 Misura della costante elastica, k, della molla mediante misure dinamiche.

1. Effettuare misure del periodo, T, di oscillazione della massa M per almeno sei valori di M utilizzando il sistema di acquisizione dati col sensore di posizione ed il software LoggerPro di analisi dei dati registrati.

2. Ricavare tramite un fit sui dati acquisiti il valore della pulsazione, ω, dell’oscillazione; ricavare il periodo, T=2π/ω, e riportare i risultati e i relativi errori nella seguente tabella:

11

MM Δ± (g) ω ±Δω(rad / s) T ±ΔT (s) T 2 ±ΔT 2 (s2) M1 M2 M3 M4 M5 M6

3. Riportare in un grafico T 2 vs M 4. Lo stesso si esegua anche per il caso di un sistema di due molle in serie e in parallelo

Procedura per la verifica della legge kMT π2= e misura di k.

5. Verificare qualitativamente che si è in presenza di una dipendenza lineare. 6. Applicare il metodo dei minimi quadrati per stimare i parametri del fit lineare e i loro errori:

T 2 = q+m ⋅M 7. q risulta compatibile con zero? commentare.

8. Sapendo che k

m24π

= , ottenere la migliore stima di k e del suo errore a partire dalla

determinazione di m. Si ricordi che σ k = k ⋅Δmm

.

... un pò di Fisica: le forze elastiche ... Caso statico. Una massa, m, è appesa ad una molla di massa trascurabile e costante elastica k. Assumiamo come asse x l’asse verticale orientato verso il basso. Con x0 si indica la posizione di riposo della molla. Le forze che agiscono sulla massa m sono la forza peso e la forza di richiamo della molla. Si può, quindi, scrivere:

mgxxkdtxdm +−−= )( 02

2

In condizioni di equilibrio (condizione statica) si ha: mgxxk +−−= )(0 0 ; cioè 0xmkgx += .

Quindi, misurando gli allungamenti della molla, x, al variare della massa m si ottiene un andamento lineare il cui coefficiente angolare è g/k. La stima di tale coefficiente permette di ottenere una stima della costante elastica della molla, k. Molle in parallelo Nel caso di due molle in parallelo di costanti elastiche rispettivamente k1 e k2, si ha:

mgxxkxxkdtxdm +−−−−= )()( 02012

2

ovvero

12

mgxxkkdtxdm +−+−= ))(( 0212

2

pertanto nel sistema in questione la costante elastica equivalente risulta kp=k1+k2 Molle in serie In questo caso si possono scrivere due equazioni per le due molle:

mgxxkdtxdm +−−= )( 0112

2

mgxxkdtxdm +−−= )( 0222

2

In equilibrio statico si ha: mgxk =11 mgxk =22

pertanto il sistema equivalente risulta ( ) mgxxkxk pp =+= 21

Sostituendo x1 e x2 con le loro espressioni in funzione di mg si ottiene il valore dalla costante elastica equivalente

21 /1/1/1 kkkp +=

Caso dinamico. Posizionando la massa m fuori della posizione di equilibrio e rilasciandola, si avrà un moto armonico oscillatorio (condizione dinamica) intorno alla posizione di equilibrio. La soluzione dell’equazione differenziale:

mgkxkxdtxdm +=+ 02

2

si ottiene dalla somma della soluzione dell’equazione differenziale omogenea ( )sin( φω +⋅ tA ) e di

una soluzione particolare dell’equazione differenziale disomogenea ( mkgx +0 ):

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++⋅= mkgxtAtx 0)sin()( φω

con mk

T==

πω

2 . Le costanti A e φ sono le due costanti di integrazione dell’equazione

differenziale omogenea del secondo ordine da determinarsi in base alle condizioni iniziali. Misurando per varie masse m il periodo di oscillazione T, si può ricavare il valore della costante

elastica k. Infatti: kmT π2= o m

kT ⋅=

22 4π ; cioè esiste una dipendenza lineare tra T2 e m.

Determinando il coefficiente di proporzionalità si ha una stima della costante elastica k.