Laboratori di innovazione didattica - Matematica & Realtà · Il sistema GPS: una prima descrizione...

MATEMATICA & REALTA’

www.matematicaerealta.it

SISTEMA DI POSIZIONAMENTO

e

(NAVIGAZIONE SATELLITARE)

Primo Brandi – Anna Salvadori

Dipartimento di Matematica e Informatica

Università degli Studi di Perugia email: [email protected]

Laboratori di innovazione didattica

mailto:[email protected]

Sistema di posizionamento e navigazione satellitare 2

INDICE

Fasi del percorso 3

Introduzione 5

1 Sistema di posizionamento satellitare 5

Una prima descrizione sommaria 7

2 Indirizzi e coordinate di riferimento 8

2.1 Coordinate di riferimento caso uni-dimensionale 8

2.2 Coordinate di riferimento caso bi-dimensionale 8

2.3 Coordinate di riferimento caso tri-dimensionale 10

2.4 Trasformazione di coordinate 11

2.5 Coordinate cilindriche 12

2.6 Coordinate sferiche o coordinate polari nello spazio 13

2.7 Coordinate geografiche, latitudine e longitudine 14

2.8 Localizzazione di un punto attraverso punti noti 16

3 Il sistema di localizzazione GPS 18

3.1 Un primo modello teorico 18

3.2 Un modello rettificato 25

3.3 Note supplementari sul sistema GPS 30

P. Brandi - A. Salvadori, Matematica&Realtà 3

Fasi del percorso

I) Sistema di posizionamento globale satellitare Il problema nel suo contesto. Esigenze che conducono alla nascita di un sistema di

posizionamento globale (GPS Global positioning system). Il primo sistema e sue

evoluzioni.

Applicazioni di tipo civile [navigazione per terra, cielo e mare; rilievi topografici

anche di alta precisione; rilievi cinematici (posizione e velocità) di alta precisione;

tele-sorveglianza; monitoraggio delle deformazioni della crosta terrestre, etc.]

Il sistema GPS: una prima descrizione dei tre segmenti del sistema [segmento

spaziale, segmento di controllo, segmento utente]

II) Il problema del posizionamento

Posizionamento assoluto e posizionamento relativo. Sistema cartesiano 2D a partire

da tre punti non allineati. Sistema 3D a partire da 4 punti non complanari. Il poligono

di tiro. Il problema del posizionamento sulla retta, nel piano e nello spazio.

Applicazioni alla topografia. Coordinate geografiche, sferiche e cartesiane.

III) Il principio di funzionamento del sistema GPS

Contributo di uno, due, tre satelliti ai fini della localizzazione. Localizzazione del

ricevitore come intersezione di tre sfere ovvero come soluzione di un sistema di tre

equazioni non lineari in tre incognite. Il tempo come misura indiretta della distanza.

Le misure astronomiche. Il telemetro a ultrasuoni o laser.

IV) Il problema della misura simultanea delle distanze satelliti-ricevitore

Precisione richiesta nelle misure. Gli orologi atomici. Offset degli orologi. L’aggiunta

di una quarta incognita. Il sistema di quattro equazioni non lineari in quattro

incognite.

V) Soluzione del problema GPS

Esistenza della soluzione. La soluzione terrestre e la soluzione spaziale. Il problema

di Apollonio nel piano e nello spazio. Soluzione del problema piano e spaziale di

Apollonio da parte di Newton e Férmat, rispettivamente. Il problema GPS come

problema di Apollonio. Soluzione per via geometrica del problema GPS.

Calcolo della soluzione GPS per via algebrica.

Algoritmo iterativo per il calcolo approssimato della soluzione terrestre.


VI) Il segmento spaziale e il segmento di controllo Disposizione dei satelliti. Piani orbitali e loro inclinazione. Orbite e periodo

di rotazione. Strumenti a bordo. Orologi a bordo, loro accuratezza e loro

sincronismo. Il segnale emesso dai satelliti. Stazioni di monitoraggio.

Stazione principale di controllo. Posizione accurata dei satelliti e descrizione

dell’orbita. Flusso dati verso i satelliti.

VII) Ancora sul segmento spaziale Moto ideale dei satelliti [orbita ellittica; posizione predicibile nel tempo

grazie alla leggi di Keplero]. Moto reale dei satelliti [fluttuazioni periodiche

e degradazione delle orbite; effetti gravitazionali dovuti alla disomogeneità

della terra e alla presenza della luna e del sole; disturbo atmosferico

(ionosferico e troposferico)]. Descrizione locale dell’orbita.

Effetti sul segnale [effetto multipath; rumore elettronico di misura, etc.]

VIII) Il segmento utente Apparecchio ricevente delle dimensioni di un cellulare per la elaborazione in

tempo reale della posizione. Navigatore 3D. Sistema di acquisizione dati

mediante una rete di punti riceventi.

IX) Il problema della navigazione Rilevamento dinamico della propria posizione in tempo reale su una mappa

digitale. Cammino di minima lunghezza (shortest) e cammino di minimo

tempo (quickest) su un grafo. Algoritmi per il calcolo.

Approfondimenti opzionali

X) La misura del tempo Gli strumenti di misura del tempo nel corso dei secoli. L’unità di misura del

tempo nel S.I. Il secondo atomico e gli orologi atomici. Alcuni sistemi di

riferimento. Tempo siderale, tempo solare, tempo civile, tempo universale. Il

Master Clock USA.

XI) Curve geodetiche o cammini di minima lunghezza Curve geodetiche nel piano, su un cubo, su una sfera, su un ellissoide, su un

cilindro, su un cono.

Curve geodetiche su una griglia. Percorso ottimale di un SMS o di un

messaggio e-mail.


Introduzione

1. Sistema di posizionamento satellitare

Nel depliant pubblicitario di un’auto berlina di recente produzione si legge:

Il sistema di navigazione satellitare adotta una grafica innovativa 3D per

mostrare strade e percorsi in maniera più chiara e definita; inoltre è previsto

un disco ausiliario che contiene le mappe di ben 10 paesi europei, con più di

500 punti di interesse e tutti i distributori di carburante dislocati sul

territorio.

Si tratta di una illustrazione dell’innovativo sistema di navigazione GPS (Global Positioning System) istallato sulla vettura.

Il GPS è un metodo di posizionamento basato sulla ricezione di segnali provenienti da

satelliti artificiali. Realizzato per esigenze militari dagli Stati Uniti d’America intorno agli

anni settanta, solo in un secondo momento è stato concesso per applicazioni di tipo civile1.

Una rete di satelliti artificiali - in rotazione attorno alla terra – emette segnali contenenti

una serie di dati che acquisisti ed opportunamente elaborati da uno strumento ricevente

permettono il posizionamento del ricevente in un riferimento cartesiano ortogonale

geocentrico 3D oppure in coordinate geografiche (latitudine, longitudine, altitudine sul

livello del mare).

1 Un analogo sistema - il GLONASS (GLObalnaya NAviagatsinnaya Sputnikovaya Sistema - è stato

realizzato dalla Unione Sovietica negli stessi anni.


Utilizzi civili del GPS

Il sistema GPS consente vari utilizzi civili fra i quali:

1. navigazione in terra, mare e cielo

2. monitoraggio delle deformazioni della crosta terrestre

3. rilievi topografici anche di alta precisione

4. rilievi cinematici (posizione e velocità) di alta precisione

5. tele-sorveglianza a scopo antifurto

Posizionamento assoluto

I dati acquisiti dal ricevitore vengono elaborati in modo autonomo per

determinare la posizione del ricevitore stesso.

Il metodo può essere applicato in tempo reale e consente una precisione

di qualche decimetro per i ricevitori militari e di 10-12 metri per quelli

disponibili in commercio per l’utenza civile.

In particolare, i ricevitori GPS istallati su autoveicoli sono in grado di

mostrare la propria posizione su una cartina geografica che può essere

via via ingrandita fino a diventare una carta topografica in cui sono

evidenziate le strade principali (vedi figura). Posizionamento relativo Per aumentare il grado di precisione si crea una rete di ricevitori interconnessi tra loro di

cui uno funge da punto di riferimento (di cui è nota l’esatta posizione).

L’elaborazione dei dati acquisiti dai ricevitori, molto più complessa di

quella del caso precedente, consente precisioni dell’ordine del

centimetro o addirittura del millimetro per sistemi ad altissima

precisione, quali il monitoraggio delle deformazioni della crosta

terrestre.

Ci limitiamo ad illustrare il funzionamento del GPS per sistemi di

navigazione.

Un sistema GPS si compone di tre segmenti:

segmento spaziale

segmento di controllo a terra

segmento utente

segmento utente


Una prima descrizione sommaria Segmento spaziale

Il segmento spaziale si compone di 24 satelliti

artificiali, con un orbita quasi circolare, raggio2

di 26.000 km e periodo di circa 12 ore.

Segmento controllo a terra

Il sistema è progettato in modo da garantire in ciascun punto della terra

la visibilità di almeno quattro satelliti.

Ciascun satellite è provvisto di pannelli solari per l’approvvigionamento

energetico e di retrorazzi per eventuali manovre correttive dell’orbita.

Inoltre è munito di misuratori di tempo3 ad altissima precisione.

Sei stazioni di monitoraggio distribuite lungo la fascia equatoriale garantiscono un

accurato monitoraggio dei satelliti (traiettoria, sincronismo degli orologi, correttezza del

segnale, etc…). I dati raccolti dalle stazioni di monitoraggio sono trasmessi ad una

stazione principale a Falcon (Colorado) che li elabora ed eventualmente invia le opportune

correzioni direttamente ai satelliti. In particolare, gli orologi sono sincronizzati ad ogni

giro con il tempo di Colorado Spring (tempo GPS).

Segmento utente Un apparecchio ricevente delle dimensioni di

un cellulare, munito di antenna4, capta i

segnali (ad alta frequenza) trasmessi verso

terra dai satelliti. I dati acquisiti vengono ela-

borati in tempo reale dall’apparecchio stesso.

Nell’arco di qualche minuto appaiono sul

display sia la posizione dell’apparecchio

ricevente GPS, segnata su una cartina topogra-

fica, sia le sue coordinate geografiche5.

2 I satelliti, che hanno una massa di circa 8 tonnellate, non sono geo-stazionari e viaggiano a circa 4 km/s ad

un’altitudine media di 22.000 km. 3 Costituito da quattro oscillatori (due al cesio e due al rubidio) 4 Le antenne dei ricevitori GPS devono poter vedere il cielo libero su di sé per ricevere il segnale satellitare;

così non funzionano in galleria o nei garage sotterranei. 5 Latitudine e longitudine nei sistemi di navigazione per terra e mare, mentre è aggiunta l’altitudine in quelli

di navigazione aerea.


2. Indirizzi e coordinate di riferimento

Quotidianamente facciamo uso di diversi indirizzari e sistemi di riferimento quali elenco

telefonico, carte stradali e geografiche, mappe topografiche, GPS (global positioning

system).

Il sistema di riferimento cartesiano è un modello generale ed astratto che unifica varie

strutture di indirizzo e posizionamento. Ne proponiamo una introduzione nell’ottica del

nostro percorso.

2.1 Coordinate di riferimento - Caso uni-dimensionale Coppia di riferimento

Due punti (distinti) A, B di una retta individuano un sistema di

riferimento cartesiano sulla retta stessa.

Assunto infatti un punto (per esempio, A) come origine O del sistema e

scelto il segmento AB come unità di misura, resta univocamente

individuato un orientamento, o verso di percorrenza, della retta .

Corrispondenza biunivoca

A ogni punto P della retta si associa un numero reale x, detto ascissa del

punto P, ottenuto come misura del segmento orientato OP rispetto

all’unità di misura OU (ove si è posto U = B):

OP

OUx

Tale corrispondenza (tra i punti della retta e i numeri reali) è biunivoca.

Riferimento cartesiano

In seguito indicheremo con OxU un sistema di riferimento cartesiano di

ascissa x e unità di misura OU su una retta.

2.2 Coordinate di riferimento - Caso bi-dimensionale Terna o triangolo di riferimento

Un triangolo ABC (non degenere) individua un sistema di riferimento

cartesiano nel piano.

Assunto infatti un vertice (per esempio, A) come origine del sistema, e

scelti gli altri due (B e C) come punti unità degli assi, restano

individuati l’origine del sistema di riferimento, l’asse delle ascisse

(AB), l’asse delle ordinate (AC) e il loro orientamento.

1 0 x

P


A ogni punto P del piano è associata una coppia ordinata (x, y) di numeri reali. La

corrispondenza fra punti del piano e coppie (x, y) è biunivoca.

Preferibilmente si ricorre, per la loro semplicità, a sistemi di riferimento cartesiani

ortogonali. Sistemi monometrici

I sistemi di riferimento cartesiani ove i due assi coordinati hanno la

stessa unità di misura sono detti monometrici. Questi sistemi sono

utilizzati preferibilmente per la rappresentazione di grandezze

adimensionali.

Sistemi dimetrici In numerose applicazioni, le grandezze riportate sugli assi sono

dimensionalmente non omogenee, come tempo e spazio, tempo e

volume, pressione e volume, età e peso ecc. In questo caso si utilizza

un sistema di riferimento dimetrico, cioè che adotta unità di misura

diverse negli assi coordinati.

Inoltre, anche se le grandezze sono omogenee, per ottenere una

rappresentazione efficace, spesso si rende necessario (o quanto meno è

opportuno), utilizzare un sistema di metrico..

Naturalmente, se si utilizzano segmenti di lunghezza diversa per rappresentare le unità di

misura sugli assi, la forma di una figura può cambiare radicalmente, come è messo in luce

nel § 4.3.2 di [BS 2004].

Notazioni semplificate

In seguito indicheremo con OxyUV (o più semplicemente Oxy) un

sistema di riferimento cartesiano con origine nel punto O e avente come

unità di misura degli assi x ed y, rispettivamente i segmenti OU ed OV.

I sistemi monometrici saranno indicati semplicemente con OxyU.


2.3 Coordinate di riferimento - Caso tri-dimensionale Quaterna o tetraedro di riferimento

Un tetraedro ABCD (non degenere) individua un sistema di riferimento

cartesiano nello spazio.

Assunto infatti un vertice (per esempio, A) come origine del sistema, e

scelti gli altri tre (B, C, D) come punti unità degli assi, restano

individuati l’origine del sistema di riferimento, l’asse delle ascisse

(AB), l’asse delle ordinate (AC), l’asse delle quote (AD) e il loro

orientamento.

B

A

C

D

A ogni punto P dello spazio è associata una terna ordinata (x, y,z) di numeri reali. La

corrispondenza fra punti dello spazio e terne (x, y,z) è biunivoca.

Preferibilmente si ricorre, per la loro semplicità, a sistemi di riferimento cartesiani

ortogonali.

Sistemi monometrici

I sistemi di riferimento cartesiani ove i tre assi coordinati hanno la

stessa unità di misura sono detti monometrici. Questi sistemi sono

utilizzati preferibilmente per la rappresentazione di grandezze

adimensionali.

Sistemi dimetrici Anche in 3D i sistemi di riferimento cartesiani che adottano unità di

misura diverse negli assi coordinati sono detti sistemi dimetrici.

Notazioni semplificate

In seguito indicheremo con OxyUVW (o più semplicemente Oxyz) un

sistema di riferimento cartesiano con origine nel punto O e avente come

unità di misura degli assi x, y e z, rispettivamente i segmenti OU, OV,

OW. I sistemi monometrici saranno indicati semplicemente con OxyU.


2.4 Trasformazione di Coordinate Coordinate polari nel piano

Assegnato un sistema cartesiano ortogonale Oxy nel piano, un punto

),( yxP può essere individuato anche assegnando le coordinate

polari ),( ove

22 yx

rappresenta la distanza del punto P dall’origine e è l’angolo

formato tra il segmento OP e il semiasse positivo delle ascisse (cfr.

figura). Se P coincide con l’origine assumeremo l’angolo =0.

x

y

o

P

Da coordinate polari a coordinate cartesiane

L’equazione della trasformazione da coordinate polari a coordinate

cartesiane è dunque

sin

cos

y

x

ove R [,,0[

2.4.1 Approfondimento Scrivere l’equazione della trasformazione inversa, da coordinate cartesiane a coordinate polari.

2.4.2 Approfondimento Scrivere l’equazione in coordinate polari di una circonferenza con centro nell’origine.

2.4.3 Approfondimento Scrivere l’equazione di un segmento AB giacente sugli assi coordinati.


2.5 Coordinate cilindriche

Coordinate cilindriche nello spazio

Per rappresentare insiemi che abbiano qualche simmetria rispetto

all’asse z sono utili le coordinate cilindriche ( , , )t ove

cos

sin

x

y

z t

ove

[0, [ 0,2 t R

x

y

z

t

P


2.6 Coordinate sferiche o coordinate polari nello spazio

Coordinate polari nello spazio

Assegnato un sistema cartesiano ortogonale Oxyz nello spazio, un punto

),,( zyxP può essere individuato anche assegnando le coordinate

polari ),,( ove

è detto raggio vettore (distanza PO)

è detta distanza zenitale o co-latitudine

(angolo formato da PO con l'asse z, dove O è l'origine degli assi)

si chiama azimut o longitudine

(angolo formato da OH con l'asse x dove H è la proiezione

ortogonale del punto P sul piano xy)

Da coordinate polari a coordinate cartesiane

L’equazione della trasformazione da

coordinate polari a coordinate cartesiane è

dunque

(2.6.1)

sin cos

sin cos

sin

x

y

z

ove

[0, [ [0,2 ] [0, ]

2.6.1 Approfondimento Scrivere l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine e giacente su un piano parallelo al piano xy. 2.6.2 Approfondimento

Scrivere l’equazione di una sfera con centro nell’origine.


2.7 Coordinate geografiche, latitudine e longitudine

Si suppone che la superficie terrestre sia, in prima approssimazione, di forma sferica

( =costante).

Nel sistema di coordinate terrestri geocentrico si sceglie come piano xy (detto piano

fondamentale) quello dell'equatore, mentre la direzione dell’asse z (direzione

fondamentale) è l'asse di rotazione della Terra.

Un qualunque piano che contenga l'asse terrestre (piano meridiano), determina sulla

superficie terrestre un cerchio massimo passante per i poli detto circolo meridiano. Per

meridiano geografico si intende una semicirconferenza compresa tra i due poli ed ogni

meridiano ha un suo antimeridiano che completa il circolo meridiano, dalla parte opposta.

I meridiani sono tutti uguali fra loro.

Coordinate polari nello spazio

I paralleli invece sono i circoli formati dall'intersezione tra qualunque piano parallelo

all'equatore con la superficie terrestre. I paralleli sono tanto più piccoli quanto maggiore è

la loro distanza dall'equatore.

Paralleli e meridiani formano una rete sulla superficie (reticolato geografico), che ci

permette di identificare la posizione assoluta di un punto. Per far questo basta indicare il

parallelo e il meridiano che passano per tale punto (parallelo del luogo e meridiano del

luogo). Allo scopo di indicare un preciso parallelo o meridiano, si definiscono le

coordinate geografiche.

http://www.vialattea.net/eratostene/gloss/coordinatesferiche.html

http://www.vialattea.net/eratostene/gloss/asse.html






Viene fissato convenzionalmente un meridiano fondamentale, passante per l'Osservatorio

astronomico di Greenwich, nei pressi di Londra. Tale meridiano è chiamato anche

meridiano zero, meridiano origine, primo meridiano, meridiano iniziale, o meridiano di

Greenwich. e rappresenta il riferimento per la suddivisione convenzionale in fusi orari e

per il tempo universale.

La longitudine geografica ( ) è la distanza angolare di un punto dal meridiano

fondamentale, misurata sull'arco di parallelo che passa per quel punto. Essa corrisponde

all'angolo compreso tra il piano del meridiano del punto e il piano del meridiano

fondamentale.

Nel disegno seguente, si tratta dell'angolo PAO dove A è un punto sull'asse terrestre

appartenente al piano del parallelo di P.

La longitudine può essere EST o OVEST a seconda che il punto si trovi a oriente o a

occidente del meridiano fondamentale.

Essa varia numericamente da 0° (per i punti che si trovano lungo il meridiano

fondamentale) a 180°, in senso positivo verso OVEST e negativo verso EST.

La latitudine geografica ( ) è la distanza angolare di un punto dall'equatore misurata

lungo il meridiano che passa per quel punto.

Essa corrisponde all'angolo compreso tra la verticale del luogo e il piano dell'equatore.

Nel disegno si tratta dell'angolo PCP' dove C è il centro della Terra. Essa varia da +90°

(polo nord) a -90° (polo sud). I punti lungo l'equatore hanno latitudine 0°.

Sia la longitudine che la latitudine geografiche vengono espresse in gradi e frazioni di

grado.

I paralleli si possono considerare insiemi di punti sulla superficie terrestre che hanno

uguale latitudine e i meridiani insiemi di punti con uguale longitudine. Meridiani e

paralleli sono infiniti, ma spesso si usa prendere in considerazioni quelli che distano di un

grado l'uno dall'altro.

http://www.vialattea.net/eratostene/gloss/fusiorari.html

http://www.vialattea.net/eratostene/gloss/tempouniversale.html





Essi sono detti meridiani di grado e paralleli di grado. Esistono 360 meridiani di grado e

178 paralleli di grado (escludendo i due paralleli ai poli, che sono ridotti ad un punto).

La parola meridiano deriva dal latino meridies, perché un meridiano unisce tutti i punti

che hanno il mezzogiorno nello stesso momento.

Dati terrestri

Raggio Equatoriale 6378,1 km

2.7.1 Approfondimento Determinare

1) la lunghezza di un meridiano 2) la distanza all’equatore fra due meridiani 3) la distanza sulla superficie terreste fra il 42° e il 43° parallelo 4) un procedimento per tracciare i paralleli su un mappamondo 5) le distanze fra i piani che individuano i paralleli 6) le coordinate geografiche del Liceo da Procida di Salerno

7) a latitudine zero (all’equatore) quanto distano due punti che differiscono di un grado di longitudine oppure di un primo di grado Suggerimento: essendo nota la lunghezza della circonferenza equatoriale (il raggio della terra è ripor-ato in questa dispensa) con un semplice proporzione si calcola la lunghezza dell’arco corrispondente ad un grado, ad un primo di grado o a qualunque angolo al centro]

L'angolo λ della latitudine

8) a latitudine quanto distano due punti che differiscono di un grado di longitudine

oppure di un primo di grado


[Suggerimento: Il problema è ricondotto al caso 7) una

volta calcolata la lunghezza della circonferenza del parallelo che individua la latitudine. In forza della formula (2.6.1)

sin

cossin

cossin

z

y

x

e della figura a lato il raggio della circonferenza

cercata è KP ossia cosKP

Così, ad esempio, a 30 gradi di latitudine la lunghezza di detta circonferenza misura

30cos2cos2)( c

ove è il raggio terrestre]

9) Tenuto conto dei 24 fusi orari (ogni fuso orario corrisponde a 15 gradi di longitudine) un grado di longitudine corrisponde ad 1/15 di ora ovvero 4 minuti. Viceversa l’errore di un secondo nella misura del tempo a quale distanza corrisponde all’equatore? (esprimere la distanza in miglia nautiche)

l’errore di un secondo nella misura del tempo a quale distanza corrisponde alla

latitudine ? (esprimere la distanza in miglia nautiche)

10) Illustrare l’importanza assunta dalle coordinate geografiche nel corso dei secoli per la navigazione terrestre, marittima e aerea.

11) Condurre una ricerca sugli strumenti usati, nel corso dei secoli, per misurare la

latitudine, discutendo grado di precisione via via raggiunto. In particolare descrivere lo gnomone con foro gnomonico. Indagare le fasi e i costi da sostenere per la realizzazione di tale strumento; e successivamente realizzare lo strumento stesso. 12) Condurre una ricerca sul problema della misura della longitudine, che metta in

evidenza le difficoltà incontrate, nel corso dei secoli, per rilevarla con un certo grado di precisione. Sintetizzare le vicende del Concorso Longitudine Act.


2.8 Localizzazione di un punto attraverso punti noti

Problema del topografo. Il geometra Renato Bianchi è stato interpellato dal Signor

Paolo Rossi per apporre i termini di confine su alcuni terreni di sua proprietà.

Una mattina il tecnico, munito di una mappa catastale della zona, si reca sul posto per un

sopraluogo. Sulla mappa sono segnati alcuni punti di riferimento (di coordinate note),

facilmente visibili. Questi punti (indicati con S) sono spesso dislocati in cima ai campanili

o alle montagne oppure nella parte terminale di antenne, etc.

Mediante un telemetro professionale, il geometra può misurare la distanza fra la propria

posizione R e i vari punti S di riferimento (visibili) della mappa.

Per localizzare i confini del terreno, Bianchi misura con l’aiuto dello strumento le inter-

distanze fra la propria posizione e i punti S, ripetendo le misure da diverse posizioni.

[Per una maggiore affidabilità, mediante un teodolite (strumento di misura di angoli)

esegue anche alcune triangolazioni].

Una volta acquisiti il set di dati, dopo una breve elaborazione il tecnico è in grado di

allocare i termini di confine segnati sulla mappa.

Il seguente quesito è connesso al problema del topografo.

Quesito (2.8.1): Qual è il numero minimo di punti di riferimento necessari per

localizzare sulla mappa la propria posizione ovvero per determinare le coordinate

cartesiane del punto R ?

Rispondiamo per gradi.

a) Caso uni-dimensionale

Sia OxU un sistema di riferimento sulla retta. Indichiamo con 1S un punto di riferimento

sulla retta la cui coordinata 1x sia nota.

Consideriamo un osservatore posizionato in un punto R di ascissa x. Misurando la

distanza 1d fra i punti R e 1S , si perviene all’equazione

1 1| |x x d

o equivalentemente

(2.8.1) 2 2

1 1( )x x d

L’equazione (2.8.1) individua il luogo dei punti della retta a distanza 1d dal punto 1S

ovvero la circonferenza di centro 1S e raggio 1d . Tale luogo è costituito da due soli punti,

precisamente

1 1x x d


b) Caso bi-dimensionale Sia OxyU un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico nel piano.

Indichiamo con 1 1 1( , )S x y un punto di riferimento nel piano le cui coordinate siano

note. Consideriamo un osservatore posizionato in un punto R=(x,y). Misurando la

distanza 1d fra i punti R e 1S , si perviene all’equazione

ovvero il punto incognito R appartiene alla circonferenza di centro 1S e raggio 1d .

Ovviamente sono infinite le possibili scelte di coordinate del punto R.

Introduciamo un altro punto di riferimento che indichiamo con 2 2 2( , ).S x y

Misurando la distanza 2d fra i punti R e 2S , si perviene alla ulteriore equazione

2 2 2

2 2 2( ) ( )x x y y d

ovvero il punto incognito R deve appartenere anche alla circonferenza di centro 2S e

raggio 2d .

In conclusione per determinare la posizione dell’osservatore dobbiamo discutere il

sistema

(2.8.2)

2 2 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x x y y d

x x y y d

Le soluzioni (reali) del sistema sono le coordinate ( , )x y

dei punti di intersezione delle due circonferenze. Indicata

con d la distanza 1 2S S , il sistema ammette soluzioni se e

solo se

1 2... d d d

Riportiamo le due soluzioni generali del sistema (2.8.2), calcolate con l’aiuto di un

CAS.

x 1/(2 x1-2 x2)(-d12+d2

2+x1

2-y2

2+(4 d1

2 x2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8

x22-8 x2 y2+4 y2

2)-(4 d2

2 x2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4

y22)-(4 x1

2 x2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)+(8 x1

x23)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)-(8 x2

4)/(4 x1

2-8 x1

x2+8 x22-8 x2 y2+4 y2

2)-(8 d1

2 x2 y2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8

x2 y2+4 y22)+(8 d2

2 x2 y2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4

y22)+(8 x2

3 y2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)+(4 d1

2

y22)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)-(4 d2

2 y2

2)/(4 x1

2-8

x1 x2+8 x22-8 x2 y2+4 y2

2)+(4 x1

2 y2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8

x2 y2+4 y22)-(8 x1 x2 y2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4

y22)+(4 x2

2 y2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)-(8 x2

SS

R

12

dd1

2


y23)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)+(4 y2

4)/(4 x1

2-8 x1

x2+8 x22-8 x2 y2+4 y2

2)+(x2 \[Sqrt]((4 d1^2 x2-4 d2^2 x2-4

x1^2 x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4 x1^2 y2+8 x1

x2 y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)2-4 (4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4

y22) (d1

4-2 d1

2 d2

2+d2

4-2 d1

2 x1

2-2 d2

2 x1

2+x1

4+4 d1

2 x1 x2+4

d22 x1 x2-4 x1

3 x2-4 d1

2 x2

2+8 x1

2 x2

2-8 x1 x2

3+4 x2

4+2 d1

2

y22-2 d2

2 y2

2+2 x1

2 y2

2-4 x1 x2 y2

2+y2

4)))/(4 x1

2-8 x1 x2+8

x22-8 x2 y2+4 y2

2)-(y2 \[Sqrt]((4 d1^2 x2-4 d2^2 x2-4 x1^2

x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4 x1^2 y2+8 x1 x2

y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)2-4 (4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)

(d14-2 d1

2 d2

2+d2

4-2 d1

2 x1

2-2 d2

2 x1

2+x1

4+4 d1

2 x1 x2+4 d2

2 x1

x2-4 x13 x2-4 d1

2 x2

2+8 x1

2 x2

2-8 x1 x2

3+4 x2

4+2 d1

2 y2

2-2 d2

2

y22+2 x1

2 y2

2-4 x1 x2 y2

2+y2

4)))/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2

y2+4 y22))

y (-4 d12 x2+4 d2

2 x2+4 x1

2 x2-8 x1 x2

2+8 x2

3+4 d1

2 y2-4 d2

2

y2+4 x12 y2-8 x1 x2 y2-4 x2 y2

2+4 y2

3-\[Sqrt]((4 d1^2 x2-4

d2^2 x2-4 x1^2 x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4

x1^2 y2+8 x1 x2 y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)2-4 (4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-

8 x2 y2+4 y22) (d1

4-2 d1

2 d2

2+d2

4-2 d1

2 x1

2-2 d2

2 x1

2+x1

4+4 d1

2

x1 x2+4 d22 x1 x2-4 x1

3 x2-4 d1

2 x2

2+8 x1

2 x2

2-8 x1 x2

3+4 x2

4+2

d12 y2

2-2 d2

2 y2

2+2 x1

2 y2

2-4 x1 x2 y2

2+y2

4)))/(2 (4 x1

2-8 x1

x2+8 x22-8 x2 y2+4 y2

2))}

x 1/(2 x1-2 x2)(-d12+d2

2+x1

2-y2

2+(4 d1

2 x2

2)/(4 x1

2-8 x1

x2+8 x22-8 x2 y2+4 y2

2)-(4 d2

2 x2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2

y2+4 y22)-(4 x1

2 x2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)+(8

x1 x23)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)-(8 x2

4)/(4 x1

2-8

x1 x2+8 x22-8 x2 y2+4 y2

2)-(8 d1

2 x2 y2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8

x22-8 x2 y2+4 y2

2)+(8 d2

2 x2 y2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2

y2+4 y22)+(8 x2

3 y2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)+(4

d12 y2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)-(4 d2

2 y2

2)/(4

x12-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)+(4 x1

2 y2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8

x22-8 x2 y2+4 y2

2)-(8 x1 x2 y2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2

y2+4 y22)+(4 x2

2 y2

2)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)-(8

x2 y23)/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)+(4 y2

4)/(4 x1

2-8

x1 x2+8 x22-8 x2 y2+4 y2

2)-(x2 \[Sqrt]((4 d1^2 x2-4 d2^2 x2-

4 x1^2 x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4 x1^2 y2+8

x1 x2 y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)2-4 (4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4

y22) (d1

4-2 d1

2 d2

2+d2

4-2 d1

2 x1

2-2 d2

2 x1

2+x1

4+4 d1

2 x1 x2+4

d22 x1 x2-4 x1

3 x2-4 d1

2 x2

2+8 x1

2 x2

2-8 x1 x2

3+4 x2

4+2 d1

2

y22-2 d2

2 y2

2+2 x1

2 y2

2-4 x1 x2 y2

2+y2

4)))/(4 x1

2-8 x1 x2+8

x22-8 x2 y2+4 y2

2)+(y2 \[Sqrt]((4 d1^2 x2-4 d2^2 x2-4 x1^2

x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4 x1^2 y2+8 x1 x2


y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)2-4 (4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2 y2+4 y2

2)

(d14-2 d1

2 d2

2+d2

4-2 d1

2 x1

2-2 d2

2 x1

2+x1

4+4 d1

2 x1 x2+4 d2

2 x1

x2-4 x13 x2-4 d1

2 x2

2+8 x1

2 x2

2-8 x1 x2

3+4 x2

4+2 d1

2 y2

2-2 d2

2

y22+2 x1

2 y2

2-4 x1 x2 y2

2+y2

4)))/(4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-8 x2

y2+4 y22))

y (-4 d12 x2+4 d2

2 x2+4 x1

2 x2-8 x1 x2

2+8 x2

3+4 d1

2 y2-4 d2

2

y2+4 x12 y2-8 x1 x2 y2-4 x2 y2

2+4 y2

3+\[Sqrt]((4 d1^2 x2-4

d2^2 x2-4 x1^2 x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4

x1^2 y2+8 x1 x2 y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)2-4 (4 x1

2-8 x1 x2+8 x2

2-

8 x2 y2+4 y22) (d1

4-2 d1

2 d2

2+d2

4-2 d1

2 x1

2-2 d2

2 x1

2+x1

4+4 d1

2

x1 x2+4 d22 x1 x2-4 x1

3 x2-4 d1

2 x2

2+8 x1

2 x2

2-8 x1 x2

3+4 x2

4+2

d12 y2

2-2 d2

2 y2

2+2 x1

2 y2

2-4 x1 x2 y2

2+y2

4)))/(2 (4 x1

2-8 x1

x2+8 x22-8 x2 y2+4 y2

2))}}

Naturalmente queste due espressioni non hanno alcun interesse pratico.

Possiamo agire su due fronti.

Una prima possibilità è quella di semplificare il sistema, operando scelte opportune del

sistema di riferimento; una seconda possibilità è il ricorso ad algoritmi che forniscono

soluzioni approssimate.

Proviamo a semplificare ricorrendo alla prima possibilità.

Fissiamo l’origine del sistema nel punto 1S e l’asse delle ascisse passante per il

segmento 1 2S S . Con tale scelta il sistema (2.8.2) diventa

2 2 2

1

2 2 2

2 2

( 0) ( 0)

( ) ( 0)

x y d

x x y d

2 2 2

1

2 2 2

2( )

x y d

x d y d

Osserviamo innanzi tutto che, affinché l’intersezione non sia vuota occorre che

1 2 1 2max ,d d d d d [oppure 1 2 1 2 1 2max , min ,r r r r d r r ???]

2 2 2 2 2 21 22 2 2 1 2

1 22 2 2

22

x y d d d dx x d d d x

dx d y d

e quindi si ha

SS

R

12

dd1

2


2 2 2

1 2

2 2 22 1 2

1

2

2

d d dx

d

d d dy d

d

Facendo ricorso ad un CAS, si ottiene la risposta seguente (ovviamente il risultato è

identico a quello “fatto a mano”):

{y-

d12

d2

d12

d22 2

4 d2,x(d2+d12-d22)/(2 d)},

{y

d12

d2

d12

d22 2

4 d2,x(d2+d12-d22)/(2 d)}}

c) Caso tri-dimensionale

Sia OxyzU un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico nello spazio. Indichiamo

con 1 1 1 1( , , )S x y z un punto di riferimento nel piano le cui coordinate siano note.

Consideriamo un osservatore posizionato in un punto R=(x,y,z). Misurando la distanza 1d fra i

punti R e 1S , si perviene all’equazione

2 2 2 2

1 1 1 1( ) ( ) ( )x x y y z z d

ovvero il punto incognito R appartiene alla sfera di centro 1S e raggio 1d .

Ovviamente sono infinite le possibili scelte di

coordinate del punto R.

Introduciamo un altro punto di riferimento che

indichiamo con 2 2 2( , ).S x y

Misurando la distanza 2d fra i punti R e 2S , si

perviene alla ulteriore equazione

2 2 2 2

2 2 2 2( ) ( ) ( )x x y y z z d


ovvero il punto incognito R deve appartenere anche alla sfera di centro 2S e raggio

2d .

In generale l’intersezione di due sfere è una circonferenza.

Introduciamo allora un altro punto di riferimento che indichiamo con 3 3 3( , ).S x y

Il punto incognito R deve appartenere anche alla sfera di centro 3S e raggio

3d (distanza fra il

punto R e 3S ).

In generale l’intersezione di tre sfere è

costituita da due punti, in quanto le sfere

a due a due individuano una

circonferenza e, come abbiamo visto nel

caso due-dimensionale, l’intersezione di

due circonferenze è costituita, in

generale, da due punti.

In conclusione per determinare la

posizione dell’osservatore dobbiamo

discutere il sistema

(2.8.3) 2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

3 3 3 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x y y z z d

x x y y z z d

x x y y z z d

La discussione di tale sistema si

presenta alquanto complessa.

La tralasciamo qui, in quanto più oltre studieremo un

sistema analogo di quattro equazioni in quattro

incognite, discutendone la risoluzione.

Forniamo, a conclusione del paragrafo, la risposta al

quesito (2.8.1).

Quesito (2.8.1): Qual è il numero minimo di punti di riferimento necessari per localizzare

sulla mappa la propria posizione ovvero per determinare le coordinale cartesiane del punto R ?

Risposta:

uno nel caso uni-dimensionale

due nel caso del piano

tre nel caso dello spazio


3. Il sistema di localizzazione GPS

3.1 Un primo modello teorico

Come abbiamo visto nel paragrafo 2.8, lettera c), la misura simultanea della distanza fra il

ricevitore e tre satelliti non allineati fornisce sufficienti informazioni per determinare la

posizione del ricevitore stesso.

La necessità di eseguire la misura delle distanze in modo simultaneo (in quanto i satelliti

non sono punti fissi, ma viaggiano a circa 4 km al secondo) impone un adeguamento del

modello.

Osserviamo innanzi tutto che le distanze ricevitore – satellite variano fra 22.000 e 25.000

km e devono essere stimate con un errore di qualche metro.

Naturalmente le misure non possono che essere indirette.

In astronomia le distanze sono misurate attraverso il tempo che la luce impiega a

coprirle6.

Supponiamo allora di utilizzare un segnale emesso da uno dei satelliti visibili dal

ricevitore per calcolare la distanza satellite-ricevitore.

Poiché il segnale viaggia alla velocità della luce (circa 300.000 km/s), la scala delle

distanze espresse in metri si ottiene semplicemente moltiplicando i valori sulla scala dei

tempi per il fattore7

93 10c .

Conoscendo l’ordine di grandezza delle distanze da misurare e la precisione delle misure

(inferiore a 10 m) possiamo determinare le grandezze corrispondenti sulla scala dei tempi.

Così il segnale8 impiega meno di un decimo di secondo a percorrere gli oltre 20.000 km

della distanza satellite – ricevitore, mentre un errore sulle distanze dell’ordine di 10 m

corrisponde sulla scala dei tempi a circa 8

3 10 30s ns (nanosecondi).

Alla semplicità del sistema (2.8.3), da cui ricavare le coordinate di R, si contrappongono

le difficoltà tecniche sulla scala dei tempi per apprezzare una unità di tempo così piccola

(il nanosecondo).

6 L’unità di misura è l’anno luce, cioè la distanza che la luce percorre in un anno, pari a

15

299792458 (m/s) 365,25 (giorni) 86400 (s/giorno)=9,461 10 (m)

poco meno di diecimila miliardi di chilometri. 7 Velocità della luce nel vuoto 299792458 (m/s)c . Il segnale in realtà viene perturbato dalla

ionosfera, come accenneremo più oltre.

8

3

5

spaziotempo=

velocità

20 10 7

3 10 100

1

10

< (in secondi).


I progressi della tecnologia hanno superato queste difficoltà a partire dagli anni sessanta,

grazie agli orologi atomici.

3.2 Un modello “rettificato”

Gli orologi atomici al cesio apprezzano unità di tempo dell’ordine di 1210 s

, con

un’accuratezza di 2 ns nell’arco delle 24 h.

Supponiamo che un segnale ad alta frequenza venga emesso da un satellite visibile dal

ricevitore all’istante t0, tempo misurato sull’orologio del satellite. Il ricevitore registra

l’arrivo del segnale al tempo t1, misurato sul suo orologio. Se i due orologi fossero

sincronizzati, il tempo impiegato dal segnale a coprire la distanza satellite – ricevitore

sarebbe t1-t0.

Non è però realistico assumere che l’orologio del ricevitore GPS sia sincronizzato con

quello del satellite. Infatti quest’ultimo orologio è estremamente preciso, sincronizzato9

con il tempo USNO Master Clock (United States Naval Observatory) che viene

aggiornato ogni 100 s, mentre l’orologio del ricevitore è generalmente un normale

orologio al quarzo.

Di conseguenza la misura (sulla scala dei tempi) della distanza satellite – ricevitore è

affetta da un errore, detto offset dell’orologio del ricevitore10

.

Pertanto oltre alla coordinate x, y, z del ricevitore è incognito anche l’offset offt

dell’orologio del ricevente rispetto al tempo11

GPS.

Abbiamo così quattro incognite da determinare.

Il sistema (2.8.3) deve essere rettificato con l’introduzione di una incognita e completato

con l’aggiunta di una equazione ottenuta attraverso la distanza 4d del ricevitore da un

quarto satellite 4S .

9 Per semplicità si è assunto che gli orologi dei satelliti fossero sincronizzati fra loro. In realtà si assume come

riferimento il tempo GPS. L’off-set di ogni satellite è noto e viene trasmesso al ricevente attraverso il segnale

emesso dal satellite. 10

Tale distanza è perciò detta pseudo-distanza (pseudo range). 11

L’offset può essere una quantità sia positiva che negativa. Trascurando un offset di 1 ms

s’incorrerebbe in un errore di circa 300 km nella stima della posizione del ricevitore.


(3.2.1)

2 2 2

1 1 1 1

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

3 3 3 3

2 2 2

4 4 4 4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

off

off

off

off

x x y y z z d c t

x x y y z z d c t

x x y y z z d c t

x x y y z z d c t

Tetraedri adiacenti formati da quattro satelliti e dal ricevitore

Le coordinate , ,i i ix y z di posizione del satellite iS e la distanza id del ricevitore dal

satellite iS sono termini noti in quanto acquisiti dal ricevitore attraverso il segnale emesso

dai satelliti.

Limitiamoci al caso piano ovvero eliminiamo la quota z. Cioè consideriamo solo la

navigazione terrestre o quella in mare.

Il sistema (3.2.1) si riduce a tre equazioni nelle tre incognite , , offx y t

22 2

1 1 1

22 2

2 2 2

22 2

3 3 3

off

off

off

x x y y d c t

x x y y d c t

x x y y d c t

Posto r c t abbiamo

2 2 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2

2 2 2

3 3 3

x x y y r d

x x y y r d

x x y y r d

Sviluppando e confrontando la prima e la seconda equazione risulta

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

2 2 2 0

2 2 2 0

2 2 2 0

x x x x y y y y r d rd



2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 12 2 2 0x x x x x y y y y y d d d d r

0Ax B y C r D


ove si è posto

2 1 2 1 2 1

2 1

2 1

2 1

2 2 2 2 2 2

2( )

2( )

2( )

( ) ( ) ( )

A x x

B y y

C d d

D x x y y d d

Analogamente confrontando la prima e la terza equazione si deduce

2 2 2 2 2 2

1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 12 2 2 0x x x x x y y y y y d d d d r

' ' ' ' 0A x B y C r D

ove si è posto

1 3 1 1

3 1

3 1

3 1

2 2 2 2 2 2

3 3

' 2( )

' 2( )

' 2( )

' ( ) ( ) ( )

A x x

B y y

C d d

D x x y y d d

Risolvendo in x, y

' ' ' '

Ax B y C r D

A x B y C r D

poiché ' '' '

A BAB A B

A B , si ha

' ' ' '' ' '

' ' ' '

' ' ' '' ' '

' ' ' '

Cr D B

r BC B C BD B DC r D Bx

AB A B AB A B

A Cr D

r A C AC A D ADA C r Dy

AB A B AB A B

da cui, posto

' '

' '

' '

' '

' '

E BC B C

F BD B D

G AB A B

H A C AC

I A D AD


segue

r E Fx

G

r H Iy

G

Sostituendo nella prima equazione i valori di x e y in funzione di r, si ottiene

2 2

2

1 1 1 0r E F r H I

x y d rG G

2 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2

2 2 0

r E H G r EF EGx HI HGy G d

F x G FGx I G y IGy G d

Posto

2 2 2

2

1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 12 2

L E H G

M EF EGx HI HGy G d

N F x G FGx I G y IGy G d

si ha 2 2 0Lr M r N

Assunto 2 0M LN , in definitiva risulta

2M M L Nr

L

r E Fx

G

r H Iy

G

Il segmento spaziale si compone di 24 satelliti artificiali, giacenti a 4 a 4 sullo stesso

piano orbitale. Ciascuno dei sei piani orbitali passa per il centro della terra e forma con il

piano equatoriale terrestre un angolo di 550.


Le loro tracce sul piano equatoriale sono sei segmenti equidistribuiti (a 60

0) nell’angolo

giro.

Ciascun orbita è quasi circolare, ha raggio12

di 26.000 km e periodo di circa 12 ore.

Il sistema è progettato in modo da garantire in ciascun punto della terra la visibilità di

almeno quattro satelliti.

Ciascun satellite è provvisto di pannelli solari per l’approvvigionamento energetico e di

retrorazzi per eventuali manovre correttive dell’orbita. Inoltre è munito di misuratori di

tempo13

ad altissima precisione.

Sei stazioni di monitoraggio distribuite lungo la fascia equatoriale garantiscono un

accurato monitoraggio dei satelliti (traiettoria, sincronismo degli orologi, correttezza del

segnale, etc…). I dati raccolti dalle stazioni di monitoraggio sono trasmessi ad una

stazione principale a Falcon (Colorado) che li elabora ed eventualmente invia le

opportune correzioni direttamente ai satelliti. In particolare, gli orologi sono sincronizzati

12 I satelliti, che hanno una massa di circa 8 tonnellate, non sono geo-stazionari e viaggiano a circa 4 km/s ad un’altitudine

media di 22.000 km. 13 Costituito da quattro oscillatori (due al cesio e due al rubidio)


ad ogni giro con il tempo di Colorado Spring (tempo GPS).

Un apparecchio ricevente delle dimensioni di un cellulare, munito di antenna14

, capta i

segnali (ad alta frequenza) trasmessi verso terra dai satelliti. I dati acquisiti vengono

elaborati in tempo reale dall’apparecchio stesso. Nell’arco di qualche minuto appaiono

sul display sia la posizione del ricevente GPS, segnata su una cartina topografica, sia le

sue coordinate geografiche15

.

3.3 Note supplementari sul sistema GPS

Il modello di posizionamento GPS, come abbiamo già osservato, presuppone che il

ricevitore conosca – con alta precisione – la posizione dei satelliti osservati. Se il moto

dei satelliti fosse ideale, la loro orbita sarebbe un’ellisse e la loro posizione sarebbe

predicibile nel tempo grazie alle leggi di Klepero. In realtà le forze che agiscono su un

satellite causano fluttuazioni periodiche e degradazione delle orbite. Fra queste,

ricordiamo gli effetti gravitazioneli dovuti alla disomogeneità della Terra e alla presenza

della Luna e del Sole. Anche ricorrendo a equazioni complesse è impossibile costruire un

modello per predire il moto di un satellite per tempi lunghi.

Si ricorre quindi a una descrizione locale dell’orbita. L’orbita è suddivisa in 24 archi

adiacenti (un arco ogni ora) e ciascun arco è descritto16

da un blocco di parametri.

Il ricevitore acquisisce tali parametri17

(attraverso il segnale emesso dal satellite) e li

elabora per stimare la posizione , ,i i ix y z i del satellite Si (i = 1, 2, 3, 4).

Ciò è possibile in quanto il segnale18

emesso da ciascun satellite “trasporta” numerose

informazioni fra cui:

un codice per l’identificazione del satellite;

24 blocchi di parametri che permettono di descrivere l’orbita giornaliera del satellite;

un codice o un segnale binario (C/A, Corse o Clear Acquisition Code)19

della durata di

1 ms, composto da 1023 impulsi. Per mezzo di tale segnale viene rilevato il tempo ti

necessario al segnale per propagarsi dal satellite al ricevitore, da cui dedurre la

distanza di = c ti. La misura ti è concettualmente semplice da effettuare. Il codice

binario C/A in arrivo dal satellite viene confrontato con una sua replica generata dal

ricevitore. Correlando i due segnali si misura il “disallineamento temporale” ti ;

14 Le antenne dei ricevitori GPS devono poter vedere il cielo libero su di sé per ricevere il segnale satellitare; così non

funzionano in galleria o nei garage sotterranei. 15 Latitudine e longitudine nei sistemi di navigazione per terra e mare, mentre è aggiunta l’altitudine in quelli di navigazione aerea. 16

La stazione master di Colorado Spring, elaborando i dati raccolti dalle stazioni di monitoraggio a terra,

effettua una stima quotidiana dell’orbita e dell’offset d’orologio, previsti nelle 24 ore successive per ciascun

satellite. Le orbite sono parametrizzate e i dati inviati al satellite, il quale li comunicherà agli utenti nel corso

della giornata successiva. 17 Più in dettaglio, se il ricevitore esegue, per esempio, la misura alle ore 5.21, ricostruirà il sesto arco

dell’orbita attraverso il sesto blocco di parametro, così da stimare la posizione del satellite al 21–esimo

minuto. 18 Frequenza dell’onda portante sinusoidale 1575,42 MHz. 19 Fruibile da tutti i ricevitori, al contrario del codice Y (Precision o Protected Code), fruibile solo da

ricevitori militari o comunque abilitati, non reperibili in commercio.


modelli per la rimozione parziale del disturbo dovuto all’atmosfera terrestre. La

velocità di propagazione20

del segnale subisce variazioni dovute allo stato fisico del

mezzo attraversato e di conseguenza s’induce un errore nella stima della distanza

satellite-ricevitore.

20 Il disturbo atmosferico è suddiviso in ionosferico e troposferico. Il primo è dovuto agli strati dell’atmosfera

compresi fra 100 e 1.000 Km di quota, il secondo agli strati compresi fra il suolo e 40 Km. Segnaliamo altri

due disturbi principali: il cosiddetto effetto multipath (dovuto a fenomeni di riflessione del segnale in

prossimità del ricevitore per la presenza di superfici riflettenti, come per esempio cartelloni pubblicitari, che

causano una sovrastima della distanza satellite-ricevitore) e l’errore dovuto al rumore elettronico di misura

(la cui entità si è recentemente ridotta per effetto dell’evoluzione dell’elettronica del ricevitore).

Bibliografia

[BS 2004] P.Brandi – A.Salvadori, Modelli matematici elementari, B.Mondadori (2004)

Laboratori di innovazione didattica - Matematica & Realtà · Il sistema GPS: una prima descrizione...

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