Cap. 5 I segmentiCap. 5 I segmenti

DefinizioneDefinizione Dal vocabolarioDal vocabolario sappiamo che segmento significa sappiamo che segmento significa Porzione, Porzione,

parte di un corpo, di un organo, di un oggettoparte di un corpo, di un organo, di un oggetto Se lo troviamo ora sappiamo che il segmento deve essere una Se lo troviamo ora sappiamo che il segmento deve essere una

parte di qualcosa che abbiamo già studiato. parte di qualcosa che abbiamo già studiato.

Consideriamo un retta r e poniamo su di essa due punti A e B Consideriamo un retta r e poniamo su di essa due punti A e B I due punti individuano un parte di rettaI due punti individuano un parte di retta Si dice segmento una porzione di retta Si dice segmento una porzione di retta

delimitata da due punti detti estremi del delimitata da due punti detti estremi del segmentosegmentoI segmenti si indicano con una lettera minuscola

Segmenti consecutiviSegmenti consecutivi Cosa è un segmento lo sappiamo ma cosa Cosa è un segmento lo sappiamo ma cosa

significa consecutivo?significa consecutivo? Consecutivi sono degli eventi od elementi Consecutivi sono degli eventi od elementi

che vengono uno dietro l’altroche vengono uno dietro l’altro Perciò anche i segmenti consecutivi debbono Perciò anche i segmenti consecutivi debbono

venire uno dietro l’altrovenire uno dietro l’altro Consideriamo i segmenti AB e CD sono Consideriamo i segmenti AB e CD sono

consecutivi?consecutivi? Per rispondere facciamo la seguente Per rispondere facciamo la seguente

considerazione: una formica può andare a D considerazione: una formica può andare a D ad A senza toccare il piano ad A senza toccare il piano

A

B C

D

La risposta è no perché c’è una La risposta è no perché c’è una discontinuità (un intervallo) fra i due segmenti

Per ripristinare questa continuità debbo far Per ripristinare questa continuità debbo far coincidere due estremicoincidere due estremi

Come si vede gli estremi B e C vanno a Come si vede gli estremi B e C vanno a coinciderecoincidere

Definiamo consecutivi due segmenti che Definiamo consecutivi due segmenti che hanno un estremo in comunehanno un estremo in comune

A

B C

D

Segmenti consecutivi

SpezzataSpezzata A cosa vi fa pensare una spezzata?A cosa vi fa pensare una spezzata? Qualcosa che si rompe in tanti pezziQualcosa che si rompe in tanti pezzi A me dà l’idea di un spaghetto che si A me dà l’idea di un spaghetto che si

romperompe Se noi rompiamo uno spaghetto e Se noi rompiamo uno spaghetto e

manteniamo uniti i vari pezzi per un manteniamo uniti i vari pezzi per un punto abbiamo l’idea della spezzatapunto abbiamo l’idea della spezzata

In pratica la spezzata è data In pratica la spezzata è data dall’unione di tanti segmenti dall’unione di tanti segmenti uno consecutivi all’altrouno consecutivi all’altro

D

B

C

A E

F

Elementi di una pezzataElementi di una pezzata

D

B

C

A E

Festremi

vertici

I punti di inizio e di fine della spezzata prendono il nome di estremi della spezzataI punti che uniscono i segmenti consecutivi prendono il nome di vertici della spezzata

I segmenti consecutivi che formano la spezzata prendono il nome di lati della spezzata

lati

Tipi di spezzataTipi di spezzata

Spezzata aperta sempliceSpezzata aperta semplice Spezzata aperta intrecciataSpezzata aperta intrecciata Spezzata chiusa sempliceSpezzata chiusa semplice Spezzata chiusa intrecciataSpezzata chiusa intrecciata

Spezzata apertaSpezzata aperta

Una spezzata si dice aperta semplice se i Una spezzata si dice aperta semplice se i suoi estremi non coincidonosuoi estremi non coincidono

Una spezzata aperta (con gli estremi che Una spezzata aperta (con gli estremi che non coincidono) si dice intrecciata quando non coincidono) si dice intrecciata quando ha due o più lati che si intersecanoha due o più lati che si intersecano

Spezzata aperta

Spezzata aperta intrecciata

Spezzata ChiusaSpezzata Chiusa

Una spezzata semplice si dice chiusa se i Una spezzata semplice si dice chiusa se i suoi estremi coincidonosuoi estremi coincidono

Una spezzata chiusa si dice intrecciata se ha Una spezzata chiusa si dice intrecciata se ha almeno due lati che si intersecanoalmeno due lati che si intersecano

Spezzata semplice chiusa

Spezzata chiusa intrecciata

p

Segmenti Segmenti adiacentiadiacenti

Due segmenti si dicono Due segmenti si dicono

adiacenti se sonoadiacenti se sono

consecutivi e se giaccionoconsecutivi e se giacciono

sulla stessa rettasulla stessa retta

rA B C

Segmenti adiacenti

Contributo esterno

Confronto di segmentiConfronto di segmenti

ConfrontareConfrontare: Mettere di fronte persone o cose, : Mettere di fronte persone o cose, per conoscerne la somiglianza, le affinità, le per conoscerne la somiglianza, le affinità, le differenzedifferenze

Nel nostro caso, siccome i segmenti si Nel nostro caso, siccome i segmenti si assomigliano tutti, ci dobbiamo limitare alle assomigliano tutti, ci dobbiamo limitare alle differenze di lunghezzadifferenze di lunghezza

Confrontare due segmenti si riduce quindi a Confrontare due segmenti si riduce quindi a vedere quale è maggiore, quale minore o vedere quale è maggiore, quale minore o verificare se sono ugualiverificare se sono uguali

Segmento maggiore di un altroSegmento maggiore di un altro Consideriamo i segmenti AB e CDConsideriamo i segmenti AB e CD Facciamo coincidere gli estremi di Facciamo coincidere gli estremi di

inizio e vediamo cosa succedeinizio e vediamo cosa succede Si vede che AB è maggiore di CDSi vede che AB è maggiore di CD

A B

C D

Un segmento è maggiore di Un segmento è maggiore di

un altro quando facendo coincidere un altro quando facendo coincidere

l’inizio dei due segmenti l’inizio dei due segmenti

l’estremo del secondo segmento l’estremo del secondo segmento

cade all’interno del primocade all’interno del primo

Segmento minore di un altroSegmento minore di un altro

Consideriamo i segmenti AB e CDConsideriamo i segmenti AB e CD Sovrapponiamoli e vediamo cosa succedeSovrapponiamoli e vediamo cosa succede Si vede che AB è minore di CDSi vede che AB è minore di CD

A B

C D

Un segmento è minore di Un segmento è minore di

un altro quando facendo coincidere un altro quando facendo coincidere

l’inizio dei due segmenti l’inizio dei due segmenti

l’estremo del secondo segmento l’estremo del secondo segmento

cade all’esterno del primocade all’esterno del primo

Segmenti Segmenti congruenticongruenti Consideriamo i segmenti AB e CDConsideriamo i segmenti AB e CD Sovrapponiamoli e vediamo cosa succedeSovrapponiamoli e vediamo cosa succede Si vede che AB è uguale a CDSi vede che AB è uguale a CD

A B

C D

Un segmento è congruente adUn segmento è congruente ad

un altro quando facendo coincidere un altro quando facendo coincidere

l’inizio dei due segmenti l’estremo l’inizio dei due segmenti l’estremo

del secondo coincide con del secondo coincide con

l’estremo del primol’estremo del primo

Somma di segmentiSomma di segmenti Per sommare due segmenti occorre metterli uno Per sommare due segmenti occorre metterli uno

dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del secondo dopo l’altro facendo coincidere l’inizio del secondo segmento con la fine del primo in modo da avere segmento con la fine del primo in modo da avere due segmenti adiacentidue segmenti adiacenti

Consideriamo i segmenti AB e CDConsideriamo i segmenti AB e CD Facciamo coincidere B con CFacciamo coincidere B con C Otteniamo il segmento ADOtteniamo il segmento AD Tale segmento è la somma di AB + CDTale segmento è la somma di AB + CD

AD = AB + CDAD = AB + CD

A B

C D

Differenza di segmentiDifferenza di segmenti Consideriamo i segmenti AB e CD Consideriamo i segmenti AB e CD

con AB maggiore di CDcon AB maggiore di CD Facciamo coincidere A con CFacciamo coincidere A con C Otteniamo il segmento DBOtteniamo il segmento DB Tale segmento è la differenza di Tale segmento è la differenza di

AB – CD AB – CD DB = AB – CD DB = AB – CD

A B

C D

Per sottrarre due segmenti occorre far coincidere l’inizio dei due segmenti, la differenza sarà data da quel segmento che sommato al secondo riproduce il primo

MultiploMultiplo di un segmento di un segmento

Col termine multiplo ci riferiamo a qualcosa che contiene un Col termine multiplo ci riferiamo a qualcosa che contiene un numero intero di volte qualcos’altronumero intero di volte qualcos’altro

Perciò un segmento sarà multiplo di un altro se Perciò un segmento sarà multiplo di un altro se lo contiene un numero intero di voltelo contiene un numero intero di volte

Consideriamo il segmento AD esso contiene 4 volte BCConsideriamo il segmento AD esso contiene 4 volte BC AD = 4 x BCAD = 4 x BC

A D

C D

SottomultiploSottomultiplo di un segmento di un segmento Col termine sottomultiplo ci riferiamo a qualcosa che è Col termine sottomultiplo ci riferiamo a qualcosa che è

contenuta un numero intero di volte qualcos’altrocontenuta un numero intero di volte qualcos’altro

Perciò un segmento sarà sottomultiplo di un Perciò un segmento sarà sottomultiplo di un altro se questo lo contiene un numero intero di altro se questo lo contiene un numero intero di voltevolte

Consideriamo il segmento BC esso è contenuto 4 volte BCConsideriamo il segmento BC esso è contenuto 4 volte BC BC = AD : 4BC = AD : 4

A D

C D

Punto medio di un segmentoPunto medio di un segmento Medio significa ciò che è nel mezzo tra due Medio significa ciò che è nel mezzo tra due

estremi estremi Riferito ad un segmento sarà quel punto che è Riferito ad un segmento sarà quel punto che è

equidistante (cioè che ha la stessa distanza) equidistante (cioè che ha la stessa distanza) dagli estremidagli estremi

Il punto medio di un segmento è quel Il punto medio di un segmento è quel punto che lo divide in due parti punto che lo divide in due parti congruenticongruentiA B

M

Problema 1Problema 1 La somma di 2 segmenti è 35 cm la loro La somma di 2 segmenti è 35 cm la loro

differenza è 5 cm trovare i due segmentidifferenza è 5 cm trovare i due segmenti

Differenza 5 cm

Cosa succede se elimino questa differenza?

Rimangono due segmenti uguali (a e b)

a

b

La cui somma è

eliminato

Se a = b sarà anche a + b = b + b = 2b

Da cui

s

Ed infine

c

a = 15 cm e c = 5 cm perciò

La somma di due segmenti a e b è 65 cm la La somma di due segmenti a e b è 65 cm la loro differenza è di 15 cm trovare i due loro differenza è di 15 cm trovare i due segmentisegmenti

a + b = 65 cma + b = 65 cm a – b = 15 cma – b = 15 cm Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del

segmento bsegmento b 2b = 65 cm – 15cm = 50 cm2b = 65 cm – 15cm = 50 cm b = 50 cm : 2 = 25 cmb = 50 cm : 2 = 25 cm a = 25 cm + 15 cm = 40 cma = 25 cm + 15 cm = 40 cm

La somma di due segmenti a e b è 65 cm la La somma di due segmenti a e b è 65 cm la uno supera l’atro di 15 cm trovare i due uno supera l’atro di 15 cm trovare i due segmenti (problema uguale al precedente, se segmenti (problema uguale al precedente, se uno supera l’altro significa che c’è una uno supera l’altro significa che c’è una differenza fra i due)differenza fra i due)

a + b = 65 cma + b = 65 cm a = b + 15 cma = b + 15 cm Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del Se a 65 cm tolgo 15 cm ottengo il doppio del

segmento bsegmento b 2b = 65 cm – 15cm = 50 cm2b = 65 cm – 15cm = 50 cm b = 50 cm : 2 = 25 cmb = 50 cm : 2 = 25 cm a = 25 cm + 15 cm = 40 cma = 25 cm + 15 cm = 40 cm

La somma di due segmenti è 60 cm uno è il triplo dell’altro. Trovare la lunghezza dei due segmenti

Poniamo il segmento più piccolo pari ad u AB = u

L’altro segmento sarà il suo triplo, cioè tre volte CD = 3u

La loro somma sarà CD + AB = 4u

Il tutto con una lunghezza di 60 cm

Cioè 4u = 60 cm …. Cosa debbo fare per sapere quanto vale u (cioè uno dei due segmenti di cui si vuole conoscere il valore?)

u

u u u

A B

C D3u

60 cm

AB = 15 cm

CD = 3 u = 3 x 15 cm = 45 cm

La somma di due segmenti è di 37,5 cm uno è il quadruplo dell’altro. Trovare la lunghezza dei due segmentiAB = u CD = 4 uAB + CD = u + 4 u = 5 u5u = 37,5 cmu = 37, 5 cm : 5 = 7,5 cmAB = 7,5 cmCD = 7,5 cm x 4 =30 cmCD = 30 cm

È uguale a

perché

la differenza di due segmenti è 42 cm uno è il triplo dell’altro, trovare la lunghezza dei due segmenti

u

u u u

A B

C D3u

42 cmPoniamo il segmento più piccolo pari ad u AB = uL’altro segmento sarà il suo triplo, cioè tre volte CD = 3uCA = CD – AB = 3u – u = 2u2u = 42 cmu = 42cm : 2 = 21 cmAB = 21 cmCD = 3 x AB = 3 x 21 cm = 63 cmCD = 63 cm

2u

La differenzaLa differenza di due segmenti è di due segmenti è 64 cm 64 cm uno è il quintuplouno è il quintuplo dell’altrodell’altroAB = uAB = uCD = 5 uCD = 5 uCACA = CD – AB = 5u – u = 4 uCA = 4u = 64 cmu = 64 cm : 4 = 16 cmAB = 16 cmCD = 5 x u = 5 x 16 cm = 80 cmCD = 80 cm

80 cm