La Terra vista da un satellite...

Università degli Studi di Palermo Dipartimento di Rappresentazione

Corso di laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio a.a. 2006-2007 P

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La Terra vista da un satellite Meteosat

Cenni di Geodesia



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La Geodesia è la scienza che si occupa:

• dello studio della forma e delle dimensioni della superficie di riferimento terrestre (Geodesia teorica);

• della elaborazione di teorie e procedimenti operativi finalizzati alla conoscenza e alla descrizione di zone più o meno estese della Terra (Geodesia operativa)



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he Rapporti con le altre discipline



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L’individuazione della superficie di riferimento è di fondamentale importanza per le scienze topografiche e cartografiche;

• a tale superficie devono essere riferite le misure relative ad un qualunque rilievo topografico (problema geodetico/topografico)

• su tale superficie dovrebbe essere rappresentata ad una scala prefissata la superficie fisica del terreno (problema cartografico)

Superficie di riferimento



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he Caratteristiche della superficie di riferimento

• Deve approssimare bene la superficie terrestre.

• Deve avere una rappresentazione matematica “semplice”.

• Deve essere possibile stabilire una corrispondenza biunivocafra i punti della superficie terrestre e quelli della superficie di riferimento.

• Deve essere possibile istituire una geometria per i calcoli geodetici sulla superficie di riferimento.

I punti della superficie terrestre vengono idealmente “proiettati” sulla superficie di riferimento che si è scelta.

Possibili scelte: geoide, ellissoide, sfera, piano



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he Superficie fisica e superficie di riferimento



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Geoide

(Listing, 1878)

È una superficie calcolata a partire dallo studio del campo gravitazionale terrestre.È fisicamente individuabile (superficie “media” dei mari in condizioni ideali, cioè in assenza delle perturbazioni accidentali o periodiche (maree, venti, correnti ecc.)La sua rappresentazione matematica è particolarmente complessa (è definito in funzione di infiniti parametri)



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Forza di gravità e superfici di livello La forza di gravità g (risultante tra la forza centrifuga e la forza di gravitazione universale) costituisce un campo di forza che ha la caratteristica di essere conservativo, di ammettere cioè un potenziale W. Il luogo dei punti aventi lo stesso valore del potenziale della gravità (W=cost) costituisce una superficie equipotenziale.Le superfici W=cost sono anche dette superfici di livello; tra di esse, una ha particolare interesse perché può essere associata ad un determinato punto P0 appartenente anche alla superficie del mare. Questa superficie W0 prende il nome di geoide o di superficie matematica della Terra.



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Verticale

Le linee di forza del campo della gravità sono perpendicolari alle superfici di livello e prendono il nome di linee verticali.La tangente in un punto P ad una linea verticale (quindi normalealla superficie di livello alla quale appartiene il punto) prende il nome di verticale. Il geoide è una superficie normale in ogni punto alla direzione della verticale. La verticale è la direzione della forza di gravità, definita in direzione e modulo in ogni punto collegato alla Terra.



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he Il geoide rappresenta la superficie perfetta di riferimento per la

Terra, perché la sua normale coincidente con la verticale, èfisicamente determinabile (filo a piombo) in ogni punto della Terra. Il geoide, però, non può essere rappresentato da una equazione matematica semplice; al contrario, essa è assai complessa tanto che la sua equazione non può essere scritta da una forma chiusa e per di più non si è in grado di determinarla esattamente.L’equazione del geoide (superficie matematica della Terra), espressa come potenziale della forza di gravità è la funzione scalare:

Equazioni del geoide (superficie matematica della Terra)

)(2

1

)()()(),,(

222

222yx

zcybxa

dmzyxW ++

−+−+−= ∫ ωµ

non risolvibile perché non è conosciuta la distribuzione delle masse all’interno della Terra.Nell’ipotesi di densità costante invece avrebbe la forma:

)(2

1

)()()(),,(

222

222yx

zcybxa

dcdbdazyxW ++

−+−+−

⋅⋅= ∫ ∫∫ ωρµ

non risolvibile, perché l’ipotesi della densità ρ costante non ècorretta.



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Ellissoide di rotazione

- approssima la superficie terrestre meno correttamente del geoide- non è fisicamente individuabile- ha una rappresentazione matematica semplice (è definito in funzione di due soli parametri)In cartografia, è la superficie di riferimento più comunemente utilizzata

Il geoide non può quindi essere considerato, dal punto di vista planimetrico, come superficie di riferimento. Viene utilizzato come “origine” soltanto per le quote.Si considera allora come superficie di riferimento, in una certaarea (fino alle dimensioni di uno Stato o anche di una porzione di continente) l’ellissoide di rotazione, cioè la superficie generata dalla rotazione di un’ellisse attorno all’asse minore (asse polare).L’ellissoide:



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he L’ellissoide di riferimento

Eccentricità Schiacciamento

Asse polare

Piano equatoriale



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(1909)



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Coordinate geografiche e cartesiane geocentriche

ϕϕϕϕ (latitudine): da 0° a 90°N, da 0° a 90°Sλλλλ (longitudine): da 0° a 180°W, da 0° a 180°E

e con le coordinate cartesiane

geocentriche:XP, YP, ZP

Sull’ellissoide un punto viene individuato con le coordinate geografiche ellissoidiche:



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Meridiani e paralleli

Equazione del meridiano: λλλλ = cost.; equaz. del parallelo: ϕϕϕϕ = cost.

Meridiani = sezioni piane (ellissi tutte uguali) ottenute secandol’ellissoide con piani passanti per l’asse polare.Paralleli = sezioni piane (circonferenze) ottenute secandol’ellissoide con piani paralleli al piano equatoriale.



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he Le tre superfici considerate in Geodesia



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he Ondulazioni del geoide

h = H + N dove: h è l’altezza (quota) ellissoidicaH è la quota ortometricaN è l’ondulazione del geoide



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he Nel mondo le ondulazioni geoidiche variano

da +75m a -105m rispetto all’ellissoide WGS84



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Il geoide italiano

In Italia le ondulazioni del geoide rispetto all’ellissoide WGS84 sono tutte positive, e comprese tra 37m e 54m



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Orientamento dell’ellissoide

Per il calcolo di compensazione di un rilievo geodetico (finalizzato, per esempio, alla realizzazione di cartografia) occorre effettuare l’orientamento dell’ellissoide. Tale procedura consiste nell’imporre che in un punto centrale della zona interessata (detto centro di emanazione) la verticale (cioè la normale al geoide) e la normale all’ellissoide coincidano, cioèche in tale punto l’ellissoide risulti tangente al geoide.



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he Deviazione della verticale

Allontanandosi dal cen-tro di emanazione, la direzione della verticale non coincide più con quella della normale all’ellissoide.

L’angolo δδδδ formato dalle due direzioni prende il nome di deviazione della verticale ed ènormalmente dell’ordine di qualche secondo sessagesimale; in zone anomale della superficie terrestre si possono raggiungere valori pari a 30”



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Sfera locale

Sezionando l’ellissoide con piani aventi per costola la normale nper il punto P si ottengono le cosiddette sezioni principali normali; di queste infinite sezioni si considerano quella che contiene il meridiano per P e quella perpendicolare al meridianostesso, detta primo verticale. Il raggio di curvatura del meridiano viene indicato con ρρρρ e rappresenta il raggio minimo, mentre il raggio di curvatura del primo verticale viene indicato con N (Gran Normale) e rappresenta il raggio massimo.



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La sfera di raggio R (media geometrica dei due raggi ρρρρ e N) che oscula l’ellissoide in P (in tale punto cioè le due superfici hanno lo stesso raggio di curvatura) viene detta sfera locale e può essere sostituita all’ellissoide (dal punto di vista planimetrico) in un intorno di 120 km dal punto P (Campo di Weingarten). Tale sfera dipende, oltre che dai parametri dell’ellissoide, dalla latitudine ϕϕϕϕ.



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he Errore planimetrico (Campo topografico)

)(tanRRtanRs'ss ωωωω∆ −=−=−=

2

333

R3

s

3R)

6

2(Rs ==−+=

ωω

ωω∆

2

2

R3

s

s

s=

∆s

s3Rs

∆=

Assegnando a ∆s/s il valore della precisione della misura ed assegnando ad R il valore massimo di 6378 Km si ottiene il massimo valore di s, cioè della distanza entro cui si può lavorare sul piano tangente (campo topografico). Per esempio, con

∆s/s = 2x10-6 si ottiene s = 15.6 Km

Sviluppando in serie tan ω e trascurando i termini del 5° ordine e superiori si ha:

errore assoluto

errore relativo



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he Errore di sfericità

)1R

s1(RRsRR'CQQ

2

222 −+=−+=−=∆

R2

s)1

R2

s1(RQ

2

2

2

=−+=∆

7,8 m2,0 m0,08 m0,02 m0,0008 m ∆∆∆∆Q (m)

10,05,01,00,50,1s (km)

Sviluppando in serie il radicale e trascurando il termine -s4/8R4 e quelli di ordine superiore in quanto molto piccolisi ottiene:



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2a Lezione



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Si definisce datum geodetico un sistema di riferimento che permette di esprimere in termini matematici la posizione di punti della superficie fisica della Terra o prossimi ad essa.E' possibile definire un datum in diversi modi; la definizione ha carattere convenzionale, e nella pratica è legata a una serie di punti materializzati sulla superficie terrestre, ai quali vengono attribuiti determinati valori delle coordinate (tale operazione costituisce la cosiddetta realizzazione del datum).Per la maggior parte delle applicazioni, incluse quelle topografiche, si utilizzano sistemi di riferimento solidali con la Terra. Per la geodesia astronomica e satellitare si utilizzano anche sistemi inerziali, in cui la Terra è in movimento.La definizione di datum geodetico è tridimensionale, ma viene utilizzata prevalentemente per la planimetria. L’altimetria (determinazione delle quote ortometriche o geoidiche) richiede la definizione di un datum a parte (vertical datum).

Datum (sistemi di riferimento geodetici)



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he Nella geodesia classica, la definizione di datum è basata sul

concetto di superficie di riferimento. Nella pratica, la definizione del datum consiste nell’individuare un ellissoide orientato localmente.Si adotta convenzionalmente un determinato ellissoide (ad es. quello di Hayford), del quale sono noti i parametri di dimensione e forma (ad es. semiasse maggiore e schiacciamento).L'ellissoide viene orientato in un dato punto (detto centro di emanazione) imponendo che in quel punto si verifichino le seguenti condizioni geometriche:1. la normale ellissoidica coincida con la verticale;2. la direzione del meridiano ellissoidico coincida con quella del meridiano celeste o astronomico;3. la quota ellissoidica coincida con quella ortometrica.



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Zenit - il punto in cui la verticale del luogo d'osservazione (la direzione del filo a piombo) incontra la volta celeste;

Nadir - l'opposto dello zenit;

Meridiano celeste (astronomico) - il cerchio massimo passante per lo zenit, il nadir ed i poli celesti, che non è altro che la corrispondente proiezione del meridiano geografico, uno dei circoli massimi delle coordinate terrestri;

Riferimenti celesti relativi all'osservatore

Sfera o volta celeste

Superficie sferica di raggio infinitamente grande al cui centro si trova la Terra, e sulla quale appaiono proiettati tutti i corpi celesti

zenit

nadir

meridiano celeste



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La procedura classica di orientamento, in sintesi, è la seguente:- le coordinate geografiche del punto di emanazione vengono determinate per via astronomica (effettuando misure su una serie di stelle fisse con un teodolite astronomico), e si determina rispetto alle stelle anche la direzione del meridiano celeste o astronomico.- le coordinate geografiche astronomiche sono poi attribuite al punto di emanazione come coordinate geografiche ellissoidiche, mentre la coincidenza del meridiano si ottiene imponendo l'azimut ellissoidico pari a quello astronomico per una determinata direzione.Nel datum italiano ROMA 40, ad esempio, l’ellissoide è quello di Hayford, e l’orientamento è stato effettuato a Roma M.Mario (osservatorio astronomico e punto di emanazione della rete geodetica nazionale) con misure astronomiche del 1940. La direzione su cui è stata imposta la coincidenza dell’azimut èil lato M.Mario - M.Soratte della rete geodetica fondamentale.



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Nel punto di emanazione risulta nulla la deviazione della verticale. In pratica, quindi, l'ellissoide orientato localmente risulta tangente al geoide nel punto di emanazione. Un ellissoide orientato approssima bene la superficie geoidica (ai fini della planimetria) in un intorno molto vasto del punto di emanazione, fino alle dimensioni di uno Stato o anche di una porzione di continente.



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La definizione di datum, come si èvisto, è legata a una serie di punti materializzati sul terreno. In pratica, a ogni datum èstrettamente associata una rete geodetica, derivante da un dato gruppo di misure e da un determinato calcolo di compen-sazione che fornisce le coordinate geografiche ellissoi-diche dei suoi vertici. Pertanto la rete geodetica, mediante le coordinate dei suoi vertici, definisce e materializza il datum (costituisce, come si usa dire, la realizzazione del datum).In genere, ogni nazione è dotata di un proprio datum geodetico. In Italia, a causa dell'evoluzione storica delle reti geodetiche e della cartografia, si utilizzano ancora oggi diverse definizioni di datum.



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a) Sistema geodetico nazionale (detto anche "Roma40“): ellissoide internazionale (Hayford) orientato a Roma M. Mario con dati astronomici del 1940.Il meridiano fondamentale è quello di M. Mario: per riferire le longitudini al meridiano di Greenwich va sommata ad esse una costante pari a 12°27'08,400" (longitudine Est di M.Mario da Greenwich).La rete geodetica associata è quella di triangolazione dell'IGM (Istituto Geografico Militare, massimo ente geodetico-cartografico dello Stato), distinta in I, II, III e IV ordine.E' adottato per la cartografia nazionale e regionale (coordinate piane “Gauss-Boaga”), e per la cartografia catastale limitatamente ad alcune province.

Le principali definizioni dei datum nazionali sono le seguenti:



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b) Sistema geodetico ED50 (European Datum): ellissoide internazionale (Hayford) con “orientamento medio europeo”realizzato a Potsdam in Germania.

Il meridiano fondamentale è quello di Greenwich. La rete associata deriva da una selezione delle reti del 1° ordine europee; il calcolo di compensazione è stato eseguito nel 1950 dall’A.M.S. (Army Mapping Service).Viene utilizzato per la definizione delle coordinate piane UTM-ED50, e per il taglio (suddivisione in fogli) della cartografia IGM di nuova produzione e di quella regionale.



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he c) Sistemi geodetici catastali, derivanti dai sistemi

geodetici adottati nei lavori IGM alla fine del secolo scorso o ai primi del '900: i tre datum principali impiegano l'ellissoide di Bessel orientato a Genova (Italia centro-settentrionale), a Castanea delle Furie (Italia meridionale) e a Roma (Italia centrale).

Il meridiano fondamentale è quello passante per il rispettivo punto di emanazione (Genova, M.Mario, Castanea). La rete associata è quella dell’IGM di I, II e III ordine integrata dalle reti catastali di raffittimento (rete, sottorete e dettaglio).

Vengono utilizzati per la definizione delle coordinate piane Cassini-Soldner nella cartografia catastale.



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he Nella geodesia satellitare si utilizzano datum geodetici di

tipo globale, validi cioè per tutto il mondo; si differenziano in questo da quelli della geodesia classica, che come si èvisto avevano validità locale, anche se a volte per zone molto grandi.

La definizione (convenzionale) di un datum globale è basata su una terna d'assi OXYZ geocentrica, avente cioè l'origine coincidente con il centro di massa della Terra e solidale alla Terra; per questo, il sistema è detto anche ECEF (Earth-Centered-Earth-Fixed).La definizione, adottata attualmente per il GPS, è detta WGS 84 (World Geodetic System, Sistema Geodetico Mondiale).



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Alla terna cartesiana OXYZ è associato un ellissoide geocentrico, avente centro coincidente con quello della terna ed assi orientati secondo le direzioni XYZ. I parametri dell'ellissoide adottato sono i seguenti:a = 6378137 m

s = 1/298.2572221

XWGS84

Meridiano di Greenwich Centro di massa

della terra

Equatore

YWGS84

ZWGS84

Il sistema WGS84

Asse polare (rotazione) terrestre

X diretto secondo il meridiano di Greenwich

O



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La figura mette in rilievo la differenza tra i datum della geodesia classica, che possono essere definiti locali o regionali in quanto approssimano bene il geoide solo in un intorno del punto di emanazione, e il datum globale WGS 84, che approssima il geoide nel suo complesso ed è valido per tutto il mondo.



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I datum locali o regionali, concepiti per le misure classiche, realizzano l'obiettivo di rendere bassa la deviazione della verticale in modo da poterla trascurare, permettendo così di trasferire gli angoli misurati dal terreno all'ellissoide, senzacorrezioni. Le ondulazioni geoidiche rispetto a un ellissoide di questo tipo, nell’area di utilizzo, sono modeste (qualche metro). Questi datum classici vengono utilizzati solo come datumorizzontali, cioè solo ai fini della planimetria. Per l'altimetria, sono integrati da un datum verticale che consiste praticamente in una definizione di geoide.



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Datum altimetrico

La definizione di un datum altimetrico richiede che siano individuati:• una origine (“zero”) delle quote (collegata a un mareografo)• una rete altimetrica (di livellazione) associata al datum, che “porti” le quote su tutto il territorio



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he Il datum globale è invece concepito come supporto alle

misure satellitari: ad esso sono riferite le coordinate orbitali (effemeridi) dei satelliti che ruotano attorno alla Terra, per cui è indispensabile assumere una definizione unica per tutto il mondo. La deviazione della verticale varia da zona a zona, e le ondulazioni geoidiche rispetto all’ellissoide geocentrico possono raggiungere valori di svariate decine di metri, positive o negative.

Il datum globale viene utilizzato come datumtridimensionale, permettendo di definire l'altimetria mediante le altezze ellissoidiche; con un opportuno modello di geoide (andamento delle ondulazioni geoidiche), le altezze ellissoidiche vengono poi ridotte a quote ortometriche.



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Qual’è l’implicazione pratica dell’utilizzo di un determinato datumpiuttosto che di un altro?

Le differenze di forma e dimensioni degli ellissoidi associati ai diversi datum, e la diversa posizione rispetto alla superficie fisica della Terra dovuta al diverso orientamento, fanno sì che le coordinate geografiche di uno stesso punto valutate in datumdiversi siano sensibilmente differenti tra loro.

Le differenze possono essere anche dell'ordine di alcune centinaia di metri: è quindi sempre indispensabile stabilire con precisione il datum in cui si opera, quando si assegnano o si utilizzano coordinate di punti.

Una volta che sia stato definito il datum geodetico in cui si opera, la posizione di un punto può essere individuata, pur restando nellostesso datum, mediante diversi sistemi di coordinate, tra di loro praticamente equivalenti perché è possibile passare dall'uno all'altro con le opportune formule di trasformazione.



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he Sistemi di coordinate

I principali sistemi di coordinate utilizzati nella geodesia operativa, sono:

•Coordinate geografiche ellissoidiche

•Coordinate cartesiane geocentriche (ellissocentriche)

•Coordinate cartesiane locali

•Coordinate geodetiche locali (cartesiane e polari)

•Coordinate piane cartografiche

Nelle diapositive seguenti sono illustrate le rispettive caratteristiche ed i relativi campi di applicazione



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he Coordinate geografiche ellissoidiche

Le coordinate geografiche ϕϕϕϕ (latitudine) e λλλλ (longitudine) sono state definite trattando la geometria dell’ellissoide. La coppia di valori (ϕϕϕϕ, λλλλ) definisce la posizione planimetrica di un punto, ovvero la posizione della proiezione del punto sull’ellissoide.

Tra tutti i tipi di coordinate, le geografiche sono quelle di impiego più generale: vengono utilizzate per fornire i risultati della compensazione delle reti (sia trigonometriche classiche che GPS), per individuare i vertici nelle monografie e nei cataloghi, e per i problemi di posizionamento e georeferenziazione in generale.



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Coordinate cartesiane geocentricheLe coordinate geocentriche (X, Y, Z) sono le coordinate cartesiane di un punto rispetto alla terna d'assi geocentrica OXYZ (fig.2). La terna di valori (X, Y, Z) definisce la posizione tridimensionale di un punto in modo del tutto equivalente alla terna (ϕ, λ, h) riferita all'ellissoide geocentrico, avente gli assi lungo le direzioni X, Y, Z.Le coordinate geocentri-che individuano la posizio-ne tridimensionale di un punto senza ambiguità. Di solito, però, si preferisce esprimere i risultati di un rilevamento con le coordinate geografiche, il cui significato risulta più intuitivo e confrontabile con risultati di misureclassiche.



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s (geodetica); αααα (azimut);Prende nome di “geodetica” la linea più breve che unisce due punti diversi su di una superficie, e per questo ne indica la relativadistanza. Prende il nome di “azimut” l'angolo formato dalla geodetica con il meridiano per P0 , contato in senso orario a partire dal Nord.

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Geodetica e azimut



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Coordinate geodetiche locali

La posizione planimetrica di un punto può essere espressa mediante le coordinate geodetiche polari (s, α) rispetto ad un punto P0dell'ellissoide assunto come origine (detto polo), definito dalle sue coordinate geografiche (ϕϕϕϕ, λλλλ). La coordinata s (distanza polare) rappresenta la distanza del punto dal polo, misurata lungo un arco di geodetica, mentre α (detto azimut geodetico o semplicemente azimut) è l'angolo formato dalla geodetica con il meridiano per P0 , contato in senso orario a partire dal Nord.

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Polo



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In modo equivalente, la posizione planimetrica di un punto può essere espressa mediante le coordinate geodetiche ortogonali o rettangolari (X, Y) rispetto ad un punto P0 noto, assunto come origine. La coordinata X rappresenta la lunghezza dell'arco di meridiano compreso tra P0 e P', piede della geodetica perpendicolare al meridiano condotta da P. La Y è la lunghezza dell'arco di geodetica P'-P. Le coordinate geodetiche ortogonali coincidono con le coordinate piane cartografiche Cassini-Soldner ancora utilizzate dal Catasto in molte province.

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Arco di geodetica

Arco di meridiano



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he Coordinate piane cartografiche

La posizione planimetrica di un punto può essere espressa, come si vedrà, anche mediante le sue coordinate piane in una qualsiasi rappresentazione cartografica. Dato che la rappresentazione cartografica stabilisce una corrispondenza biunivoca tra ellissoide e piano della carta, le coordinate piane cartografiche sono in pratica del tutto equivalenti alle coordinate geografiche ellissoidiche (ϕϕϕϕ, λλλλ), alle quali possono essere ricondotte con le equazioni della carta e le inverse.

In Italia, vengono utilizzate prevalentemente le coordinate Gauss-Boaga (N, E), le coordinate UTM-ED50 e le coordinate catastali Cassini-Soldner (X, Y). Per la loro praticità d’uso, le coordinate cartografiche sono le più utilizzate per definire le posizioni planimetriche nei rilevamenti, sia nella fotogrammetria che nel rilievo a terra con tecniche topografiche tradizionali oGPS.



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Trasformazioni di coordinate all'interno di un datum

Prima di presentare i procedimenti di trasformazione più ricorrenti, èopportuno sottolineare la differenza fra trasformazioni di coordinate (nell'ambito di uno stesso datum geodetico) e trasformazioni di datum (passaggio da un datum geodetico ad un altro). Si tratta di due operazioni concettualmente ben distinte:• Le trasformazioni di coordinate sono generalmente risolubili in forma analitica chiusa, o comunque con operazioni geometrico-matematiche ben definibili teoricamente, che nella maggior parte dei casi non comportano in pratica alcuna perdita di precisione dei dati originari se non per gli arrotondamenti di calcolo.• Le trasformazioni di datum, essendo i datum “realizzati” da reti geodetiche affette da errori, si basano necessariamente sull'utilizzo di parametri determinati statisticamente in base alla conoscenza delle coordinate in entrambi i datum di un certo numero di punti. Di conseguenza, questo secondo tipo di passaggi comporta quasi sempre indeterminazioni di uno o più ordini di grandezza superiori a quelle derivanti da una trasformazione di coordinate.



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he I problemi di trasformazione di coordinate più significativi e più

ricorrenti nella pratica sono:•da geografiche ellissoidiche a cartesiane geocentriche (e viceversa): è una trasformazione tipica delle applicazioni GPS. E' tridimensionale, interessa cioè contemporaneamente planimetria e altimetria.•da cartesiane geocentriche a cartesiane locali e viceversa•da geodetiche polari a geografiche (e viceversa)•da geografiche a geodetiche rettangolari (e viceversa): è una trasformazione che interessa la sola planimetria e viene utilizzata prevalentemente per il calcolo delle coordinate catastali piane Cassini-Soldner, che sono numericamente uguali alle coordinate geodetiche rettangolari.•da geodetiche polari a geodetiche rettangolari (e viceversa)•da geografiche a piane cartografiche (e viceversa): la trasforma-zione si effettua (in base al tipo di rappresentazione cartografica adottato) con le formule di corrispondenza dirette ed inverse. La trasformazione è relativa alla sola planimetria.



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Principali trasformazioni di coordinate eseguibili all’interno di un datum



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Trasformazioni di datum geodeticoSi tratta in questo caso di passare da un sistema di riferimento geodetico ad un altro. Uno stesso punto P riferito a due diversi datum geodetici ha coordi-nate geografiche diverse. Le differenze possono essere notevoli. Ad esempio, le coordinate geografiche e cartografiche di Roma M. Mario espresse in diversi datum sono le seguenti:

La massima differenza in latitudine è di quasi 6", che corrispondono a circa 180 metri. Le procedure utilizzate in geodesia per effettuare trasformazioni di datum possono essere raggruppate in due categorie: - procedimenti basati su una trasformazione fra sistemi cartesiani nello spazio;

- trasformazioni di tipo empirico valide localmente.

Datum longitudine latitudine coord. EST coord. NORD

(da Greenwich) (fuso 32) (fuso 32)

Roma40 (G.B.) 12°27' 08.40" 41°55' 25.51" 1 786 287.015 4 647 159.219

ED50 (UTM) 12°27' 10.93" 41°55' 31.49" 786 337.867 4 647 345.947

WGS84 (UTM) 12°27' 07.66" 41°55' 27.85" 786 253.931 4 647 148.353



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he Trasformazioni fra sistemi cartesiani tridimensionali

La trasformazione di datum viene eseguita operando sulle coordinate cartesiane geocentriche nei due sistemi. Si passa, quindi, da unsistema cartesiano nello spazio ad un altra terna cartesiana, traslata e diversamente orientata rispetto alla prima (con eventuali variazioni di scala e distorsioni).



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La procedura di trasformazione più frequentemente utilizzata, conosciuta come trasformazione di Helmert, consiste in una rototraslazione nello spazio, con un fattore di scala. La forma della trasformazione di Helmert è la seguente:

X2 = X0 + (1 + k) R X1 (1)

nella quale X0 è un vettore comprendente i 3 parametri di traslazione X0, Y0, Z0:

mentre R è la matrice di rotazione, definita in funzione di 3 parametri di rotazione Rx, Ry, Rz (rotazioni attorno a ciascuno dei tre assi). Il fattore di scala k viene inserito per tener conto delle differenze di scala che inevitabilmente caratterizzano due diversi datum.



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he I parametri da cui dipende la trasformazione sono quindi 7 (tre

traslazioni, tre rotazioni e un fattore di scala) e vengono stimati ai minimi quadrati sulla base della conoscenza delle coordinate in entrambi i sistemi di un congruo numero di punti.Ogni punto "tridimensionale" (cioè planimetrico e altimetrico) noto in entrambi i sistemi permette di scrivere, mediante le (1), tre equazioni (una per coordinata) nelle quali sono incogniti i sette parametri. E' quindi necessario disporre di almeno tre punti"tridimensionali" comuni ai due sistemi (punti doppi); in pratica se ne utilizza un numero maggiore, per controllare l'affidabilitàdella trasformazione attraverso i residui sulle coordinate dei punti noti.

X2 = X0 + (1 + k) R X1 (1)



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Una variante della trasformazione di Helmert consiste nell'utilizzare le formule di Molodenskij, che si basano sempre, concettualmente, sulla roto-traslazione a sette parametri, ma sono scritte in coordinate geografiche, e realizzano quindi il passaggio in modo piùimmediato.Il vantaggio delle espressioni di Molodenskij consiste nel poter utilizzare, ai fini del calcolo dei sette parametri, anche punti noti solo in planimetria (ad es. vertici di rete catastale) o solo in quota (ad es. capisaldi di livellazione).Per entrambe le trasformazioni, ai fini della stima dei parametri, èbuona regola che i punti comuni ai due sistemi (punti doppi) siano ben distribuiti nell'area interessata.



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Questa scelta presentava tuttavia problemi di continuità di soluzione tra zone contigue.

Oggi è in uso una procedura di trasformazione continua attraverso un grigliato regolare di parametri di trasformazione che copre l’intero territorio nazionale.

Attraverso il programma VERTO (realizzato dall’IGM) è possibile realizzare il passaggio di datum.

Lo stesso programma (al cui interno è inserito il modello di geoide ITALGEO99) consente anche il passaggio da altezze ellissoidiche a quote ortometriche per tutto il territorio nazionale.

L’IGM, per i vertici della rete IGM95, ha fornito anche i valori dei 7 parametri della trasformazione di Helmert dal datum WGS84 al datum Roma 40 (la trasformazione più ricorrente nel caso dei rilievi GPS). Per ogni vertice della rete è stato stimato un set di parametri valido nell’intorno di tale vertice (10 Km), e inserito nella monografia del vertice stesso.



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Trasformazioni di tipo empirico valide localmentePer problemi di trasformazione locali (zone non troppo estese), può essere in certi casi vantaggioso ricorrere a procedimenti più semplici. Un procedimento consiste nel passaggio diretto da coordinate piane cartografiche nel 1° datum a coordinate piane cartografiche nel 2°datum.Un esempio di trasformazione di quest’ultimo tipo è quella calcolata da P.Bencini (IGM) per passare dalle coordinate GB (Datum Roma 40) alle coordinate UTM-ED50 (Datum ED 50) e viceversa. Il procedimento èbasato su formule polinomiali del quarto grado, con 18 coefficienti da stimare. La stima di tali coefficienti è stata effettuata dividendo l'Italia in 8 zone, e calcolando un set di coefficienti per ciascuna di tali zone. L'approssimazione è dell'ordine del metro. Queste espressioni sono state utilizzate dall'IGM, ad esempio, per il calcolo delle coordinate GB dei vertici degli elementi delle CTR.Altre espressioni polinomiali in uso all'IGM servono per trasformare coordinate geografiche dei datum prebellici (ellissoide di Besselorientato a Genova, a M. Mario o a Castanea delle Furie) in coordinate geografiche nel sistema geodetico nazionale (ROMA40). Sono particolarmente utili per effettuare la trasformazione di datum tra sistema nazionale e sistemi catastali (Antongiovanni).



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Principali trasformazioni di coordinate e di datumdella cartografia italiana

La Terra vista da un satellite...

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