La statistica nella ricerca scientifica

Pubblicazione dei risultati → Presentazione dei dati e la loro elaborazione devono seguire criteri universalmente validi

Impossibile verifica dei risultati da parte di altri studiosi → raccolta dati non corretta, loro presentazione inadeguata ed analisi statistica non appropriata

La metodologia statistica rappresenta uno strumento indispensabile per lo studio, l’interpretazione e la divulgazione delle informazioni contenute

nei dati sperimentali

La metodologia statistica fornisce un criterio oggettivo alla spiegazione del fenomeno

La ricerca sperimentale procede secondo le seguenti fasi:

Osservazione del fenomeno

Formulazione dell’ipotesi

Sperimentazione

Raccolta dati

Discussione

Accettazione o rifiuto dell’ipotesi

Disegno sperimentale Permette che le osservazioni in natura e le ripetizioni in laboratorio sono scelte e programmate in funzione della ricerca e delle ipotesi esplicative e non casuali

Campionamento Permette di raccogliere i dati in funzione dello scopo della ricerca

Descrizione Insieme delle tecniche utilizzate per la sintesi dei dati grezzi in parametri statistici (media, deviazione standard, ecc.)

Utilizzazione del test statistico Processo logico­matematico che, mediante il calcolo di probabilità specifiche, porta alla conclusione di non o poter respingere l’ipotesi della casualità

Come è organizzata la metodologia statistica?

Principi e definizioni

Popolazione: totalità degli individui aventi in comune

almeno un carattere

Variabile: caratteristiche di una popolazione che può essere misurata

2A. Variabile Discreta: assume solo valori isolati 2B. Variabile Continua: tutti i valori di un intervallo

1. Variabile qualitativa: generate da risposte categoriali (es. con un test sulla tossicità, le cavie muoiono o sopravvivono; con un farmaco, i pazienti

guariscono o rimangono ammalati; ecc.); 2. Variabile quantitativa: risultato di risposte numeriche ( es., per un’analisi del dimorfismo animale, le dimensioni dell’organo o il peso dei maschi e

delle femmine)

Parametro: stima delle caratteristiche della popolazione Es. la lunghezza del fusto è di 10 cm

Lunghezza → variabile 10 cm → parametro

Campione: parte della popolazione

Fattore: elemento, antropico o naturale, esterno alla popolazione che modifica in maniera più o meno evidente i parametri della popolazione. Es., l’irrigazione, la concimazione, la tessitura del suolo, ecc.

Livelli: i livelli ai quali i fattori sono testati Es., dose di fertilizzante, diversi gradi di tessitura, ecc.

Trattamenti: il livello o la combinazione di più livelli di uno o più fattori applicato ad un’unità sperimentale.

Es. 0, 10 e 20 Kh/ha di azoto: Azoto → Fattore

Dose fertilizzante → Livello 0, 10 e 20 Kg/ha → Trattamenti

Unità sperimentale: è un’unità di materiale sperimentale alla quale è stato applicato un trattamento.

Es., individuo, una pianta o un’intera parcella

Replica: è un’unità sperimentale ripetuta

0 Kg/ha Azoto

10 Kg/ha azoto

20 Kg/ha azoto

Unità sperimentale

Unità sperimentale

Unità sperimentale

0 Kg/ha Azoto

10 Kg/ha azoto

20 Kg/ha azoto

0 Kg/ha Azoto

10 Kg/ha azoto

20 Kg/ha azoto

1 replica 2 replica 3 replica

Parametro statistico: indice che riassume sinteticamente una o più varianti del campione. Es. media, moda, deviazione standard, ecc.

Inferenza: estensione dei risultati del campione alla totalità della popolazione

Statistica descrittiva: Insieme delle tecniche utilizzate per la sintesi dei

dati grezzi in pochi indici informativi (Es. metodologia per il calcolo della

media, della deviazione standard, ecc.)

Statistica inferenziale: insieme dei metodi con cui si possono elaborare i

dati dei campioni per dedurne omogeneità o differenze nelle

caratteristiche analizzate, al fine di estendere le conclusioni alla

popolazione

Studio di un insieme di dati La sperimentazione porta all’ottenimento di una serie di dati non organizzati

Nessun giudizio sulle ipotesi formulate

“ E’ necessario organizzare i dati in modo sintetico e condensato”

criterio di organizzazione dei dati: distribuzione per classi di frequenza

Esempio: consideriamo 50 osservazioni di altezza di sorgo da fibra

Raggruppamento per frequenza

Raggruppamento per classi di frequenza e frequenza relativa

(numero di individui della classe/numero totale

d’individui)

Formula per calcolo numero di classi

K = 1 + 3.322 log n

K: numero di classi

n: numero osservazioni

Rappresentazion e grafica

Vantaggi Presenta la totalità delle informazioni

Svantaggi A) l’insieme non è chiaro → presentare sotto forma più breve e più chiara

B) l’insieme non si presta a calcoli né a rigorosi confronti → occorre trasformarlo

“ Non è efficace”

Un parametro statistico è più efficace: 1) quanto meglio riassume il contenuto informativo dei dati iniziali con la

minor perdita di informazioni (sintetico) 2) quanto meglio si presta ai calcoli ed ai test ulteriori (numerico e

trasformabile)

2° criterio di organizzazione dei dati: la media La media aritmetica (m) è ottenuta dividendo la somma dei valori per il numero dei casi

Es. consideriamo le seguenti tre serie di misure: A: 99, 100, 101 (media = m = 100) B: 90, 100, 110 (media = m = 100) C: 1, 100 ,199 (media = m = 100)

Risultato: la media da sola non è in grado di fornire una sufficiente informazione sul campione da cui è estratta.

E’ necessario considerare la dispersione di valori attorno alla media cioè la variabilità del set di dati

La variabilità può essere espressa in diversi modi: 1. Intervallo di variazione: differenza tra il valore massimo e minimo;

2. Devianza o scarto quadratico medio: somma delle singole distanze dalla media elevate al quadrato

3. Varianza (s 2 ): rapporto tra la devianza ed il numero delle osservazioni meno 1 (gdL)

4. Deviazione standard (s): radice quadrata della varianza; 5. Coefficiente di variazione (CV): rapporto tra la deviazione standard e la

media il tutto per 100

16,12 0 101,5

0,25 19,8 ­ 20,3 = ­0,5 19,8

5,29 22,6 ­ 20,3 = 2,3 22,6

2,56 18,7 ­ 20,3 = ­1,60 18,7

3,61 22,2 ­ 20,3 = 1,90 22,2

4,41 18,2 ­ 20,3 = ­2,1 18,2

Quadrati degli scarti Scarti valori

Esempio: calcolare la media, la varianza e la deviazione standard delle produzioni parcellari di frumento (Kg)

Totali

1. Media (m) = 101,5 Kg

2. Varianza (s 2 ) : somma quadrati degli scarti/ Gradi libertà 16,12 / 4 = 4,03

3. Deviazione standard (s): √Varianza √4,03 = 2,0074

Gradi di libertà: numero osservazioni meno uno

(n­1) = 5­1=4

Numero osservazioni (n) = 5

Soluzione

Che cosa significa “ gradi di libertà”

I gradi di libertà sono “ la quantità di dati necessaria alla stima di un parametro, ossia il numero di dati indipendenti”

Matematicamente corrispondono al numero delle osservazioni meno 1

16,12 0 101,5

0,25 19,8 ­ 20,3 = ­0,5 19,8

5,29 22,6 ­ 20,3 = 2,3 22,6

2,56 18,7 ­ 20,3 = ­1,60 18,7

3,61 22,2 ­ 20,3 = 1,90 22,2

4,41 18,2 ­ 20,3 = ­2,1 18,2

Quadrati degli scarti Scarti valori

Consideriamo l’esempio precedente

La somma degli scarti è uguale a 0 Per poter determinare la somma dei quadrati degli scarti è sufficiente disporre di tutti gli

scarti meno uno poiché quest’ultimo è ricavabile per

differenza (cioè non è indipendente)

Se non è indipendente significa che la sua informazione è già contenuta implicitamente negli

altri dati

Distribuzione normale: relazioni campione ­ popolazione

I parametri statistici, media, varianza e deviazione standard, fin qui discussi sono relativi ad un campione, poiché teoricamente è impossibile

determinare tali parametri per un’intera popolazione

Fino a quale punto i dati raccolti su un campione permettono di stimare le caratteristiche della popolazione di origine?

Per dare una risposta a tale domanda facciamo il percorso inverso: partiamo dalle caratteristiche della popolazione per arrivare a quelle

del campione

L’esperienza ha dimostrato che le variabili biologiche quantitative di una popolazione sono “ distribuite normalmente”

Distribuzione del peso di 175 topi Distribuzione del peso di un numero elevatissimo di topi

Che significa “ distribuite normalmente” ?

In una popolazione normalmente distribuita si ha un addensamento dei

valori attorno ad una frequenza massima ed una dispersione simmetrica che

declina man mano che ci si allontana dai valori centrali.

Tipica curva a campana o di Gauss

Caratteristiche della curva di Gauss

1. è simmetrica rispetto ad un asse 2. l’asse di simmetria coincide con la

media 3. le distanze misurate a partire dalla media sono le deviazioni standard

Media

La media della popolazione (µ) è diversa di quella del campione

La deviazione standard della popolazione (σ) è diversa di quella del campione

Quanto si scosta la media di un campione da una media della popolazione?

Studi matematici hanno calcolato la probabilità che un campione preso a caso dalla popolazione presenta un

valore medio (m) compreso entro certi limiti

La probabilità di estrarre un campione che abbia

1) una media uguale a quella della popolazione ± 1σ è del 68%

m = µ ±1σ → 68%;

2) una media uguale a quella della popolazione ± 2σ è del 95,44%

m = µ ± 2σ → 95,44%;

3) una media uguale a quella della popolazione ± 3σ è del 99,73%

m = µ ±3σ → 99,73%;

Conclusioni: 1. a partire da un campione estratto da

una popolazione, è impossibile calcolare esattamente i parametri µ e σ; 2. è invece possibile stimare i loro valori

più probabili che sono la media del campione (m) e la deviazione standard

(s)

Teorema del limite centrale “ Se una popolazione è distribuita normalmente con una media µ ed una deviazione standard σ, le medie (m 1 , m 2 , …., m n ) di un numero infinito di

campioni, ciascuno composto da n individui estratti a caso dalla popolazione si distribuiscono secondo la curva di distribuzione normale la

cui media è uguale a m e la deviazione standard è uguale a s/√n”

Il valore s/√n viene definito deviazione standard della media o errore standard (s m , SE

Dai dati di un campione è possibile inferire sulla popolazione : 1. m±1sm ha il 67% delle probabilità di contenere la media della

popolazione 2. m±1sm ha il 95% delle probabilità di contenere la media della

popolazione 3. m±1sm ha il 99% delle probabilità di contenere la media della

popolazione

Conclusioni pratiche

1. Una serie di misurazioni devono essere considerati come n individui

di un campione la cui media (m) e deviazione standard (s)

rappresentano la migliore stima della media (µ) e deviazione standard

(σ) della popolazione da cui il campione è estratto;

2. L’estrazione del campione deve essere casuale;

3. Una serie di campioni ognuno aventi n individui ed estratti da una

popolazione, hanno una media m ed una deviazione standard pari a

s/√n che è l’errore standard

Statistica inferenziale: il confronto fra campioni

1

2

In precedenza Confronto fra un

singolo campione e una popolazione

Confronto fra due campioni:

1. Fanno parte della stessa popolazione? 2. Fanno parte di

popolazioni diverse? Praticamente

Si stabilisce, scelto un arbitrario livello di probabilità, se due campioni trattati in maniera diversa siano

significativamente differenti tra loro

Risultati significativi e non­significativi Conoscere con chiarezza 1) le convenzioni abitualmente usate

nell’applicazione dei test statistici e 2) alcune nozioni teoriche fondamentali nell’inferenza.

Test statistico: procedure che, sulla base di dati campionari e con un certo grado di probabilità, consente di decidere se è ragionevole

respingere l’ipotesi nulla H 0 oppure non esistono elementi sufficienti per respingerla.

Ipotesi nulla o H 0 : gli effetti osservati nei campioni sono dovuti a fluttuazioni casuali

1. Se l’H O è accettata → i campioni non sono significativamente differenti: appartengono alla stessa popolazione;

2. Se l’H O non è accettata → i campioni sono significativamente differenti: appartengono a popolazioni differenti;

La scelta delle ipotesi (H 0 ) è fondata sulla probabilità di ottenere per caso il risultato osservato nel campione nella condizione che l’ipotesi

nulla sia vera. Quanto più tale probabilità è piccola, tanto più è improbabile che H 0 sia vera.

La probabilità dipende dal valore stimato con il test o indice statistico (P)

L’insieme di valori ottenibili con il test formano la distribuzione campionaria dell’indice statistico (P) e può essere diviso in due zone:

1. la zona di rifiuto dell’ipotesi nulla (regione critica), che corrisponde ai valori collocati agli estremi della distribuzione; quelli che hanno una

probabilità piccola di verificarsi per caso; 2. la zona di accettazione dell’ipotesi nulla, che comprende i restanti valori

Se il valore dell’indice statistico cade nella zona di rifiuto, si respinge l’ipotesi nulla

Per convenzione, i livelli di soglia delle probabilità sono tre: 0.05 (5%), 0.01 (1%) e 0.001 (0.1%)

Confronto tra due medie con il test di t Student Assunzioni:

A. I campioni provengono da popolazioni distribuite normalmente

B. le rispettive varianze siano omogenee (omoscedasticità)

Quando si utilizza? 1. per il confronto della media di un campione (media osservata) con una generica media attesa

20 21 22 23 24 25 26 VAR1

0

1

2

3

Count

One­sample t test of VAR1 with 7 cases; Ho: Mean = 25.00000

Mean = 23.00000 SD = 1.73205 95.00% CI = 21.39812 to 24.60188 t = ­3.05505 df = 6 Prob = 0.02237

Con probabilità inferiore a 0.05 (di commettere un errore) si rifiuta l’ipotesi nulla, cioè le differenze non sono dovute al

caso

Praticamente: Le sostanze tossiche disperse

inibiscono la crescita delle piante della specie A in modo significativo

Soluzione:

1.1 1.2 1.3 1.4 VAR1

0

5

10

15

Count

One­sample t test of VAR1 with 13 cases; Ho: Mean =1.25000

Mean = 1.23538 99.00% CI=1.18579 to 1.28498 SD= 0.05854 t = ­0.90018 df = 12 Prob = 0.38573

Con probabilità inferiore a 0.01 (di commettere un errore) si accetta l’ipotesi nulla, cioè le differenze sono dovute al caso

Praticamente: La dimensione media dei 13

individui della specie Hetrocypris incongruens pescati nel fiume, non è significativamente diversa da quella degli individui della stessa specie che vivono nei laghi della

regione.

2. Confronto tra le medie di due campioni indipendenti

2A. Confronto tra un campione di individui sottoposti a trattamento ed un altro campione di individui che servono come controllo (non trattato)

Test unilaterale o ad una coda: il test dirà se una media è superiore ad un’altra escludendo a priori che essa possa essere minore. O viceversa, ma

solamente l’una o l’altra.

2B. Confronto tra le medie di due trattamenti diversi

Test bilaterale o a due code: hanno significato tutte le teoriche possibili risposte. Questo test stabilisce se le due medie sono differenti

Entrambi i test si possono attuare sia con campioni indipendenti o appaiati sia su campioni dipendenti o non appaiati

Sono campioni dipendenti o appaiati quando un’osservazione di un campione si accoppia ad una sola osservazione dell’altro campione

Esempio 3

Osservare che i dati sono appaiati

La sostanza può essere la causa di variazioni significative di peso?

Paired samples t test on PRIMA vs DOPO with 10 cases

Mean PRIMA = 168.20000 Mean DOPO = 177.40000 Mean Difference = ­9.20000

99.00% CI = ­18.13032 to ­0.26968

SD Difference = 8.68971 t = ­3.34798

df = 9 Prob = 0.00855

Prob = 0.00855 < 0.05

Si rifiuta l’ipotesi nulla in quanto la probabilità che la differenza riscontrata sia dovuta al caso è minore di 0.05

Praticamente: la nuova dieta determina nelle cavie una differenza ponderale significativa

Sono campioni indipendenti o dati non appaiati campioni formati da individui differenti. Quindi sono due gruppi di osservazioni ottenute in modo indipendente.

Vantaggi: possono avere un numero differente di osservazioni e sono espressione della variabilità casuale

Esempio 4

Gli animali cresciuti nella soluzione con concentrazione algale maggiore (gruppo X 1 )

hanno raggiunto dimensioni significativamente superiori a quelli cresciuti nella soluzione con concentrazione algale minore (gruppo X 2 ) ?

In questo caso i dati sono indipendenti

X2 X1

CONC

2

3

4

5

VARIABL

0 5 10 15 20 Count

0 5 10 15 20 Count

Two­sample t test on VARIABL grouped by CONC$ Group N Mean SD X1 20 4.04430 0.12596 X2 20 3.05135 0.08995

Separate Variance t = 28.68940 df = 34.4

Prob = 0.00000 Difference in Means = 0.99295 95.00%

CI = 0.92264 to 1.06326

Pooled Variance t = 28.68940

df = 38 Prob = 0.00000

Difference in Means = 0.99295 95.00% CI = 0.92289 to 1.06301

Prob = 0.00000 << 0.05

Si rifiuta l’ipotesi nulla in quanto la probabilità che la differenza riscontrata sia dovuta al caso è

minore di 0.05

Praticamente La maggior concentrazione algale

influisce in modo altamente significativo sulla maggior crescita

delle Daphnie

Esempio 5

Dati indipendenti e mancanza di un dato

X2 X1

ROCCE

6

7

8

9

PH

0 5 10 15 Count

0 5 10 15 Count

Two­sample t test on PH grouped by ROCCE

Group N Mean SD X1 12 8.11667 0.12287 X2 13 7.13615 0.17727

Separate Variance t =16.17330 df = 21.4

Prob = 0.00000 Difference in Means = 0.98051

95.00% CI = 0.85458 to1.10644

Pooled Variance t =15.93822 df = 23

Prob = 0.00000 Difference in Means = 0.98051

95.00% CI = 0.85325 to 1.10778

Si rifiuta l’ipotesi nulla in quanto la probabilità che la differenza riscontrata sia

dovuta al caso è minore di 0.05

Praticamente I due gruppi di laghi hanno un pH medio statisticamente

molto diverso

Errore di I e II tipo

In ogni confronto è possibile, per effetto del caso: 1. che venga considerato diverso (rifiuto dell’ipotesi nulla) ciò che in realtà non

lo è (errore di tipo I o α) 2. che venga considerato simile (accettazione dell’ipotesi nulla) ciò che in

realtà è differente (errore di tipo II o β)

Non è possibile evitare tali errori, ma è possibile stabilire un limite massimo in cui il caso possa condurre a commettere errori

All’inizio di ogni test si stabiliscono i valori di α o β

Lo scarto di α dall’unità rappresenta il livello di protezione del test Esempio: con α=0.05, il livello di protezione è pari a 0.95 cioè al 95% delle probabilità

Lo scarto di β dall’unità, rappresenta il livello di potenza del test cioè la capacità di evidenziare differenze

Esempio nell’utilizzare diversi livelli di protezione e potenza del test

Se si effettua una prova di pre­screening per individuare specie di

probabile interesse per la produzione di biomassa, potrebbe essere utile

abbassare il livello di protezione (a=0.1) a vantaggio di una maggiore

potenza del test.

Quindi, è meglio correre il rischio di includere specie che potrebbero

essere inferiori, piuttosto che eliminare specie che potrebbero rivelarsi di

estremo interesse

La potenza del test

1. diminuisce all’aumentare di a

2. Aumenta se l’effetto del trattamento è maggiore

3. Aumenta se la varianza diminuisce (incremento del numero delle osservazioni)

Analisi della varianza (ANOVA)

Nella ricerca sperimentale, il confronto avviene spesso simultaneamente tra più di due gruppi di individui

“ Non è corretto ricorrere al test t Student per ripetere l’analisi tante volte quanti sono i possibili confronti a coppie tra i singoli gruppi”

Perché ?

Con il t test 1. si utilizza solo una parte dei dati

2. la probabilità α prescelta per l’accettazione dell’ipotesi nulla è valida solamente per ogni singolo confronto

L’analisi della varianza consente di effettuare il confronto simultaneo tra più medie mantenendo invariata la probabilità α prefissata

Novità introdotta dall’ANOVA: Permette di scomporre e di misurare l’incidenza delle diverse fonti di

variazione sui valori osservati di due o più gruppi

Permette la ripartizione della varianza totale della variabile dipendente nella varie componenti attribuibili a fonti di variabilità nota (variabili indipendenti)

e non nota (errore) Esempio Con il t test Per confrontare l’effetto di due tossici su un gruppo di cavie questi dovevano essere raggruppati il più omogeneo possibile. Cioè gli animali dovevano essere raggruppati per sesso, età, dimensione, ecc. Quindi, le conclusioni sono limitate

al gruppo di animali con le caratteristiche prescelte, senza la possibilità di estensione ad altri caratteri. Per comprendere l’incidenza degli altri caratteri si

doveva ripetere l’esperimento variando un carattere alla volta.

Con l’ANOVA Conoscendo le cause ed i diversi fattori, è possibile attribuire ad ognuna di

essi la parte di effetto determinata e contemporaneamente ridurre la variabilità d’errore.

Quindi, posso testare contemporaneamente l’effetto dei diversi fattori e le loro interazioni:

1) sesso 2) età

3) dimensioni

Il giudizio di significatività viene dedotto dal rapporto tra varianza apportata dal trattamento (oggetto d’indagine) e quella dovuta ai fattori non controllabili (errore

o varianza dovuta al caso). Tale rapporto (F oss ) viene poi confrontato con la distribuzione di F (statistica di

Fisher) (F tab )

Se F oss ≥ a F tab , alla probabilità prefissata (α=0.05 o α=0.01)

L’ipotesi nulla può essere rifiutata → almeno una delle medie è diversa dalle altre

Assunzioni

’errore e le osservazioni devono essere distribuite normalmente ed indipendentemente

2. le varianze dei campioni devono essere omogenee (omoscedasticità)

3. le varianze dei campioni non sono correlate alle rispettive medie

4. gli effetti principali devono essere additivi

1A. Distribuzione normale ed indipendente dell’errore

Procedura 1. Costruire la tabella degli

errori: ad ogni dato si sottrae la media generale, quella del trattamento e quella del blocco (se è un

disegno a blocchi randomizzati)

2. Osservare l’andamento dell’errore: es. errori

differenti tra i trattamenti indicano non indipendenza L’errore è simile nei blocchi 1 e 4, e 2 e 3,

per cui non è distribuito in modo

randomizzato

Soluzione: trasformazione dei dati

1B. Le osservazioni devono essere distribuite normalmente

Test di Kolmogorv­Smirnov

2. Le varianze dei campioni devono essere omogenee (omoscedasticità)

Test negativo: trasformazione dei dati

Test Hartley Test Cochran Test Bartlett Test Levene

Test Bartlett si utilizza quando ci sono dati mancanti

Test Levene è preferibile in quanto è il più robusto

Comunque per osservare che le varianze sono omogenee è bene controllare graficamente la distribuzione dell’errore sia prima del test sia dopo aver

trasformato i dati

Test negativi: trasformazione dei

dati

4. gli effetti principali devono essere additivi Test di Tukey

Trasformazione dei dati

La trasformazione dei dati stabilizza le varianze, normalizza le distribuzioni e linearizza i rapporti fra le variabili

Esistono diversi tipi di trasformazione: logaritmica, esponenziale, ecc.

Considerazioni per la scelta del tipo di trasformazione:

1. La logaritmica → effetto moltiplicativo dell’errore o quando la varianza è correlata alla media

2. radice quadrata → rende le varianze omogenee

3. reciproci → efficace quando la varianza aumenta in modo molto pronunciato rispetto alla media

4. trasformazioni angolari → dati in proporzioni o percentuali

Analisi della varianza a un criterio di classificazione (ANOVA I)

Caratteristicihe

1 fattore a più livelli

Esempio 6

Source Sum­of­Squares df Mean­Square F­ratio P

FATTORE$ 0.50294 2 0.25147 2.53815 0.12043

Error 1.18890 12 0.09908

P > 0.05 per cui si accetta l’ipotesi nulla, cioè le differenze sono dovuta al caso

Praticamente Le tre zone non mostrano differenze significative nella quantità in ferro

Confronti multipli o a posteriori Quando il confronto statistico avviene fra più di due campioni e l’ANOVA

mostra differenze significative,

per conoscere quali gruppi sono significativamente differenti e quali no

confrontano le medie

I confronti possono avvenire fra singole medie o fra gruppi di medie

Cultivar X Cultivar Y

20 Kg/ha azoto 80 Kg/ha azoto

X20 X80 Y20 Y80

X Y

20 40

Confronto 1 2 3

Confronto semplice Confronto complesso