Teoria degli Errori� Come si raccolgono, interpretano i dati e come si presentano i

risultati di un esperimento?

� Cosa significa che uno strumento è più preciso di un altro?

� Quando vale la pena di ripetere più volte una misura? E quantevolte ?

� Cosa fare di un dato che non va d’accordo con gli altri ?

� Risposta quantitativa in termini di probabilità !

1

Errori Casuali� Errori come incertezze (fluttuazioni casuali, in generale simme-

triche attorno al valore vero)

� sono inevitabili nelle misure ;indipendentemente dalla precisione dell’apparato di misura.

es. misure ripetute con risultati diversi.

es. misure non ripetibili

es. misure ripetute, con risultato un solo valore ben definito (l’er-rore proviene dalla ‘sensibilità ’ dello strumento)

� Non si misura mai il “valore vero ” di una grandezza:scopo dell’esperimento è stimarlo con tutta l’accuratezza neces-saria.

� È importante che il risultato sia fornito insieme all’accuratezzacon cui è stato misurato.

2

Errori sistematici� Non tutti gli errori sono incertezze (fluttuazioni casuali).

Esistono gli sbagli (trascureremo questa categoria nel corso teo-rico), ed esistono gli errori sistematici.

� Costituiscono errori sistematici tutti quegli effetti reali che ven-gono tuttavia trascurati in un esperimento:

– Tipo teorico (resistenza dell’aria nella caduta di un grave, at-trito in un pendolo, rifrazione della luce in una lettura di scalaattraverso un vetro, espansione del regolo misuratore con latemperatura, ecc.)

– Tipo strumentale (errori nelle divisioni delle scale graduate,eccentricità di cerchi graduati che dovrebbero essere concen-trici, ecc.)

Gli errori sistematici sono:3

� Eliminabili in linea di principio, calcolando l’effetto (o calibran-do lo strumento) e correggendo (se sono piccoli rispetto all’accu-ratezza richiesta può non essere conveniente farlo!)

� Non distribuiti simmetricamente

4

Cifre Significative� È impossibile dire se una cifra è significativa se non si indica

l’errore !

� L’ultima cifra significativa di un risultato è quella dello stessoordine di grandezza (nella stessa posizione decimale) dell’errore.

� Sono non significative le cifre del risultato che rappresentanouna frazione piccola (< 1=3,< 1=10) dell’errore!

� Esempio:il risultato x = 5382:31� 20 non ha sensoscriverò =) x = 5380� 20

se Æx = 5 il risultato va presentato così

=) 5382� 5

5

Rappresentazione ed Utilizzo degli errori� Il risultato di un esperimento va sempre espresso nella forma:

x� Æx con Æx > 0

dove x è la migliore stima del valore vero (xv) e Æx è “l’errore su

x”: Æx è tale che nell’intervallo [x� Æx; x+ Æx] è probabile chesi trovi il valore vero xv. Vedremo che Æx è scelto in maniera taleche [x� Æx; x+ Æx] ha il 68% di probabilità di contenere xv

6

Errori relativi� Se x� Æx allora:

l’ errore relativo (o errore frazionario) =

Æxjxj

� Quantità adimensionale: perchè Æx ha le stesse dimensioni di x

� Moltiplicato 100 dà l’errore percentuale (%)

7

Distribuzione� Un insieme di misure costituisce una Distribuzione:

� illustreremo quindi i vari tipi di distribuzioni ed i loro parametripiú significativi.

� Supponiamo, per esempio, di avere fatto 9 misure di qualchegrandezza x ed otteniamo 6 valori distinti:

2.2, 2.4, 2.6, 2.75, 2.85, 3.0

N = 9 numero delle misure

M = 6 numero di valori distinti

8

� La Distribuzione Discreta di queste misure in un piano cartesia-no riporta in ascisse i valori, in ordinate il numeronk di volte checiascun valore è stato ottenuto (frequenza assoluta); se sommia-mo tutti i numeri nk, allora otteniamo il numero totale di misure

9

fatte, cioé:

MXk=1nk = N

� Un modo diverso si esprimere questi concetti è attraverso la de-finizione di frequenza relativa

Fk =

nkN

� Se in ordinata riportiamo la frequenza relativa la distribuzio-ne si dice normalizzata; cioé, la somma delle frequenze relativeper tutti i risultati possibili è uguale a 1. Qualunque insieme dinumeri la cui somma è 1 è detta essere ”normalizzata”.

MXk=1Fk = 1

è quindi chiamata ”condizione di normalizzazione”10

Distribuzione Continua� Possiamo tracciare una curva continua che passi per i punti della

distribuzione discreta; maggiori sono i punti della nostra distri-buzione migliore sará la curva che possiamo tracciare.

� Possiamo introdurre il concetto di distribuzione limite delle fre-quenze per un esperimento infinito:Tale concetto è un’estrapolazione, quindi un’assunzione: In que-sto senso non si osserva mai. Ma è utile perchè permette unasemplificazione (soprattutto) matematica.

� Ovviamente la distribuzione limite sarà una curva continua f(x).

� Per la distribuzione continua avremo che la frazione di misure-eventi che cadono nell’intervallo infinitesimo dx, con estremoinferiore x, sarà

F (x) = f(x)dx

11

� La condizione di normalizzazione per la curva continua è

Z +1�1

f(x)dx = 1

Una f(x) particolarmente interessante, che soddisfa la condizio-ne di normalizzazione, è la funzione di densità di probabilità(p.d.f.) e l’integrale tra due valori della p.d.f. dá la probabilitàdell’intervallo di valori, cioé :

Z ba

f(x)dxDà la probabilità che una misura dia un risultato compreso tra

x = a e x = b

12

Caratteristiche di una Distribuzione� MEDIA:

– media aritmetica delle misure discrete

x =

NXi=1

xiN

=

MXk=1xkFk;

dove N è il numero totale di misure, M è il numero dimisure con valori diversi. La seconda forma è più utileperchè si generalizza meglio al caso continuo.

– media della distribuzione continua:

x =Z +1

�1

xf(x)dx

� Altro parametro importante è la ”larghezza” della distribu-zione. La deviazione di una misura xk da x si chiama scarto:

�k = (xk � x)

13

� La media aritmetica di questa quantità non è un buon indica-tore di larghezza, infatti è nulla:

MXk=1�kFk =

MXk=1

(xk � x)Fk =MX

k=1Fkxk � x

MXk=1Fk =

= x� x � 1 = 0

� Usiamo quindi scarto (deviazione) quadratico medio �2

- discreta

�2 =

MXk=1�2kFk =

MXk=1Fk(xkN � x)2

Oppure calcolata con la solita notazione:

�2 =

NXk=1

(xk � x)2

N

14

- continua

�2 =Z +1

�1

(x� x)2f(x)dx

� �2 prende anche il nome di varianza: la sua radice si indi-ca con � e prende il nome di deviazione standard (standarddeviation o root mean square deviation R.M.S.).

Un’espressione alternativa per il calcolo della varianza è

�2 = x2 � x2

dimostriamo tale relazione nel caso continuo

�2 =Z +1

�1

(x� x)2f(x)dx =

Z +1�1

x2f(x)dx�Z +1

�1

2xxf(x)dx+Z +1

�1

x2f(x)dx =

15

x2 � x2Z +1

�1

xf(x)dx� x2Z +1

�1

f(x)dx =

x2 � x � 2 � x+ x2 � 1 = x2 � x2

c.v.d.

16

Miglior stima del valore vero e della varianza� La miglior stima del valore vero misurato con N misure affette

solo da errori casuali è il valore medio della distribuzione dellemisure.

� La miglior stima della varianza �2 è

�2N

=

NXi=1

(xi � x)2

N � 1

dove abbiamo sostituito N � 1 a N : per stimare �2 in un cam-pione finito si dovrebbe sempre utilizzare �N : per N piccolo èimportante.

17

La deviazione standard della media� Supponiamo che due sperimentatori (X e Y ) facciamo N mi-

sure del periodo di oscillazione di un pendolo, ed ottengano iseguenti risultati (T (sec)):

X 2:58; 2:58; 2:56; 2:56; 2:59

Y 2:6; 2:6; 2:5; 2:6; 2:7

!

Tx = 2:576 �x = 0:0114

Ty = 2:56�y = 0:0707

� A questo livello è chiaro che X è superiore, ma supponiamo che

Y decida, senza cambiare il suo modesto apparato di misura, difare 500 misure invece delle 5 originali; Ty e �y cambieranno di

18

poco, diciamo:

Ty = 2:582 �y = 0:075

Tuttavia il valore medio è calcolato con molte più misure, quelloche ci interessa è l’errore sul valore medio; dobbiamo tenere con-to del numero di misure: la deviazione standard su x si può otte-nere dalla deviazione standard sulla singola misura applicandola propagazione degli errori come vedremo poi, ora anticipiamol’importante risultato:

�(x) =

�(x)pN

�(x) è la quantità che cercavamo: prende il nome di ‘deviazionestandard sulla media’ o ‘errore standard sulla media’ o sempli-cemente ‘errore standard’ ed è la quantità che all’inizio abbiamoindicato con Æx

19

Se Y fa 500 misure

Ty = 2:582 �y = 0:075

�(T ) = deviazione standard

Æ = �(T ) =

�(T )pN

=

0:075p500

errore standard

20

Propagazione degli Errori� Estremamente Importante!

� Nella maggior parte dei casi la quantità che si vuole conoscerein un esperimento non è quella che si misura direttamente, ma sicalcola a partire da grandezze misurate direttamenteEsempio: la velocità v di un corpo si calcola misurando la distan-za percorsa l ed il tempo impiegato t

v = l=t

oppure l’accelerazione di gravità g usando un pendolo semplice

g =

4�2l

T 2

ecc.

� In generale la situazione si può schematizzare come segue:Conosciamo x, y, ecc. e Æx, Æy, sappiamo che z = f(x; y; :::) e

21

conosciamo la forma della funzione f .Vogliamo sapere z e Æz

� lavoreremo nell’ipotesi che x, y siano affette solo da errori casua-li ed indipendenti gli uni dagli altri; Æx, Æy, siano stati ottenutidalle � delle distribuzioni di x e y, Æz si ottiene da �(z). E’ que-sto quello che si intende abitualmente per propagazione deglierrori: se vi si chiede di propagare un errore senza altre specifi-cazioni, è a questa propagazione che ci si riferisce.

� E’ utile ricordare che nel caso gli errori sistematici non siano tra-scurabili, trattarli secondo l’ipotesi che abbiamo fatto è in gene-rale sbagliato.

� Cominceremo con funzioni semplici: somma-differenza, prodot-to, quoziente, potenza. Vedremo poi la forma generale da cui sipossono ottenere tutti i casi particolari.

22

Somma - differenza� z = x+ y, n valori xi, m valori yj misurati; dato che x e y sono

indipendenti ogni xi può essere combinato con ogni yi per darela somma zij = xi + yi

Alloraznm =

1nm

nXi

mXj

(xi + yj) =

1nm

nXi

(mxi + y1 + :::+ ym) =

1n

nXi

(xi + ym) =

1n(x1 + x2 + :::+ xn + nym) = x+ y

Passiamo ora a �2(z),

�ij(z) = zij � z = (xi + yj)� (x+ y) = �i(x) + �j(y);

23

�2nm

(z) =

1nm

nXi

mXj

�2ij(z) =

1nm

nXi

mXj

(�2i(x) + �2j(y) + 2�i(x)�j(y)) =

1nm

nXi

(m�2i(x) + �21(y) + :::+ �2

m

(y) + 2�i(x)[�1(y) + :::+ �m(y)| {z }

0

]) =

=

1n

nXi

(�2i(x) + �2m

(y)) = �2n(x) + �2m

(y);24

PROPAGAZIONE DELL’ ERRORE� La relazione funzionale è

y = f(x) (o z = f(x; y; t:::))

x = quantità misurata

�x = errore sulla misura di x

� Facciamo una serie di misure

x1; x2; x3; ::::::xn

� Costruiamo la serie

25

y1 = f(x1); y2 = f(x2); :::::::yn = f(xn)

Vogliamo calcolare y e �y o �y

Si fanno i conti già fatti seguendo una procedura piùrigorosa dalla precedente

a) valor medio

y =

1N

(y1 + y2 + :::+ yN) =

1N

[f(x1) + f(x2) + :::+ f(xN)]26

Ricapitolazione su errori e propagazione� Il risultato della misura di X va sempre posto nella forma x � Æx

con l’opportuno numero di cifre significative

� Æx può essere casuale o sistematico

� Se la misura è ripetibile la miglior stima di X è x sull’insieme di N

misure, questa stima è affetta da errore casualeÆx = �N(x) =

�N(x)pN

dove con �N si è indicata la migliore stima della deviazione stan-dard tale che

�2N

(x) =

NXi=1

(xi � x)21

N � 1

� �(x) è un parametro collegato alla probabilità di deviazione di una27

qualsiasi misura� La propagazione degli errori casuali ed indipendenti è governata

dalla legge:dato z = f(x; y) e note f , �x, �y

�2(z) = (Æf

Æx)2�2x+ (Æf

Æy)2�2y

Somma in quadratura degli errori assoluti per somme e differenze,somma in quadratura degli errori relativi per prodotti e quozienti

28

Esercizio� Si usano 2 metodi per misurare il carico di rottura di un filo d’ac-

ciaio e si fanno 10 misure per ognuno dei 2. I risultati FR intonnelate peso sono:A: 3.3, 3.5, 3.7, 3.2, 3.6, 3.5, 3.6, 3.4, 3.6, 3.9;B: 3.5, 3.6, 3.6, 3.7, 3.5, 3.6, 3.5, 3.5, 3.6, 3.5;

� Stimare la precisione di ciascun metodo.

� Dare la migliore stima di FR e l’errore standard su FR per il me-todo A e il metodo B, trovare quante misure si dovrebbero farecon il metodo meno preciso per dare un risultato tanto accuratoquanto con l’altro metodo.

29

Soluzione� A: FR = 3:53; �(n�1) = 0:20028

� B: FR = 3:56; �(n�1) = 0:06992

� =) Stima della precisione del metodo o dell’apparato

� A:

Æ(FR) = �(FR) =

�(FR)pN =p

10

Æ(FR) = 0:0633

� B: Æ(FR) = 0:0221

ÆNA

(FR) =

�A(FR)pN

= 0:0221

30

pN =

�A(FR)

ÆB

=

0:20028

0:0221

= 9:062

=) N �= 82

31