“La revisione dei curricoli in chiave interculturale a sostegno dell’autonomia scolastica”

Unità di apprendimento :

ESTENSIONE SUPERFICIALE

(AREA)Scuola “G. Rodari”Ponzano di Fermo

Classe 5ªa.s.2011-2012

MAPPA CONCETTUALE

CONFRONTABILITA’ SOMMABILITA’ DIVISIBILITA’

ESTENSIONE

LUNGHEZZA

AREA

VOLUME

DIMENSIONE

SCOMPONIBILITA’

MISURA UNITA’ DI MISURA

OBIETTIVO FORMATIVO:

Sviluppare un atteggiamento positivo rispetto alla matematica attraverso esperienze significative, intuire come gli strumenti matematici imparati siano utili per operare nella realtà

Fase 0a - Obiettivo: indagare sulle conoscenze pregresse possedute dai ragazzi relativamente ai concetti di: ESTENSIONE, DIMENSIONE,

ESTENSIONE LINEARE/SUPERFICIALE/SOLIDA

1. COSA OCCUPA UN OGGETTO IN UN AMBIENTE?Un oggetto in un ambiente occupa una superficie (Filippo);… uno spazio che può essere piccolo, grande e immenso (Simone);... uno spazio in base alle sue dimensioni (Alessandro B.);… uno spazio (Maria Chiara);… uno spazio (Martina)… molti piani (Alessandro Iommetti);… un piano (Mathias);… una parte, un piano o un posto (Serena );… uno spazio (Laura);… uno spazio (Francesco P.);… uno spazio, per esempio una finestra o un armadio (Lorenzo);… uno spazio (Rami);… una superficie (Nicolò);… un ambiente(Satomy);… una parte di piano(Gianluca);… occupa più piani; per esempio l’armadio che occupa tanti piani (Francesco S)

Alla prima domanda “COSA OCCUPA UN OGGETTO IN UN

AMBIENTE?”, la maggior parte degli allievi afferma che un

oggetto in un ambiente occupa uno spazio, una superficie in base alle dimensioni dell’oggetto.

Alcuni rispondono riferendosi ad oggetti concreti (finestra, armadio)

2. COME OCCUPANO LO SPAZIO UN MATTONE, UN FOGLIO, UN FILO?

Un mattone, un foglio, un filo, occupano lo spazio diversamente (Filippo);un mattone occupa lo spazio che gli serve, ad esempio uno spazio piccolo e largo; un foglio uno spazio sottile e lungo e un filo occupa uno spazio sottile, lungo o corto (Simone);un mattone occupa lo spazio spesso e un po’ lungo; un foglio uno spazio sottile e un po’ lungo e un filo occupa uno spazio sottile e corto (Alessandro B.);….(Mathias);…(Rami);il mattone in un piano occupa una parte, un foglio un piano e un filo un posto (Serena);un mattone, un foglio, un filo occupano lo spazio attraverso dei… (Laura)un mattone occupa uno spazio spesso, un foglio occupa uno spazio piano e un filo occupa uno spazio lungo (Francesco P.)un mattone occupa lo spazio costruendo una casa, un foglio un insieme di un quaderno, invece il filo con il gomitolo (Satomy)un mattone, un foglio, un filo occupano lo spazio con un peso differente, perché un mattone pesa più di un foglio e un filo; come anche pesa più un foglio in confronto ad un filo (Maria Chiara);Un mattone, occupa uno spazio, in modo più ampio rispetto a un foglio e a un filo; il foglio meno ampio del mattone, ma più ampio di un filo, mentre un filo meno ampio di un foglio e di un mattone ( Nicolò);un mattone per me occupa una faccia di parallelepipedo, un foglio un rettangolo e una linea una retta (Gianluca);…(Martina);un mattone rappresenta un solido, un foglio un poligono e un filo un segmento (Alessandro I.);… occupano spazi diversi: un mattone un solido, il foglio un poligono e il filo una linea. Le dimensioni il solido tre, il poligono due e il filo una.

Alla seconda domanda

“COME OCCUPANO LO SPAZIO UN MATTONE, UN FOGLIO, UN FILO?”

alcuni allievi affermano che i tre oggetti occupano lo spazio in modo diverso e lo definiscono con varie caratteristiche riferite alle dimensioni o al peso.

Un mattone occupa uno spazio:piccolo e largo spesso e un po’ lungoUn foglio:sottile e lungo pianoUn filo:sottile, lungo o corto.

Un alunno osserva che il mattone pesa più di un foglio e di un filo; il foglio pesa più del filo; un altro si riferisce dell’ampiezza dello spazio occupato

(più o meno ampio).Altri alunni paragonano il mattone ad una faccia di parallelepipedo, a un solido; il foglio a un rettangolo/poligono e il filo a una retta o segmento.

Un allievo accenna anche alle dimensioni: il solido ha tre dimensioni, il poligono due e il filo una.

3. COME PUOI RAPPRESENTARE UNA LINEA? UN FOGLIO, UN MATTONE? CHE COSA POSSONO RAPPRESENTARE?La parola linea mi ricorda il lavoro che avevamo fatto in palestra; le parole superficie le

figure piane, mentre la parola solido il laboratorio degli scheletrati (Filippo);la parola linea mi ricorda un righello, perché è lo strumento che mi permette di fare una

linea; la superficie mi ricorda un libro, la superficie sopra il libro , un solido mi ricorda l’armadietto che è un parallelepipedo (Simone);

queste parole mi ricordano gli scheletrati, linee = cannucce; faccia = spazio e solido = tutto insieme (Alessandro B.);

queste parole mi ricordano una figura (Mathias);la parola linea rappresenta una cannuccia; la parola superficie quella del banco, la parola

solido;la parola linea mi ricorda un lavoro fatto in palestra; la superficie mi ricorda una figura

che abbiamo tagliato su un foglio, il solido mi ricorda gli scheletrati (Serena);le parole linea, superficie, solido mi ricordano lavori fatti lo scorso anno (Laura);la linea mi ricorda un filo, la superficie il banco e il solido l’armadio (Francesco P.);la linea mi ricorda la virgola; la superficie il banco e il solido gli scheletrati dello scorso

anno;le parole linea, superficie, solido mi ricordano le cannucce e il pongo con cui abbiamo

costruito gli scheletrati (Maria Chiara);la parola solido mi ricorda gli scheletrati, la linea il percorso fatto dalla coccinella; la

superficie, invece, la faccia di un oggetto (Lorenzo);la parola linea per me rappresenta i lavori di geometria dell’anno passato, la superficie

rappresenta lo spazio di una figura (Nicolò);le parole linea, superficie, solido mi ricordano un solido (Gianluca);la linea mi ricorda la scia di un aereo; la superficie un pavimento e un solido a un libro

(Martina),una linea mi ricorda la spezzata chiusa, una superficie e due semirette che si incontrano

formando un angolo, un solido un mattone (Alessandro I.);le parole linea, superficie, solido mi ricordano gli anni passati: line una dimensione (es.

retta); superficie due dimensioni (poligono); solido tre dimensioni (parallelepipedo…)

Alla terza domanda

“COME PUOI RAPPRESENTARE UNA LINEA? UN FOGLIO, UN MATTONE CHE COSA POSSONO RAPPRESENTARE?”

gli allievi rispondono ricordando le loro esperienze scolastiche (esercitazioni in palestra o in laboratorio), o nominando oggetti.

La linea ricorda:un righello, le cannucce, la virgola, il pongo, il percorso fatto dalla

coccinella, la scia di un aereo, la spezzata chiusa, una retta.La superficie:

la copertina di un libro, il banco, lo spazio di una figura, un pavimento, un angolo, un poligono.

Un solido:l’armadietto, gli scheletrati, un libro, un parallelepipedo.

4. COME FAI A RICONOSCERE UN OGGETTO LINEARE / UNA SUPERFICIE / UN SOLIDO?

… guardandoli (Filippo)… hanno la lunghezza la larghezza e l’altezza (Simone)… lineare se ha una dimensione; una superficie lunghezza e larghezza, un

solido , lunghezza, larghezza e altezza(Alessandro B.)… l’oggetto lineare è come l’orizzonte; la superficie del banco; un solido come

l’aula (Rami);… un oggetto lineare penso al filo di un palloncino, la superficie uno spazio; un

solido ad uno spessore (Serena);… un oggetto lineare è lungo, una superficie è piana e un solido ha uno

spessore(Francesco P.);… il solido è l’oggetto che si prende (Satomy);….guardando la loro forma (Maria Chiara);… dalla forma: una dimensione, superficie forma a due dimensioni; solido forma

a tre dimensioni (Lorenzo);… una linea verticale orizzontale e obliqua; una superficie due semirette che si

incontrano e formano un angolo; un solido dalle facce (Alessandro Iommetti);

… un oggetto lineare se ha la lunghezza; la superficie se riesco a vedere due dimensioni, ma non riesco ad afferrarla; il solido se ha tre dimensioni e riesco a toccarla (Francesco Sbrini).

Alla quarta domanda

” COME FAI A RICONOSCERE UN OGGETTO

LINEARE / UNA SUPERFICIE / UN SOLIDO?”

alcuni allievi affermano che si riconoscono per la loro forma e dimensione.

Alcuni paragonano l’oggetto lineare all’orizzonte, al filo di un palloncino, la superficie al banco, a uno spazio, il solido all’aula,

a uno spessore.

Fase 0b – Obiettivo: indagare sulle conoscenze pregresse possedute dai ragazzi relativamente ai concetti di

1. grandezza geometrica e fisica in particolare estensione lineare/ superficiale/volumetrica – capacità

2. confrontabilità - sommabilità - divisibilità di grandezze dello stesso tipo

3. operazione di misura di una grandezza

4. unità di misura o campione di una grandezza

5. COME FAI A CONFRONTARE DUE LUNGHEZZE/SUPERFICI/SOLIDI CONTENITORI?

… due lunghezze osservando chi è più lunga; due superfici osservando chi è più ampia; due solidi chi è più alto, largo, lungo(Filippo);

… con il metro o con la spanna della mano (Simone);… mettendoli su un piano(Martina);… metro, palmo della mano, spanna (Maria Chiara);… mettere gli oggetti paralleli (Serena);… con il metro (Laura);… il metro (Rami);… misurare i lati e il perimetro (Alessandro I.);… misurandole (Gianluca);… con la mia mano (Nicolò);… le misuro o le avvicino (Satomy);… portandole tutte ad una dimensione, calcolando il perimetro e

infine sottraendo per scoprire la differenza (Francesco S.)

Alla quinta domanda

“COME FAI A CONFRONTARE DUE LUNGHEZZE/SUPERFICI/SOLIDI

CONTENITORI?”

alcuni allievi rispondono che si possono confrontare osservando le dimensioni o

l’ampiezza; altri ricorrono a misure convenzionali (metro) o a misure non

convenzionali (spanna, palmo).

6. COME FAI AD AGGIUNGERE DUE LUNGHEZZE/DUE O PIU’ SUPERFICI / SOLIDI-CONTENITORI L’UNO ALL’ALTRO?

… aggiungo due lunghezze e due superfici, attaccandole, due solidi mettendoli uno sopra l’altro (Filippo);

…,si può incollare una dopo l’altra (Simone);…,attaccando alcuni pezzi (Martina);… le attacco, le incollo (Maria Chiara);… uno sopra l’altro (Serena);… assemblandoli (Mathias);… addizionando (Rami);… attaccandoli (Gianluca);… attaccandole (Nicolò);… li attacco (Satomy);… tutti ad una dimensione (Francesco S.)

Alla sesta domanda

“COME FAI AD AGGIUNGERE DUE LUNGHEZZE/DUE O

PIU’ SUPERFICI / SOLIDI-CONTENITORI L’UNO

ALL’ALTRO?”

quasi tutti gli allievi ritengono che per aggiungere due

superfici, due lunghezze, si attaccano, si incollano una

dopo l’altra, per aggiungere due solidi si mettono uno

sopra l’altro.

7. COME FAI A DIVIDERE UNA LUNGHEZZA/SUPERFICI E/SOLIDO IN PARTI UGUALI?

… staccando una parte dall’altra (Filippo);… se sono attaccate si possono tagliare e quindi farle in piccole parti

(Simone);… spezzandoli a metà (Martina);… la spezzo (Maria Chiara);… basta misurare l’oggetto (Serena);… spezzandole a metà (Laura);… sapendo la loro intensità dividendola per un divisore esatto (Lorenzo);… con l’asse di simmetria (Francesco P.);… taglio a metà (Satomy).

Alla settima domanda

“COME FAI A DIVIDERE UNA LUNGHEZZA/SUEPRFICIE/SOLIDO IN

PARTI UGUALI?”

la maggior parte degli allievi sostiene che per dividere una lunghezza,

una superficie, un solido si spezzano/tagliano a metà.

Un alunno cita l’asse di simmetria.

8. QUANDO HAI SENTITO LA PAROLA MISURA?…. in macchina, quando ho chiesto quanti km mancavano al supermercato,

quando ho visto un litro di latte, dal medico quando mi hanno fatto pesare (Filippo);

… quando mio padre deve sostituire una cosa (Alessandro B.);… per la strada (50 km), oppure a scuola misurare con il problema e a casa

misurare con il metro (Simone);… a scuola quando misuravamo il perimetro , a casa quando bisogna

prendere le misure per costruire qualcosa (Martina);… si costruisce la strada … a scuola (M. Chiara);… su un laboratorio di geometria … la misura di una rotazione (Serena);… in molte situazioni (Laura);… dai muratori per misurare l’altezza (Mathias);… quando un muratore prende le misure (Rami);… quando i muratori costruiscono le case (Ale I.);… quando per esempio bisogna costruire una cosa (Gianluca);.. a scuola e dai muratori quando costruiscono (Francesco P.);… sulla strada, per esempio 50 km (Nicolò); … a scuola … con il righello (Satomy);… per un percorso (4km), per prendere le misure 50m...50x60 ed anche a

scuola con i m, i l e i kg (misurare capacità, peso e lunghezza);

All’ottava domanda

“QUANDO HAI SENTITO LA PAROLA MISURA?”

gli allievi fanno riferimento alle loro esperienze di vita scolastiche e non.

Citano: quando si chiede la distanza per raggiungere un luogo

osservando un litro di latte pesandosi

quando si prendono le misure per costruire qualcosa

quando i muratori misurano l’altezza

quando si misura un percorso.

9. COME HAI FATTO A MISURARE USANDO I NUMERI?

… a scuola la maestra ha spiegato le misure (Filippo);… grazie all’unità di misura mm, cm, dm, m, dam, hm, e km (Ale. B.);… quando conto, oppure quando li penso e li immagino (Simone);… usando i numeri ad esempio sul righello (Martina);… usando i numeri ho usato il metro, i piedi, le dita (M.Chiara);… guardando una figura con il palmo che vale tre dita (Serena);… con i numeri usando i centimetri (Laura);… usando il metro (Rami);… usando le man i(Ale I..);… ho usato il metro(Gianluca);… usando i numeri posso misurare un banco con la mia mano e posso dire

che misura 5 mani (Nicolò);… il righello (Satomy).

Alla nona domanda

“COME HAI FATTO A MISURARE

USANDO I NUMERI?”

gli allievi fanno riferimento alle unità di misura, ai

numeri del righello, usando le dita delle mani.

Mappa mentale

Un oggetto in un ambiente occupa:uno spazio, una superficie in base alle dimensioni dell’oggetto.

Un mattone, un foglio, un filo occupano lo spazio:in modo diverso secondo le dimensioni secondo il peso.

Una linea un foglio, un mattone possono rappresentare: la linea: un righello, le cannucce, la virgola, il pongo, il percorso fatto dalla coccinella, la scia di un aereo, la spezzata chiusa, una retta. un foglio : la copertina di un libro, il banco, lo spazio di una figura, un pavimento, un angolo, un poligono. un mattone: l’armadietto, gli scheletrati, un libro, un parallelepipedo.

Un oggetto lineare/una superficie/un solido si riconoscono per:forma dimensioni

Due lunghezze/superfici/solidi - contenitori si confrontano:osservando le dimensioni o l’ampiezza con le misure convenzionali (metro) con le misure non convenzionali (spanna della mano, palmo della mano).

Due lunghezze/due o più superfici/solidi – contenitori si aggiungono: attaccandoli incollandoli una dopo l’altra per aggiungere due solidi si mettono uno sopra l’altro.

Una lunghezza/superficie/solido si dividono in parti uguali: spezzandoli tagliandoli a metà con l’asse di simmetria.

La parola misura si sente quando:si chiede la distanza per raggiungere un luogo si osserva un litro di latte ci si pesasi prendono le misure per costruire qualcosa i muratori misurano l’altezza si misura un percorso.

Per misurare usando i numeri si usano:le unità di misura i numeri del righello le dita delle mani.

Fase 1 – Obiettivi:

operare la ricostruzione dei concetti precedentemente indagati, con attenzione alle componenti affettive e meta cognitive dei soggetti;

collocare consapevolmente nella mappa concettuale i concetti di - dimensione- estensione lineare / superficiale / volumetrica.

CHE COS’ E’

LA LUNGHEZZA?

E’ una sola

possibilità di movimento.

La coccinella sulla penna

può andare solo … in lungo!

... non può andare dalle parti!

Sul pavimento (piano), invece,

può andare in lungo e… in largo!

Come si può muovere, invece, su un piano?

E in un solido?

Può andare

in lungo,

in largo

e in alto.

Che cosa significa MISURARE?

Misurare vuol dire QUANTIFICARE…quanto di

una proprietà è contenuto

Si misurano non oggetti, ma particolari proprietà degli oggetti

“L’ immagine mentale

si produce solo se

stabilmente, effettivamente

guardo tutte le bacchette”

Misuriamo l’estensione lineare del bordo del banco

con lo scopo di FAVORIRE L’IMMAGINE DELL’ INSIEME:

guardiamo effettivamente tutte le penne…

FASE 2 OBIETTIVO:

Acquisire i procedimenti di

scomposizione/ricomposizione

di figure geometricheComprendere le seguenti proprietà fondamentali:

•L’area di una figura è la somma delle aree delle figure che la compongono

•Se due figure sono equiscomponibili allora occupano la stessa parte di piano, ossia hanno la stessa area

Da “Lectio Magistralis” di Emma CastelnuovoDa “Lectio Magistralis” di Emma Castelnuovo

“…“…Capisco che devo Capisco che devo partire dalla realtàpartire dalla realtà …SCOPRIRE” …SCOPRIRE”

“ … “ … costruzioni non fatte con riga e compasso, bensì con qualcosa che costruisco con costruzioni non fatte con riga e compasso, bensì con qualcosa che costruisco con le mani: le mani: la costruzione con le mani la costruzione con le mani che oggi non si fa più,che oggi non si fa più, è estremamente importante è estremamente importante per il cervello, perché rimaneper il cervello, perché rimane, perché invita a pensare alla tecnica a rendersi conto di , perché invita a pensare alla tecnica a rendersi conto di

tante cose … tutto questo invita all’osservazione … quello che osserviamo sempre non tante cose … tutto questo invita all’osservazione … quello che osserviamo sempre non è la figura ferma, fissa che interessa è la figura che si articola, per cui cambia qualche è la figura ferma, fissa che interessa è la figura che si articola, per cui cambia qualche

elemento e altri invece sono invariabili. Tutto questo interesse è enorme. E allora elemento e altri invece sono invariabili. Tutto questo interesse è enorme. E allora sempre materiale da niente …” sempre materiale da niente …”

“Una scuola così, in particolare un insegnamento della matematica così, aiuta i nostri allievi, quelli

che vengono da paesi lontani a imparare l’italiano. E’ la matematica che aiuta, non è il corso di

italiano che è sempre molto ricco di parole e di espressioni. E’ la matematica che ha poche parole,

che è un linguaggio ristretto, ma vivo. I nostri allievi che ci vengono da altri paesi apprendono

l’italiano attraverso la matematica in gran parte, e i nostri allievi si sforzano di parlare l’italiano

corretto, in matematica, proprio per aiutare i compagni. Se fosse solo questo, il fine di un

insegnamento della matematica, se fosse solo questo, cioè di dare un’umanità di dare un aiuto a

questi giovani che vengono da paesi di cui conosciamo le condizioni, se fosse solo questo, io dico

che bisognerebbe ringraziare l’insegnamento della matematica”

Da “Lectio magistralis” di Emma Castelnuovo

IL CONFRONTO DI SUPERFICI:

Dal foglio di carta A4, con opportune

piegature, costruiamo

il TANGRAM

Prima fase di gioco libero, nel rispetto delle regole di accostamento,

poi ricostruzione di figure date nelle quali sono evidenziate le linee di suddivisione interna,

infine viene assegnato solo il contorno.

Tutte le figure ottenute sono accomunate dall’avere uguale

estensione di superficie, poiché ottenute con lo stesso numero

di pezzi a due a due congruenti

Attività

per consolidare

i concetti di

CONGRUENZA,

EQUIESTENSIONE,

ISOPERIMETRIA.

Usiamo la carta

centimetrata

FASE 3: OBIETTIVO

Giungere al seguente risultato fondamentale: l’area di

una figura scomponibile in figure base uguali è uguale

all’area della figura base ripetuta tante volte quante

sono le figure della scomposizione

Attività di RICOPRIMENTO di superfici

con lo scopo di creare l’immagine mentale

L’ estensione superficiale (area) del banco misura

6 QUADRATI E “QUALCOSA”…

non c’è il ricoprimento completo… dobbiamo costruire quadrati più

piccoli!

Dal foglio A 4 costruiamo il triangolo equilatero, poi ricopriamo…

… 10 triangoli e qualcosa

( si dovrebbe prendere un campione più piccolo),

ma una parte del triangolo va fuori!!

CON I CERCHI

… non funziona! Troppo spazio vuoto

CON GLI ESAGONI …

14, ma avanza lo spazio!

Che cosa fa il numero – misura quando cambia la figura unitaria?

Il numero misura DIPENDE dall’area della figura unitaria considerarta

FASE 4: MISURAZIONI DELL’AREA DI UNA FIGURA PIANA CON UNITA’ DI MISURA CONVENZIONALI

Dopo le attività di ricoprimento gli alunni hanno constatato che la forma quadrata è quella “più comoda” per quantificare aree.

Ad essa è ricondotta la definizione delle unità di misura convenzionali:nel Sistema Internazionale l’area è una grandezza derivata, in quanto è connessa alla

lunghezza, per cui l’unità di misura dell’area viene a sua volta fondata sull’unità di misura di lunghezza.

Costruiamo il metro quadrato

Per misurare l’estensione superficiale del banco il metro quadrato non è il campione opportuno, quindi…

IL DECIMETRO QUADRATO

Costruiamo mediante l’accostamento di quadrati di lati 1 dm una “coperta” quadrata con il lato lungo 1 metro:

-quanti quadrati si devono accostare per avere un lato della coperta?

-quanti quadrati sono necessari per avere l’intera coperta?

-1 dm quadrato è la centesima parte di un metro quadrato

FASE 5: OBIETTIVO

RISOLVERE IL PROBLEMA DELLA MISURA dell’ AREA DI UN

RETTANGOLO,e , in particolare, del QUADRATO (come particolare

rettangolo), del PARALLELOGRAMMA, del ROMBO, del TRAPEZIO e del

TRIANGOLO, come figure equiscomponibili con un rettangolo

E al maestro di oggi cosa suggerirebbe?«Possedere un cuore, che è un motore potente. E poi attaccarsi al bambino, seguirlo con dedizione, riuscire

a scrutarne i talenti nascosti. Senza mai dimenticare che il compito della scuola è trasformare un gregge

passivo in un popolo di cittadini pensanti»

Mario Lodi

“Chi ha avuto la fortuna di incontrare o leggere Emma Castelnuovo credo sia vaccinato per sempre dalla valanga di stupidaggini e luoghi comuni che descrivono la matematica come materia arida e astrusa, lontana dalla realtà e dal mondo dei ragazzi.E’ il modo in cui troppe volte viene insegnata che purtroppo è arido, astruso e nemico della realtà.

dall’introduzione di Franco Lorenzoni a “l’Officina mat3mat1ca” di Emma Castelnuovo