Funzione esponenziale e logaritmica

ovvero il modulo MD5 per

la nuova maturità commerciale 2015

redatta dal

gruppo cantonale di matematica per i CPC

Indice

1 Introduzione alla funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1 Preambolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Attività 1: funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Attività 2: funzioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Attività 3: funzioni esponenziali (la x si trova all’esponente) . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Approccio teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Equazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Esercizi per le equazioni riconducibili a medesima base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 I logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1 Logaritmo come funzione inversa all’esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 La funzione logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Osservazione sul logaritmo in base 10 e sul logaritmo naturale . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Proprietà dei logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Cambiamento di base di un logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Equazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.7 Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.8 Il numero di Nepero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1 Esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Problemi di matematica finanziaria risolvibili con i logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . 22

3

1 Introduzione alla funzione esponenziale

1.1 Preambolo

In questa serie da svolgere a distanza si riprendono i concetti di base delle funzioni e per induzionesi estende il discorso alle funzioni esponenziali.

In ogni paragrafo si richiede di creare una tabella di coppie di valori (x; y) e di utilizzare tali puntiper tracciare un grafico delle funzioni proposte nelle tre attività.

Le attività denominate come corollario possono essere eseguite in un secondo tempo, dopo averdisegnato i grafici richiesti sul piano cartesiano.

1.2 Attività 1: funzioni lineari

Date le funzioni f(x) =2

3x − 2 e g(x) = −

3

2x + 3 si crei una tabella di x e y con almeno 6 o 7

coppie di valori; si riportino i punti sul grafico e si disegnino le due rette ottenute sul pianocartesiano. Per la scelta dei valori di x valga il buonsenso...

x y=2

3x− 2

−6 y=2

3· (−6)− 2=−6

−3 y=2

3· (−3)− 2=−4

0 −2

Tabella 1. f(x)=2

3x− 2

x y=−3

2x+3

−6 y=−3

2· (−6)+3= 12

−4 y=−3

2· (−4)+3=9

−2 6

Tabella 2. g(x)=−3

2x+3

Corollario 1. Trova algebricamente il punto di intersezione tra le due rette risolvendo l’equazione

f(x)= g(x) e non dimenticare di determinare per sostituzione anche la coordinata y.

4 Indice

1.3 Attività 2: funzioni di secondo grado

Data la parabola p(x) =1

2x2 +

3

2x − 9, si calcolino almeno 7 coppie di valori (x, y). Fatto questo

si disegni la parabola utilizzando questi punti. Per la scelta dei valori di x si usi un po’ diperspicacia.

x y=1

2x2+

3

2x− 9

−7 y=1

2· (−7)2+

3

2· (−7)− 9=5

−5 y=1

2· (−5)2+

3

2· (−5)− 9=−4

−3

0

Tabella 3. p(x) =1

2x2+

3

2x− 9

Corollario 2. Trova il vertice e le intersezioni con l’asse delle x

1 Introduzione alla funzione esponenziale 5

1.4 Attività 3: funzioni esponenziali (la x si trova all’esponente)

Date le due funzioni esponenziali sottostanti i(x) e l(x), si proceda come nei casi precedenti,calcolando una serie di coppie di valori (x, y) (almeno 6 o 7); in base a questi punti si traccino igrafici.

x y=2x

−5 y=2−5=( 1

25

)

=1

32= 0.03125

−4 y=2−4=( 1

24

)

=1

16= 0.0625

−3 0.125

4 16

Tabella 4. i(x)= 2x

x y=( 1

2

)x

−4 y=( 1

2

)

−4=24= 16

−3 y=( 1

2

)

−3=23=8

−2 4

Tabella 5. l(x)=(

1

2

)x

Nota 1. Si ricordi che nelle proprietà delle potenze vige la seguente regola di calcolo:

a−n=1

anrispettivamente

( a

b

)

−n=(

b

a

)n

Corollario 3. Si disegnino anche le seguenti funzioni (a mano o con l’ausilio del PC):

m(x) = 3x n(x) =( 1

3

)xo(x)= 2x+2 p(x)= 2x−1

6 Indice

2 La funzione esponenziale

2.1 Introduzione

Le funzioni esponenziale e logaritmica permettono di descrivere e risolvere una gran quantità diproblemi quali la crescita di una popolazione, di animali o di batteri, decadimento radioattivo, lacrescita di un capitale ad interesse composto, l‘intensità di un terremoto.

Consideriamo due esempi di funzioni: f(x) = 2x e g(x)= x2

Le due funzioni sono diverse: nella f l‘argomento è all‘esponente, mentre nella g l‘argomento è allabase. La funzione g è la funzione quadratica che hai già studiato, mentre la funzione f rappresentaun nuovo tipo di funzioni, la funzione esponenziale.

Un esempio di funzione esponenziale importante riguarda la crescita del numero di batteri presentiin una certa coltura.

Esempio 1. Un biologo ha scoperto che la concentrazione di batteri presenti in una colturaraddoppia ogni 20 minuti e dopo t ore soddisfa l’equazione: Ct = C0 · 23t. Considerando unaconcentrazione iniziale C0= 50 batteri/ml.

i. Determina al concentrazione di batteri dopo 1, 2 e 3 ore. [400; 3200; 25600 batt./ml]

ii. Quanti batteri sono presenti dopo 7 ore se il brodo di coltura ha un volume totale di 250ml? [F2.621× 1010 [batt.]]

iii. Determina la concentrazione dopo 3 ore e 25 minuti? [F6.089× 104[batt./ml]]

iv. Rappresenta la funzione graficamente.

v. Stima utilizzando il grafico dopo quanto tempo saranno presenti 5500 batteri/ml. Cerca poidi calcolare un valore più preciso. [F2.26 ore]

vi. Considerando che per il conteggio al microscopio è necessaria una concetrazione minimadi circa 1 × 106 batt./ml, calcola il tempo minimo dopo il quale sara possibile questaoperazione. [F4.76 ore]

Con lo studio della funzione esponenziale potremo dapprima risolvere l‘equazione graficamente epoi anche algebricamente.

2.2 Approccio teorico

Definizione 1. La funzione esponenziale è la funzione expa: R→ R , x� y = ax con a numeroreale, a> 0, a� 1

Nota che la base della funzione esponenziale è positiva, altrimenti avremmo ad esempio il caso

(−2)1

2 (e anche molti altri)1, e che la base è diversa da 0 e da 1.

Si riprendano le funzioni i(x) e l(x) presentate nelle tabelle 4 e 5. Nelle figure 1 e 2 trovate larappresentazione grafica delle suddette funzioni. Si noti come le funzioni esponenziali possonoessere suddivise in due insiemi distinti; le funzioni che hanno la base a> 1 che sono crescenti e lefunzioni con la base 0<a< 1 che invece sono decrescenti.

1. In realtà è possibile calcolare questi valori, ma unicamente utilizzando l’insieme dei numeri complessi c che va aldi là degli scopi del programma di matematica per la SMC

2 La funzione esponenziale 7

a > 1

0

2

4

6

8

10

12

14

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

x

Figura 1. Rappresentazione di i(x)= 2x

0 > a > 1

0

2

4

6

8

10

12

14

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

y

x

Figura 2. Rappresentazione di l(x)=(

1

2

)x

Nota 2. Il grafico della funzione passa sempre per (0; 1). Perché?

Nota 3. L’insieme di definizione è R; quello delle immagini R+ | {0}

2.3 Esercizi

Esercizio 1. Rappresenta graficamente le seguenti funzioni (se possibile, usa il foglio elettronico):

i) x� y=3x ii) x� y=3x+1 iii) x� y=3x+1

iv) x� y=2 · 3x v) x� y=3x

2 vi) x� y=3−x

vii) x� y=( 1

4

)xviii) x� y=2−2x

Esercizio 2. Considera la funzione exp3: R→R, x� y=3x

i. leggi sul grafico e calcola l‘immagine tramite exp3 di x=1

2, x=

3

2, x=−1

2;

ii. leggi sul grafico l‘argomento corrispondente a y=1, y= 10, y=1

2.

8 Indice

Esercizio 3. Un modo ragionevole per misurare il tasso di crescita di una popolazione è quello di considerare

il tempo che la popolazione impiega per raddoppiare. Questo modello è spesso usato su tempi brevi e viene

descritto con la formula P =P0 · 2t

d dove P è la popolazione al tempo t, P0 è la popolazione iniziale (al tempo

t=0) e d è il tempo di raddoppio.

i. Il Messico ha una popolazione attorno ai 100 milioni di persone ed è stato stimato che la sua popolazione

raddoppia in 21 anni. Se la popolazione cresce con lo stesso tasso, quale sarà la popolazione tra 15 anni?

E tra 30 anni?

ii. Il batterio Escherichia Coli (E. Coli) si trova nell’intestino di parecchi mammiferi. In un particolare

esperimento di laboratorio si è determinato che il tempo di raddoppio per il batterio è di 25 minuti. Se

l’esperimento inizia con una popolazione di 1000 batteri e il tempo di raddoppio non cambia, quanti

batteri ci sono dopo 10 minuti? E dopo 5 ore?

Esercizio 4. Se si depositano 1000 CHF al tasso d’interesse composto semestrale del 2%, quale montante si

avrà a disposizione dopo 5 anni?

2.4 Equazioni esponenziali

Ecco alcuni esempi di equazioni esponenziali:

3x= 81 (1)

75x−8= 49x+2 (2)

1000 · 1.03x= 2000 · 1.05x (3)

2x− 1= x (4)

Definizione 2. Si chiama equazione esponenziale l’uguaglianza di due funzioni delle quali almenouna sia esponenziale (l’incognita compare nell’esponente di qualche potenza).

Se i due membri dell’equazione sono, o si possono mettere, sotto la forma di due potenze di basediversa come nell’equazione 3, per risolvere l’equazione sarà necessaria l’applicazione dei logaritmicome descritto nel capitolo 3.7.

Se invece i due membri dell’equazione sono, o si possono mettere, sotto la forma di due potenzeaventi la stessa base, come negli esempi 1 e 2, la risoluzione dell’equazione risulta semplice;dall’uguaglianza tra le potenze si può infatti passare all’uguaglianza tra gli esponenti, ottenendoun’equazione equivalente alla data, come mostrato dal teorema 1

Teorema 1.

se x1� x2 allora ax1� ax2

se ax1� ax2 allora x1� x2 (a> 0, a� 1)

Grazie a questa relazione biunivoca si può procedere trasformando:

af(x)= ah(x) ⇒ f(x)= h(x)

Esempio 2. Per le proprietà delle potenze e per il teorema sopra per l’equazione 1 si risolve nelseguente modo:

3x = 81

3x = 34

e quindi applicando il teorema 1

x=4

2 La funzione esponenziale 9

Esempio 3. L’equazione 2 si risolve in modo analogo come mostrato qui sotto:

75x−8 = 49x+2

75x−8 = (72)x+2

75x−8 = 72x+4

e quindi applicando il teorema 1

5x− 8 = 2x+4

x = 4

Esempio 4. L’equazione dell’esempio 4 avendo l’incognita x sia all’interno di un esponente sia aldi fuori di esso, e risolvibile unicamente mediante il metodo grafico2. Si osservi a tal proposito lafigura 3. Dalla lettura del grafico si evince che le soluzioni sono: x1=0 e x2=1

x−1

x

y

−0.5

0

0.5

1

1.5

−0.5 0 0.5 1 1.5

y=xy=2

Figura 3. Risoluzione grafica di 2x− 1= x

2. Chiaramente è possibile anche applicare uno dei metodi iterativi noti. La trattazione di tali metodi di soluzioneesula dal contenuto del corso SMC

10 Indice

2.5 Esercizi per le equazioni riconducibili a medesima base

Esercizio 5. Risolvi le seguenti equazioni esponenziali

a) 4x=8[

3

2

]

b)(

1

2

)x= 16 [−4]

c) 9x5√ =1

27

[

−15

2

]

d) 67−x=62x+1 [2]

e) 1= 322x [0]

f) 2x− 1

128=0 [−7]

g) 16x−8= 0[

3

4

]

h)(

1

5

)

6−x=5 [7]

i)1

2x

3

= 32 [−15]

j) 3x=1

3[−1]

k) 7x+3= 343 [0]

l) 27x−1=92x−3 [3]

m) 36x·6= 1

216[−2]

n) 81−3−x=0 [−4]

o) 9x · 27x+1·3x= 81[

1

6

]

p) 72x2

· 1

7x+7= 343

[

5

2;−2

]

q) 3x+1 · 1

3√ · 27x+2=243

[

−3

8

]

r)4x

2

27x+10· 16=8

[

9

2;−1

]

3 I logaritmi

3.1 Logaritmo come funzione inversa all’esponenziale

La funzione logaritmo è semplicemente l’inversa della funzione esponenziale. Per capire come sipuò calcolare in modo semplice un logaritmo si osservino gli esempi sottostanti.

Esempio 5. Consideriamo la funzione exp2 :R→R, x� y=2x.

log2 (32) = ⇔ 25= 32log2 (16) =log2 (2)=

log2 (2)=log2 (2)=log2 (2)=

Esempio 6. Ulteriori esempi.

log3 (27) =

log7 (49) =

log1

2

(8)=

log5 (125)=log12 (144) =

log125

27

3

5=

Nota 4. In generale vale la seguente proprietà per il calcolo dei logaritmi:

y= ax⇔x= logay (5)

Esercizio 6. Calcola i seguenti logaritmi:

a) log3243= [5]

b) log1

2

8= [−3]

c) log10 10√

=[

1

2

]

d) log1010′000= [4]

e) log21

8= [−3]

f) log12144= [2]

g) log390.5= [−1]

h) log243= [6]

i) log5125 5√

=[

7

2

]

3 I logaritmi 11

Esercizio 7. Determina la base x sapendo che:

a) logx25=2 [5]

b) logx243=5 [3]

c) logx9

4=2

[

3

2

]

d) logx1

16=−2 [4]

e) logx1

1000=−3 [10]

Esercizio 8. Determina x sapendo che:

a) log6x=2 [36]

b) log3x=2 [9]

c) logx=−3

2

[

1

1000

√

F 0.0316

]

d) log2x=0 [1]

e) log7 (2x− 7)= 0 [4]

f) log3x=−7[

1

2187F 0.000457

]

3.2 La funzione logaritmica

Come già detto, la funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale:

Definizione 3. loga:R+ |{0} →R,x� y= loga(x) se e solo se x=ay e a è un numero reale positivo

diverso da 1.

Esercizio 9. Rappresenta graficamente le funzioni f(x)= log2 (x) e g(x)= log1

2

(x)

Anche per la funzione logaritmo possiamo distinguere due casi, in base al valore di a. Se a> 1 siottiene una funzione crescente (figura 4), mentre se 0< a < 1 allora il logaritmo sarà decrescente(figura 5)

−3

−2

−1

0

1

2

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

y

x

a>1

Figura 4. Logaritmo crescente con base a> 1

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−3

−2

−1

0

1

2

3

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

y

x

0<a<1

Figura 5. Logaritmo decrescente con base 0<a< 1

Nota 5. Dlog=R+|{0} e Imlog=R

Nota 6. Non esiste il logaritmo di un numero negativo, né quello di zero.

Nota 7. La base della funzione logaritmica è sempre strettamente positiva e diversa da 1.

Nota 8. Se 0<a< 1 expa e loga sono monotone decrescenti; se a> 1 sono monotone crescenti.

ax= y ⇔ x= logay

Il grafico della funzione logaritmo è simmetrico rispetto all‘asse di equazione y=x, al grafico dellacorrispondente funzione esponenziale. Di conseguenza, siccome la funzione esponenziale descriveuna crescita o un decadimento molto marcato, quella logaritmica rappresenta una crescita o undecadimento smorzato (vedi figure 6 e 7).

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

y

x

a>1

Figura 6. Esponenziale e logaritmica con a> 1

3 I logaritmi 13

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

y

x

0<a<1

Figura 7. Esponenziale e logaritmica con 0<a< 1

Esercizio 10. Rappresenta le funzioni seguenti.

a) y= log3(x)

b) y= log3(x− 2)

c) y= log3(−x)

d) y= log3(x)− 2

3.3 Osservazione sul logaritmo in base 10 e sul logaritmo naturale

Tra tutti gli infiniti sistemi di logaritmi assumono grande importanza quello di base 10, che vienecomunemente chiamato base dei logaritmi di Briggs, o decimali, e quello in base e (con la lettera e

viene indicato un particolare numero irrazionale che ricorre assai spesso nelle matematiche superiorie nello studio teorico di molti fenomeni fisici, statistici, ecc., con un valore approssimato die=2, 718281828459 che viene chiamato dei logaritmi naturali o neperiani.L’importanza dei logaritmi decimali è legato al fatto che, essendo il nostro sistema di rappresen-tazione numerica di tipo decimale, sono più facili la compilazione e l’uso di tavole numeriche.Per il logaritmo in base 10 si usa la scrittura log senza indicare esplicitamente la base.

log(x)= log10(x) (6)

L’importanza dei logaritmi naturali è dovuto al fatto che in molte leggi naturali, fisiche, statistiche,ecc., le grandezze in gioco sono tra loro legate da funzioni di tipo esponenziale a base e o di tipologaritmico a base e. Per logaritmo naturale si intende invece il logaritmo in base e e lo si indicacon ln:

ln(x)= loge(x) (7)

Questi due logaritmi sono molto importanti nei calcoli con la calcolatrice.Infatti mediante le più comuni calcolatrici tascabili di tipo scientifico si possono determinaredirettamente sia i logaritmi decimali, sia i logaritmi naturali. Per il loro calcolo si devono usare,rispettivamente, i tasti: log e ln.

3.4 Proprietà dei logaritmi

Visto che i logaritmi possono essere scritti in forma esponenziale, e che per il calcolo con le potenzeci sono delle regole che possono essere applicate, allo stesso modo si possono trovare delle regoleper il calcolo con i logaritmi:

logaan=n (8)

loga (M ·N)= logaM + logaN (9)

loga

(

M

N

)

= logaM − logaN (10)

loga (Mn)=n · logaM (11)

14 Indice

Proviamo a dimostrare la seconda proprietà:

loga (M ·N)= logaM + logaN (12)

A tale scopo poniamo

logaM = x logaN = y (13)

Per la definizione di logaritmo verranno allora anche le due uguaglianze

ax=M ay=N (14)

Che moltiplicate membro a membro, danno:

ax · ay=M ·N ax+y=M ·N (15)

Il che equivale a dire (per la definizione di logaritmo) che

log a(M ·N)= x+ y (16)

e quindi, ricordando le posizioni fatte, che:

loga (M ·N)= logaM + logaN (17)

Esercizio 11. Prova a dimostrare le altre proprietà

Nota 9. Dietro le proprietà dei logaritmi ci stanno le proprietà delle potenze

Esercizio 12. Calcola e semplifica il più possibile i seguenti logaritmi

a) log2(4 · 8 · 2)=

b) log 1020+ log105=

c) log310

3=

d) log5100− log52=

e) log372=

f) log2 (25 · 27)=

g) 2 ·log34=

Esercizio 13. Scrivi le seguenti espressioni sotto forma di un unico logaritmo:

a) log4 (3z)+ log4x= [log43xz]

b) log4x− log4 (7y) =[

log4x

7y

]

c)1

3log4w=

[

log4 w3√ ]

d) 2 logax+1

3loga(x− 2)− 5loga(2x+3)=

[

logax2 · x − 23

√

(2x+3)5

]

e) 2logy3

x− 3 log y+

1

2log x4y2= [log y4]

f) ln y3+1

3ln (x3y6)− 5 ln y= [lnx]

3 I logaritmi 15

3.5 Cambiamento di base di un logaritmo

La seguente formula permette di trasformare i logaritmi in base a in logaritmi aventi base b.

logak=logbk

logba(18)

Esercizio 14. Calcola il valore decimale dei seguenti logaritmi utilizzando la formula 18 . Prima di procedere

al calcolo però prova a dare una stima usando le potenze di valori interi.

a) log57=log 7

log 5=

ln 7

ln 5=

b) log225=log 25

log 2=

c) log7521=

d) log210=

3.6 Equazioni logaritmiche

Chiamiamo equazioni logaritmiche ogni equazione nella quale compare il logaritmo dell’incognitao di espressioni contenenti l’incognita

Esempio 7. log6 (4x− 5)= log6 (2x+1)

Esempio 8. log4(5+ x) = 3

Nota 10. Siccome logaB non è valutabile per B 6 0 è sempre necessaria la verifica dei risultatiottenuti, o, in alternativa, l’analisi delle condizioni di esistenza.

Esercizio 15. Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche. Per le ultime due equazioni, di cui non è fornito il

risultato, si valuti anche la condizione di esistenza del parametro a.

a) log4x= log4 (8−x) [4]

b) log3 (x+4)= log3 (1−x)[

−3

2

]

c) log5 (x− 2)= log5 (3x+7) [∅]

d) log10x2=4 [100]

e) ln3(x+1)=5 [≈3.55]

f) loga (2− a)= loga (x− 4)

g) loga (x+1)+ logax= loga (4+ x)

3.7 Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

Come precedentemente indicato nel capitolo 2.4 quando un’equazione esponenziale non può esserericondotta a base comune, è spesso comunque possibile risolvere il calcolo usando i logaritmi. Atal proposito si osservino i seguenti esempi:

16 Indice

Esempio 9. Risoluzione di 3x= 21

3x = 21

log (3x) = log 21

x · log 3 = log 21

x =log 21

log 3F 2.77

Esempio 10. Risoluzione di 52x+1=6x−2

52x+1 = 6x−2

log (52x+1) = log (6x−2)

(2x+1) · log 5 = (x− 2) · log 6

2x · log 5+ log 5 x · log 6− 2 · log6

2x · log 5− x · log 6 = −2 · log6−log 5

x(2 · log 5− log 6) = −2 · log6−log 5

x =−2 · log 6−log 5

2 · log 5− log 6F −3.64

Esercizio 16. Determina la soluzione esatta, usando i logaritmi decimali, e una soluzione approssimata a due

cifre dopo al virgola, se questo è possibile, per le seguenti equazioni esponenziali:

a) 3x+4=21−3x [−1.16]

b) 42x+3=5x−2 [−6.34]

c) 22x−3=5x−2 [5.11]

d) 32−3x=42x+1 [0.13]

e) 2−x=8 [−3]

f) 2−x2

=5 [∅]

3.8 Il numero di Nepero e

Sebbene si chiami numero di Nepero (John Neper, Scozia, 1550-1617), il dibattito sulla scopertadi questo numero è ancora aperto. La lettera ”e“ è stata posta in memoria di Eulero (1707-1783),matematico svizzero che calcolò il valore di e fino a 23 decimali.

Il numero eF 2.71828 viene utilizzato in parecchi casi come base per la funzione esponenziale.

La funzione esponenziale con base e permette di descrivere parecchi fenomeni attraverso modellimatematici che contengono appunto la funzione esponenziale con base e.

Definizione 4. La funzione esponenziale naturale è: exp:R→R, x� y= ex

Esercizio 17. Crescita di una popolazione di batteri: il colera, una malattia che colpisce l‘intestino, è causato

dal batterio del colera. La popolazione di batteri cresce in modo esponenziale (per divisione delle cellule)

approssimativamente come descrive il modello (Nt indica il numero di batteri presenti dopo t ore, N0 il numero

iniziale di batteri):

Nt=N0 · e1,386t

a) Se partiamo da un batterio, quanti batteri ci saranno tra 5 ore?

b) E dopo 12 ore?

c) Rappresenta graficamente lo sviluppo del colera secondo il modello visto sopra, nelle prime 5 ore.

Esercizio 18. La popolazione di una città nel 1970 era di 153’800 abitanti. Ammettendo che quella popolazione

cresca in modo esponenziale secondo l’equazione N = N0 · ei·t dove il fattore di crescita i è il 5% all’anno, si

preveda il numero di abitanti nel 2010.

Esercizio 19. Sotto certe condizioni la pressione atmosferica p (in mm Hg) varia a dipendenza dell’altitudine

h (in metri) secondo la formula p= 734 · e−0.0000113·h. Qual è la pressione a 12000 m?

3 I logaritmi 17

Esercizio 20. Il decadimento radioattivo è descritto dalla relazione Nt=N0 · e−λ·t in cui N è l’attività e λ il

coefficiente di decadimento è legato al tempo di dimezzamento con la relazione λ =ln 2

t1

2

. Considerando che il

tempo di dimezzamento del 137Cs è di t1

2

=30.17 e prendendo in esame un osso di cinghiale che inizialmente ha

un’attività di 5622[Bq/kg] si calcoli:

a) il tempo affinché l’attività sia pari alla metà di quella iniziale;

b) il tempo affinché l’attività sia di 1000[Bq/kg];

c) l’attività che avrà l’osso tra 200 anni;

d) l’attività che avrà l’osso tra 1000 anni.

Esercizio 21. Risolvi le seguenti equazioni:

a) log73t2=1

b) log46x=2

c) log7 (x+2)5=0

d) log5 (4x2− 1)= log5 (2x+1)

e) log2x3− 2= 6

f) log2 (x3− 2)= 6

g) 5− log3(x−7)=5

h) log(x2− x+1)− log(3x2− x− 5)= 0

i) 2x+1 · 4x=82x−4

18 Indice

4 Esercizi

4.1 Esponenziali

Esercizio 22. Risolvi le seguenti equazioni esponenziali:

a) 7x+1= 49 [1]

b) 27x=1

3

[

−1

3

]

c) (0.1)x= 1000 [−3]

d)[(

2

3

)x]2=

8

27

[

3

2

]

e) (a2x)3= ax2

[0; 6]

f)(

2

3

)

x+1=(

3

2

)

2x[

−1

3

]

g) 3x+2x=0 [∅]

h)(

2

3

)

−x=[(

4

9

)

−2]

−3[−12]

i) 251−x3√= 5

√ [

1

4

]

j) a23√

= a1−x[

1

3

]

k) 62x= 2162x−1[

3

4

]

l) 5x2+x= 25 [−2; 1]

m) 4x+2

x = 16 [2]

n) 161+

x

2 =415

x [−5; 3]

o)3x−1

9=

271−x

32+x

[

4

5

]

Esercizio 23. Risolvi le seguenti equazioni esponenziali (difficili):

a)32x3

√

(2x+2)x−2=1

[

3;−4

3

]

b) 125x− 1√

· 58x+2√

= 25x− 1√

· 592x− 1√

[2]

c) 3x−2 · 5x−2=1 [2]

d) 2x · 52x−3=1

2x−3

[

3

2

]

e)2x · 1523 +1

= 40 · 3x−4 [3]

f) 2x+2x−1+2x−2=7 [2]

g) 3x+1+3x−2+3x−1+3x+2= 336 [3]

h) 32+ x√

+31+ x√

− 3 x√

= 99 [4]

i) 32x− 3x− 6= 0 [1]

j) 4x− 6 · 2x+8=0 [1; 2]

k) 3 · 22x−1− 2x=4 [1]

l)32−x − 31−x

9x+1 − 32x+1= 271+3x

[

−1

4

]

m)1

41−3x+23x+1=

1

42−3x+23x+3

[

5

3

]

n) 6x− 3x− 3 · 2x+3=0 [0; 1]

o) 9 · 32x=5x+1 [−1]

Esercizio 24. Calcola i seguenti logaritmi (senza la calcolatrice)

a) log464= [3]

b) log327= [3]

c) log61

36= [−2]

d) log1

6

36= [−2]

e) log5125= [3]

f) log0.10.01= [2]

g) log121

144= [−2]

h) log21

128= [7]

i) log2 (1

2)2

3 =[

−2

3

]

j) log0.20, 04= [2]

k) log5 (1

5)−1

5 =[

1

5

]

l) log21

163√

=[

−4

3

]

m) log3 35√ =[

1

5

]

n) log0,3100

9= [−2]

o) log9 35√ =[

1

10

]

4 Esercizi 19

Esercizio 25. Trova il numero conoscendo il logaritmo e la base

a) log3

5

x=−1[

5

3

]

b) log3

4

x=1

2

[

3√

2

]

c) log3x=−2

3

[

1

93√

]

d) log 9

25

x=−1

2

[

5

3

]

e) logax=−3

4

[

1

a3

4√

]

f) log 3√ x=

3

4

[

278√]

g) log0.5x=2[

1

4

]

h) log 1

3

√ x=−2

3

[

33√]

i) log0.01x=−3 [106]

j) log a√ x=

4

5

[

a25√ ]

k) loga23

√ x=−6[

1

a4

]

l) loga5x=−3

5

[

1

a3

]

Esercizio 26. Determina la base dei seguenti logaritmi:

a) logx9=−2[

1

3

]

b) logx1

8=−3 [2]

c) logx81

16=4

[

3

2

]

d) logx1

27=−3 [3]

e) logx1

45√

=−2

5[2]

f) logx1

95√

=−2

5[3]

g) logx 2710√ =−0.3[

1

3

]

h) logx3

5=−1

2

[

25

9

]

Esercizio 27. Calcola le espressioni usando le proprietà dei logaritmi:

a) log4 ( 43√ · 45)=[

16

3

]

b) log2 ( 24√ · 43√ )=[

11

12

]

c) log381 275

√

3√ =

[

41

10

]

d) log225 2

√

43√ =

[

29

6

]

e) log3 3 3√√

=[

3

4

]

f) log2 (44

2√3

√

)=[

5

2

]

g) loga (a a a√√

) =[

7

4

]

h) log3 271

9 813√3

√

4

√

+ log5 (125 55

√

125

√

√

) +

log3

1

3813

√3

√

31

3

√

4

√

[

10

3

]

i) log6 18 27 · 27 6√4

√

3√

+ log22

√3

√

21

2

√

4

√ +

log1

2

(8 41

8

√

3

√

)=[

−13

6

]

Esercizio 28. Espandi applicando le proprietà dei logaritmi:

a) log (abc)= [loga+ log b+log c]

b) log (3mn2)=

c) log (x+ y)2=

d) log 2a3√ =

e) log [ 3√

x(x+ y)] =

f) loga a b

√√

a+ b=

g) log (a− b) a2− b2√

√

=

h) loga3 + b

a a√ =

i) log (x2 xy

x√ ÷ x

y

√

4

√

)=[

2 logx+3

8log y

]

j) logab2c a2b

3√

abc√ ÷ a b c

√√

√

4

√

=

Esercizio 29. Cambia la base e semplifica:

a) log48=[

3

2

]

b) log1

4

1

8=

[

3

2

]

c) log 5√ (25 5

√)= [5]

d) log 0,2√ 0.043√ =

[

4

3

]

e) log4 2√ 23

√

24√ =

[

1

30

]

f) loga2 a53√

=[

5

6

]

g) log a√ (a a4√ )=

[

5

2

]

h) logx2 x√ (x3 x x

√√

)=[

3

2

]

20 Indice

Esercizio 30. Dimostra che le seguenti eguaglianze sono vere ricordando che logab=1

logba

a) logab · logbc= logac

b) log35+1

2log53=

3

log59

c) logabb=logab

1+ logab

Esercizio 31. Risolvi le seguenti equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi:

a) 3x=5[

log 5

log 3F 1, 465

]

b) 3x · 21−x= 18 [F5.419]

c) 2x+1=51−x [F0.398]

d)2x+1 · 5x−1

3x=2 [F1.337]

e)121−x

3x+1=

41+3x√

62+x[F1.105]

f)10

2x=31−x+

2

3x[F−1.71]

g)1

7x+1+

7x

49x − 1=

2 · 7x − 1

7x − 1[F−0.356]

h) 3x−1√

+7 · 2x+1=2x+1 3x

√

3 · 4x−2√ [F−8.638]

i)1− 2x+1

2x+

3+ 6 · 2x

2x +2=

11

4x +2x+1[F0.585]

j) 12x− 3 · 4x− 5 · 3x+ 15=0 [1;F1.161]

k)2x · 151+ 23

= 40 · 3x−4 [3]

l) 31+2x+4

3=4 · 3x [F−0.369]

m) 5 · 31−x=36 − 3x+1

32x+2 [1;F1.631]

Esercizio 32. Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche:

a) log5x=1

3

[

53√]

b) log27x=−2

3

[

1

9

]

c) log3 (3x− 4)= 2[

13

3

]

d) log2 (x2+3x+4)= 2 [0;−3]

e) log3 ( x− 2√

− 1)= 0 [6]

f) logx (2x− 1)=2 [∅]

g) 4log5x=3 [8]

h) logx (x2+4x− 5)= 2

[

5

4

]

i) log4 (x+6)+ log4x=2 [2]

j) log5 (x2− 4)− log5 (x+2)= 2 [27]

k) 2log2x=2+ log2 (x− 1) [2]

l)1

3log(x3− 8x+5)= log (x− 1) [3]

Esercizio 33. Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche:

a) log2 (3x+1)− log2 (x+2)+ 2= log2 (9x− 4)− log2x[

2;3

4

]

b) log (4x− 1)− log (3x− 1)= log (1+ x)− log (1− x) [3

7]

c) log (2x+ 11)− log (x+4)− log2= log (1− 3x)− log (1− x)[

−3;−1

4

]

d) log (1− x+2√

)=1

2log(3x+7) [−2]

e)1

2loga(16− x) = loga (x− 4) [a> 0 ea� 1; 7]

f) log2 (x+2)+ log2x=3 [2]

g) log3 (x+1)+ log(x+1)3=10

3

[

26; 33√ − 1]

4 Esercizi 21

4.2 Problemi di matematica finanziaria risolvibili con i logaritmi

Esercizio 34. Calcola il valore di n nella formula M =C(1+ i)n

a) M = 10000, C = 2500, i=2, 5% [56a1m22g]

b) M = 10404, C = 10000, i=2% [2a]

c) M = 50000, C = 7000, i=4% [50a1m17g]

Esercizio 35. Calcola dopo quanto tempo, un capitale di 1000 CHF impiegato al tasso composto annuo del

5%, raddoppia. [14a2m15g]

Esercizio 36. Determina dopo quanto tempo, un capitale di 13500 CHF impiegato al tasso annuo composto

del 2.5% dà lo stesso montante di 10000 CHF impiegati al 3% composto annuo. (comparare con un equazione

i due montanti ottenuti con i due capitali) [61a8m2g]

Esercizio 37. Una signora ha impiegato 2225 CHF ad interesse composto annuo del 7.15% per 3 anni. Alla

scadenza ha reimpiegato subito il montante disponibile per due anni al tasso semestrale del 3.7%. Alla scadenza

ha reimpiegato ancora il nuovo montante per un certo tempo al tasso trimestrale del 2%. Alla scadenza ritira

il montante complessivo di 3564.70 CHF Calcola la durata del terzo impiego [1a6m]

Esercizio 38. Una persona ha depositato 8 anni fa presso una banca che pratica la capitalizzazione composta

al tasso annuo del 91

4% un capitale di 3671 CHF.

a) Determina il montante che potrà ritirare fra 3 anni e 4 mesi a partire da oggi. [10005,25]

b) Determina a quale tasso di interesse quadrimestrale occorrerebbe impiegare per lo stesso periodo di

tempo, lo stesso capitale per ottenere lo stesso montante. [2.99%]

c) Determina per quanto tempo (anni, mesi, giorni) bisogna investire alle stesse condizioni il medesimo

capitale per ottenere un montante di 5000 CHF. [3a 5m 28g]

Esercizio 39. Il capitale di 16000 CHF è stato impiegato per 12 anni in regime di capitalizzazione composta;

il tasso, inizialmente del 5%, è stato poi ridotto al 4%. Quando è avvenuta la variazione di tasso se il montante

finale è di 27500 CHF ? (Se un tempo è n, l’altro sarà 12−n, il montante del primo periodo diventa il capitale

del secondo; bisogna poi creare un unica equazione) [7a 4m 29g]

Esercizio 40. Ho impiegato 7000 CHF al 1.5% composto trimestrale e 6000 CHF al tasso di interesse composto

del 7% annuo. Determina fra quanto tempo i due impieghi daranno origine allo stesso montante. (simile al

problema 2, se n sono gli anni, allora i trimestri sono 4n) [19a 8g]

Esercizio 41. In quanto tempo un capitale, impiegato ad interesse composto al tasso annuo del 5% aumenta

di un terzo del suo valore? [5a 10m 23g]

Esercizio 42. Giorgio ha impiegato 3000 CHF per 4 anni e 8 mesi al 2% quadrimestrale; ha poi ritirato

il montante e l’ha reimpiegato al 5% annuo. Dopo quanto tempo potrà disporre di un montante di 6400

CHF ? [9a 10m 5g]

22 Indice