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DISEQUAZIONI

1. Risolvere sia algebricamente che graficamente disegnando le rette il

seguente sistema di disequazioni:{2x + 3 ≤ 3x− 1

−5x + 7 ≥ 2

2. Risolvere sia algebricamente che graficamente disegnando le curve il

seguente sistema di disequazioni:{2x + 3 ≥ 3x− 1

3x2 − 5x ≤ −2

3. Risolvere sia algebricamente che graficamente disegnando le curve il

seguente sistema di disequazioni:{2x + 3 ≤ x + 4

−x2 + 3x ≥ 0

4. Risolvere la disequazione

√x + 1 < x + 1.

5. Risolvere, con il confronto grafico, la seguente disequazione:

| 2x + 1 |≤| 3x− 4 | .

6. Risolvere con metodo grafico la seguente disequazione

| 2x + 1 |<| x2 − 1 | .

7. Risolvere in IR le seguenti disequazioni:

| x + 2 |≥| x + 3 |,log (x2 − 1) ≤ 2.

1

8. Risolvere le seguenti disequazioni:

log | x− 1 | ≥ 3;

arcsin√

x2 − 1 < arcsin x.

9. Risolvere la seguente disequazione:

log(x3 − 1) > 3.

10. Risolvere sia analiticamente che graficamente la seguente disequazione:

| x |≤ x2.

11. Risolvere la seguente disequazione:

log(x2 − 1) < 3.


| x |≥ x3.


| 3√

x |≥| x | .

14. Risolvere con il confronto grafico, la seguente disequazione

| log1/2 | x | | + | x− 1 |< 1.

15. Risolvere con il confronto grafico la seguente disequazione

√| x |+ | x2 − 1 |< 2.

16. Risolvere l’equazione 4x + 2x+2 − 5 = 0.

Interpretare geometricamente l’equazione proposta e i risultati ottenuti

(disegnare i grafici delle funzioni f1(x) = 4x, f2(x) = 5− 2x+2).

17. Risolvere le seguenti disequazioni

e4x − 2e2x − 3 ≥ 0.

e2x − 2ex − 8 ≤ 0.

18. Risolvere in IR le seguenti disequazioni:

e(x+1) < 3

log 1x≤ 0

2


| x |< 3√

x.

Interpretare graficamente la disequazione.


e4x4−5x2+1 < 1.


log1/5(x2 + 4x) > −1.

22. Risolvere con il confronto grafico le seguenti disequazioni:

1

x+ | x + 1 |< 1

ex − x+ | x | ≥ 0.

23. Risolvere con metodo grafico la seguente disequazione

| 1 + 2x |≥| 1− x2 | .

24. Sapendo che 12

e una sua radice doppia, trovare tutte le soluzioni

dell’equazione

4x4 − 4x3 + 17x2 − 16x + 4 = 0.

25. Risolvere con il metodo grafico la seguente disequazione

| 3x + 1 |≤| x3 − 1 |

26. Risolvere l’equazione 9x + 3x+2 − 11 = 0.

Interpretare geometricamente l’equazione proposta e i risultati ottenuti

(disegnare i grafici delle funzioni f1(x) = 9x, f2(x) = 11− 3x+2).

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TRIGONOMETRIA

1. Un appezzamento di terreno ha la forma di un triangolo rettangolo i

cui lati hanno lunghezze proporzionali ai numeri 3, 4, 5. Sapendo che

l’ipotenusa e lunga 200 m, quanti ettari di terreno e l’appezzamento?

2. Due appezzamenti di terreno, uno di forma quadrata di lato 13m, l’altro

di forma rettangolare di dimensioni 13m e 20m, giacenti su due piani

orizzontali a quote diverse , sono separati da una scarpata (pendio)

lunga 10m ed avente una pendenza del 75%.

Volendo livellare il terreno spostando il minimo volume di terra , cal-

colare la superficie totale del terreno (una volta livellato) ed il volume

di terra rimosso.

3. Assegnato un trapezio isoscele T giacente su un piano inclinato di un

angolo α rispetto al piano orizzontale, sia m il rapporto fra l’area del

trapezio e quella della sua proiezione sul piano orizzontale. Calcolare

l’angolo α.

4. Supponiamo la terra sferica e sia R il suo raggio. Supposto che dal

punto M, al livello del mare, si misuri il segmento verticale MP = d ed

inoltre si misuri l’angolo φ che la visuale PQ all’orizzonte forma con la

normale ad MP ( φ si dice depressione di P sull’orizzonte), determinare

la misura di R.

5. Allontanandosi verticalmente dalla superficie terrestre e noto che l’orizzonte

risulta una circonferenza T. Indicato con R il raggio terrestre, deter-

minare il raggio dell’orizzonte visivo T da un punto P a distanza 2R

dalla superficie terrestre.

6. Si narra che nel VI sec. a. C., Talete risalı all’altezza di un obelisco

misurando la lunghezza dell’ombra che l’obelisco stesso proiettava sul

terreno.

Sapreste fare altrettanto con il campanile di una chiesa, con un cipresso,

con un silos o con una ciminiera?

Descrivete brevemente le fasi e le operazioni eseguite per stimare l’altezza

dell’oggetto preso in esame.

4

7. Per un granaio a sezione rettangolare viene progettato un tetto a quat-

tro pendenze (due trapezi uguali e due triangoli uguali). Sapendo che

le lunghezze delle gronde sono 8 m e 16 m e sapendo che e stata prevista

una pendenza del 75%, quanto sviluppa la superficie del tetto?

8. Durante una partita di calcio, uno dei guardalinee si trova in una po-

sizione A che dista 28 m dalla bandierina d’angolo. Sapendo che il

campo e largo 77 m e le dimensioni delle porte sono 7 m (larghezza) e

2.5 m (altezza), determinare l’area dello ”specchio” di porta visto dal

guardalinee.

9. Una tavola da muratori della lunghezza di 4m e poggiata trasver-

salmente e tangenzialmente su un rullo cilindrico del diametro di 100

cm, allo scopo di formare un piano inclinato rispetto ad un piano oriz-

zontale su cui giace una generatrice del rullo.

Determinare la pendenza percentuale del piano inclinato a minima pen-

denza.

10. In un edificio in costruzione, due piani consecutivi vengono collegati da

una scala diritta ad una sola rampa.

Sapendo che i gradini hanno un’alzata di 16 cm ed una pedata di 31

cm, determinare l’angolo di inclinazione (espresso in gradi) dello scivolo

porta–gradini.

11. Sono classificate strade a scorrimento veloce tutte quelle i cui tracciati

abbiano pendenza inferiore al 7%.

Supposto che la differenza delle altitudini sul livello del mare di due

localita A e B sia 300 m e che la distanza in linea d’aria sia 5 km,

dire se e possibile collegarle con un tratto rettilineo di una strada a

scorrimento veloce nel rispetto della normativa suddetta.

12. Due tiranti sono tesi tra la cima A di un palo verticale e i punti B e

C sul terreno, essendo C 10 m piu vicino di B alla base del palo. Se

i tiranti AC ed AB formano rispettivamente angoli di π3

e di π6

con

l’orizzontale, calcolare la lunghezza del palo.

13. Indicati con A, B, C, i vertici di un triangolo rettangolo e assegnati

il cateto AC e l’angolo α = ABC, determinare il cateto AB e

l’ipotenusa BC.

5

14. Usando relazioni di trigonometria, provare che se due rette assegnate

y = mx + q e y = m′x + q′ sono perpendicolari allora m ·m′ = −1.

15. Esprimere usando le funzioni trigonometriche l’area di un parallelo-

grammo dati i lati a, b e l’angolo θ.

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FUNZIONI E PROCESSI ITERATIVI

1. Completare la seguente tabella.

x1 x2 x3 x4 xn T (x)

2 4 6 8 2 · n x + 2

3 5 7 9

2 4 8 16

2 10 50 250

3 9 15 21

4 8 12 16

3 7 11 15

5 7 9 11

-1/3 1/5 -1/7 1/9

5/2 10/3 15/4 4

1 3/2 5/3 7/4

2. Disegnare un possibile grafico della temperatura in funzione del tempo

in accordo con la seguente descrizione:

la temperatura e aumentata per tutta la mattina, poi improvvisamente,

verso mezzogiorno si e fatto freddo per un temporale improvviso. Dopo

il temporale si e fatto piu caldo per poi rinfrescarsi verso il tramonto.

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3. Subito dopo che ad un paziente sofferente di tachicardia e stata som-

ministrata una medicina, il ritmo cardiaco si e abbassato drasticamente

e poi e tornato lentamente ad aumentare man mano che la medicina

perdeva il suo effetto.

Disegnare un grafico che descriva il ritmo cardiaco in funzione del

tempo.

4. Ogni anno il consumo mondiale di elettricita aumenta, ma aumenta

anche l’incremento di tale consumo.

Disegnare un possibile grafico del consumo annuale di elettricitain fun-

zione del tempo.

5. Un medicina e iniettata per endovena ad un paziente per cinque minuti.

Durante la somministrazione la quantita di medicina nel sangue e cresci-

uta linearmente; appena si e cessata la somministrazione essa e dimi-

nuita esponenzialmente. Descrivere in un grafico l’andamento della

quantita di medicina in funzione del tempo.

6. Considerate le tabelle

x 0 1 2 3

f(x) 4.30 6.02 8.43 11.80

t 0 1 2 3

g(t) 5.50 4.40 3.52 2.82

Individuare una possibile formulazione per le funzioni f e g.

7. I valori di tre funzioni sono riportati nelle tabelle sottostanti (i numeri

sono approssimati alla seconda cifra decimale).

Due funzioni sono funzioni potenza, rispettivamente quadratica e cu-

bica, mentre l’altra e esponenziale.

Qual’e la funzione quadratica e quella cubica?

8

x f(x)

8.4 5.93

9.0 7.29

9.6 8.85

10.2 10.61

10.8 12.60

11.4 14.82

x g(x)

5.0 3.12

5.5 3.74

6.0 4.49

6.5 5.39

7.0 6.47

7.5 7.76

x k(x)

0.6 3.24

1.0 9.01

1.4 17.66

1.8 29.19

2.2 43.61

2.6 60.91

8. Supponiamo di voler registrare i risultati di un esperimento di dosaggio

biologico. Supponiamo di voler stabilire una soglia oltre la quale una

certa sostanza chimica somministrata ad soggetto genera un effetto

indesiderato.

Indichiamo con d la dose di sostanza chimica e con r la risposta.

Poniamo r = 0 se la dose somministrata non genera l’effetto voluto,

poniamo r = 1 nel caso contrario.

Indichiamo con d0 il piu piccolo valore della dose che produce l’effetto

desiderato.

Otteniamo la funzione:

r(d) =

{0 se d < d0

1 se d ≥ d0

Disegnare il grafico della funzione.

9. Si considerino le seguenti tabelle:

t f(t)

2.0 4.40

2.2 5.32

2.4 6.34

2.6 7.44

2.8 8.62

3.0 9.90

t g(t)

1.0 3.00

1.2 5.18

1.4 8.23

1.6 12.29

1.8 17.50

2.0 24.00

t h(t)

0.0 2.04

1.0 3.06

2.0 4.59

3.0 6.89

4.0 10.33

5.0 15.49

Le tre funzioni sono del tipo

9

Y = abt, y = at2, y = bt3

Associare a ciascuna funzione la legge corrispondente.

10. Per il noleggio di un’automobile si puo scegliere tra tre diverse tariffe:

• si paga una quota fissa di 10 euro, piu un importo di 13 centesimi

di euro per ogni Km di percorrenza;

• si paga una quota fissa di 13 euro, piu un importo di 10 centesimi

di euro per ogni Km di percorrenza;

• non si paga alcuna quota fissa, ma solo un importo di 25 centesimi

di euro per ogni Km di percorrenza, col vincolo di un minimo di

50 Km (ossia percorrenze inferiori a 50 Km vengono conteggiate

come se fossero percorsi esattamente 50 Km).

Esprimete nei tre casi la spesa complessiva in funzione della percor-

renza e visualizzate la situazione in un opportuno sistema di riferimento

cartesiano.

Discutete quindi della convenienza delle tre tariffe.

11. Una dieta prevede un consumo giornaliero di

• 50 g di grassi,

• 100 g di proteine,

• 250 g di carboidrati.

Volendo consumare tre soli alimenti A, B, C, calcolare le quantita nec-

essarie per ciascuno di essi, conoscendo le rispettive composizioni per-

centuali (in peso):

COMPOSIZIONE ALIMENTO A ALIMENTO B ALIMENTO C

Grassi 30% 5% 5%

Proteine 10% 20% 10%

Carboidrati 20% 15% 40%

Altre sostanze 40% 60% 45%

10

12. Una dieta prevede un consumo giornaliero di

• 100 g di proteine,

• 250 g di carboidrati,

non si impongono invece limitazioni sulla quantita dei grassi.

E possibile attuare tale dieta mediante i soli alimenti A,B di cui all’esercizio

precedente?

E mediante i soli alimenti A e C?

E mediante i soli alimenti B e C?

13. Una dieta prevede un consumo giornaliero di proteine compreso tra i 75

g e i 125 g e di carboidrati compreso tra i 250 g e i 300 g, con l’ulteriore

vincolo che la quantita complessiva di proteine e carboidrati non deve

superare i 375 g.

Epossibile attuare tale diet mediante i soli alimenti A e B la cui com-

posizione percentuale e descritta nell’esercizio ......?

E con i soli alimenti A, C?

E con i soli alimenti B, C?

Per ciascuna delle tre domande disegnate, nel piano cartesiano, la re-

gione i cui punti rappresentano le coppie di quantita ”ammissibili” dei

due alimenti.

14. Se il tasso di interesse e del 3/% annuo, quanti anni sono necessari per

raddoppiare il capitale rispettivamente in un investimento a capitaliz-

zazione semplice oppure composta?

15. Due banche X e Y offrono un interesse annuo dell’8%. La banca X

capitalizza l’interesse annualmente, mentre la banca Y ogni tre mesi.

Calcolare la differenza tra i due montanti al termine del primo anno.

16. Stabilire se e piu conveniente un interesse annuo del 5% capitalizzato

annualmente oppure un interesse annuo del 4.8% capitalizzato mensil-

mente.

11

17. • Determinare il tempo di raddoppio T per investimenti al tasso

rispettivamente del 2%, 3%, 4%, 5%, i% annuo. Poiche T de-

cresce al crescere dell’interesse i, si potrebbe supporre che T

sia inversamente proporzionale ad ı, cioe T = k/i.

• Utilizare il modello di cui al punto precedente per ottenere una

conferma di questa ipotesi. Si trovera che T = 70/i. (Questa

e la cosı detta regola del 70 usata dalle Banche per calcolare

approssimativamente il tempo di raddoppio di un capitale.

18. Un brodo di coltura e infetto da N0 batteri. Modellare il processo di

proliferazione, sapendo che le cellule dei batteri si dividono ogni due

ore.

Quanti batteri ci saranno nel brodo dopo 24 ore?

A quale stadio il numero dei batteri raggiunge il 25% del totale dello

stadio precedente?

19. Un biologo sta studiando la crescita di un puledro.

Nel primo mese il peso cresce del 20%. Nel secondo mese il peso cresce

di nuovo del 20%. Quale e l’incremento totale nei due mesi?

Modellare il processo di crescita, supposto ch el’incremento del peso sia

costante.

20. Si stima che la popolazione di un certo paese si accresca con un tasso an-

nuo del 2%. Supponiamo che questo tasso di accrescimento si mantenga

costante nel tempo, si stimi quale sara la dimensione della popolazione

dopo n anni.

Quanti anni impieghera questa popolazione per raddoppiare?

21. Il ciclo di lavaggio di una lavatrice prevede una fase iniziale di lavag-

gio, con immissione di circa 80 g di detersivo, seguita da una serie di

risciacqui con acqua pura.

Al termine di ciascuna fase, la lavatrice scarica l’acqua (con relativo

detersivo che vi e disciolto), ma rimane nella lavatrice un residuo di de-

tersivo pari al 5% della quantita che vi si trovava nella fase precedente.

Calcolare:

12

• la quantita di detersivo rimasta nella lavatrice al termine della

prima, seconda, terza, ...., n - esima fase.

• quanti risciacqui sono necessari, se si vuole che la quantita residua

di detersivo non superi lo 0.02% della quantita immessa all’inizio

del ciclo.

22. Si supponga che una moneta negli ultimi 10 anni si sia svalutata del

complessivamente del 250%.

Calcolare il tasso di svalutazione medio annuo, supponendolo costante

di anno in anno.

23. Quando nel 1968 si tennero le Olimpidi a Citta del Messico, si discusse

a lungo circa i possibili effetti che l’altitudine (2237 metri) avrebbe po-

tuto avere sul rendimento degli atleti.

Supposto che la pressione dell’aria diminuisce dello dello 0,4% ogni 30

metri, di quale percentuale e inferiore la pressione atmosferica da Atene

(sul livello del mare) rispetto a Citta del Messico?

24. Il decadimento di una certa sostanza radioattiva e tale che dopo 10

anni rimane solo il 70% della radioattivita.

• Quanto sara la radioattivita ancora presente dopo 50 anni?

• Qual’e il tempo di dimezzamento della sostanza?

• Quanto si dovra aspettare affinche la radioattivita residua sia solo

del 20%? e del 10%?

25. In un laboratorio scientifico i topi utilizzati per un certo esperimento

sono raggruppati per eta. Le eta dei gruppi si susseguono secondo

una progressione geometrica. Se il gruppo piu giovane ha tre setti-

mane di vita e il sucessivo ha 9/2 settimane di vita, determinare le eta

dei due gruppi che seguono. Sapendo che vengono utilizzati solamente

topi con eta non superiore a 20 settimane, determinare il numero mas-

simo di gruppi che possono essere contemporaneamente disponiili per

l’esperimento.

26. Una tarma femmina (Tinea pellionella) depone approssimativamente

150 uova. In un anno si possono avere fino a cinque generazioni. Sup-

13

poniamo che i 2/3 delle larve muoia e che il 50% delle larve rimanenti

siano femmine.

• Determinare il numero delle tarme femmina alla n-esima gener-

azione, supposto che al primo stadio ci sia una sola femmina.

• Se ogni larva mangia 20 mg di lana, calcolare la quantita di lana

che puoessere distrutta dai discendenti di una femmina in un anno.

• Dopo quanti anni i discendenti di una stessa generazione possono

distruggere 20Kg di lana?

27. Allo stadio zero una cellula madre si divide per mitosi in due cellule

figlia; allo stadio uno ciascuna cellula figlia si divide in ulteriori due

cellule figlia e cosı via.

A quale stadio il numero delle cellule eguaglia e supera il numero pos-

itivo a?

28. In una data regione un’epidemia e individuata con un certo ritardo,

quando ormai vi sono circa 1000 casi di malattia. Se i tempo di rad-

doppio della malattia e di circa 10 mesi, quanto tempo prima si puo

presumere che l’epidemia abbia avuto inizio?

29. In alcune aziende la classe di stipendio attribuita ad un dipendente

e funzione degli anni di servizio maturati, come specificato: classe 0

all’atto dell’assunzione in servizio, classi 1, 2, 3, ...... al compimento

del quarto, ottavo, dodicesimo,...... anno di servizio, rispettivamente.

Indicati con n gli anni di anzianita di servizio e con f(n) la rispettiva

classe di stipendio attribuita, scrivere la legge che definisce la funzione

f : IN → IN, n → f(n).

30. Supponiamo che P migliaia di lire siano investite ad un tasso di in-

teresse annuale del 100r%. Se l’interesse accumulato e accreditato sul

conto alla fine dell’anno, l’interesse e detto ”composto annualmente”;

se e accreditato ogni sei mesi, e detto ”composto semestralmente”, se

accreditato ogni tre mesi e detto ”composto trimestralmente”.

(a) Determinare il valore dell’investimento dopo t anni nel caso in cui

l’interesse sia composto n volte in un anno ad intervalli ugualmente

spaziati.

(b) Immaginando che l’interesse sia composto ogni istante (interesse

”composto continuamente”)ed utilizzando il risultato di (a) determinare

il valore dell’investimento dopo t anni.

14

31. Disegnare il grafico della funzione f(x) = sin x nell’intervallo [−π, π].

Disegnare i grafici delle seguenti funzioni e specificare il loro codominio:

−f(x) + 2

− 2f(x)

−−f(x)

− f(−x).

32. Disegnare il grafico della funzione f(x) = [x].

Determinare il suo codominio e stabilire se e biiettiva, monotona e

invertibile.

33. Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni:

f1(x) = log | x− 1 |f2(x) =

√1

ex2−1

34. Assegnate le funzioni

f1(x) =√

x2 + 4x + 4

f2(x) =| x2 − 1 |

f3(x) = arcsin log x

f4(x) =

{− 1

xse x < 0

log x se x > 0

f5(x) = 1x−1

f6(x) =√

x2 − 1

f7(x) = [x− 1].

determinarne il campo di esistenza, il codominio e stabilire se sono

biiettive, monotone, invertibili.

35. Studiare la limitatezza della funzione f : [−1, 1] → IR definita da

f(x) =x6 + x5 + 1

(x8 + 1)

√1− x2.

15

36. Nel piano siano dati n punti (n ≥ 2), tre a tre non allineati. Di-

mostrare per induzione che le rette che li congiungono a due a due sonon(n−1)

2.

37. In un opportuno sistema di riferimento, disegnare il grafico della fun-

zione f(x) = ex. Disegnare successivamente i grafici di:

- f1(x) = e−x

- f2(x) = ex+1

- f3(x) = −ex

- f4(x) = −ex+1

- f5(x) = e|x|

38. Assegnata la funzione

f(x) = log(x + 1)− log(x + 2)

- determinare il campo di esistenza e il codominio,

- provare che la funzione e invertibile e trovare la funzione inversa f−1.

39. Usare il principio di induzione per dimostrare che∑nk=1 k3 = 1 + 23 + 33 + ... + n3 = [n(n + 1)/2]2.

40. Assegnata la funzione f(x) =| −x2 + 3x | determinare il suo campo

di esistenza e stabilire se essa e biiettiva o monotona.

Disegnare il grafico.

41. Usando il principio di induzione, provare che ogni poligono piano con

n (> 3) lati e unione di (n− 2) triangoli.

42. Assegnata la funzione f(x) =√

1− 6x + 9x2 determinare il suo campo

di esistenza e stabilire se essa e biiettiva e/o monotona.


43. Supponiamo che una certa popolazione biologica aumenti ogni anno

di una quantita proporzionale al numero di individui presenti, con un

coefficiente di proporzionalita k ( che rappresenta l’eccedenza dei nati

sui morti). Allora, indicato con an il numero dei soggetti presenti

all’anno n-esimo, si ha

an+1 = an + kan.

Calcolare il termine generale della successione in funzione della dimen-

sione a0 della popolazione all’inizio dello studio.

16

44. Dimostrare per induzione l’identita (n ≥ 1) :

1

1 2+

1

2 3+ ... +

1

n(n + 1)= 1− 1

n + 1.

45. In un opportuno sistema di riferimento, disegnare il grafico della fun-

zione f(x) = 1x. Disegnare successivamente i grafici di:

- f1(x) = 1x

+ 1

- f2(x) = − 1x

- f3(x) =| 1x|

- f4(x) = 1x+1

46. Di ciascuna funzione dell’esercizio precedente determinare il campo di

esistenza e il codominio.

Stabilire se la funzione f3(x) =| 1x| e biiettiva, monotona, limitata.

47. Siano assegnate f : A → B, g : B → C. Ragionando per assurdo

provare che se f, g sono monotone strettamente crescenti, anche la

funzione composta g ◦ f e strettamente crescente.

Sussiste anche l’affermazione opposta?

48. Unendo i punti medi dei lati di un triangolo equilatero si divide la figura

in quattro ulteriori triangoli equilateri.

Iterando il procedimento provare per induzione che l’area di ciascun

triangolo ottenuto all’n-esima divisione e A/4n essendo A l’area del

triangolo iniziale (n = 0).

49. Determinare il campo di esistenza, il codominio e la funzione inversa

della seguente

h(x) = 2− 3−x.

50. Dare la definizione e un esempio di progressione geometrica e di pro-

gressione aritmetica.

Assegnata una progressione geometrica sn, provare che passando ai

corrispondenti logaritmi (in base a qualsiasi) si ottiene una progres-

sione aritmetica loga sn.

51. E’ dato un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite:{ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

17

Nel piano cartesiano, ciascuna delle due equazioni del sistema rappre-

senta una retta. Interpretate in termini algebrici e geometrici le tre

alternative possibili:

- Il sistema ammette un’unica soluzione.

- Il sistema e impossibile.

- Il sistema e indeterminato.

52. Determinare m e n in modo che il grafico della funzione f(x) =

log(mx + n) passi per i punti A = (1,−1), B = (6, 0).

53. Dimostrare che per ogni x ∈ [−1,−1] risulta

arcsin x + arccos x =π

2

(L’esercizio si puo risolvere: 1) verificando la formula in un punto,

utilizzando la caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo

e la continuita della funzione assegnata...

oppure: 2) partendo dalla formula trigonometrica cos(π/2− y) = ....

e usando le funzioni trigonometriche inverse....

54. Assegnata la successione definita per ricorrenza

a1 =√

2, an+1 =√

2 + an,

provare che

- (an)n e monotona crescente (si puo usare il principio di induzione:

si prova a2 > a1, supposto an+1 > an.... )

- (an)n e limitata (si puo usare il principio di induzione....)

- limn→+∞ an = ....

55. Una coppia di cellule e composta da una cellula di tipo A e una cellula di

tipo B. Ad ogni stadio ogni cellula A genera un’altra cellula dello stesso

tipo, mentre ogni cellula B genera altre due cellule B. Determinare, se

esiste, uno stadio n del processo per cui il numero delle cellule totali

superi di 37 volte le cellule di tipo A presenti allo stadio n+3.

56. Consideriamo la trasmissione di una malattia contagiosa. Supponiamo

di avere due infetti X e Y e tre persone che chiameremo A, B, e C;

chiediamo ad A, B e C se hanno avuto contatti con X e Y, attribuiamo

alla risposta affermativa il numero 1 ed alla risposta negativa il numero

18

0 e costruiamo la relativa tabella (si chiama matrice di contagio)

A B C

X 0 1 1

Y 1 1 0

Interroghiamo ora altre quattro persone che conveniamo di chiamare

P, Q, R e S, chiediamo loro se hanno avuto contatti con A, B, e C e

compiliamo la relativa tabella

P Q R S

A 0 0 1 1

B 1 0 1 0

C 1 0 0 0

Determinare la tabella che rappresenta i valori rispetto cui un membro

del terzo gruppo (P, Q, R, S) puo essere stato (indirettamente) conta-

giato da un membro del primo gruppo (X, Y) e darne un’interpretazione.

57. La costruzione di una diga sul corso di un torrente ha dato luogo alla

formazione di un laghetto, della capienza di 12000m3 d’acqua. Poiche

il torrente sbarrato dalla diga immette mediamente nel bacino 200m3

di detriti all’anno:

a) individuare l’espressione che descrive la progressiva diminuzione della

capienza del laghetto per effetto dell’interramento;

b) determinare dopo quanti anni la capienza del laghetto sara ridotta

alla meta di quella iniziale e dopo quanti anni esso sara completamente

interrato.

58. La popolazione di un paese e raddoppiata nel giro di 18 anni. Calcolate

il corrispondente tasso di accrescimento annuo (supposto costante nel

tempo).

59. Sia assegnato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy; con-

sideriamo un altro sistema di riferimento avente la stessa origine e gli

assi ruotati di 60o in senso antiorario. Determinare le formule di

rotazione degli assi.

60. Sono assegnate una progressione geometrica di dato iniziale a0 = 3 e

di ragione q = 4 e una progressione aritmetica di dato iniziale b0 = 5

e ragione r = 7. Indicata con f(x) la funzione in variabile x relativa

alla progressione geometrica e con g(x) quella relativa alla aritmetica,

disegnare i grafici delle due funzioni nello stesso piano cartesiano.

19

61. E assegnata un progressione geometrica di dato iniziale a0 = 3 e di

ragione q = 5; dimostrare che a partire da un certo indice n0 (quale?)

i valori della successione superano 104.

62. Un capitale e investito da lungo tempo ad un tasso fisso di interesse

annuo del 6%. Se attualmente il capitale, aumentato degli interessi

via via maturati, e di 26000 euro, quale era l’ammontare del capitale

10 anni fa?

63. Considerare le successioni

an = 3n

bn = 2002n

Dimostrare che a partire da un certo indice n0 (quale?) i valori della

prima superano quelli della seconda.

64. Considerare le successioni

an =1

10n2

bn = 1000n + 200

Dimostrare che a partire da un certo indice n0 (quale?) i valori della

prima superano quelli della seconda

65. L’allungamento di un’asta metallica esposta ad una fonte di calore, per

piccole variazioni di temperatura, e descritto dalla formula seguente

l − l0 = a · l0(t− t0)

dove l0 e la lunghezza della barra alla temperatura iniziale t0 ed

l e quella corrispondente alla temperatura t; a e una costante che

dipende dal tipo di metallo di cui e costituita la barra.

a) Esprimere l come funzione lineare di t. Individuare, in particolare,

l’inclinazione e l’intercetta sull’asse delle ordinate.

b) Supposto che la barra sia costituita di un metallo cui corrisponde

una costante a = 10−5 e che a 10oC essa sia lunga 100cm, quanto

dovra essere elevata la temperatura affinche la barra si allunghi del

25%?

66. Determinare il campo di esistenza, il codominio e la funzione inversa

della seguente

f(x) = 1− 2−x.

20

Tracciare approssimativamente il grafico di f(x) (non e richiesto lo

studio di funzione).

67. Quanti avi (genitori, nonni) sono presenti nelle ultime sette generazioni

del tuo albero genealogico?

68. Il costo totale di produzione di una azienda e la somma di costi fissi e

costi variabili; questi ultimi sono proporzionali alle unita prodotte.

Tre diverse aziende A, B, C producono lo stesso prodotto;

- A e B hanno lo stesso costo variabile VA = VB = 13u, ma B ha il

doppio dei costi fissi di A, che ammontano a 500 ∈,

- C ha gli stessi costi fissi di B, ma i costi variabili sono la meta di quelli

di B.

Dopo aver rappresentato in un opportuno sistema di riferimento carte-

siano i grafici delle funzioni che rappresentano i costi totali di pro-

duzione delle tre aziende rispetto alle unita prodotte, determinare quale

azienda ha la produzione piu vantaggiosa.

69. Presentare la funzione

f(x) = 3√

x− 1

evidenziandone tutte le proprieta.

70. Una palla lasciata cadere rimbalza verticalmente raggiungendo ad ogni

rimbalzo i 9/10 della quota precedente. Modellare il processo e deter-

minare l’altezza raggiunta dalla palla all’n-esimo rimbalzo.

Dopo quanti rimbalzi l’altezza raggiunge il 12% della quota iniziale?

71. Come e noto l’inventore del gioco degli scacchi chiese di essere compen-

sato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla

seconda, quattro sulla terza e cosı via, sempre raddoppiando il nu-

mero dei chicchi fino alla 64a

casella. Assumendo che 1000 chicchi

pesino circa 37,5 g, calcolare il peso in tonnellate della quantita di grano

pretesa dall’inventore.

21

LIMITE E CONTINUITA

1. Studiare la continuita e classificare gli eventuali punti di discontinuita

delle seguenti funzioni:

f(x) = [x]

f(x) = x− [x]

f(x) = x|x|

f(x) = 1x

f(x) =

{1 se x ∈ IQ

−1 se x ∈ IR \ IQ

f(x) =

{sin 1

xse x 6= 0

0 se x = 0

f(x) =

{x sin 1

xse x 6= 0

0 se x = 0

f(x) =

{x2 sin 1

xse x 6= 0

0 se x = 0

2. Determinare e classificare i punti di discontinuita della seguente fun-

zione:

f(x) =

ex se x ≤ 0

x se 0 < x ≤ 1

−x se > 1

3. Provare che le seguenti equazioni possiedono una sola soluzione reale:

x5 + x3 − 1 = 0

log x + x2 = 0

22

ex − x2 = 0

ex + x3 = 0

1x− log x = 0

4. Provare che il polinomio P (x) = −2x3 +7x2−7x+1 ammette almeno

una radice x0 ∈ IR e determinare un intervallo [a, b] con b− a ≤ 18

in modo da aversi x0 ∈ [a, b].

5. Provare che c’e un unico punto c ∈ IR in cui la funzione f(x) = 1log x+x

non e definita.

6. Determinare con una approssimazione inferiore ad 110

una soluzione

reale delle seguenti equazioni

x3 + x2 − 1 = 0

2x3 + x− 1 = 0

x4 + 2x− 2 = 0

x6 − 6x + 2 = 0

7. Sia assegnata la funzione f(x) = x2

4− sin x, verificare con un metodo

grafico che l’equazione f(x) = 0 ammette una sola soluzione positiva.

Calcolare con il metodo di bisezione tale soluzione con un errore infe-

riore a 10−1.

8. Tramite la definizione di limite, provare che non esiste

limx→+∞

2 sin x + 3 = ...

9. Calcolare i seguenti limiti

limx→+∞

(cosx + 2)ex = ....

limx→+∞

log(1 +sin x

x) = ....

10. Quali delle seguenti funzioni possono essere prolungate con continuita

nel punto x0?

f1(x) = e−1

x2 , x0 = 0;

23

f2(x) =x

| x |, x0 = 0;

f3(x) = log | x |, x0 = 0.

11. Studiare, tramite la definizione, il seguente limite:

limx→+∞

| sin x |=

12. Calcolare i seguenti limiti:

limx→−∞

3− x

x=

limx→+∞

√x| x |x

=

13. Studiare la continuita e classificare i punti di discontinuita della seguente

funzione:

g(x) = [2x].


E’ possibile modificare il valore solo nei punti di discontinuita in modo

da renderla continua in IR?

14. Provare che l’equazione

ex − 1/x = 0

ammette una sola soluzione reale.

Stimare il numero delle successive bisezioni al fine di ottenere una ap-

prossimazione dell’ordine di 10−3.

15. Calcolare anche con il teorema di L’Hospital

limx→−∞

xex.

16. Disegnare il grafico della funzione

f(x) = sin− | x |.

Dire se f(x) e continua per x = 0 e se e ivi derivabile.


la soluzione reale

della seguente equazione

x5 + 3x− 1 = 0

dopo averne provato l’esistenza e l’unicita.

24

18. Calcolare i seguenti limiti

limx→+∞

ex

x100=

limx→0

log(1 + x)

x=

limx→0

ex + e−x − 2

x2=

19. Determinare se la funzione g(x) = sin 2x/x e prolungabile con con-

tinuita in x = 0. Presentare alcune proprieta di questa funzione e

approssimarne il grafico.

20. Mostrare che l’equazione x3 + x − 1 = 0 ha esattamente una sola

radice e calcolarla con due cifre decimali corrette mediante il metodo

di bisezione.

21. Provare che l’equazione f(x) = x3 + 2x − 1 = 0 ammette una unica

soluzione reale.

Determinare tramite il metodo di bisezione tale soluzione con un errore

di approssimazione inferiore a 10−2.


sin x + x− 1 = 0

ammette un’unica soluzione reale e stimare il numero delle successive

bisezioni necessarie per avere un’approssimazione con errore inferiore a

10−3.


x− cos x = 0

ammette una sola soluzione positiva e visualizzarla graficamente.

24. La popolazione di un paese e raddoppiata nel giro di 18 anni. Calcolate

il corrispondente tasso di accrescimento annuo (supposto costante nel

tempo).

25. Determinare se la funzione g(x) = sin 2x/x e prolungabile con con-

tinuita in x = 0. Presentare alcune proprieta di questa funzione e

approssimarne il grafico.

25

26. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti

limx→+∞

√x2 + 1− x =

limx→+∞

ex sin1

ex=

27. Determinare tramite la definizione di limite,

limx→+∞

tan x =


la soluzione reale

della seguente equazione

x3 +1

3x− 1 = 0

dopo averne provato l’esistenza e l’unicita.

26

DERIVATE, PROBLEMI DI MASSIMO O MINIMO

1. Disegnare il grafico della funzione√

x2 − 1, e determinarne i punti di

non derivabilita.

2. Assegnata la funzione f(x) = [x], trovare l’espressione della derivata

e indicare gli eventuali punti di non derivabilita.

Trovare l’equazione della retta tangente nel punto x = 1/2.

3. Determinare a e b in modo che la curva y = ax3 + bx + 7 risulti

tangente alla retta 8x + y − 10 = 0 nel punto (1,2).

Stabilire inoltre se tale curva interseca l’asse delle x e, in caso di risposta

affermativa, discutere in quanti punti.

4. Assegnata l’ellisse x2

9+ y2

16= 1 determinare il perimetro del rettan-

golo (con i lati paralleli agli assi coordinati) di area massima inscritto

nell’ellisse.

5. Un pozzo di petrolio e situato nell’oceano in un punto W che si trova

a 5 km dal piu vicino punto A della costa che ha andamento rettilineo.

Il petrolio deve essere portato fino ad un punto B della costa lontano 8

km da A per mezzo di un oleodotto subacqueo rettilineo da W a P (vedi

fig.) e poi con un altro oleodotto lungo la costa da P a B. Se il costo

dell’oleodotto subacqueo e di 100 milioni per km e quello dell’oleodotto

su terra e di 75 milioni per km, dove dovrebbe essere situato il punto

P (rispetto ad A) per minimizzare il costo dell’oleodotto?

6. La piu semplice equazione differenziale e

(∗) x′(t) = a x(t), a costante.

L’equazione differenziale esprime un legame tra la funzione incognita

x(t) e la sua derivata prima. La soluzione (o le soluzioni) e quindi una

funzione e non un numero reale (o piu numeri reali).

L’equazione (∗) interpreta modelli di crescita a tasso a costante

(crescita esponenziale). Supporremo x(t) > 0.

Si risolva l’equazione (∗) dopo averla trasformata nell’equazione inte-

grale equivalente ∫x′(t)

x(t)dt =

∫a dt.

27

(Risolvere i due integrali indefiniti e poi ricavare nell’equazione la fun-

zione incognita x(t)).

7. Determinare l’incremento approssimato dell’area di un cerchio se il suo

raggio R = 11cm viene allungato di 3mm.

(Non fare i conti svolgendo il quadrato, ma applicare il metodo

di approssimazione della retta tangente.)

8. Determinare l’incremento approssimato del volume di una sfera se il

suo raggio R = 15cm viene allungato di 2mm.

(Non fare i conti svolgendo il cubo, ma applicare il metodo di

approssimazione della retta tangente.)

9. Una grande compagnia petrolifera vuole acquistare una raffineria che

sara rifornita da tre citta portuali. Il porto B e ubicato 300 km ad Est

e 400 km a Nord del porto A, mentre il porto C si trova 100 km ad

Est e 100 km a Sud del porto B. Considerato un sistema di riferimento

con origine coincidente con il porto A, si determini la localizzazione

della raffineria tale da minimizzare la quantita totale di tubi occorrenti

per collegare la raffineria al porto, con il vincolo ”naturale” (data la

simmetria del triangolo) che essa sia situata lungo la bisettrice del primo

quadrante.

10. Assegnato il grafico della funzione h(x)

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

disegnare il grafico della derivata h′(x).

28

11. Trovare l’errore nella seguente proposizione:”La derivata della funzione

g(x) = x2 +x+1 calcolata per x = 0 vale 0 (zero), infatti f(0) = 1,

che e una costante e la derivata di una costante e 0.”

12. Assegnata la funzione

h(x) =

{sinx se x ≤ 0

ax2 + bx + c se x > 0

dimostrare la possibilita di scegliere a, b, c in modo che h sia

a) continua, ma non derivabile nell’origine;

b) derivabile in IR;

c) due volte derivabile in IR.

Si verifichi che quest’ultima condizione determina univocamente a, b, c.

13. I cateti di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 5cm e

12cm. Da tale triangolo si vuole ritagliare un rettangolo di area mas-

sima, disposto come in figura. Calcolare le dimensioni del rettangolo.

14. Ai quattro angoli di un foglio metallico quadrato si tagliano quattro

piccoli quadrati; poi si piega il foglio in modo da formare una sca-

tola aperta. Quali devono essere le dimensioni dei quadratini perche il

volume della scatola sia massimo?

15. Assegnata la funzione f(x) = log | x | determinare

- il campo di esistenza,

- gli asintoti,

- l’espressione della derivata prima e seconda e il loro campo di es-

istenza,

- crescenza, decrescenza e eventuali punti di massimo e minimo,

- codominio Disegnare il grafico.

16. Disegnare il grafico della funzione f(x) = log(x+1) e quindi il grafico

di g(x) =|| f(x) | −3 | .Determinare il campo di esistenza e l’espressione della derivata prima

di g(x) , individuando gli eventuali punti di non derivabilita.

17. Individuare gli eventuali punti di massimo o minimo relativo e studiare

la concavita e convessita della funzione g(x) dell’esercizio precedente.

18. Assegnata la famiglia di curve fγ(x) = 2x2+γx4−3γx3+5 determinare

il valore di γ ∈ IR tale che la tangente al grafico nel punto di ascissa

x = 2 risulti parallela alla retta 2y − 4x + 1 = 0. )

29

19. Il perimetro di una finestra e di 10 m e la sua forma e un rettangolo

con il lato superiore sostituito da un semicerchio. Determinare le di-

mensioni del rettangolo affinche la finestra permetta il passaggio della

massima quantita di luce.

20. Disegnare il grafico della funzione

f(x) = e−|x|.

Dire se f(x) e continua per x = 0 e se e ivi derivabile.

21. Determinare l’angolo formato dalle tangenti alle curve di equazioni

y = 1 + log x, y = 1/x

nel loro punto di intersezione. (Iniziare l’esercizio provando l’esistenza

e l’unicita del punto di intersezione quindi determinarlo esattamente).

22. Provare che il tasso di variazione (derivata) del volume di una sfera

rispetto al raggio e uguale all’area della sua superficie.

23. Sia assegnata una circonferenza di centro O e sia ABP un triangolo

equilatero avente i punti A, B sulla circonferenza. Determinare il

valore massimo di PO.

24. La relazione tra l’altezza x di un individuo e il suo peso corporeo

standard y puo essere espressa mediante la formula matematica y =

kx3. Il valore numerico di k puo essere determinato fissando le misure

ideali di un individuo ”campione”: per es. x = 1.70m, y = 65Kg.

Usando il metodo di approssimazione della retta tangente, determinare

il peso di un individuo ugualmente ben proporzionato alto x = 1.80m.

Stimare l’errore commesso.

25. Applicare il metodo di Newton all’equazione dell’esercizio precedente e

confrontare le velocita di approssimazione dei due metodi.

26. Provare che la funzione g(x) = x2 log | x | puo essere prolungata con

continuita e con derivabilita nel punto x0 = 0

27. Sapendo che il periodo T del pendolo e funzione della sua lunghezza

l secondo la nota legge T (l) = 2π√

lg, dove g e l’accelerazione di

gravita, approssimare con il metodo della retta tangente il periodo di

un pendolo lungo l = 1, 01m.

30

28. Assegnato il grafico della funzione h(x)

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

individuare quale delle seguenti curve corrisponde al grafico della derivata

h′(x).

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

y

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x

31










x(t)dt =

∫a dt.



30. Assegnata la famiglia di primitive

x(t) = keat, t > 0, a costante assegnata

determinare quella che nell’istante t = 0 vale x0.

31. Dimostrare che la retta tangente al grafico della funzione f(x) = ex

nel punto di ascissa x0 taglia l’asse delle ascisse nel punto x0 − 1,

comunque si scelga x0.

32. Determinare i coefficienti reali a, b, c tali che il grafico della funzione

g(x) = ax2+bx+cx3 sia tangente all’asse delle ascisse nel punto A = (2, 0)

e intersechi lo stesso asse in un ulteriore punto di ascissa x = −1.

33. Gli studenti possono accumulare crediti seguendo un ciclo di seminari di

20 ore. Precisamente ogni ora di frequenza ai primi sei seminari equivale

ad 1/5 di credito; ogni ora del secondo ciclo (settimo-quattordicesimo

seminario) corrisponde a 1/3 di credito; ciascuna delle ultime sei lezioni

assegna 1/2 di credito. La frequenza deve essere continuativa, in caso

di assenza si perdono tutti i diritti sulle frequenze seguenti.

Disegnare la funzione ”valore unitario in crediti dei seminari” .

Discutere le proprieta di questa funzione (continuita, derivabilita, punti

di massimo o minimo relativi, convessita).

32

34. Relativamente all’esercizio precedente, disegnare e interpretare la fun-

zione ”valore dei crediti accumulati (in funzione del numero delle ore

continuative frequentate)” .

35. Individuare i punti di non derivabilita della funzione

f(x) =| 4− x2 |

disegnare il grafico e determinare gli eventuali punti di massimo o min-

imo relativo.

36. Provare che la funzione

f(x) = x sin 1/x

e prolungabile con continuita in IR.

Discutere la derivabilita del prolungamento.

37. Rappresentare mediante un diagramma cartesiano i seguenti dati statis-

tici relativi alle importazioni ed esportazioni dall’Italia negli anni dal

1972 al 1984:

Anni Importazioni Esportazioni

1972 11.265 10.840

1973 16.343 12.898

1974 26.715 19.826

1975 25.200 22.866

1976 36.731 31.167

1977 42.429 39.968

1978 47.868 47.505

1979 64.597 59.962

1980 85.564 66.719

1981 103.674 86.040

1982 116.216 99.231

1983 121.978 110.530

1984 148.178 129.015

a) Descrivere le proprieta del diagramma (spezzata) che rappresenta le

importazioni : esistenza del limite, continuita, derivabilita.

b) Calcolare la pendenza del primo segmento nel diagramma impor-

tazioni.

33

c) Calcolare l’area sottesa dai primi due segmenti del diagramma im-

portazioni.

38. Interpretare il seguente grafico (campo di esistenza, codominio, limiti e

asintoti, continuita e punti di discontinuita, derivabilita e punti di non

delivabilita).

–6

–4

–2

2

4

6

y

–6 –4 –2 2 4 6 8 10x

39. Verificare che la retta di equazione y = x− 1 e tangente alla parabola

di equazione y = 14x2.

40. 10 ml di una medicina sono iniettati per endovena ad un paziente in

5 minuti. Durante la somministrazione la quantita di medicina nel

sangue cresce linearmente, appena si cessa la somministrazione essa

diminuisce esponenzialmente.

Individuare la legge che meglio rappresenta l’andamento della quantita

di medicina in funzione del tempo e tracciarne il grafico.

41. Discutere alcune proprieta del grafico dell’esercizio precedente (mono-

tonia, segno, continuita, derivabilita).

Rappresentare graficamente l’andamento della funzione derivata.

42. Nella famiglia di parabole y = k2x2−2kx+5 determinare il parametro

k in modo che la retta tangente alla parabola nel punto di ascissa

x = 1 sia parallela alla retta di equazione 2x + 3y − 3 = 0.

34

43. Data la funzione

f(x) =| log | 4− x2 ||

definire il campo di esistenza, le intersezioni con l’asse delle x e,

facendo uso anche di considerazioni grafiche, l’insieme nel quale e deriv-

abile.

44. Scrivere l’equazione della retta tangente nel punto di ascissa x = 1

delle seguenti funzioni:

f1(x) = 3

f2(x) = 2x3 + 5

f3(x) = [x]

f4(x) =| x | +2

45. Sia assegnata la funzione f : IR → IR definita da

f(x) =

{2x− 5 se x ≤ 1

cx + 4 se x > 1

Determinare il valore del parametro reale c rispetto il quale la funzione

f(x) e continua su IR e disegnare il grafico di f(x) rispetto a tale

valore.

Esiste un valore del parametro per cui la funzione risulta derivabile?

46. Le dimensioni di un rettangolo sono a e b. A partire da ogni vertice e

procedendo in senso orario, individuare su ogni lato il punto a distanza

x, in modo che congiungendo i quattro punti cosı ottenuti si abbia un

parallelogramma di area minima.

47. Assegnata la funzione f(x) = −2e−x2/2 determinare

- il campo di esistenza e il codominio;

- biiettivita e monotonia;

- gli asintoti;

- il grafico della funzione derivata;

48. Dopo aver scritto l’equazione della retta tangente all’iperbole y = 4/x

nel punto di ascissa x = a, a > 0, determinare a in modo che risulti

minima la lunghezza del segmento intercettato dagli assi cartesiani sulla

retta tangente.

35

49. Per recintare due superfici, una quadrata e una circolare, sono disponi-

bili 100 m di rete. Dimensionare le due superfici in modo che l’area

totale racchiusa sia massima o minima.

50. Una cornice per un quadro e larga 20 cm sui bordi superiore e inferiore e

10 cm sui lati. Supposto che il costo della cornice sia proorzionale alla

superficie a vista, determinare quali sono le dimensioni della cornice

meno cara con la quale si possa incorniciare una superficie di m21.

51. Un’industria alimentare produce due cofetture A e B che contengono

rispettivamente il 32% e il 48% di zucchero.

Determinare la strategia di produzione che rende massimo il ricavo,

sapendo che la disponibilita settimanale di zucchero ammonta a 80 q e

che il rapporto tra i prezzi unitari delle confetture B ed A e 4/3.

52. Una compagnia di autotrasporti urbani ha in media 5000 passeggeri se

il costo del biglietto e 0,50 euro.

Per ogni incremento del biglietto di 0,05 e prevista una perdita di 200

passeggeri al giorno. Determinare il prezzo del biglietto che ottimizza

l’incasso giornaliero.

Se la perdita fosse di p passeggeri, per quali valori del parametro p

sarebbe ancora conveniente aumentare il costo del biglietto?

Fissato un tale valore p, quale sarebbe l’aumento ottimale?

53. Una pay TV ha 20000 abbonati che pagano 10 euro al mese.

Secondo un’indagine demoscopica, ogni riduzione di 0,50 euro del canone

permetterebbe di acquisire 500 nuovi clienti. Qual e il canone che de-

termina il massimo ricavo?

36

INTEGRALI

1. Usando il metodo numerico di approssimazione ”esaustivo” tramite

plurirettangoli inscritti e circoscritti, determinare l’area della regione

di piano sottesa dal grafico della funzione f(x) = x + 1, l’asse x e le

rette di equazione x = 0, x = 2.

2. Determinare alcuni valori approssimati per difetto ed altri per eccesso

di∫ 1

−1e−x2

dx.

3. Provare che la funzione di Dirichelet

f(x) =

{−1 se x razionale

1 se x irrazionale

non e integrabile nell’intervallo [−2, 2].

4. Applicare il teorema della media del calcolo integrale alle funzioni cosı

definite:

f1 : [0, 2] → IR

f1(x) =

{2 se x ∈ [0, 1[

6 se x ∈ [1, 2].

f2 : [0, 2] → IR

f2(x) =

2 se x ∈ [0, 1[

−5 se x = 1

4 se x ∈]1, 2].

f3 : [0, 2] → IR

f3(x) =

{1 se x ∈ [0, 1[

5 se x ∈ [1, 2].

Spiegare perche il valore di θ puo non appartenere al codominio di f.

f4 : [−1, 1] → IR

f4(x) = sin x

f5 : [0, 2] → IR

f5(x) = ex

37

f6 : [−1, 2] → IR

f6(x) = x + 3

Spiegare nel caso f4, f5, f6 il significato di θ.

5. Trovare un punto c nell’intervallo [0, 1] che verifica la formula di

quadratura del teorema della media relativamente alla funzione f(x) =

x2 + x e provare che e unico.

6. Determinare la funzione integrale delle funzioni f1, f2, f3, f4, f5, f6

dell’esercizio 5).

7. L’energia elettrica e fatturata per scaglioni in relazione al consumo

bimestrale: 80 £/Kwh per i primi 150 Kwh; 100 £/Kwh da 151 a 350

Kwh; 180 £/Kwh per i Kwh che eccedono 350.

Indicato con x (espresso in Kwh) il consumo bimestrale di un utente,

determinare:

– l’importo f(x) dovuto dall’utente nel bimestre;

– il costo medio unitario g(x) dell’energia nel bimestre.

8. Provare che non puo essere∫ 3

1arctan e

1x2 dx = 20.

9. Sia assegnata la funzione f(x) = 1x, x > 0; sia r la retta tangente al

grafico di f in un punto P, sia Q l’intersezione della retta tangente

con l’asse x ed infine sia s la perpendicolare all’asse x in Q.

Mostrare che l’area delimitata dal grafico di f, la retta r e la retta s

e costante al variare del punto P sul ramo dell’iperbole considerato.

10. Sia f(x) una funzione limitata ed integrabile nell’intervallo [0, 4] e

tale che∫ 4

0f(x) dx = 16.

Dimostrare che esiste almeno un punto x0 ∈ [0, 4] tale che f(x0) < 5.

Se f(x) e continua in [0, 4] dimostrare che esiste almeno un punto

x0 ∈ [0, 4] tale che f(x0) = 4.

11. Calcolare l’area della regione di piano compresa tra le rette di equazione

y = x, x = −π, x = π e la curva di equazione y = sin x.

12. Calcolare l’area della regione di piano compresa tra le curve di equazione

y = x2 − 1 e y = −x2.

13. Calcolare l’area della regione di piano compresa tra le curve f(x) =

sin x, cos x, x ∈ [0, 2π].

38

14. Si vuol somministrare un insetticida ad una coltura le cui foglie sono

ricoperte da uova di farfalla. La quantita di insetticida da somminis-

trare e proporzionale al numero delle uova.

Si consideri una foglia campione e si supponga che:

(a) la forma della foglia si possa schematizzare come una regione di

piano delimitata dalle rette y = 2x, y = −3x, 5x + 4y − 39 =

0, 7x− 5y − 44 = 0;

(b) l’area della sezione di ciascun uovo sia costante ed uguale ad A;

(c) si pensi la foglia completamente ricoperta dalle uova.

Calcolare il numero delle uova presenti nella foglia.

15. Assegnata la funzione f(x) = sin x determinare la primitiva che passa

per l’origine.

16. Si determini l’area della regione di piano delimitata dal grafico della

funzione f(x) = x2 − 1 e dalle rette di equazione x = 0, x = 2, y = 0.

Qual e l’espressione della primitiva di f(x) nell’intervallo [0,2] che vale

1 nel punto x = 0.

17. La quota dovuta per il consumo dell’acqua potabile e fatturata per

scaglioni: 10.000 £/mc. per i primi 10 mc.; 15.000 £/mc da 11 mc. a

20 mc.; 20.000 £/mc. per i metri cubi che eccedono 20.

Disegnare il grafico f(x) della funzione costo unitario dell’acqua nel

relativo scaglione.

Indicato con x (espresso in metri cubi) il consumo semestrale di un

utente

a) determinare l’importo F (x) dovuto dall’utente nel semestre (con-

siderando le varie possibilita);

c) determinare l’espressione della funzione g(x) che rappresenta il costo

unitario medio dell’acqua nel semestre.

18. Applicando il metodo di esaustione, tramite plurirettangoli inscritti e

circoscritti, determinare l’area della regione di piano sottesa dal grafico

della funzione f(x) = 3x, gli assi x, y e la retta di equazione x = 2.

19. Usando il metodo numerico di approssimazione ”esaustivo” tramite

plurirettangoli inscritti e circoscritti, determinare l’area della regione

di piano sottesa dal grafico della funzione f(x) = 2x, l’asse delle x

e le rette di equazione x = 1, x = 3.

39

20. Determinare le derivate delle seguenti funzioni

F (x) =∫ x

3e−t2dt,

G(x) = senx∫ x

1log tdt.

21. Sia C la parabola con vertice V = (3/2,-1/4)e passante per i punti A =

(1,0), B = (2,0). Per ogni t < 1, calcolare l’area della regione compresa

tra la parabola C, l’asse x e la retta x = t. Trovare t0 in modo che tale

area risulti 5/6.

22. Disegnare il grafico della funzione f(x) = [x] nell’intervallo [−1, 1].

Applicare il Teorema della media a tale funzione e motivare perche il

numero θ puo non appartenere al codominio di f.

23. Assegnata la funzione f(x) = x3, calcolare le approssimazioni per

difetto e per eccesso del metodo di esaustione per n = 1, 2.

24. Calcolare∫ +∞

03dx.

Sia f : [0, +∞] → IR, una funzione continua.

Indicare una condizione necessaria su f affinche∫ +∞

0f(x)dx sia un

numero finito.

25. Sia f : [1, +∞] → IR, una funzione continua. Per definizione∫ +∞1

f(x)dx = limb→∞∫ b

1f(x)dx, b > 1

Indicare una condizione necessaria su f affinche∫ +∞

1f(x)dx sia un

numero finito.

Calcolare∫ +∞

11/xdx. Sia f : [0, b] → IR limitata e integrabile in

ogni intervallo [a, b] con a > 0 e tale che limx→0 | f(x) |= +∞.

Diremo f integrabile in senso generalizzato (i.s.g.) in [0, b] se esiste

finito lima→0

∫ b

af(x)dx.

Provare che la funzione f(x) = 1x

non e i.s.g. in [0, b].

Dare l’esempio di una funzione, sempre infinito per x → 0 che sia i.s.g

in [0, b].

26. Determinare la capacita di un recipiente di cui sia nota l’altezza h e la

cui sezione trasversale (costante) sia un arco di parabola di ampiezza

massima 2m.

27. Assegnata la funzione f : [0, 1] → IR

f(x) =

1x

se 0 < x ≤ 1

12

se x = 0

40

disegnare il grafico e interpretarlo. Determinare alcune funzioni a grad-

inata che approssimino la funzione f(x) dell’esercizio (c) per difetto

(somme integrali inferiori). Darne una rappresentazione grafica.

Motivare, usando l’operazione di limite, la non esistenza nell’intervallo

di definizione [0, 1] di funzioni a gradinata che approssimino la f(x)

per eccesso (somme integrali superiori) e quindi l’impossibilita di ”in-

nescare” il metodo di integrazione secondo Riemann.

28. Data la funzione g(x) = x2 + 1 definita nell’intervallo I = [−12, 2],

determinare un valore c ∈ I per il quale risulti soddisfatto il teorema

della media.

Discutere l’unicita di c ∈ I e individuare una proprieta sulla funzione

integranda che implichi in generale l’unicita di un tale punto c.

29. Determinare la famiglia delle primitive della funzione g(x) = x + 1

definita nell’intervallo I = [−2, 2] e disegnarne alcune.

Individuare fra esse la funzione integrale e disegnarla.

30. Assegnato il grafico della funzione f(x) = cos x nell’intervallo [−π/2, π/2],

disegnare nello stesso intervallo i grafici delle seguenti funzioni e speci-

ficare il loro codominio:

- f(x) + 2

- 2f(x)

- −f(x)

- f(−x).

Calcolare, relativamente all’intervallo [−π/2, π/2], l’area delle regioni

limitate di piano comprese tra i grafici e l’asse x.

31. Dato a > 0 si consideri il triangolo T delimitato dagli assi cartesiani e

dalla retta y = a− x. Usando il metodo numerico di approssimazione

”esaustivo” tramite plurirettangoli inscritti e circoscritti, determinare

l’area del triangolo T .

32. Approssimare mediante funzioni a gradinata per difetto e per eccesso

l’integrale della funzione f(x) = sin 1x

nell’intervallo [2/π, 4/π].

33. Disegnare il grafico della funzione f : [−2, 2] → IR, f(x) = x2 − [x] .

Determinare l’area della regione di piano compresa tra il grafico di f

e l’asse x.

41

34. Disegnare il grafico della funzione f(x) = x− | x | . Determinare l’area

della regione di piano compresa tra il grafico di f, l’asse x e le rette

y = −2, y = 2.

35. Dimostrare che l’area della regione tratteggiata in figura e costante al

variare del punto P sul ramo dell’iperbole equilatera y = 1/x. ( La

retta r e tangente in P all’iperbole e la retta s e perpendicolare all’asse

x nel punto Q).

iperbole

36. Applicando il metodo di esaustione, calcolare l’area della regione limi-

tata di piano compresa tra il grafico della funzione f(x) = −x + 1,

l’asse x e l’asse y.








42



x(t)dt =

∫a dt.



38. Assegnata la famiglia di primitive

x(t) = keat, t > 0, a costante assegnata

determinare quella che nell’istante t = 0 vale x0.

39. Come approssimereste l’area di una foglia di olivo?

Stabilite in che ipotesi lavorate e come la posizionate in un sistema di

assi cartesiani.

40. Assegnate le funzioni

f1(x) = ex2

, f2(x) = ex/x, f3(x) = sin x2,

f4(x) = cos ex, f5(x) =√

(x3 + 1), f6(x) = 1/ log x, f7(x) = sin x/x

tracciare il grafico delle loro primitive studiando il grafico delle f(x)

assegnate o costruendo un campo di orientori.

43

PROBABILITA

1. Estraggo 5 lettere delle 21 dell’alfabeto. Qual’e la probabilita che nel

gruppo delle cinque lettere estratte siano contenute le lettere a, b?

2. Una urna contiene 12 palline rosse, 7 bianche e 6 nere. Estraggo da

essa tre palline. Qual’e la probabilita che almeno due siano bianche?

3. Una urna contiene 12 palline rosse, 7 bianche e 6 nere. Estraggo da

essa tre palline. Qual’e la probabilita che al piu due siano rosse?

4. Una urna contiene 8 palline rosse, 7 bianche e 5 verdi.Trovare la proba-

bilita che, estraendone due, esse siano una bianca e una rossa; estraen-

done invece quattro esse siano tre bianche e una verde.

5. Una urna contiene 8 palline rosse, 7 bianche e 5 verdi.Trovare la prob-

abilita che, estraendone due, esse siano entrambe bianche; estraendone

invece quattro esse siano 2 rosse e 2 bianche.

6. Estraggo due palline da una urna che ne contiene 20 di cui 12 bianche

e 8 rosse. Quindi estraggo 2 palline da un’altra urna che ne contiene

24 di cui 9 gialle, 7 verdi e 8 nere. Qual’e la probabilita che le 4 palline

estratte siano tutte di colore diverso?

7. Il colore degli occhi e determinato da geni che si indicano B e b. Pre-

cisamente, gli individui con geni bb hanno gli occhi azzurri, quelli con

geni BB oppure Bb hanno occhi scuri.

Supponiamo che 14

della popolazione di un paese abbia geni BB, 14

abbia geni bb e 12

abbia geni Bb.

Si chiede di calcolare:

- per un individuo con gli occhi scuri la probabilita che abbia i geni

BB;

- per un individuo con gli occhi scuri la probabilita che abbia i geni Bb;

- la probabilita che un figlio avente il padre con gli occhi scuri e la

madre con gli occhi azzurri, abbia gli occhi scuri.

8. In una popolazione umana la probabilita di essere sordo e stimata

0.0050 e la probabilita di essere cieco 0.0085. Le due infermita si presen-

tano insieme con la probabilita 0.0006. Qual’e la probabilita di essere

cieco e/o sordo?

44

9. E stato sperimentato uno strumento per acchiappare le vespe. Su 720

vespe attratte dall’esca solo 128 sarebbero state acchiappate. Percio

la probabilita di acchiappare una vespa viene stimata p = 128/720 =

0.178. Qual’e la probabilita che su tre vespe scelte casualmente

a) nessuna e catturata,

b) almeno una e catturata?

10. I gruppi sanguigni A B 0 sono determinati da tre alleli a, b, o nella

stessa posizione genetica. Supponiamo che il padre sia del genotipo ao

e la madre del genotipo bo. Qual’e la probabilita che un figlio sia del

genotipo

- ab

- ao

- bo

- oo

- aa?

11. In una popolazione le frequenze relative dei gruppi del sangue A, B,

0 sono:

antigene A presente 39%

antigene B presente 48%

antigene A, B presenti 15%.

- Qual’e la frequenza relativa degli individui mancanti di entrambi gli

antigeni (Gruppo 0)?

- Se un individuo scelto casualmente ha l’antigene B, qual’e la proba-

bilita che egli manchi dell’antigene A?

12. Una coppia programma di avere 5 figli.

Qual’e la probabilita che abbiano un maschio e 4 femmine? Qual’e la

probabilita che il primo figlio sia maschio e i 4 successivi femmine?

13. In un contenitore vi sono 7 penne nere, 5 blu e 3 rosse. In quanti modi

si possono scegliere

a) 5 penne nere;

b) 4 penne nere e 1 rossa;

c) 2 penne nere, 2 rosse e 1 blu.

14. Considerato un campione di 10 persone calcolare la probabilita che

a) siano nate tutte nel mese di maggio;

45

b) 5 di esse siano nate tutte lo stesso giorno;

c) nessuna di esse sia nata lo stesso giorno di un’altra.

15. Prendiamo in considerazione un particolare locus genetico con possibili

geni A e a. Supponiamo che in una popolazione il gene A sia presente

con probabilita p e il gene A con probabilita q = 1 − p. Compilare

la seguente matrice, i cui elementi rappresentano la probabilita di un

certo genotipo per il figlio (R2) dato quello del genitore (R1).

(R2) AA Aa aa

(R1)

AA p · ·Aa 1

2p · ·

aa · · ·

16. In 6 contenitori si devono sistemare 4 oggetti. Determinare in quanti

modi si possono sistemare gli oggetti nei seguenti casi:

a) gli oggetti siano distinguibili fra loro ed in ogni contenitore debba

essere posto, al massimo, un oggetto;

b) gli oggetti siano distinguibili fra loro ed in ogni contenitore si possano

mettere anche piu oggetti;

c) gli oggetti siano indistinguibili fra loro ed in ogni contenitore debba

essere posto, al massimo, un oggetto;

d) gli oggetti siano indistinguibili fra loro ed in ogni contenitore si

possano mettere anche piu oggetti.

17. Da un’indagine svolta su 1.000 giovani e risultato che 300 avevano solo

la licenza elementare, 500 il diploma di scuola media e 200 il diploma di

scuola superiore o la laurea. Di quelli con licenza elementare, il 15% e

disoccupato, di quelli con licenza media il 9% e disoccupato e di quelli

con diploma di scuola superiore o laurea solo il 3% e disoccupato.

Scelto a caso un giovane disoccupato, calcolare la probabilita che

a) possegga solo la licenza elementare;

b) possegga un diploma di scuola superiore o una laurea.

Commentare il risultato.

18. Otto commensali sono disposti intorno ad un tavolo rettangolare. In

quanti modi possono sistemarsi?

E se il tavolo fosse circolare?

46

19. Una classe e composta da 10 ragazze e 14 ragazzi. Si scelgono a caso 3

rappresentanti di classe. Calcolare la probabilita che siano

a) tutti ragazzi;

b) tutte ragazze;

c) almeno una ragazza.

20. Si ripeta un esperimento 5 volte. Supposto che si siano avuti 3 successi

nelle prime 3 prove, qual’e la probabolita di avere ancora 2 successi?

21. In un concorso con 100 studenti si svolgono 2 prove scritte il cui su-

peramento (di entrambe) consente l’esonero dalla prova finale. I 3/4

superano la prima prova e il 60% di coloro che hanno superato la prima,

supera anche la seconda. Qual’e il numero degli esonerati?

(a) 40

(b) 45

(c) 50

22. Un tiratore colpisce il centro del bersaglio con probabilita p = 20%.

Calcolare la probabilita che faccia almeno 1 centro in 5 tiri.

23. Tre cacciatori sparano in modo indipendente verso un bersaglio; il

primo ha probabilita 50% di colpirlo, il secondo 40% ed il terzo 70%.

Calcolare la probabilita che:

a) tutti e tre i cacciatori colpiscano il bersaglio;

b) nessun cacciatore colpisca il bersaglio;

c) un solo cacciatore colpisca il bersaglio;

d) almeno uno dei cacciatori colpisca il bersaglio.

24. Un tiratore colpisce il centro del bersaglio con probabilita p = 20%.

Calcolare la probabilita che faccia almeno 1 centro in 5 tiri.

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