La meccanica quantistica:un tentativo d’introduzione

prima parte

Treviso febbraio 2010

la meccanica quantistica è il quadroconcettuale per la conoscenza del“microcosmo”

fissa le condizioni cui devononecessariamente soddisfare le teorie deifenomeni e dei processi che coinvolgonoenti “microscopici”

materie

atomo

fasi di sviluppo:

- quanto d’azione [Planck, 1900]- quanto d’energia [Einstein, 1905]- ”vecchia” teoria dei quanti [1911]- teoria atomica [Bohr, 1913]- meccanica quantistica [1927]- estensione relativistica [Dirac, 1928]- teoria quantistica dei campi [1933-1946]- estensione alla relatività generale [oggi]

Grandi successi scientifici:

- nasce per descrivere le proprietàmicroscopiche della radiazione luminosa- si estende agli atomi- vale per l'universo nucleare- regola le particelle, quark e leptoni,nella sua estensione di teoria di campo,fino ai livelli più minuti della materia chesiamo riusciti a raggiungere

atomo

nuclidi

protone

evento

particelle

eventolhc

Grandi successi scientifici:

vale non solo in domini sempre piùpiccoli, ma anche per strutture piùcomplesse:- processi chimici, molecole,- macromolecole biologiche,- cristalli, materia condensata,- stelle di neutroni e buchi neri- cosmologia quantistica

anche proprietà di strutture complesse efenomeni del meso-mondo e del macro-mondo possono dipendere dalcomportamento individuale deicomponenti microscopici della materiae della radiazione

cristal

dna

stelle

universo

grandi successi tecnologici:

- radar e tubi elettronici a vuoto- maser e laser- elettronica a semiconduttori- diffrazione a raggi-X e a neutroni- SQUID- interferometria- analisi non distruttive- bombe nucleari e reattori nucleari- energia da fusione termonucleare

- microscopia elettronica e a protoni- risonanza magnetica nucleare- indagini mediche con spect e pet- radiofarmaci- radioterapia- superconduttività- ultracriogenia- telecomunicazioni- calcolatori digitali- computazione quantistica- CCD Charge-Coupled Device sensor...

tecnologia

Le sette lontananze della meccanicaquantistica:

• dall’esperienza immediata • dal senso comune • dai concetti della fisica classica • dal linguaggio della scienza classica• dal metalinguaggio • dalla visualizzazione • dalla tradizione filosofica

Lontananza dall’esperienza immediata

• fenomeni su scale di lunghezza inferiori a 10-10 m (atomi) o 10-15 m (nuclei) • irraggiungibili dai microscopi ottici • eventi mediati da strumenti che devono percepire il processo microscopico e produrre segnali macroscopici [hic sunt leones]

lontananza

osser

Nernst diceva nel 1911:

“è una regola di calcolo ... con proprietàestremamente curiose, perfino grottesche.Tuttavia ... essa ha generato nelle mani diPlanck ed Einstein dei frutti così ricchi cheora si è scientificamente obbligati aprendere posizione riguardo a essa esottoporla a prove sperimentali”

le grandezzze fisiche acquistano nuoveproprietà ma il corredo semantico rimaneinalterato: spazio-tempo, energia, velocità,accelerazione, massa, momento, momentoangolare, campo, potenziale, onde,temperatura, entropia ...

- il linguaggio è un raffinamento delmetalinguaggio corrente

aula

Il trionfo della meccanica

• sistemi discontinui• sistemi continui• teoria cinetica dei gas• termodinamica statistica• luce = ondulazioni dell’etere

boltzmann

boltzmann

Cinetica gas

I limiti della meccanica

• campo elettromagnetico• inconsistenza dell’etere• invarianza di Lorentz• isotropia del tempo

Origine di nuove teorie

• nuovi dati empirici• analisi dei fondamenti di teorie esistenti• eliminazione di inconsistenze• fusione di teorie valide in domini diversi

Planj

Il programma di Planck

superare la contraddizione fra- l’isotropia del tempo nella meccanica e nell’elettromagnetismo- e la “freccia del tempo” in termodinamica

derivare il secondo principio dellatermodinamica dalla meccanicastatistica, senza ipotesi probabilistiche

Il tempo è isotropo?

• freccia del tempo• invarianza leggi della meccanica e dell’elettromagnetismo per inversione temporale• teorema H di Boltzmann

H boltzmannt

Diavolo maxwell

Il tempo è isotropo?Il principio di conservazione dell’energiarichiede che tutti gli eventi naturali sianoconservativi. D’altra parte, il principiodell’incremento di entropia insegna chetutti i mutamenti in natura procedono inuna direzione.Da questa contraddizione prende origineil compito fondamentale della fisicateorica, la riduzione di un mutamentounidirezionale a effetti conservativi

Max Planck

Berna 1905

Il programma di Einstein

superare la contraddizione fra- la struttura continua del campo elettromagnetico [da cui la natura ondulatoria della radiazione luminosa]- e la struttura discreta dei sistemi materiali, composti da un numero grande, ma finito, di atomi

Pieroequazioni maxwell

Esiste una profonda distinzione formale fra i concetti teorici chei fisici hanno formato rispetto ai gas e gli altri corpi ponderabilie la teoria di Maxwell per i processi elettromagnetici nelcosiddetto spazio vuoto. Mentre consideriamo completamentedeterminato lo stato di un corpo dalle posizioni e velocità di unnumero molto grande, ma finito, di atomi ed elettroni, facciamouso di funzioni spaziali continue per descrivere lo statoelettromagnetico di un dato volume.Secondo la teoria di Maxwell, l'energia deve essere consideratauna funzione continua dello spazio nel caso di tutti i fenomenielettromagnetici, inclusa la luce, mentre l'energia di un oggettoponderabile dovrebbe venir rappresentata come una sommaeseguita sugli atomi e gli elettroni. L'energia di un corpoponderabile non può venir suddivisa in parti arbitrariamentepiccole, mentre l'energia di un fascio luminoso emesso da unasorgente puntiforme si distribuisce con continuità su un volumesempre più grande.

Einstein

Sia il programma di Planck, cheil programma di Einsteinportano allo studio delleproprietà della radiazionetermica emessa e assorbita daun corpo perfettamenteassorbente a tutte le frequenze- il “corpo nero”

blackbody

La legge di Kirchoff afferma che in una cavità vuota,limitata da pareti totalmente riflettenti, e contenenteun numero qualunque di sostanze emittenti eassorbenti, si raggiunge, col passar del tempo, unostato in cui tutti i corpi hanno la stessa temperatura;e la radiazione con tutte le sue proprietà, compresa ladistribuzione spettrale d'energia, dipende non dallanatura dei corpi, ma semplicemente e soltanto dallatemperatura.

Planck

La via di PlanckPlanck non accettava l'idea che la sola probabilitàpotesse determinare lo sviluppo di un sistema.“Credo di dover riconoscere come processounidirezionale costituito da effetti del tuttoconservativi l'influenza di un risonatore che vibrisenza attrito o resistenza sull'onda che lo eccita.Il mio suggerimento che l'oscillatore fosse capace diesercitare un effetto unilaterale, e irreversibile,sull'energia del campo circostante, scatenò unavigorosa protesta da parte di Boltzmann, il quale, conla sua maggiore esperienza in questo campo, dimostròche, secondo le leggi della dinamica classica, ciascunodei processi che io consideravo poteva aver luogonella direzione opposta.”

Legge Wien

Questa distribuzione normale dell'energia spettrale[del corpo nero] rappresenta qualcosa di assoluto; epoiché io avevo sempre considerato la ricerca diqualcosa di assoluto come lo scopo più elevato di tuttele attività scientifiche, mi misi attivamente al lavoro.

Planck

Si trovò che la relazione fra entropia ed energia datadalla funzione caratteristica R era proporzionaleall'energia nel caso della legge di Wien, risultavaproporzionale al quadrato dell'energia per alteenergie. Quindi il passo ovvio per il caso generale eradi porre R eguale alla somma di un termineproporzionale all'energia e di un altro termineproporzionale al quadrato dell'energia, in modo che ilprimo termine diventasse decisivo per piccoli valoridell'energia e il secondo per grandi valori.In questo modo ottenni una nuova formula per laradiazione, e la presentai all'esame della Società diFisica di Berlino, alla riunione del 19 ottobre 1900.

Planck

Corpo nero class

Leggi corpo nero

lo stesso giorno in cui formulai questa legge midedicai al compito di conferirle un vero significatofisico. Questo problema mi condusse allo studio dellerelazioni fra entropia e probabilità; postulaisemplicemente che S = k log W, con k una costanteuniversale, la costante assoluta dei gas riferita allevere molecole...Per quel che riguarda la grandezza di W, trovai che,per interpretarla come una probabilità, era necessariointrodurre una costante universale, che chiamai h.Poiché aveva le dimensioni di un'azione (energia Xtempo), le diedi il nome di “quanto elementare diazione”

Planck

Mentre il significato del quanto di azione nellacorrelazione fra entropia e probabilità era stabilitodefinitivamente, il ruolo di questa nuova costantenell'evoluzione dei processi fisici rimaneva ancora unaquestione aperta. Tentai di collocare il quantoelementare di azione h in qualche modo entro loschema della teoria classica. Ma di fronte a ognuno diquesti tentativi, questa costante si dimostròirriducibile. Finchè si poteva considerarlainfinitamente piccola, come nel caso di alte energie edi intervalli di tempo piuttosto lunghi, tutto andavaperfettamente; ma nel caso generale sorgevanodifficoltà in un punto o in un altro, difficoltà chediventavano vieppiù notevoli col crescere dellefrequenze considerate.

Il fallimento di ogni tentativo volto a superarequesto ostacolo rese subito evidente che ilquanto elementare di azione aveva una partefondamentale nella fisica atomica, e che la suaintroduzione apriva una nuova era nellascienza.Essa annunciava l'avvento di qualcosa senzaprecedenti, ed era destinata a rimodellaresostanzialmente le concezioni fisiche e ilpensiero dell'uomo, che, da quando Leibniz eNewton posero le basi del calcoloinfinitesimale, erano fondati sull'ipotesi chetutte le interazioni causali erano continue.

corpo nero

legge di Planck del corpo nero

I(ν)=2 h ν/ {c2 [exp(hν/kT)-1]}

h = 6,626 0693 (11) 10-34 J s

BBexpt

La via di EinsteinIl mio scopo precipuo era di trovare fatti checonfermassero, per quanto era possibile, l'esistenza diatomi di determinate dimensioni finite.Nel corso di questa ricerca scoprii che, in base allateoria atomica, doveva esserci un movimento diparticelle microscopiche sospese (moti browniani)dovuti a fluttuazioni dell'energia, che sono previstedalla meccanica statistica per ogni sistema e che latermodinamica classica ritiene trascurabili incondizioni di equilibrio.Ogni particella browniana avrebbe un'energia cineticamedia per i moti traslazionali uguale a 3/2kT, propriocome se fosse una molecola di un gas.

Einstein

art1

brownmot

brownian1

brownian2

La via di Einstein

Ho trovato un'equazione per le fluttuazionienergetiche che consentirebbe un'esattadeterminazione della costante universale k sefosse possibile determinare la fluttuazione dienergia di un sistema.In base all'esperienza possiamo supporre che siverifichi una fluttuazione di energia soltanto perun tipo di sistema fisico. Questo sistema è unospazio vuoto riempito di radiazione termica.

Einstein

Einstein vuole dare un senso fisico precisoalla quantizzazione dell’interazione fraradiazione luminosa e corpo nero:- parte dai dati sperimentali (legge di Wien)- si basa sulla termodinamica statistica di Boltzmann- ignora 300 anni di tradizione

Dobbiamo riconoscere comefondamentale per la teoria dellaradiazione di Planck la seguenteposizione:l’energia di un risonatore elementare puòassumere soltanto valori multipli interi di(R/N) βν.Durante l’assorbimento e l’emissionel’energia di un risonatore varia in mododiscontinuo per un multiplo intero di(R/N) βν.

Einstein

artein

La radiazione monocromatica di bassadensità si comporta rispetto ai fenomenitermici come se fosse composta da quantidi energia indipendenti di energia E=(R/N) βν.

Albert Einstein 1905

La luce in questi processi si comporta noncome un’onda ma come un gas dicorpuscoli, i quanti di luce.

Ipotesi così rivoluzionaria da suscitareincertezze sulla stessa idea dei quantianche da parte dei teorici che l’avevanopresa sul serio.

Nel raccomandare l'ammissione di Einsteinall'accademia prussiana Planck, Nerst, Rubens eWarburg nel 1913 concludevano:“In breve, si può dire che difficilmente si possatrovare uno fra i grandi problemi di cui la fisicamoderna è così ricca, cui Einstein non abbiacontribuito in modo significativo. Al fatto che egliabbia alcune volte sbagliato il bersaglio nelle suespeculazioni, come per esempio nella suaipotesi dei quanti di luce, non si può in realtàdare troppo peso contro di lui, in quanto non èpossibile introdurre idee realmente nuove nellescienze più esatte senza correre a volte deirischi”

Utilizzando i quanti di luce Einsteinaffronta problemi che erano in giro damolto tempo:- l’effetto fotoelettrico- la fotoluminescenza- l’effetto fotoelettrico inverso- la fotoionizzazione dei gas (allora marginali)

- i calori specifici (allora molto importante)

Se la radiazione monocromatica sicomporta rispetto alla dipendenzadell'entropia dal volume come un mezzogranulato consistente in quanti di energia,ciò allora suggerisce di esaminare se anchele leggi che regolano la produzione e latrasformazione della luce siano strutturatecome se la luce consistesse in quantid'energia di questo tipo.

Einstein

fotoelettrico

Effetto fotoelettrico

Se non possiamo spiegare i processi elementari discambio di energia fra la radiazione e la materiasulla base della corrente teoria cinetico-molecolare,non dovremmo modificare analogamente le nostreidee riguardo ai fenomeni periodici trattati dallateoria molecolare del calore? Io penso non ci possaessere alcun dubbio riguardo alla risposta. Se lateoria della radiazione di Planck colpisce ilnocciolo della questione, allora dobbiamoaspettarci di trovare contraddizioni anche fral'attuale teoria cinetico-molecolare e l'esperienza inaltre aree della teoria del calore, contraddizioni chepossano venir risolte dalla via già indicata

Einstein

Calore specifico

chiave

i quanti di luce si comportano comeparticelle senza massa, con una loroenergia e momento

i fenomeni di diffrazione della luce lapresentano come un fenomenoondulatorio

compare il dualismo onda-particella

compton

Effetto Compton

onde

Foton art

Foton ident

il quanto di azione (grandezza fisicaformale) di Planck genera unadiscontinuità nello spazio astratto dellefasi

il quanto d’energia (grandezza fisicaconcreta) di Einstein genera unadiscontinuità in ogni fenomeno naturale

Rottura con la tradizione scientifica efilosofica

Natura non facit saltusprincipio filosofico e scientifico dicontinuità

- Eudosso di Cnido, Archimede (metodo di esaustione)- Aristotele, Plotino e Porfirio- emanazione della Qabbalah- Alberto Magno “nisi per medium”- Gottfried Leibnitz e Isaak Newton (calcolo infinitesimale)- Charles Darwin e Carl Linnaeus

nuovi fenomeni e nuovi protagonisti

- l’introduzione dei quanti d’azione e dienergia erano venuti da problematicheteoriche

- scoperte empiriche generano nuovescosse all’impalcatura della fisica classica* la radioattività* gli spettri atomici* l’interazione di elettroni con gli atomi

curie

radiotivitat

Radioattivita’

rutherford

Scattering 1

Scattering 2

franhover

spettro

soreli

soreli1

solvay11

Bohr 1913

pensieri3

labirinto

Postulati di Bohr:1. In un sistema atomico esiste un certonumero di stati stazionari che possiedonouna stabilità incompatibile con la meccanicaclassica; l’unico possibile cambiamento delsistema consiste in una transizione completada uno stato in un altro2. Non vi è radiazione negli stati stazionari;nella transizione fra stati viene emessaradiazione monocromatica di frequenza datada h ν = E’-E”

Niels Bohr 1913

Atomo bohr

sistema solare

alpha

alfa quantistico

Principio di corrispondenza:

per sistemi periodici

- partire dalle relazioni classiche nella formulazione di Hamilton-Jacobi- imporre le condizioni di quantizzazione

∫p dq = n h/2π

per ogni coppia di variabili canoniche

Numeri quantici:

in pratica gli stati di un sistema sonocaratterizzati dai valori assunti in ognistato delle grandezze fisiche espressi comemultipli del valore fondamentale

per gli elettroni in un atomon numero quantico principalel numero quantico orbitalem numero quantico magnetico

Numeri quantici:

n misura l’energia n=1,2,…

l misura il momento angolare0 ≤ l ≤ (n-1)

m misura la proiezione del momento angolare su un asse di riferimento -l ≤ m ≤ l

Sistemi di molti micro-oggetti

Gli enti microscopici, elettroni, nuclei,atomi e fotoni sono assolutamenteidentici e indistinguibili e per il lorotrattamento collettivo occorre ricorrere ametodi statistici- due classi di comportamento* statistica di Fermi-Dirac (fermioni)* statistica di Bose-Einstein (bosoni)

-statistica di Fermi-Dirac (fermioni) fermioni identici non possono coesistere nello stesso stato - principio di Pauli

- statistica di Bose-Einstein (bosoni) uno stesso stato può venir occupato da infiniti bosoni identici

boseeinstein

Statistiche classica equantistiche:

Simuliano gli stati con bicchieri e leparticelle con palline, e prendiamodue stati e due particelle, mettendo acaso le palline nei due bicchieri.

Statistica di Boltzmann(particelle distinguibili):ci sono quattro possibilità:· due palline nel bicchiere 1 e nessuna nel bicchiere 2;· due palline nel bicchiere 2 e nessuna nel bicchiere 1;· la pallina A nel bicchiere 1 e la pallina B nel bicchiere 2;· la pallina A nel bicchiere 2 e la pallina A nel bicchiere 1;per cui, detta P(k1,k2) la probabilità che ci siano k1palline nel bicchiere 1 e k2 nel bicchiere 2, si ha

P(2,0)=1/4; P(0,2)=1/4; P(1,1)=1/2.

Statistica di Bose-Einstein(bosoni):

abbiamo tre sole possibilità:· due palline nel bicchiere 1 e 0 nel bicchiere 2;· due palline nel bicchiere 2 e 0 nel bicchiere 1;· una pallina nel bicchiere 1 e 1 nel bicchiere 2;

con probabilitàP(2,0)= 1/3; P(0,2)= 1/3; P(1,1)=1/3.

Statistica di Fermi-Dirac(fermioni):

una sola possibilità· una pallina nel bicchiere 1 e 1 nel bicchiere 2;

con probabilità:

P(2,0)=0; P(0,2)=0; P(1,1)=1.

Successi:

- struttura atomica- tavola periodica degli elementi- legami chimici- molecole- spettroscopia- raggi X- assorbimento ed emissione della radiazione- legge dello spostamento radioattivo- radioattività alfa

mendeleev

gamow

tunnel alfa

problemi insoluti:

- strutture spettrali fine e iperfine- effetti del campo magnetico

effetto Zeeman, Stern-Gerlach- radioattività beta- proprietà dei nuclei atomici- i gradi di libertà non classici- processi di diffusione- status ontologico della radiazione: campo elettromagnetico/quanti di luce

insoddisfazione dei giovani leoni:

- sono regole ad hoc- non estendibili a sistemi non periodici- legame stretto con la meccanica classica- non si vede come incorporare la relatività- modelli nucleari insoddisfacenti- non si estende alle forze nucleari- non formula la radioattività beta- immagini contradditorie della radiazione

onde/particelle- manca un principio fondamentale- teoria “brutta”

supereroi

mistero

candelat

Mondo strano

Pierot

Pierot

Pierot

Pierot

test