La retta

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La linea, insieme al punto e al piano, è uno dei tre Enti Geometrici Fondamentali . Viene definita da Euclide, nei suoi Elementi *, come un concetto primitivo intendendo così indicare che, essendo un concetto semplice ed intuitivo, può essere accettato senza spiegazioni né definizioni.

* Gli Elementi ( IV e V sec. a.C.) di Euclide sono la più importante opera matematica giuntaci dalla cultura greca antica. Essi rappresentano un quadro completo e definito dei principi della geometria noti al tempo; l’opera era composta di 13 libri: i primi sei riguardavano la geometria piana, i successivi quattro i rapporti tra le grandezze e gli ultimi tre la geometria solida.

Della linea, come degli altri enti, possiamo però costruirci un’immagine. Essa può essere rappresentata da un filo sottilissimo, o dal segno, pure sottilissimo, lasciato dalla punta di una matita su di un foglio.

La linea si può considerare come un insieme infinito di punti e quindi, non ha peso né spessore, né inizio né fine. Ha un’unica dimensione: la lunghezza.

Tra le infinite linee se ne distingue in modo particolare una: la linea retta o, semplicemente, retta.

Per avere un’immagine della retta si può pensare ad un sottilissimo filo ben teso oppure ad un raggio di luce

Le rette possono giacere nel piano o nello spazio.

coincidenti: se tutti i punti di una sono sovrapposti ai punti dell’altra. Le due rette r e s sovrapposte non si distinguono l’una dall’altra.

parallele: se le due rette r e s non hanno nessun punto in comune; in questo caso la distanza tra le due rette è sempre costante

Le rette nel piano possono essere:

incidenti: se le due rette r e s hanno un unico punto P in comune.

r s

r // s

P

Particolari rette incidenti sono quelle perpendicolari: in questo caso le due rette r e s, nel punto P, formano 4 angoli retti.

r s

3

Nel Piano cartesiano ortogonale, le rette possono essere:

obliqua passante per l’origine

obliqua NON passante per l’origine

parallele all’asse delle ordinate parallele all’asse delle

ascisse

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5

Per ottenere queste equazioni (una per ciascuna posizione della retta nel piano cartesiano), dobbiamo cercare di comprendere quale proprietà accomuna i punti che appartengono ad una determinata retta.

Per questo scopo ci serviremo di applet animate create con il programma di Geometria dinamica GeoGebra.

Troviamo le equazioni che descrivono le rette, nelle varie posizioni, nel piano cartesiano (equazione del luogo geometrico).

Retta parallela agli assi cartesiani

I punti che si trovano su una retta r parallela all’asse delle ordinate y hanno tutti la stessa ascissa: essi, e solo essi, appartengono al luogo geometrico dei punti del piano che hanno la stessa ascissa. Pertanto l’equazione che descrive questa proprietà, e quindi, questo luogo, è

r: x = a

I punti che si trovano su una retta s parallela all’asse delle ascisse x hanno tutti la stessa ordinata: essi, e solo essi, appartengono al luogo geometrico dei punti del piano che hanno la stessa ordinata. Pertanto l’equazione che descrive questa proprietà, e quindi, questo luogo, è

s: y = b

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Retta obliqua passante per l’origine degli assi cartesiani

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Una retta r passante per l’origine degli assi cartesiani è il luogo geometrico dei punti del piano che hanno il rapporto tra la loro ordinata e la corrispondente ascissa costante.L’equazione di questo luogo è:

r: y = k x

La costante k prende il nome di coefficiente angolare in quanto dal suo valore dipende l’inclinazione della retta rispetto all’asse delle ascisse.

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8

Come si disegnano le rette nel piano cartesiano

Due punti del piano individuano una ed una sola retta. Questo significa che per disegnare una retta occorre conoscere le coordinate di due suoi punti qualsiasi.ESEMPIO

Disegnare nel piano cartesiano la retta r di equazione y = 2x -1

Si tratta di una retta generica con coefficiente angolare k = 2 ed intercetta n = -1. per disegnare questa retta basta conoscere le coordinate di suoi due punti; per fare ciò assegniamo alla x due valori qualsiasi, sostituiamoli nell’equazione della retta e calcoliamo i corrispondenti valori dell’ordinata. Riportiamo i calcoli nello schema:Nel piano cartesiano prendiamo i punti A(0; -1) e B (1; 1) e disegniamo la retta passante per essi.

Retta generica

Una retta generica s è il luogo geometrico dei punti del piano le cui ordinate sono date dall’ordinata del punto corrispondente su una retta r, parallela ad s e passante per l’origine, incrementate di un numero n che è l’ordinata del punto B di s sull’asse delle ordinate.

L’equazione di una retta generica è quindi: s: y = k x + n Il numero n viene detto intercetta perché è il punto in

cui la retta s “intercetta” (incontra) l’asse delle ordinate.

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Posizione di due rette e caratteristiche della loro equazione: rette coincidenti

Ricordiamo ciò che abbiamo imparato nella slide n. 3 sulla posizione di due rette nel piano e, ora che conosciamo le varie equazioni della retta nel piano, analizziamo la situazione anche da un altro punto di vista; apriamo, cioè, due finestre: quella grafica e quella analitica!

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hanno tutti gli infiniti punti che le compongono sovrapposti.

Punto

di v

ista

an

alitico

nel piano cartesiano hanno la stessa inclinazione, quindi lo stesso coefficiente angolare, e la stessa intercetta.

La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k’ x + n’ sono coincidenti se:

Punto

di vis

ta

geom

etr

ico

r ≡ s ↔ k = k’ e n = n’

r e s hanno la stessa equazione

Quindi:r

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La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k’ x + n’ sono parallele se:

Punto

di vis

ta

geom

etr

ico

Punto

di v

ista

an

alitico

NON hanno nessun punto in comune e quindi la distanza tra di esse è costante.

nel piano cartesiano hanno la stessa inclinazione, quindi lo stesso coefficiente angolare, MA intercetta diversa – se anche le intercette fossero uguali le due rette sarebbero coincidenti! - Quindi:

r s ↔ k = k’ e n n’

Posizione di due rette e caratteristiche della loro equazione: rette parallele

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Posizione di due rette e caratteristiche della loro equazione: rette incidenti

La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k’ x + n’ sono incidenti se:

Punto

di vis

ta

geom

etr

ico

Punto

di v

ista

an

alitico

si incontrano in un punto P che quindi appartiene alle due rette

nel piano cartesiano hanno diversa inclinazione, pertanto diverso coefficiente angolare; quindi

r s ↔ k k’

diversen n’

In questo caso le coordinate del punto di incontro P(punto di intersezione) si determinano risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due rette

ugualin = n’

In questo caso le coordinate del punto di incontro P sono (0; n), cioè le rette si incontrano sull’asse delle ordinate

le intercette possono essere:

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Posizione di due rette e caratteristiche della loro equazione: rette incidenti perpendicolarmente

13

La retta r: y = k x + n e la retta s: y = k’ x + n’ sono incidenti perpendicolarmente se:

Punto

di vis

ta

geom

etr

ico

Punto

di v

ista

an

alitico

si incontrano in un punto P formando 4 angoli retti

analiticamente

r s ↔ k = - 1/ k’

cioè il coefficiente angolare di una è l’antireciproco (l’inverso cambiato di

segno) dell’altra

ESEMPIO 1Qual è la posizione delle rette r: y = 2x - 5 e s: y = 3x – 6

Osserviamo che queste due rette hanno i coefficienti angolari diversi (kr = 2 e ks= 3), quindi sono incidenti , cioè si incontrano in un punto P. Anche le loro intercette sono diverse (nr = -5 e ns= -6), quindi si incontrano in un punto qualsiasi del piano cartesiano. Per trovare le coordinate del punto di intersezione P, dobbiamo risolvere il sistema formato dalle equazioni delle due rette:

Pertanto le coordinate del punto di intersezione P sono ( 1; 3), come confermato dal disegno.

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ESEMPIO 2Qual è la posizione delle rette r: y = 5x - 4 e s: y = 5x – 6

Le rette r e s hanno lo stesso coefficiente angolare (kr = 5 e ks= 5), quindi sono parallele e non hanno punti in comune.

La situazione è confermata anche al disegno.r s

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ESEMPIO 2Qual è la posizione delle rette r: y = 2x + 3 e s: y = - 1/2x + 3

Queste due rette hanno i coefficienti angolari che sono l’uno l’antireciproco dell’altro (kr = 2 e ks= -1/2), questo significa che le due rette sono incidenti perpendicolarmente. Osserviamo che le due rette hanno il la stessa intercetta (nr = ns= 3) questo significa che si incontrano sull’asse delle ordinate nel punto P di coordinate (0; 3)

Questa situazione è confermata dal disegno.

Appartenenza di un punto ad una retta

Se un punto P(xP; yP) giace su una retta r: y = k x + n allora le coordinate di P soddisfano l’equazione della retta; accade quindi che, se si sostituiscono le coordinate di P nell’equazione di r, l’eguaglianza risulta verificata: yP = k xP + n.In tal caso si scrive

P rESEMPIO

Il punto P (3; 5) appartiene alla retta r di equazione y = 2x – 1?

Basta sostituire le coordinate di P nell’equazione:

yP = k xP + n → 5 = 2 * 3 – 1

Poiché questa eguaglianza è vera possiamo affermare che P r

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Fascio di rette

Per fascio di rette si intende un insieme di rette accumunate da una stessa caratteristica.

I fasci di rette possono essere impropri e propri

Un fascio di rette si dice improprio se è formato da rette aventi tutte lo stesso coefficiente angolare (ed, evidentemente, diversa intercetta!)

Un fascio di rette si dice proprio se è formato da rette passanti tutte per uno stesso punto P (aventi, quindi, coefficienti angolari diversi!). Il Punto P si chiama Centro del Fascio

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Equazione del fascio di rette improprio

Se il fascio di rette è improprio le rette avranno tutte un coefficiente angolare costante (che non cambia) k0 mentre l’intercetta n sarà variabile in (cioè le rette incontreranno l’asse delle ordinate in punti diversi!)

L’equazione che descrive un tale fascio sarà:

ESEMPIOScrivere l’equazione del fascio di rette parallele alla retta r: y = 4x – 2

Poiché k0 = 4, l’equazione del fascio improprio è:

y = 4x + n con n variabile in

Questa equazione descrive TUTTE le infinite rette parallele, con la stessa inclinazione, con coefficiente

angolare k = 4

y = k0 x + n con k0 costante e n

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Equazione del fascio di rette proprioPer dedurre l’equazione di un fascio di rette proprio di centro P, facciamo le seguenti considerazioni.

Scriviamo l’equazione di una retta generica del fascio

Il punto P, essendo il centro del fascio, appartiene a tutte le rette del fascio e, quindi, le sue coordinate soddisfano alla generica retta del fascio.

Sottraendo membro a membro i termini delle 2 equazioni si ottiene:

Da cui

y = k x + n

yP = k xP + n

y – yP = k x - k xP

y – yP = k (x - xP )

Che è l’equazione che descrive TUTTE le infinite rette passanti per lo stesso punto P, centro del fascio.

ESEMPIOScrivere l’equazione del fascio proprio di centro P(1; 2).Basta sostituire le coordinate di P nell’equazione del Fascio y – yP = k (x - xP ); pertanto

Fascio P : y – 2 = k ( x – 1) → y = k (x – 1) + 2 20

Coefficiente angolare della retta passante per due punti A e B

Uno dei postulati della retta dice che: “Per due punti distinti passa una ed una sola retta”Se A(xA; yA) e B(xB; yB) sono due punti del piano, per essi passerà, quindi, una ed una sola retta r; ci proponiamo di determinarne il coefficiente angolare, cioè il valore di k ad essa corrispondente. Ragioniamo così:Sia r: y = k x + n l’equazione di una retta generica r. Se il punto A ed il punto B appartengono alla stessa retta r, le loro coordinate verificano l’equazione:

yA = k xA + n yB = k xB + n

Sottraendo membro a membro, si hayA - yB = k xA - k xB → yA - yB = k (xA - xB )

ESEMPIOQual è il coefficiente angolare della retta r passante per A(3; 6) e B (1; 4)?Basta sostituire le coordinate dei punti nella formula di k trovata:

k = (yA - yB )/ (yA - yB ) = (6 – 4) / (3 – 1) = 2 / 2 = 1

Da cuiOvviamente non è importante l’ordine degli indici!E’ buona norma scrivere (con i pedici!) per indicare il coefficiente angolare relativo ai punti A e B.

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ABk

Equazione della retta passante per due punti A e B

Ci proponiamo ora di determinare l’equazione della retta passante per due punti assegnati. Ragioniamo così:- Consideriamo il fascio di rette avente centro A oppure B – nel disegno abbiamo considerato il fascio di centro A –- L’equazione del fascio sarà FA: y – yA = k (x - xA )- Al fascio per A appartengono infinite rette aventi diversi coefficienti angolari k - vedi

disegno –.- Tra queste infinite rette c’è anche quella passante per il punto B, che avrà come coefficiente angolare

- Per determinare, allora, l’equazione della retta passante per A e per B, basterà sostituire il valore nell’equazione di FA.

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ABk

ESEMPIODeterminare l’equazione della retta passante per i punti A(2; 1) e B(6;3).Il fascio per A è FA: y – yA = k (x - xA ) → y – 1 = k(x – 2)Il coefficiente angolare della retta per A e B è dato da

Sostituendo questo valore nell’equazione del fascio FA si ottiene l’equazione della retta per A e B:

rAB : y – 1 = k(x – 2) → y – 1 = ½ (x – 2) → y = ½ x -1 +1 → y = ½ x

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Tutti i passaggi mostrati precedentemente per arrivare a determinare l’equazione della retta passante per due punti A(xA; yA) e B(xB; yB), possono essere sintetizzati ricorrendo al calcolo del semplice determinante

0=

1yx

1yx

1yx

BB

AASvolgiamo l’esercizio precedente risolvendo il determinante ESEMPIODeterminare l’equazione della retta passante per i punti A(2; 1) e B(6;3).

Scriviamo il determinante sostituendo i valori delle coordinate di A e di B e risolviamolo con il metodo di Sarrus

da cui 4y - 2x = 0 → y = ½ x Che è lo stesso risultato trovato prima!

0=y2x366+y6+x=

3

1

y

6

2

x

136

112

1yx

=

136

112

1yx

=

1yx

1yx

1yx

BB

AA ---

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Distanza di un punto A da una retta r

Per distanza di un punto da una retta si intende la lunghezza del segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta. Per calcolare la distanza (lunghezza del segmento AH) si ragiona così:

- se l’equazione della retta r è y = kx + n, il suo coefficiente angolare sarà k- la retta che passa per A e H, essendo perpendicolare a r, avrà il coefficiente angolare che sarà l’antireciproco di k, cioè

- il fascio di rette di centro A è FA: y – yA = k (x - xA )- per scrivere l’equazione della retta passante per A e H e perpendicolare alla retta r, basta sostituire al k nel fascio per A ottenendo

- a questo punto si possono trovare le coordinate di H risolvendo il sistema

- trovate le coordinate di H, si calcola la distanza tra A e H.- al termine di tutti questi passaggi si arriva alla formula

che è quella che viene usata per calcolare la distanza.

)x-x(k

1-=y-y:r A

rAAH

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ESEMPIO

Calcola la distanza del punto A(3, 4) dalla retta r: y = 2x +6

Senza fare tutti i passaggi descritti nella slide precedente, basta applicare la formula

tenendo conto che = 2 , = 3, = 4 e n = 6