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Dalle coniche alle stringhe

Enrico Arbarello

Febbraio 2006

Euclide (325-265 a.C.)

”Euclide-Bramante”

Postulato: per due punti passaun’ unica retta.

Proposizione: due rette siincontrano, al piu, in unpunto.

Euclide (325-265 a.C.) ”Euclide-Bramante”

Postulato: per due punti passaun’ unica retta.

Postulato: perdue punti passa un’ unica retta.

Apollonio di Perga(262-190 a.C.)

”Le coniche”

387 Proposizioni sulle coniche:

”Le coniche”

Proposizione: per cinque puntipassa una e una sola conica.

Proposizione: due coniche siincontrano in al piu quattropunti.

Proposizione: per cinque puntipassa una e una sola conica.

Proposizione: due coniche siincontrano in al piu quattropunti.

Proposizione: vi sono, al piu, 4 rette tangenti a due coniche date.

Proposizione: vi sono, al piu, 8 cerchi tangenti a tre cerchi dati.

I.Newton(1643-1727)

G. Leibniz(1646-1716)

I.Newton(1643-1727)

G. Leibniz(1646-1716)

M.Chasles (1793-1880)

Vi sono (al piu) 3264 conichetangenti a 5 coniche date.La difficolta viene dalle rettedoppie che costituisconoinfinite soluzioni da scartare.

H. Schubert (1848-1911)

Vi sono (al piu) 666.841.080quadriche dello spaziotri-dimensionale che sonotangenti a 9 quadriche date.

M.Chasles (1793-1880)

Vi sono (al piu) 3264 conichetangenti a 5 coniche date.

La difficolta viene dalle rettedoppie che costituisconoinfinite soluzioni da scartare.

H. Schubert (1848-1911)

M.Chasles (1793-1880)

H. Schubert (1848-1911)

M.Chasles (1793-1880)

H. Schubert (1848-1911)

M.Chasles (1793-1880)

H. Schubert (1848-1911)

R. Descartes(1596-1650)

retta: ax + by + c = 0

cerchio: x2 + y2 = 1 cubica: y2 = x3 − 1

cerchio: x2 + y2 = 1

cubica: y2 = x3 − 1

cerchio: x2 + y2 = 1

cubica: y2 = x3 − 1

quartica: x4 + y4 = 1

cubica nodata: y2 = x3 + x2

quartica: x4 + y4 = 1

cubica nodata: y2 = x3 + x2

Dimostrazione del fatto che ci sono, al piu, 4 rettetangenti a due coniche:

La rappresentazione analitica delle coniche fa vedere che le rettetangenti a una conica formano una conica nel piano duale.

Dunque l’asserzione si riduce a quella, gia vista, che due coniche siintersecano in, al piu, 4 punti.

Dimostrazione del Teorema degli 8 cerchi di Apollonio:

Un cerchio ha equazione:

x2 + y2 + ax + by + c = 0 , (con (a/2)2 + (b/2)2 − c > 0 ) .

Dunque dipende da 3 parametri reali: a, b e c .

La condizione di tangenza e quadratica nelle variabili a, b e c .

Quindi, per trovare i cerchi tangenti a tre cerchi dati si devonotrovare le soluzioni comuni a tre equazioni quadratiche nelle trevariabili a, b e c .

In generale si ottengono, al piu, 8 soluzioni.Q.E.D.

x2 + y2 + ax + by + c = 0 ,

(con (a/2)2 + (b/2)2 − c > 0 ) .

x2 + y2 + ax + by + c = 0 , (con (a/2)2 + (b/2)2 − c > 0 ) .

In generale si ottengono, al piu, 8 soluzioni.

Q.E.D.9

x2 + y2 + ax + by + c = 0 , (con (a/2)2 + (b/2)2 − c > 0 ) .

Alla ricerca delle intersezioni mancanti (I):

Leon Battista Alberti(1404-1472)”Della Pictura”

Piero della Francesca(1412- 1492)”De prospectiva pingendi”

Abrecht Durer(1471-1528)”Unterweisung der Messungmit dem Zirkel undRichtscheit”

Con la geometria proiettiva si stabilisce una perfetta dualita trapunti e rette del piano proiettivo.

Ora la frase: per due puntidistinti passa una sola retta, e perfettamente duale della

frase: due rette distinte siincontrano esattamente in unpunto.

Ora la frase: per due puntidistinti passa una sola retta,

e perfettamente duale dellafrase: due rette distinte siincontrano esattamente in unpunto.

Alla ricerca delle intersezioni mancanti (II):

( 3, 0 )

(0, 2) Cerchio: x2 + y2 = 3Retta: y = 2Punti di intersezione:x2 + 22 = 3, ovverox2 + 4 = 3, ovvero x2 = −1.

√−1 = i

Punti di intersezione: (i , 2) e (−i , 2).

( 3, 0 )

(0, 2)

Cerchio: x2 + y2 = 3Retta: y = 2Punti di intersezione:x2 + 22 = 3, ovverox2 + 4 = 3, ovvero x2 = −1.

√−1 = i

( 3, 0 )

√−1 = i

( 3, 0 )

√−1 = i

( 3, 0 )

√−1 = i

Numeri:1, 2, 3, . . .

0, 1, 2, 3, . . .

· · · − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

x2 = 2

La retta reale R:

Numeri:1, 2, 3, . . .

0, 1, 2, 3, . . .

· · · − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

x2 = 2

La retta reale R:

Numeri:1, 2, 3, . . .

0, 1, 2, 3, . . .

· · · − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

x2 = 2

La retta reale R:

Numeri:1, 2, 3, . . .

0, 1, 2, 3, . . .

· · · − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

x2 = 2

La retta reale R:

Numeri:1, 2, 3, . . .

0, 1, 2, 3, . . .

· · · − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

x2 = 2

La retta reale R:

Numeri:1, 2, 3, . . .

0, 1, 2, 3, . . .

· · · − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

x2 = 2

La retta reale R:

Numeri:1, 2, 3, . . .

0, 1, 2, 3, . . .

· · · − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .

x2 = 2

La retta reale R:

.. . . ....π21 30 2-1

.5 2-8 3

Nicolo Tartaglia(Brescia 1500 - Venezia 1557)

Gerolamo Cardano(1515 Pavia - Roma 1576)

”Ars Magna”

Raffaele Bombelli(Bologna 1526 - Roma 1572)”Algebra”

Omar KhayyamGhiyath al-Din Abu’l-FathUmar ibn Ibrahim Al-Nisaburial-Khayyami(Nishapur 1048 - 1131)

”Ars Magna”

Caspar Wessel(1745 - 1818)Interpretazione geometrica deinumeri complessi.

Il piano complesso C:Al posto della variabile reale x si considera ora una variabilecomplessa z = u + iv e al posto della variabile reale y si considerauna variabile complessa w = ξ + iη. Cosa succede alle curve piane?

Il piano complesso C:

Al posto della variabile reale x si considera ora una variabilecomplessa z = u + iv e al posto della variabile reale y si considerauna variabile complessa w = ξ + iη. Cosa succede alle curve piane?

Il piano complesso C:

Al posto della variabile reale x si considera ora una variabilecomplessa z = u + iv e al posto della variabile reale y si considerauna variabile complessa w = ξ + iη. Cosa succede alle curve piane?

Descartes:

Una curva algebrica piana edata da una equazionepolinomiale P(x , y) = 0 , nelpiano di coordinate reali x e y .

Per esempio:

retta: P(x , y) = x − y + 1cerchio: P(x , y) = x2 + y2 − 1cubica: P(x , y) = x3 − x2 − y2

E nel piano di coordinatecomplesse z e w ?

Descartes:

Per esempio:

Descartes:

Per esempio:

P(x,y)=0

Descartes:

Per esempio:

P(x,y)=0E nel piano di coordinatecomplesse z e w ?

Descartes:

Per esempio:

P(x,y)=0

P(z, w)=0 ?

z=u+iv

w=s+it

Bernhard Riemann(Breselenz [Hanover] 1826- Selasca [Como] 1866)

x − 23y − 1 = 0

z − 23w − 1 = 0

x2 + y2 = 1 z2 + w2 = 1

x − 23y − 1 = 0

z − 23w − 1 = 0

x2 + y2 = 1 z2 + w2 = 1

x − 23y − 1 = 0

z − 23w − 1 = 0

x2 + y2 = 1

z2 + w2 = 1

x − 23y − 1 = 0

z − 23w − 1 = 0

x2 + y2 = 1

z2 + w2 = 1

y2 = x3 − x

w2 = z3 − z

x4 + y4 = 1 w2 = z4 − 1

y2 = x3 − x

w2 = z3 − z

x4 + y4 = 1 w2 = z4 − 1

y2 = x3 − x

w2 = z3 − z

x4 + y4 = 1

w2 = z4 − 1

y2 = x3 − x

w2 = z3 − z

x4 + y4 = 1

w2 = z4 − 1

In conclusione, nello spazio bidimensionale, complesso e proiettivoP2C, con coordinate complesse z e w , le soluzioni dell’ equazioneP(z ,w) = 0 formano una superficie, che si chiama superficie diRiemann. Il numero dei ”buchi” di questa superficie si chiama ilgenere della superficie e si denota con la lettera g.

w........... P(z, w)=0

Come si fa a calcolare il genere di una superficie di Riemann datala sua equazione?

Esempi:

retta : z + w = 1 g = 0 ,

conica : z2 + w2 = 1 g = 0 ,

cubica : z3 + w3 = 1 g = 1 ,

quartica : z4 + w4 = 1 g = 3 ,

curva di grado d : zd + wd = 1 g =(d − 1)(d − 2)

In un certo senso, le curve di genere 0 sono la naturalegeneralizzazione delle rette. A prima vista sembra che le unichecurve piane di genere 0 siano le rette e le coniche. Ma non e cosı.Questo dipende dal fatto che una curva puo avere dei ”nodi”.Consideriamo l’esempio della cubica:

Come si fa a calcolare il genere di una superficie di Riemann datala sua equazione?Esempi:

retta : z + w = 1 g = 0 ,

conica : z2 + w2 = 1 g = 0 ,

cubica : z3 + w3 = 1 g = 1 ,

quartica : z4 + w4 = 1 g = 3 ,

retta : z + w = 1 g = 0 ,

conica : z2 + w2 = 1 g = 0 ,

cubica : z3 + w3 = 1 g = 1 ,

quartica : z4 + w4 = 1 g = 3 ,

retta : z + w = 1 g = 0 ,

conica : z2 + w2 = 1 g = 0 ,

cubica : z3 + w3 = 1 g = 1 ,

quartica : z4 + w4 = 1 g = 3 ,

retta : z + w = 1 g = 0 ,

conica : z2 + w2 = 1 g = 0 ,

cubica : z3 + w3 = 1 g = 1 ,

quartica : z4 + w4 = 1 g = 3 ,

retta : z + w = 1 g = 0 ,

conica : z2 + w2 = 1 g = 0 ,

cubica : z3 + w3 = 1 g = 1 ,

quartica : z4 + w4 = 1 g = 3 ,

retta : z + w = 1 g = 0 ,

conica : z2 + w2 = 1 g = 0 ,

cubica : z3 + w3 = 1 g = 1 ,

quartica : z4 + w4 = 1 g = 3 ,

In un certo senso, le curve di genere 0 sono la naturalegeneralizzazione delle rette.

A prima vista sembra che le unichecurve piane di genere 0 siano le rette e le coniche. Ma non e cosı.Questo dipende dal fatto che una curva puo avere dei ”nodi”.Consideriamo l’esempio della cubica:

retta : z + w = 1 g = 0 ,

conica : z2 + w2 = 1 g = 0 ,

cubica : z3 + w3 = 1 g = 1 ,

quartica : z4 + w4 = 1 g = 3 ,

In un certo senso, le curve di genere 0 sono la naturalegeneralizzazione delle rette. A prima vista sembra che le unichecurve piane di genere 0 siano le rette e le coniche.

Ma non e cosı.Questo dipende dal fatto che una curva puo avere dei ”nodi”.Consideriamo l’esempio della cubica:

retta : z + w = 1 g = 0 ,

conica : z2 + w2 = 1 g = 0 ,

cubica : z3 + w3 = 1 g = 1 ,

quartica : z4 + w4 = 1 g = 3 ,

In un certo senso, le curve di genere 0 sono la naturalegeneralizzazione delle rette. A prima vista sembra che le unichecurve piane di genere 0 siano le rette e le coniche. Ma non e cosı.

Questo dipende dal fatto che una curva puo avere dei ”nodi”.Consideriamo l’esempio della cubica:

retta : z + w = 1 g = 0 ,

conica : z2 + w2 = 1 g = 0 ,

cubica : z3 + w3 = 1 g = 1 ,

quartica : z4 + w4 = 1 g = 3 ,

y2 = x3 − x

w2 = z3 − z

y2 = y3 − y2 w2 = z3 − z2

y2 = x3 − x

w2 = z3 − z

y2 = y3 − y2 w2 = z3 − z2

y2 = x3 − x

w2 = z3 − z

y2 = y3 − y2

w2 = z3 − z2

y2 = x3 − x

w2 = z3 − z

y2 = y3 − y2

w2 = z3 − z2

Ora, una cubica con un nodo va considerata come una superficie digenere 0 e non di genere 1:

Nella stessa maniera una superficie del tipo:

va considerata come unasuperficie di genere 3 e non 5!

In conclusione: una curva piana di grado d con δ nodi vaconsiderata come una superficie di Riemann di genere

g =(d − 1)(d − 2)

2− δ .

Dunque ci sono tantissime curve piane di genere 0 ! Sono tutte lecurve piane di grado d che hanno

δ =(d − 1)(d − 2)

nodi. Ora trattiamo queste curve di genere zero cosı come Euclidetrattava le rette e Apollonio le coniche. Si nota pero subito unadifferenza. Mentre secondo Euclide vi e un’ unica retta per duepunti e per Apollonio un’ unica conica per 5 punti, le cose nonsono altrettanto semplici per le curve piane di grado d e generezero non appena d > 2. L’unica cosa che si puo dire, senza troppadifficolta, e che, per 3d − 1 punti del piano, passano solo unnumero finito di curve piane di grado d e genere zero. ChiamiamoNd questo numero. Come si calcola Nd?

g =(d − 1)(d − 2)

2− δ .

δ =(d − 1)(d − 2)

g =(d − 1)(d − 2)

2− δ .

Dunque ci sono tantissime curve piane di genere 0 !

Sono tutte lecurve piane di grado d che hanno

δ =(d − 1)(d − 2)

g =(d − 1)(d − 2)

2− δ .

δ =(d − 1)(d − 2)

Ora trattiamo queste curve di genere zero cosı come Euclidetrattava le rette e Apollonio le coniche. Si nota pero subito unadifferenza. Mentre secondo Euclide vi e un’ unica retta per duepunti e per Apollonio un’ unica conica per 5 punti, le cose nonsono altrettanto semplici per le curve piane di grado d e generezero non appena d > 2. L’unica cosa che si puo dire, senza troppadifficolta, e che, per 3d − 1 punti del piano, passano solo unnumero finito di curve piane di grado d e genere zero. ChiamiamoNd questo numero. Come si calcola Nd?

g =(d − 1)(d − 2)

2− δ .

δ =(d − 1)(d − 2)

nodi. Ora trattiamo queste curve di genere zero cosı come Euclidetrattava le rette e Apollonio le coniche.

Si nota pero subito unadifferenza. Mentre secondo Euclide vi e un’ unica retta per duepunti e per Apollonio un’ unica conica per 5 punti, le cose nonsono altrettanto semplici per le curve piane di grado d e generezero non appena d > 2. L’unica cosa che si puo dire, senza troppadifficolta, e che, per 3d − 1 punti del piano, passano solo unnumero finito di curve piane di grado d e genere zero. ChiamiamoNd questo numero. Come si calcola Nd?

g =(d − 1)(d − 2)

2− δ .

δ =(d − 1)(d − 2)

nodi. Ora trattiamo queste curve di genere zero cosı come Euclidetrattava le rette e Apollonio le coniche. Si nota pero subito unadifferenza.

Mentre secondo Euclide vi e un’ unica retta per duepunti e per Apollonio un’ unica conica per 5 punti, le cose nonsono altrettanto semplici per le curve piane di grado d e generezero non appena d > 2. L’unica cosa che si puo dire, senza troppadifficolta, e che, per 3d − 1 punti del piano, passano solo unnumero finito di curve piane di grado d e genere zero. ChiamiamoNd questo numero. Come si calcola Nd?

g =(d − 1)(d − 2)

2− δ .

δ =(d − 1)(d − 2)

nodi. Ora trattiamo queste curve di genere zero cosı come Euclidetrattava le rette e Apollonio le coniche. Si nota pero subito unadifferenza. Mentre secondo Euclide vi e un’ unica retta per duepunti e per Apollonio un’ unica conica per 5 punti,

le cose nonsono altrettanto semplici per le curve piane di grado d e generezero non appena d > 2. L’unica cosa che si puo dire, senza troppadifficolta, e che, per 3d − 1 punti del piano, passano solo unnumero finito di curve piane di grado d e genere zero. ChiamiamoNd questo numero. Come si calcola Nd?

g =(d − 1)(d − 2)

2− δ .

δ =(d − 1)(d − 2)

nodi. Ora trattiamo queste curve di genere zero cosı come Euclidetrattava le rette e Apollonio le coniche. Si nota pero subito unadifferenza. Mentre secondo Euclide vi e un’ unica retta per duepunti e per Apollonio un’ unica conica per 5 punti, le cose nonsono altrettanto semplici per le curve piane di grado d e generezero non appena d > 2.

L’unica cosa che si puo dire, senza troppadifficolta, e che, per 3d − 1 punti del piano, passano solo unnumero finito di curve piane di grado d e genere zero. ChiamiamoNd questo numero. Come si calcola Nd?

g =(d − 1)(d − 2)

2− δ .

δ =(d − 1)(d − 2)

nodi. Ora trattiamo queste curve di genere zero cosı come Euclidetrattava le rette e Apollonio le coniche. Si nota pero subito unadifferenza. Mentre secondo Euclide vi e un’ unica retta per duepunti e per Apollonio un’ unica conica per 5 punti, le cose nonsono altrettanto semplici per le curve piane di grado d e generezero non appena d > 2. L’unica cosa che si puo dire, senza troppadifficolta, e che, per 3d − 1 punti del piano, passano solo unnumero finito di curve piane di grado d e genere zero.

ChiamiamoNd questo numero. Come si calcola Nd?

g =(d − 1)(d − 2)

2− δ .

δ =(d − 1)(d − 2)

nodi. Ora trattiamo queste curve di genere zero cosı come Euclidetrattava le rette e Apollonio le coniche. Si nota pero subito unadifferenza. Mentre secondo Euclide vi e un’ unica retta per duepunti e per Apollonio un’ unica conica per 5 punti, le cose nonsono altrettanto semplici per le curve piane di grado d e generezero non appena d > 2. L’unica cosa che si puo dire, senza troppadifficolta, e che, per 3d − 1 punti del piano, passano solo unnumero finito di curve piane di grado d e genere zero. ChiamiamoNd questo numero.

Come si calcola Nd?

g =(d − 1)(d − 2)

2− δ .

δ =(d − 1)(d − 2)

Dunque, il misterioso numero Nd e il numero di curve piane digrado d e genere 0 che passano per per 3d − 1 punti del pianoassegnati.

Cosa si sa di Nd?

d 3d − 1 Nd

Euclide (≈300 a.C.) 1 2 N1 = 1

Apollonio (≈240 a.C.) 2 5 N2 = 1

Chasles (≈1820) 3 8 N3 = 12

Schubert (≈1870) 4 11 N4 = 620

Schubert 5 14 N5 = 87304

Ma perche mai uno si deve rompere la testa su un problema cosıastruso, remoto dalla realta e probabilmente irrilevante?

Dunque, il misterioso numero Nd e il numero di curve piane digrado d e genere 0 che passano per per 3d − 1 punti del pianoassegnati. Cosa si sa di Nd?

d 3d − 1 Nd

Euclide (≈300 a.C.) 1 2 N1 = 1

Apollonio (≈240 a.C.) 2 5 N2 = 1

Chasles (≈1820) 3 8 N3 = 12

Schubert (≈1870) 4 11 N4 = 620

Schubert 5 14 N5 = 87304

d 3d − 1 Nd

Euclide (≈300 a.C.) 1 2 N1 = 1

Apollonio (≈240 a.C.) 2 5 N2 = 1

Chasles (≈1820) 3 8 N3 = 12

Schubert (≈1870) 4 11 N4 = 620

Schubert 5 14 N5 = 87304

d 3d − 1 Nd

Euclide (≈300 a.C.) 1 2 N1 = 1

Apollonio (≈240 a.C.) 2 5 N2 = 1

Chasles (≈1820) 3 8 N3 = 12

Schubert (≈1870) 4 11 N4 = 620

Schubert 5 14 N5 = 87304

d 3d − 1 Nd

Euclide (≈300 a.C.) 1 2 N1 = 1

Apollonio (≈240 a.C.) 2 5 N2 = 1

Chasles (≈1820) 3 8 N3 = 12

Schubert (≈1870) 4 11 N4 = 620

Schubert 5 14 N5 = 87304

d 3d − 1 Nd

Euclide (≈300 a.C.) 1 2 N1 = 1

Apollonio (≈240 a.C.) 2 5 N2 = 1

Chasles (≈1820) 3 8 N3 = 12

Schubert (≈1870) 4 11 N4 = 620

Schubert 5 14 N5 = 87304

d 3d − 1 Nd

Euclide (≈300 a.C.) 1 2 N1 = 1

Apollonio (≈240 a.C.) 2 5 N2 = 1

Chasles (≈1820) 3 8 N3 = 12

Schubert (≈1870) 4 11 N4 = 620

Schubert 5 14 N5 = 87304

d 3d − 1 Nd

Euclide (≈300 a.C.) 1 2 N1 = 1

Apollonio (≈240 a.C.) 2 5 N2 = 1

Chasles (≈1820) 3 8 N3 = 12

Schubert (≈1870) 4 11 N4 = 620

Schubert 5 14 N5 = 87304

d 3d − 1 Nd

Euclide (≈300 a.C.) 1 2 N1 = 1

Apollonio (≈240 a.C.) 2 5 N2 = 1

Chasles (≈1820) 3 8 N3 = 12

Schubert (≈1870) 4 11 N4 = 620

Schubert 5 14 N5 = 87304

Onde solitoniche,

o solitarie, o anomale.

J.Scott-Russell (1808-1882)

L’ acquedotto ”Scott Russell” nello Union Canal, vicinoall’Universita Heriot-Watt (12 Luglio 1995).

Onde solitoniche, o solitarie,

o anomale.

Onde solitoniche, o solitarie, o anomale.

.u(x,t)

Due onde solitoniche di diversaampiezza e velocita cheinterferiscono, per poicontinuare immutate eindisturbate il loro corso.

L’equazione differenziale che governa queste onde fu scoperta dadue fisici-matematici olandesi Korteweg e de Vries intorno al 1890.L’equazione prende il loro nome: l’ equazione KdV