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LA GEOMETRIA DESCRITTIVA DALLA TRADIZIONE ALLA INNOVAZIONE

a cura diCesare Cundari e Riccardo Migliari

La geometria descrittiva dalla tradizione alla innovazione

A cura di Cesare Cundari, Riccardo Migliari

Presentazione diCesare Cundari

Contributi diMaria Teresa Bartoli, Vito Cardone, Laura De Carlo, Agostino De Rosa, Mario Docci,

Fabrizio Gay, José Maria Gentil Baldrich, Andrea Giordano, Barbara Messina, Riccardo Migliari, Alessandra Pagliano, Anna Sgrosso, Camillo Trevisan,

Sapienza Università di Roma

Dipartimento di Storia, Disegno e Restauro dell’Architettura

Dottorato in Scienze della Rappresentazione e del Rilievo

Scuola Nazionale di Dottorato in Scienze della Rappresentazione e del Rilievo

Strumenti del Dottorato di Ricerca in Scienze della Rappresentazione e del Rilievo

Nuova seriediretta da Cesare Cundari

volume n. 2

Comitato scientificoAlbisinni PieroBianchini CarloCarnevali LauraCarpiceci MarcoChiavoni EmanuelaCundari CesareDe Carlo LauraIppoliti ElenaMigliari Riccardi

NB. Il presente volume è corredato da un CD con i testi integrali delle relazioni svolte al Seminario.

ImpaginazioneSalvatore De Stefano

Copyright © MMXIVARACNE editrice int.le S.r.l.

[email protected]

via Raffaele Garofalo, 133/A-B00173 Roma(06) 93781065

ISBN 978-88-548-7532-6

I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale,con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.

Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell’EditoreI edizione: settembre 2014

Indice

Presentazione 9Cesare Cundari

INTRODUZIONE 13La geometria descrittiva dalla tradizione alla innovazione 15Riccardo Migliari

LA GEOMETRIA NELL'ANTICHITA' 27Sulla rappresentazione nell'antichità: la visione della circonferenza e della sfera. 29José Maria Gentil Baldrich

La misura nella geo-metria che descrive l’architettura 30Maria Teresa Bartoli

I SECOLI DELL’OBLIO O, MEGLIO, DELLA CONSERVAZIONEDEL SAPERE 31I secoli dell'oblio o, meglio, della conservazione del sapere: dall'astrazione bizantina ai valori ottici della forma di Giotto, Mantegna e Donatello 33 Andrea Giordano

Le prospettive di Jean François Niceron: tra teoria geometrico-matematica e sperimentazione artistica 34Agostino De Rosa

La stereotomia - Concezione e verifica del progetto e della struttura 35Camillo Trevisan

Monge e la scuola politecnica 36Vito Cardone

PONCELET E LA GEOMETRIA PROIETTIVA 37Genesi proiettiva delle coniche. Le quadriche 39Anna Sgrosso, Alessandra Pagliano

FARISH, SHLÖMILCH, POHLKE, E LA CODIFICA DELL’ASSONOMETRIA 41Un efficace modello per l'assonometria isometrica, che consente anche una semplice formulazione della condizione di perpendicolarità 43Vito Cardone, Barbara Messina

Spunti e riflessioni per una storia della prospettiva parallela 44Laura De Carlo

IL RITORNO DELL'OGGETTO CORPOREO NELL'EPOCA INFORMATICA DELLA GEOMETRIA DESCRITTIVA 45L'Apollo di Felix Klein: categorie geometriche e adeguazione descrittiva 47Fabrizio Gay

Il Ruolo della Geometria nella formazionedell’architetto nel XXI secolo 48Mario Docci

CONCLUSIONI 49Considerazioni conclusive 51Vito Cardone, Riccardo Migliari

Gli autori 53

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PresentazioneCesare CundariCoordinatore del Dottorato in Scienze della Rappresentazione e del RilievoDirettore della Scuola Nazionale di Dottorato

Nel presentare questo volume che raccoglie le relazioni svolte durante la Gior-nata di studi che si è svolta a Roma il 9 giugno 2014, mi sembra opportunauna riflessione circa il suo inquadramento sia nell'ambito del Dottorato di ri-cerca di Roma sia nell'attività della Scuola nazionale di Dottorato.Quando la sede della Scuola Nazionale si è spostata da Firenze e a Roma e,contemporaneamente, ne ho assunto la direzione, erano già in atto le trasfor-mazioni che, nelle varie sedi, hanno riguardato i Dottorati con processi di ac-corpamento dovuti, dapprima alla forte e progressiva riduzione di borse distudio disponibili, successivamente alle norme per l'accreditamento. Per ultimo,anche il Dottorato in "Scienze della Rappresentazione e del Rilievo" di Roma,pur con una dote di 4 borse annue, ha dovuto unirsi (a partire dall'anno acca-demico 2013/14) con l'altro di Storia e Restauro per rispettare i parametri fissatidal MIUR e dall'ANVUR per l'accreditamento. Contemporaneamente, la Legge Gelmini (2010) ha soppresso il ruolo dei ri-cercatori prevedendo, in sua vece, la figura del ricercatore a tempo determinatoe la possibilità di reclutamento nel ruolo dei professori associati subordinata-mente al conseguimento dell'Abilitazione scientifica nazionale (della quale èoggi in svolgimento la seconda tornata).Queste modifiche normative - come ho avuto già modo di osservare - hannorichiesto e richiedono una riflessione sulle funzioni di una Scuola Nazionaledi Dottorato la quale, oggi, è chiamata, oltre alla consueta funzione di coordi-namento (pur nei limiti della autonomia delle singole sedi) dell'attività forma-tiva dei dottorandi, anche a offrire occasioni di studio ed approfondimento nelletematiche principali oltre che in quelle nelle quali, in particolare, maggiorisono gli effetti delle nuove tecnologie che - mentre aprono nuovi orizzonti -suggeriscono puntualizzazioni metodologiche e procedurali.Secondo me, in sintesi, la Scuola dovrebbe proporre occasioni di supporto allaformazione scientifica e didattica anche oltre la formazione dottorale, anche esoprattutto allo scopo di offrire dei riferimenti utili all'avanzamento nellaricerca sia dei dottorandi che di coloro che già hanno concluso il ciclo diformazione dottorale. Secondo questa linea il Consiglio della Scuola, condividendo l'ipotesi di lavoro,aveva deliberato l'attuazione di adeguate iniziative negli ambiti fondamentalidel settore disciplinare: la Geometria descrittiva, il Disegno dell'architettura,il Rilievo dell'architettura; con l'intenzione di rivolgere anche la necessaria at-tenzione ad ambiti operativi in certo senso di nuovo interesse, come quellolegato al Design.

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Con questi criteri già nel 2012 è stato organizzato un primo Seminario di studiorivolto al Rilievo architettonico, ambito disciplinare fortemente investito dainnovazioni tecnologiche; quel Seminario si è svolto nel mese di luglio con lapartecipazione di autorevoli studiosi italiani e stranieri; l'utilizzo delle tecno-logie informatiche vi delinea nuove problematiche operative e di gestione deiprocessi; un nuovo Seminario di studio sarebbe previsto nel prossimo mese diottobre.Nel mese di settembre dello scorso anno era previsto l'inizio di un Workshopche si sarebbe svolto con la collaborazione di docenti del Politecnico di Milanoe della Sapienza di Roma sul Design; il sovrapporsi degli impegni e la necessitàdi una migliore organizzazione hanno indotto uno slittamento della sua attua-zione ai primi mesi di quest'anno; si tratta di una iniziativa che ha riscosso unparticolare interesse tra i dottorandi delle varie sedi. In questi giorni è allestampe il volume che raccoglie i contributi di studio prodotti nella fase svoltasipresso il Politecnico di Milano, nelle prossime settimane è prevista la pubbli-cazione del volume che raccoglie gli esiti delle attività svoltesi nella sederomana.Sin dall'inizio di quest'anno, ancora, era stata avviata l'organizzazione di unaGiornata sulla Geometria per il cui svolgimento si è voluto attendere, soprat-tutto, la conclusione delle attività legate al Workshop sul Design.

La Giornata sulla GeometriaUno dei motivi principali per i quali ho ritenuto importante questa iniziativarisiede nella consapevolezza che la Geometria descrittiva è, in realtà, poco fre-quentata dai ricercatori dell'area del Disegno. Una ricognizione attenta dellaproduzione scientifica degli ultimi anni consente di constatare una esuberanzadi esperienze legate all'utilizzo delle tecnologie informatiche nel disegno del-l'architettura (in forma di modellazione) e nel rilievo architettonico (in formadi scansioni elettroniche) a fronte di un numero molto limitato di studi geome-trici. Naturalmente, la nostra attenzione non è rivolta alla quantità di studi ri-volti a temi di geometria quanto al fatto che l'automatismo consentito da moltisoftware nella elaborazione di modelli allontani il ricercatore dall'apprendi-mento e dall'approfondimento di quelle tematiche geometriche la cui cono-scenza, sola, consente il controllo dei processi sviluppati dall'elaboratore e deirisultati che ci propone. Sulla base di questa consapevolezza ho chiesto a Colleghi (innanzitutto i proff.Vitale Cardone e Riccardo Migliari) che a lungo hanno frequentato questionidi geometria, di individuare una ristretta rosa di tematiche che, nel loro insieme,avrebbero potuto delineare un percorso evolutivo della disciplina (senza, tut-tavia, farne una esposizione storica) su cui chiedere la partecipazione ai Col-leghi che maggiormente e con maggiore autorevolezza hanno svolto attività diricerca in quest'ambito. Tra questi era sin dall'inizio previsto il coinvolgimento

Cesare Cundari, Presentazione

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del prof. Baldrich, cattedratico di Geometria Descrittiva a Sevilla - Spagna,che - a causa della concomitanza (in Spagna) di una Commissione di Dottorato- ha svolto la sua apprezzata relazione il giorno 27 giugno.Tutti i Colleghi interpellati hanno aderito all'iniziativa, concorrendo a costituirele premesse di una molto positiva riuscita di una Giornata di studio con la qualemi auguro si apra un itinerario di studio teso a valorizzare questo ambito di-sciplinare talvolta non adeguatamente considerato, in special modo negli ultimilustri, anche a causa di fraintendimenti legati sull'utilizzo delle tecnologie in-formatiche. Sono particolarmente grato, quindi, a ciascuno di essi per accoltol'invito ed essere riusciti a conciliare questo ulteriore impegno con il noverodegli altri impegni nei quali sono istituzionalmente coinvolti; essi hanno di-versa provenienza, come si evince dal programma già diffuso: ad affiancare iproff. Laura de Carlo e Riccardo Migliari (docenti del nostro Dottorato) sono,oggi, con noi: i proff. Agostino De Rosa, il prof. Fabrizio Gay, il prof. CamilloTrevisan dell'IUAV; il prof. Andrea Giordano dell'Università di Padova, la prof.Maria Teresa Bartoli dell'Università di Firenze, il prof. Vito Cardone dell'Uni-versità di Salerno (che porta qui la sua esperienza di studioso ma che non igno-riamo essere stato eletto da qualche settimana Presidente dell'Unione Italianadel Disegno); mi sembra significativo sottolineare la presenza, tra i relatori,della prof.ssa Anna Sgrosso - che a lungo ha insegnato come professore ordi-nario della disciplina presso l'Università "Federico II" di Napoli - e della par-tecipazione, accanto a Lei, di due colleghi che sono stati, a loro volta, suoiallievi: il prof. De Rosa (oggi all'IUAV) e il prof. Giordano (oggi all'Universitàdi Padova). L'attività della Giornata di studi è stata seguita per via telematicaanche da altre sedi, così come è stata effettuata la videoregistrazione di tuttigli interventi e del dibattito.Un aspetto particolare merita di essere segnalato; accogliendo uno specificoinvito, ciascuno dei Colleghi che hanno partecipato alla Giornata ha segnalatoalcuni temi che avrebbero potuto essere oggetto di approfondimento da partedi dottorandi, disponibile a seguirne il lavoro; mi risulta che l'occasione è statacolta da diversi dottorandi. E' una occasione proficua per un giovane studiosoper attingere a saperi diversi, ad esperienza differenti, a tematiche tutte inte-ressanti ed originali. Dal quadro delle relazioni svolte è risultato con tutta evidenza come ampisiano gli spazi praticabili per la ricerca scientifica.Mentre era in fase avanzata di organizzazione la Giornata, è risultato evidenteanche l'opportunità di non trascurare il contributo fornito, nel tempo e nellevarie sedi, all'insegnamento ed allo sviluppo della Geometria descrittiva. E'noto, come sottolinea peraltro lo stesso collega Migliari, che la sopravvivenzadi interessi verso la Geometria descrittiva è legata, da decenni, al nostro settorescientifico disciplinare, per le indubbie implicazioni nell'ambito della rappre-sentazione. Anche per tale ragione non va trascurato l'impegno profuso, nel


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tempo e nelle varie sedi, da colleghi che ci hanno preceduto, per lo sviluppodella ricerca in questo specifico ambito disciplinare.

ConclusioniNon posso chiudere questa presentazione senza sottolineare che l'attuazionedella Giornata è stata possibile per la collaborazione di tanti: innanzitutto Ric-cardo Migliari e Vito Cardone (che ha, peraltro, enormemente facilitato la par-tecipazione del prof. Jentil Baldrich), ma anche di quanti si sono adoperati sulpiano tecnico ed amministrativo; la mia gratitudine è rivolta, comunque, a tuttii Colleghi invitati per aver reso possibile sia la composizione di un ricco emolto apprezzato palinsesto di esperienze di ricerca sia una esperienza nuovaed originale per i dottorandi e quanti altri hanno partecipato.Il consenso riscosso dalla Giornata mi ha indotto a promuovere la pubblica-zione di questo volume che raccoglie - prevalentemente in formato digitale -tutte le relazioni svolte con le conclusioni che, a valle del dibattito seguito allosvolgimento delle relazioni, sono sintetizzate dai proff. Cardone e Migliari chelo hanno coordinato.Il mio auspicio è che la Giornata costituisca una prima occasione per l'avviodi una collaborazione scientifica in quest’ambito disciplinare decisamente stra-tegico per l’intero settore del Disegno, nella convinzione che essa risulteràcertamente proficua per la comunità scientifica.

Cesare Cundari, Presentazione

INTRODUZIONE

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Riccardo MigliariSapienza Università di Roma

Quando si parla di Geometria descrittiva, non è mai chiaro, in principio, se si sta parlando della scienza codi-ficata da Gaspard Monge alla fine del Settecento o, piuttosto, della scienza già nota a Piero della Francescache, dalla più remota antichità, e per successivi sviluppi, è giunta fino a noi. Per evitare equivoci, si potrebberousare i termini Géométrie Descriptive, quando si allude a Monge e, semplicemente, geometria descrittiva,quando si allude alla scienza della rappresentazione nel suo insieme. La differenza, infatti, non è trascurabile.Perché nel primo caso le teorie sono quelle delle proiezioni ortogonali associate, la prospettiva è una mera ap-plicazione, gli strumenti sono la riga e il compasso; mentre nel secondo caso le teorie comprendono la prospet-tiva come metodo di rappresentazione, le proiezioni ortogonali sono un caso particolare della prospettiva e glistrumenti comprendono il computer e i metodi della rappresentazione digitale. Il seminario odierno vuole tratteggiare questo quadro generale, attraverso alcuni saggi che esplorano momentisalienti della geometria descrittiva, suddivisi, per semplicità, in dieci capitoli principali:le origini, Da Euclide a Vitruvio ovvero della esistenza di una ‘geometria descrittiva’ nell’antichità: l’ottica eil suo ruolo nella invenzione della prospettiva (invenzione o riscoperta); i disegni (schemata) di Vitruvio; ledefinizioni del I e del VII libro;i secoli dell’oblio o, meglio, della conservazione del sapere: le testimonianze della pittura e della trattatisticafino a tutto il Quattrocento;Piero della Francesca e la nascita della prospettiva: lo studio della digradazione delle grandezze apparenti; ilpunto di fuga come dato meramente empirico; i due ‘modi’ che si susseguiranno nei secoli fino a tutto il No-vecento; la presenza delle proiezioni ortogonali, già capaci di operare nello spazio;Desargues e ‘l’invenzione dell’infinito’, ovvero: il punto di fuga come immagine dell’infinito; le conseguenzein ambito pittorico (le glorie); la nascita della geometria proiettiva;la stereotomia come rappresentazione di forme solide e come strumento operativo; la sua storia come preludioalla codifica delle proiezioni ortogonali; il ruolo di Monge a Mézières;Monge e la scuola politecnica: Hachette, i volumi del Journal dell’école polytechnique;Poncelet e la geometria proiettiva: la scoperta delle invarianti proiettive; il birapporto e le sue applicazioni; lagenesi proiettiva delle coniche e delle quadriche;Farish, Shlömilch, Pohlke, e la codifica dell’assonometria: la storia dell’assonometria, il suo ruolo operativo,l’assonometria come metodo di rappresentazione;Fiedler e la generalizzazione dei metodi di rappresentazione: la prospettiva solida come metodo dal quale sidesumono tutti gli altri per successive specializzazioni;la geometria descrittiva nell’era informatica.

When we talk about descriptive geometry, it is never clear, in principle, whether we are talking about the sciencecodified by Gaspard Monge at the end of the Eighteenth century or, rather, about the science that was already well-known to Piero della Francesca and which, from the remotest times, and through subsequent evolutions, has arrivedto us.In order to avoid misunderstandings, we could use the term Géométrie Descriptive when we allude to Monge and,simply, descriptive geometry when we refer to the science of representation as a whole. The difference, in fact, isnot insignificant. Because in the first case the theories are those of the associated orthogonal projections, the per-spective is a mere application, the tools are the rule and compasses; whereas in the second case the theories containthe perspective as a representation method, the orthogonal projections are a special case of the perspective, andthe tools include the computer and the digital representation method.

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Riccardo Migliari, La geometria descrittiva dalla tradizione alla innovazione

Quando si parla di geometria descrittiva, occorre in-nanzitutto rispondere a una domanda: stiamo par-lando del metodo di rappresentazione codificato daGaspard Monge, o, più in generale, della scienza col-tivata dall’umanità, nel corso dei secoli, per rappre-sentare i corpi a tre dimensioni e l’architettura inparticolare? Stiamo parlando della Scuola Politecnicafrancese e delle sue conquiste scientifiche nell’Eu-ropa nel XIX e XX secolo, o, piuttosto, della Scuolache nasce con Alberti e Piero della Francesca egiunge, attraverso Monge, fino ai nostri giorni1? Potremmo dire, più semplicemente: stiamo parlando dellaGéométrie Descriptive o della geometria descrittiva?Questa precisazione è necessaria, perché nel primocaso (Géométrie Descriptive) il panorama delle nostrericerche sarà quello descritto da Gino Loria (1921) eRené Taton (1951) ed è un panorama che, a volerloampliare, si estende fino forse all’opera di Gheorghiu

e Dragomir (1978)2, ma non oltre; mentre nel se-condo caso (geometria descrittiva) il medesimo pa-norama si allarga, da un lato, al remoto passatodell’Ottica di Euclide e delle ‘species dispositionis’vitruviane3, mentre dall’altro invade l’era informaticacon le innumerevoli teorie e applicazioni della rap-presentazione digitale.Perciò, io mi sento in dovere di dichiarare che parleròdella geometria descrittiva, ma ciò senza escludereche si possa e si debba studiare la Géométrie Descrip-tive e che si possa, del tutto legittimamente, inse-gnarla ancora oggi e studiarla ai fini della ricercascientifica4.Ciò premesso, vorrei gettare un rapido sguardo suquelle che, a mio avviso, sono le tappe più significa-tive della Storia della geometria descrittiva5 e, perciascuna di esse, vorrei indicare problemi che, perquanto ne so, appaiono ancora controversi e zone di

This seminar aims to briefly describe this overall picture, through some essays which explore some salient momentsof descriptive geometry, divided into ten main chapters:the origins, from Euclid to Vitruvius or better about the existence of a 'descriptive geometry' in ancient times: opticsand its role in the invention of the perspective (invention or rediscovery); the drawings (schemata) of Vitruvius; thedefinitions of the I and the VII book;the centuries of oblivion or, better, of the preservation of knowledge; evidence of the painting and the treatise writingup until the whole Fifteenth century;Piero della Francesca and the birth of the perspective: studies on the diminishing of the apparent sizes; the vanishingpoint as a purely empirical datum; the two 'manners' which follow one another during the centuries, up until thewhole Twentieth century; the presence of the orthogonal projections, already capable to operate in the space; Desargues and the 'invention of infinity', or better: the vanishing point as an image of infinity; the consequenceswithin the ambit of painting (the 'Glories'); the birth of projective geometry;the stereotomy as a representation of solid shapes and as an operational tool; its history as a prelude to the codi-fication of the orthogonal projections; the role of Monge at Mézières;Monge and the polytechnic school: Hachette, the volumes of the Journal of the École Polytechnique;Poncelet and the projective geometry: the discovery of the projective invariants; the cross-ration and its applications;the projective genesis of the conics and the quadrics; Farish, Shlömilch, Pohlke, and the codification of the axonometry: the history of the axonometry, its operationalrole, the axonometry as a representation method;Fiedler and the generalization of the representation methods: the solid perspective as a method from which to drawall the others through subsequent specialisations;Descriptive geometry in the era of the computer.

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questo sterminato paesaggio che sono ancora quasiinesplorate e altre ancora che sono state esplorate macon lo sguardo del pittore, anziché con quello delnaturalista.Per sciogliere la metafora, farò subito alcuni esempi.Sul significato del termine Vitruviano ‘scenographia’e sulla interpretazione del passo relativo, non vi è an-cora, a tutt’oggi, alcuna certezza e l’idea che si trattidella nostra ‘prospettiva’ è solo un comodo espe-diente didattico, ma non vi è alcuna prova convin-cente: dunque ecco un problema controverso, se noninsoluto6.Vi sono poi argomenti, come le superfici minime, chesono state ampiamente trattati per via analitica, mamai per via sintetica; eppure, la possibilità di model-lare queste superfici con vari espedienti fisici (comele bolle di sapone) e di rilevare tali modelli, dovrebbesuggerire studi di natura geometrico-descrittiva oquantomeno ibrida. Lo stesso Monge, com’è noto, auspicava l’avvento diuna nuova scienza, capace di superare i limiti dellaGéométrie Descriptive grazie all’aiuto del calcolo7. Sembra quasi un presagio, questo, dell’avvento deicomputer! Ecco l’esempio di una zona inesplorata.Torniamo infine alla prospettiva, una disciplina cheha prodotto capolavori sui quali si è concentrata l’at-tenzione degli storici dell’arte e che perciò vanta unabibliografia enorme: ebbene, molti problemi di questascienza, che sono legati alla percezione umana dellospazio, sono ancora fecondi campi di indagine. Penso, ad esempio, ai caratteri, non solo geometrici,dell’illusionismo prospettico. Penso ancora, per rimanere al rapporto con l’arte, allequestioni sollevate dal saggio di Panofsky (1927). Ecco, ancora, un brano del paesaggio della geometriadescrittiva che è stato visitato, e ampiamente, da viag-giatori tanto rapiti dalla sua bellezza da non accor-gersi delle sue virtù nascoste, come avrebbe fatto,invece, un naturalista8.È tempo, allora, di venire alle tappe del pensieroscientifico geometrico descrittivo, alle quali credo sidebba prestare attenzione.

In sintesi queste tappe sono:

il periodo che va da Euclide a Vitruvio;il Medioevo ovvero i secoli nei quali il sapere degliantichi è stato custodito per trasmetterlo a noi comeoggi lo possediamo;il Rinascimento, con la prima teorizzazione dellaprospettiva; il Seicento con quel momento essenziale che è statogiustamente definito ‘l’invenzione dell’infinito’(Field, 1997); il Settecento e la stereotomia di Frézier (1737), comepreludio alla Géométrie Descriptive;le ‘Lecons’ di Gaspard Monge (1795 - 1799) e l’ÉcolePolytechnique; l’Ottocento e la codifica della geometria proiettiva(Poncelet, 1822);e ancora l’Ottocento con la nascita e lo sviluppo teo-rico e applicativo dell’assonometria (Tramontini,1811; Farish, 1820; Pohlke 1876);la fine del secolo con il compendio innovativo di Fie-dler (1871) e gli enciclopedici trattati di Fratel GabrielMarie (1893, 1920, al secolo Edmond Brunhes);infine l’era informatica e le profonde trasformazioniche ha indotto in geometria descrittiva, con la possi-bilità di disegnare nello spazio e di utilizzare conichee quadriche nelle costruzioni e, se necessario, qual-siasi altra figura.Questo percorso, come si vede, non è breve. Perciò io mi limiterò a ciò che ritengo particolarmenteinteressante nel quadro attuale della ricerca delsettore.L’Ottica di Euclide, come presupposto alla teorizza-zione rinascimentale della prospettiva (Brownson,1981), costruisce un modello della visione che è fon-dato, essenzialmente, sulla riduzione delle grandezzeapparenti ed esclude concetti come il quadro e lasezione dei raggi visivi. Ne consegue, da un lato, la nota distinzione tra pro-spettiva naturale e prospettiva artificiale, dall’altrouna prima teorizzazione della prospettiva che guardaquasi esclusivamente agli scorci e considera ciò chenoi oggi chiamiamo ‘punto di fuga’, semplicemente

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come un dato sperimentale dal quale deriva un co-modo artificio grafico (Piero della Francesca, secondametà del secolo XV). Credo che ci sia ancora ampio spazio alla esplora-zione di quel momento della Storia della prospettivanel quale, gradualmente, il metodo si svincola dal re-taggio dell’antichità, per dotarsi di una teoria auto-noma, quella stessa che aprirà poi le porte allageometria proiettiva9. E non si tratta soltanto di questioni meramentegeometriche ma anche, come sempre quando si trattadi prospettiva, di questioni che attengono la potenzadell’illusione prospettica: ad esempio, le modalitàdella veduta vincolata, la possibilità di volgere in-torno lo sguardo che, negata da Piero, diviene poi, nelSeicento, il fulcro della meraviglia illusionistica.Nelle ultime decadi del Quattrocento si assiste, inol-tre, ad un altro mutamento epocale: il passaggio dallaillustrazione in forma letteraria (ékphrasis10) alla illu-strazione in forma grafica. Rispetto alla rappresentazione albertiana della città diRoma (Alberti, 1445), il trattato De Prospectiva Pin-gendi di Piero della Francesca rappresenta una vera epropria rivoluzione: è il nuovo che supera l’antico, lapotenza dell’immagine che si affianca al testo scrittoe lo esplicita. Al tempo stesso, però, non si può non vedere nellaDescriptio urbis Romae un archivio digitale ante-lit-teram (Vagnetti, 1968). È il momento della nascitadell’illustrazione scientifica, un evento che nell’am-bito dei nostri studi non è ancora stato indagato. Quanto al Seicento, appunto, è qui che avviene quelcoraggioso superamento dei limiti dello spazio eucli-deo, che porterà poi alla geometria moderna. Si deve a Kepler (1604) e Desargues (1639) la primaformulazione dei punti e delle rette ‘all’infinito’ chetanta importanza hanno avuto nella Storia della pro-spettiva e nel quadraturismo barocco. Questo ‘sviluppo dell’idea dei punti all’infinito’ (Cas-sina, 1921) è un argomento che merita di essere ap-profondito, anche per i rapporti che ha con larappresentazione dell’architettura, basti pensare al

passaggio dalle prospettive accademiche dell’Otto-cento, alla prospettiva parallela che caratterizzerà ilmovimento moderno11.Le cronache del tempo ci raccontano che GaspardMonge era stato assunto dalla Scuola militare di Mé-zières per occuparsi del taglio delle pietre (Dupin,1818; Taton, 1951). Abbiamo dunque notizie certe sulla connessione tragli sviluppi teorici della stereotomia, dovuti soprat-tutto a Frézier (Salvatore, 2008), e la codificamongiana del metodo delle proiezioni. Peraltro, laStoria del metodo delle proiezioni ortogonali asso-ciate è un’altra delle zone del panorama geometricodescrittivo che sono solo parzialmente esplorate. Infatti, i lavori dedicati all’argomento, come quelli diLoria e Taton, sono incentrati sulla figura di Mongee fanno solo un cenno allo sviluppo che questo mododi rappresentare gli oggetti a tre dimensioni presen-tava prima della Rivoluzione. Alcuni lavori della Scuola romana sono dedicati acolmare queste lacune (Conti et al., 2000; Inglese,2000; Bianchini, 2008), ma molto vi è ancora dastudiare, in particolare per quanto riguarda Pierodella Francesca (Maltese, 1993) e, in generale, itrattati di architettura, civile e militare (Zerlenga,Cirafici, 2012).Se le ‘Lecons’ di Gaspard Monge, tenute alla ScuolaNormale tra il 1794 e il 1795, stenografate dai suiallievi e poi pubblicate nel 1799, rappresentano laposa della prima pietra, gli studi maturati in seno allasua scuola, formano il vero edificio della GéométrieDescriptive. Infatti, nel trattato di Monge si trovano i fondamentidel metodo di rappresentazione e poche applicazioniesemplificative, mentre è soltanto nei numerosivolumi del Journal de l’École Polytechnique(1795-1939)12, che si può cogliere appieno lafecondità del pensiero mongiano e cioè l’idea,del tutto originale per l’epoca, di usare la rappresen-tazione sintetica dello spazio per fare ricerca, e, inparticolare, per ‘dedurre dalla descrizione esattadei corpi tutto ciò che necessariamente segue dalla

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loro forma e dalla loro posizione reciproca’. Una ricognizione completa degli studi che il Journalha dedicato all’approccio sintetico raccomandato daMonge, porterebbe, credo a scoperte interessanti,come dimostra il saggio sul problema di Apollonio ela teoria dei radicali di Louis Gaultier , maturatonell’ambito della Scuola romana (Fallavollita, 2008).Quando Piero della Francesca compone la prima teo-rizzazione, illustrata, della prospettiva, utilizza tremetodi di rappresentazione.Al primo di questi metodi, che è la rappresentazionein pianta e alzato nota agli architetti di ogni tempo,egli allude semplicemente con le espressioni ‘dise-gnare in propria forma’, e ‘figura della larghezza’ e‘figura dell’altezza’, per indicare, appunto, ciò chenoi oggi chiamiamo prima e seconda proiezione.Quando la dimensione del foglio lo consente, questedue figure sono associate per mezzo delle lineedi richiamo13.Il disegno ‘in propria forma’ serve, soprattutto, percostruire la prospettiva di corpi di forma complessa,attraverso operazioni che sono quelle a noi note comeproiezione e sezione, portate a compimento usandopianta e prospetto come un modello tridimensionalea tutti gli effetti. Si noti, dunque, che il metodo delle proiezioni orto-gonali è usato da Piero non solo per rappresentare ma,e ciò è notevole, anche e soprattutto per operare. Ma ciò che più interessa, nel trattato di Piero, non èforse questo secondo modo, quanto invece il primo.Nel primo modo, infatti, Piero costruisce le figuresolide direttamente nello spazio prospettico, avvalen-dosi della relazione che intercede tra la figurapiana in vera forma e la medesima in prospettiva,nella quale relazione noi facilmente riconosciamouna omologia.Questo modo di fare la prospettiva, senza compiere ma-terialmente l’operazione di proiezione e sezione puntoa punto, avrà nei secoli una fortuna distinta dal secondomodo e sarà tanto amata dai matematici quanto ilsecondo modo è stato amato, invece, dagli artisti. Ha qui origine una dicotomia del sapere prospettico

che perdura ancora ai nostri giorni e che vede, da unlato, la pura teoria del metodo della proiezione cen-trale e, dall’altro, i procedimenti pratici degli artisti edegli architetti. Il primo modo, sviluppandosi nell’opera di Guidou-baldo del Monte (1600), Brook Taylor (1715), e moltialtri (vedi Luigi Vagnetti, 1979), fiorisce infine, conPoncelet (1822) in una geometria nuova, capace diricomprendere tutte le altre , che è la geometriaproiettiva. Anche qui gli architetti eredi dellatradizione accademica italiana si trovano di fronte auna teoria che, sebbene sia stata esplorata nelle sueespressioni bidimensionali dalla scuola palermitanae napoletana, promette ancora molto negli sviluppitridimensionali (Aschieri 1883 – 1895, Enriquez1926) oggi facilmente accessibili in forma visiva,grazie alla rappresentazione digitale (Fallavollita,Salvatore, 2012). Come vedremo tra poco, con la geometria proiettivala geometria descrittiva acquisisce un potente mezzodi indagine e giunge, alla fine del Secolo XIX, allapiena maturità. Ma, precedentemente, il primo degli scopi della di-sciplina, così come enunciati da Gaspard Monge, ecioè quello che consiste nella mera rappresentazionegrafica e visiva dei corpi a tre dimensioni, diviene og-getto di altri metodi, che ricercano una sintesi piùefficace ed il superamento di quell’immagine sdop-piata in pianta e alzato che qualche perplessità susci-tava nello stesso padre costituente14: questi metodisono quelli dell’assonometria, prima descritta daGiuseppe Tramontini (1811), poi da William Farish(1820) e altri. L’assonometria, come la prospettiva, presenta duefacce: quella del metodo vero e proprio, autonomo ecapace di costruire le forme a tre dimensioni senzafare ricorso ad altre rappresentazioni, e quella delprocedimento pratico che, sostenuto ad poche consi-derazioni teoriche iniziali (Sclömilch, 1856, Cfr.Loria, pag. 415; Pohlke, 1860 - 1876), si sviluppa inuna congerie di regolette pratiche ad uso di architettie ingegneri progettisti.

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Tuttavia, come metodo di rappresentazione, l’assono-metria, o per meglio dire la prospettiva parallela, èforse tra tutti quello meno stabilmente codificato, tan-t’è che vi è ancora spazio alla ricerca, soprattutto perciò che riguarda i problemi di perpendicolarità.Una delle più importanti applicazioni della geometriaproiettiva alla descrittiva, è quella che permette di co-dificare la prospettiva solida (detta anche, ma in am-bito artistico, prospettiva-rilievo). Wilhelm Fiedler (1871 – 1874) descrive gli elementidi una macchina geometrica capace di trasformare lospazio cartesiano e isotropo, delle forme quali essesono, nello spazio prospettico e anisotropo delleforme quali esse appaiono ad un osservatore che siaimmerso nel medesimo spazio. E trova infine che da questa prospettiva in tre dimen-sioni, per successive specializzazioni, si ricavano tuttii metodi di rappresentazione15. Si tratta, a ben vedere, di una trasformazione che hanotevoli affinità con i metodi di visualizzazione im-piegati nella rappresentazione digitale.In ogni caso, la Parte C del suo trattato, ‘L' omologiadei sistemi solidi considerata come la teoria dei me-todi dell' arte di modellare’ attende ancora una rilet-tura che, avvalendosi della odierna possibilità didisegnare nello spazio, le renda il merito dovuto. Merito che riguarda, innanzitutto, l’enunciazione diuna legge generale che comprende in sé tutte le altre.Ma c’è anche un altro trattato, che, pubblicato apiù riprese tra la fine del Secolo e l’inizio del succes-sivo, vorrei ricordare: è quello di Fratel Gabriel Marie(F.G.M., 1893 -1920), appartenente all’Ordinedei Frères des Ecoles Chrétiennes, al secolo EdmondBrunhes. Oltre a suggerire molte e notevoli innovazioni,F.G.M. compila un repertorio di oltre settecentoproblemi, spesso commentati anche da un punto divista storico. Una piccola parte di questi problemi sono stati riela-borati, dimostrando le potenzialità di un approcciosintetico innovativo che si avvale della rappresenta-zione digitale (Casale, 2013).

Alle applicazioni della geometria proiettiva alla de-scrittiva, va anche ascritto lo sviluppo della fotogram-metria teorica e applicata, da Finsterwalder (1899,vedi Loria a pag. 494), fino ai moderni metodi diImage Based Modeling che sono fondati, appunto,sulla sua teoria dei nuclei (kernpunkte), oggi notacome geometria epipolare16.Nei due modi di Piero della Francesca si identificano,altresì, le due facce della realtà che, un po’ semplici-sticamente, sono state definite: come appare e comeè (‘as it looks and as it is’, Arnheim, 1977)17.La realtà come appare trova nella prospettiva delprimo modo il suo laboratorio di sperimentazione eil cantiere delle sue costruzioni, che operano, diret-tamente, nello spazio contratto della percezione vi-siva; la realtà come è trova invece espressione nelsecondo modo, nel quale tutto discende dalla formapropria della larghezza e della altezza e il cantieredelle costruzioni geometriche abita lo spazio isome-trico e cartesiano della realtà fisica (intesa, pur sem-pre, in un breve intorno dell’operatore). Le ambiguità insite nella netta classificazione delcome è e del come appare, sono state studiate dallascuola transazionalista (Kilpatrick, 1967) che,negli anni Cinquanta, ha stabilito il dominio delcervello sul riconoscimento della forma trasmessa daisegnali visivi. I risultati di questa attività di ricerca sono stati poi ri-presi da Gregory (1966). La potenza dell’illusione prospettica dipende, dun-que, non solo dalla collimazione tra la prospettiva li-neare e gli spigoli dell’oggetto rappresentato, peraltroingannevole, ma anche, e soprattutto, dalla riconosci-bilità del modello archiviato nella nostra mente18. È evidente, perciò, che la conoscenza di questi mec-canismi percettivi è essenziale nello studio della pro-spettiva in generale e in particolare nello studio delleprospettive architettoniche, nelle quali, deroghealle leggi geometriche, correzioni e artifici vari,non indeboliscono e anzi spesso sapientemente raf-forzano il potere illusorio dell’immagine, perchécompensati dalla presenza dell’architettura, con

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le sue ripetizioni, le sue simmetrie, le sue familiaristrutture linguistiche.L’era informatica ha indotto profonde trasformazioniin geometria descrittiva, che non possono essere esau-rientemente descritte in una breve comunicazionecome questa. Di questo argomento, tuttavia, ho scritto in diversealtre occasioni. Mi limiterò qui a ricordare i risultati conseguiti dallascuola romana nello sforzo di dare, se possibile,una nuova giovinezza alla scienza della quale cioccupiamo.In primo luogo, il riconoscimento dei metodi di rap-presentazione digitale, accanto ai metodi di rappre-sentazione grafica e, in particolare del metodo dirappresentazione matematica e del metodo di rappre-sentazione numerica. Altri preferiscono usare i termini NURBS Based Mo-deling e Mesh Based Modeling, che a me paiono ri-duttivi, perché troppo legati al dato meramentetecnico e avulsi dalla Storia. Ma poco importa, la sostanza non cambia. Il fatto è che la rappresentazione, oggi, si avvaleanche di due nuovi metodi e tali sono, e non sempliciprocedimenti, perché hanno teorie loro proprie ecampi specifici di applicazione e affinità notevoli coni metodi tradizionali, quanto all’uso che se se nefa (progetto e valenza metrica, visualizzazione evalenza percettiva).In secondo luogo, la scuola romana ha riconosciuto esperimentato le nuove possibilità offerte dal disegnotridimensionale e dalla accuratezza offerta da tale tec-nica (cento volte maggiore che in passato!). Ciò significa poter usare, nelle costruzioni, le coniche(ellisse , parabola e iperbole) e non solo la retta e ilcerchio, come in un passato che prescriveva l’usoesclusivo di riga e compasso.Ciò significa, altresì, la possibilità di utilizzare nellesuddette costruzioni le superfici quadriche, dise-gnando nello spazio piani e sfere, ellissoidi, parabo-loidi e iperboloidi. La soluzione del problema di Apollonio esteso allo

spazio, secondo le intuizioni di Adriaan Van Roomen(1596), è una prova efficace di quanto si è detto.Abbiamo così gettato uno sguardo sul quel paesaggioche dicevo, all’inizio, ancora parzialmente inesplo-rato. La parte più interessante della geometria descrit-tiva si trova proprio in quelle zone nelle quali ancoratroppo pochi o nessuno affatto si sono addentrati. Èla geometria descrittiva che verrà dopo di noi, o,quanto meno, dopo di me. Vorrei ricordare però che i sentieri che percorronoquelle zone si dipartono tutti dalle zone già ben co-nosciute, si dipartono, cioè dalla Storia. Il rapporto con la Storia è sempre fecondo e, secondome, non dovrebbe mai essere trascurato. Così come non dovrebbero mai essere trascurati glistrumenti di indagine che la tecnologia va svilup-pando, sempre più agili e sempre più potenti.Il futuro della disciplina, forse, è tutto qui, nella sin-tesi tra passato e presente, tra un codice antico e lasua riproduzione digitale, tra un affresco e la suaesplorazione multispettrale, tra la teoria delle super-fici e il dialogo tra modelli fisici e virtuali che ladescrivono alla vista e al tatto.

1 Esiste, e perdura, una concezione scolastica che vede la prospet-tiva, come la teoria delle ombre e del chiaroscuro, e altri argo-menti ancora, quali mere applicazioni della geometria descrittivadi Monge. Pensare ciò, equivale, esattamente, a credere che laprospettiva e il chiaroscuro siano applicazioni software, pro-grammi per computer. Infatti il metodo delle proiezioni ortogonalicodificato da Gaspard Monge è uno strumento utile a rappresen-tare le forme solide e a operare su di esse, come lo è la modella-zione digitale. Pensare ciò, inoltre, significa ridurre la geometria descrittiva diMonge a un insieme di regole elementari raccolte nel metododelle proiezioni ortogonali associate. La realtà storica è ben diversa: in primo luogo perché la prospet-tiva, affondando le sue radici nell’astronomia degli antichi enell’Ottica di Euclide, e protendendo i suoi rami dal ‘secondostile’ al Rinascimento, fino all’Illuminismo, ha formato il nervocentrale della scienza della rappresentazione; in secondo luogoperché il capitolo più importante e ricco della geometria descrit-tiva di Monge e della sua scuola, non è il metodo di rappresenta-zione, ma lo studio delle superfici e delle loro proprietà.2 Geometry of architectural forms, che è una delle più moderne einnovative trattazioni sintetiche delle superfici che io conosca:

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propone un uso originale della assonometria obliqua, sfruttandouna estensione del teorema di Pohlke e nello spazio in tal modocontrollato, costruisce superfici continue e forme reticolari chepreludono agli studi di Helmutt Pottmann (2007).3 ‘Species dispositionis , quae graece dicuntur idéai, haec sunt:ichnographia, orthographia, scenographia’. Sulla prospettivanell’opera di Vitruvio, vedi Tybout (1989).4 Se consideriamo la Géométrie descriptive costituita di due parti,conformemente ai deux objets principals dichiarati da GaspardMonge nel suo Programme, possiamo identificare ambiti di ricercanell’uno come nell’altro. Al primo appartengono, ad esempio, lericerche di Michele Inzerillo sulla prospettiva, così come quelledi Vito Cardone e Laura De Carlo sull’assonometria; al secondocapitolo appartengono gli studi di molti giovani della scuola ro-mana, sui poliedri (Baglioni, 2009, 2012), sulle quadriche e sullaricerca dei relativi assi (Fallavollita, Salvatore , 2008 – 2012).5 Vedi, sull’argomento, l’imponente studio di Anna Sgrosso, Ago-stino De Rosa e Andrea Giordano (2000-2002).6 Vedi Tybout (1987).7 ‘Il serait à désirer che ceux deux science fussent cultivées en-semble: la Géométrie descriptive porterait, dans les opérationsanalytiques les plus compliquées, l’évidence qui est son caractère,et à son tour, l’Analyse porterait dans la Géometrie la généralitéqui lui est propre’ Monge (1799), I, 10. Queste parole non descri-vono forse il metodo della rappresentazione matematica del qualeoggi disponiamo sui nostri computer?8 Qualche eccezione non manca, come ad esempio il lavoro diKemp (1990), quello di Field (1997). Tuttavia una lettura di questitesti segnala una discrepanza tra l’approfondimento storico arti-stico e quello scientifico. Un difetto analogo, ma inverso, presentail voluminoso studio di Kirsti Andersen (2008). Probabilmente ilsuperamento di queste discontinuità lo avremo solo quando riu-sciremo, finalmente, a vincere le incomprensioni reciproche e astringere una reale e solida collaborazione interdisciplinare. Ciòavviene, con successo, nei rari casi in cui l’Autore comprende insé, per formazione, le competenze filologiche e quelle matemati-che (Boffito, 1993).9 Sulle questioni evolutive legate alla geometria, torna sempre digrande utilità la lettura di quelle premesse o capitoli introduttiviche i matematici hanno dedicato alla storia della disciplina. Inparticolare sono illuminanti i commenti di Francesco Severi(1936), Guido Castelnuovo (1969), Harold Coxeter (1989, 2003). 10 L’ékphrasis è una figura retorica che consiste in una descrizionetanto accurata da sostituire l’immagine. Naturalmente i marginidi libertà interpretativa restano ampi, come nel celebre caso delladescrizione della villa Laurentina di Plinio il Giovane (Epistula-rum libri, II, 17, A Gallo). Con la Descriptio Urbis Romae, tutta-via, Alberti escogita un metodo che annulla ogni ambiguità e che,essendo formato da coordinate polari, è ripetibile senza errore(salvo quello eventualmente commesso dai copisti). L’ékphrasis

rappresenta, dunque, una sfida per chi si occupa del disegno, dellesue applicazioni e dei suoi fondamenti teorici. La ricostruzionefilologica di queste antiche e moderne descrizioni è uno stimo-lante argomento di studio.11 Oltre al già citato saggio di Cassina, uno studio dal taglio piùfilosofico, ma non meno interessante è quello di Paolo Zellini(1980). Sul fronte storico artistico, invece, è notevole il lavorodella Field (1997).12 Il Journal contiene molti e notevoli Mémoire, dedicati agli svi-luppi teorici e alle applicazioni della Géométrie Descriptive. Fu pubblicato con cadenza prima annuale e poi semestrale, mairregolarmente, tra il 1794 e il 1939, prima come espressione dellaÉcole centrale des travaux publics, poi dell’École polytechnique(come Bulletin du travail fait à cette École) e, ancora, come Jour-nal de l'École royale polytechnique e infine come Journal del'École impériale polytechnique. Le annate del Journal si possono consultare sul sito della Biblio-thèque Nationale de France (http://gallica.bnf.fr/).13 Sull’uso del metodo delle proiezioni si veda Corrado Maltese(conferenza del 1989, pubblicata nel 1992).14 Monge stesso descrive lo sforzo cui è chiamato chiunque debbagiudicare della forma tridimensionale di un oggetto, osservandouna tavola nella quale i due piani di proiezione appaiono sovrap-posti. Oltre tutto non bisogna dimenticare che, nella sua formu-lazione generale, il metodo contempla i quattro quadranti dellospazio riferito ai piani di proiezione, sicché la seconda proiezionedi un punto può trovarsi sotto la linea di terra insieme alle primedi altri punti e viceversa. Purtroppo, pur avendolo citato in altre occasioni, non riesco a ri-trovare la fonte.15 L’innovativa impostazione data da Fiedler alla disciplina, ap-pare in tutta la sua attualità anche semplicemente scorrendo l’in-dice dell’opera, la cui prima parte è dedicata alla ‘Dottrina deimetodi di rappresentazione svolta nello studio delle forme geo-metriche elementari e delle loro semplici combinazioni’, vale adire la descrizione del primo ‘object’ mongiano. Segue, nell’am-bito di questa prima parte, ‘A. La proiezione centrale come metodo di rappresentazione e se-condo le sue leggi generali’. Cui segue ancora il capitolo ‘C.L’omologia dei sistemi solidi considerata come la teoria dei me-todi dell’arte di modellare’.16 Sull’argomento si legga De Luca (2011). Questo libro, notis-simo per la sua utilità didattica, è un buon esempio di come letecnologie hardware- software, in continua evoluzione, possanoe debbano essere ricondotte dall’ambito squisitamente tecnico-commerciale nel quale fioriscono, ad una discussione e critica dinatura teorica, inserita nella storia della disciplina e documentatadalle fonti teoriche relative e da esperienze applicative.17 È vero, il mondo ha due facce: quella cartesiana e quella pro-spettica, quella metrica e retta e quella contratta e convergente.

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Bibliografia

Ho citato i libri e i saggi ai quali ho fatto riferimento, volutamente trascurando quanto è stato scritto dai miei colleghi,relatori in questa giornata di studi, e da me. C’è una sola eccezione a questa regola, che vuole essere un omaggio alla tenacia e alla passione per la scienza diAnna Sgrosso.Non ho trascurato, invece, i contributi di alcuni colleghi più giovani e anche giovanissimi, perché essi sono testimonidella vitalità della geometria descrittiva. A tutti i dottorandi e dottori di ricerca presenti è invece attribuito il compito di mantenere in vita questa scienza nobilee antica, che oggi è affidata unicamente agli architetti e agli ingegneri, avendola i matematici abbandonata da tempo.

[1] Munus Non Ingratum: Proceedings of the International Symposium on Vitruvius'De Architectura andthe Hellenistic and Republican Architecture : Leiden 20-23 January 1987. 1989: Stichting BulletinAntike Beschaving.

[2] Munus Non Ingratum: Proceedings of the International Symposium on Vitruvius'De Architectura andthe Hellenistic and Republican Architecture : Leiden 20-23 January 1987. 1989: Stichting BulletinAntike Beschaving.

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2013, Roma: Edizioni Kappa.

Eppure, quante ambiguità nasconde questa classificazione: infatti,a ben vedere, il mondo come è, è solo una costruzione mentale,un modello razionale.18 Il nostro cervello opera esattamente come un disegnatore im-pegnato a restituire forma e misure dell’edificio rappresentato inuna fotografia (e in una soltanto): in questo caso, infatti, si è co-stretti a introdurre nel processo di restituzione vincoli desunti dal-

l’esperienza, come la verticalità dei pilastri e l’orizzontalità deimarcapiani; condizioni, queste, che sono assunte come ipotesi, enon sono affatto certe.

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[13] CASALE, A.E.A., Geometria descrittiva e rappresentazione digitale - Memoria e Innovazione. Vol. II.2013, Roma: Edizioni Kappa.

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New York: Oxford University Press. xii, 250 p.[38] FIELD, J.V., The invention of infinity : mathematics and art in the Renaissance. 1997, Oxford ;

New York: Oxford University Press. xii, 250 p.[39] FRANCESCA, P.D., De prospectiva pingendi. 1984, Firenze: Le Lettere. lxx, 219 p., xlix leaves of plates

(some folded).[40] FRÉZIER, A.F., La Theorie et La Pratique de la Coupe Des Pierres Et Des Bois, pour la Construction

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