28/10/2002 prof. giorgio moretti1

Appunti di Geometria Descrittiva

Le Doppie Proiezioni

Ortogonali

- Metodo di Monge -

28/10/2002 prof. giorgio moretti2

Notizie storiche

Egizi

Greci (vista ortogonale frontale)

Medio evo (gotico)

Rinascimento (Piero della Francesca, Palladio, Vignola)

1700 (A. Durer)

28/10/2002 prof. giorgio moretti3

Notizie storiche

Gaspard Monge (1746

– 1816)

Età dell‟Illuminismo

Necessità di

rappresentazione

oggettiva finalizzata

alla costruzione

28/10/2002 prof. giorgio moretti4

I Diedri

I Diedri sono le parti di spazio risultanti dall‟intersezione

dei quadri p1e p2

Si esegue il

ribaltamento del p1

sul p2 che si farà coincidere con il foglio

I° DIEDRO

IV° DIEDROIII° DIEDRO

II° DIEDRO

p1

28/10/2002 prof. giorgio moretti5

Elementi di riferimento

I piani coordinati (ortogonali)

p1 (primo piano di proiezione)

e p2 (secondo piano di

proiezione)

I centri di proiezione C‟ e C”

rispettivamente in direzione

ortogonale a p1 e p2

prof. giorgio moretti6

La rappresentazione del punto “P”

Il punto è generalmente posto nel primo diedro, ma non è raro doverlo rappresentare anche negli altri

Il punto “P” si rappresenta con le sue proiezioni P1” e “P2”

Bisogna tener conto sempre della rotazione del p1 sul p2 con asse LT.

p2

p1

A

B

C

D

A”

B” C‟

D”

B‟

A‟ C”D‟

I°

II°

III° IV°

A’

B’C’ D’

A’’B’’

C’’

D’’

C’

A’

D’

B’

I° II° III° IV°

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La rappresentazione della retta “r”

La retta “r” si rappresenta attraverso due punti caratteristici determinati dalla intersezione o incidenza della retta con i piani di proiezione

Tali punti si chiamano TRACCE e si identificano con t‟r quando la retta incide l p1 e t”r quando incide il p2

Traccia = incontro fra una retta e un piano (punto

di intersezione o fra due piani (retta di intersezione)

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Classificazione delle rette

Le rette possono essere a seconda della posizione che assumono rispetto ai piani di riferimento:

Generiche

Parallela alla LT

Proiettanti

Ortogonali al p1

Ortogonali al p2

Principali

Orizzontali (appartengono ad un piano // al p1)

Frontali (appartengono su di un piano // al p2)

Di profilo (appartengono a piani ortogonali sia a p1 che a p2)

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Casi di posizione della retta

Retta “s” generica

l.t.

p‟

p”

s

s"

s'

t"s

t's

t"r

t"s

s"

s'

r"

l.t.

t"s

t's

s"

s'

s

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Casi di posizione della retta

Retta parallela alla L.T. p”

"

p‟t‟r ∞

t”r ∞

LT

r"r”

r‟

t”r ∞

r‟ t‟r ∞

LT

r

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Rette ortogonali ai piani

Retta “ r” proiettante p”

"P

s

s"

t"s ∞

t‟s ≡ s‟

T‟s ≡ s‟

T”s ∞

s”

p‟t‟r ∞

T”r r”

T”r ≡ r”

T'r ∞

LT

LT

r

r‟

r‟

28/10/2002 prof. giorgio moretti12

Rette principali

Retta parallela al p1(Orizzontale)

t‟b ∞

t”b

l.t.

fig. E

t” b

r” t“r

r

r‟

r”

t“r

r‟

t‟r ∞

t‟r ∞

b

28/10/2002 prof. giorgio moretti13

Rette principali

Retta parallela al

p2(Frontale)

t“b ∞

t‟b

l.t.

fig. E

t‟ b

r”

t“r ∞

r‟

r

r‟

r”

t“r ∞

r‟

t‟r

t‟r

b

Retta di profilo

28/10/2002 prof. giorgio moretti14

Rette principali

fig. F

t“a

l.t.

t“a

t‟a ≡ r‟

t“r

t‟r

r”

r‟

r”

r

t“r

t‟r

t‟a

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La rappresentazione del Piano “a”

Il piano si rappresenta attraverso le sue intersezioni con i piani di proiezione o quadri

Tali intersezioni sono delle rette che si chiamano “tracce”

La traccia di a sul primo quadro di proiezionep1 si identifica con t1a

La traccia di a sul secondo quadro di proiezione p2 si identifica con t2a

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Classificazione dei Piani

Le sette posizioni del piano

1. Parallelo alla LT

2. Parallelo al p1

3. Parallelo al p2

– Proiettante

4. Ortogonale al p1

5. Ortogonale al p2

6. Ortogonale ad entrambi

7. GenericoNel metodo di monge i termini “priettanti” e “perpendicolare”

coicidono, dato che i centri di proiezione sono in

direzione ortogonale ai piani di riferimento

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Piano generico (comunque disposto)

l.t.

t“a

t'

fig. E

a

t“a

t‟a

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Piani Paralleli

a Parallelo al

p1(Orizzontale)

fig. F

at"

l.t.

t“a

t‟a ∞

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Piani Paralleli

a Parallelo al p2 (frontale)

t“a ∞

t‟a

l.t.

fig. E

t‟ b

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Piani Ortogonali (proiettanti)

fig. Hfig. G

t“a

l.t.

t“a

t‟a

t‟a

Di profilo Proiettante

al p2

l.t.

fig. F

t“ b

l.t.

t‟ b

Proiettante

al p1

28/10/2002 prof. giorgio moretti

21

Piani Ortogonali (proiettanti)

Di profilo

t“a

t‟a

t“a

t‟a

t“a

t‟a

Proiettante al p2Proiettante al p1

aa

a

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Piano Parallelo alla L.T.

fig. G

t‟“b

l.t.

t" b

t" b

t“b

t‟“b

t" b

b

p2

p1

p3

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Relazione tra gli elementi

Gli elementi si relazionano tra loro definendo

dei rapporti di posizione che sono: L‟appartenenza

Il parallelismo //

L‟ortogonalità ┴

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Le condizioni di Appartenenza ()

Punto appartiene alla retta quando le sue proiezioni appartengono alle corrispondenti proiezioni della retta

P r N P‟ r‟; P” ∩ r”

La retta appartiene al piano quando le sue tracce appartengono alle corrispondenti tracce del piano

r a N t‟r t‟a ; t”r t”a

Il punto appartiene al piano quando appartiene ad una retta che appartiene al piano

P a se P r che a

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Rette di intersezione

Due piani a e b determinano sempre

una retta di intersezione propria od

impropria

ESERCITAZIONE Trovare le rette di intersezione miscelando

due a due i piani facendo riferimento alle

loro “posizioni tipo” espresse nelle

diapositive n° 17;18;19;20;21;22;23.

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Esempio

Retta determinata da due piani generici

Retta determinata da un piano generico ed un piano // al p2 (retta frontale)

t”a

t‟a

t‟b ≡ r‟t‟r

r”

t”r

t”a

t‟a

t‟b

t‟r

r”

r‟

t”b

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Esercitazione

Trovare tutti gli elementi rappresentativi delle rette ed indicare i diedri apparteneza

r”

t‟r

r‟

t”rr”

r‟

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l.t.

P

t"a

t' at'r

t"r

t"s

t's

s"

s'

r"

r'P‟

l.t.

P”

P

P"

'

t"r

t'r

r

t' a

t" a

s s"

s' r'

t"s

r"

t's

P

Appartenenza

Piano determinato da due rette

28/10/2002 prof. giorgio moretti29

Appartenenza

Piano determinato da tre punti A;B;C.

l.t.

p‟‟

A

r

s

r"

r'

t"r

t'r

t's

t"s

B

C

c"

B'

c'

B"

t" a

t' a

A‟

A"t"r

l.t.

A"

t“a

t' at'r

t"r

t"s

t's

s"

s'

r"

r'

A'

B"

B' C'

C"

p‟

28/10/2002 prof. giorgio moretti30

Appartenenza

Punto di intersezione di una retta con il piano

l.t.

p”t"a

t'a

t"b

t'r

r"

s

s"r

t"s

t's

A

A"

A'

p‟

l.t.

t"a

t'a

t" b

t'b

r"

=r'=s'

t'r

A"

A'

s"

t”s

t„s

28/10/2002 prof. giorgio moretti31

Le condizioni di Parallelismo ( // )

Due rette sono parallele se sono parallele le loro rispettive proiezioni

r // s se r‟ // s‟ e r” // s”

Due piani sono paralleli se sono parallele le loro rispettive tracce

a // b se t‟a // T‟b e t”a // t”b

Una retta è parallela ad un piano se : È parallela ad una retta del piano

r // a se r // s a

Se appartiene ad un piano parallelo a quello dato

r // a se r b // a

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Parallelismo ( // )

r//s perché r‟//s‟ e r”//s”

a//b se t‟ a // t‟b e t”a // t”b

s // b se b r //s

r”

r‟

t"r

t"s

t's

s"

s'

t‟r

lt

t" b

t" a

t' a

t‟ b

lt

r”

r‟

t"r

t"s

t's

s"

s'

t‟r

lt

t" b

t‟ b

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Le condizioni di Ortogonalità (┴)

Una retta “r” è ortogonale al piano a se le sue proiezioni r‟ e r” sono rispettivamente ortogonali alle tracce del piano

Due piani sono ortogonali tra loro se uno dei due contiene una retta ortogonale all‟altro

Due rette sono ortogonali tra loro se:1. Appartengono allo stesso piano (complanari)

2. Per una di esse passa un piano ortogonale all‟altra

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Le condizioni di Ortogonalità (┴)

L‟ortogonalità tra retta e piano è espressa con l‟ortogonalità degli elementi di rappresentazione omonimi

M

90°

90°

b┴ p1

┴ aa

p1

t1a

t1bt1r

r

r‟

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Punto di intersezione di una retta con un piano

r‟‟

t‟‟a

t‟a

t‟b ≡r‟

t‟‟b

M‟

M‟‟

Piano a generico

Piano b proiettante al p‟ e orto ad a

T‟b, r‟, M‟, t‟r, insistono tutte sull‟elemento rappresentativo del piano bdel p‟

t‟‟r

t‟r

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Esercizi sulla perpendicolarità

1Per un punto assegnato condurre

la retta perpendicolare ad un piano

assegnato

l.t.

P"

P'

t1

t2

.

.

a

a

2Per un punto assegnato condurre un piano perpendicolare ad una retta assegnata

Per un punto assegnato condurre

un piano perpendicolare ad una retta

assegnata

l.t.

P'

t"r t'r

r'

P"

.

.

r"

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Soluzione esercizio 2

Si debbono soddisfare due condizioni:

– L‟appartenenza del punto al piano (piano per un punto dato)

– L‟ortogonalità degli elementi di rappresentazione omonimi della retta e del piano

Usiamo una retta principale orizzontale “s” che permette il controllo della t‟s che orienteremo perpendicolarmente alla r‟. E la facciamo passare per “P”.

Disegniamo poi il piano “a” passante per “s”.

Si noti che t‟a sarà parallela a s‟ doto che dovrò passare per t‟s posto all‟∞

2Per un punto assegnato condurre un piano perpendicolare ad una retta assegnata

Per un punto assegnato condurre

un piano perpendicolare ad una retta

assegnata

l.t.

P'

t"r t'r

r'

P"

.

.

r"

s”

s‟

t”s

t”a

t‟a

28/10/2002 prof. giorgio moretti38

Esercizi sulla perpendicolarità

3

l.t.

r"

r'

t2

t'r

t"r

Data una retta r ed un piano ,

condurre per 'r

il piano perpendicolare ad

a

a

a

t1

4Dati un punto P ed una retta 'r' (non passante

per P) condurre per P la retta 's'

perpendicolare ed incidente lla 'r'

l.t.

P'

r"

r'

t'r

t"rP"

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Soluzione esercizio 3

3

l.t.

r"

r'

t2 a

t'r ≡ P‟ ≡t‟s

Dati una retta r ed un piano a

condurre per r il piano b

perpendicolare ad a

t1 a

t"r

Il piano cercato deve contenere una retta ortogonale ad a e essere determinato da due rette: quella data e quella ortogonale al piano dato)

Per il punto “P” di “r” si conduce una retta “s” perpendicolare ad ”a”

Il piano “b” è definito da “r” ed “s”

– Note: “P” è preso coincidente alla

t‟r

P”

t“s

t2 b

t1 b

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Soluzione esercizio 4

l.t.

P'

r"

r„ ≡ n‟ ≡ t‟b

t'rt"r

P"

4 Dati un punto P ed una retta 'r„ (non passante per P)

condurre per P la retta 's„ perpendicolare ed incidente alla 'r'

La retta “s” richiesta giace nel piano “a” passante per “P” e perpendicolare ad “r”

Costruire il piano “a” passante per “P” e perpendicolare ad “r”

Si tagli in “H” il piano “a” con “r”

Congiungere “H” con “P”

La retta “s” (HP) è la retta richiesta-

Note: Il piano “b” è un piano ausiliario per intersecare r ed “a”, ed “n” è l‟intersezione di “b” con “a”

f”

f‟

t”f

H"

H‟

n”

t‟a

t”a

t”b

s”

s‟

a P ┴ r

H ∩ r e a

t„s

t”n

t„n