IntroduzionePresentazione

Geometria descrittiva dinamica

Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

Questo learning object presenta ed esplicita gli elementi fondamentali necessari per sviluppare una comunicazione grafica

di

“Geometria descrittiva dinamica”.Essi sono:

L’oggetto

Il luogo

Considerando “la proiezione” come “un trasferimento”; esso può avvenire solo in presenza di questi tre componenti ponendo, così, le basi per la rappresentazione descrittiva degli elementi geometrici sia nella loro singolarità (punto, retta, piano) sia nella loro complessità (figure piane e forme solide), in relazione al messaggio grafico da veicolare, anche in relazione alle singole e diverse abilità degli studenti.

Il mezzo

Geometria descrittiva dinamica

Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA

DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI

(Oggetto, mezzo, luogo)

Autore Prof. Elio FragassiAutore Prof. Elio Fragassi

Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 2001/02 da Luca Pelusi della classe 3°B

dell’Istituto Statale d’Arte “M. Dei Fiori” di Penneper la materia : “Disegno geometrico ed architettonico”

IL materiale può essere riprodotto citando la fonte

La revisione delle formalizzazioni è stata curata dal dott. Gabriella

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Introduzione

SommarioSfogliare Titolo dell’argomento

Rappresentazione geometrico-descrittiva e tipologia degli elementi primitivi

L’oggetto della proiezione

Il mezzo della proiezione

Il luogo della proiezione: il diedro

Caratterizzazione topologica dei diedri

Caratterizzazione grafica dei diedri

Caratterizzazione complessiva dei diedri

Caratterizzazione topologica e grafica del primo diedro (ID)

Caratterizzazione topologica e grafica del secondo diedro (IID)

Caratterizzazione topologica e grafica del terzo diedro (IIID)

Caratterizzazione topologica e grafica del quarto diedro (IVD)

Quadro sinottico dei caratteri dei diedri

Copertina

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omessoomessoomessoomessoomessoomessoomesso

Per rappresentare un oggetto qualunque, un solido, un progetto architettonico, un oggetto di uso comune, un mobile, ecc. si usa eseguire una "proiezione" dell'oggetto stesso. E’ bene, pertanto, chiarire anzitutto cosa vuole intendersi per "proiezione”, riguardandola come operazione grafica di tipo geometrico con caratteristiche descrittive.

Il vocabolario Zingarelli esplicita il termine “proiezione”come “...atto, effetto del proiettare...” oppure come “...trasmissione di un’immagine su uno schermo...”, oppure ancora come “...Rappresentazione di una figura spaziale su un piano usando sistemi diversi...”. Lo stesso vocabolario esplicita, poi, il verbo “proiettare” come “...gettare, scagliare fuori o avanti...” oppure come operazione per “...Riprodurre su uno schermo una diapositiva o un fotogramma a mezzo di proiettore”. In sintesi, "proiettare" equivale a "trasferire" cioè “eseguire una proiezione" equivale ad "effettuare un trasferimento"; o meglio, sviluppare una serie di operazioni razionalmente coordinate mediante le quali riuscire a "trasferire”, “qualcosa" da un "luogo" ad un altro "luogo".

Introduzione generale (1)

RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA E TIPOLOGIA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVISommari

o

Introduzione generale (2)

Per poter eseguire questa operazione di "trasferimento" abbiamo bisogno, fondamentalmente, dei tre elementi specificati di seguito.

L’”oggetto” della proiezione o del trasferimento

Il “mezzo” per eseguire la proiezione o il trasferimento

Il “luogo” ove effettuare la proiezione o il trasferimento

Poiché l’operazione di trasferimento implica un aspetto dinamico, tale sarà anche l’operazione della proiezione, conseguentemente, poiché la geometria descrittiva si fonda sulle proiezioni ne discende il carattere dinamico, per cui trattasi di “Geometria descrittiva dinamica”.

L'oggetto può essere costituito da "qualcosa" sia concreto che astratto; può quindi essere un solido o un gruppo di solidi, un organismo architettonico esistente e/o di progetto, un’idea progettuale, il rilievo e la restituzione grafica di un manufatto, di un immobile, di un mobile, o più in generale, un "oggetto” reale e/o virtuale da definirsi di volta in volta in relazione al momento ed alle esigenze rappresentative

Nello specifico di questi appunti di "Geometria descrittiva dinamica", l'oggetto della trattazione è costituito dagli elementi primitivi della geometria come definiti in altro fascicolo che, in particolare, si sintetizzano come di seguito.

Il Punto P inteso come "Ente geometrico adimensionale"

La retta r riguardata nel suo aspetto dinamico-insiemistico come generata da un punto in movimento definito ed orientato secondo la seguente sintetica espressione insiemistica e descrittiva r P | P r ! WP

-

Il piano riguardato nel suo aspetto dinamico-insiemistico come elemento generato da una retta in movimento definito ed orientato nello spazio secondo la seguente sintetica espressione insiemistica e descrittiva

r | r !Wr -

L’oggetto della proiezione (1)Sommario

Questi tre elementi, composti ed articolati nello spazio, determinano la configurazione di forme e figurazioni piane e/o solide di varia natura e complessità; comunque sempre suscettibili di essere ricondotte ad un abaco di forme principali ove rintracciare, sempre, le forme fondamentali di prima specie, di seconda o terza specie che si ricorda essere le seguenti

Forme geometriche fondamentali

L’oggetto della proiezione (2)

Forme di 1a specie

Forme di 3a specie

Forme di 2a specie

Retta Retta punteggiatapunteggiata

Fascio di retteFascio di rette

Fascio di pianiFascio di piani

Piano Piano punteggiatopunteggiato

Piano rigatoPiano rigato

Stella di retteStella di rette

Stella di pianiStella di piani

Spazio Spazio punteggiatopunteggiato

Spazio rigatoSpazio rigato

Spazio di pianiSpazio di piani

Nello specifico, il “mezzo” grafico, per l'esecuzione delle rappresentazioni, è costituito dalle leggi della proiezione cilindrica ortogonale (Fig. 01). Ricordiamo, sinteticamente, che le proiezioni si distinguono in: “proiezioni coniche” o “proiezioni centrali” e “proiezioni cilindriche” o “proiezioni parallele”; queste ultime a loro volta si differenziano in proiezioni ortogonali ed oblique

Il mezzo della proiezione

Nello sviluppo di questi appunti di "Geometria descrittiva dinamica" si fa riferimento esclusivamente alla "Proiezione cilindrica ortogonale" le cui caratteristiche geometrico-descrittive sono sintetizzate dalla seguente espressione

[SA’= A] per r ed A’

Mentre la proiezione conica può essere sintetizzata dalla seguente espressione

[SA’ A] per r ed A’

S = Sorgente proiettiva impropria.S = Sorgente proiettiva reale.A’ = Proiezione o immagine dell’oggetto in corso di elaborazione descrittiva.A = Oggetto (reale e/o virtuale) della rappresentazione.r = Raggio proiettivo.

= Perpendicolare o ortogonale. = Obliquo o comunque inclinato = Appartiene = Luogo della proiezione. (Supporto del disegno e/o della rappresentazione grafica descrittiva)

Sommario

Il luogo della proiezione: il diedro

Di norma, nel campo della geometria descrittiva gli "oggetti” della proiezione si immaginano collocati nello spazio fisico denominato "diedro"(Fig.02)

Il diedro, come angolo solido, è costituito dallo spazio racchiuso tra due semipiani 1/2 e 2/2 (Fig.03) in rapporto ortogonale tra di loro così come definito nel "Metodo delle doppie proiezioni ortogonali o metodo di Monge“ cui questi appunti fanno completo riferimento

I due piani (Fig. 02) 1 e 2, comunque collocati nello spazio, e, fermo restando il reciproco rapporto di ortogonalità, intersecandosi definiscono quattro porzioni di spazio solido che prendono il nome di diedri; quindi ciascuna delle quattro parti dello spazio solido (Fig. 03), delimitata da due semipiani aventi in comune la retta di origine, determina un “luogo” della possibile collocazione dell’oggetto della proiezione e/o della rappresentazione.

I due piani 1 e 2, intersecandosi l'uno con l'altro danno origine ad una retta reale che rappresenta l'origine dei semipiani e quindi dei diedri da essi costituiti.

Per questa sua caratteristica particolare (origine dei semipiani) la retta, nello specifico, assume il nome di "linea di terra". Essa, sia negli appunti seguenti che nelle didascalie dei disegni, sarà indicata con le lettere iniziali del nome "lt" minuscole perché trattasi di linea retta.

Sommario

Caratterizzazione topologica dei diedri (1)Se la retta "lt” rappresenta l'origine dei semipiani 1/2 e 2/2, muovendosi, su ciascuno di essi,

ci sia allontanerà da detta origine spostandosi sia su 1 che su 2

Allora, per poter definire, in modo univoco, il semipiano in cui ci si muove attribuiamo ad esso delle caratteristiche topologiche, proprio in riferimento all'origine cioè alla “lt” (Fig.04).

Pertanto, se dalla lt ci si allontana verso destra diremo che i valori della distanza sono crescenti positivamente ed allora indicheremo il semipiano come "semipiano anteriore positivo" che in forma sintetica diventa 1

+; se ci si allontana verso sinistra diremo che i valori delle distanze sono crescenti negativamente e allora definiremo il semipiano come “semipiano posteriore negativo" che in forma sintetica diventa 1

-

Muovendosi, poi, su 2 accade che per allontanarsi dalla linea di terra bisogna muoversi verso l'alto; in questo caso i valori della distanza dall'origine sono crescenti positivamente, allora indichiamo il semipiano in oggetto come “semipiano superiore positivo" che in forma sintetica diventa 2+; se invece ci si allontana verso il basso, allontanandosi dalla "lt" i valori crescono negativamente per questo si definisce tale semipiano come “semipiano inferiore negativo” che in forma sintetica diventa 2-. E’ possibile, quindi, caratterizzare e definire dal punto di vista topologico i diversi diedri, con riferimento ai semipiani costituenti gli stessi, come nella tabella che segue

Sommario

Caratterizzazione topologica dei diedri (2)

Per una maggiore sintesi possiamo esprimere con la tabella sinottica che segue la “ definizione topologica” dei quattro diedri

Ragionando sulla “caratterizzazione topologica”

possiamo fare le seguenti considerazioni generali

Inoltre il primo diedro è opposto al terzo “dal punto di vista topologico" e, al contempo, il secondo è, sempre “ dal punto di vista topologico”, opposto al quarto

Il primo diedro è un diedro positivo

Il secondo diedro è un diedro misto

Il terzo diedro è un diedro negativo

Il quarto diedro è un diedro misto

Caratterizzazione topologica dei diedri

Numero diedro Indicazione sintetica

Nome semipianoCarattere topologico

Sintesi didascalica

Primo Diedro

Secondo Diedro

Terzo Diedro

Quarto Diedro

I D

II D

III D

IVD

Anteriore

Superiore

Posteriore

Superiore

Posteriore

Inferiore

Anteriore

Inferiore

Positivo

Positivo

Positivo

Positivo

Negativo

Negativo

Negativo

Negativo

1 +

1 -

1 -

1 +

2 +

2 +

2 -

2 -

Tabella sinottica dei caratteri topologici dei quattro diedriPrimo

Diedro

I D 1 +

2 +

Secondo Diedro

II D 1 -

2 +

Terzo Diedro

III D 1 -

2 -

Quarto Diedro

IVD

1 +

2 -

Sommario