Sistemi di riferimento La retta orientata e piano cartesiano.
LEZIONI DI MATEMATICA per una classe 1 liceo scientifico - Definizione di Insiemi e delle principali...
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INSIEMI - definizione
Un raggruppamento di oggetti
Esempi
A { numeri tra 0 e 5 } B { vocali }
C { numeri pari } D { persone simpatiche }
E { ragazze alte }
G { ragazzi ciccioni }
K { quadrupedi}
F { piante alte 3 metri }
L { animali con 7 zampe }
M { persone ricche } N { persone con più di 1000€ }
H { persone con gli occhi blu }
Un raggruppamento di oggettiindividuati OGGETTIVAMENTE
(= in modo ben preciso)
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INSIEMI - rappresentazione
rappresentazioneTABULARE
A { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
rappresentazione diEULERO - VENN
A01
2
543
rappresentazioneCARATTERISTICA
A { aN: a5}
3 / 21
INSIEMI - notazione
A { aN: a<5}
Nome dell’Insieme – lettera maiuscola
aA a<5
elemento generico appartenente all’Insieme – lettera minuscola
Proprietà caratteristica dell’Insieme
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INSIEMI - Simbologia
: per ogni
˅: o (dal latino Vel)
˄: e (and)
: quindi
: allora (conseguenza logica)
, sse : se e solo se (conseguenza logica in entrambe le direzioni)
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INSIEMI - Simbologia
: esiste almeno uno: esiste UNO e UNO SOLO
A
1 20
A { aN: a<3}
numero pari0 2
A
120 ! numero dispari1
: uguale / definizione
:: tale che
: appartiene a A l’elemento a appartiene all’insieme A: NON appartiene f A l’elemento f NON appartiene all’insieme A
Aa
i oe u f
A { aN: a<5}
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INSIEMI - Simbologia
: contenuto B A l’insieme B è contenuto nell’insieme A
: NON contenuto C A l’insieme B NON è contenuto nell’insieme A
: contenuto o uguale
A
1 3 5 7 90 6 8
2 4
A { aN: a < 10}
B { bN: b numero pari < 10}
1013
1112
14
CC { cN: 9 < c < 15}
0 6 82 4
B
B è dettoSOTTOINSIEME PROPRIO
di A
7 / 21
SOTTOINSIEMI
A
1 3 5 7 90 6 8
2 40 6 8
2 4B
B è sottoinsieme di ASe ogni elemento di b appartiene anche ad A
B A
B A
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INSIEME VUOTO
A
L’ insieme vuotoè un insieme privo di elementi
Simbolismo: oppure { }
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INTERSEZIONE – Operazione tra insiemi
Consideriamo gli insiemi:A: lettere che formano la parola “ travi ”B: lettere che formano la parole “ arco ”
B
ar
co
e cerchiamo le lettere COMUNI ad entrambi gli insiemi:
A B L’insieme così ottenuto si chiama
INTERSEZIONE
Si dice INTERSEZIONE di due insiemi A e Bl’ insieme formato dagli elementi che appartengono sia
ad A che a B
Viene indicato con A BA B {x : xA ˄ xB}
A
tr a
vi
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INTERSEZIONE – insiemi Disgiunti
Se l’ INTERSEZIONE di due insiemi A e B
è l’ insieme vuoto A B {}
I due insiemi si dicono DISGIUNTI
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UNIONE – Operazione tra insiemi
Consideriamo gli insiemi:A: lettere che formano la parola “ travi ”B: lettere che formano la parole “ arco ”
e cerchiamo le lettere di entrambi gli insiemi:
A B L’insieme così ottenuto si chiama
UNIONE
Si dice UNIONE di due insiemi A e Bl’ insieme formato dagli elementi che appartengono
ad A a B o a entrambi
Viene indicato con A BA B {x : xA ˅ xB}
A
tr a
vi
12 / 21
B
ar
co
UNIONE – INTERSEZIONE
Dati gli insiemi:A: numeri interi pari minori di 10B: numeri interi divisibili per 3 e minori di 10
1.- Rappresentarli in forma tabellare e col diagramma di Eulero-Venn2.- Determinare gli insiemi intersezione e unione
0 6 82 4
A
A { 0, 2, 4, 6, 8 }
0 693
B
B { 0, 3, 6, 9 }
068
2 4A 3
9
B
INTERSEZIONE
A B { 0, 6 }
068
2 4A 3
9
B
UNIONE
A B { 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9 }
S o l u z i o n e
13 / 21
UNIONE – INTERSEZIONE
Dati gli insiemi:A: prime tre lettere dell’alfabetoB: numeri interi minori di 4
1.- Rappresentarli in forma tabellare e col diagramma di Eulero-Venn2.- Determinare gli insiemi intersezione e unione
ab
c
A
A { a, b, c }
0 123
B
B { 0, 1, 2, 3 }b
a cA 0
3
B
2
1
INTERSEZIONE
A B { }
01
ba cA
23
B
UNIONE
A B { a, b, c, 0, 1, 2, 3 }
S o l u z i o n e
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UNIONE – INTERSEZIONE
Dati gli insiemi:A: le quattro operazioni elementariB: insieme vuoto
1.- Rappresentarli in forma tabellare e col diagramma di Eulero-Venn2.- Calcolare AA; AB; BB; AA; AB; BB
B
B { }
A B { }
INTERSEZIONEUNIONE
A B { +, x, -, : }
S o l u z i o n e
+: -
A
A { +, x, -, : }
xB
-+x
A :
-+ x
A :A A { +, x, -, : } A A { +, x, -, : }
B B { }B
B B { }
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Differenza Insiemistica – Operazione tra insiemi
Consideriamo gli insiemi:A: lettere che formano la parola “ travi ”B: lettere che formano la parole “ arco ”
B
ar
co
e cerchiamo le lettere appartenenti a B ma non ad A :
B \ AL’insieme così ottenuto si chiama
Differenza Insiemistica \
A
tr a
vi
Si dice Differenza Insiemistica di due insiemi B e Al’ insieme formato dagli elementi che appartengono
a B ma NON ad A
Viene indicato con B \ AB \ A {x : xB ˄ xA}
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Dati gli insiemi:A: numeri interi pari minori di 10B: numeri interi divisibili per 3 e minori di 10
1.- Rappresentarli in forma tabellare e col diagramma di Eulero-Venn2.- Determinare gli insiemi A \ B e B \ A
0 6 82 4
A
A { 0, 2, 4, 6, 8 }
0 693
B
B { 0, 3, 6, 9 }
068
2 4A 3
9
B
A \ B
A \ B { 2, 4, 8 }
068
2 4A
39
B
B \ A
B \ A { 3, 9 }
S o l u z i o n e
Differenza Insiemistica
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Prodotto Cartesiano – Operazione tra insiemi
Consideriamo gli insiemi:A: prime tre lettere dell’alfabetoB: primi due numeri naturali maggiori di 0
B
12
e formiamo tutte le coppie possibili in cuiil primo elemento appartiene ad A e il secondo elemento appartiene a B :
A abcb
a
11
a
2c
1
b
2c
2
L’insieme così ottenuto si chiama
Prodotto Cartesiano A B
Si dice Prodotto Cartesiano di due insiemi A e Bl’ insieme formato dalle coppie tali che
il primo elemento appartiene all’ insieme A e il secondo elemento appartiene all’ insieme B
Viene indicato con A BA B { (a, b) : aA ˄ bB}
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Prodotto Cartesiano – Rappresentazione
B
12
A
abc
Si dice Prodotto Cartesiano di due insiemi A e B
l’ insieme formato dalle coppie tali che
il primo elemento appartiene all’ insieme A e
il secondo elemento appartiene all’ insieme B
Viene indicato con A BA B { (a, b) : aA ˄ bB}
A B { (a, 1) ; (a, 2) ; (b, 1) ; (b, 2) ; (c, 1) ; (c, 2) }
(a, 1)(a, 2)
(b,1)(b, 2)
(c, 1)(c, 2)
A B
A BB
A a b c
1
2
(a, 1)
(a, 2)
(b, 1)
(b, 2)
(c, 1)
(c, 2)
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Dati gli insiemi:A: 3 mezzi di trasportoB: maschio femmina
1.- Rappresentarli in forma tabellare e col diagramma di Eulero-Venn2.- Determinare il prodotto cartesiano A B
A
A { , , }
B
B { ,}
S o l u z i o n e
Prodotto Cartesiano
A B { (,) ; (, ) ; (, ) ; (, ) ;
(, ) ; (, ) }
(, 1)(, 2)
(,1) (, 2)
(, 1) (, 2)
A B
A BB
A
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Divertiti ?
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