Trasformazioni nel piano cartesiano

indica l'insieme da cui partiamo e l'insieme a cui arriviamo

Trasformazioni Premesse

Definizione Si chiama trasformazione geometrica piana la corrispondenza biunivoca che associa a punti del piano altri punti del

piano.

Biunivocaad ogni punto P

corrisponde uno e un solo punto P’

in simboli: indichiamo con Π (pi greco maiuscola) l'insieme di tutti i punti del piano; la corrispondenza potrà essere indicata con una lettera minuscola (ad esempio f) e con il seguente simbolo

al punto P è associato il punto P' ottenuto sostituendo le coordinate di P nella espressione che descrive f.

Esempio 1 Consideriamo la corrispondenza che associa

al punto P il punto P' ottenuto scambiando le ascisse con le ordinate . In simboli dove P’=f(P)

Vediamo come agisce la trasformazione: se P=(2;3) il punto P'=(3;2) se P=(1,1) il punto P’=(1,1) ovvero P’=P; in generale

questo vale per ogni punto della forma (a,a)


.

Sfruttiamo l’esempio 1, per introdurre alcune terminologie:

Ogni punto/linea/figura che si ottiene mediante una trasformazione viene

detta trasformato (o immagine) del punto/linea/figura.

Data una trasformazione f definiamo P punto unito se f(P)=P (ovvero se lo

lascia fermo); definiamo r retta unita se f(r)=r

Identità la trasformazione che a ogni punto del piano associa il punto stesso

Definiamo una trasformazione involutoria se e

per ogni punto P. Ovvero se applicando due volte la trasformazione otteniamo

l’identità.


.

': PPf PPf ':

Torniamo all’esempio 1 P’=f(P)

Abbiamo già osservato che per ogni P=(a,a) P’=(a,a) Ovvero i punti (a,a) sono punti uniti per la trasformazione Consideriamo ora la retta di equazione y=x, possiamo intuire

(vedremo dopo come provarlo) che questa è una retta unita Infine se pensiamo di applicare due volte la trasformazione

per un punto P qualsiasi del piano otteniamo:

ovvero è involutoria


.

PyxPxyPyxP ff ),(''),('),( 000000

Due ultime definizioni:1) Date due trasformazioni f e g tali che e

chiamiamo trasformazione composta la trasformazione e indicheremo h(P)=g(f(P)). La indicheremo con


.

Per chiarire pensiamo di prendere un triangolo, ruotarlo di 90° e poi traslarlo.

Il triangolo finale è ottenuto dalla composizione di due trasformazioni f g

g(f(p))

2) Data una trasformazione t che associa ad ogni P il punto P’, la trasformazione inversa associa al punto P’ il punto P e viene indicata con il simbolo . Sfruttando la composizione possiamo anche dire che

1t


.

Le proprietà che non cambiano nelle trasformazioni si chiamano invarianti della trasformazione

Tra i vari esempi che possiamo fare, si osserva che esistono trasformazioni che conservano le distanze, altre che conservano solo gli angoli, altre ancora che conservano il solo fatto che la figura è chiusa.

Trasformazioni isometriche o isometrie

Definizione Chiamiamo isometria la trasformazione che

conserva le distanza; ovvero

la trasformazione f è una isometria se d(A,B)=d(f(A),f(B))

Elenchiamo (e approfondiremo in seguito) le principali isometrie: traslazione, rotazione, simmetria centrale e simmetria assiale (per il momento accontentiamoci della esperienza, fatta ad esempio in CAD, per caratterizzare ciascuna di queste trasformazioni).

Distinguiamo tra ISOMETRIE DIRETTE (traslazione, rotazione, simmetria centrale) ovvero quelle ottenute per scivolamento ed ISOMETRIE INDIRETTE (simmetria assiale) ottenute

per ribaltamento.

Trasformazioni isometriche o isometrie

Proprietà isometrieElenchiamo le proprietà delle isometrie (dimostreremo poi alcune di

queste proprietà)

Proprietà 1. Una isometria porta rette in rette

Proprietà 2. Una isometria porta rette incidenti in rette incidenti e

rette parallele in rette parallele.

Proprietà 3. Una isometria porta triangoli in triangoli

Proprietà 4. Una isometria conserva gli angoli

TraslazioniTrasformazioni - Isometrie

Definizione: chiamiamo traslazione di vettore 𝒗 e indichiamo con 𝑡𝑣 la trasformazione che associa al punto P il punto P’ tale che PP’ coincide con il vettore 𝑣 in modulo, direzione e verso.

In simboli 𝑡𝑣:𝑃→𝑃′tale che 𝑃𝑃′ሬሬሬሬሬሬԦ= 𝑣

E' facile osservare (ma noi non lo dimostriamo) che:

- La traslazione 𝑡𝑣 è una isometria.

- La traslazione 𝑡𝑣 porta rette parallele in rette parallele; rette incidenti in rette

incidenti; porta angoli in angoli congruenti

La traslazione 𝑡𝑣: (con 𝑣ҧ≠ 0) Non ha punti uniti; Non è involutoria

con 𝑣ҧ= 0 coincide con l’identità

- La composizione di due traslazioni 𝑡𝑣,𝑡𝑤 è una traslazione di vettore 𝑣⊕ 𝑤

(dove ⊕ indica la somma tra vettori). In simboli 𝑡𝑣 ⊕ 𝑡𝑤 = 𝑡𝑣⊕ 𝑤


Tutte le proprietà sopra possono essere verificate sia con il CAD che con GEOGEBRA. Ad esempio in GEOGEBRA esiste un comando che permette di traslare oggetti.

In Geogebra un vettore può essere descritto:-Mediante un segmento orientato utilizzando l’icona che troviamo insieme a rette e segmenti

- Oppure digitando le componenti cartesiane nella riga di inserimento con la seguente sintassi: v=(vx,vy). Nella finestra di algebra vedremo il vettore rappresentato con un vettore colonna.

In Geogebra la traslazione di vettore v può essere realizzata:-Mediante il comando descritto dall’icona


Per verificare le proprietà enunciate sopra possiamo, fissato un vettore,1) Tracciare un segmento, traslarlo e poi misurare i due segmenti2) Tracciare una retta e poi traslarla e osservare il trasformato. In

particolarea) se la retta è parallela al vettore cosa osservo? b) se la retta è incidente con la direzione del vettore cosa osservo?

3) Tracciamo due rette e trasliamole:a) Se le rette sono parallele cosa osservo?b) Se le rette sono incidenti cosa osservo?c) L’angolo individuato dalle due rette come risulta dopo la

traslazione?4) Infine definiamo due vettori v e w e il vettore somma;

a. Trasliamo il segmento (o un poligono) prima secondo v poi secondo w

b. Trasliamo ora lo stesso segmento (o poligono) secondo il vettore somma.


Cerchiamo adesso l'equazioni della traslazione

Sia 𝑣Ԧ= (𝑎;𝑏) la traslazione di vettore 𝑣Ԧ ha equazioni ൜𝑥′ = 𝑥+ 𝑎𝑦′ = 𝑦+ 𝑏

Come si ottengono: dalla definizione di traslazione di vettore 𝑣Ԧ: associamo al punto P (x;y) il punto P'(x';y') tale che 𝑃𝑃′ሬሬሬሬሬሬԦ= 𝑣 passando alle componenti cartesiane risulterà ሺ𝑥′ − 𝑥;𝑦′ − 𝑦ሻ=(𝑎;𝑏) e uguagliando le componenti otteniamo ൜𝑥′ − 𝑥= 𝑎𝑦′ − 𝑦= 𝑏

Esempio 3 Nella traslazione individuata dal vettore 𝑣Ԧ= (2;−3) determiniamo il trasformato di P(5;4).

Per ricavare P' sfruttiamo le equazioni sopra: la traslazione risulterà

൜𝑥′ = 𝑥+ 2𝑦′ = 𝑦− 3 e sostituiamo le coordinate di P ൜𝑥′ = 5+ 2𝑦′ = 4− 3


Sia 𝑣Ԧ= (𝑎;𝑏) la traslazione di vettore 𝑣Ԧ ha equazioni ൜𝑥′ = 𝑥+ 𝑎𝑦′ = 𝑦+ 𝑏

Esempio 4 Nella traslazione individuata dal vettore 𝑣Ԧ= (2;−3) determiniamo il trasformato della retta 𝑦= −2𝑥

Da quanto detto sopra: otterremo una retta (poichè le isometrie portano rette in rette) parallela alla precedente. Possiamo procedere in due modi: Modo I:

descriviamo il generico punto P appartenente alla retta, P(t;-2t).

scriviamo l'equazione della traslazione ൜𝑥′ = 𝑥+ 2𝑦′ = 𝑦− 3

ricaviamo il trasformato di P: P' ൜𝑥′ = 𝑡+ 2𝑦′ = −2𝑡− 3

per ricavare l'equazione della retta trasformata ricaviamo il parametro t da una equazione e sostituiamo

nell'altra ൜ 𝑡 = 𝑥′ − 2𝑦′ = −2ሺ𝑥′ − 2ሻ− 3 e otteniamo 𝑦′ = −2𝑥′ − 7

Modo II:

scriviamo l'equazione della traslazione ൜𝑥′ = 𝑥+ 2𝑦′ = 𝑦− 3 e ricaviamo x e y; ൜𝑥= 𝑥′ − 2𝑦= 𝑦′ + 3

sostituiamo nell'equazione della retta 𝑦= −2𝑥 e ricaviamo 𝑦′ + 3 = −2ሺ𝑥′ − 2ሻ; l'equazione 𝑦′ = −2𝑥′ − 7 è la retta traslata.

Attenzione: se vogliamo rappresentare la retta nello stesso sistema di riferimento sostituiremo alla x' l'incognita x e alla y' l'incognita y.

Traslazioni Trasformazioni - IsometrieSia 𝑣Ԧ= (𝑎;𝑏) la traslazione di vettore 𝑣Ԧ ha equazioni ൜𝑥′ = 𝑥+ 𝑎𝑦′ = 𝑦+ 𝑏 sostituzione associata ቄ

𝑥→𝑥− 𝑎𝑦→𝑦− 𝑏

Casi particolari: se a=0 traslazione verticale; se b=0 traslazione orizzontale

Esempio 6: traslazioni e rette consideriamo una retta r passante per l'origine, ad esempio y=2x. Sottoponiamo tale retta ad una

traslazione di vettore (0;q)

Per ottenere l'equazione della retta trasformata consideriamo la

sostituzione associata ቂ 𝑥→𝑥𝑦→𝑦−𝑞ቃ e si ricava l'equazione della retta

ottenuta traslando r

𝑦= 2𝑥ᇣᇧᇤᇧᇥ𝑒𝑞.𝑑𝑖 𝑟 𝑥→𝑥𝑦→𝑦−𝑞൨ሱۛ ۛ ۛ ۛ ۛ ሮ 𝑦− 𝑞 = 2𝑥→𝑦= 2𝑥+ 𝑞ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ𝑒𝑞.𝑑𝑖 𝑠

Viceversa mediante la traslazione inversa di vettore (0;-q) dall'equazione y=2x+q otteniamo y=2x

consideriamo una retta r non passante per l'origine e non parallela agli assi (ad esempio y=-2x+q). Sia Q(0;q) il punto in cui la retta incontra l'asse y. Consideriamo la traslazione del sistema di riferimento che porta l'origine in Q

൜𝑥= 𝑋𝑦= 𝑞+ 𝑌. Nel sistema QXY la retta passa per l'origine Q e avrà equazione Y=2X; applichiamo ora

la traslazione e otteniamo l'equazione della stessa retta nel sistema Oxy

𝑌= 2𝑋ᇣᇧᇤᇧᇥ𝑒𝑞.𝑑𝑖 𝑟 ቄ𝑋=𝑥𝑌=𝑦−𝑞ሱۛ ۛ ۛ ۛ ሮ 𝑦− 𝑞 = 2𝑥→𝑦= 2𝑥+ 𝑞ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ𝑒𝑞.𝑑𝑖 𝑠




Esempio 7: traslazione di circonferenze Vedi esercizio guida pag. 287 n. 277 ; svolgiamo l'esercizio n. 318:

Dati iniziali circonferenza 𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0 ; nuovo centro C(3;-3)

Obiettivo: determinare la traslazione e l'equazione della circonferenza traslata

Svolgimento: Poiché la traslazione conserva le distanze, porta circonferenze in circonferenze; pertanto:

1)individuiamo la trasformazione (o traslazione) che porta il centro della circonferenza 𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0 nel punto C.

Il centro della circonferenza 𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0 è (0;0); l'equazione della traslazione è ൜𝑥′ = 𝑥+ 𝑎𝑦′ = 𝑦+ 𝑏 per

determinare a e b imponiamo che il trasformato di (0;0) risulti (3;-3); sostituendo otteniamo ቄ3 = 0+ 𝑎−3 = 0+ 𝑏 e ricaviamo

che la traslazione cercata è ൜𝑥′ = 𝑥+ 3𝑦′ = 𝑦− 3

2) Per ricavare l'equazione della circonferenza traslata scriviamo la sostituzione associata ൜𝑥= 𝑥′ − 3𝑦= 𝑦′ + 3 e operiamo la

sostituzione nell'equazione della circonferenza 𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ𝑒𝑞.𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑛𝑓 𝑥=𝑥′−3𝑦=𝑦′+3ሱۛ ۛ ۛ ሮ ൫𝑥′ − 3൯2 +൫𝑦′ + 3൯2 − 4 = 0 →𝑥′2 + 𝑦′2 − 6𝑥′ + 6𝑦′ + 14 = 0ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ𝑒𝑞.𝑐𝑖𝑟𝑐𝑜𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑡𝑎

3) Per rappresentare la circonferenza traslata sul nostro piano Oxy occorre "togliere gli apici" Si osserva che se calcoliamo il centro e il raggio della nuova circonferenza questi verificano le richieste dell'esercizio.




Possiamo ripetere gli esercizi visti traslando ad esempio alcune funzioni-Esponenziali-Logaritmiche

?Se in particolare trasliamo con vettori del tipo (0,b) e (a,0) come si modificano le equazioni delle funzioni?Possiamo generalizzare?

Sistema di riferimentoTraslazioni Trasformazioni - Isometrie

Traslazione di un sistema di riferimento Consideriamo un sistema di riferimento di assi cartesiani ortogonali: Oxy.

In alcuni casi è utile cambiare il sistema di riferimento, cioè riferire i punti di una certa figura anziché al sistema Oxy ad un nuovo sistema di riferimento che per comodità indichiamo con OXY.

Vediamo ora il caso della traslazione; per quanto detto sopra: otterremo un sistema di riferimento ortogonale (poiché la traslazione conserva gli angoli) con assi paralleli a quelli di Oxy

Con riferimento alla figura

Indichiamo con (a;b) le coordinate della nuova origine O' nel sistema di riferimento Oxy;

consideriamo un generico punto P di coordinate (x;y) nel vecchio sistema Oxy e di coordinate (X;Y) nel nuovo sistema O'XY;


Possiamo ricavare le seguenti relazioni

𝑥= 𝑂𝐾തതതത= 𝑂𝑁തതതത+ 𝑁𝐾തതതതത= 𝑎+ 𝑂′𝐻തതതതത= 𝑎+ 𝑋

𝑥= 𝑂𝑇തതതത= 𝑂𝑀തതതതത+ 𝑀𝑇തതതതത= 𝑏+ 𝑂′𝑆തതതതത= 𝑏+ 𝑌

Concludendo le relazioni tra le vecchi e le nuove coordinate del generico punto P risultano ൜𝑥= 𝑎+ 𝑋𝑦= 𝑏+ 𝑌 e le

inverse risultano ൜𝑋= 𝑥− 𝑎𝑌= 𝑦− 𝑏


Osservazioni: 1) a questo stesso risultato si può arrivare ragionando sui vettori:

(X;Y) sono le componenti del vettore 𝑂′𝑃ሬሬሬሬሬሬሬԦ nel sistema O'XY; (x;y) sono le componenti del vettore 𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ nel sistema Oxy.

tra i due vettori sussiste la seguente relazione (letta in Oxy) 𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ= 𝑂𝑂′ሬሬሬሬሬሬሬԦ⨁𝑂′𝑃ሬሬሬሬሬሬሬԦ. Fissati i versori fondamentali di Oxy, possiamo scrivere la relazione sopra per componenti

ሺ𝑥;𝑦ሻ= (𝑎;𝑏)⨁(X;y)=(a+X;b+Y). Poiché, fissati i versori, i due vettori sono uguali se hanno uguali le componenti possiamo ricavare

൜𝑥= 𝑎+ 𝑋𝑦= 𝑏+ 𝑌

Viceversa possiamo affermare che letto nel sistema O'XY il vettore 𝑂′𝑃ሬሬሬሬሬሬሬԦ= 𝑂𝑃ሬሬሬሬሬԦ⊝ 𝑂𝑂′ሬሬሬሬሬሬሬԦ e ricavare

൜𝑋= 𝑥− 𝑎𝑌= 𝑦− 𝑏

2) E' importante osservare che nei ragionamenti sopra il piano ed il punto P restano fissi, mentre è il sistema di riferimento che si muove mediante la tralsazione. Invece nelle osservazioni fatte all'inizio di questa parte la traslazione era un movimento dei punti del piano: riferendo tale piano ad un unico sistema di assi cartesiani si poteva pensare che fossero i punti a muoversi.

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