INDICE DEGLI ARGOMENTI - · PDF fileProf. I. Savoia PARABOLA NEL PIANO CARTESIANO p....
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Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
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PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia
INDICEINDICEINDICEINDICE DEGLIDEGLIDEGLIDEGLI ARGOMENTIARGOMENTIARGOMENTIARGOMENTI
§§§§ 1111 PROPRIETA'PROPRIETA'PROPRIETA'PROPRIETA' p.p.p.p. 2222
1.11.11.11.1 ParabolaParabolaParabolaParabola comecomecomecome luogoluogoluogoluogo geometrico.geometrico.geometrico.geometrico. p.p.p.p. 2222
1.21.21.21.2 ParabolaParabolaParabolaParabola comecomecomecome funzione.funzione.funzione.funzione. p.p.p.p. 3333
§§§§ 2222 PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA TRASLATATRASLATATRASLATATRASLATA EDEDEDED EQUAZIONEEQUAZIONEEQUAZIONEEQUAZIONE GENERALE.GENERALE.GENERALE.GENERALE. p.p.p.p. 5555
2.12.12.12.1 IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni conconconcon gligligligli assi.assi.assi.assi. p.p.p.p. 6666
2.22.22.22.2 ParaboleParaboleParaboleParabole conconconcon equazioniequazioniequazioniequazioni incomplete.incomplete.incomplete.incomplete. p.10p.10p.10p.10
ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon verticeverticeverticevertice sull'assesull'assesull'assesull'asse Y.Y.Y.Y. p.10p.10p.10p.10
ParabolaParabolaParabolaParabola passantepassantepassantepassante perperperper l'origine.l'origine.l'origine.l'origine. p.12p.12p.12p.12
§§§§ 2222 PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA ADADADAD ASSEASSEASSEASSE ORIZZONTALEORIZZONTALEORIZZONTALEORIZZONTALE p.14p.14p.14p.14
§§§§ 3333 MUTUAMUTUAMUTUAMUTUA POSIZIONEPOSIZIONEPOSIZIONEPOSIZIONE FRAFRAFRAFRA PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA EEEE RETTARETTARETTARETTA p.15p.15p.15p.15
3.13.13.13.1 ParabolaParabolaParabolaParabola eeee rettarettarettaretta obliqua.obliqua.obliqua.obliqua. p.15p.15p.15p.15
3.23.23.23.2 ParabolaParabolaParabolaParabola eeee rettarettarettaretta verticale.verticale.verticale.verticale. p.17p.17p.17p.17
3.3.3.3. 3333 TangentiTangentiTangentiTangenti adadadad unaunaunauna parabolaparabolaparabolaparabola condottecondottecondottecondotte dadadada unununun punto.punto.punto.punto. P.18P.18P.18P.18
3.43.43.43.4 TangenteTangenteTangenteTangente inininin unununun puntopuntopuntopunto delladelladelladella parabola.parabola.parabola.parabola. p.21p.21p.21p.21
§§§§ 4444 STUDIOSTUDIOSTUDIOSTUDIO DELDELDELDEL SEGNOSEGNOSEGNOSEGNO DELDELDELDEL TRINOMIOTRINOMIOTRINOMIOTRINOMIO ccccxxxxbbbbxxxxaaaa ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ 2222 p.24p.24p.24p.24
§§§§ 5555 PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA SOGGETTASOGGETTASOGGETTASOGGETTA AAAA CONDIZIONICONDIZIONICONDIZIONICONDIZIONI p.26p.26p.26p.26
5.15.15.15.1 ParabolaParabolaParabolaParabola passantepassantepassantepassante prepreprepre tretretretre puntipuntipuntipunti noti.noti.noti.noti. p.26p.26p.26p.26
5.25.25.25.2 FuocoFuocoFuocoFuoco eeee direttricedirettricedirettricedirettrice p.27p.27p.27p.27
5.35.35.35.3 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon fuocofuocofuocofuoco eeee direttricedirettricedirettricedirettrice assegnatiassegnatiassegnatiassegnati p.28p.28p.28p.28
5.45.45.45.4 ParabolaParabolaParabolaParabola didididi verticeverticeverticevertice eeee intersezioneintersezioneintersezioneintersezione asseasseasseasse YYYY noti.noti.noti.noti. P.29P.29P.29P.29
5.55.55.55.5 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon verticeverticeverticevertice VVVV eeee unununun unununun puntopuntopuntopunto PPPP qualsiasi.qualsiasi.qualsiasi.qualsiasi. p.30p.30p.30p.30
5.65.65.65.6 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon assegnateassegnateassegnateassegnate intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni lungolungolungolungo gligligligli assi.assi.assi.assi. p.30p.30p.30p.30
5.75.75.75.7 LegameLegameLegameLegame frafrafrafra intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni eeee verticeverticeverticevertice p.31p.31p.31p.31
5.85.85.85.8 FormaFormaFormaForma alternativaalternativaalternativaalternativa dell'equazione.dell'equazione.dell'equazione.dell'equazione. p.p.p.p. 32323232
5.95.95.95.9 ValoriValoriValoriValori interiinteriinteriinteri delledelledelledelle ascisseascisseascisseascisse delledelledelledelle intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni conconconcon l'assel'assel'assel'asse XXXX. p.33p.33p.33p.33
5.105.105.105.10 FasciFasciFasciFasci didididi paraboleparaboleparaboleparabole conconconcon intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni asseasseasseasse XXXX prefissateprefissateprefissateprefissate eeee verticeverticeverticevertice variabilevariabilevariabilevariabile. p.34p.34p.34p.34
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
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§§§§ 1111 PROPRIETA'PROPRIETA'PROPRIETA'PROPRIETA'
1.11.11.11.1 ParabolaParabolaParabolaParabola comecomecomecome luogoluogoluogoluogo geometrico.geometrico.geometrico.geometrico.
LaLaLaLa parabolaparabolaparabolaparabola èèèè ilililil luogoluogoluogoluogo deideideidei puntipuntipuntipunti deldeldeldel piano,piano,piano,piano, eeee solosolosolosolo essi,essi,essi,essi, equidistantiequidistantiequidistantiequidistanti dadadada unununun puntopuntopuntopunto FFFFdettodettodettodetto fuocofuocofuocofuoco eeee dadadada unaunaunauna rettarettarettaretta dettadettadettadetta direttrice.direttrice.direttrice.direttrice.
Per comodità di rappresentazione scegliamo l'origine O equidistante dal fuoco F(0; k)posto lungo l'asse Y e dalla retta direttrice di equazione y=-k , parallela all'asse X.La distanza fra un qualsiasi punto P(x; y) e la retta direttrice vale
(((( )))) kkkkyyyykkkkyyyyPHPHPHPH ++++====−−−−−−−−==== mentre la distanza fra lo stesso punto P ed il fuoco F sicalcola con la formula della distanza fra due punti:
(((( )))) (((( )))) 22222222222222222222 22220000 kkkkkykykykyyyyyxxxxkkkkyyyyxxxxPFPFPFPF ++++−−−−++++====−−−−++++−−−−==== . In base alla definizione si ha la
relazione PHPHPHPHPFPFPFPF ==== o, equivalentemente,22222222 PHPHPHPHPFPFPFPF ==== . Pertanto sostituendo le
espressioni abbiamo: 2222222222222222 2222 kkkkyyyykkkkyyyyxxxxkkkkyyyy +⋅−+=+ ; sviluppiamo ora il quadrato al
secondo membro : 22222222222222222222 22222222 kkkkyyyykkkkyyyyxxxxkkkkyyyykkkkyyyy +⋅−+=+⋅+ quindi semplifichiamo eisoliamo la lettera y al primo membro: 22222222 444422222222 xxxxyyyykkkkxxxxyyyykkkkyyyykkkk =⋅⇒=⋅+⋅ e infine :
2222
44441111 xxxxkkkk
yyyy ⋅= .Se poniamokkkk
aaaa44441111
= l'equazione della parabola diventa: 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== .
La figura illustra il grafico della parabola per 0000>>>>aaaa (fuoco sopra l'origine).
xxxx
yyyy
FFFF
HHHHy=-ky=-ky=-ky=-k0000
P(x; y)P(x; y)P(x; y)P(x; y)
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
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1.1.1.1. 2222 ParabolaParabolaParabolaParabola comecomecomecome funzione.funzione.funzione.funzione.L'equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== , con {{{{ }}}}0000\\\\RRRRaaaa∈∈∈∈ , corrisponde alla funzione paraboladescritta da una curva simmetrica rispetto all'asse verticale, al variare dei valoridella variabile xxxx con ∈∈∈∈xxxx R. La curva, che passa sempre per l'origine degli assi, per
0000>>>>aaaa si trova sopra l'asse X e rivolge la sua concavità verso l'alto mentre per0000<<<<aaaa si colloca sotto l'asse X e rivolge la sua concavità verso il basso. Il termine aaaa
è detto "apertura della parabola".Data una equazione, ad esempio 222255550000 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅==== , possiamo tabularne alcuni valori alvariare della xxxx da valori positivi a negativi, per tracciarne il grafico:
x -3 -2 -1 0 +1 +2 +3
222255550000 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅====4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
Notiamo che, per valori di x opposti fra loro come + 2 e - 2 la funzione assume lostesso valore 2. Questo è dovuto al quadrato: (((( )))) (((( )))) (((( ))))xxxxyyyyxxxxaaaaxxxxaaaaxxxxyyyy ====⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− 22222222 .Possiamo ripetere la costruzione di tabelle rispetto a qualunque altra funzione con
0000>>>>aaaa oppure con 0000<<<<aaaa , come 222255551111 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅−−−−==== :x -3 -2 -1 0 +1 +2 +3
222255551111 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅−−−−====-13.5 -6 -1.5 0 -1.5 -6 -13.5
-8-8-8-8 8888
-14-14-14-14
14141414
xxxx
yyyyy=0.5 xy=0.5 xy=0.5 xy=0.5 x2222
y=-1.5xy=-1.5xy=-1.5xy=-1.5x2222
Il significato del parametro apertura aaaa dell'equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== è il seguente:tanto più piccolo è il suo valore assoluto e tanto più la parabola è aperta; viceversa,tanto più è grande tale valore e tanto più stretta è la parabola. La figura seguentemostra, al variare del parametro aaaa come varia la forma della curva.
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xxxx
yyyy
a=0.5a=0.5a=0.5a=0.5
a=0.05a=0.05a=0.05a=0.05
a=1a=1a=1a=1 a=2a=2a=2a=2 a=4a=4a=4a=4
a=-1.5a=-1.5a=-1.5a=-1.5
a=-0.75a=-0.75a=-0.75a=-0.75
a=-0.1a=-0.1a=-0.1a=-0.1
a=-5a=-5a=-5a=-5
0000
Notiamo che, data una equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== , tanto più grande è il valore assolutodel parametro aaaa e tanto più vicino all'origine è il fuoco della parabola: infatti la
relazionekkkk
aaaa44441111
==== equivale aaaaa
kkkk44441111
==== . Se, ad esempio a=0.025 è k=10 per cui il
fuoco è in F(0; 10) ; invece se a=2.5 allora k=0.1 e il fuoco è in F(0; 0.1).
Tracciatura dei grafici: per disegnare i grafici delle parabole è opportuno, dopoaverne calcolato dei valori in una tabella, predisporre delle scale opportune di unitàdi misura lungo i due assi cartesiani. Non occorre, in generale, che il sistema debbaessere monometrico ma può, al contrario, essere formato da due diverse unità, unaper ciascun asse. In questo modo possiamo garantire al grafico di rappresentarecorrettamente tutti i numeri, dal minimo al massimo presenti nella tabella, comecoordinate dei suoi punti.
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§§§§ 2.2.2.2. PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA TRASLATATRASLATATRASLATATRASLATA EDEDEDED EQUAZIONEEQUAZIONEEQUAZIONEEQUAZIONE GENERALEGENERALEGENERALEGENERALESupponiamo di effettuare una traslazione della parabola di equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅====che sposti l'origine in un punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV detto vertice.Dobbiamo ora determinare l'equazione della parabola traslata e, per questo scopo,consideriamo due nuovi assi cartesiani X' e Y' paralleli ai vecchi assi X e Y, e passantiper il vertice. Dette x' e y' le coordinate di un qualsiasi punto della parabola P(x'; y'')misurate rispetto al nuovo sistema di riferimento X'VY', deve valere sempre la stessaequazione (((( ))))2222''''xxxxaaaa''''yyyy ⋅⋅⋅⋅==== poichè la forma e le caratteristiche delle figure noncambiano a seguito della traslazione. La legge della trasformazione che lega lecoordinate dei due sistemi di riferimento è:
0000xxxxxxxx''''xxxx −−−−==== , 0000yyyyyyyy''''yyyy −−−−====Sostituendo queste relazioni otteniamo l'equazione cercata:
(((( )))) (((( ))))2222000000002222 xxxxxxxxaaaayyyyyyyy''''xxxxaaaa''''yyyy −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅==== .
XXXX
YYYY
VVVV
OOOO xxxx0000
yyyy0000 X'X'X'X'
Y'Y'Y'Y'y=a xy=a xy=a xy=a x2222 y=a xy=a xy=a xy=a x2222+b x+c+b x+c+b x+c+b x+c
Sviluppiamo il quadrato del binomio ed isoliamo la variabile dipendente yyyy :(((( )))) 0000
222200000000
22220000
222200000000
2222 22222222 yyyyxxxxaaaaxxxxaxaxaxaxxxxxaaaayyyyyyyyxxxxxxxxxxxxxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒++++++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅==== .Denominiamo i coefficienti degli ultimi due termini con nuove lettere:
ccccyyyyxxxxaaaabbbbaxaxaxax ====++++⋅⋅⋅⋅====−−−− 00002222
000000002222 , ; sostituendoli si ha l'equazione della parabola:
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , dove 0000≠≠≠≠aaaa e cccc,,,,bbbb numeri reali.Le coordinate del vertice VVVV si ottengono dalla relazioni sopra scritte:
; aaaa
bbbbxxxxbbbbaxaxaxax2222
2222 00000000 −−−−====⇒⇒⇒⇒====−−−− ⇒⇒⇒⇒⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅
22222222
0000000000002222
0000 2222aaaabbbbaaaaccccxxxxaaaaccccyyyyccccyyyyxxxxaaaa
aaaaacacacacbbbbyyyy
aaaabbbbacacacac
aaaabbbbcccc
aaaabbbbaaaaccccyyyy
44444444
44444444
44444444
2222
0000
22222222
2222
2222
0000−−−−
−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−
====−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====
Ricordando che il discriminante di una equazione di secondo grado è
acacacacbbbb 44442222 −−−−====∆∆∆∆ , il vertice si può scrivere come ⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆
−−−−−−−−aaaa
;;;;aaaa
bbbbVVVV44442222
.
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
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Ad esempio, se trasliamo la parabola di equazione 222255551111 xxxx....yyyy ⋅⋅⋅⋅==== in modo che il nuovovertice sia nel punto V(3,V(3,V(3,V(3, 2)2)2)2) determiniamone l'equazione:
(((( )))) (((( )))) 99996666555511112222555511113333 22222222222200000000 ++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− xxxxxxxx....yyyyxxxx....yyyyxxxxxxxxaaaayyyyyyyy .
xxxx
yyyy
y=1.5 xy=1.5 xy=1.5 xy=1.5 x2222 - 6x +9 - 6x +9 - 6x +9 - 6x +9
y=1.5 xy=1.5 xy=1.5 xy=1.5 x2222 V(2; 3)V(2; 3)V(2; 3)V(2; 3)
OOOO
Come si nota dal grafico sopra riportato la parabola traslata mantiene:-la stessa forma e la stessa apertura;-la stessa concavità , verso l'alto se a>0 oppure verso il basso se a<0.
Viceversa, data una parabola di eq.ne 55552222222255550000 2222 ....xxxxxxxx....yyyy −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== determiniamo VVVV:
2222555500002222
222222220000 −−−−====
⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====
....aaaabbbbxxxx ; (((( )))) (((( ))))
⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====
⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−
−−−−====∆∆∆∆
−−−−====222299992222
22229999
555500004444555522225555000044442222
4444
2222
0000 ;;;;VVVV....
........aaaa
yyyy
2.12.12.12.1 IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni conconconcon gligligligli assi.assi.assi.assi.
I punti nei quali il grafico attraversa gli assi sono detti intersezioni. I valori dellecoordinate delle intersezioni si ricavano ponendo a zero, in un sistema, le variabilicorrispondenti all'altro asse.
IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni asseasseasseasse XXXX. Data una parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , siricavano annullando la variabile y ed il loro numero dipende dal segno deldiscriminante del trinomio di secondo grado associato, ccccaaaabbbb ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ 44442222 :
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
7
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))0
0
vertice del ascissa
neintersezio nessuna
;;;;xxxxBBBBxxxx;;;;xxxxAAAAxxxx
aaaabbbbxxxx
VVVVaaaa
bbbbxxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaa
yyyy
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
yyyy
,,,,22222222
1111111122221111
000022222222
22220000
22220000
0000
0000
00000000
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
====⋅⋅⋅⋅
∆∆∆∆±±±±−−−−====⇒⇒⇒⇒>>>>∆∆∆∆
−−−−====⇒⇒⇒⇒====∆∆∆∆
⇒⇒⇒⇒<<<<∆∆∆∆
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅
====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
====
ProprietProprietProprietProprietàààà deldeldeldel verticeverticeverticevertice nel caso di due soluzioni con 0000>>>>∆∆∆∆ .L'ascissa del vertice, è sempre data dalla media aritmetica delle ascisse delle due
intersezioni con l'asse X:2222
22221111 xxxxxxxxxxxxVVVV++++
====
DimostrazioneDimostrazioneDimostrazioneDimostrazione: ricordando la relazioneaaaa
bbbbxxxxVVVV 2222−−−−==== , basta sostituire nella
semisomma scritta sopra le soluzioni della equazione di secondo grado:
(((( ))))aaaa
bbbbaaaabbbb
aaaabbbbbbbb
aaaabbbb
aaaabbbbxxxxxxxxxxxxxxxx
222244442222
222222221111
2222222222221111
22221111
2222 2222111122221111 −−−−====
−−−−====⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆++++−−−−∆∆∆∆−−−−−−−−====⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆++++−−−−++++
∆∆∆∆−−−−−−−−====++++====
++++
IntersezioniIntersezioniIntersezioniIntersezioni asseasseasseasse Y.Y.Y.Y.
Ne esiste sempre una sola: (((( ))))cccc;;;;CCCCccccyyyy
xxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
xxxx 0000
000000002222 ⇒⇒⇒⇒
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
========
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
====.
DisegnoDisegnoDisegnoDisegno deideideidei graficigraficigraficigrafici di parabole di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 .Oltre al vertice e alle intersezioni con gli assi cartesiani è buona norma calcolare lecoordinate di qualche altro punto prendendo, come valori dati alla xxxx , dei numeri siaminori che maggiori dell'ascissa del vertice. In questo modo siamo sicuri che ilgrafico abbia una efficacia rappresentativa. I valori attribuiti, inoltre, dovrebberorispettare criteri di ragionevolezza ottenendo, possibilmente, dei numeri interi osemi interi, o frazioni, tali da poterli rappresentare facilmente.L'ampiezza delle scale lungo gli assi deve poi contenere ogni valore calcolato.
ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.
I grafici che seguono mostra delle coppie di parabole, sia con 0000>>>>aaaa (concavitàverso l'alto) che con 0000<<<<aaaa (concavità verso il basso) nei tre casi possibili con
0000<<<<∆∆∆∆ , 0000====∆∆∆∆ e 0000>>>>∆∆∆∆ . Per ognuno dei grafici vengono calcolati i valori relativi alvertice e alle intersezioni con gli assi. Ulteriori punti, collocati a sinsitra e a destradei vertici, sono visualizzati lungo le curve.
EsempioEsempioEsempioEsempio 1.1.1.1. 0000<<<<∆∆∆∆a) 44443333757575750000 2222 ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxx....yyyy ; 33334444757575750000444433334444 22222222 −−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .
22227575757500002222
33332222
−−−−====⋅⋅⋅⋅
−−−−====−−−−====....aaaa
bbbbxxxxVVVV . Per il calcolo di VVVVyyyy si può procedere in due modi:
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
8
con la formula 11117575757500004444
33334444
====⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====∆∆∆∆
−−−−====....aaaa
yyyyVVVV , oppure sostituendo VVVVxxxx nella
funzione (((( )))) (((( )))) (((( )))) 11114444222233332222757575750000 2222 ====++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. asse Y: (((( ))))44440000 ;;;;CCCC .
b) 3333222255550000 2222 −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== xxxxxxxx....yyyy ; (((( )))) (((( )))) 2222333355550000444422224444 22222222 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .
Vertice: (((( )))) 2222555500002222
22222222
====−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−====−−−−====....aaaa
bbbbxxxxVVVV ; (((( )))) 1111555500004444
22224444
−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====∆∆∆∆
−−−−====....aaaa
yyyyVVVV ;
(((( )))) 1111333322222222222255550000 2222 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV Int. asse Y: (((( ))))33330000 −−−− ;;;;CCCC
xxxx
yyyya: y=0.75 xa: y=0.75 xa: y=0.75 xa: y=0.75 x2222 +3 x + 4 +3 x + 4 +3 x + 4 +3 x + 4
b: y= -0.5xb: y= -0.5xb: y= -0.5xb: y= -0.5x2222 + 2 x - 3 + 2 x - 3 + 2 x - 3 + 2 x - 3
CCCC2222
VVVV2222
VVVV1111
CCCC1111
OOOO
EsempioEsempioEsempioEsempio 2.2.2.2. 0000====∆∆∆∆
a) ; 44442222252525250000 2222 −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== xxxxxxxx....yyyy (((( )))) (((( )))) (((( )))) 00004444252525250000444422224444 22222222 ====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .
Vertice: (((( )))) 44442525252500002222
22222222
−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====−−−−====....aaaa
bbbbxxxxVVVV ; (((( )))) 00002525252500004444
00004444
====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====∆∆∆∆
−−−−====....aaaa
yyyyVVVV
(((( )))) (((( )))) (((( )))) 00004444444422224444252525250000 2222 ====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))44440000 −−−− ;;;;CCCC .
b) 55554444333355550000 2222 ....xxxxxxxx....yyyy ++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅==== ; (((( )))) 00005555444455550000444433334444 22222222 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ........ccccaaaabbbb ;
Vertice: 3333555500002222
33332222
====⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====−−−−====....aaaa
bbbbxxxxVVVV ; 0000555500004444
00004444
====⋅⋅⋅⋅
−−−−====∆∆∆∆
−−−−====....aaaa
yyyyVVVV ;
(((( )))) 00005555444433333333333355550000 2222 ====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅======== ........xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))555544440000 ....;;;;CCCC
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
9
xxxx
yyyy
a: y=-0.25 xa: y=-0.25 xa: y=-0.25 xa: y=-0.25 x2222 - 2 x - 4 - 2 x - 4 - 2 x - 4 - 2 x - 4
b: y=0.5 xb: y=0.5 xb: y=0.5 xb: y=0.5 x2222 - 3 x + 4.5 - 3 x + 4.5 - 3 x + 4.5 - 3 x + 4.5
CCCC2222
VVVV2222
VVVV1111
CCCC1111
OOOO
EsempioEsempioEsempioEsempio 3.3.3.3. 0000>>>>∆∆∆∆
a) 6666444455550000 2222 ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxx....yyyy ; 4444666655550000444444444444 22222222 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ....ccccaaaabbbb .
Vertice: 4444555500002222
44442222
−−−−====⋅⋅⋅⋅
−−−−====−−−−====....aaaa
bbbbxxxxVVVV ; 2222555500004444
44444444
−−−−====⋅⋅⋅⋅
−−−−====∆∆∆∆
−−−−====....aaaa
yyyyVVVV ;
(((( )))) (((( )))) (((( )))) 2222666644444444444455550000 2222 −−−−====++++−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−⋅⋅⋅⋅======== ....xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))66660000 ;;;;CCCCIntersezioni asse X:
(((( )))) (((( ))))(((( ))))000022222222
00006666666655550000222222224444
2222000066664444555500000000
2222
11112222
;;;;BBBBxxxx;;;;AAAAxxxx
....aaaabbbbxxxxxxxxxxxx....xxxxyyyy
−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====
====⋅⋅⋅⋅±±±±−−−−
====∆∆∆∆±±±±−−−−
====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒==== .Pr
oprietà del vertice: (((( )))) 44442222
222266662222
22221111 −−−−====−−−−++++−−−−
====++++
====xxxxxxxxxxxxVVVV .
b) 75757575111155551111252525250000 2222 ....xxxx....xxxx....yyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== ; (((( )))) 44447575757511112525252500004444555511114444 22222222 ====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ............ccccaaaabbbb .
Vertice: (((( )))) 33332525252500002222
555511112222
====−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−====−−−−====....
....aaaa
bbbbxxxxVVVV ; (((( )))) 44442525252500004444
44444444
====−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−====∆∆∆∆
−−−−====....aaaa
yyyyVVVV ;
(((( )))) 44447575757511113333555511113333252525250000 2222 ====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−======== ............xxxxyyyyyyyy VVVVVVVV . Int. Asse Y: (((( ))))7575757511110000 ....;;;;CCCC .Intersezioni asse X:
(((( )))) (((( ))))(((( ))))000077777777
0000111111112525252500002222
22227575757511112222
00007575757511115555111125252525000000002222
11112222
;;;;BBBBxxxx;;;;AAAAxxxx
........
aaaabbbbxxxx....xxxx....xxxx....xxxxyyyy
++++⇒⇒⇒⇒++++====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====
====⋅⋅⋅⋅
±±±±−−−−====
∆∆∆∆±±±±−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒====
Proprietà del vertice: 33332222
777711112222
22221111 ====++++−−−−
====++++
====xxxxxxxxxxxxVVVV .
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
10
xxxx
yyyy
y=0.5 xy=0.5 xy=0.5 xy=0.5 x2222 + 4 x + 6 + 4 x + 6 + 4 x + 6 + 4 x + 6 a: a: a: a:
b: y= -0.25 xb: y= -0.25 xb: y= -0.25 xb: y= -0.25 x2222 + 1.5 x + 1.75 + 1.5 x + 1.75 + 1.5 x + 1.75 + 1.5 x + 1.75
OOOOAAAA2222 BBBB2222
CCCC2222
VVVV2222
AAAA1111 BBBB1111
VVVV1111
CCCC1111
2.2.2.2. 2222 ParaboleParaboleParaboleParabole conconconcon equazioniequazioniequazioniequazioni incomplete.incomplete.incomplete.incomplete.
ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon verticeverticeverticevertice sull'assesull'assesull'assesull'asse YYYY : caso ⇒⇒⇒⇒≠≠≠≠∧∧∧∧==== 00000000 ccccbbbb ccccxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 .
Nel caso di b=0 il vertice si trova sull'asse Y: 000022220000
2222====−−−−====−−−−====
aaaaaaaabbbbxxxxVVVV .
(((( ))))cccc;;;;VVVVccccaaaa
ccccaaaaaaaa
yyyyccccaaaaccccaaaa VVVV 000044444444
44444444444400002222 ⇒⇒⇒⇒====
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆
−−−−====⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ .
Le intersezioni con l'asse X possono esistere oppure no a seconda dei segni dei duecoefficienti per cui, in base al segno del loro prodotto, abbiamo:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛−−−−++++⇒⇒⇒⇒−−−−++++====
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−====
====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒<<<<
⇒⇒⇒⇒<<<<
⇒⇒⇒⇒>>>>⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒>>>>
⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅
0000
0000
00000000
0000
00000000
2222
1111
22222222
X assel' sotto parabola
X assel' sopra parabola X assel' con neintersezio nessuna
;;;;aaaaccccBBBB
aaaaccccxxxx
;;;;aaaaccccAAAA
aaaaccccxxxx
xxxxaaaaccccxxxxccccxxxxaaaa
aaaa
aaaa
ccccaaaa
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
11
ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.ESEMPI.
Si riportano di seguito degli esempi, relativi al caso trattato che, oltre a riportare neigrafici il vertice e le intersezioni con gli assi, visualizzano anche altri punti dispostiattorno al vertice.
EsempioEsempioEsempioEsempio 1111 ....
a) ⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅==== 000075757575000033332525252500003333252525250000 2222 ........ccccaaaaxxxx....yyyy 0 intersezioni asse X.Vertice ed intersezione asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; 3)3)3)3) .
b) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== 00001111222255550000222255550000 2222 ....ccccaaaaxxxx....yyyy 2 intersezione asse X.(((( ))))(((( ))))00002222
000022222222
555500002222
;;;;BBBB;;;;AAAA
....aaaaccccxxxx
++++−−−−
⇒⇒⇒⇒±±±±====−−−−
−−−−±±±±====−−−−±±±±==== ; Vertice e int. asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; 2)2)2)2) .
xxxx
yyyy
a: y = 0.25 xa: y = 0.25 xa: y = 0.25 xa: y = 0.25 x2 2 2 2 + 3+ 3+ 3+ 3
b: y = -0.5 xb: y = -0.5 xb: y = -0.5 xb: y = -0.5 x2222 + 2 + 2 + 2 + 2
OOOO
VVVV1111
VVVV2222
AAAA BBBB
EsempioEsempioEsempioEsempio 2222.
a) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== 0000555500002222125125125125000022221251251251250000 2222 ........ccccaaaaxxxx....yyyy 2 int. Asse X:(((( ))))(((( ))))00004444
000044444444
12512512512500002222
;;;;BBBB;;;;AAAA
....aaaaccccxxxx
++++−−−−
⇒⇒⇒⇒±±±±====−−−−
−−−−±±±±====−−−−±±±±==== . Vertice e int. Asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; 2)2)2)2) .
b) (((( )))) ⇒⇒⇒⇒>>>>++++====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−==== 000055550000111155550000111155550000 2222 ........ccccaaaaxxxx....yyyy 0 intersezioni asse X.Vertice e intersezione asse Y in V(0;V(0;V(0;V(0; -1)-1)-1)-1) .
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
12
xxxx
yyyy
AAAA BBBB
VVVV1111
VVVV2222
b: y=-1.25xb: y=-1.25xb: y=-1.25xb: y=-1.25x2222-1-1-1-1
a: y=-0.125xa: y=-0.125xa: y=-0.125xa: y=-0.125x2222+2+2+2+2
OOOO
ParabolaParabolaParabolaParabola passantepassantepassantepassante perperperper l'origine.l'origine.l'origine.l'origine. Caso xxxxbbbbxxxxaaaayyyyccccbbbb ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====∧∧∧∧≠≠≠≠ 222200000000 .
L' origine (((( ))))00000000 ;;;;OOOO appartiene alla parabola: (((( )))) 0000000000000000 2222 ====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== bbbbaaaayyyy .
Vertice:aaaa
bbbbxxxxVVVV 2222−−−−==== ; 22222222 00004444 bbbbaaaabbbb ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ ; ⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====
⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆
−−−−====aaaa
bbbb;;;;aaaa
bbbbVVVVaaaa
bbbbaaaa
yyyyVVVV 4444222244444444
22222222 .
Intersezioni asse X:
(((( ))))(((( ))))
⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====
⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅
0000
00000000000000000000
2222
11112222
;;;;aaaabbbbAAAA
aaaabbbbxxxx
; ; ; ; OOOOxxxxbbbbxxxxaaaaxxxxxxxxbbbbxxxxaaaa .
ESEMPIESEMPIESEMPIESEMPI
Si riportano di seguito degli esempi di parabole passanti per l'origine che, oltre ariportare nei grafici il vertice e le intersezioni con gli assi, ne visualizzano anche altripunti disposti attorno al vertice.
EsempioEsempioEsempioEsempio 1:1:1:1: xxxxxxxxyyyy ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 555544445555 2222 .
Intersezioni asse X: (((( ))))00000000 ;;;;OOOO , (((( ))))00004444444444445555
5555 ;;;;AAAAaaaabbbbxxxx −−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−====−−−−==== .
Vertice: 2222444455552222
55552222
−−−−====⋅⋅⋅⋅
−−−−====−−−−====aaaa
bbbbxxxxVVVV ; (((( ))))555522225555444455554444
55554444
22222222−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====
⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−==== ;;;;VVVV
aaaabbbbyyyyVVVV
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
13
xxxx
yyyy
AAAA
y = 1.25 x y = 1.25 x y = 1.25 x y = 1.25 x2222 + 5 x + 5 x + 5 x + 5 x
OOOO
VVVV
EsempioEsempioEsempioEsempio 2:2:2:2: xxxxxxxxyyyy ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−==== 333322221111 2222 .
Intersezioni asse X: (((( ))))00000000 ;;;;OOOO , (((( ))))00006666666622221111
3333 ;;;;AAAAaaaabbbbxxxx ⇒⇒⇒⇒====
−−−−−−−−====−−−−==== .
Vertice: (((( )))) 3333222211112222
33332222
====−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−====−−−−====aaaa
bbbbxxxxVVVV , (((( )))) (((( ))))5555444433335555444422229999
2222111144443333
4444
22222222....;;;;VVVV....
aaaabbbbyyyyVVVV ⇒⇒⇒⇒========
−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====
xxxx
yyyy
y= - 0.5 xy= - 0.5 xy= - 0.5 xy= - 0.5 x2 2 2 2 + 3 x+ 3 x+ 3 x+ 3 x
OOOO
VVVV
AAAA
EsempiEsempiEsempiEsempi 3333 eeee 4444: il grafico è riportato in figura ma ne lasciamo per esercizio losvolgimento dei calcoli per ricavare intersezioni e vertici come sopra.
xxxx
yyyy
VVVV 1111
a : y = -0 .25 xa : y = -0 .25 xa : y = -0 .25 xa : y = -0 .25 x 2222 - 2 x - 2 x - 2 x - 2 x
AAAA1111
OOOO
b : y = xb : y = xb : y = xb : y = x2222 - 4 x - 4 x - 4 x - 4 x
AAAA2222
VVVV 2222
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
14
2. 3 PARABOLA AD ASSE ORIZZONTALE.
Data una parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , se si scambiano lelettere si ottiene una equazione (non una funzione) che rappresenta la curvasimmetrica rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante (eq. y=x) ed il suoasse di simmetria è orrizzontale: ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 .Essendo state scambiate le posizioni delle lettere vengono scambiate anche le
coordinate delle intersezioni del vertice: ⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−
∆∆∆∆−−−−
aaaabbbb;;;;
aaaa''''VVVV
22224444
xxxx
yyyy
x = a yx = a yx = a yx = a y2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c
y = a xy = a xy = a xy = a x2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c
V'V'V'V'
y = xy = xy = xy = xVVVV
AAAA BBBB
A'A'A'A'
B'B'B'B'
OOOO
L'equazione ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 non rappresenta però una funzione in quanto perqualche valore attribuito alla variabile indipendente, kkkkxxxx ==== ,esistono due distintivalori della variabile dipendente 22221111 ,,,,yyyyyyyy ==== , come mostra la figura .
xxxx
yyyy
x = a yx = a yx = a yx = a y 2222 + b y + c + b y + c + b y + c + b y + c
x = kx = kx = kx = k
y= yy= yy= yy= y1111
y= yy= yy= yy= y2222
OOOO
a sse d i sim m et ria a sse d i sim m et ria a sse d i sim m et ria a sse d i sim m et ria
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
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§ 3 MUTUA POSIZIONE FRA PARABOLA E RETTA
3.13.13.13.1 ParabolaParabolaParabolaParabola eeee rettarettarettaretta obliqua.obliqua.obliqua.obliqua.I punti di intersezione fra una parabola di equazione ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 ed unaretta di equazione qqqqxxxxmmmmyyyy ++++⋅⋅⋅⋅==== possono essere al massimo due e si determinanorisolvendo il sistema algebrico delle loro equazioni:
(((( ))))⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅========−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
qqqqxxxxmmmmyyyyqqqqccccxxxxmmmmbbbbxxxxaaaa
qqqqxxxxmmmmyyyyqqqqxxxxmmmmccccxxxxbbbbxxxxaaaa
qqqqxxxxmmmmyyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy 00000000 222222222222
Ill discriminante dell'equazione di secondo grado è: (((( )))) ccccaaaammmmbbbb ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 444422221111 ;
distinguiamo i 3 casi possibili in base al segno del discriminante:
secante retta :neintersezio di punti due per distinti e reali valori 2 tangente retta : punto solo un in icoincident soluzioni e reale valore 1
esterna retta :comune in punto nessun e reali valori 0
1 ⇒⇒⇒⇒>>>>∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒<<<<∆∆∆∆
000000000000
1111
1111
La figura riporta qualitativamente i tre casi possibili:
xxxx
yyyy
RRRReeeettttttttaaaa ttttaaaannnnggggeeeennnntttteeee iiiinnnn
PPPPRRRReeeettttttttaaaa eeeesssstttteeeerrrrnnnnaaaa
RRRReeeettttttttaaaa sssseeeeccccaaaa nnnn tttteeee iiiinnnn AAAA eeee BBBB
OOOO
PPPP
AAAA
BBBB
Nel caso specifico di retta orizzontale (m=0 ed equazione qqqqyyyy ==== ) la retta tangente algrafico della parabola ha necessariamente, come punto di contatto, il vertice . Inquesto caso, se invece la retta è secante, il vertice si deve trovare sopra di essa nelcaso di concavità rivolta verso l'alto oppure, se la concavità è verso il basso, il verticesi trova più in basso della retta.EsempioEsempioEsempioEsempio 1111 .... Determinare la posizione delle tre rette di equazioni a:a:a:a: y=-2x+8y=-2x+8y=-2x+8y=-2x+8 ,
bbbb :::: y=-x-6y=-x-6y=-x-6y=-x-6 eeee c:c:c:c: y=x-4y=x-4y=x-4y=x-4 rispetto alla parabola di eq. 4444333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy .
a)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−−−−−====
====++++−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−−−−−====
−−−−−−−−====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−−−−−====
−−−−−−−−====
88882222
0000444422221111
88882222
888822224444333322221111
88882222
4444333322221111 222222222222
xxxxyyyy
xxxxxxxx
xxxxyyyy
xxxxxxxxxxxx
xxxxyyyy
xxxxxxxxyyyy
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(((( )))) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 0000777744442222111144441111 2222
aaaa nessuna soluzione (retta esterna).
b)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−−−−−====
====++++−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−−−−−====
====++++++++−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−−−−−====
−−−−−−−−====
6666
00002222222222221111
6666
000066664444333322221111
6666
4444333322221111 222222222222
xxxxyyyy
xxxxxxxx
xxxxyyyy
xxxxxxxxxxxx
xxxxyyyy
xxxxxxxxyyyy
(((( )))) ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 000022222222111144442222 2222
bbbb 1 soluzione (retta tangente):
2222222211112222
2222====
⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====PPPPxxxx ; 888866662222 −−−−====−−−−−−−−====PPPPyyyy ; (((( ))))88882222 −−−− ;;;;PPPP .
c)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====
========
⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−====
====++++−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−====
−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====
444488880000
0000444422221111
4444
000044444444333322221111
4444
4444333322221111
2222
1111222222222222
xxxxyyyyxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxyyyy
xxxxxxxxxxxx
xxxxyyyy
xxxxxxxxyyyy
(((( )))) ⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 00001616161600002222111144444444 2222
cccc due soluzioni (retta secante) in A(0; -4) e B(8; 4).
Grafico dell'esempio 1.
xxxx
yyyy
c : y=x-4c : y=x-4c : y=x-4c : y=x-4
b: y=-x-6b: y=-x-6b: y=-x-6b: y=-x-6
a : y=-2x-8a : y=-2x-8a : y=-2x-8a : y=-2x-8
OOOO
4444333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy
AAAA
BBBB
PPPP
EsempioEsempioEsempioEsempio 2222.
Determinare la posizione delle tre rette di equazioni a:a:a:a: y=x-1.5y=x-1.5y=x-1.5y=x-1.5 ,
bbbb :::: y=2x+1y=2x+1y=2x+1y=2x+1 eeee c:c:c:c: y=4x-2.5y=4x-2.5y=4x-2.5y=4x-2.5 rispetto alla parabola di eq. 444488882222 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy .
a)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−========++++−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−========++++−−−−++++−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−====−−−−++++−−−−====
555511110000333377772222
555511110000555544448888222255551111
555511115555444488882222 222222222222
....xxxxyyyyxxxxxxxx
....xxxxyyyy....xxxxxxxx....xxxx
....xxxxyyyy....xxxxxxxxyyyy
(((( )))) ⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 0000252525253333222244447777 2222aaaa 2 soluzioni (retta secante) di 2 intersezioni:
(((( )))) (((( ))))(((( ))))555511113333555511115555111133333333
1111555500001111555511115555000055550000222211114444
5555777722222222
25252525777722222222
11111111
....;;;;BBBB........yyyyxxxx;;;;....AAAA........yyyy....xxxx
xxxx
⇒⇒⇒⇒====−−−−====⇒⇒⇒⇒====
−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−−====⇒⇒⇒⇒============
±±±±====
⋅⋅⋅⋅±±±±−−−−−−−−
==== .
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
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b)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++========++++−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++========++++−−−−++++++++⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++====−−−−++++−−−−====
1111222200005555555566662222
111122220000555544448888222211112222
111122225555444488882222 222222222222
xxxxyyyy....xxxxxxxx
xxxxyyyy....xxxxxxxxxxxx
xxxxyyyy....xxxxxxxxyyyy
(((( )))) ⇒⇒⇒⇒<<<<−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 0000888855555555222244446666 2222 ....bbbb 0 soluzioni (retta esterna): nessun contatto.
c)⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−========++++−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−========++++−−−−++++−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++====−−−−++++−−−−====
5555222244440000222244442222
55552222444400005555444488882222555522224444
111122225555444488882222 222222222222
....xxxxyyyyxxxxxxxx
....xxxxyyyy....xxxxxxxx....xxxx
xxxxyyyy....xxxxxxxxyyyy
(((( )))) ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ 00002222222244444444 2222cccc 1 soluzione (retta tangente) di 1 intersezione:
(((( )))) (((( ))))5555222211115555111155552222111144441111222222224444 ....;;;;PPPP........yyyyxxxx PPPPPPPP ⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====
⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−
==== .
xxxx
yyyy
5555444488882222 2222 ....xxxxxxxxyyyy −−−−++++−−−−====
PPPP
AAAA
BBBB
a: y = x - 1.5 a: y = x - 1.5 a: y = x - 1.5 a: y = x - 1.5
c: y = 4 x - 2.5c: y = 4 x - 2.5c: y = 4 x - 2.5c: y = 4 x - 2.5
b: y = 2 x + 1 b: y = 2 x + 1 b: y = 2 x + 1 b: y = 2 x + 1
OOOO
3.3.3.3. 2222 ParabolaParabolaParabolaParabola eeee rettarettarettaretta verticale.verticale.verticale.verticale.
Qualsiasi parabola di equazione generale ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 interseca sempre unaretta verticale, di equazione kkkkxxxx ==== , in un solo punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP che si ottiene inmodo immediato risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni:
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
====
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
kkkkxxxxcccckkkkbbbbkkkkaaaayyyy
kkkkxxxxccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
0000
22220000
2222
EsempioEsempioEsempioEsempio: le rette verticali di equazioni rispettivamente 4444−−−−====xxxx e 5555====xxxx ,rapparesentate nella figura seguenete, incontrano la parabola di equazione
444444441111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy nei due punti, rispettivamente A(-4;A(-4;A(-4;A(-4; +4)+4)+4)+4) e B(+5;B(+5;B(+5;B(+5; -2.75)-2.75)-2.75)-2.75):
A: x=-4x=-4x=-4x=-4 ⇰ (((( )))) (((( )))) (((( )))) 4444444444444444444411114444 2222 ====−−−−−−−−−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−yyyy ; B: x=5x=5x=5x=5 ⇰ (((( ))))
444411111111444455555555
444411115555 2222 −−−−====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====yyyy
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
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xxxx
yyyy
x=-4x=-4x=-4x=-4 x=5x=5x=5x=5
AAAA
BBBB
OOOO
3.3.3.3. 3333 TangentiTangentiTangentiTangenti adadadad unaunaunauna parabolaparabolaparabolaparabola condottecondottecondottecondotte dadadada unununun punto.punto.punto.punto.
Il fascio di rette che passa per un qualunque punto (((( ))))11111111 yyyy;;;;xxxxPPPP , di equazione(((( ))))11111111 xxxxxxxxmmmmyyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− , al variare del coefficiente in ∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− mmmm rappresenta tutte le
possibili rette escludendo la retta verticale che, come si è già visto, è sempre secante.Il sistema algebrico formato dall'equazione del fascio per (((( ))))11111111 yyyy;;;;xxxxPPPP e l'equazione
della parabola ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , determina le possibili soluzioni:
(((( ))))(((( ))))
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅++++++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
11111111
1111111111112222
11111111
111111112222
11111111
2222 00000000yyyyxxxxmmmmxxxxmmmmyyyy
yyyyxxxxmmmmccccxxxxmmmmbbbbxxxxaaaayyyyxxxxmmmmxxxxmmmmyyyy
yyyyxxxxmmmmxxxxmmmmccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyyxxxxxxxxmmmmyyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
Il discriminante dell'equazione di secondo grado del sistema è dato da:(((( )))) (((( ))))11111111
22221111 4444 yyyyxxxxmmmmccccaaaammmmbbbb −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆
Supponendo noti i coefficienti b b b b ,,,,aaaa e cccc , Il segno del 1111∆∆∆∆ dipende solo dal valoredel coefficiente angolare mmmm al suo variare in ∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− mmmm : una retta del fascio ètangente, per un dato valore del suo coefficiente mmmm , se si verifica la condizione perla quale si ottiene una sola soluzione, ovvero 00001111 ====∆∆∆∆ .Esistono tre possibilità (vedi figura seguente):- Il punto P è interno alla parabola, con 00001111 <<<<∆∆∆∆ : non esistono rette tangenti.- Il punto P' appartiene alla parabola, con 00001111 ====∆∆∆∆ : 1 retta tangente nel punto P.'- Il punto P'' è esterno alla parabola, con 00001111 >>>>∆∆∆∆ : 2 rette tangenti in A e in B.
xxxx
yyyy
P ''P ''P ''P ''
AAAA
BBBB
tttt 1111tttt2222
OOOO
PPPPP'P'P'P'
tttt
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
19
EsempioEsempioEsempioEsempio 1111.
Determinare le rette tangenti alla parabola di eq.ne 444444441111 2222 −−−−==== xxxxyyyy e passanti per il
punto P(0;P(0;P(0;P(0; -5)-5)-5)-5).
Scriviamo il sistema formato dalla parabola e dal fascio di rette nel parametro mmmm :
00005555
0000111144441111
5555
00005555444444441111
5555
888822221111
1111
222222222222====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−⋅⋅⋅⋅====
====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−⋅⋅⋅⋅====
====++++⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−⋅⋅⋅⋅====
−−−−====
xxxxmmmmyyyy
xxxxmmmmxxxx
xxxxmmmmyyyy
xxxxmmmmxxxx
xxxxmmmmyyyy
xxxxyyyy
Imponiamo la condizione di unicità della soluzione per determinare le tangenti:
(((( ))))5555111155551111
1111000011111111444411114444
22222222
111111112222222222221111 −−−−++++====⇒⇒⇒⇒++++====
−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆
xxxxyyyy::::ttttmmmmxxxxyyyy::::ttttmmmm
mmmmmmmmmmmm
Risolviamo il sistema precedente sostituendovi, uno per volta, i valori calcolati perdeterminare i punti di contatto fra le rette tangenti e la parabola:
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))33332222
33332222
3333555522225555111133335555222255551111
5555
22220000444444441111
22220000444444441111000044444444
5555
0000111144441111
2222
1111
22222222
11112222
2222
2222
−−−−++++
−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====−−−−++++====⇒⇒⇒⇒−−−−++++====⇒⇒⇒⇒++++====
−−−−====−−−−−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====
++++====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒++++====
−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−⋅⋅⋅⋅====
====++++⋅⋅⋅⋅−−−−
;;;;BBBB
;;;;AAAA
yyyyxxxxyyyymmmmyyyyxxxxyyyymmmm
xxxxmmmmyyyy
xxxxxxxxxxxxmmmm
xxxxxxxxxxxxmmmmxxxxmmmmxxxx
xxxxmmmmyyyy
xxxxmmmmxxxx
xxxx
yyyy
P (0;-5)P (0;-5)P (0;-5)P (0;-5)
444444441111 2222 −−−−==== xxxxyyyy
tttt1111::::5555−−−−−−−−==== xxxxyyyy
tttt2222::::5555−−−−==== xxxxyyyy
A(-2;-3)A(-2;-3)A(-2;-3)A(-2;-3) B(2;-3)B(2;-3)B(2;-3)B(2;-3)
OOOO
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
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20
EsempioEsempioEsempioEsempio 2.2.2.2.
Determinare le rette tangenti alla parabola di eq.ne 333322222222 ++++++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy e passanti peril punto P(2;P(2;P(2;P(2; 7)7)7)7).
Scriviamo il sistema formato dalla parabola e dal fascio di rette nel parametro mmmm :
(((( ))))(((( )))) 0000
777722220000222244442222
7777222200003333222277772222
7777222233332222
1111
222222222222====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−++++++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++++++−−−−====
mmmmxxxxmmmmyyyymmmmxxxxmmmmxxxx
mmmmxxxxmmmmyyyyxxxxxxxxmmmmxxxxmmmm
xxxxmmmmyyyyxxxxxxxxyyyy
Imponiamo la condizione di unicità della soluzione per determinare le tangenti:
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))6666888822220000
22220000222288882222222244441111444422222222
1111222222221111 −−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−
++++====⇒⇒⇒⇒====−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−⋅⋅⋅⋅++++−−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆
mmmmmmmm
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
Ret
te tangenti: : , : 19191919666633332222 22221111 ++++−−−−====++++==== xxxxyyyyttttxxxxyyyytttt
Determiniamo i punti di tangenza risolvendo il sistema precedente una voltasostituite le equazioni delle due rette tangenti al posto dell'eq. del fascio:
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))555544445555191919196666
444400001616161688886666
33330000333333332222000000002222
777722220000222244442222
2222
22222222
2222
1111
11112222
11112222
−−−−⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
−−−−====⇒⇒⇒⇒++++−−−−========⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−
⇒⇒⇒⇒−−−−====
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
====⇒⇒⇒⇒++++========⇒⇒⇒⇒====
⇒⇒⇒⇒++++====
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++−−−−⋅⋅⋅⋅========−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++
;;;;BBBByyyyxxxxyyyyxxxxxxxxxxxxmmmm
;;;;AAAAyyyyxxxxyyyyxxxxxxxxmmmm
xxxxmmmmyyyymmmmxxxxmmmmxxxx
xxxx
yyyy P(2;7)P(2;7)P(2;7)P(2;7)
A(0;3)A(0;3)A(0;3)A(0;3)
B(4;-5)B(4;-5)B(4;-5)B(4;-5)
333322222222 ++++++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy
tttt1111: : : : 33332222 ++++==== xxxxyyyy
tttt2222::::191919196666 ++++−−−−==== xxxxyyyy
OOOO
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21
3.43.43.43.4 TangenteTangenteTangenteTangente inininin unununun puntopuntopuntopunto delladelladelladella parabola.parabola.parabola.parabola.
Dato un punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP appartenente alla parabola di equazione
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , vogliamo determinare l'equazione della retta tangente in talepunto. A tale scopo scriviamo e sviluppiamo di seguito il sistema algebrico formatodal fascio di rette di centro PPPP e dall'equazione della parabola:
(((( ))))⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
xxxxmmmmxxxxmmmmyyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaaccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
xxxxxxxxmmmmyyyyyyyy2222
000000002222
222200000000 0000
L'equazione di secondo grado associata al sistema è, raggruppandone i termini evisulizzandone le due soluzioni coincidenti nello stesso valore 0000xxxx , la seguente:
(((( ))))00002222
00001111
1111
00000000
1111
2222 0000xxxxxxxxxxxxxxxx
ccccxxxxmmmmyyyyccccxxxx
bbbbmmmmbbbbxxxxaaaa
====
====⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++⋅⋅⋅⋅
44 344 21321
Per la nota proprietà delle soluzioni dell'equazione di secondo grado, si ha anche:
0000
0000222200002222
000000000000
222211111111
00000000222211111111 22222222
xxxxccccyyyyxxxxaaaammmmxxxx
aaaayyyyxxxxmmmmccccxxxxxxxx
aaaacccc
bbbbxxxxaaaammmmxxxxaaaa
mmmmbbbbxxxxxxxxaaaabbbb
−−−−++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====
−−−−⋅⋅⋅⋅++++⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅====
++++⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====−−−−
−−−−⇒⇒⇒⇒++++====−−−−
Entrambe le equazioni determinano il valore di mmmm in funzione del punto P.P.P.P.In base all' equazione ottenuta dalla proprietà della somma delle radici ricaviamol'equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P:P:P:P:
(((( )))) (((( ))))000000000000 2222 xxxxxxxxbbbbxxxxaaaayyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−
Poichè (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP appartiene alla parabola deve essere: ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 0000222200000000 , il
sistema inziale diventa il seguente che sviluppiamo:(((( )))) (((( ))))
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
xxxxbbbbxxxxbbbbxxxxaaaaxxxxxxxxaaaaccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyyccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
xxxxxxxxbbbbxxxxaaaayyyyyyyy
0000222200000000
00002222000000000000
22220000
0000222200000000
000000000000 222222222222
Aggiungiamo ai due membri della prima equazione il termine ccccxxxxbbbb 22222222 0000 ++++⋅⋅⋅⋅ poi,
dopo avere sostituito il termine ccccxxxxbbbbxxxxaaaa ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ 000022220000 con 0000yyyy otteniamo:
(((( ))))⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
====++++++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====++++⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
ccccxxxxxxxxbbbbxxxxxxxxaaaayyyyyyyy
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
ccccxxxxbbbbxxxxbbbbxxxxxxxxaaaaccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
0000222200000000
000000000000
0000222200000000
00000000000022220000 00002222222222222222
Infine, dividiamo la prima equazione per 2 ed otteniamo l'eq. della tangente in P:P:P:P:
FormulaFormulaFormulaFormula didididi sdoppiamentosdoppiamentosdoppiamentosdoppiamento: ccccxxxxxxxxbbbbxxxxxxxxaaaayyyyyyyy++++
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
++++22222222
00000000
0000 .
La formula di sdoppiamento può ricordarsi facilmente se si pensa di sostituirenell'equazione della parabola, ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , i termini in questo modo:
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22
xxxxxxxx ⋅⋅⋅⋅0000 al posto di 2222xxxx ,2222
0000xxxxxxxx ++++ al posto di xxxx e2222
0000yyyyyyyy ++++ al posto di yyyy .
Nel caso di parabolaparabolaparabolaparabola adadadad asseasseasseasse orizzontaleorizzontaleorizzontaleorizzontale , di equazione ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 , calcolianaloghi ai precedenti portano alle formule della retta tangente in un suo
punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxPPPP :bbbbyyyyaaaa
mmmm++++⋅⋅⋅⋅
====00002222
1111 ed equazione (((( ))))00000000
0000 22221111 xxxxxxxx
bbbbyyyyaaaayyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅
++++⋅⋅⋅⋅====−−−− ;
La formula di sdoppiamento diventa in tal caso: ccccyyyyyyyybbbbyyyyyyyyaaaaxxxxxxxx++++
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
++++22222222
00000000
0000 .
EsempioEsempioEsempioEsempio 1111.
Determinare la retta tangente alla parabola di eq. 8888333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy in P(2;-12)
Determiniamo la retta tangente in due modi:
- Calcolando il coefficiente e poi sostituendolo nell'equazione del fascio per PPPP:
1111333322222222111122222222 0000 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅==== bbbbxxxxaaaammmm ; (((( )))) (((( )))) 10101010121212122222111100000000 −−−−−−−−====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====++++−−−−⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxxyyyyxxxxxxxxmmmmyyyy .
- Usando la formula di sdoppiamento ccccxxxxxxxxbbbbxxxxxxxxaaaayyyyyyyy++++
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
++++22222222
00000000
0000 :
10101010161616166666333322221212121288882222
22223333222222221111
222212121212
−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−++++
−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====−−−− xxxxyyyyxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxyyyy .
-10-10-10-10 10101010
-10-10-10-10
10101010
xxxx
yyyy
OOOO
P ( 2; -12)P ( 2; -12)P ( 2; -12)P ( 2; -12)
t:t:t:t: 10101010−−−−−−−−==== xxxxyyyy
8888333322221111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy
EsempioEsempioEsempioEsempio 2222. Determinare la retta tangente alla parabola di equazione333377772222 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy in P(1;2)P(1;2)P(1;2)P(1;2). Con la formula del coefficiente angolare:
(((( )))) (((( )))) (((( )))) 11113333222211113333333377771111222222222222 000000000000 −−−−====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅====++++⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxxyyyyxxxxxxxxmmmmyyyybbbbxxxxaaaammmm .Con la formula di sdoppiamento:
111133336666777777774444222233332222
11117777111122222222
2222−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−++++++++−−−−====++++⇒⇒⇒⇒−−−−
++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====
++++ xxxxyyyyxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxyyyy .
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
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23
-8-8-8-8 8888
-4-4-4-4
4444
xxxx
yyyy t:t:t:t: 11113333 −−−−==== xxxxyyyy
333377772222 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyyP(1; 2)P(1; 2)P(1; 2)P(1; 2)
EsempioEsempioEsempioEsempio 3333 . Determinare la retta tangente alla parabola di equazione
3333555544443333 2222 −−−−++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx in P(4;2)P(4;2)P(4;2)P(4;2) . Con la formula del coefficiente angolare:
(((( )))) (((( )))) (((( )))) xxxxxxxxyyyyxxxxxxxxmmmmyyyybbbbyyyyaaaa
mmmm ⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒====++++⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅
====++++⋅⋅⋅⋅
====2222111122224444
22221111
22221111
555522224444333322221111
22221111
000000000000
Co
n la formula di sdoppiamento:
xxxxyyyyxxxxyyyyyyyyyyyyxxxxyyyyyyyyxxxx22221111222244441212121220202020101010106666888822223333
2222222255552222
44443333
22224444
====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒−−−−++++++++−−−−====++++⇒⇒⇒⇒−−−−++++
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====++++
-12-12-12-12 12121212
-8-8-8-8
8888
xxxx
yyyy
xxxxyyyy22221111
====
P(4; 2)P(4; 2)P(4; 2)P(4; 2)33335555
44443333 2222 −−−−++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx
t:t:t:t:
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
24
§ 4 STUDIO DEL SEGNO DEL TRINOMIO ccccxxxxbbbbxxxxaaaa ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ 2222
Risolvere disequazioni del tipo 00002222 >>>>++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa oppure 00002222 <<<<++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaasignifica trovare gli intervalli di numeri reali della variabile xxxx per i quali lafunzione ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 assume segni rispettivamente positivo e negativo.A questo scopo si può utilizzare il grafico della parabola per determinarli: gliintervalli che risolvono la disequazione 00002222 >>>>++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa sono quelli per cui ilgrafico della parabola si trova sopra l'asse X mentre quelli che risolvono ladisequazione 00002222 <<<<++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa sono quelli per i quali il grafico si trova sotto taleasse. In base ai coefficienti si hanno i sei casi fondamentali qui illustrati .
0 <<<<∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000
y>0:y>0:y>0:y>0:∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− xxxx
1111
xxxx1111=x=x=x=x222200000000 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa
y>0:y>0:y>0:y>0:x<xx<xx<xx<x1111Ux>xUx>xUx>xUx>x2222
y(xy(xy(xy(x1,21,21,21,2)=0)=0)=0)=0
0 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000
2222
xxxx1111 xxxx2222
y>0:y>0:y>0:y>0:x<xx<xx<xx<x1 1 1 1 U x>xx>xx>xx>x2222
0 >>>>∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000
y<0:y<0:y<0:y<0: x x x x1111<x<x<x<x<x<x<x<x2222
3333
0 <<<<∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000
y<0: y<0: y<0: y<0:∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− xxxx
4444
00000000 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa
y<0:y<0:y<0:y<0: ∞∞∞∞<<<<<<<<∞∞∞∞−−−− xxxx
y(xy(xy(xy(x1,21,21,21,2)=0)=0)=0)=0
0 ====∆∆∆∆>>>> ,,,,aaaa 0000
5555
xxxx1111 xxxx2222y<0:y<0:y<0:y<0:x<xx<xx<xx<x1 1 1 1 U x>xx>xx>xx>x2222
0 >>>>∆∆∆∆<<<< ,,,,aaaa 0000
y>0:y>0:y>0:y>0: x x x x1111<x<x<x<x<x<x<x<x2222
6666
IlIlIlIl metodometodometodometodo graficograficograficografico delladelladelladella parabolaparabolaparabolaparabola :è basato sull'esame dei grafici (i 6 casi illustrati sopra) delle parabole associate aitrinomi di secondo grado per cui si risolvono le relative disequazioni del tipo
00002222<<<<≥≥≥≥
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ ccccxxxxbbbbxxxxaaaa : prima si determina il segno del discriminante ∆∆∆∆ e, dopo avere
calcolato le eventuali soluzioniaaaa
bbbbxxxx ,,,, 222222221111∆∆∆∆±±±±−−−−
==== e tracciato l'andamento delle
rispettive parabole, si determinano gli intervalli delle soluzioni.EsempiEsempiEsempiEsempi didididi disequazionidisequazionidisequazionidisequazioni risolterisolterisolterisolte conconconcon ilililil metodometodometodometodo graficograficograficografico.
1) 0 >>>>++++−−−− 1212121255552222 2222 xxxxxxxx ; (((( ))))22223333
1111222222221111555500001111333322224444555500002222 2222 ====⋅⋅⋅⋅±±±±
====⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆>>>>==== xxxxaaaa ;
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
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25
Dal grafico si deduce la soluzione:
S:222233331111 >>>>∨∨∨∨<<<< xxxxxxxx
2) 0000111144444444 2222 ≥≥≥≥++++++++ xxxxxxxx ; 00004444 >>>>====aaaa ;22221111
44442222444400001111444444444444 22221111
2222 −−−−====⋅⋅⋅⋅
−−−−========⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ xxxxxxxx
Dal grafico risolta che la soluzioneconsiste nell'ascissa del vertice:
S:22221111
−−−−====xxxx
3) 0000222277773333 2222 ≥≥≥≥−−−−++++−−−− xxxxxxxx ; 00003333<<<<−−−−====aaaa ;2222
333311116666
5555777700002525252522223333444477772222 ====−−−−±±±±−−−−
====⇒⇒⇒⇒>>>>====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆ xxxx
Graficico di 222277773333 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyyDal grafico si deduce la soluzione:
S: 222233331111 ≤≤≤≤≤≤≤≤ xxxx////
Grafico di 1212121255552222 2222 ++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy
1111 3/23/23/23/2
y>0:y>0:y>0:y>0:
Grafico di 111144444444 2222 ++++++++==== xxxxxxxxyyyy
-1/2-1/2-1/2-1/2
Grafico di 222277773333 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy
1/31/31/31/3 2222
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
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§§§§ 5555 PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA SOGGETTASOGGETTASOGGETTASOGGETTA AAAA CONDIZIONICONDIZIONICONDIZIONICONDIZIONI
Oltre al problema diretto che parte dall'equazione di una parabola per determinarnetutte le caratteristiche (vertice, intersezioni, grafico, ecc..), esiste il problema inversoper il quale, dato un insieme di condizioni quali l'appartenenza di dati punti allaparabola, si tratta di determinarne la sua equazione.Esistono diverse condizioni per le quali è possibile stabilire l'equazione.
5.15.15.15.1 ParabolaParabolaParabolaParabola passantepassantepassantepassante perperperper tretretretre puntipuntipuntipunti notinotinotinoti: data l'equazione della parabola(consideriamo solo quella ad asse verticale) ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 e assegnati tresuoi punti qualsiasi, rispettivamente (((( ))))11111111 yyyy;;;;xxxxAAAA , (((( ))))22222222 yyyy;;;;xxxxBBBB e (((( ))))33333333 yyyy;;;;xxxxCCCC , lacondizione di appartenenza determina un sistema algebrico di tre equazioni diprimo grado nelle incognite i coefficienti dell'equazione:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
3333222233333333
2222222222222222
1111222211111111
La risoluzione del sistema con un qualsiasi metodo determina l'equazione dellaparabola.Esempio: determinare la parabola passante per i punti A(1;0), B(3; -6) e C(4;-5).
(((( ))))66667777
1111777733334444
666677771111
11117777777733334444
55559999121212121616161633334444
555533331515151544443333
555566664444161616166666666633339999
6666
444444445555
333333336666
000000006666
2222
2222
2222
2222
++++−−−−====⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
====−−−−====−−−−−−−−========−−−−−−−−−−−−====
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
====⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−====−−−−−−−−====
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====−−−−−−−−−−−−−−−−====−−−−−−−−====
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====++++−−−−====++++
−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====++++++++−−−−====++++++++
====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
xxxxxxxxyyyyaaaabbbbxxxx
aaaaaaaaaaaabbbb
bbbbaaaacccc
aaaaaaaaaaaabbbb
bbbbaaaacccc
bbbbaaaabbbbaaaa
bbbbaaaacccc
bbbbaaaabbbbaaaa
cccc
ccccbbbbaaaa
ccccbbbbaaaa
ccccbbbbaaaa
-10-10-10-10 10101010
-6-6-6-6
6666
xxxx
yyyyAAAA
BBBB
CCCC
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5.25.25.25.2 FuocoFuocoFuocoFuoco eeee direttrice.direttrice.direttrice.direttrice.Ricordiamo che data la parabola con vertice l'origine ed equazione 2222xxxxaaaayyyy ⋅⋅⋅⋅==== lecoordinate del fuoco e l'equazione della direttrice sono rispettivamente:
⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛
aaaa;;;;FFFF
444411110000 e
aaaayyyy
44441111
−−−−==== . A seguito delle traslazione che porta l'origine nel nuovo
vertice (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV doveaaaa
bbbbxxxx22220000 −−−−==== ,
aaaayyyy
44440000∆∆∆∆
−−−−==== con acacacacbbbb 44442222 −−−−====∆∆∆∆ , per ottenere le
coordinate del fuoco (((( ))))FFFFFFFF yyyy;;;;xxxxFFFF della parabola traslata si deve:
-mantenere la stessa ascissa del verticeaaaa
bbbbxxxxxxxx VVVVFFFF 2222−−−−======== ;
-aggiungere all'ordinata del vertice il termineaaaa4444
1111 :aaaaaaaaaaaa
yyyyFFFF 44441111
44441111
4444∆∆∆∆−−−−
====++++∆∆∆∆
−−−−====
⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ∆∆∆∆−−−−−−−−
aaaa;;;;
aaaabbbbFFFF
44441111
2222
La direttrice si trova sotto la quota del vertice di una quantità pari al termineaaaa4444
1111
per cui l'equazione della direttrice:aaaaaaaaaaaa
yyyy::::dddd4444
111144441111
4444∆∆∆∆++++
−−−−====−−−−∆∆∆∆
−−−−====
xxxx
yyyy
FFFF
VVVVaaaa4444
1111++++aaaayyyy FFFF 44441111 ∆∆∆∆−−−−====
aaaa44441111−−−−
aaaaVVVVyyyy4444∆∆∆∆−−−−====
aaaayyyy::::dddd
44441111 ∆∆∆∆++++−−−−====
OOOOaaaa
bbbbVVVVxxxx
2222−−−−====
La parabola ad asse orizzontale di equazione ccccyyyybbbbyyyyaaaaxxxx ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 vede scambiate lelettere delle variabili in ciascun punto ed equazione:
aaaaxxxx
aaaabbbb;;;;
aaaaFFFF
44441111
222244441111 ∆∆∆∆++++
−−−−====⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−
∆∆∆∆−−−− :d ;
Esempio:Esempio:Esempio:Esempio:
determinare fuoco e direttrice della parabola di equazione 666688881111 2222 ++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy .
(((( )))) 222266668888111144441111 2222 −−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−====∆∆∆∆ ; 4444
8888111122221111
====⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====VVVVxxxx ; 4444888811114444
2222====
⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====VVVVyyyy ; (((( ))))44444444 ;;;;VVVV
(((( )))) 6666888811114444222211114444 ====
⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−
============ FFFFVVVVFFFF yyyy;;;;xxxxxxxx ; (((( ))))66664444 ;;;;FFFF ; (((( )))) 222288881111444422221111
====⋅⋅⋅⋅−−−−++++
−−−−====yyyy::::dddd .
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Nel caso invece di una parabola ad asse orizzontale, simmetrica della precedente
rispetto alla bisettrice xxxxyyyy ==== , di equazione 666688881111 2222 ++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx , si ottiene:
(((( ))))44446666 ;;;;''''FFFF ; 2222====xxxx::::''''dddd
5.35.35.35.3 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon fuocofuocofuocofuoco eeee diretticediretticediretticedirettice assegnati.assegnati.assegnati.assegnati.
Assegnati il fuoco (((( ))))FFFFFFFF yyyy;;;;xxxxFFFF e la retta direttrice di equazione ddddyyyyyyyy ==== , in base alleformule scritti in precedenza, per determinare i coefficienti del trinomio di secondogrado della parabola si può procedere scrivendo un sistema nelle tre incognite
∆∆∆∆ ,,,,bbbb,,,,aaaa (ricordando che acacacacbbbb 44442222 −−−−====∆∆∆∆ ) che può essere risolto, , ad esempio,sommando e sottraendo le prime due equazioni membro a membro:
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
++++−−−−====
++++−−−−
====∆∆∆∆
++++−−−−====
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
⋅⋅⋅⋅−−−−====
∆∆∆∆====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
====++++⋅⋅⋅⋅−−−−
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−
∆∆∆∆++++====⋅⋅⋅⋅−−−−
FFFFdddd
FFFF
FFFFdddd
FFFFdddd
FFFFdddd
FFFF
FFFFdddd
FFFFdddd
FFFF
FFFF
dddd
yyyyyyyyxxxxbbbb
yyyyyyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyaaaa
xxxxaaaabbbbyyyyyyyyaaaayyyyyyyyaaaa
xxxxaaaabbbbyyyyaaaayyyyaaaa 2222
1111
22222222
11112222
222211114444
11114444;;;;
aaaabbbbcccc
4444
2222 ∆∆∆∆−−−−====
a) parallela all'asse Y con fuoco in (((( ))))44448888 ;;;;FFFF e direttrice di equazione 2222−−−−====yyyy::::dddd
8888======== FFFFVVVV xxxxxxxx ; (((( )))) (((( ))))1111888811112222
22224444 ;;;;VVVVyyyyVVVV ⇒⇒⇒⇒====−−−−++++
====
(((( ))))(((( )))) (((( )))) 333319191919
4444111144443333111133334444
3333444433331111
121212121111
1616161688882222
242424242222
1616161616161616111188881111
1616161688882222444444441111
222244441111 2222====
⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−−−−−
====⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====−−−−====∆∆∆∆
====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====−−−−====∆∆∆∆
====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−========∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆++++
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅====∆∆∆∆−−−−
−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆++++cccc
bbbb
aaaa
aaaabbbbaaaa
aaaa
aaaabbbbaaaa
aaaa
aaaaaaaabbbbaaaa
aaaa
-12-12-12-12 -8-8-8-8 -4-4-4-4 4444 8888 12121212
-4-4-4-4
4444
xxxx
yyyy
F(8; 4)F(8; 4)F(8; 4)F(8; 4)
V(8; 1)V(8; 1)V(8; 1)V(8; 1)
33331 91 91 91 9
33334444
1 21 21 21 21111 2222 ++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy
d: y=-2d: y=-2d: y=-2d: y=-2
B) parallela all'asse X con fuoco in (((( ))))44442222 −−−− ;;;;FFFF e direttice di equazione 6666====xxxx .
(((( ))))5555444455552222
666622224444 ; ;;;;VVVV x x x xyyyyyyyy VVVVFFFFVVVV −−−−⇒⇒⇒⇒====++++
====−−−−========
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(((( ))))
(((( )))) (((( ))))(((( )))) 1111
44441111444455552222
2222555520202020
44441111
22228888404040402222
88882222
88884444222216161616222244441111
24242424666644441111 2222====
−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
========−−−−====∆∆∆∆
−−−−====
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
====−−−−====−−−−====∆∆∆∆
−−−−====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−========⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆−−−−−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====∆∆∆∆++++
ccccbbbb
aaaa
aaaa
aaaabbbbaaaa
aaaa
aaaaaaaabbbbaaaaaaaa
aaaaaaaa
1111222244441111 2222 ++++++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx
-1 0-1 0-1 0-1 0 -5-5-5-5 5555 1 01 01 01 0
-8-8-8-8
-4-4-4-4
4444
8888
xxxx
yyyy
1111222244441111 2222 ++++++++−−−−==== yyyyyyyyxxxx
FFFF VVVV
d : x= 6d : x= 6d : x= 6d : x= 6
5.45.45.45.4 ParabolaParabolaParabolaParabola didididi verticeverticeverticevertice edededed intersezioneintersezioneintersezioneintersezione conconconcon asseasseasseasse YYYY noti.noti.noti.noti.Noti il vertice nel punto (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV e l'intersezione asse Y nel punto (((( ))))cccc;;;;CCCC 0000 le loro
condizioni di appartenenza alla parabola di equazione ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy ++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 2222 sono
espresse dal sistema:⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
⋅⋅⋅⋅−−−−====
++++⋅⋅⋅⋅−−−−====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
⋅⋅⋅⋅−−−−====
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
0000
222200000000
0000
00002222
00000000
22222222 xxxxaaaabbbbccccxxxxaaaayyyy
xxxxaaaabbbbccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy , da cui la
soluzione: ccccxxxxxxxx
ccccyyyyxxxxxxxx
yyyyccccyyyy
xxxxccccyyyybbbb
xxxxyyyyccccaaaa
++++⋅⋅⋅⋅−−−−
++++⋅⋅⋅⋅−−−−
====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====
−−−−====
0000
0000222222220000
0000
0000
0000
22220000
0000
22222222
.
EsempioEsempioEsempioEsempio: determinare l'equazione della parabola avente vertice in V(-2;V(-2;V(-2;V(-2; -1)-1)-1)-1) ed
intersezione in C(0;C(0;C(0;C(0; -2)-2)-2)-2) : (((( ))))(((( ))))
(((( )))) 11112222444411112222
44441111
222211112222
2222 −−−−====−−−−⋅⋅⋅⋅⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====−−−−====
−−−−
−−−−−−−−−−−−==== bbbbaaaa ;
-8-8-8-8 8888
-4-4-4-4
4444
xxxx
yyyy
VVVV
CCCC
222244441111 2222 −−−−++++−−−−==== xxxxxxxxyyyy
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
30
5.55.55.55.5 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon assegnatiassegnatiassegnatiassegnati verticeverticeverticevertice VVVV edededed unununun puntopuntopuntopunto PPPP qualsiasiqualsiasiqualsiasiqualsiasi.
Le condizioni comportano la risoluzione del seguente sistema:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
⋅⋅⋅⋅−−−−====
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
ccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
xxxxaaaabbbbccccxxxxbbbbxxxxaaaayyyy
1111222211111111
0000
00002222
00000000
2222
Esempio: determinare la parabola avente vertice V(2;-9)V(2;-9)V(2;-9)V(2;-9) e passante per P(1;-8)P(1;-8)P(1;-8)P(1;-8).
5555444455554444
1111
888833334444
8888333344449999
444488884444
888844449999
111111118888444422222222
2222222299992222
2222
−−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====−−−−====
====⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−====−−−−====
−−−−++++−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
++++−−−−====−−−−−−−−====
++++−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒
⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−−−−−====⋅⋅⋅⋅−−−−====
++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====−−−−xxxxxxxxyyyy
ccccbbbbaaaa
aaaaccccaaaabbbb
aaaaaaaa
ccccaaaaaaaaaaaabbbb
ccccaaaaaaaa
ccccbbbbaaaaaaaaaaaabbbb
ccccbbbbaaaa
5.5.5.5.6666 ParabolaParabolaParabolaParabola conconconcon assegnateassegnateassegnateassegnate intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni lungolungolungolungo gligligligli assiassiassiassi.
Dato il vertice (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV e una intersezione con l'asse X in (((( ))))00001111 ;;;;xxxxAAAA , l'altro punto diintersezione (((( ))))00002222 ;;;;xxxxBBBB si può ricavare in base alla proprietà del vertice:
222222221111
0000xxxxxxxxxxxx ++++
==== da cui si ottiene 111100002222 2222 xxxxxxxxxxxx −−−−==== . Ora si consideri il parametro positivo
"ampiezza" ABABABAB definito dalla differenza fra le ascisse di A e di B:
(((( ))))111100001111000011112222 222222222222 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxABABABAB −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−====−−−−==== . Da cui si ha:2222
1111222211110000
xxxxxxxxxxxxxxxx −−−−====−−−− ..
Dall'equazione della parabola nella forma (((( ))))222200000000 xxxxxxxxaaaayyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− , sostituendovi le
coordinate di AAAA : (((( ))))(((( )))) (((( ))))222211112222
00002222
00001111
00002222000011110000
44440000xxxxxxxxyyyy
xxxxxxxxyyyyaaaaxxxxxxxxaaaayyyy
−−−−
−−−−====
−−−−
−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− .
Sostituendo questa relazione nell'equazione della parabola si ottiene:
(((( ))))(((( ))))222200002222
00001111
00000000 xxxxxxxx
xxxxxxxxyyyyyyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====−−−− e , dopo avere sviluppato il quadrato del binomio:
(((( )))) (((( )))) (((( ))))222211110000
000022220000
0000222211110000
0000000022222222
11110000
0000 2222xxxxxxxxyyyyxxxxyyyyxxxx
xxxxxxxxyyyyxxxxxxxx
xxxxxxxxyyyyyyyy
−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅
−−−−++++⋅⋅⋅⋅
−−−−−−−−==== ; questa equazione si può
anche scrivere così :(((( )))) (((( )))) (((( ))))222211112222
000000002222
11112222
0000000022222222
11112222
0000 444488884444xxxxxxxx
yyyyyyyyxxxxxxxxxxxxyyyyxxxxxxxx
xxxxxxxxyyyyyyyy
−−−−−−−−++++⋅⋅⋅⋅
−−−−++++⋅⋅⋅⋅
−−−−−−−−====
Esempio: dati il vertice (((( ))))222299991111 −−−−;;;;VVVV ed il punto (((( ))))00002222 ;;;;AAAA −−−− appartenenti allaparabola, determinare la sua equazione.Sostituendo i valori e , 2222222299991111 111100000000 −−−−====−−−−======== xxxxyyyyxxxx nella prima equazione della
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
31
parabola(((( ))))
(((( ))))22220000222200001111
00000000 xxxxxxxx
xxxxxxxxyyyyyyyyyyyy −−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====−−−− si ha:
(((( ))))(((( ))))22222222 1111
1111222222229999
22229999
−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−−−−−
====++++ xxxxyyyy da cui si
ottiene (((( )))) 444422221111
22229999
22221111
2222111111112222
22221111
22229999 222222222222 −−−−−−−−====⇒⇒⇒⇒−−−−++++−−−−====⇒⇒⇒⇒++++−−−−⋅⋅⋅⋅====++++ xxxxxxxxyyyyxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxyyyy .
5.75.75.75.7 LegameLegameLegameLegame frafrafrafra intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni edededed ilililil vertice.vertice.vertice.vertice.
Dall'equazione si ricava il legame fra le tre le intersezioni con gli assi ed il verticescrivendo l'espressione del termine noto del trinomio di secondo grado:Notiamo, infine, come il termine entro radice quadrata sia sempre positivo (vedifigure seguenti) e che, partendo dalla consoscenza della posizione di vertice edintersezioni con asse Y si determini la distanza fra A e B: 11112222 xxxxxxxx −−−− .
XXXX
YYYY
AAAA BBBB
VVVVCCCC
cccc yyyy0000
11112222 xxxxxxxxABABABAB −−−−====
xxxx0000 XXXX
YYYY
AAAA BBBB
VVVVCCCC
ccccyyyy0000
11112222 xxxxxxxxABABABAB −−−−====
xxxx0000
Partendo dalla conoscenza del vertice e dell'intersezione con l'asse Y si possonoottenere le ascisse delle eventuali intersezioni con l'asse X, risolvendo il sistema:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛
−−−−++++⋅⋅⋅⋅====
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛
−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−⋅⋅⋅⋅++++====
−−−−====
⇒⇒⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨
⎧⎧⎧⎧
−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−
====++++
ccccyyyyyyyyxxxxxxxx
ccccyyyyyyyyxxxxxxxx
ccccyyyyyyyyxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
ccccyyyyyyyyxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
0000
000000002222
0000
000000001111
0000
0000000000002222
222200001111
0000
0000000011112222
000011112222
1111
1111
222222222222
2222
2222
2222
Si
noti che le condizioni di esistenza delle intersezioni con l'asse X sono date da:
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
<<<<
≤≤≤≤∨∨∨∨
⎩⎩⎩⎩⎨⎨⎨⎨⎧⎧⎧⎧
>>>>
≥≥≥≥⇒⇒⇒⇒≥≥≥≥
−−−− 000000000000
0000
0000
0000
0000
0000
0000yyyy
ccccyyyyyyyy
ccccyyyyccccyyyy
yyyy
Le relazioni sopra scritte si traducono nel fatto che il vertice delle parabole che nonhanno intersezioni con l'asse X si trova rispetto alla intersezione con l'asse Y:
sotto se 00000000 >>>>yyyy e sopra 00000000 <<<<yyyy :
xxxx
yyyy
VVVVcccc yyyy0000 xxxx
yyyy
VVVVcccc yyyy 0000
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EsempioEsempioEsempioEsempio: dato il vertice (((( ))))99992222 −−−−;;;;VVVV e l'intersezione (((( ))))88880000 −−−−;;;;CCCC determinare leintersezioni con l'asse X e l'equazione della parabola.
(((( )))) (((( ))))(((( ))))000088888888
000044444444333311112222
888899999999111122221111 22221111
0000
0000000022221111 ;;;;BBBB
;;;;AAAAxxxx
yyyyccccyyyyxxxxxxxx ,,,,,,,, ++++→→→→++++
−−−−→→→→−−−−====⋅⋅⋅⋅====⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛
++++−−−−−−−−
⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛ −−−−⋅⋅⋅⋅==== mmm
(((( )))) 121212124444888811112222 ====−−−−−−−−====−−−−==== xxxxxxxxABABABAB ;(((( ))))
(((( ))))44441111
12121212999944444444
2222222211112222
0000 ====−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
====−−−−
−−−−====
xxxxxxxxyyyyaaaa
(((( )))) (((( )))) 88884444111199992222
44441111 22222222
00002222
0000 −−−−−−−−====→→→→−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxxyyyyxxxxyyyyxxxxxxxxaaaayyyy
-15-15-15-15 15151515
-9-9-9-9
9999
xxxx
yyyy
888844441111 2222 −−−−−−−−==== xxxxxxxxyyyy
AAAA BBBB
VVVVCCCC
c=-8c=-8c=-8c=-8yyyy0000=-9=-9=-9=-9
12121212====ABABABAB
5.85.85.85.8 FormaFormaFormaForma alternativaalternativaalternativaalternativa dell'equazionedell'equazionedell'equazionedell'equazione .
Noti il vertice e intersezione con l'asse Y, sostituiamo (((( ))))ccccyyyyyyyyxxxxxxxxxxxx −−−−⋅⋅⋅⋅====−−−− 00000000000011112222 2222nell'esprssione del coefficiente aaaa :
(((( )))) (((( )))) 22220000
0000
0000000022220000
00002222
11112222
0000
444444444444
xxxxyyyycccc
ccccyyyyyyyyxxxxyyyy
xxxxxxxxyyyyaaaa −−−−
====−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−====
−−−−−−−−==== ; sostituiamo ora 2222
0000
0000
xxxxyyyyccccaaaa −−−−
====
Notiamo che il segno di aaaa corrisponde al segno di 0000yyyycccc −−−− .
Nell'equazione (((( )))) 00002222
0000 yyyyxxxxxxxxaaaayyyy ++++−−−−⋅⋅⋅⋅==== : (((( )))) 00002222
000022220000
0000 yyyyxxxxxxxxxxxx
yyyyccccyyyy ++++−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
====
Con i valori dell'esempio precedente determiniamo nuovamente l'equazione:
(((( )))) (((( )))) 44441111222299998888 2222222200000000 ====++++−−−−====−−−−==== xxxxyyyyccccaaaa ;
(((( )))) (((( )))) 888844441111999944444444
4444111199992222
44441111 222222222222 −−−−−−−−====−−−−++++−−−−⋅⋅⋅⋅====−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅==== xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyy
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5.95.95.95.9 ValoriValoriValoriValori interiinteriinteriinteri delledelledelledelle ascisseascisseascisseascisse delledelledelledelle intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni conconconcon l'assel'assel'assel'asse XXXX.
Consideriamo nuovamente le espressioni ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠
⎞⎞⎞⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝
⎛⎛⎛⎛
−−−−⋅⋅⋅⋅====
ccccyyyyyyyyxxxxxxxx ,,,,
0000
0000000022221111 1111m ; supponendo
che il valore dell'ascissa del vertice sia data da un numero intero ΖΖΖΖ∈∈∈∈====mmmmxxxx0000 , lacondizione per cui le ascisse delle due intersezioni sono a loro volta espresse danumeri interi, (((( ))))nnnnmmmmxxxx ,,,, m111122221111 ⋅⋅⋅⋅==== , è data dalla condizione che il radicando vale 2222nnnn :
1111111100002222
22222222
0000
0000 ≥≥≥≥−−−−
====⇔⇔⇔⇔====−−−−
nnnnyyyynnnn
nnnnccccnnnnccccyyyy
yyyy , .
Il coefficiente di apertura vale 222222220000
22220000
0000
nnnnmmmmyyyy
xxxxyyyyccccaaaa
⋅⋅⋅⋅
−−−−====
−−−−==== .
Se fissiamo un dato vertice (((( ))))00000000 yyyy;;;;xxxxVVVV al variare di NNNNnnnn∈∈∈∈ , otteniamo una fascio di
parabole di equazione 0000
2222
22220000 yyyy
mmmmmmmmxxxx
nnnnyyyyyyyy ++++⎟⎟⎟⎟
⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−
−−−−==== .
EsempioEsempioEsempioEsempio: determinare il fascio di parabole con ascisse intere delle intersezioni conl'asse X aventi il vertice nel punto (((( ))))22223333 −−−−;;;;VVVV .In questo caso si ha con 3333====mmmm , (((( ))))2222
22221111 11113333 nnnnxxxx ,,,, m⋅⋅⋅⋅==== e il fascio ha equazione:
22223333
33332222 2222
2222 −−−−⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−⋅⋅⋅⋅====
xxxxnnnn
yyyy .
-16-16-16-16 16161616
-10-10-10-10
10101010
xxxx
yyyy
n=1n=1n=1n=1n=2n=2n=2n=2n=3n=3n=3n=3
n=4n=4n=4n=4n=5n=5n=5n=5
V(2; -4)V(2; -4)V(2; -4)V(2; -4)
Prof.Prof.Prof.Prof. I.I.I.I. SavoiaSavoiaSavoiaSavoia PARABOLAPARABOLAPARABOLAPARABOLA NELNELNELNEL PIANOPIANOPIANOPIANO CARTESIANOCARTESIANOCARTESIANOCARTESIANO p.p.p.p.
Bologna,Bologna,Bologna,Bologna, maggiomaggiomaggiomaggio 2012.2012.2012.2012. SecondaSecondaSecondaSeconda edizioneedizioneedizioneedizione
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5.105.105.105.10 FasciFasciFasciFasci didididi paraboleparaboleparaboleparabole conconconcon intersezioniintersezioniintersezioniintersezioni asseasseasseasse XXXX prefissateprefissateprefissateprefissate eeee verticeverticeverticevertice variabilevariabilevariabilevariabile.
Se fissiamo due punti lungo l'asse X, ad esempio con distinte ascisse espresse danumeri interi ppppxxxx ====1111 e qqqqxxxx ====2222 con ZZZZqqqq,,,,pppp ∈∈∈∈ e qqqqpppp<<<< la parabola avente per
intersezioni con l'asse X i punti (((( ))))0000 ;;;;ppppAAAA e (((( ))))0000 ;;;;qqqqBBBB e vertice ⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ++++
00002222yyyy;;;;qqqqppppVVVV il
primo coefficiente è dato dalla relazione, già dimostrata in generale:
(((( ))))222200004444
qqqqppppyyyyaaaa
−−−−
−−−−====
Supponendo di considerare i valori discreti ........................,,,,,,,,,,,,................nnnn,,,,nnnnyyyy 22221111111122220000 ++++++++−−−−−−−−======== , lafamiglia delle parabole di date intersezioni (((( ))))0000 ;;;;ppppAAAA e (((( ))))0000 ;;;;qqqqBBBB si rappresenta con la
seguente formula :(((( ))))
nnnnqqqqppppxxxxqqqqppppnnnnyyyy ++++⎟⎟⎟⎟
⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ ++++
−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−
−−−−====2222
2222 22224444 .
Si noti come per 0000====nnnn l'equazione perda di significato ( 0000====yyyy ).EsempioEsempioEsempioEsempio: determinare il fascio di parabole aventi punti fissi le intersezioni(((( ))))00003333 ;;;;AAAA −−−− e (((( ))))00007777 ;;;;BBBB ++++ e vertice di ordinata variabile {{{{ }}}}00000000 \\\\ZZZZnnnn,,,,nnnnyyyy ∈∈∈∈==== .
In questo caso si ha , , 1010101022222222
7777333377773333 0000 ====−−−−====++++−−−−
====++++====−−−−==== ppppqqqq,,,,xxxxqqqqpppp
Il fascio ha per equazione (((( ))))⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦
⎤⎤⎤⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎣⎣⎣
⎡⎡⎡⎡⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠⎞⎞⎞⎞
⎜⎜⎜⎜⎝⎝⎝⎝⎛⎛⎛⎛ −−−−
−−−−⋅⋅⋅⋅====++++−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−====2222
22222222 5555
222211112222101010104444 xxxxnnnnnnnnxxxxnnnnyyyy e la sua
rappresentazione grafica, per alcuni valori di nnnn , è illustrata di seguito.
-10-10-10-10 -8-8-8-8 -6-6-6-6 -4-4-4-4 -2-2-2-2 2222 4444 6666 8888 10101010
-6-6-6-6-5-5-5-5-4-4-4-4-3-3-3-3-2-2-2-2-1-1-1-1
111122223333444455556666
xxxx
yyyy
n=+1n=+1n=+1n=+1
n=-1n=-1n=-1n=-1n=+2n=+2n=+2n=+2
n=-2n=-2n=-2n=-2
n=+3n=+3n=+3n=+3
n=-3n=-3n=-3n=-3
AAAA BBBB