GRAFICI DI FUNZIONI NEL PIANO CARTESIANO

Supponiamo di misurare la temperatura di un certo ambiente in un dato intervallo di tempo.Otteniamo una funzione numerica di tipo non matematico poiché non esiste una espressionematematica che ci permetta di calcolare l'immagine di un certo valore appartenente al dominio, cioèla temperatura in un certo istante non si calcola, ma si misura. Per rappresentare questa funzione sipotrebbe usare i diagrammi a frecce oppure tabulare tutte le coppie di valori corrispondenti comemostrato con solo alcuni esempi nella seguente tabella:

Risulta, però, più comodo rappresentare i valori in un piano cartesiano disegnando il grafico della funzione:

Per grafico di una funzione si intende in generale l'insieme dei punti del piano cartesiano con ascissa un elemento qualsiasi del dominio e con ordinata la corrispondente immagine (cioè l'immagine dell'elemento posto all'ascissa).Il dominio è un sottoinsieme dell'asse x, il codominio dell'asse y.Per la definizione di funzione un grafico non può avere questo andamento:

x y1 -12 -22,47 -2,244 -34,22 -2,565 -16,48 09 310 2

Infatti ci sono alcuni valori sull'asse x, ad esempio 4, a cui corrispondono due o tre immagini.Il grafico di una circonferenza non è quindi il grafico di una funzione.Tornando al primo grafico si osserva facilmente che il dominio è l'intervallo [1;13] che corrisponde all'intervallo di tempo in cui si misurano le temperature, infatti per ogni x appartenente a tale intervallo esiste un punto del grafico e quindi esiste una immagine che si legge sull'asse y. A x=1 corrisponde y=-1 che è la sua immagine. Se si chiedono le controimmagini di un numero, si deve posizionare tale numero sull'asse y e controllare quanti punti del grafico esistono a quella altezza; se non c'è alcun punto il numero non ha controimmagini, se ce ne è uno la sua controimmagine è l'ascissa del punto del grafico. In modo simile se ci sono più punti, in questo caso avremo più controimmagini.

Il codominio è l'insieme dei valori assunti dalla funzione cioè nel nostro esempio le temperature misurate; si va da -3 a 4 e quindi si ha l'intervallo [-3;4].

La funzione è positiva quando il grafico è sopra l'asse delle x, nell'esempio significa misurare temperature sopra lo zero. Accade nell'intervallo [6,48;13]. Si richiede sempre per quali valori di x la funzione è positiva o negativa.

Chiedersi quando il grafico è crescente equivale a chiedersi, nell'esempio, quando la temperatura sale e questo succede nei seguenti due intervalli: (4;9) e (10;11). Anche qui la risposta è relativa all'asse x.

Quali sono i massimi e minimi? La temperatura più alta che abbiamo osservato è 4 e quindi il puntodi x=11 e y=4 è il massimo assoluto; ci sono anche massimi relativi che sono i punti in cui la funzione assume il valore più alto non in tutto il dominio, ma in un in insieme più piccolo. Ad esempio il punto di coordinate (1;-1) è un massimo relativo perché per x vicine a 1 la temperatura è sempre più bassa di -1 o non è stata misurata.