Elementi grafici per Matematica∗∗

Sommario: 1 Sistemi di coordinate cartesiane....................................................................................................2 2 Grafici di funzioni .........................................................................................................................4

2.1 Definizione.............................................................................................................................4 2.2 Esempi ....................................................................................................................................5 2.3 Verificare iniettività e suriettività dal grafico ........................................................................8 2.4 La retta....................................................................................................................................9 2.5 Esempi in Economia: la normalizzazione e il regime dell ’ interesse semplice.....................14 2.6 La parabola...........................................................................................................................16 2.7 Alcuni grafici notevoli .........................................................................................................18 2.8 Esempi in Economia: il regime dell ’ interesse composto .....................................................21 2.9 Grafico della funzione inversa.............................................................................................22 2.10 Grafici ottenuti mediante trasformazioni elementari............................................................25

3 Equazioni ....................................................................................................................................31 3.1 Equazioni di 1o grado...........................................................................................................31 3.2 Equazioni di 2o grado...........................................................................................................31 3.3 Sistemi di equazioni .............................................................................................................34 3.4 Altri tipi di equazioni ...........................................................................................................34 3.5 Risoluzione grafica di equazioni ..........................................................................................35 3.6 Il metodo di bisezione..........................................................................................................35 3.7 Il metodo iterativo................................................................................................................38 3.8 Esempi in Economia: determinazione del tasso di una rendita............................................39

4 Disequazioni ...............................................................................................................................40 4.1 Disequazioni di 1o grado ......................................................................................................40 4.2 Disequazioni di 2o grado ......................................................................................................42 4.3 Sistemi di disequazioni.........................................................................................................45 4.4 Altri tipi di disequazioni .......................................................................................................46

5 Derivate.......................................................................................................................................47 5.1 Interpretazione geometrica di f `(x) .....................................................................................47 5.2 Interpretazione geometrica di f ``(x) ....................................................................................50 5.3 Esempi .................................................................................................................................. 51

6 Integrali .......................................................................................................................................53 6.1 Integrali definiti ....................................................................................................................53 6.2 Interpretazione geometrica del teorema fondamentale del calcolo integrale.......................54 6.3 Esempi .................................................................................................................................. 57

Bibliografia........................................................................................................................................59 Indice analiti co .................................................................................................................................. 60

∗ Alberto Zorzi – 21/02/2001 .

Ringrazio il prof. Andrea Ellero per i commenti e le correzioni.

2

1 Sistemi di coordinate cartesiane Nel seguito si esaminano oggetti geometrici del piano quali: punti, rette, curve, ecc. Iniziamo dall ’oggetto più semplice, il punto, e come primo obiettivo vediamo come identificare (cioè come “dare un nome a” ) i punti di una retta ed i punti di un piano. Sistemi di coordinate cartesiane sulla retta Per identificare i punti di una retta fissiamo: un punto O della retta (detto or igine), un verso (indicato con una freccia) ed una unità di misura (cioè un esempio di segmento di lunghezza 1). Allora, ogni punto P della retta può essere identificato dalla sua distanza 0x da O, presa con segno

maggiore o minore di zero a seconda che P stia a destra o a sinistra di O (se la retta è orientata verso destra come nel disegno)

il numero 0x è detto coordinata di P.

L’origine, il verso e l’unità di misura fissati sulla retta costituiscono un sistema di coordinate car tesiane per la retta. Sistemi di coordinate cartesiane nel piano Per identificare i punti del piano il metodo che si util izza è sostanzialmente analogo a quello adottato per identificare i punti di una carta geografica dove ciascun punto è individuato da due distanze: la longitudine (distanza tra il punto e il meridiano di Greenwich) e la latitudine (distanza tra il punto e l’equatore). Nel caso del piano si fissano due rette (dette assi car tesiani or togonali e che corrispondono al meridiano di Greenwich e all ’equatore) tra loro ortogonali e ciascuna dotata di un proprio sistema di coordinate cartesiane; inoltre le due rette devono intersecarsi nelle rispettive origini. Allora, ogni punto P del piano è identificato dalle sue distanze 0x ed 0y dalle due rette, prese con segni

concordi alle coordinate delle proiezioni xP e yP sulle rispettive rette:

Per convenzione un asse (detto asse delle ascisse ed indicato in genere con “x” ) è disegnato orizzontalmente ed orientato verso destra, mentre l’altro (detto asse delle ordinate ed indicato in genere con “y” ) è disegnato verticalmente ed orientato verso l’alto:

1 P 0

x0

Py

1

x

y

P

y0

x0 0

1

Px

3

I numeri 0x ed 0y sono detti le coordinate del punto P; 0x e 0y sono detti rispettivamente

l’ascissa e l’ordinata di P. Per indicare che il punto P ha le coordinate 0x e 0y si scrive

( )00 , yxP = .

I due assi cartesiani costituiscono un sistema di coordinate cartesiane (ortogonali) per il piano. Osservazioni: 1) è importante l’ordine in cui sono specificate le coordinate (per convenzione si specifica sempre

prima l’ascissa e poi l’ordinata); ad esempio, le coppie (2,5) e (5,2) rappresentano due punti diversi

2) due punti sono distinti se e solo se hanno almeno una coordinata diversa 3) ci sono infinite scelte di possibil i sistemi di coordinate cartesiane ortogonali per il piano e in

genere uno stesso punto ha coordinate diverse in sistemi diversi (a meno che il punto non sia il centro della rotazione che trasforma un sistema nell ’altro)

4) mediante un sistema di coordinate ad ogni punto P del piano si può associare un’unica coppia di numeri (le coordinate di P) e, viceversa, ad ogni coppia di numeri è associato un unico punto del piano

5) la corrispondenza tra punti del piano e coppie (ordinate) di numeri consente, oltre che l’ identificazione dei punti, anche di trattare i punti “numericamente” . Ad esempio, note le coordinate di due punti è facile calcolare la loro distanza (mediante il teorema di Pitagora): se ad

esempio ( )6,21 =P e ( )10,52 =P allora la loro distanza è data da: 5)610()25( 22 =−+−

4

2 Grafici di funzioni Nel seguito, salvo avviso esplicito contrario, si trattano funzioni del tipo RAf →: , con RA ⊆ ; la legge della funzione è indicata con f(x) = “espressione” oppure con y = “espressione” (ad esempio 52)( −= xxf oppure 52 −= xy ).

2.1 Definizione Un modo per rappresentare graficamente una funzione è quello di disegnarne il grafico: il grafico

ottenendo un disegno del tipo seguente:

Siccome la prima coordinata di un punto del grafico è rappresenta (per convenzione) un valore del dominio, allora nel disegno del grafico di una funzione )(xf , il dominio (indicato con Dom(f)) è rappresentato sull ’asse x mentre l’ immagine (indicata con Im(f)) è rappresentata sull ’asse y. Per disegnare gli i nsiemi Dom(f) e Im(f) è suff iciente proiettare la linea del grafico di )(xf sugli assi come ill ustrato:

Il procedimento in certi casi si può estendere anche a funzioni in cui il dominio o l’ immagine non siano insiemi limitati, quali ad esempio la funzione esponenziale (par. 2.7) e la funzione logaritmo (par. 2.9 b)).

Se A e B sono due insiemi non vuoti, allora si ha una funzione f(x) da A a B (e si scrive f: A → B) se è definita una legge che ad ogni elemento x0∈A associa un unico elemento f(x0)∈B. Gli i nsiemi A e B sono detti rispettivamente dominio e codominio di f(x), mentre l’ insieme Im(f)={ f(x): x∈A} è detto immagine di f(x).

di una funzione RAf →: è l’ insieme

delle coppie di numeri ( ))(, 00 xfx al

variare di 0x nel dominio A; per

disegnare il grafico di una funzione se ne riportano tutti i punti nel piano ottenendo

x0

f(x0)

f(x)

(x0 , f(x0))

f(x)

Dom(f)

y

x

Im(f)

f(x)

y

x

5

2.2 Esempi a) Vediamo come disegnare il grafico di una semplice funzione. Sia RRf →: con legge

62)( += xxf ; scegliamo dal dominio dei valori per x, ad esempio 5,0,1,3 −−=x , e li riportiamo nella prima colonna di una tabella; nella seconda colonna scriviamo i corrispondenti valori )(xf delle ordinate:

x f(x) -3 0 -1 4 0 6 5 16

Ogni riga della tabella rappresenta un punto del grafico della funzione; riportando i punti su un sistema di assi cartesiani e tracciando una linea che li unisca si ottiene:

b) il procedimento descritto per disegnare il grafico di una funzione (scegliere dei punti ed unirli )

ha dato un risultato corretto nel caso dell ’esempio precedente: si trattava di una retta ed i quattro punti util izzati erano più che suff icienti (ne bastavano 2). Ma, se ad esempio la funzione fosse stata: RRf →: con 6116)( 23 −+−= xxxxf , scegliendo i valori di ascissa 0=x e 4=x si

ottengono i punti ( )6,0 − e ( )6,4 che uniti danno una retta (quella tratteggiata) che non è il grafico della funzione (indicato dalla linea non tratteggiata):

D’altra parte non si possono riportare tutti i punti del grafico perché in questo caso (come anche nella maggior parte di quelli t rattati in seguito) sono infiniti . Occorre dunque un metodo più sofisticato per disegnare adeguatamente anche grafici di funzioni che non siano semplici rette;

6

un procedimento migliore (che considera le trasformazioni coinvolte nella descrizione della legge della funzione) è ill ustrato nel paragrafo 2.10.

c) non tutti i grafici sono necessariamente grafici di funzioni; non lo è ad esempio il seguente:

infatti, esiste una retta parallela all ’asse y che interseca il grafico in più punti; dunque, esiste un valore x0 del dominio a cui sono associati più valori del codominio, contraddicendo la richiesta di univocità presente nella definizione di funzione

d) una funzione )(xf è detta crescente se all ’aumentare del valore di x aumenta anche quello di

)(xf : se cioè, per qualsiasi coppia di elementi 1x ed 2x del dominio, se 21 xx < allora

)()( 21 xfxf ≤ . Se invece )()( 21 xfxf < o )()( 21 xfxf ≥ o )()( 21 xfxf > , allora la funzione è detta rispettivamente strettamente crescente, decrescente e strettamente decrescente.

La definizione si estende in modo ovvio a qualsiasi sottoinsieme del domino.

e) un punto 0x del dominio della funzione )(xf è detto punto di massimo assoluto di )(xf , se

in 0x la funzione assume il valore massimo, se cioè )()( 0 xfxf ≥ per ogni x appartenente a

Dom(f) (e dunque )( 0xf è il massimo per l’ insieme Im(f)).

Se invece )()( 0 xfxf ≥ solo per i punti x del dominio contenuti in un qualsiasi intervallo aperto

contenente 0x , allora 0x è detto un punto di massimo locale (o relativo) di )(xf .

In modo analogo si possono dare le definizioni di punto di minimo assoluto e punto di minimo locale (o relativo). Nell ’esempio seguente i punti di massimo o di minimo della funzione )(xf sono:

- massimi locali: 1x e 3x

- minimo assoluto: 2x

x0

x2 x1

f(x1) f(x2)

funzione decrescente

f(x1)

x2 x1

f(x2)

funzione crescente

7

- minimi locali: 4x e 6x

- massimi assoluti: 5x e 7x

x3 x4 x5 x6 x7 x2 x1

f(x)

Dom(f)

Im(f)

8

2.3 Verificare iniettività e suriett ività dal grafico Ci proponiamo di verificare se una funzione è iniettiva o suriettiva analizzandone il grafico.

rappresentato sull ’asse x ed il codominio sull ’asse y, una funzione non è iniettiva se esiste una retta parallela all ’asse x che ne interseca in più punti il grafico. Viceversa, il grafico di una funzione iniettiva interseca qualsiasi retta parallela all ’asse x in al massimo un punto:

In generale, una funzione strettamente crescente è certamente iniettiva perché fissati due elementi distinti del dominio, a quello maggiore corrisponde l’ immagine maggiore e quindi le immagini sono distinte. Idem per le funzioni strettamente decrescenti. Nel caso invece della suriettività, una funzione non è suriettiva se esiste un valore del codominio che non è immagine di nessun valore del dominio. Dunque, una funzione non è suriettiva se esiste una retta parallela all ’asse x (con ordinata un valore 0y appartenente al codominio) che non ne

interseca il grafico. Viceversa, se qualsiasi retta di questo tipo interseca il grafico, la funzione è suriettiva. Ad esempio, supponendo che il codominio sia il tratto di asse y rappresentato, si ha:

è iniettiva

f(x)

è suriettiva non è suriettiva

y0

La funzione f: A → B è iniettiva se per ogni coppia di elementi x1 ,x2∈A si ha f(x1) ≠ f(x2 ) se x1≠ x2. La funzione f: A → B è suriettiva se Im(f)=B. Una funzione è biiettiva se è iniettiva e suriettiva.

In generale, una funzione non è iniettiva se esistono almeno due valori del dominio con immagini uguali . Allora, ricordando che il dominio è sempre

non è iniettiva: f(x1)= f(x2)= f(x3)= y0

x1 x2 x3

y0

9

2.4 La retta Si è visto che util izzando un sistema di coordinate cartesiane ortogonali i punti del piano possono essere identificati mediante coppie di numeri. Vediamo ora come identificare le rette del piano. Evidentemente, per identificare una retta non sarà suff iciente una coppia di numeri: infatti una retta è costituita da infiniti punti e quindi di coppie di numeri gliene dovremmo associare infinite. Come fare ? Osserviamo innanzi tutto che una retta non è sempre il grafico di una funzione: non lo è se è parallela all ’asse y; trattiamo prima questo caso. 1º caso: rette parallele all ’asse y Consideriamo, ad esempio, la retta r parallela all ’asse y e che interseca l’asse x nel punto di ascissa 7: è costituita da tutti e soli i punti del piano che hanno ascissa uguale a 7, cioè da tutti e soli i punti ( )yx, tali che 7=x . Dunque, i punti della retta sono tutti e solo quelli con coordinate ( )yx, che sono soluzioni dell ’equazione 7=x (attenzione: si tratta di un’equazione in due variabili, il fatto che la y non compaia significa semplicemente che alla y si può assegnare qualsiasi valore). In definitiva ad una retta abbiamo associato un’equazione che ha come soluzioni esattamente le coppie (ordinate) di numeri che rappresentano punti della retta; diremo che 7=x è l’equazione della retta r.

In generale: .l’equazione di una retta parallela all ’asse y e di ascissa c ha equazione cx = . 2º caso: rette non parallele all ’asse y Anche in questo caso, come nel precedente, cerchiamo di associare ad una retta un’equazione in due variabili che abbia come soluzioni tutte e sole le coppie di numeri che sono coordinate di punti della retta. Trattandosi di una retta non parallela all ’asse y il suo grafico rappresenta il grafico di una funzione e perciò ci aspettiamo di trovare un’equazione del tipo: y = “qualcosa” (che trattandosi di una funzione potremmo anche scrivere nella notazione equivalente: f(x) = “qualcosa” ). Nel caso più semplice in cui la retta sia parallela all ’asse x si ottiene, analogamente al caso precedente, che: .l’equazione di una retta parallela all ’asse x e di ordinata c ha equazione cy = . Per determinare invece l’equazione di una retta r non parallela agli assi, innanzi tutto individuiamo la retta fissandone due punti distinti ( )111 , yxP = e ( )222 , yxP = . Scegliamo poi un terzo punto

( )yxP ,= e cerchiamo le condizioni che devono soddisfare le sue coordinate aff inché appartenga alla retta.

7

r ha equazione x = 7

10

Come è evidente dal disegno, P appartiene alla retta se e solo se i triangoli 21APP e BPP1 hanno i lati paralleli , cioè se e solo se i due triangoli sono simili , o equivalentemente, se e solo se vale la

seguente proporzione tra i loro lati: AP

BP

AP

PB

1

1

2

= .

Osservando che 1yyPB −= , 122 yyAP −= , 11 xxBP −= e 121 xxAP −= , sostituendo si ottiene: l’equazione di una retta non parallela agli assi e passante per i punti ( )11, yx e ( )22 , yx è:

…………………………………………..12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

−−

=−−

Ricavando la y si ha: �� ��� ���

qm

xx

yyxyx

xx

yyy

12

1211

12

12

−−−+

−−= (che ha significato solo se 012 ≠− xx , se cioè

la retta non è parallela all ’asse y); sostituendo m e q alle espressioni indicate si ottiene la:

.equazione esplicita della retta: qmxy += che rappresenta una generica retta non parallela all ’asse y; il numero m è detto coeff iciente angolare e q ordinata all ’or igine. I numeri m e q hanno un particolare significato geometrico. Vediamo prima il significato geometrico di q: se nell ’equazione qmxy += si pone 0=x , si trova qy = e quindi il punto ( )q,0 appartiene alla retta. Dunque:

.q rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta di equazione qmxy += interseca l’asse y.

y = mx + q

q

r

P1

P2

P

x1 x2 x

y1 y2 y

A B

11

Per quanto riguarda invece il significato geometrico di m, supponiamo di avere due rette distinte con uguali coeff icienti angolari, ma diverse ordinate all ’origine, di equazioni 1qmxy += e

2qmxy += . Se le due rette avessero un punto ( )00 , yx in comune, allora le sue coordinate

dovrebbero essere una soluzione per entrambe le equazioni, si dovrebbe cioè avere: 100 qmxy += e

200 qmxy += , che sottratte membro a membro danno 21 qq = , contraddicendo l’ ipotesi che le

ordinate all ’origine fossero diverse. Dunque, le due rette non possono avere un punto in comune e devono perciò essere parallele. Viceversa, procedendo in modo analogo si può dimostrare che due rette con differenti coeff icienti angolari hanno un punto in comune e perciò non sono parallele. Perciò, in definitiva, si ha che:

.le rette di equazioni 11 qxmy += e 22 qxmy += sono parallele se e solo se 21 mm = Ad esempio, sono parallele tutte le rette di coeff iciente angolare 2:

Vediamo ora come varia l’ inclinazione di una retta (sempre non parallela all ’asse y) al variare del coeff iciente angolare m. Dato che ci interessa solo l’ inclinazione della retta, possiamo per semplicità supporre di mantenere 0=q ; allora la retta ha equazione mxy = e passa per i punti

( )0,0 e ( )m,1 , e al variare di m l’ inclinazione varia come indicato:

-1

1

2

y = 2x + 2

y = 2x + 1

y = 2x

y = 2x - 1

1

m

y = mx

(0,0)

(1,m)

m = 0 1

m = 1/2 m = 1

m = 2

m aumenta m diminuisce

m = 0

m = -1/2

m = -1 m = -2

12

L’ultimo disegno (in cui tutte le rette passano per uno stesso punto e ciò che varia è il coeff iciente angolare m) ci suggerisce che per individuare una retta si possono specificare un suo punto ed il coeff iciente angolare. E’ f acile verificare il seguente risultato: l’equazione della retta passante per il punto ( )00 , yx e di coeff iciente angolare m è:

……………………………………….( ) ( )00 xxmyy −=−

Osservazioni: 1) in generale, ogni equazione di primo grado in due variabili 0=++ cbyax con a, b e c costanti

e a e b non entrambe nulle, rappresenta l’equazione di una retta; infatti, se b è nullo si ha una retta parallela all ’asse y, altrimenti l ’equazione si può scrivere in forma esplicita qmxy += (oppure con notazione equivalente: qmxxf +=)( ). Viceversa, ogni retta ha un’equazione di questo tipo.

13

Come si fa: 1) dati l ’equazione di una retta ed un punto verificare se il punto appartiene alla retta:

se ad esempio l’equazione è 175 =+− yx ed il punto è ( )3,4 , il punto appartiene alla retta se e solo se le sue coordinate costituiscono una soluzione dell ’equazione; per verificare se si tratta di una soluzione basta sostituire le coordinate alle variabili e si ottiene: 13745 =⋅+⋅− ; siccome l’equazione è verificata, il punto appartiene alla retta. Con lo stesso procedimento si può controllare che invece ( )4,3 non appartiene alla retta perché: 1134735 ≠=⋅+⋅−

2) data l’equazione di una retta disegnarne il grafico:

se ad esempio l’equazione è 029 =++− yx , per disegnarne il grafico è suff iciente conoscerne due punti; per individuarli basta, ad esempio, fissare un valore per una coordinata, sostituire il valore scelto nell ’equazione e ricavare il valore dell ’altra coordinata. In genere il valore che si

sceglie è zero (per risparmiare conti): per 0=x si ottiene 9

2−=y , mentre per 0=y si ha

2=x , dunque i due punti sono

−

9

2,0 e ( )0,2 . Naturalmente, se la retta passa per l’origine il

secondo punto andrà cercato inizializzando una coordinata con un valore diverso da zero 3) date le equazioni di due rette verificare se le rette sono parallele:

se ad esempio le equazioni sono 01164 =++ yx e 2023 +=− xy , allora le rette corrispondenti sono parallele se e solo se hanno i coeff icienti angolari uguali . I coefficienti angolari delle due rette si ottengono scrivendo le rispettive equazioni in forma esplicita (cioè

“ ricavando la y” ) e si trova 6

11

3

2 −−= xy e 3

20

3

2 −−= xy ; i coefficienti angolari sono i

numeri che moltiplicano la variabile x ed in entrambi i casi valgono 3

2− , dunque le due rette

sono parallele 4) dati due punti (distinti) scrivere l’equazione della retta che vi passa:

se i due punti hanno diverse ascisse e diverse ordinate, ad esempio ( )5,1− e ( )1,2 , allora si sostituiscono le loro coordinate nell ’equazione della retta passante per due punti e si ottiene

12

1

51

5

++=

−− xy

, che sempli ficata diventa 3

11

3

4 +−= xy ; si può verificare se l’equazione è

corretta controllando se effettivamente i due punti appartengono alla retta. Se invece i due punti hanno la stessa ascissa e sono ad esempio ( )5,2 e ( )1,2 , allora l’equazione della retta è 2=x

5) dati un punto P ed un numero m scrivere l’equazione della retta passante per P e con coeff iciente angolare m: se ad esempio il punto è ( )2,8 − ed 7−=m , allora sostituendo nell ’equazione di una retta passante per un punto e di coeff iciente angolare dato si ottiene 547 +−= xy . Anche in questo caso si può fare la verifica

14

2.5 Esempi in Economia: la normalizzazione e il regime dell’interesse semplice

Esaminiamo due esempi di applicazioni del concetto di retta in economia; si osservi che in entrambe le applicazioni presentate il concetto di retta è legato a quello di proporzionalità. a) Normalizzare i fatturati di un insieme aziende

Si supponga di disporre dei fatturati di alcune aziende, ad esempio appartenenti ad uno stesso settore produttivo. Per sapere se il fatturato F di un’azienda specifica si colloca tra quelli maggiori o tra quell i minori rispetto agli altri fatturati esaminati, occorre confrontare F con il fatturato minimo e con quello massimo. Per evitare di ripetere questo confronto ogni volta che si leggono i dati, si può associare a ciascun fatturato F un valore n(F) compreso tra 0 ed 1 (detto valore normalizzato) e tale che al fatturato minimo Fmin corrisponda 0 mentre al fatturato massimo Fmax corrisponda 1. In questo modo, se ad esempio 9.0)( 0 =Fn (se cioè al fatturato 0F corrisponde il valore

normalizzato 0.9) allora sappiamo che il fatturato 0F è piuttosto vicino al fatturato massimo,

senza bisogno di confrontare 0F con altri fatturati.

Si tratta ora di stabili re il valore normalizzato per ciascun fatturato, cioè: qual è il valore normalizzato n(F) da associare ad un generico fatturato F ?

Siccome ad ogni fatturato preso in esame associamo un unico valore normalizzato, si ha una funzione con dominio l’ insieme dei fatturati F presi in esame e codominio l’ insieme dei valori normalizzati n(F). Il grafico di questa funzione dovrà passare per i punti ( )0,minF e ( )1,maxF

(dato che si è supposto che sia 0)( min =Fn e 1)( max =Fn ); supponendo che tale grafico sia una

retta si ha: Inoltre, dalla formula dell ’equazione della retta passante per due punti si ottiene:

minmax

min

01

0)(

FF

FFFn

−−

=−

− (attenzione: le variabili x ed y sono sostituite rispettivamente dalle

variabili F ed n(F)), cioè:

minmax

min)(FF

FFFn

−−

= ,

che è la formula cercata e fornisce una proporzionalità tra )(Fn e minFF − (la proporzionalità è garantita proprio dall ’aver scelto la retta come grafico della funzione). Le considerazioni fatte valgono per la normalizzazione di qualsiasi altro tipo di dato.

valori normalizzati

fatturati

n(F)

F

1

Fmax Fmin

15

b) Il regime dell ’ interesse semplice Si supponga di investire una determinata somma di denaro C (capitale) e che l’ investimento garantisca all ’ investitore un interesse I proporzionale all ’ammontare C del capitale ed al tempo t per cui il capitale è impiegato. Allora l’ interesse I è dato dalla legge:

CtiI = dove il numero i rappresenta una costante di proporzionalità dipendente dal tipo di investimento. Si dice allora che l’ interesse è sottoposto al regime dell ’ interesse semplice. Al variare del tempo t e mantenendo costante il capitale C, la funzione che fornisce l’ interesse I è una retta di coeff iciente angolare iC ed ordinata all ’origine nulla. Supponendo che sia 0>i , la funzione I(t) ha un grafico del tipo seguente:

Si osservi che la costante i coincide con l’ interesse se 1=C e 1=t , dunque i rappresenta l’ interesse corrispondente ad un capitale unitario impiegato per un tempo unitario ed è detto tasso unitar io di interesse.

t

I

I(t)

16

2.6 La parabola Si è visto che una equazione di 1o grado del tipo qmxy += ha come grafico una retta (cioè, la retta è costituita dai punti le cui coordinate sono le soluzione dell ’equazione); se invece l’equazione è di 2o grado (rispetto alla x), si ottiene allora il grafico di una parabola. Ad esempio, 2xy = è l’equazione di una parabola ed il suo grafico è:

L’equazione di una generica parabola è cbxaxy ++= 2 con a, b e c costanti e 0≠a (altrimenti si otterrebbe l’equazione di una retta). E’ evidente che l’equazione di una parabola rappresenta una funzione cbxaxxf ++= 2)( di

dominio R ed immagine [ )∞+,0 . Vediamo alcuni esempi:

Ogni parabola ha un punto di ordinata minima, o massima, detto vertice; nel primo esempio la parabola ha un minimo ed è detta convessa, mentre negli altri due ha un massimo ed è detta concava. Per verificare se una parabola è convessa o concava, basta controllare il segno del coeff iciente a dell ’equazione generale: se a è > 0 è convessa, altrimenti è concava; infatti, negli

esempi a vale rispettivamente 3, 9

2− e -1. Ciò dipende dal fatto che nel secondo membro

dell ’equazione generale il termine 2ax ha un valore preponderante rispetto agli altri due se x è abbastanza grande in modulo (cioè non tenendo conto dell ’eventuale segno meno): infatti,

y = x 2

24182

3 ++= xxy

23

429

2−+−= xxy

1572 −+−= xxy

17

raccogliendo 2x si ottiene

++=++

222

x

c

x

baxcbxax e all ’aumentare di x (in modulo)

l’espressione tra parentesi tende al valore a; inoltre il segno di 2ax è uguale al segno di a. Le parabole con grafico simmetrico rispetto all ’asse y (come 2xy = ) hanno il coeff iciente b nullo;

anzi, aff inché sia 0=b , basta che esista un numero 00 ≠x per cui la parabola assuma lo stesso

valore sia in 0x che in 0x− : infatti, sostituendo si ha cbxaxcbxax +−=++ 02

002

0 e dunque

0=b .

18

2.7 Alcuni grafici notevoli Di seguito sono dati le definizioni ed i grafici di alcune funzioni di particolare importanza. La funzione modulo (o valore assoluto)

E’ definita nel seguente modo:

<−≥

=0

0

xsex

xsexx , ed il suo grafico è:

Nelle calcolatrici e nei programmi di calcolo per computer la funzione modulo è indicata in genere con abs, ad esempio )1( −xabs indica 1−x .

La funzione xr (r reale > 0)

Si sono già visti i casi 1=r , 2=r ed 2

1=r , e si ottengono rispettivamente: xy = (retta),

2xy = (parabola) e xxy == 2

1

(inversa di 2xy = se 0≥x , vedi a) di 2.9); riassumiamo in un

unico diagramma i grafici di alcune funzioni rxy = per 0≥x :

xy =

5xy = 2xy = xy =

2

1

xy =

5

1

xy =

19

La funzione esponenziale E’ definita nel seguente modo: xay = , dove a è un numero detto base e tale che: 0>a e 1≠a ; la variabile x è detta esponente. Se 1>a il grafico è:

per convincersene basta ad esempio disegnare alcuni punti del grafico di xy 10= . E’ interessante

osservare che si tratta di una funzione strettamente crescente e che se x decresce allora xa assume valori sempre più piccoli ma comunque maggiori di zero (perciò la retta 0=y è detta un asintoto orizzontale per la funzione esponenziale). Se invece 1<a il grafico si può ricavare da questo mediante una trasformazione elementare (il reciproco) come ill ustrato nell ’esempio a) del paragrafo 2.10 sulle trasformazioni elementari. In genere come base della funzione esponenziale è utili zzato il numero e = 2.71828 … (costante di Nepero). Nelle calcolatrici e nei programmi di calcolo per computer la funzione esponenziale è indicata in genere con exp; ad esempio exp(2) indica 2e . La funzione esponenziale è evidentemente una biiezione tra R e (0, +∞) e perciò è invertibile; il grafico della sua inversa (logaritmo) è ottenuto in b) del paragrafo 2.9 sulle funzioni inverse. La funzione pavimento (o parte intera) Restituisce il più grande intero minore o uguale del numero dato, ad esempio il pavimento di 2.7 è 2 e si scrive 27.2 = , mentre 37.2 −=− ; se il numero è un intero allora il suo pavimento

coincide col numero stesso, ad esempio 22 = .

A volte la funzione pavimento di x è indicata anche con [ ]x .

Il grafico di x è:

)1( >= aay x

xy =

20

La funzione mantissa (o parte decimale) Restituisce la parte decimale del numero dato, ad esempio la mantissa di 2.7 è 0.7 e si scrive

7.0)7.2( =mantissa . Siccome ogni numero è dato dalla somma della sua parte intera e della sua

parte decimale, si ha che )(xmantissaxx += e dunque xxxmantissa −=)( . Utili zzando questa

equazione come definizione della funzione mantissa si ottiene ad esempio: 3.0)3(7.2)7.2( =−−−=−mantissa ; la mantissa di un numero è sempre 0≥ (essendo xx ≥ per

ogni numero x). Il grafico di mantissa(x) è:

E’ interessante notare che c’è una parte del grafico di “ larghezza” 1 che si ripete periodicamente, perciò la mantissa è una funzione periodica di periodo 1; infatti per qualsiasi numero x vale la relazione: )()1( xmantissaxmantissa =+ .

A volte per la mantissa di un numero x si usa anche la notazione: { }x .

)(xmantissay =

21

2.8 Esempi in Econo mia: il regime dell’ interesse composto Un util izzo importante della funzione esponenziale in economia è dato dal regime dell ’ interesse composto: si supponga di investire 10000 euro (capitale iniziale) al tasso del 5% annuo (tasso d’ interesse); ciò significa che dopo un anno l’ammontare del capitale sarà dato dai 10000 euro più

l’ interesse maturato 100

510000 , cioè:

+=+

100

5110000

100

51000010000 , dunque dopo un anno il

capitale iniziale è stato moltiplicato per il fattore

+

100

51 (detto fattore di capitalizzazione). Se

oltre al capitale iniziale viene investito anche l’ interesse maturato (ed il tasso d’ interesse rimane costante), allora dopo due anni il capitale sarà quello dopo un anno moltiplicato sempre per

+

100

51 , cioè

2

100

5110000

+ ; in generale, dopo x anni il capitale sarà:

x

+

100

5110000 .

Indicando con )(xC la funzione che dà il capitale dopo x anni, con iC il capitale iniziale e con i il

tasso d’ interesse, la formula ottenuta diventa:

( )xi iCxC += 1)(

si tratta cioè di una funzione data dalla moltiplicazione tra la costante iC e la funzione esponenziale

di base i+1 .

Utili zzando i dati precedenti, la funzione x

xC

+=

100

5110000)( ha il seguente grafico:

e, per esempio, il capitale ammonta a 14774.55 euro dopo 8 anni.

8

14774.55

C(x)

22

2.9 Grafico della funzione inversa Ci poniamo il seguente problema: noto il grafico di una funzione, qual’è il grafico della funzione inversa ? Vediamo qualche esempio per ill ustrare un procedimento che risponda al quesito. a) La funzione radice quadrata

Premettiamo innanzi tutto che una funzione non è sempre invertibile: è invertibile se e solo se è biiettiva e dunque una funzione non è invertibile se non è iniettiva oppure non è suriettiva. Ad esempio, la funzione [ )∞+→ ,0: Rf con legge 2xy = è suriettiva, ma non iniettiva e dunque

non è invertibile; se però restringiamo il domino all ’ insieme [ )∞+,0 e manteniamo la stessa legge, otteniamo una nuova funzione )(xg biiettiva e perciò invertibile:

Ora, dal grafico di )(xg vogliamo ricavare quello della sua inversa )(1 xg − . Tra una funzione e la sua inversa ciò che cambia è il ruolo degli i nsiemi che rappresentano dominio e codominio: il dominio ed il codominio di )(xg diventano rispettivamente il codominio ed il dominio di

)(1 xg − . Allora, dato che (per convenzione) il dominio si rappresenta sull ’asse orizzontale ed il

codominio su quello verticale, per ottenere il grafico di )(1 xg − basterà “scambiare” gli assi nel grafico di )(xg rendendo orizzontale l’asse verticale e, viceversa, verticale quello orizzontale. Ruotando di 90o intorno all ’origine e in verso antiorario il sistema di assi cartesiani ed il grafico di )(xg , otteniamo:

f(x) = x2 ha dominio R: non è invertibile

Dom(g)

g(x) = x2 ha dominio [0,+∞): è invertibile

Dom(g)

23

Ci siamo quasi, c’è però il problema che (sempre per convenzione) l’asse orizzontale deve puntare a destra, quindi ruotiamo il grafico di 180o intorno all ’asse y e finalmente otteniamo il grafico di )(1 xg − che è la funzione radice quadrata:

Dominio ed immagine di xy = coincidono con l’ insieme [ )∞+,0 (quindi non si può fare la radice quadrata di un numero <0 e il risultato della radice quadrata è sempre 0≥ ).

Siccome le funzioni xy = e 2xy = sono una l’ inversa dell ’altra, entrambe le loro

composizioni forniscono la funzione identica: ( ) xx =2

e xx =2 . b) La funzione logaritmo

In modo analogo all ’esempio precedente, si può ottenere il grafico della funzione inversa della funzione esponenziale xay = (descritta nel paragrafo 2.7 dei grafici notevoli ), detta funzione logaritmo ed indicata con:

xy alog=

(la notazione “ xalog ” si legge “logaritmo in base a di x” ); per 1>a le due rotazioni a partire

dal grafico della funzione esponenziale danno:

La funzione logaritmo è dunque una biiezione tra (0, +∞) e R e naturalmente l’asintoto orizzontale 0=y della funzione esponenziale è diventato l’asintoto verticale 0=x per la funzione logaritmo. Inoltre la funzione logaritmo è strettamente crescente.

xy =

)1( >= aay x

)1(log >= axy a

24

Nel caso 1<a si procede in modo analogo (in questo caso la funzione logaritmo è strettamente decrescente). Notazioni: se la base è il numero e (costante di Nepero), xelog si scrive anche xlog oppure

xln . Si osservi che 01log =a per qualsiasi base a.

Dato che le funzioni xay = e xy alog= sono una l’ inversa dell ’altra, la loro composizione dà

la funzione identica e si ottengono le seguenti identità: xa xa =log e xa x

a =log

25

2.10 Grafici ottenuti mediante trasformazioni elementari Vediamo ora come ottenere, in modo indicativo ed a certe condizioni, il grafico di una funzione a partire da quello di un’altra funzione. Più precisamente, se )(xf è una funzione di grafico noto e

)(xg è ottenuta da )(xf mediante una trasformazione elementare (ad esempio, sommando una costante), allora si può ottenere un grafico indicativo di )(xg a partire da quello di )(xf . Di seguito sono riportati alcuni esempi di trasformazioni elementari: per ogni riga il primo rappresenta un grafico noto, il secondo ed il terzo sono due sue trasformazioni elementari.

(1.2) )(2 xf (1.1) xxf =)( (1.3) )(/1 xf

x - 2

(2.2) )2( +xf

2

f(x)

x

f(x)

(2.1) 2)( xxf =

x

f(x)+2 2

(2.3) 2)( +xf

7

x

f(x)

(3.1) ( ) 723)( +−= xxf

-f(x)

x

-7

(3.3) )(xf−

f(x)

-x

(3.2) )( xf −

7

26

Osserviamo innanzi tutto che con la notazione )( 2xf si indica la funzione composta ottenuta

applicando prima 2xy = e poi )(xfy = . Quindi, ad esempio, )( xf − è ottenuta applicando prima xy −= e poi )(xfy = , mentre, viceversa, )(xf− è ottenuta applicando prima )(xfy = e poi xy −= . Analizziamo ora più in dettaglio le trasformazioni proposte:

1) )(/1 xf ha come dominio quello di )(xf privato dei punti in cui la funzione si annulla; se ad esempio xxf =)( , allora la funzione xy /1= (detta iperbole equilatera) non è definita in zero, inoltre la retta 0=x è detta asintoto verticale per )(xf , mentre 0=y è detta un asintoto orizzontale

2) il grafico di )( kxf + corrisponde ad una traslazione rispetto alla x del grafico di )(xf di k a sinistra (risp. a destra) se 0>k (risp. 0<k ); infatti, )( kxf + calcolata in kx − assume valore

)(xf . Invece, kxf +)( corrisponde ad una traslazione rispetto alla y di k verso l’alto (risp. verso il basso) se 0>k (risp. 0<k )

3) il grafico di )( xf − è ottenibile da quello di )(xf mediante una rotazione di 180o rispetto all ’asse y; infatti, )( xf − calcolata in x− assume valore )(xf . Invece, )(xf− corrisponde ad una rotazione rispetto all ’asse x

x’

f(x’ )

f(x)

x

(4.1) 2)( += xxf

f(x) f(x)

-x x

(4.2)

xf

-f(x’ )

x’

(4.3) ( )xf

x

f(x)

(5.1) 3)( −= xxf

x/2

f(x)

(5.2)

xf 2

2f(x)

(5.3) )(2 xf

27

4) la definizione ed il grafico della funzione modulo sono descritti nel paragrafo 2.7 dei grafici notevoli; l a funzione ( )xf ha lo stesso grafico di )(xf per 0≥x ( ( ) )(xfxf = se 0≥x ),

mentre per 0<x ha come grafico quello di )(xf per 0≥x ruotato di 180o rispetto all ’asse y

( ( ) )( xfxf −= se 0<x ).

Nel caso di )(xf il modulo è invece applicato al valore dell ’ordinata e dunque il grafico

coincide con quello di )(xf dove 0)( ≥xf e con quello di )(xf− dove 0)( <xf (e quindi il grafico di )(xf è ruotato di 180o rispetto all ’asse x)

5) se k è una costante non nulla, la funzione )(kxf calcolata in k

x assume valore )(xf ; invece,

nel grafico di )(xkf tutte le ordinate del grafico di )(xf sono moltiplicate per k (in questo caso se 0=k allora )(xkf è la funzione costante nulla)

I grafici ottenuti con questo metodo sono in alcuni casi solo indicativi, per ottenere dei risultati migliori (ed avere anche altre informazioni quali massimi e minimi della funzione) occorre il concetto di derivata di una funzione (paragrafo 5). Esempi: a) dal grafico di xa con a > 1, ricavare il grafico per il caso a < 1:

è suff iciente osservare che x

x

a

a

=1

1 e che se 1<a allora 1

1 >a

; dunque il grafico di xa per

1<a è ottenibile applicando la trasformazione elementare “reciproco” al grafico della funzione esponenziale con base > 1 (descritto nel paragrafo 2.7 dei grafici notevoli ) e si ottiene:

In modo simile, dal grafico di xalog con a > 1 (descritto in par. 2.9 b)) si può ottenere quello di

xa

1log , cambia però la trasformazione elementare coinvolta:

xa

x

a

xx a

a

loglog

log1

log

loglog1 −=−== , eccetera.

b) qualsiasi parabola è ottenibile da 2xy = mediante trasformazioni elementari:

si è visto che una generica parabola ha equazione cbxaxy ++= 2 (con 0≠a ) e che il suo grafico non è necessariamente simmetrico rispetto all ’asse y, con il vertice nell ’origine degli assi ed orientato verso l’alto, come invece quello di 2xy = . Ci si può dunque aspettare che per

)10( <<= aay x

28

trasformare il grafico di 2xy = in quello di una qualsiasi altra parabola siano necessarie le

seguenti trasformazioni elementari: la moltiplicazione per una costante 1k (ad esempio per

rendere la parabola convessa o concava), una traslazione di 2k rispetto ad x ed un’altra

traslazione di 3k rispetto ad y. Perciò le tre trasformazioni da applicare a partire da 2xy = sono:

)(1 xfk , )( 2kxf + e 3)( kxf + . Applicando le trasformazioni si ottiene:

32

21212

1 2 kkkxkkxky +++= ; aff inché questa parabola coincida con la parabola

cbxaxy ++= 2 devono coincidere i rispettivi coeff icienti, si deve cioè avere:

=+

==

ckkk

bkk

ak

32

21

21

1

2 ;

la del sistema soluzione dà i valori delle costanti nelle trasformazioni: ak =1 , a

bk

22 = e

a

bck

4

2

3 −=

c) determinare il grafico di x

xay

++=

1 dove a è una costante > 1:

occorre innanzi tutto trasformare algebricamente la legge della funzione in modo che siano riconoscibili l e trasformazioni elementari che la generano a partire da una funzione di grafico

noto: 11

1

1

11

1+

+−=

+++−=

++=

x

a

x

xa

x

xay ; questa si può ottenere applicando nell’ordine le

seguenti trasformazioni a partire dalla funzione xy = : 1)( +xf , )(/1 xf , )()1( xfa − e 1)( +xf . I grafici ottenuti applicando successivamente le trasformazioni sono:

11+

=x

y

1

1

+−=

x

ay

a-1

1+= xy

11

1 ++−=

x

ay

a

- a

xy =

29

Lo stesso risultato lo si sarebbe ottenuto applicando le trasformazioni )1( +xf , )()1( xfa − e

1)( +xf alla funzione x

y1= .

d) utili zzare le trasformazioni elementari per dedurre la formula risolutiva di un’equazione di 2o

grado: le trasformazioni elementari possono essere sfruttate per ricavare la nota formula che dà le radici di un’equazione di secondo grado; per i dettagli si rimanda al paragrafo 3.2 sulle equazioni di secondo grado

e) funzioni pari e funzioni dispari:

in alcuni casi una trasformazione elementare può ricondurre alla funzione di partenza; può ad esempio accadere che si abbia )()( xfxf −= per ogni x appartenente al dominio di )(xf ; si dice allora che )(xf è una funzione pari. Una funzione pari ha il grafico simmetrico rispetto all ’asse y e quindi per disegnarlo basta conoscerne solo una parte, quella per 0≥x oppure per

0≤x ; l’altra parte è ottenibile ribaltando la prima parte rispetto all ’asse y.

Esempi di funzioni pari: 26 7xx − , 14

2

−−x

x,

12

3

x, 132 −xe , …. In generale, sono funzioni pari i

polinomi costituiti da monomi di grado pari; inoltre, se )(xf è una qualsiasi funzione definita

per 0≥x , allora ( )xf è pari ed è definita su tutto R.

Se invece applicando le trasformazioni )( xf − e )(xf− si riottiene la funzione di partenza, se cioè )()( xfxf −−= per ogni x appartenente al dominio di )(xf , allora si dice che )(xf è una funzione dispari. Una funzione dispari ha un grafico simmetrico rispetto all ’origine e quindi per disegnarne il grafico basta conoscerne solo una parte: per 0≥x oppure per 0≤x ; l’altra parte è ottenibile ribaltando la prima parte rispetto all ’asse x e rispetto all ’asse y.

x -x

f(x) f(x)

f(-x) = f(x) ∀∀ x ∈∈ Dom(f)

x -x

-f(x)

f(x)

f(-x) = -f(x) ∀∀ x ∈∈ Dom(f)

30

Esempi di funzioni dispari: xx 28 3 − , 9

3

x

−,

xx

x

109

47

2

−−

, 132 −xxe , …. In generale sono funzioni

dispari i polinomi costituiti da monomi di grado dispari. f) funzioni periodiche:

nell ’esempio precedente si sono esaminate le funzioni che restano invariate se sottoposte alle trasformazioni elementari )( xf − (funzioni pari) oppure alle trasformazioni )( xf − e )(xf− (funzioni dispari). Esaminiamo ora, invece, le funzioni che restano invariate se sottoposte ad una traslazione rispetto ad x: fissato un numero k, una funzione )(xf con dominio R è detta periodica di periodo k se

)()( kxfxf += per ogni x. Quindi nel grafico della funzione c’è un tratto di curva che continua a ripetersi:

Un esempio di funzione periodica è la funzione mantissa descritta nel paragrafo 2.7.

k

x x+k f(x+k) f(x)

f(x) = f(x + k) ∀∀ x ∈∈ Dom(f)

31

3 Equazioni Si è già visto che ad ogni retta ed ad ogni parabola è associata un’equazione; vediamo ora invece come interpretare geometricamente e risolvere per via grafica una generica equazione.

3.1 Equazioni di 1o grado Vediamo qual’è il significato geometrico delle soluzioni di un’equazione di primo grado, analizzando prima il caso in una variabile. Un’equazione di primo grado in una variabile ha l’aspetto: bax = , con a e b numeri reali; risolverla significa determinare quei numeri (se esistono) che sostituiti alla x rendono vera l’uguaglianza. L’equazione bax = può essere scritta come 0=− bax e questa si ottiene dall ’equazione

ybax =− ponendo 0=y ; dunque, le soluzioni 0x di 0=− bax corrispondono alle ascisse delle

soluzioni del tipo ( )0,0x di ybax =− . Siccome i punti di ordinata nulla sono quelli dell ’asse x, le

soluzioni di 0=− bax sono le ascisse dei punti in cui la retta baxy −= interseca l’asse x. Se 0≠a allora la retta baxy −= ha coeff iciente angolare non nullo e quindi interseca in un unico

punto

0,

a

b l’asse x (cioè 0=− bax ha solo la soluzione

a

bx = ) :

Se invece 0=a , allora l’equazione della retta diventa by −= , dunque una retta parallela all ’asse x, e perciò: se 0≠b non ci sono intersezioni (cioè 0=− bax non ha soluzioni), mentre se 0=b la retta coincide con l’asse x e ci sono infinite intersezioni (cioè 0=− bax ha come soluzione qualsiasi valore di x). Nel caso invece di due variabili , l’equazione di primo grado assume l’aspetto: 0=++ cbyax ; in questo caso ciascuna soluzione non è un numero, ma una coppia ordinata di numeri e, come abbiamo già visto, se a e b non sono entrambi nulli allora l’equazione ha infinite soluzioni che rappresentano tutti e soli i punti di una retta nel piano.

3.2 Equazioni di 2o grado Anche qui, come per le equazioni di primo grado, cerchiamo un’ interpretazione geometrica delle soluzioni di una generica equazione e successivamente (con alcune considerazioni geometriche) ricaviamo la nota formula che dà le soluzioni di un’equazione di secondo grado. Una generica equazione di secondo grado è del tipo: 02 =++ cbxax , con 0≠a ; se 0x è una

soluzione di 02 =++ cbxax , allora ( )0,0x è soluzione di cbxaxy ++= 2 (e viceversa). Siccome

le soluzioni ( )0,0x sono i punti in cui la parabola cbxaxy ++= 2 interseca l’asse x, allora:

b/a

y = ax - b

32

le soluzioni di 02 =++ cbxax sono le ascisse dei punti in cui la parabola cbxaxy ++= 2 interseca l’asse x. E’ evidente che una parabola può intersecare in 0, 1 oppure 2

punti l ’asse x, quindi, indicando con ( )0,1x e ( )0,2x le coordinate delle eventuali i ntersezioni, si possono avere i seguenti tre casi:

Ma quanto valgono 1x e 2x ?

Se l’equazione è del tipo 02 =+ cax (se cioè manca il termine bx ) i conti li sappiamo fare:

a

cx −=2 , e se 0≥−

a

c (altrimenti non si può fare la radice quadrata e quindi la parabola non

interseca l’asse x) allora a

cx −−=1 e

a

cx −=2 . In questo caso la parabola caxy += 2

associata all ’equazione è simmetrica rispetto all ’asse y, è cioè del tipo:

Se invece la parabola cbxaxy ++= 2 , associata all ’equazione 02 =++ cbxax , non è simmetrica

rispetto all ’asse y, allora ci riconduciamo al caso precedente: se ( )0,1x e ( )0,2x sono le intersezioni

della parabola con l’asse x, applichiamo alla parabola la traslazione di valore 2

21 xx + rispetto alla x

(vedi 2) di 2.10)) che la renda simmetrica (infatti 2

21 xx + è il punto medio tra 1x e 2x ), calcoliamo

le due intersezioni e infine ai due valori trovati applichiamo la traslazione "opposta“ di valore

221 xx +− .

I conti sono i seguenti:

x2 x1

x2 x1

2 soluzioni

x1 = x2

1 soluzione nessuna soluzione

33

- applicando la traslazione di valore 2

21 xx + (rispetto ad x) alla parabola cbxaxy ++= 2 si

ottiene: ( ){ } ( )c

xxb

xxaxbxxaaxy +

++

+++++=

2421

221

212 . Questa parabola deve avere il

coeff iciente di x nullo dato che assume lo stesso valore (zero) in 1x e 2x (vedi il paragrafo 2.6

sulle parabole), dunque: ( ) 021 =++ bxxa e a

bxx −=+ 21

- l’equazione della parabola diventa perciò: ca

baxy +−=

4

22 e le ascisse delle sue intersezioni

con l’asse x sono: a

acbx

2

42 −±=

- applicando la traslazione di valore 2

21 xx +− rispetto ad x si ottiene infine:

a

acbxxx

2

4

2

221 −±=

+− , cioè

a

acbbx

2

42

1

−−−= e a

acbbx

2

42

2

−+−= ; queste

espressioni si possono calcolare (cioè la parabola interseca l’asse x) se e solo se 042 ≥− acb , inoltre se vale l’uguaglianza c’è una sola intersezione. Il numero acb 42 − è detto discriminante (in genere è indicato con la lettera greca ∆ , delta maiuscola) e indica quanti sono i numeri reali soluzione dell ’equazione: se 0>∆ due soluzioni, se 0=∆ una soluzione e se 0<∆ non ci sono soluzioni. Questi tre casi corrispondono rispettivamente ai tre casi in cui la corrispondente parabola cbxaxy ++= 2 interseca in 2,1 o 0 punti l ’asse x.

Osservazioni sulle equazioni: 1) un’equazione in una variabile, ad esempio 11=x ha come soluzione un numero (11,

naturalmente) se è risolta in R; se invece la stessa equazione è risolta in R2 (se cioè l’equazione è vista come un’equazione in due variabili i n cui la y non compare e quindi può assumere qualsiasi valore) ha infinite soluzioni, le coordinate dei punti della retta parallela all ’asse y e di ascissa 11. L’osservazione si può estendere ad equazioni di grado superiore: ad esempio, 92 =x ha le due soluzioni 3±=x se è risolta in R, mentre se è risolta in R2 ha come soluzioni le coordinate dei punti delle due rette 3=x e 3−=x . Naturalmente il dove risolvere un’equazione dev’essere un dato del problema.

34

3.3 Sistemi di equazioni

Un sistema di equazioni è ad esempio:

++−=

+=15

122 xxy

xy; che si tratti di un sistema lo si riconosce

dalla presenza della parentesi graffa che sta ad indicare che ci interessano le soluzioni comuni delle equazioni presenti nel sistema. Nell ’esempio la prima equazione rappresenta una retta e la seconda una parabola, allora risolvere il sistema ha il significato geometrico di determinare i punti comuni alle due curve (le soluzioni sono ( )1,0 e ( )7,3 e si possono determinare con il metodo di sostituzione):

Quanto detto per l’esempio è generalizzabile ad un qualsiasi sistema di equazioni: risolvere un sistema significa determinare i punti comuni alle curve rappresentate dalle equazioni presenti nel sistema.

3.4 Altri tipi di equazioni Vediamo qualche altro tipo di equazione; le soluzioni sono determinate sfruttando i risultati dei paragrafi precedenti. a) equazioni esponenziali :

consideriamo l’equazione: 12 19 =+x . Innanzi tutto, si tratta di un’equazione esponenziale perché all ’esponente c’è un’espressione in cui compare la variabile x. Per risolverla cerchiamo di “eliminare” l’esponenziazione, cioè trasformiamo l’equazione in un’altra equazione equivalente (cioè con le stesse soluzioni) in cui non compaia più la funzione esponenziale; questa trasformazione si ottiene componendo la funzione esponenziale con la sua funzione inversa, la funzione logaritmo. Siccome la funzione logaritmo è iniettiva, se 1x e 2x sono entrambi >0, si ha che: 21 xx = se e solo se

21 loglog xx aa = . Dunque, ,

21

12 19

xx

x =+

�

se e solo se 1log2log 219

2 =+x ; cioè 019 =+x (perché

yy =2log2 e 01log2 = ) e perciò 19−=x b) equazioni logaritmiche:

consideriamo l’equazione: 2)1(log3 =−x ; è un’equazione logaritmica perché l’argomento del

logaritmo è un’espressione in cui compare la variabile x.

35

Si osservi innanzi tutto che ha senso cercare le soluzioni solo tra i valori di x per cui primo e secondo membro sono calcolabili , quindi l ’argomento del logaritmo dev’essere >0, cioè 1>x ; perciò eventuali soluzioni che non appartengano a questo insieme vanno scartate. Le soluzioni si ottengono procedendo in modo analogo alle equazioni esponenziali : trasformiamo l’equazione in un’altra equivalente che non sia logaritmica, applicando la funzione esponenziale (inversa del logaritmo) ad entrambi i membri. Siccome la funzione esponenziale è iniettiva, si ha che: 21 xx = se e solo se 21 xx aa = ; quindi 2)1(log3 =−x se e

solo se 2)1(log 33 3 =−x , cioè 91=−x e 10=x .

3.5 Risoluzione grafica di equazioni Si supponga di voler risolvere ad esempio l’equazione xx −= 2log ; non si sa come calcolare le soluzioni in modo esatto, ma esistono dei procedimenti che forniscono dei valori approssimati. Uno di questi procedimenti è di tipo grafico: si considerino i due membri dell ’equazione come due funzioni distinte xxf log)(1 = e xxf −= 2)(2 ; se 0x è una soluzione dell ’equazione, allora

)()( 0201 xfxf = e perciò il punto ( ))(, 010 xfx appartiene sia al grafico di )(1 xf che di )(2 xf . E

viceversa, le ascisse dei punti d’ intersezione dei due grafici sono soluzioni dell ’equazione. Dunque, le soluzioni dell ’equazione sono tutte e sole le ascisse dei punti d’ intersezione dei grafici delle funzioni )(1 xf e )(2 xf .

Disegnando i grafici di )(1 xf e )(2 xf è evidente che l’equazione ha un’unica soluzione ax

compresa tra 1 e 2:

Si osservi che la scelta di )(1 xf ed )(2 xf non è unica; ad esempio si sarebbe potuto scegliere anche

xxxf += log)(1 e 2)(2 =xf , ma in questo caso )(1 xf sarebbe stata più difficile da disegnare.

Sapere che ax è compreso tra 1 e 2 può non essere sufficiente; per ottenere una migliore

approssimazione si possono ad esempio util izzare i procedimenti descritti nei due paragrafi successivi.

3.6 Il metodo di bisezione Riprendiamo l’esempio del paragrafo precedente: ci proponiamo di approssimare meglio la soluzione ax dell ’equazione xx −= 2log .

Siano xxf log)(1 = , xxf −= 2)(2 e xxxfxfxg +−=−= 2log)()()( 21 ; dunque ( ) 0=axg .

xa

f2

f1

36

Se approssimiamo ( )2,1∈ax con 5.12

21 =+ (valore medio di 1 e 2), commettiamo un errore che è

la distanza di ax da 1.5; siccome ]5.1,1(∈ax oppure )2,5.1[∈ax , l’errore è minore della

lunghezza di ciascuno di questi due segmenti, cioè minore di 5.02

12 =−; graficamente, se ad

esempio fosse ]5.1,1(∈ax , si avrebbe infatti:

Siccome 5.1≠ax (infatti 00945.0)5.1( ≠−=g ), per migliorare ancora l’approssimazione

dobbiamo sapere se )5.1,1(∈ax oppure se )2,5.1(∈ax ; dato che 00945.0)5.1( <−=g , allora

)2,5.1(∈ax per il teorema degli zeri, dato che: )(xg è continua in [ ]2,5.1 , 0)5.1( <g e 0)2( >g .

Perciò un’ulteriore approssimazione di ax è 75.12

25.1 =+ e l’errore è minore di 25.0

2

122

=− (la

lunghezza del segmento iniziale è stata dimezzata due volte). Per migliorare ancora l’approssimazione di ax basta riapplicare il procedimento.

In definitiva, ad ogni ulteriore riapplicazione del procedimento (cioè, ad ogni iterazione del

procedimento) la lunghezza del generico intervallo [ ]sr , si dimezza e tra i due intervalli

+

2,

srr

e

+

ssr

,2

si sceglie quello in cui )(xg assume valori di segno opposto negli estremi, in modo da

avere la garanzia (per il teorema degli zeri) che l’ intervallo contenga almeno una soluzione di

0)( =xg . Naturalmente, se in una iterazione si trova che 02

=

+ sr

g (eventualità piuttosto rara),

allora ax è stato determinato in modo esatto ed il procedimento si arresta.

L’errore commesso dopo n iterazioni (se a e b sono gli estremi dell ’ intervallo iniziale) è n

ab

2

−< .

Nell ’esempio, dopo 7 iterazioni si ottiene:

a b

2

ba +

+

2

bag

1 1 2 1.5 < 0 2 1.5 2 1.75 > 0 3 1.5 1.75 1.625 > 0 4 1.5 1.625 1.5625 > 0 5 1.5 1.5625 1.5312 < 0 6 1.5312 1.5625 1.5468 < 0 7 1.5468 1.5625 1.5546 < 0

0.5 0.5

errore

2 1.5 xa 1

37

Il valore 1.5546 approssima ax con un errore minore di �0078.02

127

=− .

Si lascia come esercizio il calcolo di �236067.25 = : si tratta cioè di risolvere (per 0>x )

l’equazione 52 =x , perciò 5)( 2 −= xxg e come intervallo iniziale si può prendere ad esempio

[ ]3,2 , dato che 22 352 << .

38

3.7 Il metodo iterativo Vediamo un altro procedimento per ottenere un valore approssimato della soluzione ax di

xx −= 2log .

Ricavando x nell ’equazione si ottiene xx log2 −= , sia inoltre xxh log2)( −= . Fissiamo 5.10 =x

e calcoliamo i valori 5945.1)( 01 == xhx , 5334.1)( 12 == xhx e così via, dunque ogni nuovo valore

è l’ immagine tramite )(xh del precedente, cioè: )(1 nn xhx =+ . Facendo i conti si ottiene:

n

nx

1 1.5 2 1.5945 3 1.5334 4 1.5725 5 1.5473 6 1.5634 7 1.5531

I valori �,,,, 3210 xxxx si avvicinano sempre di più al valore di ax , per intuirne la ragione basta

disegnare i grafici di xy = e )(xhy = :

Il metodo però non sempre funziona: se ad esempio si volesse calcolare la radice quadrata di 5,

risolvere cioè l’equazione 52 =x per 0≥x , riscrivendo l’equazione come x

x5= (e perciò

xxh

5)( = ) allora, fissato un qualsiasi 00 ≠x si avrebbe

001

5)(

xxhx == e 012 )( xxhx == . Quindi

non si otterrebbe nessuna approssimazione di 5 . (In questo caso l’ostacolo può essere aggirato

“perturbando” l’equazione 52 =x : xxx +=+ 52 e quindi 1

5

++=

x

xx ; si lasciano come esercizio i

conti per approssimare 5 ; il grafico di )(xh è ottenuto nell ’esempio c) di 2.10). In definitiva questo metodo di approssimazione richiede qualche conto in meno (il calcolo della media) rispetto al metodo di bisezione, ma non garantisce né il risultato, né una valutazione dell ’errore commesso.

h(x1) = x2

x1 x0 xa

y = h(x) y = x

h(x0) = x1

39

3.8 Esempi in Economia: determinazione del tasso di una rendita Si supponga di investire un capitale C in regime di interesse composto (par. 2.8): quale dev’essere il tasso annuo d’ interesse i in modo da ottenere gli importi R1, R2 ed R3 rispettivamente dopo 1, 2 e 3 anni ?

Fissiamo alcune nomenclature: gli importi R1, R2 ed R3 ottenuti (a fronte del capitale investito) costituiscono una rendita e sono detti rate della rendita; il capitale C è detto valore attuale della rendita. Vediamo come determinare il tasso d’ interesse. La rata R1 corrisponde al capitale maturato (in regime di interesse composto) dopo 1 anno al tasso i ed a partire da un certo capitale iniziale C1 (detto valore attuale di R1), dunque: )1(11 iCR += e perciò 1

11 )1( −+= iRC ; analogamente, per R2

ed R3 si ottiene 222 )1( −+= iRC e 3

33 )1( −+= iRC .

Siccome la somma di C1, C2 e C3 (valori attuali delle rate) deve coincidere con C (valore attuale della rendita), si deve avere 3

32

21

1321 )1()1()1( −−− +++++=++= iRiRiRCCCC e perciò,

moltiplicando per 3)1( i+ : 0)1()1()1( 322

13 =−+−+−+ RiRiRiC . Infine, ponendo iu += 1

(fattore di capitalizzazione) l’equazione diventa: 032

21

3 =−−− RuRuRCu (1)

Ora, il problema consiste nel determinare la soluzione au dell ’equazione, corrispondente al tasso

incognito ai della rendita; poiché aa iu += 1 e 10 << ai , dev’essere 21 << au ; una volta calcolato

au si ha 1−= aa ui .

Per determinare la soluzione au dell ’equazione di terzo grado (1) possiamo utili zzare il metodo di

bisezione (par. 3.6) applicato all ’ intervallo ]2,1[ , supposto che nell ’ intervallo ]2,1[ l’equazione (1)

abbia solo la soluzione au .

Osservazione: per verificare che l’equazione (1) ha solo la soluzione au nell ’ intervallo ]2,1[ si può

disegnare il grafico della funzione rappresentata dal primo membro della (1). Vediamo un esempio numerico: supposto che il valore attuale C della rendita sia di 4000000 euro e che le rate valgano rispettivamente 9000001 =R , 12000002 =R ed 30000003 =R euro, allora

l’equazione (1) diventa (sempli ficando per 100000): 03012940 23 =−−− uuu (2)

e dopo 10 iterazioni, a partire dall ’ intervallo ( )2,1 , il metodo di bisezione dà: 1083.1≅au e quindi

1083.0≅ai (cioè circa un tasso del 10.83 %).

L’errore commesso è minore di 0.00097, cioè circa un millesimo, che non è una precisione molto elevata trattandosi di capitali dell ’ordine del mili one di euro. Il disegno del grafico rappresentato dal primo membro della (2) è ricavato nell ’esempio b) del paragrafo 5.3.

40

4 Disequazioni Come si è fatto per le equazioni, cerchiamo anche per le disequazioni di interpretarle e risolverle per via grafica.

4.1 Disequazioni di 1o grado Analizziamo prima il caso in una variabile. Una disequazione di primo grado in una variabile ha l’aspetto: bax ≥ (con a e b numeri reali ); naturalmente, il simbolo di disuguaglianza potrebbe anche essere uno tra i seguenti: < , > o ≤; le considerazioni riportate di seguito possono essere estese in modo ovvio anche a questi casi. Riscriviamo l’equazione come 0≥− bax e consideriamo l’equazione della retta baxy −= ; se 0x

è una soluzione della disequazione, allora 00 ≥− bax e perciò

−

≥�

0

00 , baxx è un punto della retta

baxy −= , con ordinata maggiore o uguale a zero; viceversa, ogni punto della retta con ordinata 0≥ ha come ascissa una soluzione della disequazione. Dunque, le soluzioni di bax ≥

rappresentano le ascisse dei punti della retta baxy −= che hanno ordinata ≥ 0 e, a seconda che il coeff iciente angolare a sia 0> oppure 0< , si ha:

Nel caso in cui sia 0=a , allora l’equazione della retta diventa by −= e quindi, se 0≤b tutti i punti della retta hanno ordinata 0≥ , se invece 0>b nessuno; nel primo caso qualsiasi x è una soluzione, mentre nell ’altro caso non ci sono soluzioni. Se invece le variabili sono due, la disequazione di primo grado ha l’aspetto 0≥++ cbyax ; vediamo di rappresentare graficamente le soluzioni (che, essendoci 2 variabili , in questo caso non sono numeri, ma bensì coppie ordinate di numeri).

Se 0≠b la disequazione si può scrivere b

cx

b

ay −−≥ e ponendo

b

am −= e

b

cq −= diventa

qmxy +≥ ; ora, un qualsiasi punto ( )00 , yxP = è soluzione della disequazione se le sue coordinate

verificano la disequazione, se cioè è vero che qmxy +≥ 00 ; siccome il punto

+=

≤���

0

00 ,y

qmxxQ

appartiene alla retta qmxy += , ciò significa che P ha la stessa ascissa di Q ma ordinata maggiore o uguale, dunque P sta “sopra” alla retta. Allora, le soluzioni di qmxy +≥ sono tutti i punti del piano che stanno sopra al grafico della retta qmxy += , (compresi i punti della retta perché nel

a < 0

b/a soluzioni: x ≤ b / a

y = ax - b

b/a soluzioni: x ≥ b / a

y = ax - b a > 0

41

simbolo della disuguaglianza c’è anche l’uguale); nel disegno l’ insieme delle soluzioni è evidenziato in grigio:

Se invece la disequazione fosse stata qmxy +≤ , allora le soluzioni sarebbe state i punti “sotto” al

grafico della retta retta, cioè i punti ( )00 , yx con qmxy +≤ 00 .

Esempi: a) per risolvere 020105 >−+− xy , innanzi tutto riscriviamo la disequazione lasciando al primo

membro solo la y: 42 −< xy ; allora, le soluzioni sono i punti sotto al grafico della retta 42 −= xy , esclusi i punti della retta stessa (che perciò è disegnata tratteggiata) dato che il

simbolo della disequazione è “<” (e non “≤” ):

b) è interessante osservare le disequazioni del tipo 0≥+ kx in cui compare solo la variabile x, ad

esempio 07 ≥+x : se considerata come disequazione in una variabile (e perciò risolta in R) dà come soluzioni i numeri 7−≥x , mentre, se è invece considerata come disequazione in due variabili (e perciò risolta in R2) dà come soluzioni i punti del piano con ascissa 7−≥x , cioè:

mx0 + q

x0

y = mx + q

y0

soluzioni di: y ≥ mx + q

-7

x = -7

42

Anche in questo caso, come per le equazioni, il dove risolvere la disequazione dev’essere un dato del problema.

4.2 Disequazioni di 2o grado Nel caso di una variabile, una disequazione di secondo grado ha l’aspetto: 02 ≥++ cbxax ( 0≠a );

se 0x è una soluzione della disequazione, allora il punto

++

≥�� ���

0

02

00 , cbxaxx appartiene alla

parabola di equazione cbxaxy ++= 2 ed ha ordinata 0≥ mentre, viceversa, ogni punto della parabola con ordinata 0≥ ha come ascissa una soluzione della parabola. Dunque, le soluzioni di

02 ≥++ cbxax sono le ascisse dei punti della parabola cbxaxy ++= 2 che hanno ordinata ≥ 0. Si hanno allora tre possibilit à, a seconda che la parabola intersechi in 2, 1 oppure 0 punti l ’asse x e questi tre casi si possono riconoscere dal segno del discriminante ∆ dell ’equazione 02 =++ cbxax (vedi il paragrafo 3.2). Dunque, le soluzioni di 02 ≥++ cbxax nel caso 0>a (concavità rivolta verso l’alto) sono:

Se invece 0<a , allora la parabola cbxaxy ++= 2 ha la concavità rivolta verso il basso e quindi le

soluzioni di 02 ≥++ cbxax sono:

x2 x1

∆ > 0

soluzioni: x ≤ x1 o x ≥ x2

∆ < 0

soluzioni: ogni x

x1 = x2

∆ = 0

soluzioni: ogni x

∆ < 0

soluzioni: nessuna

x1 = x2

∆ = 0

soluzioni: x = x1

Caso a > 0 :

x2 x1

∆ > 0

soluzioni: x ≥ x1 e x ≤ x2

Caso a < 0 :

43

In modo analogo si possono ottenere le soluzioni per le disequazioni di secondo grado con disuguaglianze di tipo “≤” , “<” oppure “>” . Nel caso di disequazioni con due variabili valgono le stesse considerazioni fatte per le disequazioni di primo grado. Esaminiamo alcuni esempi per le curve note, evidenziando in grigio l’ insieme delle soluzioni e tratteggiando le linee delle curve quando i loro punti non sono soluzioni. Esempi: a) consideriamo una disequazione di secondo grado e in due variabili del tipo:

02 ≤−−− cbxaxy ; se al primo membro si lascia solo la y si ottiene cbxaxy ++≤ 2 , che

assomiglia a qualcosa di già noto: sostituendo ≤ con = diventa l’equazione di una parabola. Allora, utili zzando le stesse argomentazioni viste per le disequazioni di primo grado, si trova che le soluzioni di cbxaxy ++≤ 2 sono i punti del piano che stanno sotto al grafico della

parabola cbxaxy ++= 2 .

Ad esempio, le soluzioni di 322 ++−≤ xxy sono:

b) se nell ’ultima disequazione scambiamo le variabil i, otteniamo la nuova disequazione

322 ++−≤ yyx ; ad essa corrisponde l’equazione 322 ++−= yyx le cui soluzioni sono

ottenute dalle soluzioni di 322 ++−= xxy scambiando le due coordinate: ad esempio, ( )0,1−

e ( )0,3 diventano rispettivamente ( )1,0 − e ( )3,0 . Dunque, il grafico di 322 ++−= yyx si

ottiene da quello di 322 ++−= xxy nello stesso modo in cui si ricava dal grafico di una

funzione il grafico della sua inversa (paragrafo 2.9); le soluzioni di 322 ++−≤ yyx sono:

c) la disequazione 1≥xy appare un po’ insolita rispetto alle precedenti; osserviamo innanzi tutto

che non ci possono essere soluzioni con ascissa nulla, perciò possiamo supporre 0≠x e

-1 3

-1

3

44

dividere per x in modo da ottenere solo la y al primo membro. Trattandosi però di una

disequazione, occorre tenere conto del segno: se 0>x , allora la disequazione diventa x

y1≥ ,

altrimenti se 0<x si ha x

y1≤ . Siccome la curva

xy

1= è un’ iperbole equilatera (vedi 1) di

2.10), le soluzioni sono:

d) la disequazione 42 ≥x ha una sola variabile e dunque può essere risolta sia in R che in R2: nel

primo caso le soluzioni sono i numeri 2−≤x o 2≥x , mentre nel secondo caso (e perciò se considerata come disequazione in due variabil i) si ottengono i punti del piano con ascissa

2−≤x o 2≥x :

Si procede in modo analogo se la disequazione contiene solo la variabile y; ad esempio 92 <y (risolta in R2) ha come soluzioni i punti con ordinata 33 <<− y :

2 -2

3

-3

45

4.3 Sistemi di disequazioni Come per le equazioni, anche nel caso delle disequazioni risolvere un sistema significa trovare le soluzioni comuni. Le soluzioni di un sistema di disequazioni si ottengono risolvendo separatamente ciascuna disequazione e successivamente facendo l’ intersezione delle soluzioni trovate. Sia nel caso dei sistemi in una variabile che in quello in due variabili , l’ intersezione delle soluzioni è effettuata graficamente. Vediamo un esempio per ciascun caso:

1) risolvere il sistema

≥−

<+−

02

0342

x

xx; la prima disequazione è di secondo grado ed ha soluzioni

1>x e 3<x , la seconda è invece sempre soddisfatta se il primo membro è calcolabile, se cioè l’argomento della radice è 0≥ (vedi a) di paragrafo 2.9). Dunque, il sistema diventa

≥−<>

02

31

x

xex e le disequazioni danno le soluzioni:

infine intersecando si ottiene 1≥x e 3<x

2) risolvere il sistema

≤−

>−−

02

012

y

y

yx; la prima disequazione è soddisfatta se numeratore e

denominatore hanno lo stesso segno, quindi le soluzioni sono date dall ’unione delle soluzioni dei

seguenti due sistemi:

≤<

−>∪

≤>

−<

2

0

1

2

0

1 22

y

y

xy

y

y

xy

e si ottiene:

2

1 3

2

-1

46

4.4 Altri tipi di disequazioni Come per le equazioni, vediamo alcuni altri tipi di disequazioni; anche in questo caso le soluzioni sono ottenute sfruttando i risultati dei paragrafi precedenti. a) disequazioni esponenziali :

consideriamo la disequazione esponenziale: 53 1 <−x . Come si è fatto per le equazioni esponenziali , per risolvere la disequazione la trasformiamo in un’altra disequazione equivalente (cioè con le stesse soluzioni) che non sia esponenziale (cioè priva di una espressione esponenziale al suo interno) applicando la funzione logaritmo ad entrambi i membri della disequazione. Siccome la funzione logaritmo è strettamente crescente (se la base è >1), allora (se 01 >x )

21 xx < se e solo se 21 loglog xx aa < ; dunque , ,

21

53 1

xx

x <− se e solo se 5log3log 31

3 <−x ; cioè

5log1 3<−x e 5log1 3+<x .

Se invece la base della funzione esponenziale è <1 come ad esempio nella disequazione

53

11

<

−x

, allora la corrispondente funzione logaritmo è strettamente decrescente e perciò:

21 xx < se e solo se 21 loglog xx aa > . In questo caso si ottiene: 53

11

<

−x

se e solo se

5log3

1log

3

1

1

3

1 >

−x

e quindi 5log13

1+>x

b) disequazioni logaritmiche:

per risolvere la disequazione logaritmica 1)2(log5 ≤+−x occorre cercare le soluzioni solo tra i

valori di x per cui primo e secondo membro sono calcolabili , quindi l ’argomento del logaritmo

dev’essere >0 ed è perciò necessario risolvere il sistema:

>+−≤+−

02

1)2(log5

x

x.

La seconda disequazione dà 2<x . Per risolvere la prima disequazione si procede invece come per le disequazioni esponenziali: si trasforma la disequazione in un’altra disequazione equivalente, che però non sia più logaritmica, applicando la funzione esponenziale ad entrambi i membri della disequazione. Siccome la funzione esponenziale è strettamente crescente (se la base è >1), allora 21 xx < se e solo se 21 xx aa < ; dunque 1)2(log5 ≤+−x se e solo se

1)2(log 55 5 ≤+−x ; cioè 52 ≤+− x e 3−≥x . Anche in questo caso, come per le disequazioni esponenziali , il simbolo della disequazione si inverte se la base è <1.

47

5 Derivate Si è visto che il grafico di una funzione può essere disegnato per punti (paragrafo 2.2) oppure mediante trasformazioni elementari (paragrafo 2.10), ma se si desidera disegnare un grafico più accuratamente e sapere in particolare dove la funzione cresce, decresce o ha dei massimi o dei minimi locali , occorre uno strumento matematico più sofisticato: la derivata.

5.1 Interpretazione geometrica di f `(x) Ci poniamo il seguente problema: data una funzione )(xf per quali valori di x la funzione cresce, decresce o ha dei massimi o dei minimi locali ? Supponiamo che la funzione )(xf sia definita in un intervallo e abbia un grafico dotato in ogni punto di retta tangente; allora, se m è il coefficiente angolare di una generica retta tangente e ricordando come varia il coeff iciente angolare m di una retta al variare dell ’ inclinazione della retta

(par. 2.4), si ottiene: cioè: - se 0>m )(xf è strettamente crescente - se 0<m )(xf è strettamente decrescente - 0=m nei punti del grafico di )(xf che sono di massimo o di minimo Ma come calcolare m ? Se cioè ( ))(, 00 xfxP = è un generico punto del grafico di )(xf , quanto

vale il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in P ? Disegniamo una generica retta r passante per P e per un altro punto ( ))(, xfxQ = (diverso da P) del grafico della funzione; siano inoltre: t la retta tangente in P al grafico, m il coeff iciente angolare di t ed mr il coefficiente angolare di r.

m > 0 f(x)

m = 0

m < 0

m = 0

m = 0

m > 0

r

P

Q

x0 x

f(x0) f(x)

t

f

48

Se x si avvicina a x0 allora Q tende ad avvicinarsi a P e perciò la retta r tende a coincidere con la retta t; dunque il coeff iciente angolare mr di r tende al valore del coefficiente angolare m di t.

Siccome 0

0 )()(

xx

xfxfmr −

−= (vedi 2.4), allora si ha che:

0

0 )()(lim

0 xx

xfxfm

xx −−

=→

.

Il valore m del limit e è indicato con )(' 0xf ed è detto derivata (o derivata prima) di f(x) nel punto

0x ; si dice inoltre che )(xf è derivabile in 0x .

Dunque: … )(' 0xf è il coeff iciente angolare della retta tangente al grafico di )(xf nel punto ( ))(, 00 xfx

Al variare di x, )(' xf rappresenta una nuova funzione (ottenuta da )(xf ) che fornisce le seguenti informazioni sul grafico di )(xf : - se 0)(' >xf )(xf è strettamente crescente - se 0)(' <xf )(xf è strettamente decrescente - 0)(' =xf nei punti del grafico di )(xf che sono di massimo o di minimo quindi, noto il segno di )(' xf (cioè noto per quali valori di x si ha 0)(' >xf , 0)(' <xf oppure

0)(' =xf ) si sa dove )(xf cresce, decresce oppure potrebbe (si veda l’osservazione 2) più sotto) avere dei massimi o dei minimi. Utili zzando tale interpretazione geometrica siamo in grado, noto il grafico di )(xf , di disegnare un grafico indicativo di )(' xf :

f’(x)=0

f’(x)=0

f’(x)=0

f’(x)=0

f’(x)<0 f’(x)>0

f’(x)>0

f’(x)<0

f’(x)>0

f(x)

f’(x)

49

Osservazioni: 1) si è visto graficamente che negli i ntervalli i n cui 0)(' >xf , )(xf è strettamente crescente; non

vale però il viceversa: ad esempio la seguente funzione )(xf è strettamente crescente

nell ’ intervallo ],[ ba , ma 0)(' 0 =xf :

Un caso del genere si verifica ad esempio per la funzione 3)( xxf = nel punto 00 =x (la

verifica può essere fatta svolgendo i calcoli come indicato in 5.3)

2) i valori di x per cui si ha 0)(' =xf non sono necessariamente tutti punti di massimo o di minimo (vedi la definizione in e) di 2.2); ad esempio per la funzione dell’osservazione 1) si ha

0)(' 0 =xf , ma 0x non è punto né di massimo né di minimo

3) possono esistere dei punti x di massimo o di minimo in cui la derivata prima non si annulla; ad

esempio per la seguente funzione )(xf definita in ],[ 31 xx :

il punto 1x è un punto di massimo assoluto, ma 0)(' 1 ≠xf ; analogamente 3x è un punto di

massimo locale ma 0)(' 3 ≠xf . Ciò dipende dal fatto che 1x e 3x sono punti di frontiera per il

dominio di )(xf , cioè punti tali che ogni intervallo aperto che li contiene, contiene sia punti del dominio sia punti che non appartengono al dominio. Invece, la derivata prima si annulla certamente nei punti di massimo o di minimo che sono punti interni del dominio (cioè, punti per i quali esiste un intervallo aperto che li contiene e che sia a sua volta contenuto in Dom(f)), come ad esempio 2x .

Dom(f)

x3 x1 x2

f(x)

b a

f ‘(x0) = 0

f(x)

x0

50

5.2 Interpretazione geometrica di f ``(x) In 5.1 si è visto che il segno della derivata prima )(' xf consente di stabili re dove la funzione )(xf cresce o decresce; ma nel tratto in cui la funzione è (ad esempio) crescente la concavità potrebbe essere rivolta verso l’alto oppure verso il basso come ill ustrato nel disegno (nel primo caso si dice che la funzione è convessa, nell ’altro che è concava):

Come distinguere questi due casi ? Si è visto che la derivata prima )(' xf di una funzione )(xf è a sua volta una funzione; se anche

)(' xf è derivabile, allora la sua derivata è detta derivata seconda di )(xf ed è indicata con )('' xf . Ora, se )(xf è convessa, allora la sua derivata prima )(' xf è crescente (perché il

coeff iciente angolare della retta tangente al grafico di )(xf aumenta al crescere di x); dunque la derivata di )(' xf , che è )('' xf , dev’essere 0≥ . Procedendo analogamente si trova che se )(xf è concava allora 0)('' ≤xf :

Dunque, noto il segno di )('' xf (noti cioè i valori di x per cui si ha 0)('' >xf , 0)('' <xf oppure

0)('' =xf ) si sa dove )(xf è convessa oppure concava: - se 0)('' >xf )(xf è convessa - se 0)('' <xf )(xf è concava

funzione convessa funzione concava

f(x) convessa

f’(x)

f’ ’ (x) ≥≥ 0

f(x) concava

f’(x)

f’ ’ (x) ≤ 0

51

5.3 Esempi a) data una funzione )(xf , per calcolare la sua derivata )(' xf non è in genere necessario

calcolare il limit e contenuto nella definizione di derivata, ma basta conoscere le derivate delle

calcola applicando le regole di derivazione 6) e 5) e le derivate 1) e 2), e si ottiene:

( ) ( ))5

4)6

'3'2')7()(' =+−+= xxxf 228')(2)'(7')3(')(2)'(7 3)2

4)1

4 −=−=+− xxxxx b) disegniamo il grafico della funzione rappresentata dal primo membro dell ’equazione (2)

dell ’esempio 3.8: 3012940)( 23 −−−= xxxxf

- dominio: la funzione )(xf è definita su tutto R - crescenza, decrescenza, massimi e minimi: calcoliamo innanzi tutto la derivata prima:

1218120)(' 2 −−= xxxf ; per sapere dove )(xf cresce o decresce basta conoscere il segno di )(' xf (par. 5.1), basta cioè risolvere la disequazione di secondo grado (par. 4.2):

01218120 2 ≥−− xx

si trova: 4

1−≤x oppure 5

2≥x e dunque il segno di )(' xf è rappresentato sinteticamente

dal seguente diagramma, in cui i “+” ed i “ -” indicano rispettivamente dove 0)(' >xf e dove 0)(' <xf :

cioè, )(xf è strettamente crescente se 4

1−<x , strettamente decrescente se 5

2

4

1 <<− x e

ancora strettamente crescente se 5

2>x .

Inoltre 4

1−=x è punto di massimo locale e 16

451

4

1 −=

−f , mentre

5

2=x è di minimo

locale e 25

842

5

2 −=

f .

Si osservi che 0)(' >xf nell ’ intervallo ( )2,1 , dunque )(xf è strettamente crescente in tale intervallo e perciò il grafico di )(xf interseca in al massimo un punto l’asse x; cioè,

l’equazione 0)( =xf ha al massimo una soluzione in ( )2,1 (come anticipato nell ’esempio in 3.8)

Alcune derivate e qualche regole di derivazione: 1) f(x) = k (k ∈ R) f’ (x) =0 2) f(x) = xn f’ (x) = n xn-1 3) f(x) = ax (a > 0) f’ (x) = ax log a 4) f(x) = logax (a > 0) f’ (x) = 1 / (x log a) 5) (k f(x))’ = k f’ (x) (k ∈ R) (deriv. del prod. per una cost.) 6) (f(x) + g(x))’ = f’ (x) + g’ (x) (derivata della somma) 7) (f(x) g(x))’ = f’ (x)g(x) + f(x)g’ (x) (derivata del prodotto) 8) f(g(x))’ = f’ (g(x)) g’ (x) (derivata della funzione composta)

funzioni elementari e le regole di derivazione (le une e le altre ottenibil i applicando la definizione di derivata). Le derivate di alcune funzioni elementari e le principali regole di derivazione sono indicate nello specchietto a lato. Ad esempio, la derivata di 327)( 4 +−= xxxf si calcola

2/5 0 -1/4

f ‘ (x) + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + +

52

- concavità: per sapere dove )(xf è concava o convessa occorre studiare il segno di )('' xf (par. 5.2); la derivata seconda è:

18240)('' −= xxf ed il suo segno è dato dalla soluzione di:

018240 ≥−x

che dà 40

3≥x ; dunque, il segno di )('' xf è:

perciò la funzione è concava per 40

3<x e convessa per 40

3>x . I punti come 40

3=x in cui

la funzione passa, al crescere di x, da concava a convessa (o viceversa) sono detti punti di flesso

- grafico: tenendo presenti i risultati dei punti precedenti e dato che )(xf tende a ∞+ (risp.

∞− ) se x tende a ∞+ (risp. ∞− ) (e per convincersene basta raccogliere 3x in )(xf ), il grafico di )(xf è:

3/40

f ‘’ (x)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + +

53

6 Integrali Anche in questo paragrafo partiamo da un problema geometrico: determinare (sotto certe condizioni) l’area di una figura piana. Per il calcolo delle aree utili zziamo gli integrali e perciò vediamo prima una breve descrizione del concetto di integrale e successivamente un procedimento che consente di calcolare gli i ntegrali utili zzando un collegamento tra il concetto di integrale e quello di derivata.

6.1 Integrali definiti Si supponga che )(xf sia una funzione continua e 0> nell ’ intervallo [ ]ba , ; allora la notazione

∫b

a

dxxf )( si legge: “ integrale definito (o integrale) da a a b di )(xf ” e rappresenta l’area

(evidenziata in grigio nel disegno) compresa tra l’asse x ed il grafico di )(xf nel tratto

dell ’ intervallo [ ]ba , .

Se invece )(xf è 0< in [ ]ba , , allora ∫b

a

dxxf )( è il numero corrispondente all ’area compresa tra la

funzione e l’asse x, ma con segno negativo:

I numeri a e b sono detti estremi di integrazione e [ ]ba , è detto intervallo di integrazione.

Per gli i ntegrali valgono, tra le altre, le seguenti proprietà (per ogni [ ]bac ,∈ ):

1) 0)( =∫c

c

dxxf (cioè, l’ integrale è nullo se gli estremi di integrazione coincidono)

2) ∫∫∫ =+b

a

b

c

c

a

dxxfdxxfdxxf )()()( , che graficamente si può interpretare nel seguente modo:

0)( >∫b

a

dxxf

0)( <∫b

a

dxxf

∫c

a

dxxf )(

∫b

c

dxxf )(

54

Per calcolare un integrale definito si potrebbe approssimare l’area corrispondente utili zzando delle figure geometriche di cui sappiamo calcolare bene l’area (ad esempio con dei rettangoli ). Il procedimento che ci interessa fornisce invece un risultato esatto (cioè, non approssimato) ed è ill ustrato nel prossimo paragrafo.

6.2 Interpretazione geometrica del teorema fondamentale del calcolo integrale

Di seguito descriviamo un procedimento per il calcolo degli i ntegrali basato sul collegamento (piuttosto inaspettato) tra il concetto di integrale e quello di derivata. Supponiamo che )(xf sia una funzione continua nell ’ intervallo [ ]ba , ; sia [ ]bax ,∈ e calcoliamo

l’ integrale ∫x

a

dttf )( (si osservi che all ’ interno dell ’ integrale si util izza t come nome della variabile

perché x è già usato come nome di un estremo di integrazione); il calcolo dell ’ integrale dà un numero che possiamo riportare in un sistema di coordinate accostato al sistema di coordinate con il grafico di )(xf (con 1x , 2x , 3x e 4x sono indicati i punti in cui )(xf interseca l’asse x):

Ad ogni valore di x nell ’ intervallo [ ]ba , è perciò associato il numero ∫x

a

dttf )( ; dunque, si ha una

funzione (detta funzione integrale) definita in [ ]ba , , che indichiamo con )(xF e che ha la legge:

∫=x

a

dttfxF )()(

Vediamo come varia la funzione )(xF : - se ax = gli estremi di integrazione coincidono e dunque 0)( =aF

x

∫x

a

dttf )(

∫x

a

dttf )(

55

- se ( )1, xax ∈ allora al crescere di x l’area rappresentata da ∫x

a

dttf )( aumenta (perché

0)( >xf nell ’ intervallo ( )1, xa ) e perciò )(xF aumenta

- se ( )21 , xxx ∈ allora ∫∫∫ +==x

x

x

a

x

a

dttfdttfdttfxF1

1

)()()()( e l’ultimo integrale

diminuisce all ’aumentare di x perché 0)( <xf , dunque )(xF diminuisce

- in modo analogo si trova che )(xF aumenta negli i ntervalli ( )32 , xx e ( )bx ,4 (in cui

0)( >xf e quindi l ’ integrale dà contributi >0), mentre )(xF diminuisce nell ’ intervallo

( )43 , xx (in cui 0)( <xf e quindi l ’ integrale dà contributi <0)

Riassumendo queste osservazioni otteniamo un grafico indicativo di )(xF :

dunque dove 0)( >xf )(xF cresce, dove 0)( <xf )(xF decresce e nei punti di minimo o di massimo di )(xF si ha 0)( =xf , dunque )(xf si comporta come la derivata di )(xF e in effetti si può dimostrare che:

)()(' xfxF = questo risultato è detto teorema fondamentale del calcolo integrale e )(xF è detta una funzione primitiva di )(xf .

Ora, il calcolo dell ’ integrale ∫d

c

dttf )( per un generico intervallo[ ]dc , contenuto in [ ]ba , , diventa:

)()()()()( cFdFdttfdttfdttfc

a

d

a

d

c

−=−= ∫∫∫

F(x)

b a

b a

56

(per la proprietà 2) descritta in 6.1 e per la definizione di )(xF ).

Dunque, in definitiva, il calcolo dell ’ integrale definito ∫d

c

dttf )( si è ridotto ad una sottrazione tra i

valori di )(xF negli estremi di integrazione; perciò, per calcolare l’ integrale ∫d

c

dttf )( basta

conoscere la funzione )(xF primitiva di )(xf . In effetti va bene una qualsiasi primitiva di )(xf perché le primitive di una stessa funzione differiscono per una costante (risultato che non dimostriamo) e dunque la differenza )()( cFdF − è la stessa per qualsiasi primitiva )(xF .

Notazioni: la differenza )()( cFdF − si scrive anche [ ] dcxF )( in modo da indicare qual’è la

funzione primitiva ed in quali punti va calcolata.

57

6.3 Esempi a) Supponiamo che )(xf sia una funzione continua; si è visto (par. 6.2) che per calcolare

l’ integrale definito ∫b

a

dxxf )( occorre conoscere almeno una primitiva di )(xf , cioè almeno una

funzione la cui derivata sia )(xf . Ma conoscere una primitiva )(xF di )(xf equivale a conoscere l’ insieme di tutte le primitive di )(xf (infatti tutte le altre sono del tipo kxF +)( con

k costante qualsiasi); siccome l’ insieme di tutte le primitive di )(xf è indicato con ∫ dxxf )( ed

è detto l’ integrale indefinito di )(xf , allora per calcolare un integrale definito per )(xf basta conoscere tale insieme, cioè calcolare l’ integrale indefinito di )(xf .

si ottiene, in genere, conoscendo gli i ntegrali delle funzioni elementari e le regole di integrazione (alcuni integrali e qualche regola di integrazione sono riportati nel riquadro). Ad esempio l’ integrale precedente di può calcolare nel seguente modo:

kxkx

xdxxdx +=+== ∫∫ 22)1)4

2222 .

b) ora, calcolato l’ integrale indefinito per xxf 2)( = , siamo in grado di calcolare qualsiasi

integrale definito per la stessa funzione, ad esempio ∫7

0

2xdx e si ottiene:

[ ] 49072 2270

27

0

=−==∫ xxdx

In questo caso il risultato può essere verificato, infatti l ’ integrale calcolato rappresenta l’area di

un triangolo di base 7 ed altezza 14 e perciò di area 492

147 =⋅, valore che coincide col risultato

dell ’ integrale:

Gli integrali (indefiniti) di alcune funzioni elementari: 1) ∫ xn dx = xn+1/ (n+1) + k (se n ≠ 1) 2) ∫ ax dx = ax / log a + k 3) ∫ 1/x dx = log |x| + k Alcune regole di integrazione: 4) ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx (k ∈ R) 5) ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

Vediamo un esempio: siccome la derivata di 2x è x2 , allora 2x è una primitiva di x2 e le altre primitive sono del tipo kx +2 con k costante; dunque, l’ integrale indefinito di

xxf 2)( = è kxxdx +=∫ 22 .

Il calcolo di un integrale indefinito utili zzando gli i ntegrali e le regole ess

f(x) = 2x

492

7

0=∫ xdx

58

Si osservi che se invece gli estremi di integrazione fossero stati –7 e 0 (anziché 0 e 7), allora l’area del triangolo sarebbe stata la stessa, ma l’ integrale avrebbe dato come risultato –49, essendo la funzione minore di zero nell ’ intervallo di integrazione (infatti il grafico di xxf 2)( = sta al di sotto dell ’asse x nell ’ intervallo )0,7(− ):

f(x) = 2x

4920

7

−=∫−

xdx

59

Bibliografia 1] R. Courant, H. Robbins Che cos’è la matematica ? Bor inghieri, 1985 2] A. Basso. P. Pianca Appunti di Matematica Finanziar ia Cedam, 2001

60

Indice analitico

A ascissa; 2 assi cartesiani; 2

C codominio; 4 coefficiente angolare; 10 coordinate; 3

D derivata seconda; 50 derivate; 47

interpretazione geometrica; 47 discriminante; 33 disequazioni

esponenziali ; 46 logaritmiche; 46

disequazioni di primo grado in 1 variabile; 40 in 2 variabili; 40

disequazioni di secondo grado in 1 variabile; 42 in 2 variabili; 43

dominio; 4

E equazioni

esponenziali ; 34 logaritmiche; 34

equazioni di primo grado in 1 variabile; 31 in 2 variabili; 31

equazioni di secondo grado formula risolutiva; 32 in 1 variabile; 31; 34; 46

F fattore di capitalizzazione; 27 funzione

concava; 50 convessa; 50 crescente; 6 decrescente; 6 definizione; 4 dispari; 22 iniettiva; 8 integrale; 54 pari; 22 periodica; 23 primitiva; 55 strettamente crescente; 6 strettamente decrescente; 6 suriettiva; 8

funzione esponenziale grafico per 0<a<1; 20 grafico per a>1; 25

funzione logaritmo; 29 funzione mantissa; 26 funzione pavimento; 25 funzione radice quadrata; 28

G grafico

della funzione inversa; 28 di una funzione; 4

I immagine; 4 integrale definito; 53 integrale indefinito; 57 integrali; 53 interesse composto; 27 interesse semplice; 15 iperbole equilatera; 19

M modulo; 24

N normalizzazione; 14 numero e; 25

O ordinata; 2 ordinata all 'origine; 10

P parabola; 16

equazione generale; 16 punto

interno; 49 punto di

flesso; 52 frontiera; 49 massimo assoluto; 6 massimo locale; 6 minimo assoluto; 6 minimo locale; 6

R rate di una rendita; 39 rendita; 39 retta; 9

equazione esplicita; 10 equazione generale; 12

risoluzione di equazioni metodo di bisezione; 35 metodo iterativo; 38 soluzione grafica; 35

61

S sistema di coordinate

per il piano; 2 per la retta; 2

sistemi di disequazioni; 45 sistemi di equazioni; 34

T tasso di una rendita; 39 traslazioni; 19

V valore assoluto; 24 valore attuale di una rendita; 39