Esame di stato di istruzione secondaria superiore ... · genera dei solidi di rotazione di forma...

www.matematicamente.it Nicola De Rosa maturità 2015

1

Esame di stato di istruzione secondaria superiore

Indirizzi: LI02– SCIENTIFICO

LI03 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE

Tema di matematica (Testo valevole anche per la corrispondente sperimentazione quadriennale)

Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario

PROBLEMA 1

Sei stato incaricato di progettare una pista da ballo all’esterno di un locale in costruzione in una

zona balneare. Il progetto prevede, oltre alla pista, delle zone verdi e una tettoia che consenta l’uso

della pista anche in caso di pioggia.

La pista da ballo viene rappresentata, in un sistema di riferimento cartesiano Oxy in cui l’unità di

misura corrisponde a 1 metro, all’interno del rettangolo avente come vertici i punti di coordinate (-

4, 0), (4, 0), (-4, 25) e (4, 25); nella scelta della sagoma della pista va rispettato il vincolo rbanistico

che stabilisce che essa non può occupare più del 60% della superficie di tale rettangolo.

Un tuo collaboratore predispone due soluzioni: la prima è rappresentata dalla parte di piano

compresa tra l’asse x e la curva di equazione, 2516

25 2 xy , ∈ [−4, 4], la seconda dalla parte

di piano compresa tra l’asse x, la curva di equazione 24

100

xy

e le rette = − 32 , = 32 .

1. Studia le due soluzioni, e traccia il grafico di entrambe nel riferimento cartesiano Oxy.

Individua in particolare le caratteristiche delle due funzioni che sono più rilevanti nella fase

di costruzione della pista: eventuali punti di massimo e di minimo, di flesso, angolosi.

Il proprietario del locale sceglie la seconda soluzione, che ritiene più elegante, ma ti chiede di

realizzare due aiuole nelle porzioni di terreno comprese tra le due curve che gli hai proposto.

2. Determina l’area della soluzione scelta e verifica che essa rispetti i vincoli urbanistici, in modo da poter poi procedere all’acquisto del materiale necessario per la costruzione della

pista.

Poiché lo scavo effettuato ai lati della pista ha reso il terreno scosceso, hai fatto eseguire delle

misure e hai verificato che sia per ∈ [− 32 , 0] che per ∈ [0, 32 ] la profondità dello scavo

stesso varia con la legge lineare rappresentata dalla funzione ( ) = | | + 1; è dunque necessario

acquistare del terreno per riempire lo scavo e realizzare le aiuole richieste.

3. Calcola quanti metri cubi di terreno vegetale sono necessari per riempire l’aiuola delimitata

dalle suddette curve nell'intervallo [− 32 , 0].

Per realizzare la tettoia, è necessario usare un piano leggermente inclinato, per favorire il deflusso

della pioggia. Nel sistema di riferimento cartesiano Oxyz, tale piano deve passare per i punti (-4, 0,

5), (4, 0, 5) e (0, 25, 4), in modo che la quota vari gradualmente dai 5 metri in corrispondenza

dell’inizio della pista, ai 4 metri in corrispondenza della fine della pista stessa.

4. Determina l’equazione del piano prescelto.


2

SVOLGIMENTO a cura di Nicola De Rosa

1. La curva di equazione, 2516

25 2 xy , ∈ [−4, 4], è un arco di parabola con vertice che

funge da massimo in (0,25), ha concavità verso il basso, interseca l’asse delle ascisse in (-4,0) e

(4,0) e non presenta né flessi né punti angolosi.

La funzione 24

100

xy

, con 32,32x non è altro che un arco della versiera di Agnesi

dilatata lungo l’asse delle ordinate di 2

25. Infatti la versiera di Agnesi ha espressione

22

2

4

8

xa

ay

, pertanto

22 4

8

2

25

4

100

xxy

si ricava da essa con 1a e dilatazione lungo

le ordinate di 2

25.


3

La funzione 24

100

xy

è sempre positiva, pari, non interseca l’asse delle ascisse, interseca

l’asse delle ordinate in (0,25), ha la retta y=0 come asintoto orizzontale destro e sinistro. La

derivata prima è 224

200

x

xy

pertanto la funzione è strettamente crescente per x<0 e

strettamente decrescente per x>0 e (0,25) è punto di massimo assoluto. La derivata seconda è

pari a 32

2

4

34200

x

xy

pertanto la funzione presenta concavità verso l’alto in

,

3

32

3

32, e verso il basso in

3

32,

3

32 di conseguenza

4

75,

3

32,

4

75,

3

32 sono due flessi a tangente obliqua.

La funzione 24

100

xy

incontra le rette 32x nei punti

4

25,32,

4

25,32 BA .

Di conseguenza la funzione 24

100

xy

delimitata dalle rette 32x ha la seguente

espressione analitica:

320

32324

100

320

2

x

x -x

- x

y

Calcoliamo i limiti a destra e sinistra di 32x della derivata prima, si ha:

0'lim,3

16

25

4

200lim'lim

316

25

4

200lim'lim,0'lim

32223232

22323232

yx

xy

x

xyy

xxx

xxx

di conseguenza 32x sono ascisse di due punti angolosi.


4

2. L’arco di parabola è interamente interno al rettangolo avente come vertici i punti di coordinate

(-4, 0), (4, 0), (-4, 25) e (4, 25). Tale rettangolo ha area 2m 200825 pertanto a norma del

teorema di Archimede l’area sottesa dall’arco di parabola 2516

25 2 xy , ∈ [−4, 4] è

2m3

400200

3

2 e il rapporto tra l’area del rettangolo e quella dell’arco di parabola è

%67,663

2 ovvero superiore al 60% imposto dai vincoli urbanistici.


5

L’area sottesa dalla seconda soluzione è pari a

3

100

2arctan100

21

2

1

1004

1002

32

0

32

0

2

32

0

2

xdx

xdx

x. Di conseguenza il rapporto

tra l’area della seconda soluzione e quella del rettangolo è %526200

3

100

pertanto questa

seconda soluzione rispetta i vincoli urbanistici.

3. Il volume di ciascuna aiuola è il volume di un solido avente per base una delle due regioni di

piano, limitate dalla parabola e dalla cubica ed altezza ( ) = | | + 1.

Nell’intervallo [−2√3, 0] tale volume è pari a

3

0

32

2234

0

32

22

23

0

32

2

2

m 03,373

502ln100

4

3753

2

75

3

502ln2003501503

2

25

4

2252ln100

2arctan504ln5025

2

25

48

25

64

25

4

100

4

1002525

16

25

16

25

14

10025

16

25

xxxxxx

dxxx

xxxx

dxxx

x

4. Il piano ha equazione 0 dczbyax , imponendo il passaggio per i 3 punti si ha:

0425

054

054

dcb

dca

dca

Sottraendo le prime due si ricava subito a=0; sommando le prime due si ottiene d=-5c che

sostituita nella terza comporta c=25b. Le soluzioni del sistema sono quindi

bd

bc

b

a

125

25

0

Considerando b=1 la soluzione del sistema è


6

125

25

1

0

d

c

b

a

ed il piano ha equazione 012525 zy .


7

PROBLEMA 2

La rotazione intorno all’asse dei grafici della famiglia di funzioni:

0 , ,0 ,con 4

22 kkkxxxkk

xxf k

genera dei solidi di rotazione di forma aerodinamica.

1. In un riferimento cartesiano Oxy, traccia i grafici delle funzioni ( ), per = 1, = 2, = 3 e

determina il valore di per il quale il volume del solido di rotazione assume il valore 192

64

2. calcola il diametro massimo dei solidi di rotazione in funzione di , e determina il valore

dell'angolo formato dalla tangente al grafico di con l'asse per = 0;

3. assumendo che la distribuzione della massa sia omogenea, il baricentro del corpo di rotazione si

trova sull’asse , per ragioni di simmetria. Determina l’ascissa del baricentro in funzione del

parametro , sapendo che vale:

V

dxxfx

x

b

a

k

s

2

dove gli estremi di integrazione a e b vanno scelti opportunamente, e V indica il volume del solido

di rotazione;

4. all’interno del solido di rotazione generato da , per = 3, si vorrebbe collocare un cilindro di

raggio 0,5 e di altezza 6. Verifica se ciò è possibile, motivando la tua risposta.


8

SVOLGIMENTO

1. Il dominio della funzione 4

2 xkk

xxf k è 20 kx , interseca l’asse delle ascisse in

0,,0,0 2k e quello delle ordinate in 0,0 , è non negativa nel dominio 20 kx , non

presenta asintoti verticali, orizzontali ed obliqui.

La derivata prima è xkk

xkxf k

2

2'

8

32 pertanto

4

2 xkk

xxf k è strettamente crescente

in

3

2,0

2k e strettamente decrescente in

22

,3

2k

k pertanto

18

3,

3

2 22 kk è di massimo

relativo ed assoluto.

La derivata seconda è 32

2''

16

34

xkk

xkxf k

pertanto

4

2 xkk

xxf k volge concavità

verso il basso in tutto il dominio 20 kx .

Di seguito il grafico.

Il volume del solido è pari a

6

0

2

43

0

2

32

0

2

192431616

222

kk

xxdx

k

xxdxxfV

kkk

k

Imponendo 192

64

192

6 kV si ricava 2646 kk .

2. Il diametro massimo dei solidi di rotazione è pari al doppio del valora massimo di

4

2 xkk

xxf k ovvero

9

32

max

kkD .

La tangente a 4

2 xkk

xxf k in x=0 ha equazione

40

xxfy '

k pertanto l’angolo

formato con l’asse delle ascisse è '2144

1arctan

.

3. Il baricentro è pari a


9

2

0

2

54

6

0

2

43

66

0

2

432

5

3

54

1212

192

162

2

2

kk

xx

kdx

k

xx

kk

dxk

xx

V

dxxfx

x

kk

kb

a

k

s

4. Consideriamo la figura seguente.

Iniziamo a calcolare le soluzioni dell’equazione

.03692

19

122

1 23

3 xxxx

xf

Graficamente si evince che le soluzioni sono 2 e sono date dalle ascisse dei punti E e F,

calcoliamole analiticamente.

Consideriamo la funzione 369 23 xxxh ; essendo 09,08,03,02 hhhh , a

norma del torema degli zeri si deduce che le due soluzioni di 0xh sono 9,8,3,2 ;

anche graficamente si intuisce che le due soluzioni sono tali per cui 9,8,3,2 .

Applicando il teorema di Newton-Raphson si ricavano i seguenti valori per 9,8,3,2

tramite la formula ricorsiva n

n

nnxh

xhxx

'1 :

n xn xn+1 err=|xn+1-xn|

0 3,000 2,333

1 2,333 2,322 0,667

2 2,322 2,322 0,012

3 2,322 2,322 0,000

Di conseguenza 502.8,322.2

Essendo 6180.6 si deduce che non è possibile iscrivere un cilindro di raggio 0,5

ed altezza 6.

n xn xn+1 err=|xn+1-xn|

0 9,000 8,556

1 8,556 8,503 0,444

2 8,503 8,502 0,053

3 8,502 8,502 0,001

4 8,502 8,502 0,000


10

QUESTIONARIO

1. Data la funzione integrale dtt

x

1

ln , determinare per quali valori di il suo grafico incontra la

retta di equazione = 2 + 1.

2. Data la famiglia di funzioni 3363 kxxy trovare la funzione tangente nel punto di

ascissa 3 ad una retta parallela alla bisettrice del primo quadrante. Determinare l'equazione

di detta tangente.

3. Vengono lanciati due dadi. Dei due punteggi, viene considerato il maggiore; se sono uguali,

viene considerato il punteggio comune dei due dadi. Detto X il punteggio registrato,

riportare in una tabella la distribuzione di probabilità di X e mostrare che ( = 3) =36

5.

Calcolare inoltre la media e la varianza di X.

4. In un sistema di riferimento cartesiano nello spazio Oxyz sono dati i punti A (−3, 4, 0) e C

(−2, 1, 2). I tre punti O, A e C giacciono su un piano E. Determinare l’equazione che

descrive il piano E.

5. Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione =

2 della parte di piano delimitata dalla parabola di equazione 2 = 8 e dalla retta stessa.

6. Preso un punto C su una semicirconferenza di diametro = 2 , sia M il punto medio

dell’arco BC. Determinare il valore massimo che può assumere l’area del quadrilatero

ABMC.

7. Una fabbrica produce mediamente il 3% di prodotti difettosi. Determinare la probabilità che

in un campione di 100 prodotti ve ne siano 2 difettosi, usando:

la distribuzione binomiale;

la distribuzione di Poisson.

8. Provare che la funzione = − ha infiniti zeri, mentre la funzione = − non

ne ha alcuno.

9. Calcolare la derivata della funzione ( ) = ∙ , adoperando la definizione di derivata.

10. Sia la derivata seconda di una funzione reale ( ) data da ′′( ) = 3 − 6. Determinare

l’espressione di ( ), sapendo che il grafico della funzione passa per il punto P (2, −7) e che

l’angolo formato dalla tangente al grafico di ( ) con l’asse nel punto di ascissa x = 0 vale

45°.


11

SVOLGIMENTO

1. Risolvendo l’integrale si ha 11lnlnln 1

1

xxtttdttyx

x

. Il punto di incontro con la

retta y=2x+1 si ricava risolvendo l’equazione 1211ln xxx da cui

.0

21ln

021ln

3ex

x

x

xxxx

In conclusione i punti in comune sono

.12,,1,0 33 ee

Si noti che la funzione 11ln xxy è prolungabile per continuità in 0x in quanto

111lnlim0

xxx

.

2. La retta tangente ha coefficiente angolare 276630' 3

2 kkxym x . Dovendo essere

parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante, tale coefficiente angolare deve essere

unitario, ovvero deve essere 3

141276 kk , di conseguenza la cubica ha equazione

33283 xxy ed il punto di tangenza è (3,90). In conclusione l’equazione della tangente è

87390 xyxy .

3. Lanciando due dati è possibile avere 36 combinazioni. Di seguito la tabella con il punteggio

registrato:

Coppie estratte Risultato registrato

(1,1) 1

(1,2) 2

(1,3) 3

(1,4) 4

(1,5) 5

(1,6) 6

(2,1) 2

(2,2) 2

(2,3) 3

(2,4) 4

(2,5) 5

(2,6) 6

(3,1) 3

(3,2) 3

(3,3) 3

(3,4) 4

(3,5) 5

(3,6) 6

(4,1) 4

(4,2) 4

(4,3) 4

(4,4) 4

(4,5) 5

(4,6) 6


12

(5,1) 5

(5,2) 5

(5,3) 5

(5,4) 5

(5,5) 5

(5,6) 6

(6,1) 6

(6,2) 6

(6,3) 6

(6,4) 6

(6,5) 6

(6,6) 6

Si ha:

36

116,

36

95,

36

74,

36

53,

36

32,

36

11 pppppp

La media di X è

36

161

36

116

36

95

36

74

36

53

36

32

36

11 X

Il valore quadratico medio di X è

36

791

36

1136

36

925

36

716

36

59

36

34

36

112 XE

La varianza di X è

1296

2555

1296

25921

36

791

36

161

36

7912

222

XX XE

4. L’equazione generica del piano è 0 dczbyax . Imponendo il passaggio per i tre punti si

ha:

0

8

5

4

3

0

022

043

d

ac

ab

a

d

dcba

dba

Considerando 8a si ricava il piano di equazione 0568 zyx .

5. Consideriamo la figura seguente


13

.

Poiché il volume è invariante per traslazioni, consideriamo il nuovo sistema di riferimento dato da

yY

xX 2. In questo modo l’arco di parabola è 282 XY e bisogna calcolare il volume

generato dalla rotazione intorno all’asse delle ordinate della seguente regione:

Il volume richiesto è pari a


14

15

25616

3

32

5

1624

632024

26422

82

4

0

354

0

244

0

22

Y

YYdY

YYdY

YV

6. Consideriamo la figura seguente:

L’area del quadrilatero ABMC è la somma delle aree dei triangoli ABM e AMC.

Sia 4

0

, si ha:

4sin2

2sin

2cos2sinsin2

2sin2

2cos2,sin2,cos2

22

2

2

rrAMCSAMBSABMCS

rACAM

AMCS

rMBAM

AMBS

rACrMBrAM

La derivata prima della funzione area è

12cos12cos2212cos2cos224cos22cos2' 22222 rrrrf

Poiché per 4

0

si ha 012cos , il segno della derivata prima dipende da

12cos2 , ovvero si ha

60

66

40

23

223

40

2

12cos0'

k

kk

k

kk

f


15

Quindi la funzione area è strettamente crescente per 6

0

e strettamente decrescente per

46

pertanto presenta un massimo per

6

in corrispondenza del quale l’area

massima vale 2222

2

max4

33

4

3

2

3

3

2sin

23sin rrr

rrABMCS

.

7. La probabilità che su 100 ve ne siano 2 difettosi utilizzando la distribuzione binomiale è

2251,097,003,0495097,003,02

100 982982

p

La probabilità che su 100 ve ne siano 2 difettosi utilizzando la distribuzione di Poisson di

parametro 3 è

2240,02

9

!2,3 3 e

kekp

k

8. Proviamo che la funzione xey x tan ha infiniti zeri.

Possiamo provarlo graficamente ed analiticamente. Graficamente rappresentando nello stesso

riferimento cartesiano le funzioni xey e xy tan possiamo notare che si intersecano infinite

volte.


16

Analiticamente basta prendere un intervallo di ampiezza , ad esempio 22

x , e ripetere lo

stesso ragionamento seguente per gli altri intervalli.

Poiché

xexe x

x

x

x

tanlim,tanlim

22

e poiché è possibile individuare un intervallo

chiuso e limitato in cui il comportamento agli estremi è di segno opposto, per il teorema degli zeri

esiste una radice dell’equazione 0tan xey x per 22

x .

Proviamo che la funzione xey x arctan non ha zeri.

Possiamo provarlo graficamente ed analiticamente. Graficamente rappresentando nello stesso

riferimento cartesiano le funzioni xey e xy arctan possiamo notare che non si intersecano

mai.

Analiticamente, essendo 0arctan xey x per 0x , eventuali zeri sono da ricercare per

.0x La derivata prima di xey x arctan è 21

1'

xey x

, e poiché per 0x si ha 1xe e

,11

12

xsi deduce che xey x arctan è strettamente crescente per 0x ; poichè


17

10arctan0 0 ey , per la stretta crescenza, si deduce che la funzione xey x arctan

assumerà sempre valori maggiori di 1 per 0x , pertanto non si annulla nemmeno per 0x ,

ovvero non si annullerà mai.

9. Si ha:

xxh

h

xh

h

xhxhx

h

xhx

hh

exeeeh

exe

h

heexe

h

xeehx

h

xfhxfxf

1

0

1

00

00

lim1

lim1

lim

limlim'

10. Integrando due volte la derivata seconda si ottiene:

HKxxx

dxKxxxf

Kxxdxxxf

23

2

2

32

62

3

62

363'

Imponendo il passaggio per P(2,-7) si ricava 12 HK .

Imponendo che 10' f si ricava 1K da cui 1H .

In conclusione 132

23

xxx

xf .

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