Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009 CURVE e...

Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

CURVE e SUPERFICIE 1: Modelli matematico e

categorie comuni (morfologia ingenua) delle curve: la

doppia natura delle coniche

F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

Curve e superficie 1: le curve antiche

introduzione• Linee e superfici come astrazioni percettive:

specificazioni del paradigma del tipo• L’originaria doppia natura dei modelli geometrici delle

curve e delle superficie: come leggi del moto di un punto e come sezione di corpi

• NOZIONI BASILARIle antiche coniche1. coniche come “luoghi solidi”

1.1 le coniche di Menecmo1.2 le coniche di Apollonio

2. coniche come luoghi geometrici del piano2.1 fuochi2.2 direttrici ed eccentricità


Che forma ha? / Che forma è?


Curve e superficie come attributi della forma dei corpi


Modello geometrico delle curve e delle superficie

curva superficie

Percorso di un punto che si muove a un grado di

libertà

Tessuto di un punto che si muove a due

gradi di libertà

Movimento di una curva (generatrice) su un’altra

curva (direttrice) a un grado di libertà

Interzezione tra due superficie in uno spazio

3D

Inviluppo delle rette tangenti

Inviluppo dei piani tangenti

Luogo legittimo

Luogo solido


Luoghi legittimi: cinematismi piani e grafici delle Funzioni

• La curva come luogo di punti è immaginata come prodotta da un cinematismo piano a un solo grado di libertà; è dunque il Luogo delle posizioni consecutive di un punto in movimento secondo una legge data come relazione analitica fra le coordinate x e y del piano (soddisfatta da tutti e soli i punti della curva): equazione della curva.

• 1) ciascuna coordinata è espressa come funzione di un parametro (ad esempio il tempo)

x = f (t), y = g (t)• 2) oppure entrambe le coordinate sono espresse in

una sola equazione f (x,y) = 0 in forma cartesiana o polare.

• A esempio in forma polare…:


;


Grado delle equazioni e ORDINI delle curve

• Se f(x, y) è un polinomio (ridotto) di grado m, la curva è algebrica di Ordine m (di primo grado per una retta, di secondo grado per una conica). L’ordine ha il noto significato proiettivo del massimo numero di intersezioni con una retta del piano proiettivo.

• La curva si dice algebrica oppure trascendente secondo che sia algebrica o trascendente la sua equazione

Il punto doppio si conta due volte

L’ordine di una curva non dipende dal tipo coordinate (cartesiane, polari, bipolari …) nei quali è rappresentata la sua equazione poiché le relazioni che permettono il passaggio da un sistema di riferimento cartesiano a un altro sono lineari e dunque l'ordine di una curva algebrica rimane invariato quando si cambia sistema di riferimento.


Punti speciali di una curva

• MULTIPLO - Se una curva torna su stessa una o più volte il punto nel quale avviene questo ritorno assume generalmente tangenti distinte ed è nominato PUNTO DOPPIO o TRIPLO o MULTIPOLO. Le tangenti possono coincidere, o divenire a coppie immaginarie coniugate.

• NODO - In un punto doppio le tangenti possono essere reali e distinte e allora il punto si dice NODO;

• CUSPIDE - possono essere invece reali e coincidenti, allora quel punto è una CUSPIDE e le tangenti reali e coincidenti invertono il loro senso.

• ISOLATO - Le tangenti nel punto doppio possono anche essere immaginarie e coniugate, allora il punto si dice ISOLATO.

• ASINTOTICO è un punto attorno al quale la curva compie infinite evoluzioni.

• Per dualità nel piano dall’idea di punto multiplo si ammette quella di tangenti multiple aventi con la curva multipli punti di contatto.

• Una tangente doppia sega la curva in due punti reali e distinti o coincidenti, oppure immaginari e coniugati; tali punti sono detti DI FLESSO;


TANGENTE di una curva e curva come INVILUPPO

• La tangente in un generico punto A di una curva piana è la posizione limite della secante in A e in un punto A' quando A' tende a A.

• il variare del coefficiente angolare delle tangenti si esprime traducendo la forma esplicita dell’equazione y = f(x) nella funzione sua derivata prima y'(x).

• La curva è così anche l’INVILUPPO delle sue rette tangenti, si può immaginare ogni suo punto come generato dal moto di una retta che interseca in ogni istante la sua posizione precedente. Una curva è l’insieme dei punti di contatto della famiglia delle sue tangenti.


Luoghi legittimi:cinematismi spaziali a due gradi di libertà e

funzioni rappresentati superficie

• Superficie è ogni oggetto topologico localmente omeomorfo al piano; lo si può immaginare descritto dal moto di una curva (generatrice) lungo un’altra curva (direttrice) e dunque assimilabile a un cinematismo a tre dimensioni e due gradi libertà

• In quanto tale (sia come luogo di punti o inviluppo di piani) una superficie può essere descritta con funzioni di tre variabili, se l’equazione è algebrica la si dice algebrica e il suo ordine equivale al grado del polinomio. I piani sono superficie di primo ordine, le quadriche di secndo, le cubiche di terzo, le quartiche del quarto…


1.1 Coniche di Menecmo

ORTOORTOTOMATOMA

OXIOXITOMATOMA

AMBLIAMBLITOMATOMA

1. STEROI TOPOI (luoghi solidi)


ORTOTOMA

OXITOMA

AMBLITOMA

Cono rettangolo

Cono acutangolo

Cono ottusangolo


superficie superficie conica rotondaconica rotonda è il luogo delle rette g (generatrici) che passano per un punto V (vertice) di una retta v (asse) e che formano con v un angolo costante.

Sezione conicaSezione conica è la curva (necessariamente chiusa) nella quale un piano taglia una superficie cnica rotonda.

1.2 Coniche di Apollonio


Un qualunque piano (non passante per V) taglia la superficie conica in una curva simmetrica lungo un asse detto asse focale o asse principale della sezione conica.

Tale asse focale è l’intersezione del piano della

conica con il piano ad esso che passa per l’asse v della superficie conica e dunque è anche un piano di simmetria della superficie.

L’asse focale incontra la curva nei suoi due apsidi A1 e A2, vertici principali della conica la cui distanza 2a misura la lunghezza dell’asse focale.

Apside A1 Apside A2

2a asse focale

Conica (sezione)


parabolaparabola

ellisseellisse

iperboleiperbole

L’asse focale della sezione conica può formare un angolo rispetto all’asse v uguale, minore o maggiore di (l’angolo formato dalle generatrici g della superficie) a seconda che il piano sia // a una, a due o a nessuna generatrice. Nel primo caso incontra al finito tutte le generatrici tranne quella a esso // per cui la curva, parabolaparabola, ha tutti punti propri tranne il suo secondo vertice principale. Nel secondo caso i vertici della curva sono propri ma, essendo // a due generatrici, la curva, iperboleiperbole, ha due punti impropri e dunque consta di due rami. Nel terzo caso incontra tutte le generatrici al finito e quindi si determina una curva, ellisseellisse o in particolare circolocircolo, composta di tutti punti propri che presenta anche una coppia di vertici secondari agli estremi di un secondo, minore, asse di simmetria ortogonale.


Consideriamo sezione conica qualunque sezione piana della superficie conica, e dunque è una conica, anche quella ottenuta con un piano sezionante che passi per il vertice della superficie, solo che in quel caso la curva si riduce o a un punto o a una coppia di rette (distinte oppure coincidenti) è detta conica degenereconica degenere.


conica degenere conica degenere

circolocircolo


Le proprietà metriche e grafiche delle sezioni del cono si deducono da quelle della superficie conica.

Il luogo dei punti medi di tutta la schiera di corde parallele di una superficie conica sono i punti di un piano che passa per il vertice e che chiamiamo piano diametrale coniugato alla direzione delle corde //.

Così sul piano della sezione conica il luogo dei punti medi di una schiera di corde // della curva è una retta che viene detta diametro coniugato alla direzione delle corde.

Una schiera di piani // taglia generalmente una superficie conica in una serie di coniche centrali omotetiche rispetto al vertice V; quindi il luogo dei centri di queste coniche è una retta che passa per V che viene detta diametro coniugato alla giacitura dei piani // considerati. Segue che (se una sezione conica ha centro) tutti i diametri coniugati passano per il centro della conica. Caso particolare è quello in cui taglia la superficie conica in una parabola, allora il piano diametrale coniugato a una direzione // a passa per la generatrice // a . Tutti i diametri di una parabola sono // al suo asse.

Nel punto in cui un diametro incontra la conica, la tangente alla conica è \\ alla direzione coniugata a quel diametro.


2-3. Dalle “diverse” coniche di Apollonio alle coniche come diverse manifestazioni di un unico ente matematico


2. Coniche come 2. Coniche come luogo geometrico di luogo geometrico di punti del piano punti del piano rispondenti a rispondenti a proprietà metricheproprietà metriche

2.1 fuochi2.1 fuochi


2.1 Distanze dai FUOCHIFUOCHI


Come il circolo è il luogo dei punti di un piano equidistanti da un solo punto F (centro), l’ellisse è quello dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti F1, F2 detti fuochi,


l’iperbole è il luogo dei punti per i quali è costante la differenza delle distanze da due fuochi F1, F2,


direttrice

la parabola è il luogo dei punti per i quali è uguale la distanza da un punto F (fuoco) e una retta d (direttrice).

fuoco


2.2 direttrici2.2 direttrici


2.2 eccentricità

Le coniche si possono anche definire come il luogo dei punti P di un piano tali che il rapporto tra la loro distanza PF da un punto F detto Fuoco e la loro distanza Pd da una retta d (corrispondente a F) detta direttrice è sempre costante; tale rapporto si dice eccentricitàeccentricità

ee= PF/P= PF/Pdd , e per e=1, e<1, e>1 la curva è rispettivamente parabola, ellisse ed iperbole.


Significato fisico delle proprietà metriche

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