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Università IUAV di Venezia - Corso di Fondamenti e Applicazioni di Geometria Descrittiva – Fabrizio Gay

istruzioni della prima tavola d’esame - Pagina 1 di 12

Istruzioni per la tavola d’esame n. 1 Traduzione in una rappresentazione codificata (proiezioni ortogonali) dell’immagine fotografica del plastico oggetto della prima esercitazione di laboratorio di progettazione. La tavola è composta in due fasi distinte: 1) restituzione in vera forma di uno delle figure piane del soggetto totalmente o parzialmente rappresentate dalla fotografia;

2) aggiunta di altre rappresentazioni in proiezione ortogonale in vera forma di altre figure piane significative dello stesso soggetto. La prima parte consiste nella costruzione dell’omologia di ribaltamento delle figure di uno dei piani rappresentati in fotografia. La seconda parte consiste nella connessione delle figure restituite sul piano del disegno in vera forma con altre immagini dello stesso soggetto in proiezione ortogonale.

Complessivamente la tua tavola, a seconda delle tue esigenze figurative, seguirà una delle seguenti quattro modalità che, per quanto diverse possano sembrarti, sono solo procedure diverse per fare la stessa cosa: l’omologia di ribaltamento sul tuo foglio delle figure di uno dei piani fotografati.

1A 2A 2B 1B

Per ora non preoccuparti della seconda parte e concentrati sulla prima. Le quattro modalità esemplificate qui sopra

dipendono dalla combinazione di sole due opzioni relative:



- alla positura del modello e della macchina fotografica, positura che può vedere il piano della fotografia: A) parallelo agli spigoli verticali del modellino

B) non parallelo agli spigoli verticali del modellino

;

- e a quale delle facce del modello intendi ribaltare in vera forma sul piano del tuo disegno: il piano d’appoggio orizzontale (quella della pianta) o uno dei suoi piani verticali (quella di un prospetto). Ricorda che sono solo modi diversi di fare ciò che dal punto di vista della geometria descrittiva è “la stessa cosa”, cioè applicare il teorema di Stevin. Quindi segui tutte le fasi qui indicate (in progressione didattica) prima di decidere quale procedura usare.

Caso 1A 1) fotografa il plastico nelle condizioni luministiche e di contrasto figura sfondo richieste dagli intenti del laboratorio, aggiungendo due precauzioni: a – mantieni la fotocamera parallela agli spigoli verticali e, dunque, ortogonale al piano orizzontale del modellino, b - ponendo sul piano orizzontale un quadrato con lati paralleli alla fotocamera.

Nota bene che la fotografia è del tutto modellizzabile come “prospettiva” e precisamente che: a) il “punto di vista” della prospettiva è il centro ottico della fotocamera, b) la distanza principale della prospettiva equivale alla distanza focale della fotocamera



2) individua il circolo di stanza attraverso i punti di fuga delle diagonali del quadrato fotografato.

3) ribalta il punto di vista sul quadro intorno alla retta di fuga del piano orizzontale. L’operazione equivale a ribaltare intorno alla sua retta di fuga il piano proiettante parallelo al piano orizzontale del modello. Allora le rette che uniscono il punto di vista ribaltato sul quadro ai punti di fuga ti indicano le direzioni obiettive delle rette del piano orizzontale che hanno immagine della loro direzione proprio in quei punti di fuga.

prospettiva fotografia

distanza principale



4) Quindi ora puoi rappresentare in vera forma le rette e le figure del piano orizzontale ribaltato sul quadro intorno alla sua retta di traccia. La prospettività tra piano della foto e piano orizzontale del modellino si è tramutata in una omologia del tuo foglio da disegno.

Nota che l’esercizio costituisca un’applicazione del teorema di Stevin



La pianta restituita nel modo illustrato sopra è una sezione orizzontale del modello vista dal basso verso l’alto. Se ti è chiaro il funzionamento puoi variare lo schema del ribaltamento in modo da ottenere l’immagine di una pianta che , come accade più abitualmente, sia una sezione orizzontale vista dall’alto verso il basso. Rispetto alla soluzione precedente devi dunque spostare l’asse dell’omologia di ribaltamento e ribaltare il punto di vista dalla parte opposta.

Devi solo aggiungere un’operazione preliminare. Devi disegnare sulla fotografia alcuni punti di una proiezione della figura planimetrica del modellino come se appartenesse a un altro piano orizzontale, posto ad una quota maggiore. Nell’esempio ho posto questo piano orizzontale ausiliario (sul quale disegnare il contorno della pianta) alla quota del colmo del tetto della casetta.



Caso 2A In questo caso il ribaltamento riguarda le figure di un piano verticale ABC del modello (ritratto con gli spigoli verticali paralleli al piano della rappresentazione), ribaltamento che, come prima, avviene intorno ad una retta di traccia di tale piano ABC. Anche in questo caso il punto di vista viene ribaltato sul quadro intorno alla retta di fuga del piano ABC che si intende ribaltare; ma questo ribaltamento è ora svolto in modo esattamente complementare al caso di prima, e il punto di vista così ribaltato assume il nome tecnico di “punto di misura”. Una precauzione utile è quella di porre o disegnare un segmento AB lungo una retta orizzontale del piano che ti interessa del modellino; fa in modo che la sua estensione sia facilmente commensurabile con quella di uno spigolo verticale dello stesso piano verticale del soggetto che ti interessa.

Nell’esempio ti ho posto un segmento AB lungo quanto lo spigolo verticale BC.

1) Completa la rappresentazione del piano ABC sulla fotografia. Cioè individuane la retta di fuga (sai che è ortogonale alla retta di fuga del piano orizzontale e che passa per il punto di fuga della direzione orizzontale AB) e stabiliscine una retta di traccia. La retta di traccia di quel piano la potresti porre dove ti pare, ma ti conviene assumere la retta di traccia che passa per il punto A.

2) Usa la retta di traccia del piano ABC come asse del suo ribaltamento sul quadro. Non devi fare altro che fingere che quel piano sia una porta che si distende sul tuo foglio da disegno ruotando intorno al cardine costituito dalla sua retta di traccia. È dunque ovvio che il segmento orizzontale AB una volta ribaltato sul tuo foglio sarà nella sua vera forma orizzontale (ortogonale alla retta di traccia del piano ABC) e la sua estensione sarà quella che puoi dedurre facilmente dalla vera estensione del segmento BC. Nell’esempio, per fare prima, ho scelto AB = BC



3) Ora hai già una coppia di elementi (B* e B’) corrispondenti nell’omologia di ribaltamento del piano verticale del soggetto sul quadro. Hai anche l’asse di quell’omologia: è la retta di traccia del piano verticale. Hai anche una retta limite di quell’omologia: si tratta della retta di fuga del piano verticale in questione. Ti manca solo il centro di quell’omologia. 4) E il centro lo reperisci facilmente: si trova all’intersezione di due rette che uniscono ciascuna una coppia di punti corrispondenti nell’omologia. Ma per te il compito è ancora più facile: non devi fare altro che tracciare la congiungente il punto B* (B ribaltato sul quadro) e il punto B’ (B in fotografia). Quella congiungente è una retta orizzontale e intersecando la retta di fuga del piano orizzontale individua un punto di fuga che chiami M’. Si tratta dell’immagine della direzione che proietta i punti del piano verticale ABC nei suoi ribaltati sul quadro A*B*C*. A tale direzione si da di solito il nome di “direzione di misura” e dunque al punto di fuga che la rappresenta si da il nome di “punto misuratore”.



4) Non ti resta che completare il ribaltamento del piano ABC disegnando l’omologia che ormai conosci a memoria. Finis.

Caso 2B Ok, forse i casi precedenti sembrano cosette da dilettanti e sul tuo prortfolio non ci fanno quella bella figura che ci farebbe un uso un po’ più sofisticato dello strumento che hai appreso. Nei due casi “B” l’immagine fotografica è scattata in una posizione generica e può capitarti una foto di questo tipo

Se non conoscessi alcuna caratterista del modellino fotografato il problema di restituirne in vera forma l’immagine delle figure di una sua faccia sarebbe del tutto indeterminato perché ogni punto della fotografia potrebbe ritrarre uno qualunque degli infiniti punti del raggio proiettante (raggio di luce) che lo ha impresso li. Ma sai benissimo che obiettivamente le tre facce del modellino ritratto sono tra loro mutuamente ortogonali.

Sono dunque obiettivamente e mutuamente ortogonali le direzioni orizzontali X ed Y, e anche la direzione verticale Z. Con questa osservazione tutto diventa semplicissimo.



1) Trova sulla foto i tre punti fuga immagine delle tre direzioni triortogonali XYZ. Unendo le coppie di quel terzetto di punti fuga non fai altro che individuare le tre rette di fuga immagine delle tre giaciture delle facce triortogonali del modellino. Cioè la retta di fuga del piano orizzontale XY e dei due piani verticali XZ ed YZ.

2) Ora, anche se la fotografia è stata ritagliata e il punto di fuga principale S’ non è più ritrovabile al centro del fotogramma, puoi comunque individuarlo nell’ortocentro del triangolo delle rette di fuga immagine delle giaciture XY, XZ, YZ. Il perché ti sarebbe evidente se osservassi che i tre piani proiettanti che hanno stabilito quelle tre rette di fuga formano un triedro trirettangolo nel punto di vista S. Immagina che quei tre piani proiettanti siano tre porte che hanno cardine nelle loro rette di fuga e buco della serratura nel punto di vista. Allora ti dovresti rendere conto (dato che quando apri una porta solitamente la miniglia non cambia quota) che aprendo quelle tre porte il loro buco della serratura spazza un piano ortogonale ai loro cardini. Se vedessi sul piano lo spostarsi della proiezione ortogonale del buco della serratura, ti renderesti conto che quella proiezione si sposta lungo un retta ancora ortogonale al cardine. Traccia dunque le tre altezze del triangolo delle fughe e segna S’ nella loro intersezione (ortocentro). Se non te ne sei reso conto prima del perché S’ sta proprio li - nell’ortocentro - lo capirai ora, dato che devi ribaltare uno di questi tre piani proiettanti sul quadro. Poniamo che tu voglia ribaltare in vera forma sul tuo foglio da disegno la figura del prospetto con la porta e l’oblò, vale a dire la figura del piano XZ. Devi allora ribaltare S’ intorno alla retta di fuga del piano XZ. Sai che S* (S ribaltato sul tuo foglio) si trova lungo l’ortogonale alla retta di fuga di XZ. Sai anche che le direzioni X e Z sono tra loro ortogonali;



dunque le rette proiettanti che determinano i punti di fuga di X e di Z si incontrano a 90° nel punto di vista S. Quindi S* non può che stare nell’intersezione tra l’ortogonale alla retta di fuga di XZ con il semicircolo che ha diametro nel segmento compreso dei punti di fuga di X e di Z (gli angoli al semicircolo i cui lati passano per gli estremi del diametro sono sempre angoli retti).

Ora non ti resta che disegnare la retta di traccia del piano XZ in modo che tu possa essere usata come asse dell’omologia del ribaltamento sul foglio da disegno delle figure di quel piano ritratte nella foto. Quella retta di traccia la potresti mettere dove ti pare (ti basta tracciare una retta parallela alla retta di fuga di XZ) ma credo ti convenga porla il più vicino possibile all’immagine che ti interessa perché la dimensione della figura restituita non differisca troppo da quella fotografata. Nell’esempio ho posto la retta di traccia di XZ passante per uno spigolo della figura del prospetto. Ora hai tutto quello che ti serve per costruire l’omologia che rappresenta il ribaltamento. Finis.



Caso 1B Quanto detto prima vale ovviamente anche nel caso ti interessasse ribaltare sul tuo foglio da disegno le figure di un'altra faccia del modellino fotografato. Poniamo che tu voglia rappresentare l’immagine della pianta (il piano XY) del modellino in questione. In tutto i passi sono solo e sempre due: 1) ribaltare il punto di vista sul foglio intorno alla retta di fuga del piano XY

2) Costruire l’omologia che ha centro nel punto di vista ribaltato e asse nella retta di traccia del piano. Finis.



Completamento della tavola La seconda parte dell’esercizio consiste nel disporre sulla tavola altre immagini in proiezione ortogonale del modellino fotografato. È una fase successiva che puoi decidere solo quando hai già concluso la prima anche se nelle scelte di ripresa della foto e di positura dell’asse dell’omologia hai già dovuto prefigurarti la tavola finale. Per lo schema della tavola finale non prendere alla lettera le indicazioni che ti ho esemplificato in apertura e trova tu una soluzione efficiente. La cosa inderogabile è la corrispondenza proiettiva tra le immagini che aggiungi; ma il rispetto della corrispondenza proiettiva non ti limita nelle scelte d’impaginazione. L’impaginazione, fatte salve le corrispondenze proiettive e le norme redazionali, devi deciderla sulla base di criteri incrociati: a – la leggibilità iconica del modello denotato b – il peso plastico delle figure sulla tavola. Su! disegna! e componi!. A presto. F.G.

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