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Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2007-2008

CURVE PIANE 1

Modelli matematico e categorie comuni delle curve: una prima panoramica

F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2007 - 2008

I cinematismi piani e i grafici delle Funzioni

• La curva come luogo di punti è immaginata come prodotta da un cinematismo piano a un solo grado di libertà; è dunque il Luogo delle posizioni consecutive di un punto in movimento secondo una legge data come relazione analitica fra le coordinate x e y del piano (soddisfatta da tutti e soli i punti della curva): equazione della curva.

• 1) ciascuna coordinata è espressa come funzione di un parametro (ad esempio il tempo)

x = f (t), y = g (t)• 2) oppure entrambe le coordinate sono espresse in

una sola equazione f (x,y) = 0 in forma cartesiana o polare.

• A esempio in forma polare….


;


Grado delle equazioni e ORDINI delle curve

• Se f(x, y) è un polinomio (ridotto) di grado m, la curva è algebrica di Ordine m (di primo grado per una retta, di secondo grado per una conica). L’ordine ha il noto significato proiettivo del massimo numero di intersezioni con una retta del piano proiettivo.

• La curva si dice algebrica oppure trascendente secondo che sia algebrica o trascendente la sua equazione

Il punto doppio si conta due volte

L’ordine di una curva non dipende dal tipo coordinate (cartesiane, polari, bipolari …) nei quali è rappresentata la sua equazione poiché le relazioni che permettono il passaggio da un sistema di riferimento cartesiano a un altro sono lineari e dunque l'ordine di una curva algebrica rimane invariato quando si cambia sistema di riferimento.


Punti speciali di una curva

• MULTIPLO - Se una curva torna su stessa una o più volte il punto nel quale avviene questo ritorno assume generalmente tangenti distinte ed è nominato PUNTO DOPPIO o TRIPLO o MULTIPOLO. Le tangenti possono coincidere, o divenire a coppie immaginarie coniugate.

• NODO - In un punto doppio le tangenti possono essere reali e distinte e allora il punto si dice NODO;

• CUSPIDE - possono essere invece reali e coincidenti, allora quel punto è una CUSPIDE e le tangenti reali e coincidenti invertono il loro senso.

• ISOLATO - Le tangenti nel punto doppio possono anche essere immaginarie e coniugate, allora il punto si dice ISOLATO.

• ASINTOTICO è un punto attorno al quale la curva compie infinite evoluzioni.

• Per dualità nel piano dall’idea di punto multiplo si ammette quella di tangenti multiple aventi con la curva multipli punti di contatto.

• Una tangente doppia sega la curva in due punti reali e distinti o coincidenti, oppure immaginari e coniugati; tali punti sono detti DI FLESSO;


Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura


TANGENTE di una curva e curva come INVILUPPO

• La tangente in un generico punto A di una curva piana è la posizione limite della secante in A e in un punto A' quando A' tende a A.

• il variare del coefficiente angolare delle tangenti si esprime traducendo la forma esplicita dell’equazione y = f(x) nella funzione sua derivata prima y'(x).

• La curva è così anche l’INVILUPPO delle sue rette tangenti, si può immaginare ogni suo punto come generato dal moto di una retta che interseca in ogni istante la sua posizione precedente. Una curva è l’insieme dei punti di contatto della famiglia delle sue tangenti.


Grado dell’equazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica

Cubiche ellittiche

(Parabole divergenti)

e cubiche razionali

(duplicatrice)

Coniche(Quadratiche)


Serie morfologicheparabola

catenaria

Catenaria d’ugual

resistenza


sinusoide

lintearia

Cicloide di Sturm


kappa

Curva di Schoute

a forma di punta di matita

qui ottenuta come inversione biassiale dell’iperbole


Grafico della funzione Inversa del coseno

iperbolico

Curva di Gauss

Cubica di Lamé

Curva di Agnesi


strofoide

Trisettrice di MacLaurin

Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano

costantemente una alla velocità tripla dell’altra

Folium di Cartesio


Cubica circolare razionale

cissoide

Cissoide come curva mediana della retta del

circolo


Cubiche di Chasles

Iperboli cubiche

(P è un polinmio di terzo grado)


Parabole (cubiche)

divergenti


Quartica razionale piriforme

.

Curva a “lacrima”


Lemniscata di Bermouilli

Lemniscata di Gerono


Quartiche bicircolari razionali

Lumaca di Pascal


. .

Cardioide Qui costruita come pericicloide


Quartiche di Bermuoilli

Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici

Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad


Spiriche di Perseo

Fissati A e B

variando C.

1) Se 0 < B < A

2) Se B < 0 < A

Spiriche e toriche


Ovali di Cassini

Ovali e Lemniscate di Booth

e Ippopede di Proclo


Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti


Quartiche di Plücker


Trascendenti tipiche: le spirali

Spirale logaritmica

Caso di fibonacci

Cfr. Modulor


Spirale d’Archimede

E la sua inversa:

Spirale iperbolica


Involuta del circolo

• Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dall’estremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto d’una retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi).

• Una qualunque curva della quale un’altra curva C è l’evoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è l’Evolvente).


Curve elastiche e parametriche

• Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla distanza da una curva detta direttrice


curve di Bézier

• curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dell’ultimo).

• L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado).


• Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i “punti di controllo” giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari.

• Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1 al variare di t da 0 a 1 il punto

Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier.

Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier.

Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier.

tragitto di B(t) da P0 a P1.


http://www.mat.unimi.it/users/alzati/Geometria_Computazionale_98-99/apps/Curve/curve.html


Curve di approssimazione (B-spline)

• Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo l’ordine della curva può tra n (in questo caso è una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo).

• la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto della spezzata di controllo.


La categorizzazione comune delle curve


Curve di Lamè

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