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Università IUAV di Venezia, Corso di Laurea in Scienze dell’Architettura - Modulo coordinato di rappresentazione 1 – aa. 2010-2011

Curve e superficie

prima parte: coniche nel piano e nello

spazio

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le curve anticheintroduzione Linee e superfici come astrazioni percettive:

specificazioni del paradigma del tipo L’originaria doppia natura dei modelli geometrici delle

curve e delle superficie: come leggi del moto di un punto e come sezione di corpi

NOZIONI BASILARIle antiche coniche1. coniche come “luoghi solidi”

1.1 le coniche di Menecmo (380 a.C. – 320)1.2 le coniche di Apollonio (262 a.C. – 190)

2. coniche come luoghi geometrici del piano2.1 fuochi2.2 direttrici ed eccentricità

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Che forma ha? / Che forma è?

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Curve e superficie come attributi della forma dei corpi

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Modello geometrico delle curve e delle superficie

curva superficie

Percorso di un punto che si muove a un grado di

libertà

Tessuto di un punto che si muove a due

gradi di libertà

Movimento di una curva (generatrice) su un’altra

curva (direttrice) a un grado di libertà

Interzezione tra due superficie in uno spazio

3D

Inviluppo delle rette tangenti

Inviluppo dei piani tangenti

Luogo legittimo

Luogo solido

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Luoghi legittimi: cinematismi piani e grafici delle Funzioni

La curva come luogo di punti è immaginata come prodotta da un cinematismo piano a un solo grado di libertà; è dunque il Luogo delle posizioni consecutive di un punto in movimento secondo una legge data come relazione analitica fra le coordinate x e y del piano (soddisfatta da tutti e soli i punti della curva): equazione della curva.

1) ciascuna coordinata è espressa come funzione di un parametro (ad esempio il tempo)

x = f (t), y = g (t) 2) oppure entrambe le coordinate sono espresse in

una sola equazione f (x,y) = 0 in forma cartesiana o polare.

A esempio in forma polare…:

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Tracciare una linea retta

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;

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Grado delle equazioni e ORDINI delle curve

Se f(x, y) è un polinomio (ridotto) di grado m, la curva è algebrica di Ordine m (di primo grado per una retta, di secondo grado per una conica). L’ordine ha il noto significato proiettivo del massimo numero di intersezioni con una retta del piano proiettivo.

La curva si dice algebrica oppure trascendente secondo che sia algebrica o trascendente la sua equazione

Il punto doppio si conta due volte

L’ordine di una curva non dipende dal tipo coordinate (cartesiane, polari, bipolari …) nei quali è rappresentata la sua equazione poiché le relazioni che permettono il passaggio da un sistema di riferimento cartesiano a un altro sono lineari e dunque l'ordine di una curva algebrica rimane invariato quando si cambia sistema di riferimento.

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Punti speciali di una curva

MULTIPLO - Se una curva torna su stessa una o più volte il punto nel quale avviene questo ritorno assume generalmente tangenti distinte ed è nominato PUNTO DOPPIO o TRIPLO o MULTIPOLO. Le tangenti possono coincidere, o divenire a coppie immaginarie coniugate.

NODO - In un punto doppio le tangenti possono essere reali e distinte e allora il punto si dice NODO;

CUSPIDE - possono essere invece reali e coincidenti, allora quel punto è una CUSPIDE e le tangenti reali e coincidenti invertono il loro senso.

ISOLATO - Le tangenti nel punto doppio possono anche essere immaginarie e coniugate, allora il punto si dice ISOLATO.

ASINTOTICO è un punto attorno al quale la curva compie infinite evoluzioni.

Per dualità nel piano dall’idea di punto multiplo si ammette quella di tangenti multiple aventi con la curva multipli punti di contatto.

Una tangente doppia sega la curva in due punti reali e distinti o coincidenti, oppure immaginari e coniugati; tali punti sono detti DI FLESSO;

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TANGENTE di una curva e curva come INVILUPPO

La tangente in un generico punto A di una curva piana è la posizione limite della secante in A e in un punto A' quando A' tende a A.

il variare del coefficiente angolare delle tangenti si esprime traducendo la forma esplicita dell’equazione y = f(x) nella funzione sua derivata prima y'(x).

La curva è così anche l’INVILUPPO delle sue rette tangenti, si può immaginare ogni suo punto come generato dal moto di una retta che interseca in ogni istante la sua posizione precedente. Una curva è l’insieme dei punti di contatto della famiglia delle sue tangenti.

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Luoghi legittimi:cinematismi spaziali a due gradi di libertà e funzioni rappresentati superficie Superficie è ogni oggetto topologico localmente

omeomorfo al piano; lo si può immaginare descritto dal moto di una curva (generatrice) lungo un’altra curva (direttrice) e dunque assimilabile a un cinematismo a tre dimensioni e due gradi libertà

In quanto tale (sia come luogo di punti o inviluppo di piani) una superficie può essere descritta con funzioni di tre variabili, se l’equazione è algebrica la si dice algebrica e il suo ordine equivale al grado del polinomio. I piani sono superficie di primo ordine, le quadriche di secndo, le cubiche di terzo, le quartiche del quarto…

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1.1 Coniche di Menecmo

ORTOORTOTOMATOMA

OXIOXITOMATOMA

AMBLIAMBLITOMATOMA

1. STEROI TOPOI (luoghi solidi)

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ORTOTOMA

OXITOMA

AMBLITOMA

Cono rettangolo

Cono acutangolo

Cono ottusangolo

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superficie superficie conica rotondaconica rotonda è il luogo delle rette g (generatrici) che passano per un punto V (vertice) di una retta v (asse) e che formano con v un angolo costante.

Sezione conicaSezione conica è la curva (necessariamente chiusa) nella quale un piano taglia una superficie conica rotonda.

1.2 Coniche di Apollonio

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Un qualunque piano (non passante per V) taglia la superficie conica in una curva simmetrica lungo un asse detto asse focale o asse principale della sezione conica.

Tale asse focale è l’intersezione del piano della

conica con il piano ad esso che passa per l’asse v della superficie conica e dunque è anche un piano di simmetria della superficie.

L’asse focale incontra la curva nei suoi due apsidi A1 e A2, vertici principali della conica la cui distanza 2a misura la lunghezza dell’asse focale.

Apside A1 Apside A2

2a asse focale

Conica (sezione)

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parabolaparabola

ellisseellisse

iperboleiperbole

L’asse focale della sezione conica può formare un angolo rispetto all’asse v uguale, minore o maggiore di (l’angolo formato dalle generatrici g della superficie) a seconda che il piano sia // a una, a due o a nessuna generatrice. Nel primo caso incontra al finito tutte le generatrici tranne quella a esso // per cui la curva, parabolaparabola, ha tutti punti propri tranne il suo secondo vertice principale. Nel secondo caso i vertici della curva sono propri ma, essendo // a due generatrici, la curva, iperboleiperbole, ha due punti impropri e dunque consta di due rami. Nel terzo caso incontra tutte le generatrici al finito e quindi si determina una curva, ellisseellisse o in particolare circolocircolo, composta di tutti punti propri che presenta anche una coppia di vertici secondari agli estremi di un secondo, minore, asse di simmetria ortogonale.

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Consideriamo sezione conica qualunque sezione piana della superficie conica, e dunque è una conica, anche quella ottenuta con un piano sezionante che passi per il vertice della superficie, solo che in quel caso la curva si riduce o a un punto o a una coppia di rette (distinte oppure coincidenti) è detta conica degenereconica degenere.

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conica degenere conica degenere

circolocircolo

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Le proprietà metriche e grafiche delle sezioni del cono si deducono da quelle della superficie conica.

Il luogo dei punti medi di tutta la schiera di corde parallele di una superficie conica sono i punti di un piano che passa per il vertice e che chiamiamo piano diametrale coniugato alla direzione delle corde //.

Così sul piano della sezione conica il luogo dei punti medi di una schiera di corde // della curva è una retta che viene detta diametro coniugato alla direzione delle corde.

Una schiera di piani // taglia generalmente una superficie conica in una serie di coniche centrali omotetiche rispetto al vertice V; quindi il luogo dei centri di queste coniche è una retta che passa per V che viene detta diametro coniugato alla giacitura dei piani // considerati. Segue che (se una sezione conica ha centro) tutti i diametri coniugati passano per il centro della conica. Caso particolare è quello in cui taglia la superficie conica in una parabola, allora il piano diametrale coniugato a una direzione // a passa per la generatrice // a . Tutti i diametri di una parabola sono // al suo asse.

Nel punto in cui un diametro incontra la conica, la tangente alla conica è \\ alla direzione coniugata a quel diametro.

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2-3. Dalle “diverse” coniche di Apollonio alle coniche come diverse manifestazioni di un unico ente matematico

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2. Coniche come 2. Coniche come luogo geometrico di luogo geometrico di punti del piano punti del piano rispondenti a rispondenti a proprietà metricheproprietà metriche

2.1 fuochi2.1 fuochi

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2.1 Distanze dai FUOCHIFUOCHI

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Come il circolo è il luogo dei punti di un piano equidistanti da un solo punto F (centro), l’ellisse è quello dei punti per i quali è costante la somma delle distanze da due punti F1, F2 detti fuochi,

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l’iperbole è il luogo dei punti per i quali è costante la differenza delle distanze da due fuochi F1, F2,

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direttrice

la parabola è il luogo dei punti per i quali è uguale la distanza da un punto F (fuoco) e una retta d (direttrice).

fuoco

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2.2 direttrici2.2 direttrici

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2.2 eccentricità

Le coniche si possono anche definire come il luogo dei punti P di un piano tali che il rapporto tra la loro distanza PF da un punto F detto Fuoco e la loro distanza Pd da una retta d (corrispondente a F) detta direttrice è sempre costante; tale rapporto si dice eccentricitàeccentricità

ee= PF/P= PF/Pdd , e per e=1, e<1, e>1 la curva è rispettivamente parabola, ellisse ed iperbole.

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Significato fisico delle proprietà metriche

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CURVE 2

proipprietà proiettive e stereotomiche delle coniche

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1. La relazione tra 1. La relazione tra proprietà proprietà metriche e metriche e proprietà proprietà stereotomiche:stereotomiche:

Teorema di Quetelet Teorema di Quetelet e Dandeline Dandelin

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4. Teorema di Quetelet e Dandelin4. Teorema di Quetelet e Dandelin. .

In una superficie conica rotonda sezionata con un piano non // a una generatrice (caso dell’ellisse e dell’iperbole) esistono due sfere iscritte alla superficie conica e tangenti al piano nei fuochi F1 e F2 della conica. Se è // a una generatrice esiste una sola sfera iscritta alla superficie e tangente al piano nel fuoco F della parabola.

Inoltre i piani dei circoli di contatto delle sfere iscritte con la superficie conica intersecano il piano sezionante nelle direttrici della sezione conica.

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Per dimostrare questa proposizione si consideri la sezione con il piano e che passa per l’asse v della superficie conica; esso taglia la superficie secondo due generatrici g1 e g2 e individua su l’asse principale A1 A2 della conica.

In quel piano le due sfere iscritte alla superficie conica e tangenti a risultano tagliate in due cerchi massimi che si possono disegnare facilmente uno come il circolo (di centro C1) iscritto al triangolo VA1A e l’altro come quel circolo (di centro C2) ex-iscritto del trilatero VA1A2 che ha centro sull’asse v.

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È evidente che il trilatero VA1A2 rappresenta le tangenti condotte dai punti A1,e A2 ai due circoli di centri C1 e C2 nei punti Q2, Q1, F2, F1, R2, R1. E per la simmetria del cerchio sono ovviamente uguali i due segmenti di tangente che vanno dai punti di contatto R e Q ai punti esterni A per i quali si conducono tali tangenti:

così A1Q1 = A1F1 e A1F2 = A1R1.

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Si vede dunque come sia A1Q1 + A1R1 = 2a (lunghezza dell’asse focale A1A2 della conica) e quindi come un qualsiasi segmento di generatrice compreso tra i due circoli di contatto delle sfere iscritte abbia estensione uguale all’asse focale A1A2.

Si immagini uno qualunque di questi segmenti di generatrice P1P2 compresi tra i due circoli di contatto intersecare il piano nel punto P.

I segmenti PP1 e PP2 (distanze di P dai circoli di contatto) sono i segmenti di tangenti condotte da P alle due sfere iscritte e per la simmetria della sfera si può constatare che PP1 = PF1 e PP2 = PF2 e concludere che PF1 + PF2 = A1A2 = 2a, cioè che tutti i possibili punti P della sezione individuano un’ellisse poiché sono tali per cui resta costante (= 2a)la somma delle loro distanze da F1 e da F2.

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2. Coniche come trasformazioni 2. Coniche come trasformazioni proiettive del circoloproiettive del circolo

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