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EQUAZIONI E DISEQUAZIONI

LOGARITMICHE

Facolta di Ingegneria - Universita della Calabria

Abstract

Lo scopo di questo lavoro e quello di fornire all’utente unostrumento per verificare il suo grado di preparazione real-tivamente alle EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGAR-ITMICHE.

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1 Equazioni logaritmiche 3

2 Disequazioni logaritmiche 6

Riferimenti teorici 13

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1. Equazioni logaritmiche

In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla cheriguardano le equazioni logaritmiche .Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto e quella cor-retta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlocliccando su ”Inizio test” e dunque cliccare sulla casellina che siritiene corrisponda alla risposta corretta.Alla fine dell’esercizio, cliccando su ”Fine test” il programma pro-cedera ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventual-mente a correggere quelle errate.

Inizio Quiz

1. Per quali valori di x si ha:

log(x + 8) = 2 log 3− log x

(a) x = 0(b) x = −9(c) x = 1(d) x > 0

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2. Qual’e la soluzione del’equazione logaritmica log2(x− 1) = 1?

(a) x > 1(b) x = 1(c) L’equazione data e impossibile(d) x = 3

3. Trovare le soluzioni dell’equazione logaritmica

log(x + 1) + log(x− 1)− log(x− 2) = log 8

(a) x = 5 ed x = 3(b) x = 2(c) x = 6(d) x > 2newpage

4. Per quale valore di x si ha:

12

log x +12

log(3x + 5) = log 10

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(a) x = − 203

(b) x = 5(c) x = 20

3 ed x = 5(d) x > 0

5. Risolvere l’equazionelog3 x + log3(x− 8) = 2

(a) x = −1(b) x > 8(c) x = 9(d) L’equazione e impossibile

Fine Quiz

Se hai risposto erroneamente alle domande puoi verificare la tuapreparazione consultando pagine teoriche relative agli argomentitrattati in questa sezione del test.Per visualizzare le pagine teoriche clicca suRIFERIMENTI TEORICI

Riferimenti teorici 1. Vai alle pagine di teoria

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2. Disequazioni logaritmiche

In questa sezione sono presentati esercizi a risposta multipla cheriguardano le disequazioni logaritmiche.Ogni domanda prevede risposte diverse, una soltanto e quella cor-retta. Per cominciare un qualsiasi esercizio, bisogna selezionarlocliccando su ”Inizio test” e dunque cliccare sulla casellina che siritiene corrisponda alla risposta corretta.Alla fine dell’esercizio, cliccando su ”Fine test” il programma pro-cedera ad indicare il numero di risposte corrette date ed eventual-mente a correggere quelle errate.

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Inizio Quiz

1. Qual’e la soluzione della disequazione logaritmica

log2(x− 1) < 1

(a)1 < x < 3

(b)x < 3

(c)x < 1 ed x > 3

(d)x > 1

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2. Quali valori di x soddisfano la disequazione:

log3 x + log3(x− 8) ≥ 2

(a)x > 8

(b)x ≤ −1 ed x ≥ 9

(c)x ≥ 9

(d)−1 ≤ x ≤ 9

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3. Quando e soddisfatta la disequazione logaritmica:

ln2 x + 5 ln x + 6 ≤ 0

(a)e−3 ≤ x ≤ e−2

(b)x ≤ −3 e x ≥ −1

(c)−3 ≤ x ≤ −1

(d)x > 0

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4. Per quali valori di x risulta verificata la disequazione:

ln√

x + 2 ≤ 2

(a)x < −2

(b)−2 < x ≤ e4 − 2

(c)x > e4 − 2

(d) la disequazione e indeterminata

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5. Per quali valori di x risulta verificata la disequazione:

ln(x−√

1− x2) < 0

(a)−1 < x < 1

(b)

x >

√2

2

(c) √2

2< x < 1

(d)x ≤ −1

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Riferimenti teorici

Riferimenti teorici 1.

Una equazione si dice logaritmica quando in essa compare il logar-itmo dell’incognita o di qualche espressione contenente l’incognita.Per risolvere un’equazione logaritmica si cerca, utilizzando le pro-prieta dei logaritmi, di trasformare l’equazione nella forma canon-ica:

loga f(x) = loga g(x)

La precedente uguaglianza e valida quando:

f(x) = g(x)

dove f(x) e g(x) soddisfano le condizioni di esistenza di loga f(x)e loga g(x) , cioe quando e soddisfatto il sistema:{

f(x) > 0g(x) > 0

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Esercizio 1

log(x + 8) = 2 log 3− log xLe condizioni di esistenza dei logaritmi sono: x + 8 > 0

3 > 0 (sempre verificata)x > 0

Perche tutte le condizioni di esistenza dei logaritmi siano verificatesi deve imporre la condizione x > 0log(x + 8) = 2 log 3− log xPoiche loga(bm) = m loga b, si ha:log(x + 8) = log32 − log xPoiche loga(m÷ n) = loga m− loga n, segue:

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log(x + 8) = log32

x

x + 8 =32

x

x(x + 8) = 32

x2 + 8x = 9

x1,2 =−8±

√64 + 362

=−8± 10

2

x1 = − 182 = −9

Questa soluzione non e accettabile perche le condizioni di esistenzadei logaritmi impongono x > 0.

x2 = 22 = 1

e questa e l’unica soluzione accettabile.

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Esercizio 2

log2(x− 1) = 1La condizione di esistenza del logaritmo e x− 1 > 0, ossia x > 1

Poiche loga a = 1, 1 = log2 2, quindi:

log2(x− 1) = log2 2x− 1 = 2x = 3

La soluzione trovata e accettabile perche la condizione di es-istenza del logaritmo e verificata.

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Esercizio 3

log(x + 1) + log(x− 1)− log(x− 2) = log 8Le condizioni di esistenza dei logaritmi sono:

x + 1 > 0x− 1 > 0x− 2 > 08 > 0 (sempre verificata)

ossia: x > −1x > 1x > 2

Perche tutte le condizioni di esistenza dei logaritmi siano verificatesi deve imporre la condizione: x > 2

log(x + 1) + log(x− 1)− log(x− 2) = log 8log(x + 1) + log(x− 1) = log 8 + log(x− 2)

Poiche loga(m · n) = loga m + loga n, segue:

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log[(x + 1)(x− 1)] = log[8(x− 2)](x + 1)(x− 1) = 8(x− 2)

x2 − 1 = 8x− 16

x2 − 8x + 15 = 0

x1,2 =8±

√64− 602

=8± 2

2

x1 = 102 = 5

x2 = 62 = 3

Entrambe le soluzioni sono accettabili perche le condizioni di es-istenza dei logaritmi sono tutte verificate.

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Esercizio 4

12 log x + 1

2 log(3x + 5) = 1Le condizioni di esistenza dei logaritmi sono:{

x > 03x + 5 > 0

ossia: {x > 0x > − 5

3

Perche tutte le condizioni di esistenza dei logaritmi siano verificatesi deve imporre la condizione: x > 012 log x + 1

2 log(3x + 5) = 1Poiche 1 = log 10 segue:

12

log x +12log(3x + 5) = log 10

Poiche logan√

b = 1n loga b, segue:

log√

x + log√

(3x + 5) = log 10

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Poiche loga(m · n) = loga m + loga n, allora:

log(√

x ·√

3x + 5) = log 10√

x ·√

3x + 5 = 10√x(3x + 5) = 10

x(3x + 5) = 100

3x2 + 5x− 100 = 0

x1,2 =−5±

√25 + 12006

=−5± 35

6

x1 = 306 = 5

E’ una soluzione accettabile perche le condizioni di esistenza deilogaritmi sono tutte verificate.

x2 = − 406 = − 20

3

Questa soluzione NON e accettabile perche contraddice le con-dizioni di esistenza dei logaritmi.

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Esercizio 5

log3 x + log3(x− 8) = 2Le condizioni di esistenza dei logaritmi sono:{

x > 0x− 8 > 0

ossia: {x > 0x > 8

Perche tutte le condizioni di esistenza dei logaritmi siano verificatesi deve imporre la condizione: x > 8

log3 x + log3(x− 8) = 2log3[x(x− 8)] = 2

Per trasformare la precedente equazione nella forma canonica, devopoter scrivere 2 come un logaritmo in base 3 di qualcosa. Poicheloga a = 1, si avra log3 3 = 1, quindi

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2 = 2 · 1 = 2 · log3 3 = log3 32 = log3 9. Posso allora scrivere:

log3[x(x− 8)] = log3 9x(x− 8) = 9

x2 − 8x = 9

x2 − 8x− 9 = 0

x1,2 =8±

√64 + 362

=8± 10

2

x1 = 182 = 9

E’ una soluzione accettabile perche le condizioni di esistenza deilogaritmi sono tutte verificate.

x2 = −22 = −1

Questa soluzione NON e accettabile perche contraddice le con-dizioni di esistenza dei logaritmi.

Per tornare alla simulazione del test clicca su

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RIFERIMENTI TEORICI Riferimenti teorici 1

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Riferimenti teorici 2.

Disequazioni logaritmiche

Sono disequazioni in cui la variabile x compare come argomento diun logaritmo.Una disequazione logaritmica, nella sua forma pi semplice, e deltipo:

loga f(x) ≶ loga(x)

Prima di risolvere l’equazione bisogna imporre le condizioni di es-istenza dei logaritmi, e cioe a > 0, a 6= 1 e{

f(x) > 0g(x) > 0

Si cerca poi di eliminare i logaritmi sfruttando le proprieta checonosciamo.E’ utile anche ricordare le regole che abbiamo trovato studiando la

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funzione logaritmica:

Se a > 1 x ≤ y ⇒ loga x ≤ loga y

x ≥ y ⇒ loga x ≥ loga y

.

Se 0 < a < 1 x ≤ y ⇒ loga x ≥ loga y

x ≥ y ⇒ loga x ≤ loga y

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Esercizio 6

log2(x− 1) < 1

La condizione di esistenza del logaritmo : x− 1 > 0 cioe x > 1.

log2(x− 1) < 1

Poiche 1 = log2 2 posso scrivere:

log2(x− 1) < log2 2

Poiche la base dei logaritmi e maggiore di 1, passando alla dis-egualianza tra gli argomenti, non bisogna modificare il verso:

x− 1 < 2x < 3

Mettendo insieme questa soluzione con la condizione di esistenzadel logaritmo si trova l’insieme delle soluzioni, che e 1 < x < 3.

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Esercizio 7log3 x + log3(x− 8) ≥ 2

Le condizioni di esistenza dei logaritmi sono:{x > 0x− 8 > 0

cioe : {x > 0x > 8

Perche tutte le condizioni di esistenza dei logaritmi siano verificatesi deve imporre la condizione: x > 8Osservo che 2 = 2 log3 3 = log3 32; sostituendo questo valore nellaprecedente equazione avro:

log3 x + log3(x− 8) ≥ log3 32

log3[x(x− 8)] ≥ log3 32


x(x− 8) ≥ 32

x2 − 8x ≥ 9

x2 − 8x− 9 ≥ 0 (valori esterni)

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Le radici del polinomio sono:

x1,2 =8±

√64 + 362

=8± 10

2x1 = −1x2 = 9

Quindi x2 − 8x− 9 ≥ 0 per x ≤ −1 x ≥ 9.Mettendo insieme questa soluzione con la condizione di esistenzadei logaritmi si trova l’insieme delle soluzioni, che e x ≥ 9.

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Esercizio 8

ln2 x + 5 ln x + 6 ≤ 0

La condizione di esistenza dei logaritmi : x > 0

Pongo ln x = y

y2 + 5y + 6 ≤ 0 (valori interni)

Le radici del polinomio sono:

y1,2 =−5±

√25− 242

=−5± 1

2y1 = −3y2 = −2

Quindi y2 + 5y + 6 ≤ 0 per −3 ≤ y ≤ −2.Poiche lnx = y , ln2 x + 5 lnx + 6 ≤ 0 per −3 ≤ lnx ≤ −2,ossia: {

−3 ≤ lnxlnx ≤ −2

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Ossia, applicando l’esponenziale ad entrambi i membri delle dis-eguaglianze: {

e−3 ≤ xx ≤ e−2

Mettendo insieme questa soluzione con la condizione di esistenzadei logaritmi si trova. L’insieme delle soluzioni e e−3 ≤ x ≤ e−2.

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Esercizio 9

ln√

x + 2 ≤ 2

La condizione di esistenza del logaritmo :√

x + 2 > 0, cioex + 2 > 0, x > −2Osservo poi che 2 = 2 ln e = ln e2 quindi la precedente dise-quazione diventa:

ln√

x + 2 ≤ ln e2


√x + 2 ≤ e2

x + 2 ≤ e4

x ≤ e4 − 2

Tenendo conto della condizione di esistenza dei logaritmi si troval’insieme delle soluzioni.Quindi: −2 < x ≤ e4 − 2.

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Esercizio 10ln

(x−

√1− x2

)< 0

Perche il valore di√

1− x2 sia reale si deve avere:

1− x2 ≥ 0

x2 ≤ 1− 1 ≤ x ≤ 1

Perche il logaritmo esista si deve avere:

x−√

1− x2 > 0

x >√

1− x2

e quindi, poiche la radice di un qualsiasi numero e un numeromaggiore o uguale a zero, bisogna intanto imporre la condizionex > 0; elevando al quadrato ambo i membri si avra inoltre:

x2 > 1− x2

2x2 > 1

x2 >12

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La soluzione di quest’ultima disequazione sarebbe x < −√

22 x >

√2

2 , ma poiche abbiamo imposto la condizione x > 0, il dominiodi esistenza del logaritmo e x >

√2

2 .

L’insieme in cui risulta definita l’intera espressione ln(x−√

1− x2)

e l’intersezione dei due insiemi precedenti.Ossia:

√2

2 < x ≤ 1

In questo insieme andranno cercate le soluzioni della disequazioneln

(x−

√1− x2

)< 0.

Poiche 0 = ln 1, si ha:

ln(x−

√1− x2

)< ln 1


x−√

1− x2 < 1

x− 1 <√

1− x2

Poiche la radice di un qualsiasi numero e un numero maggiore ouguale a zero, prima di elevare ambo i membri al quadrato bisogna

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imporre la condizione x− 1 ≤ 0, cioe x ≤ −1,

(x− 1)2 < 1− x2

x2 − 2x + 1 < 1− x2

2x2 − 2x < 0

x2 − x < 0x(x− 1) < 0 (valori interni)0 < x < 1

Tenendo conto delle condizioni di esistenza si trova l’insieme dellesoluzioni e

√2

2 < x < 1.Per tornare alla simulazione del test clicca su

RIFERIMENTI TEORICI Riferimenti teorici 2

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