Istituzioni di Matematiche - mat.unimi.it · Dati due numeri reali a;b 2R si dice distanza tra a e...

Istituzioni di Matematicheseconda parte

anno acc. 2012/2013

Univ. degli Studi di Milano

Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 31

Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R

index

1 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R

2 Prime proprietà delle funzioni



Ordinamento dei numeri reali

Due numeri reali a, b ∈ R possono sempre essere confrontati per stabilire sesono uguali o, in caso contrario, quale è il maggiore tra i due.Per confrontare due numeri reali si possono usare le seguenti proprietà:∀a, b, c ∈ R, se a < b, allora anche a + c < b + c;∀a, b, c ∈ R, se c > 0, e a < b, allora anche ac < bc;∀a, b, c ∈ R, se c < 0 e a < b allora ac > bc.

ESERCIZIOUsare le proprietà sopra elencate per confrontare tra lorox = 3

17 con y = 2− 1219 ,

a = −1329 con b = −0, 42,

m = 1−√

17 con n = −5√

17+45



OSSERVAZIONE - L’insieme dei numeri reali R è denso, cioè dati duequalsiasi numeri reali a, b ∈ R, esiste un numero reale c compreso tra i due(in realtà ne esistono infiniti). Ad esempio si può prendere c = a+b

2 .

Dato un numero reale a, si chiama modulo o valore assoluto di a il numeroreale non negativo

|a| = a, se a ≥ 0;|a| = −a, se a < 0.

Ad esempio | − 3| = 3, e |√

5| =√

5.



Sistemi di riferimento sulla retta e sul pianoL’insieme dei numeri reali può essere visualizzato come insieme dei punti diuna retta: per farlo occorre introdurre un sistema di riferimento sulla retta.Un sistema di riferimento cartesiano su una retta r è una ternaR = {O, verso,U}, ove O ∈ r è un punto detto origine del riferimento), ilverso è uno dei due possibili su r, e U è un segmento (che viene utilizzatocome unità di misura):

-qO qX U r

R permette di istituire una corrispondenza biunivoca fra r e l’insieme R deinumeri reali:

: r → RX 7→ x,

ove x è la misura di OX rispetto a U, o il suo opposto, a seconda che X sianella semiretta positiva, o negativa. Il numero reale x viene detto coordinata oascissa di X.



Un sistema di riferimento cartesiano ortogonale su un piano π è dato da unacoppia di rette (del piano) ortogonali orientate (come in figura), dette assi, chesi intersecano in un punto, detto origine, ed un segmento da considerarsi comeunità di misura.

-

6

O

P

X asse x

Y

asse y

U

Per P: retta parallela all’asse x che taglia l’asse y in Y e retta parallela all’assey che taglia l’asse x in X.È possibile instaurare una corrispondenza biunivoca:

π → R2 = R× R P 7→ (x, y),ove x è la coordinata di X sull’asse x (e viene detto ascissa di P), ove y è lacoordinata di Y sull’asse y (e viene detto ordinata di P).



Sup, Inf, Max, Min

Un sottoinsieme A di R viene detto superiormente limitato se ∃c ∈ R tale che∀x ∈ A si abbia x ≤ c. Un tale c viene detto maggiorante per A.

Si noti che tale c non è unico: ogni numero ≥ c è pure un maggiorante.

In modo analogo si definisce inferiormente limitato un sottoinsieme B di Rche ammetta (almeno) un minorante, ovvero un d ∈ R tale che ∀y ∈ B siabbia y ≥ d.

Un insieme che sia tanto superiormente quanto inferiormente limitato vienedetto limitato.

ESEMPIO - L’insieme Z non è né superiormente, né inferiormente limitato,l’insieme N, non è superiormente limitato, ma è inferiormente limitato,l’insieme Y = {−n|n ∈ N} è superiormente limitato, ma non inferiormentelimitato, l’insieme W = {1, 2, 3} è limitato.



Se A ⊆ R è un insieme superiormente limitato, tra i maggioranti ce ne è unoche è minore di tutti gli altri e che viene detto estremo superiore di A, ovveroesiste un c tale che

c è un maggiorante per Ase b < c, allora b non è un maggiorante per A.

Si scrive c = Sup(A).

Analogamente se B ⊆ R è un insieme inferiormente limitato, tra i minorantice ne è uno che è maggiore di tutti gli altri e che viene detto estremo inferioredi B, ovvero esiste un d tale che

d è un minorante per Bse f > d, allora f non è un minorante per B.

Si scrive d = Inf (B).



Se un insieme H ⊆ R non è superiormente limitato, si scrive Sup(H) = +∞,se un insieme K ⊆ R non è inferiormente limitato, si scrive Inf (K) = −∞.

ESEMPI1 L’insieme X = { n

n+1 |n ∈ N} = { 12 ,

23 ,

34 , . . . } è limitato; si ha

Inf (X) = 12 , Sup(X) = 1.

2 L’insieme Z non è limitato né superiormente, né inferiormente; si haInf (Z) = −∞ e Sup(Z) = +∞.

3 L’insieme N è inferiormente limitato, non superiormente limitato; si haInf (N) = 1, Sup(N) = +∞.



Sia A ⊆ R, se A è superiormente limitato e Sup(A) ∈ A, si dice che Aammette massimo e si scrive Sup(A) = Max(A).

Analogamente se A è inferiormente limitato e Inf (A) ∈ A, si dice che Aammette minimo e si scrive Inf (A) = Min(A).

ESEMPI - L’insieme dei numeri naturali N è inferiormente limitato edammette minimo: Min(N) = 1.L’insieme A = {1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . . } è inferiormente limitato, maInf (A) = 0 /∈ A, per cui A non ammette minimo.

ESERCIZIO - Trovare Sup, Inf , ed eventuali Max e Min, per ciascuno deiseguenti insiemi

1 A = {x ∈ R| − 1 < x < 2} ∪ {3}2 B = {x ∈ R|x ≤ 2} ∪ {3}3 C = {1, 2, 3} ∪ {x ∈ R|x ≥ 4}4 D = {x ∈ R|x2 < 1}



Intervalli sulla retta

Si chiamano intervalli i seguenti sottoinsiemi di R :

i1 (a, b) = {x ∈ R|a < x < b}i2 [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}i3 [a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}i4 (a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}j1 (−∞, b] = {x ∈ R|x ≤ b}j2 (−∞, b) = {x ∈ R|x < b}j3 [a,+∞) = {x ∈ R|x ≥ a}j4 (a,+∞) = {x ∈ R|x > a}j5 (−∞,+∞) = R

Gli intervalli i1, . . . , i4 si dicono limitati, gli intervalli j1, . . . , j5 si diconoillimitati.



Intorni di numeri reali; intorni di +∞ e di −∞Dati due numeri reali a, b ∈ R si dice distanza tra a e b il valore assoluto dellaloro differenza, cioè il numero reale (non negativo) |a− b|.

ESEMPIO - La distanza tra −2 e 5 vale 7, poichè | − 2− 5| = | − 7| = 7.La distanza tra −24 e −15 vale 9, poichè | − 24− (−15)| = | − 9| = 9.L’insieme dei numeri reali la cui distanza dal numero 2 è minore di 5 è{x ∈ R| − 5 < x− 2 < 5} ovvero l’intervallo (2− 5, 2 + 5) = (−3, 7).

Si dice intorno di raggio r del numero reale a l’insieme di tutti e soli i numeriche distano da a meno di r, ovvero l’intervalloU(a, r) = {x ∈ R||a− x| < r} = {x ∈ R| − r < a− x < r} = (a− r, a + r).

Si dice intorno destro di raggio r del numero reale a l’insieme di tutti e soli inumeri maggiori o uguali ad a e che distano da a meno di r, ovverol’intervalloU+(a, r) = {x ∈ R|x ≥ a, |a− x| < r} = [a, a + r).

Si dice intorno sinistro di raggio r del numero reale a l’insieme di tutti e soli inumeri minori o uguali ad a e che distano da a meno di r, ovvero l’intervalloU−(a, r) = {x ∈ R|x ≤ a, |a− x| < r} = (a− r, a].



Si dice intorno di +∞ di estremo sinistro h l’intervalloU(+∞, h) = {x ∈ R|x > h} = (h,+∞).

Si dice intorno di −∞ di estremo destro k l’intervalloU(−∞, k) = {x ∈ R|x < k} = (−∞, k).

Dato un sottoinsieme A ⊆ R si dice che un punto a ∈ A è interno se esiste unintorno di a interamente contenuto in A.

ESEMPIO - In A = (1, 3], 3/2 e 2 sono punti interni, mentre 3 non lo è.In Z nessun punto è interno.

ESERCIZIO - Stabilire in quali dei seguenti insiemi a = 2 è punto interno:

A = [2,+∞), B = (−∞, 0)∪(1, 5), C = (0, 2)∪(2, 3), D = {1, 2, 3}.


Prime proprietà delle funzioni

index

1 Proprietà elementari dei sottoinsiemi di R

2 Prime proprietà delle funzioni



Il concetto di funzione

Siamo A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) da A a B è una leggeche ad ogni elemento dell’insieme A associa uno ed un solo elementodell’insieme B.

ESEMPIO - Indicato con R l’insieme delle regioni italiane e con C l’insiemedei comuni italiani, la legge che associa a ciascuna regione il suo capoluogo èuna funzione da R a C, così come la legge che associa ad ogni comune la suaregione è una funzione da C ad R, mentre la legge che associa ad ogni regionei suoi comuni, non lo è. Perché?

ESEMPIO - Indicato con K l’insieme degli esseri umani viventi o vissuti, lalegge che associa a ciascun individuo la propria madre (naturale) è unafunzione da K a K, mentre la legge che associa ad ogni individuo i suoi figli,non lo è, e non lo è nemmeno quella che associa ad ogni individuo il proprioconsorte. Perché?



Se f è una funzione da A a B si scrive f : A→ B. L’insieme A viene dettodominio di f , B codominio. Dato un x ∈ A, l’elemento y ∈ B che si associa adx viene detto immagine di x tramite f e si scrive y = f (x). Il sottoinsieme di Bcostituito dalle immagini degli elementi di A viene detto immagine di Atramite f e denotato con f (A) (o con Im(f )).

Siamo interessati al caso in cui sia A ⊆ R e B = R (funzioni reali di variabilireali). In questo caso spesso le funzioni sono assegnate in forma analitica.

ESEMPI1 f (x) = x3;2 f (x) =

√3− x2;

3 f (x) =√

x2 + 3x;4 f (x) = 5

√3− x

Nei casi scritti sopra si è specificata solo la legge che permette di determinarel’immagine di un x. Non si è specificato il dominio A.



La funzione dell’esempio 1 è definita per qualsiasi valore della variabile x,ovvero può avere come insieme di definizione A = R, mentre le altre hannosignificato solo per alcuni valori della variabile x. La funzione dell’esempio 4non è definita, ad esempio, per x = 5. In generale, quando non specificato, siassume che l’insieme di definizione sia il più grande sottoinsieme di D di Rtale che ∀x ∈ D esista un y = f (x) ∈ R. Questo sottoinsieme D viene dettoinsieme di definizione o campo di esistenza di f .

L’insieme Γf = {(x, y) ∈ R2|y = f (x)} si dice grafico di f .

Quello in figura non è il graficodi una funzione. Perché?

Nella pagina seguente sono rappresentati i grafici delle funzioni degli esempi1, 2, 3 e 4, citati prima. Si utilizzino i grafici per dedurre dominio e immaginedi ciascuna delle suddette funzioni.



Figure: esempio 1 Figure: esempio 2

Figure: esempio 3 Figure: esempio 4



Funzioni iniettive

Una funzione f : A→ B si dice iniettiva se a elementi di A distinti tra loroassocia elementi di B distinti tra loro.

In altri termini, f è iniettiva se, ∀s, t ∈ A, si ha

s 6= t ⇒ f (s) 6= f (t)

o, equivalentemente,f (s) = f (t) ⇒ s = t.

Ad esempio la funzione che associa ad un individuo la propria madre non èiniettiva, dal momento che individui diversi possono avere la stessa madre.

Nel caso di funzioni reali di variabile reale, l’iniettività può essere "letta" dalgrafico: f è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il grafico Γf dif in al più un punto.

Stabilire quali tra le funzioni degli esempi 1, 2, 3 e 4 siano iniettive.



ESERCIZIO - Data la funzione definita da f (x) = 3−x2

x2+1

determinare l’insieme di definizione di fstabilire se 0,−2, 1 sono valori assunti da f e, in caso affermativo, quantevoltestabilire se f è iniettiva

ESERCIZIO - Stabilire quali tra le seguenti funzioni sono iniettive (dopoaverne determinato l’insieme di definizione)

f (x) = 5− 3xf (x) = 5− |3x|f (x) = 2

x−3

f (x) = x2 − 4



Composizione di funzioni

In alcuni casi due funzioni si possono applicare una dopo l’altra per ottenereuna nuova funzione. Ad esempio se dapprima si applica la funzione che ad unindividuo associa la propria madre e dopo la funzione che ad un individuoassocia il proprio padre, si ottiene la funzione che a ciascun individuo associail proprio nonno materno (il padre della madre). Potremmo dire che lafunzione "nonno materno" è ottenuta componendo la funzione "madre" con lafunzione "padre".Invece componendo prima la funzione "padre" e dopo la funzione "madre" siottiene la funzione "nonna paterna".

Consideriamo ora funzioni reali di variabile reale, f : A ⊆ R→ R eg : B ⊆ R→ R. Se f (A) ⊆ B, preso x ∈ A, si può consideraref (x) ∈ f (A) ⊆ B ed applicare a questo la funzione g ottenendo g(f (x)).

Si definisce funzione composta g ◦ f : A→ R la funzione che ad ogni x ∈ Aassocia y = g(f (x)).



Come si è già visto nel caso delle funzioni "madre" e "padre" nellacomposizione di funzioni è importante l’ordine in cui si considerano le duefunzioni.

Ad esempio, componendo la funzione f (x) = x2 + 1, con la funzioneg(x) = 3x, si ottiene la funzioneh(x) = g(f (x)) = g(x2 + 1) = 3(x2 + 1) = 3x2 + 3. Invece componendoprima g e poi f si ottiene k(x) = f (g(x)) = f (3x) = (3x)2 + 1 = 9x2 + 1.

ESERCIZIO - Date f (x) = −√

x, g(x) =√

x3

determinare gli insiemi di definizione di f e di gsi possono costruire le funzioni f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g? In casoaffermativo scriverne la rispettiva espressione analitica.

ESERCIZIO - Date f (x) = |x|+ 3, g(x) = 1 (g è la funzione costante divalore 1)

determinare dominio ed immagine di f e di gdeterminare f ◦ g, g ◦ f .



Funzione inversa

Quando una funzione f : A→ R è iniettiva, ogni y ∈ f (A) proviene da unsolo x ∈ A, ovvero ∀y ∈ f (A),∃ uno ed un solo (in simboli ∃!) x ∈ A tale chef (x) = y.

Si può allora costruire una funzione : f (A)→ R (che viene detta inversa di f edenotata con f−1) nel seguente modo:

f−1(y) = x ⇔ f (x) = y.

Ad esempio, se f : R→ R è la funzione definita da f (x) = x3, allora f èiniettiva e si può definire la funzione inversa f−1(y) = 3

√y : la funzione

"radice cubica" è l’inversa della funzione "cubo." Potremmo altrettanto direche la funzione "radice quadrata" è l’inversa della funzione "quadrato"?



ESERCIZIO - Determinare, se esiste, la funzione inversa di ciascuna delleseguenti funzioni

f (x) = 5x− 4f (x) = x3 − 3f (x) = 4− 3

2−x

f (x) = (x− 2)2.

Si noti che il grafico di f−1 si può ottenere dal grafico di f per riflessione(simmetria) rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante.



Funzioni monotone

Una funzione f : A ⊆ R→ R si dice

monotona crescente (rispett. monotona strettamente crescente) se∀a, b ∈ A con a < b si ha f (a) ≤ f (b) (rispett. f (a) < f (b))monotona decrescente (rispett. monotona strettamente decrescente) se∀a, b ∈ A con a < b si ha f (a) ≥ f (b) (rispett. f (a) > f (b))

Una funzione si dice monotona (rispett. strettamente monotona) se èmonotona crescente oppure decrescente (rispett. strettamente monotonacrescente oppure decrescente).

Una funzione strettamente monotona è iniettiva (e quindi ammette inversa).

ESERCIZIO - Mostrare un esempio di funzione monotona non iniettiva.



Concavità

Una funzione f : A ⊆ R→ R si dice concava verso l’alto (rispett. concavaverso il basso) nell’intervallo (a, b) ⊆ A se ∀s, t con a < s < t < b ilsegmento che unisce i punti (s, f (s)) e (t, f (t)) sta tutto sopra (rispett. sotto) ilgrafico di f .Una funzione concava verso l’alto viene anche detta convessa.



Funzioni limitate, massimo e minimo assolutoUna funzione f : A ⊆ R→ R si dice superiormente limitata se la suaimmagine f (A) è un insieme superiormente limitato, ovvero se ∃H ∈ R taliche ∀x ∈ A sia f (x) ≤ H.Se Sup(f (A)) = k, si scrive anche Sup(f ) = kSi dice che f ha massimo assoluto M se M è il massimo di f (A). Un punto x0tale che f (x0) = M viene detto punto di massimo (assoluto) per f .

Una funzione f : A ⊆ R→ R si dice inferiormente limitata se la suaimmagine f (A) è un insieme inferiormente limitato, ovvero se ∃h ∈ R tali che∀x ∈ A sia f (x) ≥ h.Se Inf (f (A)) = k, si scrive anche Inf (f ) = k.Si dice che f ha minimo assoluto m se m è il minimo di f (A). Un punto x0 taleche f (x0) = m viene detto punto di minimo (assoluto) per f .

Funzione limitata, con massimo,senza minimo.



ESERCIZIO -Stabilire se g, h e k sianoiniettive.Stabilire se g, h e k sianomonotone (crescenti odecrescenti).Stabilire se g, h e k sianostrettamente monotone(crescenti o decrescenti).Stabilire se g, h e k sianoconcave verso l’alto o versoil basso.Determinare h(g(2))Determinare k−1(3)Disegnare il grafico di k−1.

Figure: g

Figure: h

Figure: k



ESERCIZIO1 Disegnare il grafico di una funzione che abbia 2 punti di massimo

assoluto e nessun punto di minimo assoluto.2 Disegnare il grafico di una funzione che abbia 2 punti di massimo

assoluto e un punto di minimo assoluto.3 Disegnare il grafico di una funzione che abbia infiniti punti di massimo

assoluto e nessun punto di minimo assoluto.4 Disegnare il grafico di una funzione concava verso l’alto e con un punto

di minimo assoluto.5 Disegnare il grafico di una funzione concava verso l’alto e priva di punti

di minimo assoluto.



Zeri e segno di una funzione

Sia f : A ⊆ R→ R.

Un punto a ∈ A si dice zero di f se f (a) = 0.

Si dice che f è positiva in B ⊆ A se ∀x ∈ B si ha f (x) > 0.

Si dice che f è negativa in B ⊆ A se ∀x ∈ B si ha f (x) < 0.

ESERCIZIOData la funzione f (x) = x−2

x+3 , trovare gli zeri di f , il più grande sottoinsieme diA in cui f è positiva, il più grande sottoinsieme di A in cui f è negativa.



ESERCIZIO - In figura è ilgrafico della funzionef (x) = x2+1

x .

1. Per quali valori di h l’equazione x2+1x = h non ha soluzioni?

2. Per quali valori di h l’equazione x2+1x = h ha una sola soluzione?

3. Per quali valori di h il numero 1 è soluzione dell’equazione x2+1x = h?

4. Quante soluzioni ha l’equazione | x2+1x | = 3?

5. Quante soluzioni ha la disequazione x2+1x < 1?

6. Quante soluzioni ha la disequazione | x2+1x | < 1?



ESERCIZIO - Disegnare il grafico della funzione definita (a pezzi) da:

f (x) = (x + 4)2, per − 5 ≤ x ≤ 0

f (x) = x− 2, per 2 ≤ x < 4

f (x) = −x, per x ≥ 4.

1. determinare l’insieme di definizione di f ,2. determinare gli intervalli in cui è crescente o decrescente,3. stabilire se f è o meno limitata e determinare gli eventuali punti di massimoe di minimo assoluti,4. determinare gli zeri di f ,5. determinare gli intervalli in cui f è positiva e quelli in cui f è negativa.


Istituzioni di Matematiche - mat.unimi.it · Dati due numeri reali a;b 2R si dice distanza tra a e...

Documents

Transcript of Istituzioni di Matematiche - mat.unimi.it · Dati due numeri reali a;b 2R si dice distanza tra a e...