Istituto Professionale (Lamezia Terme) Classe II A Prof. Santi Caltabiano

Irrazionalità della radice di un numero primo

Si dimostra che la radice di un numero primo è sempre un numero irrazionale. E’ la generalizzazione della

dimostrazione:”la radice di 2 è un numero irrazionale”

Teorema

Hp: Sia a un numero primo

Ts: √��

è un numero irrazionale

Dim

Supponiamo per assurdo che √��

sia un numero razionale ⟹ ∃�, � ∈ \�0,1� t.c. √�� =

�

� e si può

supporre che la frazione sia semplificata ai minimi termini cioè MCD(m,n)=1.

Quadrando � =��

�� ⟹ �� = ��� ⟹ �� divisibile per a ⟹ m divisibile per a ⟹ ∃� ∈ \�0� t.c. m=ka.

Sostituendo in � =��

�� otteniamo � =

����

�� ⟹ �� = ��� ⟹ �� multiplo di a ⟹ n multiplo di a.

Pertanto sia m che n sono multipli di a e questo è un assurdo poiché MCD(m,n)=1.