IntroduzioneStatistica

Insegnamento integrato di:Misure e Strumentazione Industriale Laboratorio di EnergeticaIntroduzione alla Statistica Statistica nelle misureSezione di Misure e Tecniche Sperimentali

2

Introduzione alla statistica

Fenomeni aleatori2

I fenomeni aleatori (o casuali) sono fenomeni empirici il cui risultato non prevedibile a priori, caratterizzati cio dalla propriet che la loro osservazione in un insieme fissato di circostanze non conduce sempre agli stessi risultati.

Non si ha una regolarit deterministica, bens di tipo statistico, in quanto nell'osservazione del fenomeno in oggetto si pu notare che, nonostante l'irregolare comportamento dei singoli risultati, questi nel loro complesso manifestano determinati caratteri di regolarit.

3


Probabilit discreta: dado a 6 facce3

4


-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

Evento: faccia dado

Prob

abilit

ev

ento

Funzione di densit discreta f(x)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

0.5

1

Evento: faccia dado

Prob

abilit

cu

mul

ata

even

to

Funzione di probabilit cumulata discreta F(x)

Probabilit discreta: funzioni statistiche

1/6

2/61/6

3/64/6

5/61

punti massa

4

5


Valore atteso

Valore atteso:

Il valore atteso indica il baricentro della distribuzione e pu non coincidere con uno dei suoi punti di massa.

Nel caso del dado a 6 facce:

5

6


Varianza e deviazione standard

Varianza:

Indica il momento di inerzia della distribuzione, cio la sua dispersione attorno al valore medio.

Deviazione standard (scarto quadratico medio):

6

7


Variabili aleatorie continue

Ipotizziamo di avere un serbatoio il cui livello pu variare con continuit fra 0 e 100 e che non presenti valori di livello pi probabili di altri.

Quanto vale la probabilit associata ad un preciso valore di livello:

h

-1 -0.5 00.5 1

-1-0.500.51

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

7

8


Serbatoio: 100 osservazioni

Aggiungere una struttura con un clic

5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

5

10

15

Livello serbatoio

Num

ero

occo

rrenz

e

Istogramma occorrenze - N = 100

5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

0.005

0.01

0.015

0.02

Livello serbatoio

f(x)

Istogramma - N = 100

8

9


Serbatoio: 1000 e 100mila osservazioni

5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

50

100

Livello serbatoio

Num

ero

occo

rrenz

e


5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

0.005

0.01

0.015

Livello serbatoio

f(x)


5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

5000

10000

Livello serbatoio

Num

ero

occo

rrenz

e


5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

0.005

0.01

0.015

Livello serbatoio

f(x)


L'aumento delle osservazioni porta ad una maggiore conoscenza del fenomeno aleatorio

9

10


Serbatoio: 100mila osservazioni

Riducendo le ampiezze delle basi degli istogrammi (aumentando la risoluzione) il fenomeno non mantiene la propria regolarit

5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

5000

10000

Livello serbatoio

Num

ero

occo

rrenz

e


5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

0.005

0.01

0.015

Livello serbatoio

f(x)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Livello serbatoio

f(x)


10

11


Serbatoio: 10 milioni di osservazioni

Riducendo le ampiezze delle basi degli istogrammi il fenomeno ora mantiene la propria regolarit

5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

5

10x 10

5

Livello serbatoio

Num

ero

occo

rrenz

e


5 15 25 35 45 55 65 75 85 950

0.005

0.01

0.015

Livello serbatoio

f(x)


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Livello serbatoio

f(x)


11

12


Si intuisce che se avessimo una conoscenza completa del fenomeno aleatorio N , potremmo fare tendere a 0 la base degli istogrammi. Si continuerebbe ad avere un numero finito di osservazioni in ogni intervallo.

Questo passaggio al limite ci consente di ottenere una funzione continua: la funzione densit di probabilit (per v.a. continue).

Funzione densit di probabilit per v.a. continue12

13


Distribuzione continua uniforme o rettangolare13

14


Indici statistici14

15


f(x) discrete Vs f(x) continue

La differenza fra le funzioni densit discrete e continue non solo formale (sostituzione delle sommatorie con gli integrali):

f(x) per v.a. discrete esprimono una probabilit

f(x) per v.a. continue esprimono una densit di probabilit: la probabilit associata ad intervalli e si determina quindi mediante un'operazione di integrazione

15

16


v.a. continue: calcolo probabilit16

17


Famiglie di distribuzioni

Tutte le funzioni che soddisfano le propriet analizzate precedentemente sono possibili funzioni densit di probabilit

Solo alcune di esse sono per adeguate per modellare particolari fenomeni fisici

In questo corso sono di interesse: Uniforme (gi analizzata) Normale o Gaussiana T-Student

17

18


Distribuzione Normale o Gaussiana

2

2

2

21),,(

x

exf

x

La normale o gaussiana la distribuzione che descrive la maggior parte dei fenomeni fisici in campo ingegneristico.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

X

f(x)

PDF gaussiana standardizzata

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

X

F(x

)

CDF gaussiana standardizzata

18

19


Distribuzione normale o gaussiana N(,2)

-5 0 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Influenza della media

012

-5 0 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Influenza della deviazione standard

0.512

La distribuzione gaussiana completamente descritta da due parametri: media media e varianza 22.

19

20


circa il 68% della distribuzione compreso nellintervallo centrato su e di estremi

circa il 95.5% della distribuzione compreso nellintervallo centrato su e di estremi 2


20

Caratteristiche della Gaussiana

21


Di particolare importanza la normale standard, ovvero la distribuzione normale che ha media 0 e varianza (e deviazione standard) pari a 1 (si indica con N(0,1)).

Propriet: se X N(,2)

se X una variabile distribuita secondo una normale di media e varianza 22, la variabile distribuita secondo una normale standard.

Z definita variabile standardizzata: consente un semplice uso delle tabelle e consente di effettuare delle valutazioni normalizzate (es: entro l'intervallo media 2 deviazioni standard compreso circa il 95% della distribuzione, per qualsiasi distribuzione gaussiana).

21

Distribuzione normale standard N(,1)

22


Distribuzione t-Student

Aggiungere una struttura con un clic

22

23


Tabelle statistiche

23

24


Relazioni utili

Per le distribuzioni simmetriche (Gaussiana, t-Student, ) valgono le seguenti propriet:

Se la distribuzione a media nulla:

25


25

26


26

27


Si calcolino gli estremi dell'intervallo simmetrico rispetto alla media che sottende il 90% di una N(30,4).

Esempio uso tabelle statistiche

22 24 26 28 30 32 34 36 380

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

X

f(x)

0.05 0.05

0.90

27

28


22 24 26 28 30 32 34 36 380

0.05

0.1

0.15

0.2

X

f(x)

22 24 26 28 30 32 34 36 380

0.05

0.1

0.15

0.2

X

f(x) 0.05

0.05 0.050.90

0.95

28

29


Applicazione della statistica alle misure

29

30


Quando si effettua una misura si cerca di ottenere un valore misurato che sia il pi vicino possibile al valore vero (sconosciuto e non conoscibile) della grandezza di interesse.

31


Se si fanno ripetere le misure di lunghezza del pesce a diversi pescatori si otterranno valori diversi. Le cause della diversit delle misure rilevata sono molte, e si possono schematizzare in due gruppi:

effetti sistematici (tirare la coda, misurare lungo la corda) effetti casuali

32


effetti sistematici + casuali effetti casuali

Come trattare tutte queste misure diverse ???Soluzione: LA STATISTICA

Altro esempio: misure ripetute nel tempo

33


Numero rilevazione

Lettura [kPa]

1 10.02

2 10.20

3 10.26

4 10.20

5 10.22

6 10.13

7 9.97

8 10.12

9 10.09

10 9.90

11 10.05

12 10.17

13 10.42

14 10.21

15 10.23

16 10.11

17 9.98

18 10.10

19 10.04

20 9.81

Si sono effettuate 20 misure di Si sono effettuate 20 misure di pressione in un recipiente:pressione in un recipiente:

Le misure Le misure nonnon sono tutte uguali! sono tutte uguali!

Quale la misura che possiamo dire Quale la misura che possiamo dire essere il valore di pressione esistente essere il valore di pressione esistente nel recipiente ?nel recipiente ?

Altro esempio: misure di pressione di un recipiente

34

Introduzione alla statistica 3434

Si pu procedere cos: si dispongano i dati rilevati in Si pu procedere cos: si dispongano i dati rilevati in ordine crescente e si suddividano in intervalli omogenei ordine crescente e si suddividano in intervalli omogenei (in questo caso si sceglie 0.05 kPa). (in questo caso si sceglie 0.05 kPa).

Si definisca: Si definisca: n = numero di letture in un intervallon = numero di letture in un intervallo N = numero totale di lettureN = numero totale di letture a = ampiezza di un intervalloa = ampiezza di un intervallo

e infine la e infine la funzione densit di probabilit discreta funzione densit di probabilit discreta (Z)(Z)::

aNnZ

35


Se si traccia un Se si traccia un intervallo di altezza Z intervallo di altezza Z per ogni intervallo si per ogni intervallo si ottiene:ottiene:

ZZ

Numero di Numero di letture letture

nellintervallonellintervallo

nnaN

nZ 05.020

36


Ipotizzando:Ipotizzando:

0aN

Densit di probabilit Densit di probabilit discretadiscreta

Densit di probabilit Densit di probabilit continuacontinua

37


b

a

dxxfbXap

a

dxxfaXF

Probabilit Probabilit che a

39


ex

xf 22

22

1

LA FUNZIONE DI DENSITA NORMALE o LA FUNZIONE DI DENSITA NORMALE o GAUSSIANAGAUSSIANA

x

x

dxxfxF

40


LA GAUSSIANA E COMPLETAMENTE DESCRITTA DA LA GAUSSIANA E COMPLETAMENTE DESCRITTA DA DUE PARAMETRI:DUE PARAMETRI:

MEDIAMEDIA

DEVIAZIONE STANDARD DEVIAZIONE STANDARD

( o la varianza ( o la varianza 22 ) )

41


MEDIAMEDIA

DEVIAZIONE STANDARDDEVIAZIONE STANDARD

INFLUENZA DI MEDIA E DEVIAZIONE STANDARDINFLUENZA DI MEDIA E DEVIAZIONE STANDARD

42


NUMERO INFINITO DI CAMPIONI:NUMERO INFINITO DI CAMPIONI:

: MEDIA: MEDIA : DEVIAZIONE STANDARD: DEVIAZIONE STANDARD

MA NON SI POSSONO EFFETTUARE UN MA NON SI POSSONO EFFETTUARE UN NUMERO INFINITO DI RILEVAZIONI :NUMERO INFINITO DI RILEVAZIONI :

SI DEVE TROVARE UN SISTEMA PER SI DEVE TROVARE UN SISTEMA PER STIMARESTIMARE MEDIA E DEVIAZ. ST.MEDIA E DEVIAZ. ST.

43


N

xx

N

ii

1

1

1

2

N

Xxs

N

ii

Con xi= singola lettura e N = numero rilevazioni

Media campionaria

SI UTILIZZANO I SEGUENTI SI UTILIZZANO I SEGUENTI STIMATORISTIMATORI

Deviazione standard

campionaria

44


X

DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE DELLE MEDIE DELLE MEDIE

CAMPIONARIECAMPIONARIEmm, , mm

DISTRIBUZIONE DISTRIBUZIONE CAMPIONARIACAMPIONARIA

, ,

AVENDO AVENDO DIVERSE SERIEDIVERSE SERIE DI MISURAZIONI DI MISURAZIONI POTREMO CALCOLARE PER OGNUNA DI POTREMO CALCOLARE PER OGNUNA DI QUESTE LA MEDIA, ESSE NON SARANNO QUESTE LA MEDIA, ESSE NON SARANNO

TUTTE UGUALI E SI DISTRIBUIRANNO SU TUTTE UGUALI E SI DISTRIBUIRANNO SU UNA UNA GAUSSIANAGAUSSIANA

mm==

Nm

45


circa il 68% della distribuzione compreso nellintervallo centrato su e di estremi



45Caratteristiche della Gaussiana

46


Circa il 68%degli intervalli cos costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 68%)

NsX 2

NsX

NsX 3

Si pu quindi stimare che:46

Circa il 95.5%degli intervalli cos costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 95.5%)

Circa il 99.7%degli intervalli cos costruiti contiene il valore vero (livello di confidenza 99.7%)

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