Introduzione alle Geometrie non Euclidee

Introduzione alle

Geometrie non Euclidee

Francesco Mazzocca

PianoLauree Scientiche 2016 - Caserta, 5 maggio 2016

1 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee

Argomenti della presentazione

1 L'importanza della Geometria nella culturaclassica e qualche informazione su Euclide.

2 Uno sguardo veloce agli Elementi .3 Critica al quinto postulato ovvero la storia di un

pregiudizio.4 Il lavoro di Saccheri.5 Le geometrie non euclidee: la nascita.6 Le geometrie non euclidee: alcuni modelli.7 Le geometrie non euclidee: modelli da superci.

Letture consigliate


1

L'importanza della Geometrianella cultura classica

equalche informazione su Euclide

indice


Dante e la Geometria

Qual è 'l geomètra che tutto s'ageper misurar lo cerchio, e non ritrova,pensando, quel principio ond'elli indige,tal era io a quella vista nova:veder volea come si convennel'imago al cerchio e come vi s'indova;

Paradiso, canto XXXIII vv.133 e segg.


Dante e la GeometriaParadiso - canto XXXIII vv.133 e segg.

Siamo alla conclusione dell'ultimo canto dellaCommedia: qui lo slancio creativo di Dante si tendein un supremo sforzo di esprimere l'inesprimibile.

Dante tenta di spiegarsi la presenza contemporanea,nel Verbo, della natura umana, di quella divina e diquella dello spirito santo e paragona la dicoltà diquesto tentativo a quella del matematico che arontail problema della quadratura del cerchio.


Dante e la GeometriaParadiso - canto XXXIII vv.133 e segg.

La quadratura del cerchio è uno dei tre problemiprincipi lasciati insoluti dalla geometria greca (gli altrisono la trisezione di un angolo e la duplicazione delcubo).Dante sembra propendere per la sua indecidibilità,considerato che lo paragona a quello di comprendereil mistero della Trinità. Ciò è comprensibile se sipensa che la soluzione di questo problema si avrà solonel 1882 ad opera di Ferdinand von Lindemann

(1852-1939).


Dante e la Filosoa anticaInferno - canto IV vv.130-144

Vidi il maestro di color che sanno,Seder tra losoca famiglia.Tutti l'ammiran, tutti onor gli fanno:Quivi vid'io e Socrate e Platone,Che innanzi agli altri più appresso gli stanno.Democrito, che il mondo a caso pone,Diogenès, Anassagora e Tale,Empedoclès, Eraclito e Zenone:E vidi il buon accoglitor del quale,Dioscoride dico; e vidi Orfeo,E Tullio, e Lino, e Seneca morale:Euclide geomètra, e Tolomeo,Ippocrate, Avicenna e Galïeno:Averroìs, che 'l gran comento feo.

( Limbo, dove si trovano i virtuosi non battezzati)


La Scuola di Atenearesco di Raaello Sanzio (1509-1511 circa)musei vaticani - stanza della segnatura

Un inestimabile momento artisticodedicato al pensiero dell'uomo


La Scuola di Atene

.


Particolare della Scuola di AteneGruppo a sinistra in basso, con Pitagora al centro


Particolare della Scuola di AteneIl gruppo dei geometri con Euclide al centro


EUCLIDETestimonianza di Proclo (neoplatonico - V secolo d.C.)

Visse ad Alessandria d'Egitto ai tempi di Tolomeoprimo e fu un neoplatonico.

Era più giovane dei discepoli di Platone e piùvecchio di Archimede.

Siccome Platone morì nel 347 a.C. e Archimedevisse tra il 287 e il 212, è molto probabile chescrisse gli Elementi (in greco anticoΣτoιχεια) intorno al 300 a.C.

Fu detto στιξειωτης, che signica autore degli

Elementi .


Un aneddoto raccontato da Proclodal Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide"

Il re dell'Egitto, Tolomeo primo, chiese ad Euclide disuggerirgli qualche scorciatoia per imparare ilcontenuto degli Elementi.

La famosa risposta fu: Sire non ci sono vie regie in

geometria.

MORALEChi ha responsabilità di governo dovrebbe avere unaconsapevolezza non superciale anche dei problemi edell'importanza della cultura scientica.


Un altro aneddoto raccontato da Proclodal Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide

Uno studente, dopo aver frequentato alcune lezioni,gli domandò a cosa servivano tutti quei teoremi chedoveva imparare.

Per tutta risposta, Euclide ordinò ad uno schiavo:Dà qualche moneta a costui, perché ricavi qualcosa

dalla geometria e sia contento.

MORALESebbene la geometria sia nata per risolvere problemiconcreti, essa è di fondamentale importanza nellosviluppo del pensiero dell'uomo (cioè della losoa),indipendentemente dalle sue applicazioni.


2

Uno sguardo veloce agli Elementi

indice


Gli Elementi di EuclidePagina sul teorema di Pitagora da una traduzione in arabo anteriore all'anno 809 DC


Gli Elementi di EuclideEdizione a cura di Enrico Betti e Francesco Brioschi (1880)


Gli Elementi di EuclideEdizione a cura di Hieminiano Rondelli (1693)


Gli Elementi di EuclideEdizione a cura di Federico Commandino (1619)


Gli Elementi di EuclideEdizione a cura di Guido Grandi (1780)


Gli Elementi di Euclidenella traduzione di Niccolò Tartaglia (1565)

indice


Gli Elementi di Euclide

Gli Elementi costituiscono un'opera che, attraversocostruzioni e dimostrazioni, tratta in maniera rigorosadi quasi tutto il sapere geometrico dell'epoca.

Le costruzioni vengono fatte con l'uso della riga edel compasso, gli unici strumenti ammessi dallametasica platonica.

I teoremi vengono dimostrati, attraverso ilmetodo deduttivo, sulla base di denizioni,postulati e assiomi inizialmente enunciati.

3



Le denizioni descrivono gli oggetti geometrici dibase (come ad esempio punto, linea, supercie) chevengono studiati nel trattato.

I postulati sono quelle aermazioni, di naturageometrica, che non possono essere dimostrate mavengono considerate vere in quanto percepite cometali dalla nostra mente.

Gli assiomi sono delle aermazioni di senso comuneche hanno un carattere generale e non di naturageometrica, come i postulati.

3



Gli Elementi cercano di descrivere con linguaggiogeometrico buona parte della matematica elementare

allora conosciuta.

L'aritmetica, per esempio, viene ricostruita conlinguaggio geometrico e per la prima volta vengonodimostrati risultati fondamentali sui numeri primiquali la decomposizione unica di un intero in fattoriprimi e l'innità dell'insieme dei primi (teorema diEuclide).



Gli Elementi non trattano di rami più avanzati

della matematica quali, ad esempio, le coniche: laloro conoscenza non era necessaria nella visione

tolemaica del cosmo.

Le coniche saranno magistralmente introdotte estudiate da Apollonio (Perga, 262 a.C. - Murtina,190 a.C.) come sezioni piane di un cono circolareretto. La teoria di Apollonio si rivelò poi difondamentale importanza per la descrizione delsistema coopernicano.



L'opera consiste di 13 libri:

i primi sei sono dedicati alla geometria piana;

i quattro successivi riguardano la teoria dei

numeri e rapporti tra grandezze;

gli ultimi tre trattano della geometria dello

spazio; in particolare nel tredicesimo libro sonostudiati i solidi platonici.

Molte edizioni antiche contengono altri due libri cheoggi vengono ritenuti apocri e rispettivamenteattribuiti a Ipsicle (II secolo a.C.) e Isidoro di Mileto

(IV secolo d.C.).


Gli Elementi: LIBRO I

• Contiene 23 denizioni, 5 (+1) postulati, 5 assiomie 48 proposizioni.

• Vengono trattati proprietà dei triangoli, costruzionisemplici con riga e compasso, rette parallele,parallelogrammi.

• Alla ne viene dimostrato il teorema di Pitagora.



Presentiamo di seguito

delle denizioni,

degli assiomi

e i cinque postulati,

come appaiono nella traduzione degli

Elementidi Niccolò Tartaglia (1565)


Denizioni

DEFINIZIONE 1. Il punto è quello che non haparte.

DEFINIZIONE 2. La linea è una lunghezza senzalarghezza: i termini della quale sono due punti.

DEFINIZIONE 3. La linea retta è la brevissimaestensione da un punto ad un'altro, che riceve l'uno el'altro di quelli nelle sue estremità.

DEFINIZIONE 4. La supercie è quella che hasolamente lunghezza e larghezza: i termini dellaquale sono linee.


Denizioni

DEFINIZIONE 5. La supercie piana è labrevissima estensione da una linea ad un'altra, chericeve nelle sue estremità l'una e l'altra di quelle.

DEFINIZIONE 6. L'angolo piano è il toccamentoe la applicazione non diretta, di due linee insieme allaespansione della quale è sopra la supercie.

DEFINIZIONE 7. Ma quando due linee rettecontengono un angolo, quell'angolo è detto rettilineo.


Denizioni

DEFINIZIONE 8. Quando una linea retta staràsopra una linea retta, e che i due angoli contenutidall'una e l'altra parte siano uguali: l'uno e l'altro diquelli sarà retto.

DEFINIZIONE 9. E la linea soprastante è dettaperpendicolare sopra a quella, dove sopra sta.

DEFINIZIONE 10. E l'angolo che è maggiore delretto, si dice ottuso.

DEFINIZIONE 11. E l'angolo che è minore delretto, è detto acuto.


Denizioni

DEFINIZIONE 14. Il cerchio è una gura pianacontenuta da una sola linea, la quale è chiamatacirconferenza, in mezzo della quale gura c'è unpunto, dal quale tutte le linee rette, che escono evanno alla circonferenza sono fra loro uguali: e queltale punto è detto centro del cerchio.


Denizioni

DEFINIZIONE 19. Delle gure di tre lati una èdetta triangolo equilatero, e questo è quello che ècontenuto sotto di tre lati uguali: l'altra è dettatriangolo isoscele, è quello che è contenuto solamentesotto di due lati uguali: l'altra è detto triangoloscaleno, e questo è quello che è contenuto sotto ditre lati disuguali.


Denizioni

DEFINIZIONE 21. Ma delle gure di quattro latiuna è detta quadrato, il quale quadrato è di latiuguali e di angoli retti; l'altra è detta tetragonolungo, e questa è una gura rettangola ma non èequilatera; l'altra è detta helmuaym, ovvero rombo, laquale è equilatera ma non è rettangola; l'altra è dettasimile helmuaym, ovvero romboide, la quale ha i latiopposti uguali e similmente gli angoli opposti uguali,ma non è contenuta da lati uguali nÂ´e da angoliretti; e tutte le altre gure quadrilatere, eccettoqueste, sono chiamate helmuariphe, ovvero trapezi.


Denizioni

DEFINIZIONE 22. Le linee equidistanti, ovveroparallele, sono quelle che sono collocate in unamedesima supercie e che protratte dall'una e l'altraparte non concorrono, anche se fossero protratteall'innito.


Gli Assiomi (o Comuni Sentenze)

Assioma 1. Quelle cose che a una medesima cosasono uguali, fra loro sono uguali.

Assioma 2. E se a cose uguali sono aggiunte coseuguali, tutte le somme saranno uguali...........Assioma 5. E se a cose disuguali tu aggiungeraicose uguali, i risultanti saranno disuguali...........Assioma 8. Se alcuna cosa è posta sopra a un'altrain modo che l'una non ecceda l'altra, quelle sarannotra loro uguali.

Assioma 9. Ogni tutto è maggiore della sua parte.


I PostulatiOsservazione di Tartaglia

Innanzi che procediamo più oltre, bisogna notare, chei primi principi di ciascuna scienza non si conosconoper dimostrazione: né alcuna scienza è tenuta aprovare i suoi primi principi, perché bisognerebbeprocedere all'innito, ma quei tali principi siconoscono per intelletto, mediante il senso,...


I Postulati

Postulato 1. Domandiamo che ci sia concesso cheda qualunque punto a qualunque punto si possacondurre una linea retta. 1

Postulato 2. Ancora domandiamo che ci siaconcesso che si possa prolungare una retta terminatadirettamente in continuo quanto ci pare.

1Qui linea retta sta per segmento.39 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee

I Postulati

Postulato 3. Ancora domandiamo che ci siaconcesso che sopra a qualunque centro si vogliapossiamo disegnare un cerchio di che grandezza cipare.

Postulato 4. Similmente domandiamo che ci siaconcesso che tutti gli angoli retti siano fra loro uguali.


I Postulati

Postulato 5. Domandiamo anche che ci siaconcesso che, se una linea retta cadrà sopra due lineerette e che due angoli da una stessa parte sianominori di due angoli retti, quelle due linee senzadubbio, protratte in quella medesima parte, sianecessario che si incontrino.


I Postulati

Postulato 6. Similmente domandiamo che ci siaconcesso che due linee rette non racchiudano alcunasupercie.


3.

Critica al quinto postulato

ovverola storia di un pregiudizio

indice


Rivediamo i cinque postulati di Euclide

1 Per due punti passa una ed una sola retta.2 Ogni retta può essere prolungata indenitamente.3 Esiste uno ed un solo cerchio con centro e raggioassegnati;

4 Tutti gli angoli retti sono uguali.5 Se una retta forma con altre due da una stessaparte angoli interni con somma minore di dueretti, allora quelle due rette si incontreranno nellostesso semipiano.


Osservazioni sul quinto postulato di Euclide

Per due punti passa una ed una sola retta.

Ogni retta può essere prolungata indenitamente.

Dato il centro e il raggio esiste uno ed un solocerchio;

Tutti gli angoli retti sono uguali.

I primi quattro postulati di Euclide sembranoimmediatamente evidenti.



Se una retta forma con altre due da una stessaparte angoli interni con somma minore di dueretti, allora quelle due rette si incontreranno nellostesso semipiano.

Il quinto postulato di Euclide non solo non sembraimmediatamente evidente, ma ha anche una

formulazione più complicata degli altri.



Lo stesso Euclide sembra sentirsi un pò a disagio conil quinto postulato, tanto che dimostra le prime 28proposizioni del I libro degli Elementi senza farnealcun uso.

Proposizione 29 (dagli Elementi)

Una retta che cade su due rette parallele forma gli

angoli alterni interni uguali fra loro, angoli

corrispondenti uguali, angoli coniugati interni

supplementari.



Per oltre duemila anni i matematici hanno provato adedurre il quinto postulato dai primi quattro, all'inizioin modo diretto e poi con dimostrazioni per assurdo.

Il risultato è stato sempre la sostituzione di questopostulato con altri ad esso equivalenti, ma piùintuitivi. Tra questi il più noto è il

Postulato delle parallelePer un punto esterno ad una retta passa una ed unasola parallela alla retta data.



Dagli studi sul quinto postulato di Euclide sono natele Geometrie non euclidee (la cui invenzione è attribuita a

J.Bolyai e N.Lobacevsky) e la profonda revisione dellaconcezione della geometria.

• I principali contributi teorici sono dovuti a:G.Saccheri (1667-1733), F.Gauss (1777-1855),J.Bolyai (1802-1860), N.Lobacevsky (1792-1856).

• Il primo modello non euclideo si deve a E.Beltrami(1835-1900). Importanti contributi per la costruzionedi modelli sono dovuti a: H.Poincaré (1854-1912),F.Klein (1841-1925), G.F.B.Riemann (1826-1866).


4.

Il lavoro di Saccheri

Facesti come quei che va di notte,che porta il lume dietro e sé non giova,ma dopo sé fa le persone dotte...

Purgatorio XXII, 67-69

indice


Il libro di Saccheri:Euclide liberato da ogni macchia

.

.

Col suo libro Saccheriintese mostrare le assurdeconseguenze della nonaccettazione del quintopostulato. In eetti oggisappiamo che nessunadelle conseguenze cheottenne è assurda e tutteinsieme costituiscono unapiccola anticipazione dellageometria non-euclidea.


Il lavoro di Saccherinell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide:studio del quadrilatero birettangolo isoscele

Si innalzino dagli estremidi un dato segmenti A, B

le perpendicolari e su diesse si prendano duesegmenti AD, BC diuguale misura.La gura ABCD che cosìsi ottiene si chiamaquadrilatero birettangoloisoscele (QBI) e sidimostra che i due angoli

in C e D risultano uguali.



A seconda che gli angoliC e D siano ottusi, retti o

acuti, per il quadrilateroin questione, si parla di:

1 ipotesi dell'angoloottuso;

2 ipotesi dell'angoloretto;

3 ipotesi dell'angoloacuto.



aa

1 Se per un ssato QBIvale una delle treprecedenti ipotesi, lastessa vale perqualsiasi altro QBI.

2 Le ipotesi dell'angoloottuso, dell'angoloretto e dell'angoloacuto equivalgono alfatto che la sommadegli angoli interni diun triangolo risultamaggiore, uguale ominore di un angoloretto,rispettivamente.



L'ipotesi dell'angolo retto equivale al

quinto postulato di Euclide.



A questo punto, se si vuole dimostrare che il quintopostulato di Euclide è conseguenza dei primi quattro,bisogna escludere la possibilità che si verichinol'ipotesi dell'angolo acuto e quella dell'angolo ottuso,cosa che Saccheri crede di aver fatto.


Il lavoro di Saccherinell'ipotesi che valgano solo i primi quattro postulati di Euclide

In eetti Saccheri1 riesce ad escludere in maniera rigorosa lapossibilità che si verichi l'ipotesi dell'angoloottuso;

2 ritiene di aver escluso l'ipotesi dell'angolo acutoprovando che, se questa fosse valida,esisterebbero due rette che si avvicinanoindenitamente senza incontrarsi (l'impossibilitàdi questa eventualità è dovuta semplicemente adun pregiudizio ma non ad una prova rigorosa!).


Il lavoro di Saccheri

L'opera di Saccheri, nonostante l'errore conclusivo, èdi fondamentale importanza: nell'ipotesi dell'angoloacuto, Saccheri, senza rendersi conto di cosa stessefacendo, stabilisce una lunga serie di teoremi validinelle geometrie che oggi diciamo non euclidee.

Possiamo pertanto ritenere Saccheri un inconsapevoleanticipatore delle geometrie non euclidee. Con i suoirisultati ha spinto e aiutato altri a scoprire ciò che luistesso, per puro pregiudizio, credeva non potesseesistere: le geometrie iperboliche e le geometrieellittiche!


5.

Le geometrie non euclidee:la nascita

. F.Gauss J.Bolyai N.Lobacevskyindice


Il lavoro di F.Gauss

Il primo a capire a fondo le problematiche legate alproblema del parallelismo è stato Gauss, che iniziò alavorare sul quinto postulato nel 1792 e nello stessoanno scrisse:sui principi della geometria abbiamo fatto ottimi

progressi.

Nel 1813, invece, aermò:Nella teoria delle parallele oggi non siamo più avanti

di quanto fosse Euclide. Questa è la vergogna della

matematica, che presto o tardi dovrà prendere forma

molto diversa.


Il lavoro di F.Gauss

Nel 1817 Gauss si convinse che il quinto postulatoera indipendente dagli altri quattro e scrisse unarticolo sulle conseguenze geometriche derivantidall'ammissione della non unicità della parallela perun punto ad una retta data (geometria iperbolica).

Il contenuto di questo articolo contrastava tanto conla mentalità corrente che Gauss non lo pubblicòsubito e lo tenne addirittura segreto per diversi anni.Si tenga presente che a quel tempo dominava ilpensiero di E.Kant per il quale: la geometria euclidea è necessità imprescindibile del

pensiero.61 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee

Il lavoro di J.Bolyai e N.Lobacevsky

• Le geometrie non euclidee furono denitivamenteintrodotte da J.Bolyai (1820-23) e N.Lobacevsky(1826), in modo indipendente l'uno dall'altro.

• Bolyai e Lobacevsky furono i primi ad avere avuto ilcoraggio di aermare pubblicamente che le geometrie

non euclidee erano possibili. Essi abolironodenitivamente il dogma della verità assoluta dellageometria euclidea.

• È da notare che Bolyai e Lobacevsky, puraermandone la possibilità, non furono capaci difornire alcun modello di geometria non euclidea.


Geometrie non euclideeovvero, geometrie in cui non vale il quinto postulato di Euclide

Parlando in modo informale e con riferimento allagura:• nella geometria iperbolica le rette divergono e,quindi, per un punto passano almeno due retteparallele ad una ssata retta non contenente il punto;• nella geometria ellittica le rette convergono equindi non esistono rette parallele, cioè due rettehanno sempre qualche punto in comune.



Geometria iperbolica (ipotesi dell'angolo acuto)Valgono i primi quattro postulati di Euclide e ilseguente:• per un punto non appartenente ad una retta passapiù di una parallela ad una retta data.

In questo tipo di geometria la somma degli angoli

interni di un triangolo è minore di 180 gradi.



Geometria ellittica (ipotesi dell'angolo ottuso)Non valgono tutti i primi quattro postulati di Euclidee non esistono rette parallele, cioè• due rette distinte hanno sempre almeno un puntoin comune.

In questo tipo di geometria la somma degli angoli

interni di un triangolo è maggiore di 180 gradi.


6.

Le geometrie non euclidee:alcuni modelli

. H.Poincaré F.Klein G.F.B.Riemannindice


Il piano iperbolico (modello di Poincaré)Punti e Rette iperbolici

PUNTI IPERBOLICI: i punti della parte interna Ω diuna circonferenza ω del piano euclideo (cerchioaperto).

RETTE IPERBOLICHE:

• i diametri di Ω(rette di primo tipo);• gli archi di circonfe-renza ortogonali a ω congli estremi su ω(rette del secondo tipo).


Il piano iperbolico (modello di Poincaré)Distanza iperbolica

DISTANZA IPERBOLICA d(A,B)

TRA DUE PUNTI A,B:

d(A,B) =

∣∣∣∣log AU/AV

BU/BV

∣∣∣∣68 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee

Il piano iperbolico (modello di Poincaré)Angoli iperbolici

• L'angolo tra due rette di primo tipo è l'angolo euclideo tra idue corrispondenti diametri.• L'angolo tra due rette di secondo tipo è l'angolo euclideo trale rette tangenti ai corrispondenti due archi di circonferenzanel loro punto di intersezione.• L'angolo tra una retta di primo e una di secondo tipo èl'angolo euclideo tra il diametro corrispondente alla retta e laretta tangente al corrispondente due arco di circonferenza nelloro punto di intersezione.


Il piano iperbolico (modello di Poincaré)È possibile vericare i postulati che deniscono il piano iperbolico

1 Per due punti passa una ed una sola retta.2 Ogni retta può essere prolungata indenitamente.3 Esiste un unico cerchio con centro e raggioassegnati;

4 Tutti gli angoli retti sono uguali.5 Per un punto passano un numero innito di retteparallele ad una ssata retta non contenente ilpunto.


Pavimentazioni del piano euclideocon mattonelle triangolari ed esagonali


Pavimentazione del piano iperbolico (modello di Poincaré)con mattonelle triangolari

Nel piano euclideo i triangoli iperbolici in gura sonodi grandezze diverse. Nel modello iperbolico diPoincaré, invece, questi triangoli sono tutti

congruenti, cioè di eguale grandezza.


Pavimentazione del piano iperbolico (modello di Poincaré)con mattonelle esagonali

Nel piano euclideo gli esagoni iperbolici in gura sonodi diverse grandezze. Nel modello iperbolico diPoincaré, invece, questi esagoni sono tutti

congruenti, cioè di eguale grandezza.


Il piano iperbolico (modello di Poincaré)Geometria e arte di M.C.Escher

Ispirandosi alle pavimentazioni regolari del modello diPoincaré e con la consulenza di H.Coxeter, il gracoolandese M.C.Escher realizzò le quattro famose

serigrae della serie limite del cerchio.

. I II III IV


Il piano iperbolico (modello di Klein)

• I punti sono quelli di un ssato cerchio aperto.

• Le rette sono le cordedel cerchio ssato.

• La distanza d(A,B) fra due punti A e B è denita

da d(A,B) =∣∣∣log AP/AQ

BP/BQ

∣∣∣ .• L'angolo tra due rette si denisce come l'angolo trale rette del piano di Poincaré ad esse associate inmodo opportuno; purtroppo in modo non conformealla geometria euclidea.


7.

Le geometrie non euclidee:modelli da superci

. Eugenio Beltramiindice


Iperboloide a due falde di equazione z2 = 1 + x2 + y 2

.

← z =√

1 + x2 + y 2

← z = −√

1 + x2 + y 2


Il modello di piano iperbolicosu una falda dell'iperboloide iperbolico


Il modello di piano iperbolicosu una falda dell'iperboloide iperbolico

PUNTI IPERBOLICI: i punti della falda.

RETTE IPERBOLICHE:

le curve intersezione deipiani per l'origine con lafalda.DISTANZA TRA DUE

PUNTI E ANGOLI:

si deniscono in modonaturale e conforme allageometria euclidea.


Modelli di piani iperboliciOSSERVAZIONE

Denotiamo con Γ la faldadell'iperboloide iperbolico

utilizzata per il modellodi piano iperbolico e conγ il cerchio del piano xydi centro l'origine eraggio 1.

Se proiettiamo dal puntoV su γ i punti e le retteiperboliche di Γ ottenia-mo il modello di pianoiperbolico di Poincaré sulcerchio γ.



Anche il modello di Klein può ottenersimediante opportuna proiezione dei punti

e delle rette iperboliche di Γ.81 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee


Anche il modello di Klein può ottenersimediante opportuna proiezione dei punti

e delle rette iperboliche di Γ.82 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee

Il piano ellittico (modello di Riemann)Punti e Rette ellittiche

PUNTI ELLITTICI: i punti di una supercie sferica S.RETTE ELLITTICHE: le circonferenze massime su S(intersezione di S con i piani per il suo centro).


Il piano ellittico (modello di Riemann)Punti e Rette ellittiche

L'ANGOLO TRA DUE RETTE ELLITTICHE èl'angolo euclideo tra le circonferenze corrispondenti.LA DISTANZA ELLITTICA TRA DUE PUNTI A e B

è la misura euclidea di un arco di circonferenzamassima di estremi A e B.


Il piano ellittico (modello di Riemann)Alcune proprietà

• Per due punti distinti passa un'unica retta se, esolo se, i punti non sono diametralmente opposti(altrimenti ne passano innite).• Le rette hanno misura iperbolica nita.• Non esistono rette parallele.• La somma degli angoli interni di un triangolo èsempre maggiore di 180 gradi.

.

.Nella gura a sinistra abbiamoun triangolo ellittico con ciascunodei tre angoli di 90 gradi.


Ora, col senno di poi,torniamo alle tre immagini iniziali

Oggi per geometria piana si intende una geometria icui punti sono quelli di una supercie Σ (con alcuneregolarità) e le cui rette sono sono le geodetiche diΣ, cioè le curve di minima distanza.Le geometrie che si ottengono in questo modo sonodi tipo ellittico, euclideo o iperbolico a seconda che lacurvatura k di Σ è risp. positiva, nulla o negativa.

k>0 k=0 k<086 / 91 Francesco Mazzocca Introduzione alle Geometrie non Euclidee

Il primo modello di piano iperbolicoè stato introdotto mediante le pseudosfere

. Pseudosfera

Questa supercie si ottiene facendo ruotare unacurva trattrice intorno al proprio asintoto.

Trattrice


Il primo modello di piano iperbolico:la pseudosfera

[Giornale di matematiche, 1868]

.Questo modello è statoproposto da E.Beltrami inun fondamentale saggioe, in suo onore, èchiamato pseudosfera diBeltrami.


In conclusione

Ai nostri giorni appare naturale l'esistenzadei tre tipi diversi di geometria bidimensionale:

piano piano pianoellittico euclideo iperbolico

... e nisce così questo aascinanteitinerario del pensiero dell'uomo!

indice


Letture consigliate

1 Carl B. Boyer, Storia della matematica,Mondadori.

2 Appunti sulle geometrie non euclidee.POLYMATH.http://areeweb.polito.it/didattica/

polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/

Apr_02/APPUNTI.HTM

3 Non-Euclidean geometry, MacTutor History ofMathematics archive,http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html

indice


http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Apr_02/APPUNTI.HTM



http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html

GRAZIE

per la cortese attenzione

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