Geometrie non euclidee: La Geometria Iperbolica · PDF fileIntroduzione Il quinto postulato di...

Geometrie non euclidee: La Geometria

Iperbolica

Anna Tovo

Contents

Introduzione 8

1 Girolamo Saccheri 9

1.1 Bibliogra�a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Euclides ab omni naevo vindicatus . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 La Geometria Iperbolica 17

2.1 Nikolaj Ivanovich Lobacevskij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Primi teoremi e de�nizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Il quadrilatero di Saccheri ed il Teorema di Pitagora . . . . . . . 23

3 Coerenza delle nuove geometrie 27

3.1 Coerenza di un sistema assiomatico formale . . . . . . . . . . . . 27

3.2 La Pseudosfera di Beltrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Il modello di Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Altri modelli di geometria iperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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4 CONTENTS

�La rivoluzione non euclidea è una rivoluzione scienti�ca,importante quanto la rivoluzione copernicana in astronomia, la

rivoluzione darwiniana in biologia, o quanto la rivoluzionenewtoniana o quella del secolo XX in �sica, rivoluzione che è però

di gran lunga meno nota perché i suoi e�etti sono stati piùindiretti: una rivoluzione nata dall'invenzione di un'alternativa

alla tradizionale geometria euclidea."

Trudeau, R., La rivoluzione non euclidea

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6 CONTENTS

Introduzione

Il quinto postulato di Euclide o delle �rette parallele� ha sempre suscitato grandeinteresse tra i matematici. A di�erenza dei quattro che lo precedono, infatti, lasua veridicità non è a�atto evidente: mentre se per i primi quattro assiomi bas-tano linea, compasso ed una porzione �nita di piano per veri�carne la validità,quest'ultimo non rimanda ad alcuna costuzione geometrica che possa limitarsiad una porzione �nita di piano. La sua stessa formulazione risulta subito moltopiù complicata e meno immediata rispetto alle precedenti.

Pare che lo stesso Euclide non fosse convinto dell'evidenza di tal postulato,tanto che non solo evitò di usarlo il più a lungo possibile (le prime 28 proposizionidel primo libro degli Elementi vengono dimostrate senza di esso), ma addiritturain molte dimostrazioni, che sarebbero risultate più semplici ricorrendo ad esso,non ne fece utilizzo.

Nel corso della storia numerosi sono stati i tentativi, da parte di matematicie non solo, di dimostrare il V Postulato a partire dagli altri quattro assiomi,o di riformularlo in modo che la sua verità apparisse più evidente, ma invano.Proclo (412-485 d.C.), ad esempio, nell'opera �Commento al Primo Libro degliElementi di Euclide�, riporta le dimostrazioni di Posidonio (135-50 a.C.) e diTolomeo (100-175 d.C.), per proporne poi una sua. Altri tentativi furono com-piuti da matematici arabi come Nasir Al-Din Al-Tusi (1201-1274 d.C.) e OmarKhayyam (1048-1131 d.C.). In ognuno di questi tentativi di dimostrazione, e neisuccessivi, viene implicitamente dato per vero un assioma equivalente a quellodelle parallele, rendendo vana la dimostrazione.

Tra il XVIII ed il XIX secolo, in seguito al fallimento di tutti i tentativi e�et-tuati �no ad allora nel cercare una dimostrazione diretta del postulato, gli stu-diosi provarono ad assumere per validi i primi quattro postulati e, sotituendo ilV Postulato con la sua negazione, a creare delle geometrie alternative, sperandocosì di arrivare ad una contraddizione. Questo avrebbe dimostrato che il quintopostulato doveva necessariamente essere vero.

Uno dei maggiori esponenti di questa scuola fu il gesuita italiano GiovanniGirolamo Saccheri, che nel 1733, pubblicò la sua opera �Euclides ab omni naevovindicatus�, in cui propone la sua dimostrazione per assurdo del postulato eu-clideo.

Nella seconda metà del XVIII secolo il problema di dedurre il V Postulatodagli altri assiomi, de�nito da D'Alembert nel 1759 � le scandale des elementsde géométrie�, coinvolse non solo matematici di rilievo quali Gauss (1777-1855),

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8 INTRODUZIONE

Lagrange (1736-1813) e Legendre (1752-1833), ma anche personaggi estraneiall'ambiente puramente matematico: ne sono esempio il militare János Bolyai(1802-1860) o l'avvocato Ferdinando Schweikart (1780-1859). Il fallimento ditali tentativi fece così di�ondere l'idea che il postulato euclideo non fosse di-mostrabile. Il primo ad avanzare tale ipotesi fu lo studente di Gottinga G.C.Klugel che, assistito dal suo relatore di tesi Kastner, esaminò 28 tentativi didimostrazione del postulato, tra cui quello di Saccheri, dimostrandone i puntifallaci. Egli non riuscì però a dimostrare la sua a�ermazione, che trovò tut-tavia ampio consenso nel mondo matematico e che contribuì a dare il via allanascita di geometrie alternative a quella euclidea, come quella immaginaria diLobaceskij (1793-1856) o quella astrale di Bolyai che Gauss de�nirà, appunto,non-euclidee.

Queste trovarono inizialmente numerosi ostacoli sia in ambito culturale, edin particolar modo nella foloso�a kantiana che allora stava prendendo piede, siain ambito matematico, per i risultati apparentemente paradossali cui portava.Ma, come sottolinea Gauss in una lettera ad un amico del 12 luglio 1831:

�...la geometria non euclidea non contiene assolutamente nulla dicontraddittorio, sebbene molti dei suoi risultati debbano sulle prime essereritenuti paradossali; tuttavia scambiare ciò per una contraddizione sarebbeunicamente un'illusione, provocata dalla vecchia abitudine a considerare la

geometria euclidea strettamente vera. �

Chapter 1

Girolamo Saccheri

1.1 Bibliogra�a

Giovanni Girolamo Saccheri (Sanremo, 5 settembre 1667 - Milano, 25 ottobre1733), gesuita e matematico italiano, è considerato il padre, seppur inconsapev-ole, delle geometrie non euclidee.

Saccheri entrò diciottenne nell'ordine della Compagnia di Gesù a Genova,dove fu avviato allo studio della geometria. Venne ordinato sacerdote a Comonel 1694, quindi insegnò �loso�a e teologia nei collegi gesuiti di Torino e diPavia, dove gli fu a�data la cattedra di matematica �no alla morte.

Nel 1697 pubblicò un notevole trattato di logica e nel 1708 un trattato distatica. Nel 1733, l'anno della sua morte, uscì l'opera di maggiore importanzaper la storia dei fondamenti della geometria e per la quale la sua �gura è oggiampiamente ricordata: "Euclides ab omni nævo vindicatus" (Euclide liberatoda ogni difetto).

In essa, Saccheri dimostrò per assurdo il postulato delle rette parallele diEuclide. La sua dimostrazione e le conseguenze da lui tratte dalla negazionedel V postulato costituiscono, contro le sue intenzioni, una serie di teoremiche di fatto hanno aperto la strada alla geometria non euclidea. Tuttavia lasua incrollabile convinzione sulla validità della geometria euclidea gli impedì direndersi conto dei risultati raggiunti.

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10 CHAPTER 1. GIROLAMO SACCHERI

1.2 Euclides ab omni naevo vindicatus

Nella sua opera Saccheri prova il V postulato di Euclide attraverso unadimostrazione per assurdo. In particolare egli intende dimostrare la validitàdella sua versione più debole proposta da Playfair, secondo cui data una rettaqualsiasi ed un punto esterno P ad essa esiste una sola parallela alla rettadata passante per P. Più precisamente, egli considerò come punto d'inizio ilquadrilato birettangolo isoscele, ovvero un quadrilatero con due lati opposticongruenti ed entrambi perpendicolari alla base.

1.2. EUCLIDES AB OMNI NAEVO VINDICATUS 11

Egli descrive le proprietà di tale �gura nei seguenti due lemmi:

Lemma 1. Se in un quadrilatero ABCD, con gli angoli consecutivi A, Bretti, i lati AD e BC sono uguali, allora anche l'angolo C è uguale all'angolo D.

Lemma 2. Se in un quadrilatero ABCD, con gli angoli consecutivi A, Bretti, i lati AD e BC sono disuguali, dei due angoli C e D è maggiore quelloadiacente al lato minore e viceversa.

Saccheri introdusse dunque tre ipotesi sugli angoli del quadrilatero oppostia quelli costruiti retti, che per il primo lemma sono necessariamente uguali:

� Ipotesi dell'angolo retto: gli angoli sono entrambi retti;

� Ipotesi dell'angolo ottuso: gli angoli interni sono entrambi ottusi;

� Ipotesi dell'angolo acuto: gli angoli interni sono entrambi acuti.

L'idea di Saccheri era quella di confutare le seconde due ipotesi, in modo darendere possibile solo quella dell'angolo retto, che è equivalente al V Postulatoeuclideo.

Saccheri procede a tal scopo introduce i seguenti due teoremi.

Teorema 3. A seconda che nel quadrilatero birettangolo isoscele ABCDsia veri�cata l'ipotesi dell'angolo retto, ottuso o acuto si ha rispettivamente: AB= CD, AB > CD, AB < CD.

Teorema 4. A seconda che si trovi veri�cata l'ipotesi dell'angolo retto,ottuso o acuto la somma degli angoli di un triangolo è rispettivamente uguale,maggiore o minore di due angoli retti.

Dimostrazione. Vediamo la dimostrazione per un triangolo rettangolo(questa si può poi estendere ad un triangolo qualsiasi).

Sia ABC un triangolo rettangolo in B. Si completi il quadrilatero tracciandoAD uguale a BC e perpendicolare ad AB. Si congiunga poi C con D.


Nell'ipotesi dell'angolo retto i due triangoli ABC e ACD sono uguali, percui BAC = DCA. Segue immediatamente, nel triangolo ABC:

A+ B + C = 2 ˆretti.

Nell'ipotesi dell'angolo ottuso, essendo AB > CD, Saccheri dimostra a parteche ACB > DAC, per cui nel triangolo ABC avremo:

A+ B + C > 2 ˆretti.

Nell'ipotesi dell'angolo ottuso, essendo AB < CD, dimostra che ACB <DAC, per cui nel triangolo ABC avremo:

A+ B + C < 2 ˆretti.

Saccheri, dopo aver dedotto altri teoremi e proposizioni, riesce poi a con-cludere che l'ipotesi dell'angolo ottuso è falsa, in quanto conduce alla validitàdel V postulato. Sfruttando, infatti, in particolar modo, il seguente teorema:

Teorema 5. Nell'ipotesi dell'angolo retto e nell'ipotesi dell'angolo ottuso,una perpendicolare ed una obliqua ad una stessa retta si incontrano. (Prop. XI,XII)

Saccheri riesce a dimostrare il seguente:

Teorema 6. Nell'ipotesi dell'angolo retto e nell'ipotesi dell'angolo ottuso,è vero il V Postulato di Euclide.

Nel Teorema 5 per retta obliqua ad un'altra si intende una retta ad essaincidente che forma con essa, nel punto di intersezione, un angolo minore di 90gradi.

Dimostrazione. Ricordiamo, innanzitutto, l'enunciato del V Postulatoeuclideo:

Se una linea retta, cadendo sopra due altre fa degli angoli interni da unamedesima parte la cui somma sia minore di due retti, quelle due prolungate da

questa parte si incontrano.

Siano allora AB, CD due rette intersecate dalla retta AC come in �gura.


Supponiamo che sia:

BAC +DCA < 2 ˆretti

Allora uno degli angoli BAC, DCA, ad esempio il primo, sarò acuto. Da Csi cali su AB la perpendicolare CH.

Nel triangolo ACH, essendo nell'ipotesi dell'engolo retto od ottuso, si ha che:

A+ C + H ≥ 2 ˆretti

Ma per ipotesi abbiamo che:

BAC +DCA = A+ C +HCD < 2 ˆretti

Combinando, allora, le due disuguaglianze si ottiene

A+ C + H ≥ 2 ˆretti > A+ C +HCD

ovvero

H > HCD.

pertanto l'angolo HCD è acuto e quindi la retta CD è obliqua rispetto allaretta CH. Poichè poi, per costruzione, AB è perpendicolare a quest'ultima, èpossibile applicare il Teorema 5 ed a�ermare, pertanto, che le rette CD e AB siincontrano.


Questo permette a Saccheri di dedurre la validità del postulato dall'ipotesidell'angolo ottuso, che ne è la negazione. Avendo quindi raggiunto una contrad-dizione, egli può a�ermare che quest'ultima è falsa.

Analogamente egli tenta di raggiungere una contraddizione nell'ipotesi dell'angoloacuto.

A tal proposito considera la seguente �gura.

Sotto le ipotesi dell'angolo acuto CBD è acuto. Infatti poichè la sommadegli angoli interni ad un triangolo, per il Teorema 4, è inferiore a due angoliretti, allora ABC + CAB < 90 gradi, ma essendo ABD congruente a CAB, siha che CBD = ABC + ABD = ABC + CAB < 90 gradi. Saccheri dimostròallora che le due rette AC e BD erano parallele, in quanto formavano angolialterni interni uguali, ma erano anche rispettivamente perpendicolare ed obliquaa BC, dunque si avvicinavano sempre più: esse erano rette asintotiche. Da qui,non riuscendo ad arrivare ad un assurdo, conclude a�ermando che � l'ipotesidell'angolo acuto è assolutamente falsa, perchè ripugna alla natura della linearetta.� (Prop. XXXIII).

Saccheri stesso era insoddisfatto del suo ragionamento e fece poi altri ten-tativi per riuscire a dimostrare la falsità di tale iptesi, invano. Furono i suoiinsuccessi ad indurre che su tale ipotesi potesse essere fondata una nuova ge-ometria logicamente coerente e che il V postulato fosse quindi indimostrabile,in quanto indipendente dai quattro che lo precedevano: senza rendersene conto,Saccheri aveva gettato le basi e trovato i primi risultati di una nuova geometria,che prenderà il nome di iperbolica.

E' da sottolineare poi che in realtà egli non aveva dimostrato che l'ipotesidell'angolo ottuso era falsa, ma solo che era incompatibile con le assunzioniiniziali, in particolare col fatto, utlilizzato nella dimostrazione delle proposizioniXI e XII, che si potesse estendere inde�nitamente un segmento, ovvero che la


retta fosse in�nita. Se, al contrario, avesse ipotizzato che questa fosse �nita, nonavrebbe trovato alcuna contraddizione nemmeno nell'ipotesi dell'angolo ottuso,su cui sarà fondata la cosiddetta geometria ellittica.

Chapter 2

La Geometria Iperbolica

La geometria iperbolica, anche chiamata geometria della sella o di Lobacevskij,è la geometria non euclidea che si ottiene sostituendo al V Postulato di Euclideil cosiddetto Postulato iperbolico, secondo cui, come vedremo meglio in seguito,data una retta qualsiasi ed un punto esterno ad essa, esistono in�nite rette adessa parallele passanti per tale punto. Equivalentemente, essa è la geometriabasata su quella che Saccheri ha de�nito ipotesi dell'angolo acuto e che poi fustudiata da matematici e non. Il personaggio che ha dato maggior contributoallo sviluppo della geometria iperbolica è stato Nikolaj Ivanovich Lobacevskij,da cui oggi essa prende spesso il nome.

Agli stessi risultati di Lobacevskij erano però giunti anche Gauss ed il mil-itare tedesco János Bolyai.

Gauss cominciò a lavorare sulla dimostrazione del V Postulato nel 1792,all'età di soli quindici anni. Nel 1817, dopo vari tentativi, si convinse dell'indipendenzadel postulato dagli altri quattro e iniziò a lavorare sulle conseguenze geometrichedi tale risultato. Nonostante le sue intuizioni non pubblicò mai le sue idee inproposito, per timore delle �strilla dei Beoti �. Tuttavia, è possibile ricostruire lesue ricerche per mezzo delle varie lettere inviate ad amici e colleghi e grazie adalcuni suoi appunti rinvenuti, la cui stesura venne interrotta nel 1832, quandogli giunse tra le mani una prima pubblicazione sulla geometria non euclidea adopera di János Bolyai. Questi era �glio di Farkas Bolyai, insegnante di matem-atica che aveva studiato a Gottinga nello stesso periodo di Gauss, con cui si eramantenuto in contatto tramite corrispondenza. Farkas dedicò molto tempo altentativo di dimostrare del V Postulato euclideo senza mai raggiungere alcunaconclusione. Il �glio, primo u�ciale dell'esercito, ne ereditò la passione e com-inciò anch'egli a lavorare ad una dimostrazione, contro il padre che gli avevaconsigliato di evitarla, in quanto, come si può leggere in una lettera del 1820:

Dovresti fuggirla come una relazione sfrenata e dissoluta; può privarti del tuotempo, della salute, della tranquillità, di tutta la tua gioia di vivere.

Quest'oscurità abissale potrebbe forse inghiottire un migliaio di Newton alticome torri, non ci sarà mai luce sulla terra [...]

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18 CHAPTER 2. LA GEOMETRIA IPERBOLICA

Jànos però non si lasciò dissuadere e continuò nei suoi tentativi �no a quando,nel 1829, giunse agli stessi risultati di Lobacevskij. Invece di tentare di di-mostrare l'impossibile, il militare sviluppò quella che chiamava �Scienza asso-luta dello spazio�, che sarebbe stata conosciuta poi con il nome di geometriaiperbolica. Fiero dei suoi risultati, comunicò al padre le sue scoperte in unalettera datata il 3 novembre 1823:

Sono ormai risoluto a pubblicare un'opera sulla teoria delle parallele, appenaavrò ordinato la materia e le circostanze me lo permetteranno. Non l'hoancora fatto, ma la via che ho seguito ha certamente, per così dire, quasi

raggiunto lo scopo; lo scopo proprio non è raggiunto, ma ho scoperto cose cosìbelle che ne sono rimasto abbagliato, e si dovrebbe sempre rimpiangere seandassero perdute. Quando le vedrete, lo riconoscerete voi pure. Nell'attesanon vi posso dire altro che questo: ho creato dal nulla un nuovo universo.Tutto ciò che vi ho comunicato �no ad ora non è che un edi�cio di carta difronte a questa torre. Sono tanto persuaso che questo mi farà onore come se

ciò fosse già avvenuto.

In risposta il padre lo esortava a dare alla luce immediatamente le sue scop-erte, scrivendogli:

..se la cosa è perfettamente riuscita, è conveniente a�rettarsi a renderla dipubblica ragione per due motivi: primo perché le idee passano facilmente dauno all'altro, che in seguito le può pubblicare prima; in secondo luogo, perchéc'è anche qualche verità in questo fatto, che parecchie cose hanno un'epoca,nella quale esse sono trovate nello stesso tempo in più luoghi, precisamentecome in primavera le violette da ogni parte vengono alla luce; e poiché ogni

contesa scienti�ca è solo una gran guerra, alla quale non so quando seguirà lapace, si deve, quando si può, vincere, poiché qui il vantaggio spetta al primo.

I risultati di János Bolyai comparvero come appendice al primo volume diun'opera didattica di matematica del padre, uscita nel 1832 col titolo Tenta-men juventutem studiosam in elementa matheseos purae, elementaris ac sub-limioris, methodo intuitiva, evidentiaque huic propria, introducendi. Il titolodell'appendice di János è: Appendix scientiam spatii absolute vera exhibens,a veritate aut falsitate axiomatis Euclidei (a propri haud unquam decidenda)indipendentem: adjecta ad casum falsitatis quadratura circoli geometrica. La"scienza dello spazio assolutamente vera" che Bolyai annunciava era la geome-tria ottenuta sostituendo al postulato delle parallele quello iperbolico.

Gauss venne a conoscenza dell'opera in questione poiché Farkas Bolyai gliinviò una copia del suo volume. E in risposta egli gli scrisse:

Se comincio col dire che non posso lodare un tale lavoro tu certamente per un

istante rimarrai meravigliato; ma non posso dire altro; lodarlo signi�cherebbelodare me stesso; infatti tutto il contenuto dello scritto, la via seguita da tuo�glio, i risultati ai quali egli perviene coincidono quasi interamente con le

2.1. NIKOLAJ IVANOVICH LOBACEVSKIJ 19

meditazioni che ho intrapreso in parte già da trenta-trentacinque anni. Perciòsono rimasto del tutto stupefatto. . . .Anzi, era mia idea scrivere, col tempo,

tutto ciò, perché almeno non perisse con me. E' dunque per me una gradevolesorpresa vedere che questa fatica può essermi ora risparmiata, e sono

estremamente contento che sia proprio il �glio del mio vecchio amico adavermi preceduto in un modo tanto notevole.

Se Farkas vide nella lettera di Gauss "un onore per la nostra patria e lanostra nazione", János reagì assai diversamente. Egli non gradì a�atto questarisposta di Gauss e, incredulo che il matematico di Gottinga potesse averlopreceduto nella sua creazione, temette che questi volesse appropriarsi delle suescoperte. Vedendo nella poco generosa lettera di Gauss un maldestro tentativodi plagio egli non nascose nel seguito della sua vita la sua avversione verso ilgrande matematico tedesco. La sua delusione toccò l'apice nel momento in cuii suoi meriti non furono riconosciuti e Lobacevkij pubblicò il suo primo libro intedesco sulla geometria iperbolica. A causa di questo malessere non pubblicòpiù nulla.

Ad ogni modo tale geometria non venne subito accettata dai contemporaneidi Bolyai e Lobacevskij, i quali giudicavano paradossali i risultati cui essa por-tava, come ad esempio il fatto che la somma degli angoli interni ad un triangolofosse inferiore a 180 gradi. Solo nel tempo questi hanno trovato una loro naturalecollocazione in campo matematico ed una rigorosa e logica giusti�cazione.

2.1 Nikolaj Ivanovich Lobacevskij


Nikolaj Ivanovi£ Loba£evskij (1 dicembre 1792 - 24 febbraio 1856) nacque aNiºnij Novgorod, in Russia, per poi trasferirsi, alla morte del padre avvenutanel 1800 a Kazan, dove frequentò il ginnasio e successivamente l'Università. Neisuoi studi universitari egli fu in�uenzato dal professor Martin Bartels (1769-1833), un matematico amico di Carl Friedrich Gauss; nel 1811, all'età di diciottoanni ottenne la laurea in �sica e matematica. Nel 1814 divenne lettore all'Università di Kazan e nel 1822 ottenne la nomina a professore ordinario. Oltreai suoi corsi di matematica, egli fu incaricato dei corsi di �sica e di astronomiae ricoprì numerosi incarichi amministrativi quali per esempio il riordinamentodella biblioteca dell'università, precedentemente in un disordine che la rendevainutilizzabile, e la sistemazione razionale delle collezioni del museo �no alloracollocate a caso. Nel 1827 ottenne la nomina a rettore, carica che mantenne �noal 1846. Nel periodo in cui fu rettore, Loba£evskij, contribuì alla costruzione dinuovi edi�ci, quali una biblioteca, un osservatorio astronomico e laboratori dichimica e anatomia. Nel 1846 si ritirò dall'università, o meglio fu costretto dalloStato a lasciarla; successivamente la sua salute si deteriorò rapidamente. Pochianni prima della morte, nel 1855, Loba£evskij in occasione del cinquantesimoanniversario dell'università, presenta il manoscritto della sua Pangeometria, chefu scritto sotto sua dettatura in quanto era diventato cieco.

Il conseguimento principale di Loba£evskij è lo sviluppo della geometria non-euclidea. Prima di lui, i matematici stavano tentando di dedurre il quinto pos-tulato di Euclide dagli altri assiomi. Loba£evskij avrebbe voluto sviluppareinvece una geometria nella quale il quinto postulato non fosse vero, o meglionon fosse indispensabile a qualunque geometria coerente. Il 23 febbraio 1826può essere considerato u�ciosamente come l'inizio della sua geometria in quantoriportò le sue idee nel testo �Exposition succingte des principes de la géometrie,avec une démonstration rigoureuse du théorème des parallèles�, che tuttavianon fu pubblicato dalla Facoltà in quanto giudicato troppo rivoluzionario. Ilmatematico rese allora noti i suoi risultati nel saggio �Sui principi della ge-ometria� nel Kazanski Vestnik del 1829�1830. A questo primo articolo feceroseguito �La geometria immaginaria� nel 1835 e �Nuovi principi della geome-tria con una teoria completa delle parallele� nel 1838. La lingua russa e labassa popolarità dell'autore furono la causa del basso interesse generale sulle sueteorie. Un'ulteriore motivazione è data dalla mentalità kantiana che dominavain quell'epoca, secondo cui la geometria, così come l'aritmetica, costituisce unaconoscenza sintetica a priori, universale e necessaria, che permette alla mente diorganizzare l'esperienze spaziali esterne in un unico modo, più precisamente sec-ondo la geometria euclidea. Nel tentativo di far conoscere le sue teorie all'esteroegli pubblicò allora una traduzione francese della geometria immaginaria e poiil volume tedesco �Ricerche geometriche sulle teorie delle parallele�. Fu tramitequest'ultimo che Gauss venne a conoscenza che il matematico russo era giuntoalle sue stesse conclusioni, seppur in modo di�erente. Tramite le sue opereLoba£evskij abolisce il dogma della "verità" assoluta della geometria euclideamostrando una geometria alternativa senza alcuna contraddizione logica interna,anche se il riconoscimento delle sue idee da parte della comunità matematica fupiuttosto lento in quanto i matematici di quel tempo erano troppo legati alla

2.2. PRIMI TEOREMI E DEFINIZIONI 21

situazione presente per poterla giudicare in modo più ampio.

2.2 Primi teoremi e de�nizioni

Uno dei postulati logicamente equivalenti al V Postulato di Euclide è quello diPlayfair, che può essere formulato come segue:

�Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, èpossibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data. �

La geometria iperbolica si ottiene sostituendo a tale formulazione del postu-lato delle parallele il cosiddetto Postulato iperbolico:

�Se P è un punto qualunque ed AB una retta qualsiasi che non passa per P(nemmeno se prolungata), allora vi sono due rette YPZ e WPX passanti per P

tali che:

i) YPX non è un'unica retta;ii) YPZ e WPX sono entrambe parallele ad AB;iii) nessuna retta passante per P interna a ˆY PX è parallela ad AB.�

E' bene precisare che in realtà il postlato iperbolico è una versione più fortedella semplice negazione del postulato di Playfair. La prima condizione a�ermasemplicemente che le due rette YPZ e WPX sono distinte. Dalla seconda con-dizione ricaviamo un primo risultato importante: la relazione di parallelismonon è una relazione di equivalenza, in quanto non gode della proprietà transi-tiva. Infatti le due rette di cui sopra, sebbene siano entrambe parallele alla rettaAB, sono incidenti tra loro nel punto P. Dall'ultima condizione, in�ne, si ricavache le due rette YPZ e WPX sono le più �basse� in entrambe le direzioni, nelsenso che ogni retta al di sotto di esse e passante per P non è parallela ad AB.

I termini primitivi della geometria iperbolica sono gli stessi della geometriaeuclidea: punto, linea retta e super�cie piana. Anche gli altri termini vengonomantenuti; accanto a questi, tuttavia, compaiono altri enti che de�niremo manmano. Gli assiomi da cui essa parte sono allora i primi quattro postulati euclidei,le cinque nozioni comuni ed il postulato introdotto sopra. Questo implica chetutti i teoremi della geometria cosiddetta neutrale, ovvero quelli dimostrati daEuclide senza ricorrere al V Postulato, valgano anche nella geometria iperbolica.

Introduciamo allora alcuni risultati di questa nuova geometria, di alcuni deiquali ne mostrerò la dimostrazione.

Teorema 1. Nella situazione descritta nel postulato iperbolico, ogni rettapassante per P che entra nell'angolo ˆZPX è parallela ad AB.

Dal precedente teorema ne risulta una divisione delle rette passanti per P indue categorie:


� le rette che entrano nell'angolo ˆY PX, le quali intersecano la retta AB oil suo prolungamento;

� le due rette YPZ e WPX e le in�nite rette che entrano nell'angolo ˆZPX,che, al contrario, non incontreranno mai la retta data e che ne sono,quindi, parallele, secondo la concezione euclidea di rette complanari che,comunque prolunate, non si incontrano (Def XVIII).

Introduciamo allora la seguente

De�nizione 1. Nella situazione descritta nel postulato iperbolico, le retteYPZ e WPX si dicono parallele asintotiche per P ad AB, e le rette passantiper P che entrano nell'angolo si dicono parallele divergenti per P ad AB.

Le parallele asintotiche sono dunque le più vicine ad AB, mentre le divergentisono tutte le altre parallele, comprese tra di esse.

Possiamo poi pensare che ciascuna delle due rette asintotiche punti in unadirezione particolare, che diremo �direzione di parallelismo�: per WPX da Wverso X, per YPZ da Z verso Y. Si può dimostrare poi che la relazione di paral-lelismo asintotico e di parallelismo divergente godono della proprietà simmetricae che la proprietà di parallelismo è proprietà della retta globalmente intesa, nondipende, cioè dal particolare punto P preso in considerazione.

Teorema 2. Le parallele asintotiche ad una retta passanti per un puntoformano angoli uguali e acuti con la perpendicolare condotta dal punto allaretta.

2.3. IL QUADRILATERODI SACCHERI ED IL TEOREMADI PITAGORA23

Lobacevskij chiamò tale angolo �angolo di parallelismo� e lo denotò con ilsimbolo π(l), dove l è la lunghezza di PQ. Per il Teorema 2, si ha che

π(l) = XPQ = Y PQ < 90°

La grandezza dell'angolo di parallelismo non dipende dal punto P o dallaretta AB ma solo dalla distanza tra essi. Tra l'angolo di parallelismo e taledistanza è possibile dimostrare che esiste una corrispondenza biunivoca.

2.3 Il quadrilatero di Saccheri ed il Teorema di

Pitagora

Il teorema fondamentale con cui si conclude il primo libro degli Elementi è ilTeorema di Pitagora. Questo viene dimostrato da Euclide facendo ricorso alV potulato: esso non è dunque valido nella geometria iperbolica. Vediamoneallora la dimostrazione per assurdo. In particolare sfrutteremo i due seguentirisultati della geometria di Lobacevskij:

Teorema 3. La base e la sommità di un quadrilatero di Saccheri sonoparallele divergenti, e tali sono pure gli altri due lati.

Teorema 4. Gli angoli alla sommità di ogni quadrilatero di Saccheri sonoacuti.

Sottolineamo in particolare che quest'ultimo teorema equivale esattamenteall'ipotesi dell'angolo acuto formulata da Saccheri nel tentativo di dimostrare ilV Postulato euclideo.


Un altro modo per rappresentare la �gura è il seguente:

In questo modo si vede chiaramente che i due angoli D e C sono acuti eche la sommità del quadrilatero di Saccheri è più lunga della base (proprietàdimostrata da Saccheri nel terzo teorema).

Procediamo allora con la dimostrazione della falsità del Teorema di Pitagora.

Dimostrazione. Consideriamo un triangolo rettangolo ABC. Siano D edE i punti medi dei suoi cateti. Tracciamo allora la retta passante per essi.Consideriamo poi su di essa il quadrilatero di Saccheri FGCB di base FG esommità BC come mostrato in �gura

2.3. IL QUADRILATERODI SACCHERI ED IL TEOREMADI PITAGORA25

Supponiamo, quindi, che per assurdo valga il Teorema di Pitagora e ap-plichiamolo dunque ai due triangoli ABC e ADE. Valgono allora le seguentirelazioni:

BC2 = AB2 +AC2

DE2 = AD2 +AE2

Poichè AD = 1/2 AB e AE = 1/2 AC, possiamo riscrivere la secondaequazione come segue:

DE2 = (1/2AB)2 + (1/2AC)2 = 1/4AB2 + 1/4AC2 = 1/4(AB2 +AC2)

ma per la prima equazione 1/4(AB2 +AC2) = 1/4BC2, quindi

DE2 = 1/4BC2

ovvero

DE = 1/2BC

Ma DE = 1/2 FG, quindi otteniamo che la sommità del quadrilatero BC èuguale alla base FG. Questa è una contraddizione.

Chapter 3

Coerenza delle nuove

geometrie

E' in questa nuova geometria che trovano la loro collocazione naturale e la lorogiusti�cazione logica le varie scoperte e�ettuate da Saccheri, Lambert, Legendre,Gauss, Schweikart, Lobacevskij, Bolyai e che, al loro apparire, erano sembratesorprendenti e paradossali, mentre si erano mostrate, in seguito, data la lorosolidità e ricchezza, di pari dignità rispetto alla geometria euclidea.

Tuttavia, nonostante �no ad allora non fosse stata riscontrata alcuna con-traddizione logica interna, questo non implica necessariamente che questa nonsussista. Come possiamo essere certi, dunque, che tale contraddizione e�etti-vamente non ci sia? Si tratta di risolvere il problema della coerenza del nuovoapparato geometrico.

3.1 Coerenza di un sistema assiomatico formale

Un sistema assiomatico è detto coerente se non dà luogo ad alcuna contrad-dizione nei suoi fondamenti, ossia nei termini primitivi e negli assiomi su cuipoggia. Di solito, per dimostrare la coerenza di un sistema assiomatico formale,se ne fornisce un modello, in cui, per ogni interpretazione dei termini primitivigli assiomi risultino enunciati veri.

Vi possono essere vari tipi di modelli, i quali testimoniano in diversi gradila coerenza di un sistema. Alcuni sono semplici, �sici, concreti e riescono adimostrare la coerenza "assoluta" di un sistema, altri si limitano a trasferirela questione della coerenza da un sistema ad un altro e forniscono una provadi coerenza detta "relativa". Per la geometria iperbolica si conoscono solo di-mostrazioni di coerenze relative.

E' possibile dimostrare la non contraddittorietà relativa di tale geometriarispetto a quella euclidea, costruendo un modello sintetico della prima, ovverocostruendo un modello euclideo della geometria non euclidea. Questo prevedetre momenti principali:

27

28 CHAPTER 3. COERENZA DELLE NUOVE GEOMETRIE

� l'interpretazione dei concetti primitivi della geometria iperbolica su altret-tanti concetti della geometria euclidea;

� la conseguente traduzione degli assiomi della geometria iperbolica in cor-rispondenti enunciati euclidei;

� la dimostrazione che gli enunciati euclidei corrispondenti agli assiomi iper-bolici sono tutti teoremi della geometria euclidea.

Partendo dall'ipotesi che la geometria euclidea sia coerente, se in un modellotroviamo una contraddizione, siamo portati a trasferirla alla geometria euclidea,e dunque a dubitarne della coerenza, arrivando ad una contraddizione. Questogarantirà dunque la coerenza della geometria iperbolica.

Il problema della coerenza della geometria non euclidea viene così trasfer-ito al problema della geometria euclidea. Mai, prima della nascita delle nuovegeometrie, tale questione era stata considerata seriamente. Platone concepivala "linea retta" come il percorso (idealizzato) di un raggio di luce, così pureEuclide, nella sua Ottica fu concorde nel ritenere che i raggi di luce si propa-gassero lungo linee rette. Da allora in poi lo spazio �sico, con i raggi di lucecome "linee rette" era stato considerato un ovvio modello per la geometria eu-clidea. Pertanto la coerenza di questa geometria non era mai stata messa indiscussione. Ma nel XX secolo diverse circostanze contribuirono a far vacillaretale certezza: da un lato si era di�usa la consapevolezza che nessun esperimentoavrebbe potuto dimostrare la verità di un postulato euclideo, dall'altro eranostati proposti modelli di universo compatibili con l'esperienza umana, in cui leleggi euclidee però cessavano di valere. Occorreva trovare un'alternativa e�caceal modello tradizionale della geometria euclidea, e la scelta più naturale eraquella della geometria analitica (o cartesiana) che è parte dell'analisi reale, enon della geometria. Nel corso del XIX secolo l'intero edi�cio dell'analisi realeera stato rifondato sull'aritmetica dei numeri interi, base solida e semplice, lasua struttura logica era stata accuratamente vagliata. Perciò alla �ne del sec-olo la �ducia dei matematici nella coerenza dell'analisi reale era praticamenteincondizionato, e quel ramo della matematica sembrava poggiare su basi moltopiù solide di quelle della geometria euclidea. Un nuovo modello poteva dunqueessere un'interpretazione della geometria euclidea come quella che segue:

termini primitivi Interpretazione

punto coppia (x;y)linea retta Insieme di tutte le coppie (x;y) che soddisfano

un'equazione della forma ax + by = c dove a,b e c sono�ssati e inoltre a e b non sono entrambi nulli

cerchio Insieme di tutte le coppie (x;y) che soddisfanoun'equazione della forma (x− h)2 + (y− k)2 = r2dove h, k

ed r sono �ssati ed r>0piano L'insieme di tutte le coppie (x;y)

3.2. LA PSEUDOSFERA DI BELTRAMI 29

Questa interpretazione è un modello per la geometria euclidea perché trasformai postulati di Euclide in teoremi dell'analisi reale. Il modello trasforma anchetutte le contraddizioni della geometria euclidea in contraddizioni dell'analisireale, dunque la prima è coerente solo se lo è la seconda. A questo punto,però, non abbiamo fatto altro che trasferire il problema a quello della coerenzadell'analisi reale, problema ancora oggi aperto. D'altra parte non è possibiledimostrarne la coerenza senza ricorrere ad un ulteriore modello, in quanto comeconcluse il matematico Godel (1906-1978) nel 1931 col suo teorema di incom-pletezza:

�È impossibile stabilire la coerenza logica di un qualunque sistema deduttivocomplesso, a meno di usare dei principi di ragionamento la cui coerenza

interna è problematica quanto quella del sistema stesso.�

L'articolo di Godel giunse dopo una serie di paradossi logici scoperti nelprimo decennio del secolo scorso e mai risolti in modo del tutto soddisfacente, escosse fortemente la �ducia dei matematici nella coerenza dei sistemi matematiciin generale. Il logico J.B.Rosser negli anni cinquanta ha a�ermato:

"C'è l'imbarazzante possibilità che la matematica moderna sia in realtà grave-mente in errore, e che quindi ogni sistema formale che riproduca ragionevol-mente la matematica attuale debba contenere una contraddizione. Non crediamoche le cose stiano così, ma non possiamo addurre nessuna ragione per esclud-erlo".

Pertanto non è in alcun modo possibile mostrare che la geometria euclideasia coerente.

3.2 La Pseudosfera di Beltrami

Il primo modello della geometria iperbolica fu creato da Eugenio Beltrami (Cre-mona, 1936-Roma, 1900) nel 1868. Fece questo nel Saggio sopra un'interpretazionedella geometria non euclidea, un suo manoscritto redatto qualche anno prima emesso da parte per paura delle aspre critiche che coinvolgevano chi si occupavadi geometrie dette �astrali� o �da manicomio�.

In questo articolo Beltrami non segnala esplicitamente di aver provato la con-sistenza della geometria non euclidea, ovvero l'indipendenza del postulato dellerette parallele dagli altri assiomi della geometria euclidea. Egli piuttosto sotto-linea che János Bolyai e Lobacevskij hanno sviluppato la teoria delle geodetichesulle super�ci di curvatura negativa.


Beltrami aveva trovato un modello per la geometria di Lobacevskji, ossiaaveva trovato all'interno della geometria euclidea, una super�cie di rotazione, lapseudosfera, che poteva essere interpretata come un modello euclideo di geome-tria non euclidea. In questo modo dimostrava che la geometria di Lobacevskjiha lo stesso diritto logico-matematico della classica geometria di Euclide.

La curva fondamentale della pseudosfera è la trattrice, de�nita come il luogodei punti del piano tali che i segmenti di tangente compresi tra essa ed una retta�ssa, che per semplicità poniamo essere l'asse x, hanno lunghezza costante; taleretta risulta essere asintototo per la curva. L'equazione della trattrice è lasegente:

x = klog

(k+√

(k2−y2)

y

)−√k2 − y2

Si consideri ora la super�cie che si ottiene ruotando la curva così costruitaattorno al suo asintoto: essa è de�nita pseudosfera, perché ha una curvatura

3.2. LA PSEUDOSFERA DI BELTRAMI 31

costante come quella di una sfera, ma di segno negativo (−1/k2). Beltramidimostrò che, applicando l'interpretazione dei concetti della geometria del pianoai concetti della geometria delle super�ci, si trova che alla pseudosfera competeuna geometria che soddisfa, almeno in regioni limitate di piano, gli assiomidella geometria iperbolica. Il difetto di tale super�cie per cui esso non puòcostituire un modello globale per la geometria iperbolica, è il fatto che la trattricepresenta un punto cuspoidale, che, ruotando, genera un cerchio di punti singolaridella super�cie. La pseudosfera, pertanto, non è regolare e non può quindirappresentare interamente il piano euclideo.

Per capire come interpretare i concetti della geometria iperbolica in questomodello euclideo occorre introdurre la nozione di geodetica. Nel piano il per-corso più breve che unisce due punti si trova sulla retta passante per i due punti.Estendendo questo concetto alle super�ci, il percorso più breve che unisce duepunti della super�cie si trova su di una linea, generalmente curva, detta geode-tica. Un altro modo, del tutto equivalente, di de�nire le geodetiche, è come letraiettorie descritte da un punto materiale che si muova, senza attrito e nonsoggetto a forze esterne, sulla super�cie stessa. L'interpretazione si ottiene in-terpretando i termini primitivi come segue


super�cie regione di pianopunto punto

geodetica rettaarco di geodetica segmento rettilineo

Beltrami non riuscì a dimostrare l'esistenza di super�ci a curvatura costanteche non presentassero il problema della valenza globale della geometria iper-bolica, ma la sua pseudosfera, pur non essendo un modello rigoroso, è molto


importante da un punto di vista storico: è stato il primo di diversi modelli chehanno iniziato a far cadere le opposizioni preconcette verso i nuovi sistemi geo-metrici e ha fornito la chiave per interpretare le nuove geometrie non euclidee.

3.3 Il modello di Poincaré

Jules Henri Poincaré (Nancy, 29 aprile 1854 � Parigi, 17 luglio 1912) è stato unmatematico, un �sico teorico e un �losofo naturale francese. Poincaré viene con-siderato un enciclopedico e in matematica l'ultimo universalista, dal momentoche eccelse in tutti i campi della disciplina nota ai suoi giorni, con profondiinteressi per la �loso�a della matematica, la divulgazione e la psicologia della�creatività� matematica.

Di fronte al dibattito matematico-�loso�co sulla possibilità di geometrie co-erenti diverse da quella euclidea, Poincaré rispondeva così:

�Poiché sono possibili parecchie geometrie, siamo sicuri che proprio la nostrasia quella vera?... Per rispondere è necessario che prima ci poniamo la domandasulla natura degli assiomi della geometria. Sono essi giudizi a priori come vuoleKant? In tal caso ci si imporrebbero con tale forza che sarebbe impossibileconcepire il contrario e quindi potremmo costruirvi sopra un edi�cio teorico;non ci sarebbero in tal caso geometrie non euclidee.

Gli assiomi della geometria sono dunque verità sperimentali? [...] Ma sela geometria fosse una scienza sperimentale, non potrebbe essere una scienzaesatta; sarebbe soggetta a continue revisioni [...]

Gli assiomi della geometria non sono dunque né giudizi sintetici a prioriné fatti di esperienza. Sono invece delle convenzioni; la nostra scelta, fra tuttele convenzioni possibili, è guidata da fatti sperimentali, ma resta libera e nontrova dei limiti che nella necessità di evitare le contraddizioni. Per questo ipostulati possono rimanere rigorosamente veri, anche se le leggi sperimentali chene hanno determinato l'adozione fossero solo approssimative. In altre parole, gliassiomi della geometria non sono che de�nizioni camu�ate. Ed allora che cosasi deve pensare del problema se la geometria euclidea è vera? Tale problema èsenza senso! Altrettanto varrebbe domandare se il sistema metrico è vero e falsele misure antiche; se le coordinate cartesiane sono vere e le polari false. Unageometria non può essere più vera di un'altra; può essere soltanto più comoda.�

Anche nel modello di Poincarè, presentato nel suo libro La scienza e l'ipotesidel 1902 sotto forma di racconto di fantasia, il problema della coerenza della ge-ometria iperbolica è ricondotto a quello della coerenza della geometria euclidea,e poiché questa non era mai stata messa in discussione prima, il modello stessorisulta convincente.

Sia dato in un piano euclideo un cerchio euclideo C di raggio R. Immaginiamoche all'interno di questo cerchio viva una popolazione di esseri bidimensionaliche noi osserveremo dall'esterno. All'interno di C avviene uno strano fenomenoche provoca la contrazione dei campioni di lunghezza (regoli che quando sonoal centro di C misurano un metro) man mano che si allontanano dal centro.

3.3. IL MODELLO DI POINCARÉ 33

Sia l(r) la lunghezza in metri di un regolo campione a distanza r dal centrodel cerchio, dove r è misurata a partire dal punto medio del regolo stesso. Laformula che descrive quantitativamente questo fenomeno sia allora

l(r) = 1− r2

R2

Se poniamo il regolo al centro (r = 0) e successivamente lo allontaniamoprocedendo verso il bordo osservandolo a metà strada (r = ½ R), a tre quarti (r= ¾ R), e così via, e ne calcoliamo la lunghezza, otteniamo la seguente tabella(i valori sono arrotondati alla quarte cifra decimale):

Distanza dal centro Lunghezza del regolo(in metri)

0 1.0001/2 R 0.75001/3 R 0.43757/8 R 0.234415/16 R 0.121131/32 R 0.0615

Supponiamo inoltre che ogni cosa all'interno di C (compresi gli esseri checi vivono) subisca una corrispondente variazione delle dimensioni lineari, cosic-ché nessun abitante di questo strano mondo possa accorgersi del fenomeno. Unabitante alto due metri al centro del cerchio C sarà ancora alto due metri dopoessersi avvicinato al bordo, perché tutto ciò che lo circonda avrà mantenuto leproporzioni, compreso il regolo che l'abitante può utilizzare per misurarsi. Solonoi che osserviamo da fuori ci accorgiamo che l'omino rimpicciolisce allontanan-dosi dal centro, e con lui rimpiccioliscono tutte le cose che lo circondano.


Supponiamo in�ne che il fenomeno che caratterizza C costringa i raggi diluce che si propagano tra due punti interni al cerchio a seguire sempre il percorsopiù breve, se misurato nel sistema di misura degli abitanti di C. Dal nostro puntodi vista, un raggio di luce che unisce due punti sarà dritto solo se i due puntisono su un diametro di C ; altrimenti presenterà una convessità rivolta versoil centro, poiché i regoli di misura si allungano andando in quella direzione.Osserviamo, per comprendere meglio, la seguente �gura

Il percorso rettilineo da A a B misura 6 metri, il percorso curvilineo invece nemisura 5, questo avviene perché il regolo si allunga avvicinandosi al centro, e perricoprire il percorso curvilineo ne occorre uno in meno. E' possibile dimostrareche questi cammini curvi sono archi di circonferenze ortogonali a C, cioè archidi circonferenze che incontrano C in modo tale che nei punti di intersezione lerispettive tangenti siano perpendicolari fra loro.


Dunque nello strano mondo descritto i raggi di luce si propagheranno lungoi diametri di C e lungo archi interni a C appartenenti a circonferenze ortogonalia C.

Torniamo agli abitanti di C. Essi non si renderanno conto di vivere all'internodi un cerchio: per quante volte riportino consecutivamente un metro lungoquello che noi sappiamo essere un diametro del cerchio, non raggiungerannomai il bordo, perché il metro si accorcia troppo velocemente. Vicino al bordo lalunghezza di un regolo, così come ogni altra lunghezza, si avvicina al valore

1− R2

R2 = 0

Quindi, per ricoprire la distanza che li separa dal bordo di regoli in�nitesimi,ma per loro sempre uguali, ne occorreranno sempre più. Dunque, per coloro chevivono al suo interno, il cerchio C si estende all'in�nito in tutte le direzioni,e costituisce il "piano". Gli abitanti di C intenderanno per "linea retta" ilpercorso di un raggio di luce (come fecero Platone ed Euclide), o il percorsopiù breve tra due punti (come invece fece Archimede), e poiché all'interno diC queste due nozioni sono equivalenti, in ogni caso, le linee rette sono perloro quelle che noi vediamo come parti interne di diametri di C o di archi dicirconferenze ortogonali a C. Le rette in�nite saranno quindi i diametri, esclusigli estremi, e gli archi di cerchi ortogonali, esclusi i punti di intersezione con C.

Siccome i raggi di luce all'interno di C seguono esattamente questi percorsi,ciascuna linea disegnata in azzurro in �gura apparirà rettilinea ad un osservatoreche guardi lungo di essa.


Gli abitanti di questo strano mondo accetteranno, allora, il postulato eu-clideo. Infatti, osserviamo per esempio la �gura

in cui A e B giacciono su un diametro, le parallele asintotiche ad AB per Psaranno due archi di cerchio ortogonali YPZ e WPX passanti per gli estremiY* e X* del diametro (osserviamo che questi punti stanno su C, dunque per gli


abitanti non esistono; per loro il cerchio non ha bordo). Le parallele divergentisaranno gli archi di cerchio che uniscono P ai punti su C compresi fra Y* eW*, mentre le rette non parallele saranno gli archi ortogonali (e un diametro)che uniscono P ai punti su C compresi fra W* e Z*. Anche quando A e B nonsono in posizione simmetrica rispetto al centro di C, o quando non giacciono suun diametro, la situazione è analoga.

In�ne gli abitanti di C accetterebbero come veri anche gli assiomi dellageometria neutrale, ovvero le cinque nozioni comuni e i primi quattro postulatidi Euclide. Vediamo alcuni semplici esempi.

Consideriamo il primo postulato euclideo:

Si postuli di tracciare una linea retta da un punto qualsiasi ad ogni altro punto

Alla luce delle nozioni di "punto" e di "retta" che hanno gli abitanti delcerchio, questo è in e�etti (dal nostro punto di vista) un enunciato relativo aipunti interni al cerchio, ai suoi diametri e agli archi ortogonali a C. Traducendonel nostro linguaggio la loro versione di questo postulato, otteniamo:

Dati due punti interni a un cerchio �ssato C, per essi è possibile tracciare unoe un solo diametro di C, oppure uno e un solo cerchio ortogonale a C (ma non

entrambi) (*)

Questo è un teorema della geometria euclidea non elementare, e poiché noisiamo su un piano euclideo, per noi questo è vero; essendo il primo postulatoeuclideo il modo in cui gli abitanti di C esprimono lo stesso, anche per essitale postulato sarà vero. Lo stesso accade per gli altri postulati della geometrianeutrale; traducendoli dal linguaggio peculiare degli abitanti dello strano mondodescritto, ognuno di essi diventa un teorema dimostrabile di geometria euclidea,


ed è quindi vero nel più vasto universo di cui C è parte. Gli abitanti dellageometria neutrale accetteranno tutti i postulati della geometria neutrale.

Proviamo ora a guardare le cose dal nostro punto di vista: il contesto ora èil piano euclideo e quindi tutti i teoremi euclideo sono veri, e sono veri per gliabitanti di C esattamente come lo sono per noi. L'unica di�erenza è che per ilfenomeno che caratterizza il loro mondo, gli abitanti di C esprimono queste ver-ità in termini di�erenti dai nostri: ciò che per noi è "punto all'interno di C" perloro è semplicemente un "punto", ciò che noi chiamiamo "arco di circonferenza"interno a C di un cerchio ortogonale è per loro una "retta in�nita", e così via.Non ci resta che concludere che, poiché gli abitanti del cerchio ritengono veri ipostulati della geometria neutrale, e poiché l'enunciato (*) è il teorema che essiesprimerebbero nella forma del postulato iperbolico, essi sceglieranno la geome-tria iperbolica come descrizione del loro mondo. Il mondo che abbiamo descrittoè quindi un mondo iperbolico.

Il modello di Poincaré consiste nella seguente interpretazione:


punto Punto interno ad un cerchio �ssato C nelpiano euclideo

linea Parte interna a C di una linea euclidealinea retta Parte interna a C di un diametro di C o

di un cerchio ortogonale a Cpiano Interno del cerchio C

Tramite questa interpretazione i postulati della geometria iperbolica diven-tano teoremi della geometria euclidea, e per questo motivo ogni contraddizioneeventualmente deducibile dai postulati iperbolici potrebbe essere tradotta, ri-correndo a questa interpretazione, in una contraddizione deducibile dai teoremieuclidei corrispondenti. Ma poiché la nostra ipotesi è che non vi siano contrad-dizioni nella geometria euclidea, non ve ne saranno nemmeno in quella iper-bolica. Possiamo concludere che la geometria iperbolica è coerente solo se lo èquella euclidea. Vale anche il viceversa: la geometria euclidea è coerente solose lo è quella iperbolica, quindi l'a�ermazione diventa più forte, e ci permettedi stabilire una perfetta equivalenza delle due geometrie rispetto al requisito dinon contraddittorietà. In particolare, se la geometria euclidea è coerente, il Vpostulato non è deducibile dalla geometria neutrale. Se infatti lo fosse, allorasarebbe un teorema della geometria iperbolica. Ma in questo modo sarebbein contraddizione con il postulato iperbolico e quindi la geometria iperbolicanon sarebbe coerente. Ma abbiamo appena visto che se la geometria euclidea ècoerente, allora lo è anche quella iperbolica, quindi se la geometria euclidea ècoerente, il V postulato non può essere dedotto dalla geometria neutrale. Piùsemplicemente, se il V postulato fosse conseguenza logica degli altri postulati,ovvero della geometria neutrale, ogni insieme di enti che soddisfa tali propo-sizioni dovrebbe soddisfare anche il V postulato. Ma abbiamo appena visto


che gli enti del modello di Poincarè soddisfano tutti gli altri assiomi e non il Vpostulato.

Consideriamo ora la �gura sottostante

dove Q è il centro di C, A e B appartengono ad un suo diametro e Q*Qè il semi-diametro perpendicolare; P1, P2, P3,. . . , sono punti su Q*Q, ognunodistante da Q la metà del precedente (dal punto di vista di un osservatoreesterno); P1X1, P2X2, P3X3,. . . , sono le corrispondenti parallele asintotichedestre di AB (per chi sta all'esterno di C sono gli archi ortogonali che unisconoquei punti a X* ). Si osservi che gli angoli di parallelismo X1P1Q, X2P2Q,XP3Q,.., diventano sempre più prossimi ad un angolo retto. Continuando questaanalisi, consideriamo un punto P su Q*Q che sia vicinissimo a Q, tanto chesolo con un potentissimo microscopio sia distinguibile da Q ; in �gura il cerchiotratteggiato a destra rappresenta un ingrandimento della regione intorno a Q.


PX è la parallela asintotica destra ad AB (vale a dire l'arco ortogonalepassante per P e X* ): l'angolo XPQ è estremamente prossimo ad un angoloretto. Supponiamo che P sia così prossimo a Q che la di�erenza fra l'angoloXPQ ed un angolo retto non possa essere rivelata dagli strumenti in possessoagli abitanti di C e che gli abitanti siano estremamente piccoli e vivano tuttinelle vicinanze di Q e non abbiano mai raggiunto e nemmeno visto col telesco-pio un punto più distante di P da Q. Abbiamo già osservato che la geometriaall'interno di C è quella iperbolica, ma nella nostra discussione precedente ave-vamo tacitamente ammesso che gli abitanti fossero abbastanza grandi rispettoa C da accorgersene. Con le ulteriori limitazioni che abbiamo imposto ora, gliabitanti giudicheranno euclideo lo spazio che li circonda; in realtà quello spazioè iperbolico, ma essi non saranno in grado di scoprirlo perché sembrerà loro chegli angoli di parallelismo siano sempre retti. A questo punto sorge spontaneauna domanda: e se noi fossimo una versione tridimensionale degli abitanti delcerchio? Immaginiamo che nello spazio euclideo ci sia un'enorme sfera dipintaall'interno di nero, con un raggio lunghissimo, miliardi di anni-luce, in modo dacontenere tutto l'universo conosciuto. Immaginiamo di vivere vicino al centro edi essere molto piccoli rispetto alla sfera all'interno della quale i regoli di misurasi contraggono e i raggi di luce deviano esattamente come abbiamo descrittoper C. Queste ipotesi sono perfettamente compatibili con la nostra esperienzae quindi, se fossero vere, lo spazio intorno a noi sarebbe iperbolico e noi non cene saremmo mai accorti!

3.4 Altri modelli di geometria iperbolica

Il modello di Klein è un modello di geometria iperbolica, introdotto da EugenioBeltrami, la cui descrizione come spazio metrico è dovuta successivamente aArthur Cayley (1821-1895) ed approfondita da Felix Klein (1849-1925), da cuiprende il nome. Esso costituisce una variante del modello del disco di Poincaré:

3.4. ALTRI MODELLI DI GEOMETRIA IPERBOLICA 41

anche in questo caso si interpreta come piano euclideo la parte interna di un cer-hio. La geometria è de�nita però in modo di�erente: le geodetiche nel modellodi Klein sono infatti segmenti e non archi di circonferenza. La maggiore semplic-ità nella descrizione delle geodetiche è però controbilanciata da una maggiorecomplicazione nella descrizione degli angoli fra queste, che non sono quelli usualidel piano euclideo.

Un altro modello di spazio iperbolico è rappresentato come una delle duefalde di un iperboloide, ad esempio quella superiore, immerso nello spazio tridi-mensionale. Le rette sono le intersezioni con i piani passanti per il centrodell'iperboloide. La descrizione matematica di questo modello ha forti analogiecon lo spaziotempo di Minkowski: la distanza fra due punti è la stessa usatanella relatività speciale.

Bibliography

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