Geometrie Non Euclidee 1

GEOMETRIE NON EUCLIDEE GEOMETRIE NON EUCLIDEESilvia Benvenuti Silvia Benvenuti

Corso di Perfezionamento Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Insegnare Matematica e Fisica oggiUniversit di Camerino - Dicembre 2008 Universit di Camerino - Dicembre 2008

Gli Elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta

Silvia Benvenuti Geometrie non euclidee Universit di Camerino Dicembre 2008

Gli Elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta


Manuale di gioco


Sistema assiomatico Termini (primitivi e definiti) Assiomi e postulati Teoremi


Termini


Postulati


Assiomi


Proposizioni Le prime 28 e la 31 sono indipendenti dal V Proposizione 17: Proposizione In ogni triangolo la postulato 29: Se r e s somma di due angoli, formano con una sono parallele, allora comunque Dipendono dalV postulatoretti. supplementari, trasversale t angoli coniugati interni le altre, tra presi, minore di due tutte cui la 29, alterni interni e angoli corrispondenti uguali. angoli la 32, la 27: (Teorema di Pitagora) Proposizione 47 LaProposizione 32: delSe una retta chelinversa 17 linversa V, la 29 venga In ogni triangolo, se si prolunga uno dei gli a cadere su altre due rette forma lati, dellalangoloangoli alterniimplica la 16dei due angoli 27 e 28, la 32 interni uguali tra loro, esterno uguale alla somma e 17interni ele due rette la somma dei treparallele. opposti, e saranno tra loro angoli interni del triangolo uguale a due retti.Silvia Benvenuti Geometrie non euclidee Universit di Camerino Dicembre 2008

Digressione


Gli elementi di Euclide Il problema del V postulato La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee La geometria iperbolica La geometria ellittica Le tre geometrie Un vero viaggio di scoperta



Formulazioni equivalenti


Elenco di enunciati sostitutivi


La geometria assoluta




Dalla pallavolo al beach volley: il punto di vista del matematico moderno


Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste una e una sola retta passante per P e parallela ad r PlayfairN1 N2

Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste pi di una retta passante per P e parallela ad r

Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, non esiste nessuna retta passante per P e parallela ad r


In un triangolo la somma degli angoli interni uguale a 180 SaccheriN1 N2

In un triangolo la somma degli angoli interni minore di 180

In un triangolo la somma degli angoli interni maggiore di 180


Geometria o geometrie?


Libert!


La rivoluzione non euclideaImmanuel Kant (1724-1804)

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)Silvia Benvenuti Geometrie non euclidee Universit di Camerino Dicembre 2008

Kant e i Munduruku


Come violette a primaveraDue giuristi: Schweikart (1780-1859) e Taurinus (1794-1874)

un militare Bolyai (1802-1860)

e un matematico Lobaevskij (1793-1856)


Letteratura


Geometrie diseducative?Giornale di matematiche ad uso degli studenti PRO Giuseppe Battaglini (1826-92) Eugenio Beltrami (1835-1900)

CONTRO Giusto Bellavitis (1803-80) Angelo Genocchi (1817-89) Luigi Cremona (1830-1903) Francesco Brioschi (1824-97)

geometrie del soprasensibile o da della a causa delle sue implicazioni filosofiche linsegnamento sono il i tentativi di rinnovamento radicale dei principi manicomio geometria non euclideadello spirito critico, e quando si riveler molto utile alla giovent. portato naturale sieuclidei hanno una comprensione oscura e i geometri non Infatti, essa dilatacome frutto di investigazioni coscienziose e delle nostre idee, dar luogo presentano il confine e linsegnamento e pu geometria a menti ingannevoli, della la ragione elevate e feconde di fare un po di pubblicit alla meditazioni che impone il dovere di convinzioni sincere il dovere degli uomini di scienza geometriaimmaginaria o e elucubrazionideliranti dipressantescuole non euclidea, questobbligo tanto pi un nelle in la geometria non nelle universit e professore racconti di fate,non euclidea euclidea non pu procurare agli di darebbe origine animo sereno, tenendosi lontano discuterli con a una razza di studenti arrogante e sciocca, quantouniversitariostudenti al rango di nuove verit sovrumane, per lItalia, divenuta felicemente Nazione, particolarmente solougualmente dallentusiasmo stanchezza, vuotezza, arroganza unincredibileelevate altro che e la societ ignoranza pu spingere a cheche la sua compromettere correnteimpedirne lo studio potrebbe megalomania, dal disprezzo. interessata a della e stupidit sia al sua giovent dellininterrotto merito progresso delle scienze esatte.Silvia Benvenuti Geometrie non euclidee Universit di Camerino Dicembre 2008

Libert: linfluenza sullarte modernase si desiderasse collegare lo spazio dei pittori a qualche geometria, bisognerebbe fare riferimento ai sapienti non euclidei, meditare su certi [loro] teoremi Du cubisme (1912), Albert Gleizes e Jean Metzinger Lobaevskij ha fatto esplodere lassolutismo di Euclide. Con Un quadro egli ha distrutto il rigido spazio euclideo. constata Gauss e Riemann larte di far incontrare due linee, di cui siTutti geometricamente il parallelismo, su una sono gli oggetti matematici che essi hanno stabilitotela, davanti ai nostri occhi, nella inaccessibili Herbert George Lo schiudersi della inimmaginabili e Wodehouse, alla sensazione. Wells, Oscar Wilde, Pelham Grenville realt di un mondo trasfigurato che segua nuove condizioni e possibilit nuova epoca, Ford Madox Ford, Marcel Proust, Gertrude Joseph Conrad,annunciata dalla costruzione di nuovi mondi Stein Tristan Tzara (1896-1963) matematici, portava con s una tentazione, e gli artisti non hanno saputo resistere alla sua forza seduttrice. [] Noi abbiamo deciso Alexander Scriabin, Edgar Varse, George Antheil di accettare come evidenti e necessarie le concezioni che i nostri predecessori hanno considerato come inconcepibili e che, in effetti, essi erano incapaci di concepire. Eliezer El Lissitzky (1830-1941)Silvia Benvenuti Geometrie non euclidee Universit di Camerino Dicembre 2008

Coerenza logica e modellizzazioneCostruire dei modelli di geometria non euclidea allinterno di quella euclidea: 1. interpretare gli enti primitivi della geometria non euclidea in termini degli enti primitivi di quella euclidea; 2. tradurre gli assiomi della geometria non euclidea nei corrispondenti enunciati euclidei; 3. dimostrare che gli enunciati euclidei cos ottenuti sono tutti teoremi validi. la coerenza del sistema modellizzato segue immediatamente da quella del sistema ospiteSilvia Benvenuti Geometrie non euclidee Universit di Camerino Dicembre 2008



Caccia allintruso

??? ???


Che cos un segmento? Che cos una retta?

Segmento AB = il pi breve tratutti i percorsi che congiungono A e B


Le rette del mappamondo


e le rotte degli aerei


e le rotte degli aerei


Caccia allintruso - seguito


Infinito vs illimitato

Nozione topologica metrica

Nozione


Formalizzando: modello della sfera - S2 (geometria ellittica doppia)


Geometria dello sputo


Teoremi immediati della geometria sferica tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita 2; il piano della geometria sferica ha area finita 4; le perpendicolari a una stessa retta s si incontrano in due punti, tra loro antipodali, che chiamiamo poli della retta s;


Triangoli gonfi


Triangoli gonfi


Niente similitudini!Teorema delleccesso di Gauss:

Area (

)= + + -


Calcolo dellarea di un triangolo sferico



E Pitagora?


Luniverso di Riemann


e quello di Dante!


Prospettiva sferica


Modello della semisfera - B2 (geometria ellittica singola)


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