Introduzione alle geometrie non euclidee

Litografia di Escher Tavolo iperbolico

La geometria prima di Euclide

• Talete di Mileto (625 a.C. – 547 a.C.) introduce l’astrazione nello studio della matematica e dimostra i teoremi con un misto di logica e intuizione

• Pitagora di Samo (570 a.C. – 495 a.C.) la scuola pitagorica fa suo il programma di Talete di fare della geometria una scienza deduttiva. Con la scoperta degli incommensurabili mostra che intuizione e logica possono dare risultati discordi. Dal punto di vista metodologico l’eredità della scuola pitagorica può essere sintetizzata con il termine rigore.

Qualche data

• Platone 427 – 347 a. C • Aristotele 384 – 322 a. C Nelle sue opere sono presenti i teoremi 1. La somma degli angoli interni di un

triangolo è uguale a due retti 2. Gli angoli alla base di un triangolo

isoscele sono uguali 3. Triangoli inscritti in una semicirconferenza

sono rettangoli

Elementi

• Datati circa 300 a.C.

• Il centro degli studi filosofici si è spostato da Atene ad Alessandria d’Egitto

• E’ il primo trattato di matematica

• E’ composto da tredici libri

Struttura del primo libro degli Elementi

• 23 definizioni

• 5 postulati

• 5 nozioni comuni

• 48 teoremi

Definizioni dei termini primitivi

• Il punto è ciò che non ha parti • Una linea è una lunghezza senza larghezza• Gli estremi di una linea sono punti• Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e

larghezza• ................................

Caratteristica generale di una definizione: descrive, rende esplicito ciò che si intende con un termine agganciandolo alla realtà

I postulati

Si postula cheI da qualsiasi punto si possa condurre una retta a ogni altro

punto II ogni retta terminata si possa prolungare per diritto III con ogni centro e ogni distanza si possa tracciare un

cerchio IV tutti gli angoli retti siano uguali tra loro V se una retta, incontrandone altre due, forma angoli interni

da una stessa parte minore di due retti, le due rette, prolungate all’infinito, si incontrino dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti

P

Nozioni comuni

• Cose uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro

• Se a cose uguali si aggiungono cose uguali si ottengono cose uguali

• Se a cose uguali si tolgono cose uguali si ottengono cose uguali

• Cose che possono essere portate a sovrapporsi sono uguali tra loro

• Il tutto è maggiore della parte

Il tutto è maggiore della parte

• Quali situazioni esclude

• A quali situazioni si riferisce

A B

C DP

Q

A CB

AB < AC

A

O

C

B

BOC < AOC

V postulato e rette parallele• Se una trasversale forma con due rette

angoli alterni interni uguali allora le rette sono parallele (non dipende dal V postulato) α=β r // s L’esistenza di rette parallele è un teorema

• Se due rette sono parallele, una trasversale forma con esse due angoli alterni interni uguali (dipende dal V postulato) r // s α=β

r

s

Altri enunciati del V postulato

• Due rette sono parallele se e solo se sono equidistanti

Si dimostra che equivale al V postulato assumendo che “il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta”

• Data una retta r e un punto P esterno ad essa è unica parallela per P alla retta r (Proclo V d.C.)

Qui si riconosce che l’unicità della parallela è il contenuto del V postulato

Saccheri (1667 – 1733) e la dimostrazione del V postulato

Ipotesi dell’angolo:

La somma degli angoli di un triangolo è:

Retto Uguale a due retti Equivale V postulato

Ottuso Maggiore di due retti Raggiunge una contraddizione

Acuto Minore di due retti Trova una contraddizione per errore

Qual è la situazione all’inizio del XIX secolo? Nel tempo si erano susseguiti diversi

tentativi di dimostrare il V postulato, che avevano portato a riconoscere quali teoremi erano da esso indipendenti e a formulare nuovi enunciati del V postulato.

Si inizia a ritenere che il V postulato è indimostrabile.

Come dimostrare l’indimostrabilità del V postulato?

I fondatori delle geometrie non euclidee

• C. F. Gauss (1777 – 1855)

• N. Lobacevskij (1793 – 1856)

• J. Bolyai (1802 – 1860)

• B. Riemann (1826 – 1866)

Gauss

La geometria non euclidea non contiene nulla di contraddittorio, sebbene molti suoi risultati debbano sulle prime essere ritenuti paradossali; tuttavia scambiare ciò per una contraddizione sarebbe unicamente un’illusione, provocata dalla vecchia abitudine a considerare la geometria euclidea come strettamente vera. (lettera a Schumacher, 1831)

                

Esempi di teoremi di geometria non euclidea a cui si riferisce Gauss

• Tutte le figure simili sono anche congruenti

• Gli angoli di un triangolo equilatero non hanno misura costante, ma al crescere della misura dei lati diventano piccoli a piacere

Lobacevskij

• Opera una rifondazione globale della geometria oltre a sviluppare una teoria delle parallele

• Parte da osservazioni di carattere sperimentale sul comportamento dei corpi

J. Bolyai

• Studia le proprietà dello spazio indipendenti dal V postulato

• Risolve il problema della quadratura del cerchio nell’ipotesi della falsità del V postulato

Classificazione

• Geometria iperbolica: per un punto esterno a una retta data passa più di una parallela. Fondatori: Lobacevskij –Bolyai

• Geometria ellittica: non esistono rette parallele. Fondatore: Riemann

Riemann

La geometria ellittica

Henri Poincaré (1854 – 1912)

                                                                                                                                

                                                

Nuova visione della geometria

• Le geometrie non euclidee non hanno il carattere di evidenza della geometria euclidea.

• Gli enti primitivi non sono definiti con rimando all’esperienza ma attraverso gli assiomi

• Gli enti primitivi possono essere paragonati alle carte e gli assiomi alle regole del gioco. La geometria è il “gioco” che si ottiene una volta date le regole

• Come assicurare che nel gioco non si avranno incoerenze?

Poincaré immagina un mondo racchiuso in una sfera, in cui:

• La temperatura è massima al centro e diminuisce andando verso la superficie

• La temperatura assoluta è proporzionale a R2-x2, dove x è la distanza dal centro della sfera

• Tutti i corpi hanno lo stesso coefficiente di dilatazione

In questo mondo il percorso dei raggi di luce è circolare

Modello di Poincaré

• Punto

• Linea

• Linea retta

• Piano

• Punto interno a un cerchio euclideo C

• parte interna a C di una linea euclidea

• Parte interna a C di un suo diametro o di un cerchio ortogonale a C

• interno del cerchio C

Coerenza della geometria iperbolica

• Nel modello i primi quattro postulati e la negazione del V postulato hanno un’interpretazione euclidea

• Ogni contraddizione deducibile da questi assiomi potrebbe essere tradotta in una contraddizione dei teoremi euclidei corrispondenti

• Se la geometria euclidea è coerente allora lo è anche quella iperbolica.

V postulato è indimostrabile!

• Se il V postulato fosse dimostrabile dai primi quattro, allora sarebbe anche un teorema della geometria iperbolica

• In tal caso la geometria iperbolica sarebbe non coerente perché conterrebbe il V postulato e la sua negazione.

David Hilbert

• Fondamenti della geometria (1899)

• Per dimostrare che il suo sistema di assiomi è non contraddittorio ne dà un’interpretazione nell’insieme dei numeri reali

• Se la teoria dei numeri reali è non contraddittoria allora lo è anche la geometria euclidea rifondata da Hilbert

Modello della geometria euclidea

• Punto• Circonferenza• Retta• piano

• Coppia (x; y) • (x-h)2 +(y-k)2=r2

• ax+by+c = 0• Insieme delle coppie

(x; y)

Gödel (1906 – 1978)

E’ impossibile stabilire la coerenza logica di un sistema complesso, a meno di usare dei principi di ragionamento la cui coerenza interna è problematica quanto quella del sistema stesso.

Bibliografia

• Trudeau, La rivoluzione non euclidea

• Agazzi – Palladino, Le geometrie non euclidee

• H. Poincaré, La scienza e l’ipotesi

• M. Kline, Storia del pensiero matematico

• G. Margiotta, Cabri come strumento di esplorazione delle geometrie non euclidee (quaderno Cabri n. 10)