Le geometrieLe geometrienon euclideenon euclidee

di Paolo Bernacchionidi Paolo Bernacchioni

Del matematico di Del matematico di Alessandria ci sono Alessandria ci sono pervenuti “pervenuti “Gli elementiGli elementi”, ”, opera formata da 13 libri. opera formata da 13 libri.

Euclide Euclide (325 ? - 265 a. C.)(325 ? - 265 a. C.)

I primi quattro trattano le I primi quattro trattano le proposizioni fondamentali proposizioni fondamentali della geometria piana.della geometria piana.

Edizione del 1498 degli “Elementi” di Euclide

L’importanza degli “Elementi” L’importanza degli “Elementi” non è tanto nei risultati e nelle non è tanto nei risultati e nelle relazioni geometriche in essi relazioni geometriche in essi contenute, quanto nel contenute, quanto nel metodometodo da da essi proposto.essi proposto.

Partendo da poche proposizioni Partendo da poche proposizioni assunte come assunte come verevere ( (postulati e postulati e assiomiassiomi), se ne ), se ne dimostranodimostrano altre altre ((teoremi o proposizioniteoremi o proposizioni).).

Si utilizza il metodo Si utilizza il metodo deduttivo deduttivo (Aristotele)(Aristotele)..

Euclide, “Elementi”Euclide, “Elementi”Libro ILibro I

Contiene:Contiene: 23 termini 23 termini (le nostre definizioni)(le nostre definizioni)

5 postulati 5 postulati (“nozioni specifiche” in Aristotele)(“nozioni specifiche” in Aristotele)

8 assiomi 8 assiomi (“nozioni comuni” in Aristotele)(“nozioni comuni” in Aristotele)

48 proposizioni 48 proposizioni (teoremi)(teoremi)

La geometria di Euclide è relativa ad La geometria di Euclide è relativa ad oggetti che è possibile disegnare con oggetti che è possibile disegnare con riga e compasso, oggetti che hanno riga e compasso, oggetti che hanno quindi una loro quindi una loro realtà intrinseca.realtà intrinseca.

Premessa importantePremessa importante

Tutto cambia nel Tutto cambia nel XIX secoloXIX secolo

David Hilbert David Hilbert (1862 - 1943)(1862 - 1943)

Nel 1899 pubblica Nel 1899 pubblica ““Fondamenti della Fondamenti della geometriageometria” che rovescia ” che rovescia l’impostazione euclidea.l’impostazione euclidea.

Sono i postulati a definire Sono i postulati a definire implicitamente gli oggetti implicitamente gli oggetti di una teoria matematica.di una teoria matematica.

Euclide: i terminiEuclide: i terminiSono definizioni di “Sono definizioni di “oggettioggetti” geometrici.” geometrici.

Questi oggetti sono considerati entità reali.Questi oggetti sono considerati entità reali.

II puntopunto è ciò che non ha parti è ciò che non ha parti

IIII linealinea è lunghezza priva di larghezza è lunghezza priva di larghezza

III III estremiestremi di una linea sono punti di una linea sono punti

IV IV linea rettalinea retta quella che giace ugualmente quella che giace ugualmente rispetto ai suoi puntirispetto ai suoi punti

VV superficie superficie è ciò che ha soltanto lunghezzaè ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza e larghezza

VIVI Estremi di una superficie sono lineeEstremi di una superficie sono linee

VII VII Superficie pianaSuperficie piana è quella che giace è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su di essa ugualmente rispetto alle rette su di essaNotiamo che sono descrizioni di enti esistenti, Notiamo che sono descrizioni di enti esistenti, a volte senza specificare bene i terminia volte senza specificare bene i termini

VIII - XII riguardano gli VIII - XII riguardano gli angoliangoliXIII – XIV figure geometriche enti limitatiXIII – XIV figure geometriche enti limitati

XV - XVIII riguardano il XV - XVIII riguardano il cerchiocerchio

XX-XXII si definiscono i XX-XXII si definiscono i triangolitriangoli e i e i quadrilateriquadrilateri

XXIII riguarda le XXIII riguarda le rette parallelerette parallele“parallele sono quelle rette che, essendo nello “parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamentestesso piano e venendo prolungate illimitatamentedall’una e dall’altra parte, non si incontrano fradall’una e dall’altra parte, non si incontrano fraloro da nessuna delle due parti”loro da nessuna delle due parti”

Che significa “Che significa “illimitatamenteillimitatamente”?”?

Euclide: le nozioni comuni Euclide: le nozioni comuni (assiomi)(assiomi)

Sono proposizioni vere in assoluto, anche al di Sono proposizioni vere in assoluto, anche al di fuori del contesto geometrico.fuori del contesto geometrico.II cose uguali a una stessa sono uguali tra loro cose uguali a una stessa sono uguali tra loroIIII Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali le somme ottenute sono ugualiIIIIII Se da cose uguali si tolgono cose uguali, i resti Se da cose uguali si tolgono cose uguali, i resti sono uguali sono ugualiIV IV I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loroI doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro……………………VIIVII Cose che coincidono tra loro sono uguali Cose che coincidono tra loro sono uguali……………………

I primi 4 postulatiI primi 4 postulatiSono proposizioni Sono proposizioni relative alla geometriarelative alla geometria su cui tutti concordano (verità evidenti).su cui tutti concordano (verità evidenti).1. 1. Da ogni punto si può condurre una retta Da ogni punto si può condurre una retta

ad ogni altro punto.ad ogni altro punto.

2. 2. Una retta si può prolungare per diritto.Una retta si può prolungare per diritto.

3. 3. Con ogni centro e distanza si può Con ogni centro e distanza si può disegnare disegnare un cerchio.un cerchio.

4. 4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.

Il quinto postulatoIl quinto postulato

5. Se una retta, incontrando altre due 5. Se una retta, incontrando altre due rette, forma gli angoli interni dalla stessa rette, forma gli angoli interni dalla stessa parte minori di due retti, le due rette parte minori di due retti, le due rette prolungate all’infinito si incontrano da prolungate all’infinito si incontrano da quella parte in cui gli angoli sono minori quella parte in cui gli angoli sono minori di due retti.di due retti.

Ancora sul quinto postulatoAncora sul quinto postulatoCerchiamo di capire ….Cerchiamo di capire ….

aa

bb

rr

ss

SeSe a + ba + b < 2 retti < 2 retti

alloraallora r incontra s r incontra s

Cosa dire del quinto postulato?Cosa dire del quinto postulato?

E’ intuitivo?E’ intuitivo?

E’ verificabile operativamente?E’ verificabile operativamente?

Inoltre ...Inoltre ...

Il fatto che le prime 28 proposizioni degli Il fatto che le prime 28 proposizioni degli Elementi siano indipendenti dal V postulato Elementi siano indipendenti dal V postulato fa pensare che Euclide cercasse di ritardare fa pensare che Euclide cercasse di ritardare il più possibile la sua introduzioneil più possibile la sua introduzione

La Proposizione 17 dimostra l’inverso del V La Proposizione 17 dimostra l’inverso del V postulato “postulato “In un triangolo la somma di dueIn un triangolo la somma di dueangoli, comunque presi, è minore di due angoli, comunque presi, è minore di due angoli rettiangoli retti”.”.

E’ assurdo dimostrare l’inverso di un E’ assurdo dimostrare l’inverso di un postulatopostulato

Nella proposizione (teorema) 29, Euclide Nella proposizione (teorema) 29, Euclide utilizza per la prima volta il V postulatoutilizza per la prima volta il V postulato

rr

ss

Se r parallela ad s tagliate da una trasversale si dimostra che:Se r parallela ad s tagliate da una trasversale si dimostra che:==’, ’, ==’’ e ’’ e + + = 2 retti = 2 retti

’’’’

’’

Dal 5° postulato Dal 5° postulato derivano importanti derivano importanti

proprietà geometricheproprietà geometriche

Proposizione 32 Proposizione 32 la somma degli angoli la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due interni di un triangolo è uguale a due angoli rettiangoli retti

aa

gg

bb

a + b a + b ++ g g = 2 retti = 2 retti

Sorgono spontanee Sorgono spontanee delle domandedelle domande

può essere riformulato più può essere riformulato più semplicemente?semplicemente?

è davvero un postulato o può è davvero un postulato o può essere essere dimostratodimostrato??

il 5° postulato è importante?il 5° postulato è importante?

Proclo Diodoco Proclo Diodoco (410 - 485)(410 - 485)

Proclo dimostra che il 5° postulato è Proclo dimostra che il 5° postulato è equivalente alla seguente proposizione:equivalente alla seguente proposizione:

Per un punto fuori di una retta si può Per un punto fuori di una retta si può condurre una sola parallela alla retta condurre una sola parallela alla retta data.data.

P

rr

ss

La retta s esisteLa retta s esiste

La retta s è unicaLa retta s è unica

Molti matematici tentarono di Molti matematici tentarono di dimostraredimostrare il 5° postulato ... il 5° postulato ...

senza alcun successo!senza alcun successo!

Gerolamo SaccheriGerolamo Saccheri (1667 - 1733)(1667 - 1733)

Il gesuita Saccheri fu Il gesuita Saccheri fu il primo ad impostare il primo ad impostare

correttamente il correttamente il problemaproblema

Saccheri ragionò Saccheri ragionò per assurdoper assurdo, negando il , negando il 5° postulato5° postulato

Si aspettava di cadere in qualche Si aspettava di cadere in qualche contraddizione ...contraddizione ...

ma invano!ma invano!

Costruì una geometria in cui Costruì una geometria in cui da un punto da un punto esterno ad una retta si possono condurre esterno ad una retta si possono condurre

infinite parallele alla retta data.infinite parallele alla retta data.

Saccheri formulò e dimostrò molti teoremi Saccheri formulò e dimostrò molti teoremi diversi da quelli della geometria euclidea...diversi da quelli della geometria euclidea...

Senza nessuna necessità, ad un certo punto Senza nessuna necessità, ad un certo punto affermò di aver trovato una affermò di aver trovato una

contraddizione.contraddizione.

ma non seppe essere coerente fino in fondo!ma non seppe essere coerente fino in fondo!

Tutto cambia a partire Tutto cambia a partire dalla prima metà del dalla prima metà del

XIX secoloXIX secolo

Nicolaj Ivanovic Nicolaj Ivanovic LobacevskijLobacevskij (1793 - 1856)(1793 - 1856)

Nel 1835 - 1838 pubblica Nel 1835 - 1838 pubblica (in russo) (in russo) “Nuovi principi “Nuovi principi della geometria con una della geometria con una teoria completa delle teoria completa delle parallele”parallele”

Nel 1840 (in tedesco) Nel 1840 (in tedesco) “Ricerche geometriche “Ricerche geometriche sulla teoria delle sulla teoria delle parallele”parallele”

Lobacevskij ammette i primi Lobacevskij ammette i primi quattro postulati di Euclide …quattro postulati di Euclide …

ma nega il quinto, per quanto ma nega il quinto, per quanto riguarda riguarda l’unicitàl’unicità della parallela. della parallela.

Teoria di LobacevskijTeoria di Lobacevskij

P

rr

ss

s’s’

La retta s parallela ad r esisteLa retta s parallela ad r esiste

s non è l’unica parallela ad rs non è l’unica parallela ad r

Procedendo con metodo Procedendo con metodo deduttivo, Lobacevskij deriva una deduttivo, Lobacevskij deriva una geometria del tutto logica e priva geometria del tutto logica e priva

di contraddizioni, oggi dettadi contraddizioni, oggi detta

Geometria di Geometria di Lobacevskij - BolyaiLobacevskij - Bolyai

Janos BolyaiJanos Bolyai (1802 - 1860)(1802 - 1860)

Matematico ungherese, Matematico ungherese, nel 1832 pubblica, in nel 1832 pubblica, in appendice ad un trattato appendice ad un trattato del padre Wolfgang, uno del padre Wolfgang, uno scritto in cui arriva a scritto in cui arriva a conclusioni analoghe a conclusioni analoghe a quelle di Lobacevskijquelle di Lobacevskij

Il padre Wolfgang, orgoglioso, Il padre Wolfgang, orgoglioso, sottopone il lavoro del figlio al più sottopone il lavoro del figlio al più grande matematico dell’epocagrande matematico dell’epoca

Karl Friedrich GaussKarl Friedrich Gauss

ma ...ma ...

Karl Friedrich GaussKarl Friedrich Gauss (1777 - 1855)(1777 - 1855)

Gauss afferma che era Gauss afferma che era da tempo arrivato alle da tempo arrivato alle stesse conclusioni ...stesse conclusioni ...

ma ma non le aveva non le aveva pubblicatepubblicate perché perché nessuno le avrebbe nessuno le avrebbe accettate.accettate.

Bolyai ci rimane molto male ...Bolyai ci rimane molto male ...

Alcuni teoremi della geometria Alcuni teoremi della geometria di Lobacevskij - Bolyaidi Lobacevskij - Bolyai

Detta anche Detta anche Geometria iperbolicaGeometria iperbolica

per un punto passano per un punto passano infinite paralleleinfinite parallele

la somma degli angoli interni di un la somma degli angoli interni di un triangolo è triangolo è minoreminore di due angoli retti di due angoli retti

non ci sono quadrilateri con 4 rettinon ci sono quadrilateri con 4 retti

in triangoli disuguali le somme degli in triangoli disuguali le somme degli angoli interni sono disugualiangoli interni sono disuguali

Il difetto tende a zero per triangoli di Il difetto tende a zero per triangoli di dimensioni sempre minori ...dimensioni sempre minori ...

aa

gg

bb

a + b a + b ++ g g = 2 retti - d = 2 retti - d

d si dice d si dice difettodifetto

La geometria euclidea è un caso La geometria euclidea è un caso limite di quella iperbolica!limite di quella iperbolica!

Bernhard RiemannBernhard Riemann (1826 - 1866)(1826 - 1866)

Nel 1854 tesi per libera Nel 1854 tesi per libera docenza a Gottingen: docenza a Gottingen: ““Sulle ipotesi che stanno Sulle ipotesi che stanno alla base della geometriaalla base della geometria””

Lobacevskij e Bolyai negano Lobacevskij e Bolyai negano l’unicitàl’unicità della parallela ...della parallela ...

Riemann ne nega Riemann ne nega l’esistenza.l’esistenza.

P

rr

La parallela ad r La parallela ad r non esistenon esiste

Una conseguenza della Una conseguenza della geometria di Riemanngeometria di Riemann

Detta anche Detta anche Geometria ellitticaGeometria ellittica

la somma degli angoli interni di un la somma degli angoli interni di un triangolo è triangolo è maggioremaggiore di due angoli retti di due angoli retti

L’eccesso tende a zero per triangoli di L’eccesso tende a zero per triangoli di dimensioni sempre minori ...dimensioni sempre minori ...

aa

gg

bb

a + b a + b ++ g g = 2 retti + e = 2 retti + e

ee si dice si dice eccessoeccesso

La geometria euclidea è un caso La geometria euclidea è un caso limite anche di quella ellittica!limite anche di quella ellittica!

Sorgono spontanee Sorgono spontanee delle domandedelle domande

Dato che esistono tre geometrie Dato che esistono tre geometrie (iperbolica, ellittica ed euclidea) ...(iperbolica, ellittica ed euclidea) ...

qual è la geometria qual è la geometria veravera??

si può rispondere a questa domanda?si può rispondere a questa domanda?

ha senso la prima domanda?ha senso la prima domanda?

Modelli di geometrieModelli di geometrie

Tutti noi abbiamo un chiaro modello Tutti noi abbiamo un chiaro modello dell’ambiente in cui si realizza la dell’ambiente in cui si realizza la

geometria euclidea ...geometria euclidea ...

un foglio di carta

Modelli di geometria iperbolicaModelli di geometria iperbolica

Un esempio di modello di Un esempio di modello di geometria iperbolicageometria iperbolica

Superfici a Superfici a curvatura curvatura negativanegativa

PseudosferaPseudosfera

Eugenio Beltrami Eugenio Beltrami (1835 - 1900)(1835 - 1900)

Matematico italiano, nel Matematico italiano, nel 1868 propose il modello di 1868 propose il modello di geometria iperbolica geometria iperbolica basato sulla basato sulla pseudosferapseudosfera..

Felix KleinFelix Klein (1849 - 1925)(1849 - 1925)

Matematico tedesco, Matematico tedesco, propose un altro modello propose un altro modello di geometria iperbolicadi geometria iperbolica

Il modello di Klein per la Il modello di Klein per la geometria iperbolicageometria iperbolica

L’L’ambienteambiente è un è un cerchio C privato cerchio C privato della circonferenza della circonferenza di contornodi contorno

CC

I I puntipunti sono quelli sono quelli interni a Cinterni a C

Le Le retterette sono le corde sono le corde (estremi esclusi)(estremi esclusi)

AA BB

PP

r

st

Rette parallele nel modello Rette parallele nel modello di Kleindi Klein

CC

PP

r

st

Data le Data le retta rretta r ed il ed il punto Ppunto P esterno esterno

Esistono Esistono infiniteinfinite paralleleparallele ad r per P ad r per P

Le rette Le rette ss e e tt sono sono ““di confinedi confine””

Distanza tra punti nel Distanza tra punti nel modello di Kleinmodello di Klein

CC

AA BB

r

Consideriamo i Consideriamo i punti punti AA, , BB su r su r

Qual è la loro Qual è la loro distanzadistanza??

La nozione usuale La nozione usuale non va bene.non va bene.

La distanza di Klein è un po’ La distanza di Klein è un po’ complicata...complicata...

CC

AA BB

rHH KK

BKBHAKAH

ln d(AB)

CC

AA

rHH

ma efficace per piccole distanze...ma efficace per piccole distanze...

BB KKBBBBBBBBBB

Se B Se B A A

1 BH

BK

AK

AH

0 BH

BK

AK

AHln

0 d(AB)

e grandi distanze!e grandi distanze!Se B Se B K K

CC

AA

rHH KKBB BB BB BBBBBB BB

0 BH

BK

AK

AH

BH

BK

AK

AHln

La retta ha La retta ha lunghezza infinita!lunghezza infinita!

Un modello di geometria ellittica: Un modello di geometria ellittica: la sferala sfera

Definiamo Definiamo puntopunto una coppia di punti una coppia di punti diametralmente oppostidiametralmente opposti

PP

PP

QQ

QQ

Le rette nella geometria sfericaLe rette nella geometria sferica

Definiamo Definiamo rettaretta ogni circonferenza ogni circonferenza massimamassima

Per Per due puntidue punti passa passa una sola rettauna sola retta

Relazioni tra punti e rette nella Relazioni tra punti e rette nella geometria sfericageometria sferica

PP

QQ

SegmentoSegmento PQ PQ

Relazioni tra rette nella Relazioni tra rette nella geometria sfericageometria sferica

Due retteDue rette si incontrano sempre si incontrano sempre in un puntoin un punto

Non esistono rette paralleleNon esistono rette parallele

rr ss

Nella geometria sferica Nella geometria sferica non valenon vale il il 5° postulato5° postulato

QQ

QQ

Da Da un punto esternoun punto esterno ad ad una rettauna retta non si possono tracciare parallelenon si possono tracciare parallele

I triangoli nella geometria I triangoli nella geometria sfericasferica

aa bb

gg

a = b a = b = retto= retto

a + b a + b ++ g g > 2 retti > 2 retti

In conclusioneIn conclusione

Possiamo ora rispondere alla domanda Possiamo ora rispondere alla domanda

““Qual è la Qual è la veravera geometria? geometria?””

La risposta è nelle parole scritte nel 1887 dal La risposta è nelle parole scritte nel 1887 dal matematico e filosofo francese matematico e filosofo francese

Henri PoincaréHenri Poincaré

Henri PoincaréHenri Poincaré (1854 - 1912)(1854 - 1912)

““Il problema se sia vera l’una o Il problema se sia vera l’una o l’altra delle tre geometrie è l’altra delle tre geometrie è

senza sensosenza senso..

Altrettanto varrebbe Altrettanto varrebbe domandarsi se il sistema domandarsi se il sistema

metrico è vero e false le misure metrico è vero e false le misure antiche.antiche.

Una geometria non può essere Una geometria non può essere più vera di un’altra, può essere più vera di un’altra, può essere

soltanto soltanto più comodapiù comoda””