UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PISA, A.A. 2011/12

TFA - CLASSE DI CONCORSO A049

Corso di: Complementi di Fisica Generale

Introduzione alla cinematica.

Una proposta didattica per studenti dei licei

8 maggio 2013

Elaborato di: Francesco Marchi

Indice

1 Alcune riflessioni didattiche, ovvero guida all’uso di questa dispensa 31.1 Motivazione e obiettivi generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Alcune considerazioni generali sulla fisica e “i suoi strumenti matematici” . . . . . 31.2 Gli assunti teorici e metodologici di questo lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Alcune considerazioni specifiche sulla cinematica e il suo insegnamento . . . . . . . 51.2.2 La riflessione sui misconcetti in fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Il percorso didattico proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Obiettivi didattici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 Destinatari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Prerequisiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Cinematica, un’introduzione ai concetti fondamentali 92.1 Sulla definizione di velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 La velocita . . . ma quale? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 La velocita media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.3 Verso il concetto di velocita istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.4 La velocita istantanea come limite della velocita media . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 La descrizione delle posizioni: l’equazione oraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Descrivere il moto: un’introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Il “bagaglio” degli strumenti necessari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3 Alcuni approfondimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 L’accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.1 L’accelerazione istantanea e l’accelerazione media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 L’accelerazione . . . e poi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

A Problemi, esercizi ed altri materiali complementari 24A.1 Due esercizi sulla velocita media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

A.1.1 Il testo degli esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24A.1.2 Alcune riflessioni didattiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

A.2 Alcuni esempi di problemi sui grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26A.2.1 Discriminare tra pendenza e altezza in un grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26A.2.2 Interpretare cambiamenti nell’altezza e nella pendenza di un grafico . . . . . . . . 26

A.3 Il problema della descrizione del moto, nelle parole di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . 27A.3.1 Quiete, moto e loro significato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27A.3.2 Alcune riflessioni di carattere didattico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Riferimenti bibliografici 27

1

Prefazione

Questo lavoro viene proposto come elaborato per la verifica finale relativa al corso di Complementi diFisica Generale nell’ambito del TFA - Classe di concorso A049 - Universita di Pisa, A.A. 2011/12.Il documento e suddiviso in due capitoli principali:

1. Un primo capitolo, indirizzato idealmente ad insegnanti, che contiene una serie di riflessioni di-dattiche e metodologiche che illustrano le ragioni delle principali scelte fatte nell’organizzazione edesposizione della materia. Questo capitolo ha la funzione di guida alla vera e propria dispensa,indirizzata agli alunni.

2. Un secondo capitolo, da intendersi come dispensa indirizzata ad alunni di una classe terza LiceoScientifico. Tuttavia, calcando maggiormente l’accento su alcune questioni di carattere piu teorico,la dispensa puo essere utilizzata anche per studenti di una quinta liceo, come illustriamo nellasezione 1.3.2. Essendo questa parte destinata a studenti, anche il registro linguistico e stato pensatoin funzione di un loro maggiore coinvolgimento; tuttavia, soprattutto nelle note a pie di pagina,sono inserite alcune precisazioni rivolte soprattutto ai docenti. La dispensa si completa con diversimateriali online, accessibili tramite link presenti nel testo.

Indicazioni per tutti

Potete scrivermi all’indirizzo fra.marchi@yahoo.it:

• per segnalarmi errori ed imprecisioni;

• per condividere riflessioni o risposte ai problemi proposti nel testo;

• per inviarmi suggerimenti di qualsiasi tipo.

Indicazioni per gli studenti

Nel testo (capitolo 2), la teoria e gli esercizi sono intrecciati in modo assai stretto; in particolare, sonopresenti alcune domande che hanno la funzione di stimolare la tua riflessione. Prima di leggere la miarisposta, prova a darne una tu: la riflessione fatta ti aiutera a capire meglio il ragionamento ed i concettiche ti verranno proposti in seguito.

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Capitolo 1

Alcune riflessioni didattiche, ovveroguida all’uso di questa dispensa

1.1 Motivazione e obiettivi generali

1.1.1 Alcune considerazioni generali sulla fisica e “i suoi strumenti matema-tici”

Il lavoro di progettazione e sviluppo di queste dispense prende le mosse da alcune considerazioni sull’ap-prendimento della fisica da parte di alunni di scuola secondaria, considerazioni derivanti sia dall’esperienzapersonale di insegnamento, sia dall’analisi di alcuni testi di ricerca in didattica della fisica.Al di la degli obiettivi piu specifici riguardanti l’insegnamento/apprendimento della cinematica, che ver-ranno discussi piu avanti (1.3.1), i principali punti critici della pratica didattica che questo lavoro intendeaffrontare sono i seguenti:

• Scarsa comprensione da parte degli alunni della natura funzionale delle leggi fisiche, che sono vistecome semplici formule algebriche da manipolare per ottenere i risultati richiesti, senza comprenderea fondo la complessita della descrizione che esse sintetizzano.

• Piu in generale, la riduzione del bagaglio di strumenti (concettuali, matematici e - perche no -informatici) che uno studente dovrebbe possedere in relazione all’apprendimento della fisica, allasola gestione di semplici equazioni algebriche.

La discussione di questi problemi assai diffusi, e che evidentemente sono di ordine generale (si possonopresentare tanto nello studio della cinematica quanto nello studio di altri rami della fisica), verra af-frontato, nel presente lavoro, nell’ambito specifico della cinematica. Anzi, piu nello specifico, tratteremoquasi esclusivamente la cinematica unidimensionale1. La scelta e dovuta al fatto che solitamente questaparte della fisica e tra le prime ad essere trattate nei corsi tradizionali2: una volta che lo studente avraavuto modo di familiarizzare con la distinzione tra descrizione algebrica e descrizione tramite funzioni dileggi fisiche in questo ambito specifico, potra replicare questa distinzione anche negli argomenti di fisicache verranno affrontati successivamente nel corso dei suoi studi. Inoltre, il limitarsi quasi esclusivamen-te a moti unidimensionali discende dalla convinzione dell’opportunita di affrontare i problemi in modograduale, evitando di arricchire oltre il necessario il contesto o problema sotto analisi, con conseguentesovraccarico cognitivo (e confusione mentale!) da parte del discente.

1Cominceremo ad introdurre la descrizione dei moti in piu dimensioni nella sezione 2.2.2Non entriamo qui nel merito se la cinematica classica sia da considerarsi una parte della fisica o piuttosto un’applicazione

della geometria dello spazio euclideo.

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Libri di testo e prassi didattiche tradizionali: il contesto italiano

Una caratteristica comune a molti testi di fisica destinati alla scuola secondaria italiana e quella dicercare spesso di presentare gli argomenti principali “a piu livelli” e nello stesso momento. Per chiarirecosa intendo mi riferiro, a titolo di esempio, al concetto di velocita.Nell’ambito della cinematica classica, solitamente3, dopo una descrizione generale dei problemi riguardantila descrizione del moto di un punto materiale (su tutti quello della scelta di un sistema di riferimento),viene innanzitutto data una definizione di velocita media, cosa che richiede in sostanza - come strumentimatematici - soltanto dei concetti algebrici. Successivamente si accenna, timidamente, ad un qualcheprocedimento di passaggio al limite per poter definire il concetto di velocita istantanea: e chiaro che laseconda definizione e, in un certo senso, una generalizzazione della prima e che tale definizione si puoporre su un piano piu alto.E’ proprio nel merito di questo passaggio al limite nella definizione di velocita istantanea - che rappresentaun passaggio tutt’altro che banale dal punto di vista cognitivo - che entreremo nella sezione 2.1.Cosı per come viene spesso introdotto, il procedimento di passaggio al limite rischia di rimanere piuttostooscuro: una sorta di formula vuota, sul cui significato fisico e matematico spesso ci si cura poco discavare4.Per poter comprendere veramente cosa si intende con la definizione di velocita istantanea e necessarioaver ben chiaro il concetto di funzione, intesa come relazione in cui una variabile dipendente e legataunivocamente ad una variabile indipendente: la posizione di un corpo, salvo il caso banale in cui talecorpo e fermo rispetto ad un riferimento considerato, non e rappresentabile tramite una lettera s che staa simboleggiare una quantita algebrica invariabile. Sara necessario esplicitare il fatto che la posizione euna funzione del tempo. Si pensi in tal senso la differenza che passa, da un punto di vista concettuale ecognitivo, fra due scritture come le seguenti:

s =1

2at2 + v0t+ s0 (1.1)

s(t) =1

2at2 + v0t+ s0 (1.2)

Studenti che sono abituati ad una scrittura del primo tipo, saranno piu facilmente indotti ad utilizzarela 1.1 per determinare l’unica quantita incognita che di solito arrivano ad isolare nella soluzione deipiu semplici esercizi proposti nei libri di testo e nelle verifiche. Ma, se verra chiesto loro di fornire ladescrizione verbale o grafica di un moto di cui sono note coppie di valori (s, t) rappresentate in una tabella(e che potrebbero essere l’esito di un esperimento da loro stessi fatto in laboratorio), avranno molto piuprobabilmente difficolta rispetto ad alunni ai quali la relazione fra posizione e tempo, nella sua natura piupropriamente funzionale, sia stata esplicitata adeguatamente, anche in dettagli apparentemente secondaridella simbologia, come quello appena evidenziato5.Ad ogni modo, anche studenti che non dispongono dell’armamentario del calcolo (derivate, integrali . . . ),come ad esempio ragazzi di una terza liceo, potranno comunque comprendere il fatto che la posizione e

3Vedi ad esempio [1].4Nel testo citato poco piu sopra ([1]), subito dopo la definizione di velocita media si dice che:

La velocita istantanea v e il valore a cui tende il rapporto ∆s/∆t quando ∆t diventa infinitamente piccolo,ed e approssimativamente uguale alla velocita media v calcolata in un intervallo ∆t sufficientemente piccolocontenente quell’istante. In simboli si scrive:

v = lim∆t→0

∆s

∆t

Definizione corretta, ma probabilmente di difficile comprensione per studenti che non abbiano avuto una pur elementareintroduzione al calcolo infinitesimale.

5Problemi di questo tipo (rappresentazioni verbali, grafiche, tabulari . . . ) compaiono, ed hanno spazio sempre maggiore,nei libri di testo. Tuttavia, i risultati degli alunni italiani nelle rilevazioni internazionali (ad esempio la famosa OCSE-PISAo le indagini TIMSS), dimostrano difficolta diffuse proprio in problemi come quello appena accennato, in cui e richiesta lacapacita di passare fra diverse rappresentazioni di uno stesso concetto.

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una funzione del tempo: il fondamentale concetto di funzione e sicuramente stato introdotto nel primobiennio della scuola secondaria di secondo grado; e troppo spesso e caduto nel dimenticatoio, per lasciarpiuttosto spazio a una gran quantita di manipolazioni di espressioni algebriche assai complicate e lacui centralita nella comprensione della matematica e stata rivista anche dalle piu recenti riforme deiprogrammi scolastici6.La fisica, ed in particolare lo studio della cinematica, ci offre un’ottima l’occasione per rispolverare ilconcetto di funzione e vederlo nei suoi utilizzi piu concreti.

Il mondo anglosassone: fisica algebra based vs calculus based

Le riflessioni proposte sopra riguardano, piuttosto specificamente il contesto italiano. In molti paesianglosassoni, infatti, l’insegnamento della fisica di base e solitamente strutturato su tre livelli, ben distintifra loro. Con evidente significato delle espressioni, si parla infatti di corsi:

• Concept based

• Algebra based

• Calculus based

Questa distinzione ha la funzione di separare in modo chiaro la fisica dagli strumenti concettuali (ematematici) utilizzati per fare la fisica. E’ possibile - ed e cio che succede in molti paesi esteri - fare lafisica (almeno quella di base) anche senza utilizzare la matematica. E’ anche vero pero, riportando unacitazione attribuita a Whitehead7, che:

Tutta la scienza, mentre tende alla perfezione, diventa matematica nelle sue idee.

In ogni caso, la distinzione suddetta tra la fisica e i vari strumenti che usiamo per renderne sempre piuquantitative e precise le idee e le previsioni, puo essere utile in chiave didattica. Certamente, puo essereun modo per evitare di ridurre la fisica a quella sorta di matematica semplificata, in cui compaiono soloequazioni di primo grado, che si trova in ampi spazi di molti libri di testo in adozione delle scuole. Nonci soffermiamo ulteriormente su questo punto, rimandando il lettore interessato ad un approfondimentoproposto nell’appendice A.1.

1.2 Gli assunti teorici e metodologici di questo lavoro

1.2.1 Alcune considerazioni specifiche sulla cinematica e il suo insegnamento

Nell’insegnamento tradizionale della cinematica, il punto di partenza e la descrizione dei moti piu sem-plici, tramite l’individuazione di un sistema di riferimento e l’utilizzo di una legge oraria. Certamente sitratta di un approccio che ha il pregio della chiarezza e della possibilita di ordinare in modo deduttivo leprincipali equazioni e leggi; quasi certamente e l’approccio preferibile con studenti che abbiano gia avutoun primo incontro con i concetti e le leggi piu elementari relative alla descrizione dei moti.In questo lavoro, ci vogliamo occupare invece di studenti che incontrano per la prima volta (o quasi) ilproblema della descrizione del moto; e lo faremo esplorando qualche via leggermente alternativa agli ap-procci tradizionali. Proporremo infatti di introdurre, per primo, il concetto di velocita, in modo gradualee informale; tale concetto, infatti, e quello che piu spesso viene mal interpretato dagli studenti. La ragionedi questa scelta risiede nel fatto che, come e ampiamente documentato in letteratura, l’introduzione dellecorrette definizioni di grandezze fisiche e delle leggi che le mettono in relazione tra loro non e sufficientea scardinare le idee che gli studenti - che sono tutt’altro che vasi vuoti da riempire di conoscenze! - sicostruiscono sulla base della propria esperienza del mondo fisico e dell’interpretazione che essi danno dei

6Si vedano, a tal proposito, le Indicazioni Nazionali per i Licei.7Questa citazione, pur senza fonte, e stata ripresa da http://it.wikiquote.org/wiki/Discussione:Alfred_North_

Whitehead.

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contenuti dell’istruzione formale ricevuta nei primi anni di scolarita. Proprio alla luce di questo, la nostraproposta didattica vuole essere una sorta di lavoro propedeutico in chiave didattica8 - e non alternativo- all’introduzione delle “vere definizioni formali” delle grandezze cinematiche fondamentali.

1.2.2 La riflessione sui misconcetti in fisica

Da molti decenni la ricerca in didattica della fisica si occupa dello studio dei misconcetti degli studenti9

e la letteratura su tale argomento e decisamente vasta; una bibliografica relativa all’argomento, insiemead un’analisi critica del termine e degli approcci didattici che ne conseguono, si trova ad esempio in [2].Qua ci concentreremo su un importante articolo in cui Lilian McDermott e il suo gruppo di ricerca sioccupano specificamente dei misconcetti relativi alla cinematica ([3]); anzi, piu nello specifico, nell’articolosi analizzano le difficolta degli studenti nel mettere in relazioni fatti cinematici con loro rappresentazionigrafiche.La convinzione espressa dagli autori dell’articolo, e da me pienamente condivisa, e che la familiarita neltracciare grafici sia di fondamentale importanza per sviluppare una comprensione piu completa di moltiargomenti e problemi della fisica; mentre spesso, anche studenti che hanno affrontato per anni lo studiodi questa disciplina mostrano difficolta in questo senso10.In particolare le difficolta analizzate vengono classificate secondo la seguente tassonomia:

• Connettere le rappresentazioni grafiche ai concetti fisici

– Discriminare tra pendenza e altezza in un grafico

– Interpretare i cambiamenti nell’altezza e nella pendenza

– Mettere in relazione un tipo di grafico con un altro

– Mettere in relazione l’informazione verbale con gli aspetti rilevanti di un grafico

– Interpretare l’area sotto un grafico

• Connettere rappresentazioni grafiche al mondo reale

– Rappresentare un movimento continuo tramite una linea continua

– Separare la forma di un grafico dal percorso del moto

– Rappresentare una velocita negativa in un grafico velocita - tempo

– Rappresentare un’accelerazione costante in un grafico accelerazione - tempo

– Distinguere tra diversi tipi di grafici del moto (a-t, v-t, s-t)

Nell’articolo vengono proposti anche una serie di problemi ideati per superare queste difficolta; nell’ap-pendice A.2 ne riportiamo alcuni a titolo esemplificativo. Tali problemi sono stati successivamente testatisu un vasto campione di studenti, dimostrandosi efficaci nel superamento delle difficolta a cui la riflessionedi McDermott e colleghi era indirizzata; si conclude poi, notando che “there are also other importantaspects of graphing not treated in our investigation that are known to be difficult for students, e.g., therelation between algebraic relations and graphs”.Nella nostra proposta, vogliamo proprio riprendere quest’ultimo punto, tracciando una sorta di percorsointroduttivo alla cinematica, enfatizzando maggiormente aspetti algebrico-analitici; tale proposta puocomunque essere utilmente completata con problemi tratti proprio dall’articolo citato, oltre che da quellipiu stimolanti trattati nei libri di testo in adozione nelle scuole.

8Anche se, ovviamente, non necessario nella logica deduttiva di chi gia conosce la materia.9O misconcezioni ; sono queste le due classiche traduzioni che troviamo nella letteratura italiana per l’inglese miscon-

ceptions, termine che sta ad indicare l’insieme di conoscenze erronee o non congrue con il sapere scientifico validato, chespesso sono presenti, per varie ragioni, nel bagaglio di conoscenze posseduto dagli studenti.

10Nell’articolo si dice che “similar difficulties have been identified even among students in the honors section of a calculus-based university physics course.”.

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1.3 Il percorso didattico proposto

1.3.1 Obiettivi didattici

L’approccio seguito nella proposta didattica prevede una forte interazione, soprattutto nella prima parte,tra il docente e la classe: negli appunti, sono inserite frequenti domande agli alunni che richiedonol’attivazione da parte loro di ragionamenti o il richiamo a conoscenze che dovrebbero derivare loro daglistudi precedenti. In ogni caso, potra essere opportuno, in relazione alla risposta fornita dalla classe, cheil docente decida di riprendere alcuni concetti o metodi che lo studente dovrebbe gia conoscere.Questa riflessione per anticipare che alcune delle voci che figurano fra gli obiettivi proposti qui di seguitopossono comparire anche fra i prerequisiti proposti piu avanti; come detto, e lasciata all’autonomia e allevalutazioni del docente, la decisione riguardo possibili ripassi o approfondimenti.

• Obiettivi didattici generali

– Saper utilizzare le funzionalita piu elementari di un foglio di calcolo

– Saper illustrare la relazione fra una tabella di dati e la sua rappresentazione cartesiana in unfoglio di lavoro GeoGebra

• Obiettivi disciplinari generali

– Familiarizzare con il processo di costruzione di una definizione fisica, tramite successivi raffi-namenti “dell’esperienza comune”

– Saper dare, di uno stesso fenomeno o sistema, descrizioni che utilizzano diversi linguaggi(grafici, analitici . . . )

• Obiettivi disciplinari specifici

– Conoscere le definizioni di equazione oraria, velocita media e velocita istantanea, accelerazionemedia e accelerazione istantanea

– Saper passare fra le seguenti descrizioni di un moto unidimensionale: descrizione verbale,descrizioni nei piani a-t, v-t, s-t; descrizione tramite una serie di dati raccolti in tabelle (a-t,v-t, s-t); descrizione tramite equazioni orarie

– Saper illustrare la relazione tra area sottesa da una linea nel piano v-t e lo spazio percorso nelmoto descritto da tale linea

– Saper calcolare velocita medie o accelerazioni medie applicando le definizioni di cui sopra

– Saper definire la traiettoria di un corpo e la legge oraria che ne descrive il moto

– Saper definire un sistema di coordinate curvilinee

– Data una situazione fisica semplice, saper proporre possibili sistemi di coordinate atti adescrivere la posizione di un punto materiale

– Saper individuare, almeno in casi semplici, possibili sistemi di coordinate atte a descriveremoti unidimensionali o bidimensionali

1.3.2 Destinatari

• Il destinatario ideale di questi appunti sono studenti di una classe terza Liceo Scientifico opzioneScienze Applicate. La ragione di una scelta cosı specifica e che questi studenti hanno gia avutomodo, al biennio, di familiarizzare con le basi della fisica: soprattutto con alcuni procedimentie accorgimenti sperimentali; ma anche con i concetti piu semplici e i piu elementari strumentidi lavoro della fisica (rappresentazioni tabulari, rappresentazioni cartesiane, formule . . . ). Perquesti alunni, si tratterebbe di “un nuovo incontro” con concetti come velocita, accelerazione; e diquesto terremo conto nello sviluppo del lavoro, calcando l’accento soprattutto sugli elementi piu

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originali. Sicuramente e possibile arricchire i concetti che gia possiedono, ritornando su di essi conun approccio “a spirale”, come suggerito dalle Indicazioni Nazionali, nonche da gran parte dellaletteratura in didattica.

• Quanto appena detto non esclude che gli appunti possano essere usati anche in una classe che affrontaper la prima volta lo studio della cinematica, ad esempio una terza liceo ordinario: tipicamente,studenti di questa eta possiedono strumenti cognitivi adatti ad un’adeguata comprensione degliargomenti proposti.

• Studenti che cominciano ad affrontare il calcolo differenziale. Solitamente si tratta di studenti diun quarto/quinto anno di Liceo Scientifico. La trattazione proposta in queste lezioni tocca, seppurtangenzialmente, concetti come quello di rapporto incrementale o di derivata. A tal proposito,le riflessioni qui proposte, potrebbero esser viste - come (purtroppo) spesso accade - come appli-cazioni del calcolo differenziale. Meglio, invece, sarebbe presentarle come introduzione al calcolodifferenziale; cosa che, peraltro, sarebbe piu fedele allo sviluppo storico delle idee matematiche efisiche introdotte allo scopo di risolvere problemi concreti (dalla determinazione delle tangenti aduna curva, alla soluzione delle equazioni del moto di Newton).

1.3.3 Prerequisiti

• Conoscere

– Le principali unita di misura di lunghezze, tempi, velocita, accelerazioni

– Il concetto di punto materiale

• Saper fare

– Saper effettuare conversioni fra diverse unita di misura relative a tempi (ore, minuti . . . ) elunghezze; e, di conseguenza, su grandezze da esse derivate

– Avere un’idea (magari una misconcezione, utile comunque come punto di partenza) di comesi possa calcolare la velocita di un corpo, nota la sua posizione a due diversi istanti di tempo.

– Saper passare tra le seguenti rappresentazioni di una funzione: analitica, cartesiana, tabulare.Queste abilita, pur essendo oggetto di lavoro nel primo biennio, spesso faticano a tradursiin competenze applicabili “fuori dalla matematica”; per questo, nel nostro percorso, sarannocomunque riprese in una chiave piu applicativa.

– Avere familiarita con la struttura generale e le piu elementari funzioni di un comune foglio dicalcolo

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Capitolo 2

Cinematica, un’introduzione aiconcetti fondamentali

2.1 Sulla definizione di velocita

2.1.1 La velocita . . . ma quale?

Considera un treno che, partendo da Bologna alle ore 6:00, arriva a Rimini alle ore 7:33. La distanzaBologna-Rimini, misurata lungo la linea ferroviaria, vale 111 042 metri1.

Domanda 1. Quanto vale la velocita del treno? Prova a rispondere nel modo che ritieni piu opportune:con un numero, a parole, utilizzando una rappresentazione grafica . . .

Forse sarai riuscito “a tirar fuori un numero” per rispondere alla domanda; ma in realta tale domandae (volutamente) mal posta. Infatti il treno non avra una velocita unica nel tratto considerato: partira dafermo (v = 0), accelerera, raggiungera e manterra (piu o meno) una certa velocita di crociera, rallenterafino a fermarsi nella prima stazione; poi ripartira e, in modo simile, variera la sua velocita, fino a fermarsinella stazione successiva. E cosı via, fino all’arrivo a Rimini.

Domanda 2. Se non l’hai gia fatto per rispondere alla domanda precedente, prova a dare una rappre-sentazione grafica della velocita del treno nel tratto fra le prime due stazioni.

Se consideriamo ad esempio il tratto compreso fra le prime due stazioni, possiamo rappresentare lavelocita del treno con il grafico proposto in figura 2.2(a). Bada bene: non si tratta del grafico esatto dellavelocita del treno (che sara “assai piu variabile”), ma e comunque un grafico in prima approssimazioneplausibile. Sicuramente tale grafico rispecchia bene la descrizione del moto che abbiamo fatto a parolequalche riga sopra.Proviamo adesso ad essere un po’ piu precisi e a rendere piu realistico il grafico che descrive il moto deltreno. Considerando che il treno non parte ne si ferma bruscamente, ma lo fa in modo - per cosı dire -dolce, l’andamento proposto in rosso nella figura 2.2(b) dovrebbe sembrarti piu realistico di quello cheabbiamo lasciato in nero sullo stesso grafico2.

1Questi dati non sono inventati: sono facilmente ricavati dalla figura 2.1, riportata piu avanti.2Non si tratta di una dimostrazione che il grafico deve essere quello, ma soltanto di una idea piu o meno intuitiva per il

momento. In ogni caso, quando studierai i grafici accelerazione-tempo o quando, in corsi di matematica, avrai approfonditoil concetto di derivata, questo fatto dovrebbe risultati ancora piu chiaro e assumera le caratteristiche di una vera e propriaspiegazione matematica.

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Domanda 3. Perche l’andamento in rosso dovrebbe essere piu realistico di quello in nero? Facen-do riferimento alle tue competenze di lettura di un grafico cartesiano, e tenendo presenti le grandezzerappresentate sugli assi, prova a spiegarlo nel modo piu chiaro possibile.

D’ora in avanti, per far prima nelle spiegazioni, parleremo di “treno nero” e “treno rosso”.

Domanda 4. Se adesso ti chiedessi: fra i due grafici (quello in rosso e quello in nero), quale si riferiscead un treno che va piu veloce?

Se hai ben capito il concetto di rappresentazione cartesiana nel piano v-t (e “il nome ufficiale” diquello che stiamo facendo), ti dovrebbe essere chiaro che il grafico in nero si riferisce ad un treno che vapiu veloce. Infatti, mentre nella “parte centrale” del tragitto, i due treni viaggiano alla stessa velocita,nell’allontanarsi dalla prima stazione e nell’avvicinarsi alla stazione di fermata il treno in nero va piuvelocemente di quello in rosso (il grafico della sua velocita “sta sopra”, punto per punto, quello del trenorosso).A questo punto possiamo fare una considerazione sottile, ma importante: se il treno nero va piu veloce ecopre il tratto in considerazione nel tempo di 5 minuti, non potra fare lo stesso il treno rosso che, comeabbiamo appena detto, e piu lento3. Il secondo avra bisogno di piu tempo per coprire lo stesso spazio.Percio, un grafico piu realistico e corretto sara quello proposto in verde nella figura 2.2(c): come vedi,in tale grafico, la forma della curva che descrive l’andamento della velocita e realistica (perche e simile aquella del treno rosso, di cui abbiamo parlato prima); tuttavia il “treno verde” impiega piu tempo perarrivare alla stessa destinazione (ovvero coprire la stessa distanza) del treno nero.Confrontando, qualitativamente, le aree sotto i grafici (nero, rosso, verde) in figura 2.2(c), dovresti esserein grado di notare che, approssimativamente, vale questa relazione:

area(rosso) < area(nero) = area(verde) (2.1)

Dopo tutte queste riflessioni, dovrebbe esserti plausibile4 questa importante “regola”:

Teorema 1. Lo spazio percorso, in un grafico velocita-tempo, e misurato dall’area sotto il grafico, comesintetizzato nella seguente equazione:

∆s = area (2.2)

E’ il caso di fare qualche precisazione riguardo all’equazione appena scritta.Innanzitutto: ∆s indica la differenza fra posizione finale e iniziale, cioe lo spazio percorso. Bisogna stareattenti ai segni (positivi o negativi) e puntualizzare alcune cose riguardo ai concetti di spazio e posizione:mentre l’area e sempre positiva, uno spazio percorso puo anche avere segno negativo, se tale spazio epercorso in verso opposto rispetto a quello che - convenzionalmente - abbiamo fissato come positivo lungola direzione del movimento. Ma su questo torneremo ampiamente piu avanti (2.2).Come seconda osservazione, precisiamo che lo spazio percorso e numericamente uguale all’area, ma dob-biamo stare attenti al carattere dimensionale della formula e alle unita di misura; l’area, in questo caso,non ha le usuali dimensioni (di una lunghezza al quadrato), ma “prende le dimensioni fisiche” in conse-guenza delle dimensioni delle grandezze che sono rappresentate sugli assi cartesiani. Chiariamo questopunto con un esempio.Considera un moto che si svolge, a velocita costante di 6 m/s nell’intervallo di tempo fra 2 e 10 secondi(ci disinteressiamo di cio che accade prima dei 2 secondi e dopo i 10 secondi) e rappresenta tale moto inun diagramma velocita-tempo. Basandoti su tale grafico, dovrebbe esserti chiaro che lo spazio percorsodal corpo in questione sara:

∆s = area = base× altezza = (10 s− 2 s) × 6m

s= 8 s× 6

m

s= 48m

3Per essere piu precisi: la sua velocita, a seconda dei tratti, e sempre o uguale o minore di quella del treno nero.4Anche in questo caso non abbiamo certamente la pretesa di aver dimostrato questo fatto; l’equazione 2.1 e piuttosto da

intendersi come un risultato utile ad introdurre concetti che useremo anche nel seguito e funzionale a favorire una letturadei fenomeni da diversi punti di vista. La dimostrazione, in ogni caso, potrebbe essere proposta ad alunni di una classequinta, in parallelo con lo studio del calcolo integrale.

10

In questo caso abbiamo ottenuto, per lo spazio percorso, un risultato espresso in metri. Misurando itempi in secondi e le velocita in m/s, se anche il grafico v-t fosse stato piu complicato di un segmentoparallelo all’asse delle ascisse (come nel caso appena visto), lo spazio percorso calcolato tramite la 2.2sarebbe stato ancora in metri. Al contrario, misurando ad esempio i tempi in ore e le velocita in km/h,la 2.2 avrebbe dato lo spazio percorso dal corpo espresso in chilometri.

2.1.2 La velocita media

Adesso guarda attentamente i dati proposti nella figura 2.1; in particolare concentrati sul primo trattopercorso dal treno, quello da Bologna a S. Lazzaro di Savena. Come puoi vedere, lo spazio percorso e paria 4,008 km ed il tempo impiegato per percorrerlo vale 5 minuti. Avendo a disposizione soltanto questedue informazioni, non e possibile sapere i dettagli della velocita in tutto il tratto fra le due citta.In altre parole, il treno, per partire da Bologna alle 6:00 ed arrivare alle 6:05 a San Lazzaro, potrebbe:

• Partire molto lentamente e proseguire lentamente per qualche minuto; poi accelerare bruscamentee muoversi velocemente, fino a frenare bruscamente all’ingresso in stazione.

• Muoversi sempre ad una velocita quasi costante (fatta eccezione, ovviamente, per la partenza el’arrivo in stazione).

• Fare altri tipi di moto.

Notiamo per inciso che la seconda possibilita e sicuramente preferibile da un punto di vista pratico, perchecrea meno disagi ai passeggeri, oltre a ridurre rischi meccanici e di incidenti.Torniamo adesso al nostro problema: in base alla considerazione appena fatta, diremo che, conoscendola distanza percorsa in un dato tempo, non possiamo sapere come questa distanza viene percorsa. Hoprovato ad illustrare questo fatto generale nel grafico 2.3: poiche lo spazio percorso e rappresentatodall’area sotto il grafico (equazione 2.2), i due grafici in figura mi consentiranno entrambi di arrivare inorario, visto che le aree sottese dai grafici sono le stesse5.

In altre parole, l’unica cosa che possiamo fare con lo spazio percorso e il tempo impiegato per percor-rerlo, e definire la velocita media, nella seguente maniera:

Definizione 1. Consideriamo un corpo che percorre una distanza ∆s in un intervallo di tempo ∆t.La velocita media del corpo e quella velocita che, se mantenuta costante per il tempo ∆t, consente dicoprire la distanza ∆s.

Tale velocita puo essere calcolata (se conosciamo ∆s e ∆t) tramite la seguente formula:

vm =∆s

∆t(2.3)

Che percio possiamo leggere cosı: un corpo che percorre uno spazio ∆s in un intervallo di tempo ∆t hauna velocita media vm = ∆s

∆t .Come gia detto, la semplice conoscenza della velocita media non fornisce informazioni sul dettaglio dicio che accade negli intervalli di tempo intermedi: ad esempio, i due grafici rappresentati in figura 2.3, siriferiscono a moti diversi, ma che hanno la stessa velocita media.

Una precisazione sui concetti di spazio e tempo

Voglio qui farti riflettere su una definizione o formula che forse puoi trovare su qualche fonte (libri, web. . . ) “non tanto precisa”, e che magari sei irrefrenabilmente tentato di imparare a memoria. Mi riferiscoalla seguente espressione: la velocita e uguale allo spazio fratto il tempo. Tale definizione non ha sensoda un punto di vista fisico perche fa riferimento ad enti per cosı dire filosofici (lo spazio e il tempo);acquista significato fisico quando ci riferiamo ad un corpo specifico e a quello che quel corpo fa: percorre

5Questo e molto semplice da vedere: i due triangoli hanno stessa base e stessa altezza.

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un dato spazio, misurabile ad esempio con un metro, in un certo intervallo di tempo, misurabile conun cronometro6. Come vedi, abbiamo cominciato a parlare di misura: in fisica, per introdurre in modosensato una qualsiasi grandezza, e necessario specificare come la si puo misurare!Per precisare ancora meglio: un corpo, in dati istanti di tempo, misurati a partire da un’origine deltempo (segnata ad esempio da un evento, come l’avvio di un cronometro), si trovera in certe posizionidello spazio, misurate a partire da un’origine fissata (stiamo per semplicita pensando ancora a motiunidimensionali). Al passare del tempo, se il corpo si muove, si trovera in posizioni diverse; in altreparole, agli intervalli di tempo saranno associate delle variazioni di posizione, ossia degli intervalli dispazio, cioe degli spazi percorsi. La velocita misura proprio il rapporto tra intervalli di spazio e intervallidi tempo, che da un’idea di quanto rapidamente la posizione del corpo stia cambiando.Questa precisazione e importante da un punto di vista di principio e di metodo, perche segna unadifferenza profonda fra cio di cui si occupa la fisica e cio di cui si occupa la filosofia. Inoltre, puo essereutile per evitare errori assai frequenti in problemi ed esercizi, spesso dovuti all’utilizzo della “definizionesemplificata”, ma scorretta, di velocita media.

2.1.3 Verso il concetto di velocita istantanea

In questa sezione analizzeremo piu nel dettaglio i dati relativi al percorso del treno fra Bologna e Rimini,di cui abbiamo gia parlato nella sezione precedente. Ho trascritto tali dati in un foglio di calcolo, intitolatoIntroduzione al concetto di velocita istantanea, che puoi consultare sul web ([4]).I dati sono organizzati, sostanzialmente, in due grandi aree:

• Dati grezzi

• Dati elaborati

Mentre prosegui nella lettura delle prossime sezioni, controlla, passo passo, il foglio di calcolo per capiremeglio le varie operazioni che ho fatto: in particolare puoi controllare i dati e le formule inserite nellevarie celle.

Dati grezzi

In questa parte mi sono limitato a trascrivere i dati proposti nella figura 2.1. Direi che non c’e niente diparticolare da aggiungere.

Dati elaborati

In quest’altra sezione, invece, ho calcolato la velocita media del treno, usando l’equazione 2.3.Ho fatto questo calcolo, pero, “in diversi modi”.

1. Parte in giallo. Come prima cosa, ho calcolato la velocita media relativa all’intero tratto Bologna-Rimini (parte in giallo) dividendo lo spazio percorso (111 042 metri) per il tempo impiegato apercorrerlo (93 minuti); ho ottenuto cosı una velocita espressa in metri al minuto, che non e un’unitadi misura “molto comoda”7. Percio, ho effettuato la conversione in chilometri all’ora, ottenendo ilrisultato di 71.64 km/h (colonna G): un valore sicuramente plausibile8!

2. Osservazione 1: a questo punto, potremmo associare al moto del treno la velocita di 71.64 km/hper tutto il tratto Bologna-Rimini. Chiaramente si tratta di una descrizione molto approssimativa:il treno, oltre ad essere piu lento di tale velocita in prossimita delle stazioni - e piu veloce nei tratti

6Il cronometro, infatti, misura intervalli di tempo e non il tempo, in generale. In termini semplici: per misurare unintervallo di tempo servono due istanti di tempo (iniziale e finale) e occorre fare la differenza tra essi.

7Puoi controllare che il numero ottenuto e il risultato dell’applicazione della formula 2.3 andando a guardare la formulainserita come contenuto della cella F4.

8Ho scelto di lavorare con i minuti perche mi sembravano l’unita di misura piu pratica: ricorda di fare molta attenzionecon le misure dei tempi, che seguono una scala sessagesimale e non centesimale, quando si lavora con i minuti e le ore!

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distanti da esse - avra, probabilmente, anche diverse velocita di crociera nei vari tratti intermedi(Bologna - San Lazzaro; San Lazzaro - Ozzano; e cosı via). Per rendere meglio l’idea del fattoche la velocita e diversa nei singoli tratti, dividiamo l’intero percorso Bologna - Rimini in due“sotto-tratti” piu o meno uguali fra loro: Bologna - Forlı e Forlı - Rimini.

3. Parte in verde. Adesso calcoleremo due velocita medie (sempre con la stessa formula, applicatasu due tratti diversi): una da associare al tratto Bologna - Forlı e l’altra al tratto Forlı - Rimini.Come esercizio, puoi provare a pensare da solo quali sono le formule che da inserire nelle celle cherestituiscono come risultato le velocita medie e poi controllare le formule che ho effettivamenteinserito. Adesso notiamo che il treno si muove piu velocemente nella prima parte del percorso(velocita media 79.31 km/h), piuttosto che nella seconda (velocita media 66.10 km/h).

4. Parte in rosso. Adesso, come puoi immaginare, possiamo ulteriormente raffinare la nostra analisi,suddividendo ancora i tratti di percorso considerati in precedenza. Otteniamo cosı quattro velocitamedie, da associare ciascuna alla sua parte di percorso9.

5. Osservazione 2: e chiaro che potremmo andare ancora avanti, considerando ulteriori suddivisioni.E ancora, se fossimo in grado di misurare spazi e tempi anche esternamente alle stazioni (ad esempiocon dei cronometristi posti lungo la linea ferroviaria), le suddivisioni potrebbero essere ancora piunumerose. Possiamo notare che, man mano che aumentiamo il numero di suddivisioni, abbiamouna descrizione piu dettagliata del moto; ma al prezzo di un maggior numero di dati da gestire(prima uno solo, poi due, poi quattro valori per la velocita media).

Rappresentazione grafica dei dati

A questo punto, per chiarirci ancora meglio le idee, possiamo passare dai numeri ai grafici. Utilizzeremoil software GeoGebra: un po’ perche si presta meglio da un punto di vista tecnico a quello che vogliamofare; un po’ per familiarizzare con un altro strumento software e allargare le nostre competenze.Ho rappresentato i dati del foglio di calcolo che abbiamo appena visto in un file GeoGebra, che puoiconsultare online su GeoGebra Tube ([5]).Per comodita, ho riportato in figura 2.4 una riproduzione del grafico disponibile online.Come puoi vedere, possiamo sintetizzare le informazioni sulla velocita del treno a diversi livelli di ricchezzadi informazione: possiamo semplicemente dire che il treno ha viaggiato per i circa 90 minuti del percorsoad una velocita attorno ai 70 km/h (linea blu); oppure dare una descrizione piu accurata del moto,associando via via un numero maggiore di velocita medie al moto del treno (linee spezzate rossa e verde).Possiamo immaginare di ripetere l’operazione di suddivisione dell’intero percorso un numero altissimo divolte e, a patto che abbiamo dati disponibili relativamente ai vari tratti, tracciare un grafico che sarafatto di un numero molto alto di linee spezzate; sempre piu, allora, i “salti” tra due spezzate successivesaranno ridotti e la linea che descrivera l’andamento della velocita sara una linea continua e “liscia”10.

2.1.4 La velocita istantanea come limite della velocita media

La velocita come funzione

Riprendendo quanto detto a conclusione del paragrafo precedente, viene da pensare che, se consideriamointervalli di tempo sempre piu piccoli, possiamo avere una descrizione quasi esatta della velocita del

9Ad un occhio attento non sfuggira il fatto che le due velocita medie relative ai primi due dei quattro tratti analizzatisono entrambe maggiori di quella ottenuta, al passo precedente, associando un valore unico ad entrambi questi tratti; cosamatematicamente impossibile. Nel caso - presumiamo assai poco probabile - in cui qualche studente noti questo fatto, sarabene approfondire la questione, andando a ricontrollare il modo in cui sono state calcolate le velocita medie, prestandoparticolare attenzione a quello che accade nelle stazioni in cui c’e un tempo di sosta non trascurabile. Tuttavia, nonintendiamo insistere ulteriormente su questo punto che non ci pare compromettente rispetto all’intero sviluppo del discorso.

10Per adesso, non formalizziamo il concetto di linea liscia, analogo del termine inglese smooth. Con lo studio del calcolodifferenziale, tale termine equivale a richiedere una certa regolarita sulla funzione di cui stiamo parlando, in termini diderivate successive e loro continuita.

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treno. Avremo pero un numero sempre maggiore di velocita medie associate al moto; al limite, nel casodi intervalli di tempo infinitesimi, avremo infiniti valori delle velocita medie11. Si tratta di qualcosa diingestibile da un punto di vista dei calcoli.Possiamo pero supporre che la velocita sia descrivibile, istante per istante, tramite una funzione deltempo, come ad esempio la seguente:

v(t) = 0.4t2 − t+ 9.1 [m/s]

Una funzione, effettivamente, “condensa” un’infinita di informazioni in una singola espressione: dallaformula appena scritta, possiamo sapere il valore della velocita ad ogni istante di tempo che desideriamo:basta sostituire nella formula il valore di t in questione e svolgere i calcoli.

La velocita dome derivata

Abbiamo appena descritto la velocita come una funzione del tempo; ma che fine hanno fatto i ∆s e i ∆tdi cui abbiamo parlato in precedenza?Innanzitutto, guidati dai ragionamenti fatti fin qui, possiamo pensare che, se ha un senso parlare divelocita istantanea di un corpo, questa debba esser considerata come il limite della velocita media, seconsideriamo intervalli di tempo sempre piu piccoli. Definiamo percio la velocita istantanea tramite laseguente formula:

v(t) = lim∆t→0

∆s

∆t= lim

∆t→0

s(t+ ∆t) − s(t)

∆t(2.4)

In questa formula s(t) indica la posizione del corpo all’istante t; percio, s(t+∆t)−s(t) indichera lo spaziopercorso nell’intervallo di tempo ∆t. Con questa scrittura abbiamo introdotto la legge oraria del corpo,s(t): cosı come e possibile descrivere la velocita, ad ogni istante di tempo, tramite una funzione, cosı enaturale pensare che sia possibile farlo anche per la posizione del corpo.

Fisica vs matematica

Innanzitutto una precisazione: quella appena data nell’equazione 2.4 e una definizione matematica (nona caso, abbiamo cominciato a parlare di funzioni . . . ). Fisicamente, l’intervallo di tempo che andremo amisurare sara sempre finito: piccolo quanto vogliamo, ma finito. Anzi, possiamo dire che, piu sara piccolotale intervallo di tempo, piu sara corretto associare all’istante t un dato valore della velocita istantanea.L’abilita del fisico consiste nella capacita di progettare delle procedure ottimali per la misura di posizionie tempi, in modo da ottenere valori sempre piu precisi per la velocita, a seconda della situazione che vuolestudiare: tra la misura della velocita di un’automobile (tramite un autovelox o tramite un tachimetro) equella di una particella elementare all’interno di un rilevatore di un centro di ricerca e chiaro che i metodiper effettuare misure (di posizioni e tempi) saranno sicuramente diversi!In ogni caso, l’ipotesi che un moto reale, in tutta la sua complessita, sia descrivibile tramite una (semplice)funzione matematica e molto forte; in realta, alcune semplici funzioni saranno degli strumenti adeguatiper descrivere con una certa precisione dei modelli della realta in situazioni fisiche non troppo complesse.Ad esempio, la funzione:

s(t) = −4.9t2 + 5 [m]

andra bene per descrivere la posizione di un oggetto in caduta libera verso il suolo, lasciato partire, dafermo, da una quota di 5 metri12. Cosa significa andra bene? Se le previsioni che possiamo ottenere da

11Per chi non ha familiarita con i concetti di infinito e infinitesimo, che di solito vengono trattati in un corso di analisi,questi termini hanno, in questo momento, solo un significato intuitivo; tuttavia crediamo che, vista la trattazione fin quisvolta, il significato di tali termini, al di la della formalizzazione delle definizioni, dovrebbe risultare assai chiaro allo studente.

12E’ il caso di fare alcune precisazioni riguardo alla formula appena scritta.Innanzitutto, s misura la posizione rispetto ad un’origine che abbiamo fissato, arbitrariamente, all’altezza del suolo; abbiamoanche scelto una direzione di riferimento (quella perpendicolare alla superficie terrestre) ed un verso (dal basso verso l’alto).Questi elementi (origine, direzione, verso) saranno discussi meglio nella prossima sezione.Inoltre, la formula in questione e valida durante tutto il tempo di caduta dell’oggetto (si puo dimostrare che in questo

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quella formula, magari considerando le incertezze sperimentali sui numeri che in essa compaiono (la metadell’accelerazione gravitazionale e la quota di lancio iniziale), saranno compatibili con misure effettuate(considerate, anche in questo caso, le incertezze sperimentali), significa che il nostro modello andra beneper descrivere la realta al livello di precisione che ci siamo prefissi. Nella realta e presente anche l’attritodell’oggetto con l’aria e numerosi altri fattori che influenzano il moto e che non sono in alcun modotenuti in considerazione nella formula suddetta; ma se gli strumenti di misura di cui disponiamo nonsono in grado di rivelare discrepanze fra realta e previsione del nostro modello, potremo accontentarcidei risultati ottenuti (fintantoche non vorremo migliorare il modello o gli strumenti di misura usati, persaperne qualcosa di piu sulla caduta di un oggetto).

2.2 La descrizione delle posizioni: l’equazione oraria

Descrivere qualitativamente il moto di un corpo e un’operazione in molti casi piuttosto semplice. Sebbenele descrizioni qualitative non siano del tutto estranee alla scienza, possiamo ritenerci soddisfatti di cio chefacciamo - in fisica forse piu che in altre scienze sperimentali - quando traduciamo affermazioni qualitativein numeri e quantita. Ed e in questo passaggio che si nascondono alcune difficolta, o comunque dei concettida precisare. Di questo si era reso conto gia il grande fisico e matematico svizzero Euler (solitamenteitalianizzato in Eulero), che dette degli importantissimi contributi allo sviluppo della meccanica e allasua traduzione in un linguaggio matematico rigoroso: proprio per questo, ho inserito in appendice A.3un brano preso da un suo importante trattato sulla meccanica. Puoi leggere gia adesso le riflessioni diEulero, oppure cominciare direttamente da alcuni problemi e definizioni che ti vengono proposti nellaprossima sezione.

2.2.1 Descrivere il moto: un’introduzione

Abbiamo visto in 2.1.4 che anche la posizione di un corpo puo esser descritta tramite una funzione, dettaequazione (o legge) oraria, s(t). Vogliamo approfondire la questione; pero, prima di introdurre tutte leprecisazioni del caso, ti proponiamo alcune domande.

Domanda 5. Riprendiamo l’esempio del treno trattato nella sezione precedente. Supponiamo che siverifichi un guasto e che tu voglia comunicare telefonicamente alla stazione di Bologna la tua posizione.Di quali informazioni hai bisogno e quali informazioni comunicheresti per poter esser localizzato in modoesatto?

Prendiamo adesso in considerazione un altro caso.

Domanda 6. Sei su una nave in mezzo al Mar Tirreno e vuoi comunicare al porto piu vicino la tuaposizione. Quali informazioni pensi che sia necessario fornire?

E ancora:

Domanda 7. Vuoi segnalare ad un giardiniere addetto alla manutenzione in quale punto di un campoda calcio e presente una buca e non puoi farlo di persona. Come potresti indicare, senza ambiguita, dovesi trova tale buca?

Infine:

Domanda 8. Sei alla guida di un aereo e intendi effettuare una particolare manovra, segnalandola aduna torre di controllo. Quanti sono i dati necessari alla torre di controllo per individuare la tua posizione?

problema tale tempo vale tc =√

10/9.8), ma non oltre: infatti, una volta raggiunto il suolo, e trascurando rimbalzidell’oggetto, esso rimarra nel punto in cui e caduto, cioe alla posizione che abbiamo fissato (vedi osservazione precedente)come s = 0. In termini matematici, la posizione dell’oggetto in questione e descrivibile tramite una funzione definita atratti:

s(t) =

{−4.9t2 + 5, se 0 < t <

√10/9.8

0, se t ≥√

10/9.8

15

2.2.2 Il “bagaglio” degli strumenti necessari

Moti unidimensionali

Riguardo alle domande della sezione precedente, nel primo caso puo esser (quasi) sufficiente fornire unnumero per poter individuare il treno: la distanza da una stazione di riferimento, misurata lungo la lineaferroviaria.

Domanda 9. Abbiamo scritto, fra parentesi, “quasi”; secondo te perche? Quali sono le altre precisazioniche dobbiamo fare?

Se sappiamo, come in questo caso, che un corpo e costretto a muoversi lungo una linea nota (i binaridella ferrovia, nel nostro esempio), detta vincolo, per poterne individuare univocamente la posizione,dobbiamo disporre di:

• Una posizione di riferimento lungo la linea, detta origine, da cui cominciare a misurare le distanze.

• Un verso di percorrenza lungo la linea; evidentemente, i verso possibili lungo una linea sono due.

• Un’unita di misura per le lunghezze.

L’insieme di questi elementi viene detto sistema di ascisse curvilinee. Tutte queste quantita possonoessere scelte a piacere: in effetti non c’e niente di intrinseco al moto che possa far preferire una scelta adun’altra13, ma sono delle convenzioni utili a descrivere il moto. Una volta fissate queste convenzioni, unnumero (con segno, per permettere al corpo di essere dall’una o dall’altra parte rispetto all’origine) sarasufficiente per identificare univocamente la posizione di un corpo lungo la linea. Per descrivere il motodel corpo, se questo e sufficientemente regolare, potremo usare una funzione, detta legge oraria:

Definizione 2. Si dice legge oraria (o equazione oraria) una funzione che associa, ad ogni istantedi tempo, la posizione del corpo lungo la traiettoria.

E’ chiaro allora che dobbiamo definire anche:

Definizione 3. La traiettoria di un corpo e l’insieme dei punti occupati dal corpo nel corso del suomoto.

Ad esempio, un corpo potrebbe muoversi secondo la legge oraria:

s(t) = 3.2t3 − 4.9t+ 2.2 [m]

O ancora: se di un corpo abbiamo registrato le posizioni in tabella 2.1 (in cui non abbiamo riportato leincertezze sulle grandezze misurate), fra le due proposte di seguito, solo la prima legge oraria e adeguataa descrivere il moto del corpo per l’intervallo di tempo studiato:

x(t) = t2 + 2 (2.5)

x(t) = t+ 2 (2.6)

Inoltre, possiamo pensare che tale legge sara utile anche a descrivere il moto futuro del corpo, e cioconsentira di prevedere, ad esempio, che all’istante t = 10 s il corpo si trovi nella posizione x(10) = 102m.

13Se non ragioni pratiche: ad esempio misurare la distanza di un treno da una stazione in millimetri sarebbe legittimo,ma chiaramente poco comodo.

16

Tabella 2.1: Dati relativi all’ipotetico moto di un corpo (vedi sezione 2.2.2).

Tempo (secondi) Posizione (metri)

0 21 32 63 11

. . . . . .

Moti bidimensionali e tridimensionali

Tra gli esempi proposti in precedenza, notiamo che anche il moto della nave sul mare e vincolato: infatti(a meno di affondamenti!), la nave e costretta a muoversi sulla superficie del mare. In questo caso,pero, si tratta di un vincolo bidimensionale ed un solo numero non sara sufficiente per determinarne laposizione. Potremmo individuare la posizione della nave tramite le coordinate geografiche (latitudine elongitudine), oppure misurando la distanza dal porto in una direzione specificata (parliamo, in questocaso, di coordinate polari); o in altri modi ancora.Ci concentriamo, pero, su uno solo dei possibili metodi per descrivere la posizione nel piano, rimandandoalla prossima sezione per alcuni approfondimenti sulla possibile varieta di scelte di sistemi di coordinate.Come abbiamo fatto nel caso di moti vincolati ad una curva, vediamo di precisare meglio gli elementi dicui abbiamo bisogno per descrivere una posizione su di un piano; ci riferiremo percio, piu propriamente,all’esempio del campo da calcio piuttosto che a quello della nave nel mare14. Gli elementi necessari alladescrizione della posizione sono:

• Un’origine nel piano.

• Due rette orientate fra loro ortogonali, passanti dall’origine suddetta.

• Un’unita di misura per le lunghezze su ciascuna delle due rette (o assi); per comodita, solitamenteconviene considerare la stessa unita di misura su entrambi gli assi.

Questi elementi, come forse avrai gia avuto modo di vedere in matematica, determinano un sistema diriferimento cartesiano ortogonale. Per descrivere la posizione ad ogni istante di tempo, allora, avremobisogno stavolta di due funzioni, che possiamo chiamare x(t) e y(t); possiamo anche pensare che talifunzioni siano in realta le due componenti di un’unica funzione vettoriale: s(t) = (x(t), y(t)).La generalizzazione al caso di moti nello spazio e immediata: sara richiesta stavolta la presenza di tre assi,con la cautela che non tutte le terne di assi ortogonali possono essere trasformate le une nelle altre tramiterotazioni. Infatti, si parla di terne levogire o destrogire, a seconda che i tre assi siano disposti in modoanalogo alle tre dita (pollice, indice, medio) della mano sinistra o della mano destra; convenzionalmente,si sceglie di operare con terne levogire.

2.2.3 Alcuni approfondimenti

Liberta di scelta del sistema di coordinate

I metodi che abbiamo descritto per individuare univocamente la posizione di un corpo nei vari casi, comeabbiamo accennato, non sono gli unici possibili. Talvolta, per praticita nei calcoli, puo esser preferibilescegliere un sistema di coordinate alternativo a quelli fin qui proposti; puoi cominciare a farti un’ideaal riguardo provando a svolgere gli esercizi proposti qui di seguito. Tuttavia, qui non approfondiremoulteriormente l’argomento.

14In realta, in nessuno dei due casi il piano in questione e esattamente tale, ma si tratta di una porzione di una superficiepiu o meno sferica, quella terrestre; tuttavia, considerate le dimensioni della Terra, in entrambi casi, e soprattutto nel casodel campo da calcio, l’approssimazione con una superficie piana e piu che ragionevole.

17

Esercizio 1. Una pallina viene lasciata rotolare lungo una guida semicircolare, come illustrato nellafigura 2.5. Vogliamo descrivere la sua posizione ad ogni istante di tempo. Dı quali fra i set di equazioniproposti nella tabella 2.2 sono necessari/sufficienti per descrivere il moto.

Tabella 2.2: Sistemi di coordinate e descrizione di un moto. Completa la tabella seguente, che si riferisce alla situazionefisica descritta nella figura 2.5

figura di riferimento coordinata/e sufficiente insufficiente sovrabbondante

2.5(a)

x(t)

y(t)

x(t), y(t)

2.5(b) α(t)

2.5(c)

z(t)

w(t)

z(t), w(t)

Relazione tra descrizione scalare e descrizione vettoriale

Innanzitutto notiamo che le formule che abbiamo introdotto per il caso scalare si generalizzano nel modopiu naturale al caso vettoriale; ad esempio, la 2.4 diventa, nel caso di un moto tridimensionale:

v(t) = lim∆t→0

∆s

∆t= lim

∆t→0

s(t+ ∆t) − s(t)

∆t(2.7)

in cui abbiamo indicato, con caratteri in grassetto, il fatto che stiamo parlando di vettori. Questa pro-prieta dei vettori, di “non dare problemi con l’operazione di passaggio al limite”15, vale in generale e nonsolo nel caso della velocita. La useremo anche nella prossima sezione, in cui introdurremo il concetto diaccelerazione.La relazione tra caso scalare e caso vettoriale puo essere ulteriormente approfondita tramite la conside-razione di due importanti versori16: il versore tangente ed il versore normale alla traiettoria.Se consideriamo la linea che descrive il moto di un corpo, infatti, in ogni suo punto possiamo tracciarela retta tangente (nel caso di moti sufficientemente regolari, come quelli che ci limitiamo a considerare)e decidere di orientarla, ad esempio, in modo concorde al verso fissato convenzionalmente lungo la tra-iettoria; se consideriamo un versore avente direzione e verso come quelli della tangente suddetta, avremoottenuto il versore tangente alla traiettoria. In ogni punto, inoltre, e possibile considerare un versorediretto verso il centro di curvatura della traiettoria, o meglio verso il centro della circonferenza che nelpunto considerato fornisce la migliore approssimazione della traiettoria: questo versore e detto versore

15Ovviamente, questa e solo una descrizione qualitativa; la formalizzazione di questa affermazione sara fatta in un corso,anche elementare, di analisi matematica.

16Ricordiamo che si dice versore un vettore (adimensionale) di modulo unitario, ottenibile come v = v/v.

18

normale ed e definito per ogni punto di una traiettoria sufficientemente regolare, purche la traiettoria inquel punto non sia rettilinea o abbia un punto di flesso (in cui cioe cambia la curvatura).

Esercizio 2. Prova a tracciare, con il software GeoGebra una curva a tuo piacimento. Quindi, utilizzandole funzioni offerte dal software, visualizza la tangente e la normale in ogni punto della curva. A partireda esse (che sono delle rette), costruisci il versore normale ed il versore tangente.

Indichiamo con vs e as la velocita e l’accelerazione scalare; con v e a la velocita e l’accelerazionevettoriale; con t ed n i versori tangente e normale e con R il raggio di curvatura della traiettoria nelpunto considerato. Valgono le seguenti relazioni, che non dimostriamo:

v = vst

a = ast+v2

Rn

Queste relazioni ci dicono che la velocita e sempre diretta tangenzialmente al moto, mentre l’accelerazionee fatta di due componenti: una, tangenziale, presente se si ha un’accelerazione scalare non nulla ed una,normale, orientata verso il centro di curvatura, presente in tutti i punti17 in cui la velocita non e nulla.La seconda di queste due relazioni anticipa il concetto di accelerazione, che introduciamo nella prossimasezione.L’importanza di questi due versori, e della rappresentazione della velocita e dell’accelerazione rispetto adessi, sta nel fatto che si tratta di una scelta per cosı dire intrinseca al moto: mentre la scelta di un sistemadi riferimento e di un sistema di coordinate (cartesiane, polari . . . ) sono libere e percio arbitrarie, esistein ogni punto di una data una traiettoria un unico versore tangente ed un unico versore normale, conle cautele esposte sopra. Il fatto che questo sistema sia in un certo senso quello piu naturale semplificaspesso i calcoli necessari per descrivere un moto.

2.3 L’accelerazione

2.3.1 L’accelerazione istantanea e l’accelerazione media

Abbiamo fin qui imparato che il moto di un punto materiale puo essere descritto tramite una equazioneoraria, scalare o vettoriale. Inoltre, la velocita istantanea e il concetto che piu immediatamente ci permettedi descrivere la rapidita con cui la traiettoria e percorsa: la velocita, in altri termini, ci rende ragione deicambiamenti (in modulo, direzione e verso) del vettore posizione. La velocita e la posizione sono infattilegate dalla relazione, gia vista in precedenza:

v(t) = lim∆t→0

∆s

∆t= lim

∆t→0

s(t+ ∆t) − s(t)

∆t

La velocita, del resto, puo variare nel corso del moto. L’operazione concettuale e matematica che ciha permesso di descrivere la variazione della posizione, introducendo il concetto di velocita istantanea,puo essere riproposta per poter descrivere le variazioni di velocita. Definiamo infatti l’accelerazione(vettoriale) istantanea come:

a(t) = lim∆t→0

∆v

∆t= lim

∆t→0

v(t+ ∆t) − v(t)

∆t(2.8)

In effetti, il passaggio che abbiamo fatto per definire sia la velocita istantanea che l’accelerazione istan-tanea e un passaggio di natura propriamente matematica, che avrai modo di approfondire con lo studio

17Eccettuati quelli in cui la traiettoria e rettilinea o presenta un flesso, come visto sopra.

19

dell’analisi infinitesimale e del calcolo differenziale18.Naturalmente, anche nel caso dell’accelerazione, e possibile definire l’accelerazione media come:

am =∆v

∆t(2.9)

Se un corpo varia la sua velocita di una quantita ∆v in un intervallo di tempo ∆t, diciamo che la suaaccelerazione media, nell’intervallo di tempo ∆t e quella data dall’equazione 2.9.Come vedi, la definizione del concetto di accelerazione media non richiede lo strumento matematico dipassaggio al limite, che e, formalmente, cio che differenzia la formula 2.9 dalla 2.8.

2.3.2 L’accelerazione . . . e poi?

A questo punto, potresti chiederti se e necessario (o possibile, o utile . . . ) considerare anche accelerazionivariabili ed introdurre una qualche grandezza che quantifichi l’intensita di variazione dell’accelerazione.La domanda e legittima.Da un punto di vista matematico, niente vieta di introdurre una grandezza di questo tipo e di proseguirecosı con un processo potenzialmente infinito: potremmo definire una grandezza, ed indicarla ad esempiocon e(t), che ci dice quanto varia l’accelerazione, tramite una formula analoga alle precedenti:

e(t) = lim∆t→0

∆a

∆t= lim

∆t→0

a(t+ ∆t) − a(t)

∆t

Tuttavia, a questo punto, entra in gioco in modo deciso la fisica, ovvero il confronto con le leggi della na-tura. Ebbene, come apprenderai attraverso lo studio della dinamica - e nel seguito dei tuoi studi di fisica- le tre fondamentali grandezze cinematiche introdotte (posizione, velocita, accelerazione) sono sufficientiper descrivere la varieta dei fenomeni meccanici. Questo fatto non ha alcun motivo di essere a priori, maderiva solo dallo studio sperimentale dei fatti meccanici piu diversi. Esso e stato sintetizzato da Newtonnella sua fondamentale equazione della dinamica, F = ma.

Con questa osservazione, concludiamo questi appunti; ma, ovviamente, non si esaurisce qui lo studiodella cinematica e della meccanica.Avrai modo di approfondire, e comprendere meglio, le relazioni che legano fra loro le grandezze che quiabbiamo introdotto, affrontando lo studio del calcolo integrale e differenziale; vedrai come estendere ilproblema dalla descrizione del moto da un singolo corpo a molti corpi; o come cambiano le cose nel casoin cui i corpi non possano essere considerati dei punti materiali; scoprirai anche quali sono i limiti di unadescrizione meccanica della natura.Molte altre direzioni possono esser prese e molti approfondimenti possono essere ancora fatti, nel tentativodi comprendere piu a fondo le leggi della natura!

18 Accenniamo solo al fatto che, se una grandezza qualsiasi, che possiamo indicare con g(t) varia nel tempo e se ∆t e unintervallo di tempo, e possibile introdurre la rapidita con cui g(t) varia, all’istante t, tramite la definizione:

g′(t) = lim∆t→0

∆g

∆t= lim

∆t→0

g(t + ∆t) − g(t)

∆t

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(a) Orari.

(b) Distanze chilometriche.

Figura 2.1: Informazioni relative alla linea ferroviaria Bologna-Rimini. Le informazioni sono state prese dal sito diTrenitalia (orari) e da Wikipedia (distanze).

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(a) Grafico (approssimativo) velocita-tempo per ilmoto di un treno.

(b) Grafico meno realistico (in nero) e piu realistico (inrosso).

(c) Grafico in cui si tiene conto del maggior temponecessario per il treno verde.

Figura 2.2: Grafici velocita-tempo del moto di un treno.

Figura 2.3: Due corpi, pur muovendosi in modo molto diverso fra loro, possono percorrere lo stesso spazio nello stessotempo: avranno percio una stessa velocita media.

(Nel grafico si intende che sulle ascisse sono rappresentati i tempi e sulle ordinate le velocita, in unita arbitrarie).Prova a descrivere a parole, per esercizio, i due moti rappresentati in questo grafico v-t.

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Figura 2.4: Possiamo associare all’intero moto (della durata di circa 90 minuti) un’unica velocita media (linea blu) o piuvalori della velocita media, ciascuno riferito ad un intervallo di tempo piu piccolo del totale (grafici rosso e verde). Puoi

lavorare con l’applet GeoGebra, da cui e tratto questo grafico, andando all’URL seguentehttp://www.geogebratube.org/student/m30900.

(a) (b)

(c)

Figura 2.5: Possibili scelte di sistemi di coordinate per un unico sistema. La guida semicircolare ha raggio noto R.

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Appendice A

Problemi, esercizi ed altri materialicomplementari

In questa appendice vediamo alcuni esempi concreti di esercizi e problemi tratti da libri di testo inadozione nelle scuole secondarie, per illustrare con riferimenti specifici le questioni accennate, da unpunto di vista teorico, nella sezione 1.1.Notiamo, come premessa, che la maggior parte dei testi analizzati presenta una discreta varieta di tipologiedi esercizi e problemi. Tuttavia, esercizi di carattere piu applicativo tendono spesso a prevalere, se nonnel libro di testo, nelle scelte pratiche effettuate da una gran parte dei docenti: testimonianza indiretta nesono ad esempio i risultati conseguiti dagli alunni italiani nell’ambito di rilevazioni internazionali (come lafamosa indagine OCSE-PISA), in cui la presenza di situazioni problematiche complesse mette in difficoltaalunni troppo abituati a lavorare su situazioni stereotipate ed eccessivamente semplificate.

A.1 Due esercizi sulla velocita media

Vediamo due esercizi la cui soluzione richiede la conoscenza del concetto di velocita media, tratti daltesto di fisica, edito da Zanichelli, di Cutnell e Johnson ([1]).

A.1.1 Il testo degli esercizi

Esercizio 1, pag. 11

In una gara di 1500 m piani, un atleta percorre i primi 1100 m in 2 min 46,0 s e i rimanenti 400 m in59,0 s. Qual e stata la sua velocita media?

Esercizio 2, pag. 11

Quando tocchi una superficie calda con la punta delle dita, parte uno stimolo doloroso sotto forma diimpulso nervoso che viaggia verso i nervi a 110 m/s. Quanto tempo impiega per percorrere 85 cm egiungere al cervello?

A.1.2 Alcune riflessioni didattiche

Problemi e formule risolutive

Come si pone lo studente (medio) rispetto alla soluzione del secondo dei due esercizi proposti? Proviamoimmaginare, guidati dall’esperienza personale, non meno che dagli articoli di ricerca gia citati nella sezione1.2.2, un tipico “ragionamento”:

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Quali sono i dati di cui dispongo? 110 m/s e 85 cm. Una velocita ed una lunghezza. Qualiformule conosco che “riguardano” lunghezze e velocita? Beh, s = v/t. Chi e l’incognita? t.Allora, invertendo la formula avro: t = v/s. Attenzione alle unita di misura e . . .

. . . e si arriva, salvo errori di calcolo, al risultato esatto.Cosa c’e di fisica in tutto cio? Il ricorso a ragionamenti del tipo “quali grandezze mi sono date? qualiformule conosco che coinvolgono tali grandezze?” non ha niente di sbagliato a priori; tuttavia, e forte-mente riduttivo rispetto alla complessita di un problema di fisica “piu realistico”. Lo studente che avramemorizzato la formula s = v/t si limitera ad eseguire qualche semplice passaggio algebrico per arrivarealla risposta numerica richiesta. Anziche un problema, quello appena proposto e un esercizio (in effetti,come tale e presentato dal libro) in cui buona parte del vero lavoro del fisico e stato fatto dal redattoredel testo e non viene richiesto all’alunno, al quale e stato consegnato, lo ripetiamo, un banale esercizio al-gebrico: una modellizzazione della situazione tramite un disegno, la precisazione di sistemi di riferimentoe simili, la traduzione in equazioni matematiche sono non necessari ai fini della soluzione dell’esercizio.Non c’e niente di male, in se, nel proporre e far risolvere, esercizi come quello appena descritto. Ma, finchetali esercizi saranno predominanti, o comunque sufficienti a far raggiungere la valutazione “sufficiente”ad un alunno, sara praticamente impossibile attivare processi di comprensione piu ricchi e articolati. Edl’attivazione di tali processi e un obiettivo che come insegnanti dovremmo porci senza dubbio ne timore.Caso leggermente diverso e quello dell’esercizio numero 1. Pur nella sua semplicita, non c’e una formula“preconfezionata” atta a rispondere a tale esercizio; percio, lo studente, per giungere alla soluzione, dovraattivare un ragionamento un po’ piu articolato e che richiedera una (maggiore) comprensione del concettodi velocita media. Tutto questo, a patto che l’insegnante, come purtroppo talvolta accade, non propongaformule anche per “casi particolari”, che dovrebbe esser compito dell’alunno risolvere (affinche sviluppicerte competenze). Supponiamo che l’insegnante dica che, se un corpo percorre due tratti di lunghezzas1 ed s2 (lungo una traiettoria data e nello stesso verso) rispettivamente nei tempi t1 e t2, la velocitamedia sul percorso complessivo e data dalla formula:

v =s1 + s2

t1 + t2

In tal caso, ovviamente, il lavoro che potrebbe servire all’alunno per sviluppare alcune competenze spe-cifiche viene vanificato dall’intervento del docente che banalizza e riduce a meccanica applicazione diformule un problema di per se gia non particolarmente complesso.

Alcuni problemi piu complessi

Ovviamente, questioni piu interessanti si possono porre fornendo tipologie di dati diversi, come nelseguente esempio.

Problema 1. Un automobilista deve arrivare ad un appuntamento alle ore 17:00, percorrendo, a partiredalla sua citta, i 440 chilometri che lo separano dalla sua destinazione. L’automobilista e partito alle ore13:00 ed ha viaggiato, per le prime 2 ore, ad una media di 100 km/h.

Possiamo porre, a partire da questa situazione, una serie di domande come:

1. Quale dovra essere la sua velocita media per giungere in orario all’appuntamento?

2. E se trova traffico, quanto dovra essere la sua velocita media?

3. Viaggiando ad una velocita media di 130 km/h nella seconda parte del viaggio, avra del tempo perfermarsi in un’area di sosta?

4. Quanto tempo potra sostare?

5. Se il limite di velocita per tutto l’intero tratto che deve ancora percorrere e di 130 km/h, riusciraad arrivare in orario rispettando tale limite?

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In questo caso, e ancora piu evidente la necessita di attivare dei ragionamenti articolati e che vadano aldi la della meccanica applicazione di una formula.

Piu peso alla matematica o alla fisica?

Un altra riflessione e suggerita dal secondo dei due esercizi tratti dal libro di testo e riproposti nellasezione precedente.E’ piuttosto chiaro che l’intento di tale esercizio sia quello di verificare l’abilita dell’alunno nel ricavare la“formula inversa”, in cui il tempo e espresso in funzione dello spazio percorso e della velocita. Insomma,si da la preminenza alla verifica di un’abilita matematica.Da un punto di vista fisico e praticamente indubbio che sarebbe stato molto piu significativo fare unadomanda come la seguente:

E’ noto che quando tocchi una superficie calda con la punta delle dita, parte uno stimolodoloroso sotto forma di impulso nervoso che viaggia verso i nervi. Come pensi che potrem-mo misurare la velocita di tale stimolo? Quali dati dovremmo conoscere e come potremmoottenerli?

Dopo una breve discussione, potremmo anche decidere di esser noi a fornire i dati all’alunno e chiederedi fare il banale calcolo matematico per ottenere la risposta desiderata.

A.2 Alcuni esempi di problemi sui grafici

Proponiamo qui alcuni esempi di problemi tratti dall’articolo di McDermott ([3]) citato nella sezione incui abbiamo parlato delle misconcezioni riguardanti la cinematica. Le figure presenti nell’articolo originalesono state riprodotte in modo fedele nella sostanza in A.1; la traduzione dei testi e delle domande deiproblemi e nostra.

A.2.1 Discriminare tra pendenza e altezza in un grafico

La figura A.1(a) mostra un grafico posizione-tempo per i moti di due oggetti, A e B, che si muovonoentrambi lungo la stessa scala graduata.

1. All’istante t = 2 s la velocita dell’oggetto A e maggiore, minore o uguale a quella dell’oggetto B?Spiega il tuo ragionamento.

2. Gli oggetti A e B hanno mai la stessa velocita? Se sı, a quali istanti di tempo? Spiega il tuoragionamento

A.2.2 Interpretare cambiamenti nell’altezza e nella pendenza di un grafico

In corrispondenza di quali lettere sul grafico A.1(b):

1. Il moto e piu lento?

2. L’oggetto sta aumentando la sua velocita?

3. L’oggetto sta rallentando?

4. L’oggetto sta cambiando verso nel proprio moto?

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A.3 Il problema della descrizione del moto, nelle parole di Eu-lero

A.3.1 Quiete, moto e loro significato

Puo essere interessante, ed eventualmente utilizzato in chiave didattica come spunto per un lavoro inter-disciplinare, vedere come i problemi connessi con una descrizione esatta del moto fossero ben noti gia adun importante fisico e matematico, che nel Settecento ha dato un notevole contributo su questo tema: losvizzero Eulero.Riportiamo qua di seguito una nostra traduzione delle primissime righe del primo capitolo di un suotrattato sul moto dei corpi solidi ([6], pag. 42)1:

Capitolo IConsiderazione del moto in generale

Definizione ICome quiete significa perpetua permanenza nel medesimo luogo, cosı “moto” significa conti-nuo cambiamento di luogo. Ovviamente si dice che e in stato di quiete un corpo che si osservache rimane sempre fisso nel medesimo luogo: si dice che si muove quello che invece con iltrascorrere del tempo si sposta ora in un luogo ora in un altro.Spiegazione IBenche le nozioni di quiete e di moto appaiano chiarissime in se tuttavia, perche ne acqui-stiamo una cognizione piu accurata, conviene che siano esaminate una per una con una certaattenzione le idee che ne formano il concetto.

A.3.2 Alcune riflessioni di carattere didattico

Al di la dell’indubbia pertinenza delle questioni sollevate da Eulero in relazione ai temi toccati nel no-stro lavoro, notiamo come nel testo di Eulero ci sia una contrapposizione fra i termini ideas e notiones.Anche se ovviamente non c’e alcun nesso causale/temporale, tali termini sembrano richiamare, ancheper come vengono introdotti nel brano citato, la contrapposizione tra idee ingenue (o misconcezioni) enozioni scientifiche condivise, cosı come ne abbiamo parlato nella sezione 1.2.2. L’analisi di tali termini,chiaramente, puo costituire un punto di partenza per un lavoro sia di carattere linguistico, sia di caratterescientifico: una corretta traduzione dei termini sara chiaramente il frutto di una stretta collaborazionetransdisciplinare di docenti di area scientifica ed umanistica.Inoltre l’impostazione argomentativa di Eulero fornisce agli studenti un esempio, di chiara significativitae autorita scientifica, di come l’esposizione di una teoria fisica possa esser condotto in modo sostanzial-mente deduttivo: nel testo abbiamo una chiara suddivisione in sezioni, una definizione seguita da unaspiegazione. Con questo non vogliamo contraddire l’impostazione proposta nel presente lavoro; piuttostosottolinearne la complementarita rispetto ad approcci piu tradizionali. Infatti, una cosa e la scoperta daparte dello scienziato - e delle studente, visto come scienziato in potenza; altra cosa e l’esposizione formaledei risultati ottenuti. In questa dispensa ho voluto accompagnare lo studente lungo un percorso del primotipo; chiaramente il docente puo - ed in un certo senso deve - completare il proprio compito educativocon una esposizione piu formale di cui abbiamo mostrato diversi elementi gia nel presente lavoro e checomunque puo trovare un valido supporto in molti dei libri di testo di piu ampia diffusione.

1Si ringrazia per la traduzione il prof. Giuseppe Dal Canto.

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(a) Grafico posizione-tempo per il problema 1. Gli studenti de-vono decidere se la pendenza o l’altezza del grafico fornisconol’informazione richiesta.

(b) Grafico posizione-tempo per il problema 2. Per rispondere alle domande riguardanti la velocita, gli studenti devonodecidere se l’altezza, la pendenza o le variazioni di queste quantita forniscono l’informazione desiderata.

Figura A.1: Grafici relativi ai problemi proposti nella sezione A.2.

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Bibliografia

[1] Cutnell J.D., Johnson K.W.; Fisica.blu, volume 1, ediz. italiana a cura di Claudio Romeni, Zanichelli2012

[2] Hammer, D.; Le risorse degli studenti per apprendere la fisica di base; traduzione di Giuliana MaccarioPiseri e Silvia Jona Pugliese da American Journal of Physics, Physics Education Supplement, 68;Pubblicato con autorizzazione di American Journal of Physics su “La Fisica nella Scuola”, AnnoXXXVI, n. 1, 2003

[3] McDermott, L.C., M.L. Rosenquist, and E.H. van Zee, (1987); Student difficulties in connecting graphsand physics: Examples from kinematics; Am. J. Phys. 55 (6) 503

[4] Marchi F.; Introduzione al concetto di velocita istantanea, foglio di calcolo condivi-so, liberamente consultabile all’URL https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=

0AhF76OPEZgnndHhWeGZoYVlJZXpWYmVBWThzT3FEYkE&usp=sharing#gid=0

[5] Marchi F.; Velocita media e velocita istantanea, foglio di lavoro Geogebra, liberamente utilizzabileall’URL http://www.geogebratube.org/student/m30900

[6] Euler, L.; Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum, 1765 http://www.archive.org/

stream/theoriamotvscor00eulegoog#page/n40/mode/2up

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