Interferenza 1.Linterferenza 2.Il principio di Huygens 3.Lesperienza di Young 4.Linterferometro di...

InterferenzaInterferenza

1. L’interferenza

2. Il principio di Huygens

3. L’esperienza di Young

4. L’interferometro di Michelson

5. Interferenza su lamine sottili

6. Schiera di fenditure

OTTICA

Natura della luce: Corpuscolare e ondulatoria

• Ottica geometrica

Si ignora il carattere ondulatorio della luce e si parla di raggi luminosi che si propagano in linea retta.

Fenomeni della RIFLESSIONE e RIFRAZIONE: studio dei sistemi ottici centrati.

• Ottica fisica

Si occupa della natura ondulatoria della luce.

Fenomeni quali INTERFERENZA, DIFFRAZIONE e POLARIZZAZIONE.

Questi fenomeni non si possono spiegare adeguatamente con l’ottica geometrica, ma considerando la natura ondulatoria della luce si raggiunge una descrizione soddisfacente.

1. L’interferenza1. L’interferenza

ovvero: il trionfo dell’ottica ondulatoria (Young, 1801-1803)

il trionfo dell’ottica ondulatoria (Young, 1801-1803)

Tomas Young dimostrò sperimentalmente per primo la validità della teoria ondulatoria della luce e ne misurò la lunghezza d'onda.

In generale si ha interferenza quando due o più onde dello stesso tipo e stessa frequenza, con una differenza di fase costante tra di loro, attraversano la stessa regione dello spazio nello stesso istante.

1. L’interferenza1. L’interferenza

Considerazioni introduttive.Consideriamo due onde piane monocromatiche:

) cos( ) (z, 111011 tzkEtE

) cos( ) (z, 222022 tzkEtE

per il principio di sovrapposizione:

) (z, ) (z, ) (z, ) (z, 21ris tttt EEEE

) cos() cos( ) (z, 2220211101 tzkEtzkEtE

ovvero:

si noti,riguardo al periodo temporale:

)cos( )( 11011 tEtE

)cos( )( 22022 tEtE

T1

T2

)( )( )( 21 ttt EEE

T = m.c.m.(T1, T2)

l’interferenzal’interferenza

quindi l’intensità luminosa associata a E è:

tt dZ

E

TdtS

TSI

TT

T

1 )(

1

0

2

0 T = m.c.m.(T1, T2)

ovvero:

2

1

11

)(

1

0

21

0

22

0

21

0

221 tttt dEE

TdE

TdE

TZd

Z

EE

TI

TTTT

tdtzktzkT

EE

ZII

T

) cos( ) cos( 2

0

2221110201

21

se 1 2 l'integrale si annulla:

21 III 1 2

l’interferenzal’interferenza materiale del ticacaratteris impedenza

Z


nmdxnxsmx

nm

nmdxnxsmx

nm

nmdxnxmx

, 0 in cos 1

per 1

per 0 in sin

1

per 1

per 0 cos cos

1

2

0

2

0

2

0

prendiamo invece 1 = 2 = (segue: k1= k2 = k)


) cos( ) cos( 2

0

2221110201

21 tdtzktzkT

EE

ZIII

Tsi ha:

dEE

ZII )cos( cos

2

2

2

0

020121

ponendo: fasetkz 1 2 tkze

ivafase relat 12 ovvero: Tdtdtd 2

ponendo:


dEE

ZIII )cos( cos

2

2

2

0

020121

sviluppando cos(+) = coscos- sin sin , e considerando che:

21 αcos , 0 sinα cosα 2

TT

si ha:

cos cos 020121

020121

Z

E

Z

EII

Z

EEIII

ovvero:

cos 2 2121 IIIII

12 con

interferenza didue onde

monocromatiche

interferenza didue onde

monocromatiche


si noti: cos 2 2121 IIIII 21 II

in particolare, se I1 = I2 = I0 si ha:

)cos 1(2 cos 2 2 000 IIIIinterferenza didue onde con

uguale ampiezza

interferenza didue onde con

uguale ampiezza

I

-5 -3 - 53

4I0

2I0

I = Imax = 4I0 se = ±2m

I = Imin = 0 se = ±(2m+1)

onde in fase

onde in opposizione di fase

I = 2Io se = ±(2m+1/2)onde in quadratura

l’interferenzal’interferenza )cos 1(2 cos 2 2 000 IIII

importante!

1 - 2 = cost. in t

onde incoerenti onde incoerenti 1 - 2 = variabile

altrimenti, se:

no interferenzano interferenza 21 III

onde mutualmente coerenti (coerenza temporale)

onde mutualmente coerenti (coerenza temporale)

si ha interferenzasi ha interferenza l’energia si ridistribuiscel’energia si ridistribuisce

2. Il principio di Huygens2. Il principio di Huygens

“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica”

Introduciamo ora:

2. Il principio di Huygens2. Il principio di Huygens

“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica”

onda piana

fronte d’ondadiaframma

onda sferica

Introduciamo ora:

frange scure


3. L’esperimento di Young3. L’esperimento di Young

schermo

fenditure

D

S

sorgentepuntiforme

luce + luce = buio!luce + luce = buio!

3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa

L’esperimento di YoungL’esperimento di Young

Scoerenti

diaframma

S1

S2

s

s

s’

D

l’interpretazione ondulatorial’interpretazione ondulatoria

onde sferiche

s = s’ - s = Dsins = s’ - s = Dsin

le due onde arrivano in P con una differenza di percorso (cammino) s:

schermo

P

l’esperimento di Youngl’esperimento di Young

diaframma

S1

S2

s

s

s’

D

s = s’ - s = Dsin

E1

E2

) 'cos( ) cos( )( )( '00

21 tksE

tksE

ttss

EEE

) 'cos( ) cos( 0 tkstksL

EE l = k(s - s’)

ovvero: sinθ 2

Dl

Eluce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

I

)cos 1(2 cos2 2 000 lIlIII

onde sferiche

“cammino ottico”“cammino ottico”


sinθ cos4 sinθ 2

cos 12 )cos 1(2 2000 DIDIlII

y

S1

S2

s

s

s’D

luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

I

L sin Ly

s = Dsin

2D

D

2

3

D

2

D

2

5

D

0

04I

I

sin

I = 4I0 se 2

2 ms

I = 0 se 2

2( )1 ms

. . . . 3, 2, 1, 0, m

sinθD

m

2

)12(sinθ

D

m

l’esperimento di Youngl’esperimento di Youngluce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

DLy λ

2D

L

D

L

2

3

D

L

2

D

L

2

5

D

L0

04I

I

D

L

si noti la distanza fra i massimi sullo schermo:

λ

)(sinD

sin Ly

y

S1

S2

D

y

s

s’

L

D

sI


diaframma

S1

S2

s

s’

luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

I

effetto di uno spostamento della sorgente puntiforme

effetto di uno spostamento della sorgente puntiforme

S

S’

luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buiosorgenti estese non danno interferenza alla Young

sorgenti estese non danno interferenza alla Young

S’’

S’’’

S’’’’

la radiazione da sorgenti estese non ha coerenza spaziale

la radiazione da sorgenti estese non ha coerenza spaziale

struttura compattatramite l’uso di una lente

l’esperimento di Youngl’esperimento di Youngeffetto di una sorgente puntiforme

non monocromatica

effetto di una sorgente puntiforme non monocromatica

S1

S2

s

D

sinθ cos4 )cos 1(2 2

00 DIlII

sorgentebianca

S

frangiabianca

4I0

2I0

1

D

2 1

D

0

I

sin 2

D

2 2

D

se /D 1 non c’è interferenza alla Young

se /D 1 non c’è interferenza alla Young

la radiazione non ha sufficiente coerenza temporale

la radiazione non ha sufficiente coerenza temporale

EsercizioEsercizio

Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con due fenditure separate di 0,1 mm ed una distanza diaframma-schermo di 50 cm. Se si osserva una separazione tra due massimi (o minimi) consecutivi di 2,5 mm, qual è la lunghezza d’onda della luce che illumina le fenditure?

Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con due fenditure separate di 0,1 mm ed una distanza diaframma-schermo di 50 cm. Se si osserva una separazione tra due massimi (o minimi) consecutivi di 2,5 mm, qual è la lunghezza d’onda della luce che illumina le fenditure?

A5000100,550

01,025,0

λ

5

cmcm

cmcm

L

yD

DLy

S1

S2

D

y

s

s’

L

sI

y

EsercizioEsercizio

Due altoparlanti collegati ad un unico audio amplificatore sono separati di 5 m. Camminando lungo una linea retta parallela alla congiungente gli altoparlanti e distante da essa 100 m, a quale distanza si percepiscono due massimi (o minimi) consecutivi? Si supponga= 30 cm.

Due altoparlanti collegati ad un unico audio amplificatore sono separati di 5 m. Camminando lungo una linea retta parallela alla congiungente gli altoparlanti e distante da essa 100 m, a quale distanza si percepiscono due massimi (o minimi) consecutivi? Si supponga= 30 cm.

mm

mm

DLy 0,6

0,5

3,0100λ

D L=100 m

I intensità suono

yD=5m

4. L’interferometro di Michelson4. L’interferometro di Michelson

S

specchiosemiriflettente

s

s’

)'(2 sss

)cos 1(2 0 lII

sl

2

specchiofisso

specchiomobile

I = I0

2

2 ms

I = 0

2

2( )1 ms

2

λ

2

λ3 2λ

2

λ50

0I

I

s

quello che conta è il cammino ottico

quello che conta è il cammino ottico

S

specchiosemiriflettente

s

s’

specchiofisso

0)'(2 sss

linterferometro di Michelsonlinterferometro di Michelson

n

linterferometro di Michelsonlinterferometro di Michelson

S

specchio(mobile)

diga

interferometro

applicazioni all’ingegneria ambientale e civileapplicazioni all’ingegneria ambientale e civile

controllo di posizione con risoluzione < 4

z

) 'cos( ) (z, 101 tzkEtE

n

considerazioni sul cammino ottico

per un’onda monocromatica la fase dipende dal cammino ottico:

z

) cos( ) (z, 101 tkzEtE ] ) (cos[ ) (z, 202 t szkEtE

ssks l

0λ

2

nel vuoto:

in un mezzo con indice di rifrazione n si ha:

] ) ('cos[ ) (z, 202 t szkEtE

ssss kl n

0λ

2

λ

2 ' '

nel mezzo:

considerazioni sul cammino ottico

ciò vale ovviamente anche allo stesso istante t

z

) cos( ) (z, 0 tkzEtE ] ) (cos[ ) (z, 0 t szkEtE

ssks l

0λ

2

nel vuoto:

sss kl n0λ

2

λ

2 ' '

nel mezzo:

z

) 'cos( ) (z, 0 tzkEtE

n

] ) ('cos[ ) (z, 0 t szkEtE

s

5. Interferenza su lamina sottile5. Interferenza su lamina sottile

’

A

B

C

D

dn

n1 = 1

luce monocromatica

sin'sin 2 2 sin 2 ABnABACnABADABCs n

'cos d2 'cos 2 )'sin1( 2 'sin 'sin 2 2 22 nnABnABnABnAB

quindi: )'cos d2(λ

2

λ

2

00

ns

n1 = 1

n1<n2: + n1<n2: +

ma:

’

A

B

C

D

dn

a d fissato non dipendono dalla posizione sulla lamina

a d fissato non dipendono dalla posizione sulla lamina

luce monocromatica

linterferenza su lamina sottilelinterferenza su lamina sottile

interferenzacostruttiva

frangiachiara2

)1(2 'cos2 d mn

frange di uguale inclinazionefrange di uguale inclinazione

interferenzadistruttiva

frangiascura2

2 'cos2 d mn

quindi:

dn2

non dipende dalla posizione ma da :funziona anche con sorgenti estese

non dipende dalla posizione ma da :funziona anche con sorgenti estese

n1

n1

interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottili

frangia

scura

frangia

chiara2

)1(2 'cos2 d mn

2 2 'cos2 d mn

chia

ra

chia

ra

scur

a

dd 2 'cos2 nns

interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottiliincidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale

nm

2 0d

frangiascura

nm

4)1(2 0d

frangiachiara

lamine a spessore variabile: frange di ugual spessorelamine a spessore variabile: frange di ugual spessore

n0

4

5

n0

4

3

n0

4

1 0

n2

n1

n1

una frangia ogni /2 una frangia ogni /2

misure di spessore in pellicole trasparentimisure di riscontro superfici piane

misure di spessore in pellicole trasparentimisure di riscontro superfici piane


misure di riscontro superfici pianemisure di riscontro superfici piane


nm

2 0d frangia

scura

nm

4)1(2 0d

frangiachiara

R < 0.1%R < 0.1%

rivestimenti anti-riflessorivestimenti anti-riflesso

n0

4

1

n1 = 1

n2 < n < n1

n2 > n

condizione di frangia scura

per n < n2

condizione di frangia scura

per n < n2


0

n1

n1

n2

pellicole a spessore variabilepellicole a spessore variabile

sorgenti non monocromatiche (luce bianca)sorgenti non monocromatiche (luce bianca)

nm

4)1(2 0d

frangiachiara

aria

acqua

olio, benzina

aria

acqua saponata


aria

acqua

olio, benzina

aria

Riepilogo: l’interferenza Riepilogo: l’interferenza

esperimento di Youngdue sorgenti puntiformidue onde pianeinterferometro di Michelson

riflessione su lamine sottili

I = 0 se

2

λ2(2 0)1'cos

2 mdnsIMAX se

2

λ22 0'cos

2mdns

21, nnI = 0 se

4

λ12( 0

2

)1n

md IMAX se

2

λ1 0

2

n

md incidenza normale

cos 2 2121 IIIII 120

λ

2

scon

I = 0 se 2

λ2( sin 0)1 mDs

IMAX se 2

λ2 sin 0mDs

Esercizio numericoEsercizio numerico

4.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza d’onda 0 = 0.632 m e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.

4.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza d’onda 0 = 0.632 m e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.


4.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da un’onda piana monocromatica con 0 = 0.6 m che si propaga nella direzione x normale allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un minimo di intensità.

4.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da un’onda piana monocromatica con 0 = 0.6 m che si propaga nella direzione x normale allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un minimo di intensità.


4.4 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (0 = 5890 Å) vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.

4.4 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (0 = 5890 Å) vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.


4.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra, formano un piccolo angolo fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di lunghezza d’onda 0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10 frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo .

4.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra, formano un piccolo angolo fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di lunghezza d’onda 0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10 frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo .


4.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.

4.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.

6. Schiera di fenditure (di sorgenti)6. Schiera di fenditure (di sorgenti)

d

d

d

d

d

d sin

S1

S2

S3

S4

S5

S6 D

P

Differenza di fase tra le onde provenienti da due fenditure consecutive:

sin

2sin

dkdl

Campo elettrico totale in P

)5sin()4sin()3sin(

)2sin()sin()sin( 0

ltkxltkxltkx

ltkxltkxtkxEE

{

}

Utilizziamo il metodo dei fasori

2sin2

62

sin2

0

RE

l

lR

El

l

l

l

l

R

R

l

l/2

/2

E0

2/sin

2/6sin0 l

lEE

Dalle relazioni precedenti, eliminando R, si ottiene:

2/sin

2/sin0 l

lNEE

e quindi l’intensità è

2/sin

2/sin2

2

0 l

lNII

Poniamo

sin

sin

2 0

NII

l

Massimi principali:

02

0

cos

cos

sin

sinlim ma

re,denominato il che numeratore il sia annullano si

... ,2 ,1 ,0con per

ININNNN

mm

Posizione dei massimi principali:

... ,2,1,0con sin

2 mm

dl

... ,3,2,1con sin md

m

Minimi : al di fuori dei valori precedenti, il denominatore non si annulla mai, invece il numeratore si annulla anche per

0 punti questiin

... ,2 ,1 ,0'con 'per 0sen

I

mmNNα

Tra due massimi principali ci sono N – 1 minimi

Esempio.

Per N = 4

eaccettabilnon

2 2

3

4

3

2

2

4

4

3

2

1

l

l

l

l 2

l

l

2

3 l

Massimi secondari: Poiché l’intensità è una funzione di sempre positiva, tra due minimi deve esistere un massimo (secondario), quindi tra due massimi principali ci sono N-2 massimi secondari.Le posizioni dei massimi secondari si ottengono ponendo

... 1,2,3,con 2

12 cui da

1sin

''''

mmN

N

In questi punti 2''

2

max2''

0

212

sin2

12sin

1

Nm

N

I

Nm

II

Esempio.

Per N = 4

eaccettabilnon

4

5

8

5

4

3

8

3

2

1

l

l

Grafico dell’intensità nell’interferenza di 8 fenditure equispaziate

Massimi principali

02

.... ,4 ,2 ,0

INI

l

180l

902

l

454

l

MinimiTra 2 massimi principali ci sono N-1 minimi in cui

0I

Poiché l’intensità è una funzione di sempre positiva, tra due minimi deve esistere un massimo (secondario), quindi tra due massimi principali ci sono N-2 massimi secondari.

Grafico dell’intensità nell’interferenza di 2, 8, 16 fenditure equispaziate

N = 2 N = 8 N = 16

Per N → ∞

d

Nd

Nd

Nd

Nd

Nd

MAX PRINCMAX PRINC

minminminmin

MAXSEC

MAXSEC

MAXSEC

N = 5

Imax ∝ N2

I ∝ 1/N2

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