INTENSITA’ SU UNO SCHERMO

IN UNA INTERFERENZA TRA DUE SORGENTI PUNTIFORMI

Alberto Martini

Vogliamo dimostrare teoricamente la seguente relazione, che descrive l’Intensità su uno schermo

nel caso di una interferenza tra due sorgenti puntiformi, nella condizione di Fraunhofer

(schermo all’infinito)

I Idsen

MAX

cos2

Per prima cosa dimostriamo che:

L’energia trasportata da un’onda è proporzionale al quadrato della sua

ampiezza

I A2

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E Kx1

22

Per la legge di Hooke si ha: KF

x

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E Kx1

22

Per il secondo principio della dinamica: F ma

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E Kx1

22

Per la legge di Hooke si ha: KF

x

Per il secondo principio della dinamica: F ma

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E Kx1

22

Per la legge di Hooke si ha: KF

x

Dove a è l’accelerazione del moto armonico: aT

4 2

2

x

Per il secondo principio della dinamica: F ma

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E Kx1

22

Per la legge di Hooke si ha: KF

x

Dove a è l’accelerazione del moto armonico: aT

4 2

2

x

Per il secondo principio della dinamica: F ma

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E Kx1

22

Per la legge di Hooke si ha: KF

x

Dove a è l’accelerazione del moto armonico:

Sostituendo otteniamo: Kma

x

aT

4 2

2

x

Per il secondo principio della dinamica: F ma

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E Kx1

22

Per la legge di Hooke si ha: KF

x

Dove a è l’accelerazione del moto armonico:

Sostituendo otteniamo: Kma

x

aT

4 2

2

x

Per il secondo principio della dinamica: F ma

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E Kx1

22

Per la legge di Hooke si ha: KF

x

Dove a è l’accelerazione del moto armonico:

Sostituendo otteniamo: Kma

x

aT

4 2

2

x

Per il secondo principio della dinamica: F ma

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E Kx1

22

Per la legge di Hooke si ha: KF

x

Dove a è l’accelerazione del moto armonico:

Sostituendo otteniamo: Kma

x

E ancora:

aT

4 2

2

x

Km

x Tx 4

2

2

Per il secondo principio della dinamica: F ma

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E Kx1

22

Per la legge di Hooke si ha: KF

x

Dove a è l’accelerazione del moto armonico:

Sostituendo otteniamo: Kma

x

E ancora: Km

T 4 2

2

aT

4 2

2

x

Km

x Tx 4

2

2

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E ancora: Km

T4 2

2

E Kx1

22

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Km

T4 2

E Kx1

22

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Km

T4 2

2

E Kx1

22

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Km

T4 2

2

E Kx1

22

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Km

T4 2

2

E Kx1

22

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Km

T4 2

2

E Kx1

22

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Km

T4 2

2

E x1

22

E x1

22

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Km

T4 2

2

4 2 m

x

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

E x1

22

4 2 m

x

4 2 m

xE x

1

22

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

2

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Em

Tx

2 2

22

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Dato che l’INTENSITA’ è il flusso di energiae X rappresenta l’ampiezza

Em

Tx

2 2

22

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Dato che l’INTENSITA’ è il flusso di energiae X rappresenta l’ampiezza

E poiché2 2

2

m

Tè costante

Em

Tx

2 2

22

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Dato che l’INTENSITA’ è il flusso di energiae X rappresenta l’ampiezza

E poiché2 2

2

m

Tè costante

Em

Tx

2 2

22

Essendo E x 2

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Dato che l’INTENSITA’ è il flusso di energiae X rappresenta l’ampiezza

E poiché2 2

2

m

Tè costante

Em

Tx

2 2

22

Essendo E x 2

Sarà anche: I A 2

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Dato che l’INTENSITA’ è il flusso di energiae X rappresenta l’ampiezza

E poiché2 2

2

m

Tè costante

Em

Tx

2 2

22

Essendo E x 2

Sarà anche: I A 2

Poiché l’onda è un moto armonico che si sposta, l’energia che essa trasporta con sé è di tipo elastico:

Dato che l’INTENSITA’ è il flusso di energiae X rappresenta l’ampiezza

E poiché2 2

2

m

Tè costante

Em

Tx

2 2

22

Essendo E x 2

Sarà anche: I A 2

Dunque, se cerchiamo l’INTENSITA’ in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo l’ampiezza dell’onda risultante in quel punto

Dunque, se cerchiamo l’INTENSITA’ in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo l’ampiezza dell’onda risultante in quel punto

Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie?

(anche lì l’onda risultante aveva ampiezza punto per punto uguale alla somma delle ampiezze dell’onda incidente e di quella riflessa)

Dunque, se cerchiamo l’INTENSITA’ in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo l’ampiezza dell’onda risultante in quel punto

Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie?

Y1(x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

Y2(x,t) = A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) =A sen 2 ( - ) + x

tT

+ A sen 2 ( + ) - x

tT

Y (x,t) = Y1 (x,t) + Y2 (x,t)

Dunque, se cerchiamo l’INTENSITA’ in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo l’ampiezza dell’onda risultante in quel punto

Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie?

Qui dovremmo procedere allo stesso modo, ma fortunatamente siamo in grado di utilizzare una strategia più semplice!

Dunque, se cerchiamo l’INTENSITA’ in un punto dello schermo, basterà che calcoliamo l’ampiezza dell’onda risultante in quel punto

Ti ricordi come abbiamo fatto nel caso delle onde stazionarie?

Qui dovremmo procedere allo stesso modo, ma fortunatamente siamo in grado di utilizzare una strategia più semplice!

Basta ricordare la somma dei vettori. Vediamo come:

Il principio di sovrapposizione dice che l’ampiezza dell’onda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto.

Il principio di sovrapposizione dice che l’ampiezza dell’onda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto.

P (max)

Il principio di sovrapposizione dice che l’ampiezza dell’onda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto.

P (max)

= 0

Il principio di sovrapposizione dice che l’ampiezza dell’onda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto.

P (min)

Il principio di sovrapposizione dice che l’ampiezza dell’onda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto.

P (min)

=

Il principio di sovrapposizione dice che l’ampiezza dell’onda risultante è in ogni punto uguale alla somma algebrica delle ampiezze delle singole onde, ma noi sappiamo anche che questo risultato dipende dalla differenza di fase che hanno le onde in quel punto.

P (min)

=

angolo

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da un’angolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da un’angolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da un’angolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da un’angolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da un’angolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da un’angolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da un’angolo!

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da un’angolo!

Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando l’angolo è uguale a

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da un’angolo!

Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando l’angolo è uguale a

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da un’angolo!

Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando l’angolo è uguale a

Ma anche per i vettori il risultato della somma dipende da un’angolo!

Anche per i vettori il valore minimo della somma si ha quando l’angolo è uguale a ed il valore massimo quando è uguale a 0

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A AA0

2 2 2 2 cos

A A A0

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A AA0

2 2 2 2 cos

A A A0

A A A02 2 22 2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A AA0

2 2 2 2 cos

A A A0

A A A02 2 22 2 cos

A A02 22 (1 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A AA0

2 2 2 2 cos

A A A0

A A A02 2 22 2 cos

Poiché, per la trigonometria, è:

1 22

2 cos cosA A02 22 (1 cos

( )

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A AA0

2 2 2 2 cos

A A A0

A A A02 2 22 2 cos

Poiché, per la trigonometria, è:

A A02 2 22 2

2 cos

A A0

2 22 (1 cos 1 22

2 cos cos ( )

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A AA0

2 2 2 2 cos

A A A0

A A A02 2 22 2 cos

Poiché, per la trigonometria, è:

A A02 2 24

2 cos

A A02 2 22 2

2 cos

A A0

2 22 (1 cos 1 22

2 cos cos ( )

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

A A02 2 24

2 cos

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

Possiamo scrivere questa relazione:

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

Possiamo scrivere questa relazione:

X

2

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

Possiamo scrivere questa relazione:

X

2

Questo significa che il rapporto tra una differenza di fase fra due punti qualsiasi e la differenza X tra le loro distanze dallo schermo, è costante ed è uguale al rapporto tra la differenza di fase 2 e la corrispondente differenza tra i cammini percorsi dalle onde,

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

Possiamo scrivere questa relazione:

X

2

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

Possiamo scrivere questa relazione:

X

2

2

X

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

Possiamo scrivere questa relazione:

X

2

2

X

Poiché è: X dsen

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

A A02 2 24

2 F

HGIKJcos

Possiamo scrivere questa relazione:

X

2

2

X

Poiché è: X dsen

O

P

S1

S2 K

x

S1

S2

O

K

x

d

x d sen

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

Possiamo scrivere questa relazione:

X

2

2

X

Poiché è: X dsen si ottiene: 2

dsen

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

2

dsen

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

2

dsen

A A02 2 24

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

2

dsen

A A02 2 24

2 cos

A Adsen

02 2 24

2

2 cos

Trattiamo allora le ampiezze A delle due onde come se fossero vettori di uguale intensità, sostituendo all’angolo tra le direzioni dei vettori, la differenza di fase delle onde

A

A

A A A0

2

dsen

A A02 2 24

2 cos

A Adsen

02 2 24 cos

A Adsen

02 2 24

2

2 cos

A Adsen

02 2 24 cos

A Adsen

02 2 24 cos

E siccome è: I A 2

A Adsen

02 2 24 cos

E siccome è: I A 2

Si può scrivere:

dato che (2A) è l’ampiezza massima

A Adsen

02 2 24 cos

I Idsen

MAX02 cos

I Idsen

MAX02 cos

utilizzando la relazione che abbiamo trovato, verifica le condizioni di massimo e di minimo

che avevamo dimostrato nella lezione precedente

d sen = nd sen = (n-1/2)

[ MAX ]

[ min]

I Idsen

MAX02 cos

Si ha un massimo I0=Imax

quando

d sen = nd sen = (n-1/2)

[ MAX ]

[ min]

I Idsen

MAX02 cos

cos 2 1

dsen

cos 2 1

dsen

quando

dsenn

d sen = nd sen = (n-1/2)

[ MAX ]

[ min]

I Idsen

MAX02 cos

cos 2 1

dsen

I Idsen

MAX02 cos

d sen = nd sen = (n-1/2)

[ MAX ]

[ min]

quando

dsenn

cioè: dsen n

cos 2 1

dsen

dsen n

I Idsen

MAX02 cos

d sen = nd sen = (n-1/2)

[ MAX ]

[ min]

quando

dsenn

cioè:

d sen = (n-1/2) [ min]

VERIFICA DA SOLO LA CONDIZIONE DI MINIMO

I Idsen

MAX02 cos

I Idsen

MAX02 cos

Con questa equazione è possibile calcolare l’Intensità in ogni punto dello schermo, conoscendo la lunghezza d’onda e la distanza tra le due sorgenti d

I Idsen

MAX02 cos

Con questa equazione è possibile calcolare l’Intensità in ogni punto dello schermo, conoscendo la lunghezza d’onda e la distanza tra le due sorgenti d

Basta sostituire e d e calcolare I0 per vari valori di

I Idsen

MAX02 cos

Con questa equazione è possibile calcolare l’Intensità in ogni punto dello schermo, conoscendo la lunghezza d’onda e la distanza tra le due sorgenti d

Basta sostituire e d e calcolare I0 per vari valori di

Si può poi visualizzare il risultato con un grafico di I0 in funzione di

I Idsen

MAX02 cos

0

I0

0

I0

0

I0

Nota che tutti i massimi hanno uguale ampiezza

grafico dell'intensità nel caso dell'interferenza tra due sorgenti puntiformi coerenti

5 cm istruzione per il calcolo dell'intensitàI(max)= 10 erg

d= 2 cm +$B$4*((@COS(@PI*$B$5*@SEN(A9)/$B$3))̂ 2)

I(a)

0 100,1 9,8434360,2 9,3895650,3 8,6831480,4 7,7904460,5 6,7888020,6 5,7555690,7 4,7585970,8 3,8498130,9 3,062496

1 2,4119691,1 1,8987871,2 1,5133221,3 1,2406641,4 1,0650691,5 0,9734981,6 0,9580671,7 1,0173651,8 1,1566811,9 1,387142

2 1,723735

0

2

4

6

8

10

12

Angolo di visuale

Inte

nsità

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Intensità della interferenza

Possiamo verificare il grafico dell’interferenza utilizzando un foglio elettronico:

Analizziamo ora a fondo la struttura dell’equazione

I Idsen

MAX02 cos

E’ formata da tre parti:

I Idsen

MAX02 cos

E’ formata da tre parti:

I Idsen

MAX02 cos

E’ formata da tre parti:

I Idsen

MAX02 cos

E’ formata da tre parti:

C

I Idsen

MAX02 cos

E’ formata da tre parti:

C

A rappresenta l’ENERGIA che arriva sullo schermo in un punto P, ad un angolo di visuale

P

I Idsen

MAX02 cos

E’ formata da tre parti:

C

I Idsen

MAX02 cos

E’ formata da tre parti:

C

B rappresenta l’ENERGIA MASSIMA che può arrivare sullo schermo

I Idsen

MAX02 cos

E’ formata da tre parti:

C

I Idsen

MAX02 cos

E’ formata da tre parti:

C

C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A

I Idsen

MAX02 cos

E’ formata da tre parti:

C

C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A

Infatti: se è C = 0 anche I() = 0 I IMAX0 0 0

I Idsen

MAX02 cos

E’ formata da tre parti:

C

C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A

Infatti: se è C = 0 anche I() = 0

se è C = 1 si ha I() = ImaxI I IMAX MAX0 1

I Idsen

MAX02 cos

I IMAX0 0 0

negli altri casi C è un numero compreso tra 0 e 1 e sempre positivo

E’ formata da tre parti:

C

C è un NUMERO che moltiplicato per B dà il valore di A

Infatti: se è C = 0 anche I() = 0

se è C = 1 si ha I() = Imax

fine

I Idsen

MAX02 cos

I I IMAX MAX0 1 I I MAX0 0 0