1

•  il risultato e’ un NUMERO positivo o negativo

•  significato GEOMETRICO = AREA trapezoide con segno

•  serve per calcolare AREE e VOLUMI di figure delimitate da curve

•  ha importanti applicazioni in campo fisico e medico: calcolo del lavoro di una forza, calcolo dello spazio percorso, calcolo del flusso di sangue…

f (x)dxa

b

∫ = F (b) − F (a)

INTEGRALE DEFINITO di una funzione continua y=f(x)

nell’intervallo [a ; b]

+ a b

Prof.ssa Barberis Paola - agg 2017

IntegraleDEFINITOdiy=f(x)con:nuain[a;b]

+ a b -

a b

se f(x)>0 I.DEF positivo

se f(x)<0 I.DEF negativo

Area(con segno) sottesa dalla funzione f(x) nell’intervallo[a;b]

f (x)dxa

b

∫ =a

b

F(x)[ ] = F(b) − F(a)

Primitiva calcolata in b

Primitiva calcolata in a

Primitiva(integrale) di f(x)

SICALCOLACONLAFORMULADINEWTON-LEIBNIZ

ComecalcolareunIntegraleDefinitoin[a;b]

3

x ⋅1

3

∫ dx= x22

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

3

= 92

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 92− 12= 82= +4

Integrale definito di estremi a=1 e b=3 Primitiva:

Integrale indefinito

Primitiva calcolata in b=3: sostituisco 3 alla x

Primitiva calcolata in a=1: Sostituisco 1 alla x

(2x − 3)−2

4

∫ idx =

−2

4

2 x2

2−3x

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 2 ⋅16

2−12⎛

⎝⎜⎞⎠⎟− 4 + 6( ) = (4) − (10) = −6

Primitiva calcolata in b=4

Primitiva calcolata in a=-2

Integrale definito di estremi a=-2 e b=4

Svolgo calcoli

Primitiva: Integrale indefinito

Svolgo calcoli

Esempio1

Esempio2

INTEGRALEDEFINITO–PROPRIETA’

f(x)dxa

a

∫ = 0 f (x)dxa

b

∫ = − f (x)dxb

a

∫

kf (x)dxa

b

∫ = k f (x)dxa

b

∫ f (x) + g(x)[ ]dxa

b

∫ = f(x)dxa

b

∫ + g(x)dxa

b

∫

f (x)dxa

b

∫ = f (x)dxa

c

∫ + f (x)dxc

b

∫

2) scambiando estremi di integrazione à Int.Definito cambia segno

1) Se estremi di integrazione uguali àIntegrale Definito =0

3) Proprietà di Linearità : Int.Def del prodotto di costanteK per f(x) è = alla costante K per IntDef. Int.Def di una somma di funzioni è = alla somma degli IntDefiniti

4) Additività rispetto all’intervallo di integrazione: spezzando l’intervallo di integrazione nella somma di due intervalli contigui à l’Integrale Definito non cambia

a b c

(x+ 5)−2

1

∫ dx= x2

2+ 5x⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1

−2

= 12+ 5⎛

⎝⎜⎞⎠⎟− 42−10⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= 11

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −8( )= 11+16

2= 272

1-Esercizi:calcoloIntegraleDefinito

(x − 3)

−1

4

∫ idx =x2

2− 3x

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥−1

+4

=162−12⎛

⎝⎜⎞⎠⎟−12+ 3⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= 8 −12( ) − 1+ 6

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −4 − 7

2= −

152

(x2 − 3x)1

3

∫ idx = x3

3− 3 x

2

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

3

= 273− 272

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

13− 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

−276

+ 76= − 20

6= −10

3

4x ⋅−1

2

∫ dx= 4 x2

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥−1

2

= 2x2⎡⎣ ⎤⎦−12= 8( )− 2( )= 6

4x ⋅

−1

2

∫ dx (x − 3)−1

4

∫ idx (x2 − 3x)1

3

∫ idx (x + 5)−2

1

∫ dx

soluzioni

risolvi i seguenti integrali definiti e controlla poi le soluzioni

6

(ex − 4)2

3

∫ dx = ex − 4x⎡⎣ ⎤⎦23= e3 −12( ) − e2 − 8( ) = e3 −12 − e2 + 8 = e3 − e2 − 4

(x2 + 3x)

1

2

∫ idx =x3

3+ 3 x

2

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

1

=83+122

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−13+32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=+526

−116= +

416

2-Esercizi:calcoloIntegraleDefinito

3ex

1

5

∫ dx = 3ex⎡⎣ ⎤⎦5

1= 3e5( ) − 3e1( ) = 3e5 − 3e = 3ei(e4 −1)

(x2 + 7) ⋅0

2

∫ dx= x3

3+ 7x⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

2

= 83+14⎛

⎝⎜⎞⎠⎟− 03+ 0⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= 8 + 42

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 0( )= 50

3

3ex

1

5

∫ dx (ex − 4)2

3

∫ dx (x2 + 3x)1

2

∫ idx (x2 + 7) ⋅0

2

∫ dxrisolvi i seguenti integrali definiti e controlla poi le soluzioni

soluzioni

1) Calcolo Integrale Definito di y=f(x) nell’intervallo [a;b] Procedimento

AREACOMPRESAFRA:FUNZIONEy=f(x)eASSEXin[a;b]

2) Rappresento la funzione graficamente ( con opportuna tabella )

I.D.= Numero (positivo o negativo)=

Area con segno

3) rappresento le rette verticali x=a , x=b estremi integrazione

e coloro AREA compresa fra y=f(x), asse x e rette verticali

(trapezoide)

4) Risultato: AREA TRAPEZOIDE= |I.D.| u2 (Area positiva !)

f (x)dxa

b

∫ =a

b

F(x)[ ] = F(b) − F(a)

Valore assoluto Int.Definito

rappresentazionegeometricadiunintegraleDEFINITOdiestremiaeb

+ a b -

a b

1-AREAcompresafray=-x+5eassexin[2;4]:CalcolaIntegraledefinitodiy=-x+5nell’intervallo[2;4]e

rappresentagraficamenteilrisultato

8

2) Rappresento graficamente: la funzione y=-x+5 (retta) (con opportuna tabella) 3) Rappresento le rette verticali corrispondenti agli estremi di integrazione x=2 x=4

1) Calcolo l’integrale definito

(−x+ 5) ⋅2

4

∫ dx= − x2

2+ 5x⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

4

2

= − 162

+ 20⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− − 4

2+10⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= −8 + 20 + 2 −10 = 4

(−x+ 5) ⋅2

4

∫ dx

+ Coloro l’area compresa fra La retta, asse x, rette x=2 e x=4

x=2

X=4

Area trapezoide= 4 u2

I.D.= +4

4) risposta

x y 2 3 4 1

2-AREAcompresafray=1/2x+3eassexin[1;5]:CalcolaIntegraledefinitodiy=1/2x+3nell’intervallo

[1;5]erappresentagraficamenteilrisultato

9

2) Rappresento graficamente: la funzione y=1/2x+3 (retta) 3) Rappresento le rette verticali corrispondenti agli estremi di integrazione : x=1 x=5 e coloro il trapezoide ottenuto

1) Calcolo l’integrale definito 12x + 3⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ⋅1

5

∫ dx = + 12x2

2+ 3x

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

5

1

= + x2

4+ 3x

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

5

1

= + 254+15⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − + 1

4+ 3⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = + 85

4− 134= 724

=18

12x + 3⎛

⎝⎜⎞⎠⎟⋅

1

5

∫ dx

+

Area trapezoide = 18 u2

I.D.= +18

X=1

X=5

4)

3-AREAcompresafray=x-1eassexin[1;4]:Calcolal’integraledefinitodiy=x-1nell’intervallo[1;4]erappresentagraficamenteilrisultato

10

1) Calcolo l’integrale definito

(x−1) ⋅1

4

∫ dx

+

Area trapezoide= 9/2 u2

2) Rappresento graficamente: la funzione y=x-1 (retta) 3) le rette verticali corrispondenti agli estremi di integrazione sono x=1 x=4 Infine coloro il trapezoide ottenuto ( che in questo caso è un triangolo)

I.D.= +9/2

X=1

X=4

(x−1) ⋅1

4

∫ dx= x2

2− x⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

4

= 162− 4⎡

⎣⎢⎤⎦⎥− 12−1⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= 4[ ]− − 1

2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 4 + 1

2= 92

4)

4-AREAcompresafray=-x+1eassexin[2;4]:Calcolal’integraledefinitodiy=-x+1nell’intervallo[2;4]erappresentagraficamenteilrisultato

11

1) Calcolo l’integrale definito

(−x+1) ⋅2

4

∫ dx

Area trapezoide= 4u2

2) Rappresento graficamente: la funzione y=-x+1 (retta decrescente) con opportuna tabella 3) Rappresento le rette verticali corrispondenti agli estremi di integrazione x=2 x=4 Infine coloro il trapezoide ottenuto

I.D.= -4

X=2

X=4

(−x+1) ⋅2

4

∫ dx= − x2

2+ x⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥2

4

= −162

+ 4⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− − 4

2+ 2⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= −8 + 4[ ]− −2 + 2[ ]= −4

-

4)

5-AREAcompresafray=-x2+5eassexin[-1;2]:Calcolal’integraledefinitodiy=-x2+5nell’intervallo[-1;2]erappresentagraficamenteilrisultato

12

1) Calcolo I.D.

(−x2 + 5) ⋅−1

2

∫ dx

2) Rappresento la funzione parabola pura, utilizzando Vertice, concavità = verso il basso ed eventuale Intersezioni con assi 3) Rappresento le rette verticali corrispondenti all’intervallo di integrazione x=-1 e x=2

NB: la parabola pura ha sempre V=( 0; c) V = 0; 5( )

y= −x2 + 5+

Area trapezoide = +12 u2

Coloro l’area compresa fra Parabola, asse x, rette x=-1 e x=2

X=-

1

X=2

I.D.= +12

ID = (−x2 + 5) ⋅−1

+2

∫ dx = −x3

3+ 5x

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

+2

−1

= −83+10⎛

⎝⎜⎞⎠⎟− +

13− 5⎛

⎝⎜⎞⎠⎟== −

83+10 − 1

3+ 5 =

= −93+15 = −3+15 = +12

4)

13

y= x2 − 9Rappresento la parabola, trovando Vertice, Concavità = verso l’alto e intersezioni con assi Iy: (0;-9) Ix: (-3;0) (+3;0) Rappresento le rette verticali x= -2 e x= +1 e coloro Area

1) Calcolo l’integrale definito

Integrale Definito = -24 Area trapezoide=+24 u2

V = 0;−9( )

ID = (x2 − 9) ⋅−2

+1

∫ dx =x3

3− 9x

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

+1

−2

=13− 9⎛

⎝⎜⎞⎠⎟−

−83

+18⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

=13− 9 + 8

3−18 = 9

3− 27 = 3− 27 = −24

-

x2 − 9( ) ⋅−2

+1

∫ dx

X=-

2

X=+

1

2)

V = 0;−9( )

6-AREAcompresafray=x2-9eassexin[-2;1]:Calcolal’integraledefinitodiy=x2-9nell’intervallo[-2;+1]erappresentagraficamenteilrisultato

14

y= 2x2) Rappresento l’iperbole, con opportuna tabella 3) Rappresento le rette verticali corrispondenti all’intervallo di integrazione x= 1 e x= +4 -  Coloro l’area

1) Calcolo l’integrale definito

Integrale Definito = +2,77 Area=+2,77 u2

ID = 2x⋅

1

4

∫ dx ==1

42iln|x|[ ] = (2iln 4 − 2iln1) =

= 2iln 4 − 0 = 2iln 4 ! 2, 77

7-AREAcompresafray=2/xeassexin[+1;+4]Calcolal’integraledefinitodiy=2/xnell’intervallo[+1;+4]erappresentagraficamenteilrisultato

2x⋅

1

4

∫ dx

X=+

1

X=+

4

15

2) Rappresento la funzione esponenziale con opportuna tabella

Rappresento le rette verticali corrispondenti all’intervallo di integrazione x= 1 e x= 2

-  Coloro l’area

1) Calcolo l’integrale definito

Integrale Definito =+4,671 Area=+4,671 u2

8-AREAcompresafray=exeassexin[+1;+2]:Calcolal’integraledefinitodiy=exnell’intervallo[+1;+2]erappresentagraficamenteilrisultato

(ex ) ⋅1

2

∫ dx

ID = ex ⋅1

2

∫ dx =1

2

ex⎡⎣ ⎤⎦ =

= e2 − e1 =! 7,389 − 2,718 = 4,671

y= ex

X=+

1

X=+

2

16

Es 1

Es 2

Es 3

Es 4 Es 5

Es 6 Es 7

Prova tu : calcola le aree comprese fra f(x) e asse x nell’intervallo[a;b]