1
• il risultato e’ un NUMERO positivo o negativo
• significato GEOMETRICO = AREA trapezoide con segno
• serve per calcolare AREE e VOLUMI di figure delimitate da curve
• ha importanti applicazioni in campo fisico e medico: calcolo del lavoro di una forza, calcolo dello spazio percorso, calcolo del flusso di sangue…
f (x)dxa
b
∫ = F (b) − F (a)
INTEGRALE DEFINITO di una funzione continua y=f(x)
nell’intervallo [a ; b]
+ a b
Prof.ssa Barberis Paola - agg 2017
IntegraleDEFINITOdiy=f(x)con:nuain[a;b]
+ a b -
a b
se f(x)>0 I.DEF positivo
se f(x)<0 I.DEF negativo
Area(con segno) sottesa dalla funzione f(x) nell’intervallo[a;b]
f (x)dxa
b
∫ =a
b
F(x)[ ] = F(b) − F(a)
Primitiva calcolata in b
Primitiva calcolata in a
Primitiva(integrale) di f(x)
SICALCOLACONLAFORMULADINEWTON-LEIBNIZ
ComecalcolareunIntegraleDefinitoin[a;b]
3
x ⋅1
3
∫ dx= x22
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥1
3
= 92
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− 12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= 92− 12= 82= +4
Integrale definito di estremi a=1 e b=3 Primitiva:
Integrale indefinito
Primitiva calcolata in b=3: sostituisco 3 alla x
Primitiva calcolata in a=1: Sostituisco 1 alla x
(2x − 3)−2
4
∫ idx =
−2
4
2 x2
2−3x
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = 2 ⋅16
2−12⎛
⎝⎜⎞⎠⎟− 4 + 6( ) = (4) − (10) = −6
Primitiva calcolata in b=4
Primitiva calcolata in a=-2
Integrale definito di estremi a=-2 e b=4
Svolgo calcoli
Primitiva: Integrale indefinito
Svolgo calcoli
Esempio1
Esempio2
INTEGRALEDEFINITO–PROPRIETA’
f(x)dxa
a
∫ = 0 f (x)dxa
b
∫ = − f (x)dxb
a
∫
kf (x)dxa
b
∫ = k f (x)dxa
b
∫ f (x) + g(x)[ ]dxa
b
∫ = f(x)dxa
b
∫ + g(x)dxa
b
∫
f (x)dxa
b
∫ = f (x)dxa
c
∫ + f (x)dxc
b
∫
2) scambiando estremi di integrazione à Int.Definito cambia segno
1) Se estremi di integrazione uguali àIntegrale Definito =0
3) Proprietà di Linearità : Int.Def del prodotto di costanteK per f(x) è = alla costante K per IntDef. Int.Def di una somma di funzioni è = alla somma degli IntDefiniti
4) Additività rispetto all’intervallo di integrazione: spezzando l’intervallo di integrazione nella somma di due intervalli contigui à l’Integrale Definito non cambia
a b c
(x+ 5)−2
1
∫ dx= x2
2+ 5x⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1
−2
= 12+ 5⎛
⎝⎜⎞⎠⎟− 42−10⎛
⎝⎜⎞⎠⎟= 11
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− −8( )= 11+16
2= 272
1-Esercizi:calcoloIntegraleDefinito
(x − 3)
−1
4
∫ idx =x2
2− 3x
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥−1
+4
=162−12⎛
⎝⎜⎞⎠⎟−12+ 3⎛
⎝⎜⎞⎠⎟= 8 −12( ) − 1+ 6
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= −4 − 7
2= −
152
(x2 − 3x)1
3
∫ idx = x3
3− 3 x
2
2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥1
3
= 273− 272
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ −
13− 32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =
−276
+ 76= − 20
6= −10
3
4x ⋅−1
2
∫ dx= 4 x2
2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥−1
2
= 2x2⎡⎣ ⎤⎦−12= 8( )− 2( )= 6
4x ⋅
−1
2
∫ dx (x − 3)−1
4
∫ idx (x2 − 3x)1
3
∫ idx (x + 5)−2
1
∫ dx
soluzioni
risolvi i seguenti integrali definiti e controlla poi le soluzioni
6
(ex − 4)2
3
∫ dx = ex − 4x⎡⎣ ⎤⎦23= e3 −12( ) − e2 − 8( ) = e3 −12 − e2 + 8 = e3 − e2 − 4
(x2 + 3x)
1
2
∫ idx =x3
3+ 3 x
2
2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
1
=83+122
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−13+32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=+526
−116= +
416
2-Esercizi:calcoloIntegraleDefinito
3ex
1
5
∫ dx = 3ex⎡⎣ ⎤⎦5
1= 3e5( ) − 3e1( ) = 3e5 − 3e = 3ei(e4 −1)
(x2 + 7) ⋅0
2
∫ dx= x3
3+ 7x⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥0
2
= 83+14⎛
⎝⎜⎞⎠⎟− 03+ 0⎛
⎝⎜⎞⎠⎟= 8 + 42
3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− 0( )= 50
3
3ex
1
5
∫ dx (ex − 4)2
3
∫ dx (x2 + 3x)1
2
∫ idx (x2 + 7) ⋅0
2
∫ dxrisolvi i seguenti integrali definiti e controlla poi le soluzioni
soluzioni
1) Calcolo Integrale Definito di y=f(x) nell’intervallo [a;b] Procedimento
AREACOMPRESAFRA:FUNZIONEy=f(x)eASSEXin[a;b]
2) Rappresento la funzione graficamente ( con opportuna tabella )
I.D.= Numero (positivo o negativo)=
Area con segno
3) rappresento le rette verticali x=a , x=b estremi integrazione
e coloro AREA compresa fra y=f(x), asse x e rette verticali
(trapezoide)
4) Risultato: AREA TRAPEZOIDE= |I.D.| u2 (Area positiva !)
f (x)dxa
b
∫ =a
b
F(x)[ ] = F(b) − F(a)
Valore assoluto Int.Definito
rappresentazionegeometricadiunintegraleDEFINITOdiestremiaeb
+ a b -
a b
1-AREAcompresafray=-x+5eassexin[2;4]:CalcolaIntegraledefinitodiy=-x+5nell’intervallo[2;4]e
rappresentagraficamenteilrisultato
8
2) Rappresento graficamente: la funzione y=-x+5 (retta) (con opportuna tabella) 3) Rappresento le rette verticali corrispondenti agli estremi di integrazione x=2 x=4
1) Calcolo l’integrale definito
(−x+ 5) ⋅2
4
∫ dx= − x2
2+ 5x⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
4
2
= − 162
+ 20⎛⎝⎜
⎞⎠⎟− − 4
2+10⎛
⎝⎜⎞⎠⎟= −8 + 20 + 2 −10 = 4
(−x+ 5) ⋅2
4
∫ dx
+ Coloro l’area compresa fra La retta, asse x, rette x=2 e x=4
x=2
X=4
Area trapezoide= 4 u2
I.D.= +4
4) risposta
x y 2 3 4 1
2-AREAcompresafray=1/2x+3eassexin[1;5]:CalcolaIntegraledefinitodiy=1/2x+3nell’intervallo
[1;5]erappresentagraficamenteilrisultato
9
2) Rappresento graficamente: la funzione y=1/2x+3 (retta) 3) Rappresento le rette verticali corrispondenti agli estremi di integrazione : x=1 x=5 e coloro il trapezoide ottenuto
1) Calcolo l’integrale definito 12x + 3⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ ⋅1
5
∫ dx = + 12x2
2+ 3x
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
5
1
= + x2
4+ 3x
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
5
1
= + 254+15⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ − + 1
4+ 3⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ = + 85
4− 134= 724
=18
12x + 3⎛
⎝⎜⎞⎠⎟⋅
1
5
∫ dx
+
Area trapezoide = 18 u2
I.D.= +18
X=1
X=5
4)
3-AREAcompresafray=x-1eassexin[1;4]:Calcolal’integraledefinitodiy=x-1nell’intervallo[1;4]erappresentagraficamenteilrisultato
10
1) Calcolo l’integrale definito
(x−1) ⋅1
4
∫ dx
+
Area trapezoide= 9/2 u2
2) Rappresento graficamente: la funzione y=x-1 (retta) 3) le rette verticali corrispondenti agli estremi di integrazione sono x=1 x=4 Infine coloro il trapezoide ottenuto ( che in questo caso è un triangolo)
I.D.= +9/2
X=1
X=4
(x−1) ⋅1
4
∫ dx= x2
2− x⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥1
4
= 162− 4⎡
⎣⎢⎤⎦⎥− 12−1⎡
⎣⎢⎤⎦⎥= 4[ ]− − 1
2⎡⎣⎢
⎤⎦⎥= 4 + 1
2= 92
4)
4-AREAcompresafray=-x+1eassexin[2;4]:Calcolal’integraledefinitodiy=-x+1nell’intervallo[2;4]erappresentagraficamenteilrisultato
11
1) Calcolo l’integrale definito
(−x+1) ⋅2
4
∫ dx
Area trapezoide= 4u2
2) Rappresento graficamente: la funzione y=-x+1 (retta decrescente) con opportuna tabella 3) Rappresento le rette verticali corrispondenti agli estremi di integrazione x=2 x=4 Infine coloro il trapezoide ottenuto
I.D.= -4
X=2
X=4
(−x+1) ⋅2
4
∫ dx= − x2
2+ x⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥2
4
= −162
+ 4⎡⎣⎢
⎤⎦⎥− − 4
2+ 2⎡
⎣⎢⎤⎦⎥= −8 + 4[ ]− −2 + 2[ ]= −4
-
4)
5-AREAcompresafray=-x2+5eassexin[-1;2]:Calcolal’integraledefinitodiy=-x2+5nell’intervallo[-1;2]erappresentagraficamenteilrisultato
12
1) Calcolo I.D.
(−x2 + 5) ⋅−1
2
∫ dx
2) Rappresento la funzione parabola pura, utilizzando Vertice, concavità = verso il basso ed eventuale Intersezioni con assi 3) Rappresento le rette verticali corrispondenti all’intervallo di integrazione x=-1 e x=2
NB: la parabola pura ha sempre V=( 0; c) V = 0; 5( )
y= −x2 + 5+
Area trapezoide = +12 u2
Coloro l’area compresa fra Parabola, asse x, rette x=-1 e x=2
X=-
1
X=2
I.D.= +12
ID = (−x2 + 5) ⋅−1
+2
∫ dx = −x3
3+ 5x
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+2
−1
= −83+10⎛
⎝⎜⎞⎠⎟− +
13− 5⎛
⎝⎜⎞⎠⎟== −
83+10 − 1
3+ 5 =
= −93+15 = −3+15 = +12
4)
13
y= x2 − 9Rappresento la parabola, trovando Vertice, Concavità = verso l’alto e intersezioni con assi Iy: (0;-9) Ix: (-3;0) (+3;0) Rappresento le rette verticali x= -2 e x= +1 e coloro Area
1) Calcolo l’integrale definito
Integrale Definito = -24 Area trapezoide=+24 u2
V = 0;−9( )
ID = (x2 − 9) ⋅−2
+1
∫ dx =x3
3− 9x
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+1
−2
=13− 9⎛
⎝⎜⎞⎠⎟−
−83
+18⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
=13− 9 + 8
3−18 = 9
3− 27 = 3− 27 = −24
-
x2 − 9( ) ⋅−2
+1
∫ dx
X=-
2
X=+
1
2)
V = 0;−9( )
6-AREAcompresafray=x2-9eassexin[-2;1]:Calcolal’integraledefinitodiy=x2-9nell’intervallo[-2;+1]erappresentagraficamenteilrisultato
14
y= 2x2) Rappresento l’iperbole, con opportuna tabella 3) Rappresento le rette verticali corrispondenti all’intervallo di integrazione x= 1 e x= +4 - Coloro l’area
1) Calcolo l’integrale definito
Integrale Definito = +2,77 Area=+2,77 u2
ID = 2x⋅
1
4
∫ dx ==1
42iln|x|[ ] = (2iln 4 − 2iln1) =
= 2iln 4 − 0 = 2iln 4 ! 2, 77
7-AREAcompresafray=2/xeassexin[+1;+4]Calcolal’integraledefinitodiy=2/xnell’intervallo[+1;+4]erappresentagraficamenteilrisultato
2x⋅
1
4
∫ dx
X=+
1
X=+
4
15
2) Rappresento la funzione esponenziale con opportuna tabella
Rappresento le rette verticali corrispondenti all’intervallo di integrazione x= 1 e x= 2
- Coloro l’area
1) Calcolo l’integrale definito
Integrale Definito =+4,671 Area=+4,671 u2
8-AREAcompresafray=exeassexin[+1;+2]:Calcolal’integraledefinitodiy=exnell’intervallo[+1;+2]erappresentagraficamenteilrisultato
(ex ) ⋅1
2
∫ dx
ID = ex ⋅1
2
∫ dx =1
2
ex⎡⎣ ⎤⎦ =
= e2 − e1 =! 7,389 − 2,718 = 4,671
y= ex
X=+
1
X=+
2
16
Es 1
Es 2
Es 3
Es 4 Es 5
Es 6 Es 7
Prova tu : calcola le aree comprese fra f(x) e asse x nell’intervallo[a;b]
Top Related