Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Questa presentazione espone...

Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

Questa presentazione espone l’indagine relativa alla legge geometrico -

descrittiva riguardante la condizione di parallelismo tra retta e piano sviluppando il secondo metodo cioè :

La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la proposta di temi

scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici.

Per approfondimenti consultare il sito http://www.webalice.it/eliofragassi

La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo

rappresentativo: conoscenza, competenza e capacità.

Al termine dell’analisi si definisce un abaco di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali.

Procedura 2. Parallelismo tra retta e piano impostato sul parallelismo tra piani

L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva

Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge

PARALLELISMO TRA

RETTA E PIANO

IMPOSTATO SUL

PARALLELISMO TRA

PIANI

Autore Prof. Elio FragassiAutore Prof. Elio FragassiIl materiale può essere riprodotto citando la fonte

Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 2008/2009

da Laguardia Elisa della classe 3 C

del Liceo Artistico “G. Misticoni “ di Pescaraper la materia :

“Discipline geometriche”

Insegnante: Prof. Elio Fragassi

La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci

In aggiunta alla procedura discussa e basata sul parallelismo tra la retta data ed una retta del piano, possiamo sviluppare anche analisi di verifica del concetto di parallelismo tra la retta r ed il piano sulla base delle leggi del parallelismo tra piani, come nel disegno di (Fig.23).

Determinate, pertanto, le tracce T1s e T2s di una retta s parallela alla retta data, per queste conduciamo le tracce di un piano che, per costruzione, deve essere parallelo al piano dato , che in forma sintetica si esprime come s//. Per questo dovrà essere t1 //t1 ed anche

t2 //t2.Le rette così definite e qualificate come tracce di , si presentano graficamente parallele ma non si caratterizzano come tracce di un piano in quanto non sono incidenti la lt. Per questo motivo le due rette identificate come t1 e t2, pur contenendo le tracce della retta s, parallela alla retta data, e costruite parallele alle tracce del piano dato , non definiscono il piano in quanto t1 ; t2

Si può, quindi, concludere che:

s // perché le tracce di non si caratterizzano come tracce di un piano

[1]

Avendo stabilito, per costruzione, poi,

r // s [2]

operando gli scambi tra la [1] e la [2] si può sviluppare quanto di seguito

r //s r //s // Se sostituendo nella [1] si ha

quindi

r // s // r // s pertanto sarà

da cui, infine

r

Oltre la verifica di cui sopra, impostata sulla ipotesi dell'appartenenza di r ad un piano parallelo al piano dato che, non si caratterizza come piano; si può impostare la dimostrazione direttamente con le condizioni di parallelismo tra piani (Fig.24).

Applicando direttamente il concetto del parallelismo tra piani accade che per le tracce della retta r( T1r ; T2r) si devono condurre due piani distinti e paralleli al piano dato e contenenti ciascuno una sola traccia della retta. Infatti il piano //contiene solamente la T1r così come il piano // contiene solo la T2r.

Ne discende che i due piani e pur essendo paralleli al piano dato non contenendo la retta r rendono esplicito che i due elementi non

sono tra loro paralleli e, quindi la retta r è obliqua al piano e viceversa il piano è obliquo alla retta r.

INDAGINE ESPLICATIVA E DEDUTTIVA

Continuando l’analisi grafica della fig. 24 accade che se definiamo per T1r la

traccia t1//t1, nel disporre, graficamente, la traccia t2//t2 questa non passa per T2r; al contrario, se attuiamo per T2r il parallelismo in modo tale che sia t2//t2, nel definire graficamente la traccia t1//t1, riscontriamo che questa non passa per T1r e quindi non verifica la condizione di appartenenza tra retta e piano. In entrambi i casi i piani e costruiti parallelamente al piano dato , non contengono la retta data r.

Resta così dimostrato che, poiché (r//), ed anche (r//) allora neanche la retta r sarà parallela al piano e quindi si deduce che (r )

In forma sintetica si ha:

r // r


Invece può accadere, come nel disegno di Fig. 25, che, dati gli elementi geometrico-rappresentativi dei due componenti r' ed r" per la retta r e t1 e t2 per il piano , costruendo per r un piano parallelo al piano dato questo verifichi, oltre le condizioni di contenenza tra ed r, anche le condizioni di parallelismo tra il piano ed il piano .

// s

r

t1 //t1

t2//t2

T1r t1

T2r t2

r // r //

In questa situazione si ha la seguente formalizzazione

deduttiva.


Ragionando sullo schema di cui sopra si riscontra che i due piani e si qualificano, geometricamente, come piani paralleli generando una retta impropria s, quindi è //.

Inoltre il piano , costruito parallelo al piano dato , verifica la condizione geometrica della inclusione della retta data r, quindi è r

Riunificando i due concetti ed eseguendo le relative sostituzioni simboliche si ha che la retta r appartiene al piano che, a sua volta, è parallelo al piano .

Da ciò ne discende, come conseguenza logica, che r//.

Sinteticamente si ha la seguente formalizzazione:r // r //

Sulla base di queste risultanze si può enunciare la seguente legge descrittiva

Dati un piano ed una retta, se la retta data appartiene ad un piano parallelo a quello dato, allora, e sola allora possiamo asserire che la

retta è parallela al piano

Ampliando questa definizione con il concetto di retta impropria si ha la seguente enunciazione

Dati una retta ed un piano, se la retta appartiene ad un piano che, intersecandosi con il piano dato, genera una retta impropria, allora si

può asserire che gli elementi geometrici sono paralleli tra loro

PROCEDURA IMPOSITIVA O APPLICATIVA

Se la condizione geometrica in discussione deve essere imposta o applicata nel corso di una elaborazione grafica; allora è necessario operare, graficamente in modo tale che si verifichino le relazioni di cui si è discusso al punto precedente. Pertanto perché una retta sia parallela ad un piano è necessario che appartenga ad un piano che ha le tracce parallele alle tracce del piano dato. Conseguentemente

la definizione impositiva della condizione in esame può essere espressa in forma verbale come di seguito.

Una retta è parallela ad un piano se appartiene ad un piano parallelo a quello dato

Questa definizione verbale può essere espressa in forma sintetica nel modo seguente

r // r //

Questa enunciazione teorica può essere riassunta e sintetizzata con la seguente formalizzazione applicativa in forma insiemistico - descrittiva

PROCEDURA IMPOSITIVA O APPLICATIVA

t1//t1T1s

t2//t2T2s

r// r //

dove

dove

T1r t1

T2r t2

s

-

1r111r T t ; r T

-

2r222r T t ; r T

2r22a2 T t ; T t

La definizione può essere ampliata includendo anche il concetto di retta impropria; allora si ha la seguente

enunciazione Una retta è parallela ad un piano se per essa è possibile condurre un piano che intersecandosi con quello dato genera una retta impropria.

In forma sintetica si ha

r // r r

1r11a1 T t ; T t

Pia

no

Ele

men

to

geom

etr

ico

CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICIPARALLELISMO TRA RETTA E PIANO BASATO SUL

PARALLELISMO TRA PIANI

Did

asc

alia

ele

men

to

Did

asc

alia

ele

men

to

rap

pre

sen

tati

vo

Nom

en

clatu

ra

dell'

ele

men

to

rap

pre

sen

tati

vo

t1 1a traccia

Retta

Reale

t2 2a traccia

Retta

RealeD

efin

izio

ne

geom

etr

ica

ele

men

to

rap

prs

en

tati

vo

Defin

izio

ne fi

sica

d

ell'

ele

men

to

rap

prs

en

tati

vo

Definizione grafica e descrittiva degli elementi geometrici

Relazione insiemistica sintetica delle leggi del parallelismo tra elementi geometrici diversi

Formalizzazione esplicativa

Formalizzazione applicativa

Reale

Reale

T1r

T2r

1a traccia

2atraccia

Punto

Punto

r’

r”

1a immagine o

1a

proiezione2a immagine o2a proiezione

Retta

Retta

Virtuale

Virtuale

Rett

a

r

r// r//

r

//

r r P

rP

t1//t1

t2//t2

//

T1rt1

T2rt2

r

r// r//

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto esplicativo del parallelismo tra elementi geometrici diversi variamente collocati nello spazio dei diedri

Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti seguenti

Dato Risultato

Spiegazione

t 1b//t 1

t 2b//t 2

b// a

T1rÎ t 1b

T2rÎ t 2b

r

r//

t1//t1

t2//t2

//

T1r t1

T2r t2

r

T2r

T1r

r”

r’

t2

t1

Definita la retta r//a con r’//a’ ed r”// a” si individua il piano //Se il piano contiene la retta r allora significa che anche la retta a // . Se invece, come nell’esempio, il piano costruito parallelo al piano non contiene la retta r significa che i due elementi sono in rapporto di obliquità accade cioè che r

Dato Risultato

Spiegazione

PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSIESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (2)

Si vuole verificare il parallelismo tra la retta orizzontale a nel II diedro ed il piano proiettante in 1° nel I diedro.Definita la retta r//a con r’//a’ , r”// a”, T2r e T

1r si individua il

piano //Si ottiene che t2// t2 e contiene T2r; invece t1//t1 non contiene T

1r . Essendo T

1r una traccia impropria, significa

che t1 deve disporsi parallelamente alla proiezione r’ contenente T

1r .

Da queste risultanze si deduce che a//r//. Pertanto si può asserire che i due elementi assegnati sono in rapporto di obliquità, cioè che r

T2rr”

r’

t2

t1

T1r

Dato Risultato

Spiegazione


Si vuole verificare il parallelismo tra la retta orizzontale a nel I diedro ed il piano generico nel I diedro con le tracce allineate.Definita la retta r//a con r’//a’ , r”// a”, T2r e T

1r si individua il

piano //Si ottiene che t2// t2 e contiene T2r; invece t1//t1 non contiene T

1r . Essendo T

1r una traccia impropria, significa

che t1 deve disporsi parallelamente alla proiezione r’ contenente T

1r .

Da queste risultanze si deduce che a//r//. Pertanto si può asserire che i due elementi assegnati sono in rapporto di obliquità, cioè che r

T2r

r”

r’

t2

t1

T1r

Dato Risultato

Spiegazione


Sia da verificare l’esistenza del parallelismo tra la retta generica a collocata nel IV diedro ed il piano generico collocato nel II diedro. Definita la retta r//a con r’//a’ , r”// a”, T2r e T

1r si individua il piano //Si ottiene che t2// t2 contiene T2r; come anche t1//t1 contiene T

1r. In questo caso accade che il il piano // contiene la retta r//a. Da queste risultanze si deduce che a//r//. Pertanto si può asserire che i due elementi assegnati anche se collocati in due diversi diedri sono in rapporto di parallelismo. Quindi si deduce che a//

T2r

r”r’

t2t1

T1r

Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto applicativo del parallelismo tra elementi geometrici diversi variamente collocati nello spazio dei diedri

Data la seguente formalizzazione applicativa risolvere i quesiti seguenti

Dato Risultato

Spiegazione

Definita una retta a , applicando le leggi dell’appartenenza e del parallelismo si costruisce la retta r//a contenente il punto assegnato A. Quindi sarà r//a ed anche Ar. Si individuano così le due proiezioni r’ ed r” parallele rispettivamente ad a’ ed a”, A’r’ e A”r”. La retta r sarà parallela al piano ed apparterrà al piano //. (La definizione di non è richiesta)

r // r//

t1// t1

t2//t2

T1r t1

T2r t2

T2r

r”r’

t2

t1

T1r

T2a

a”

a’

T1a

Dato Risultato

Spiegazione

PARALLELISMO TRA ELEMENTI GEOMETRICI DIVERSIESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA (2)

Si definisce, anzitutto, una retta a .Applicando le leggi del parallelismo e dell’appartenenza si costruisce una retta r parallela alla retta a ma passante per il punto A, quindi sarà r//a ed anche Ar. Si individuano così le due proiezioni r’ ed r” parallele rispettivamente ad a’ ed a” ed anche A’r’ e A”r”.La retta r, così identificata conterrà il punto A e sarà, anche, parallela al piano perché parallela alla retta a .Inoltre per le tracce di r possiamo condurre un piano //(Questo passo, non richiesto, può essere omesso)

T2r

r”

r’

t2

t1

T1r

T2a

a”

a’T1a

Dato Risultato

Spiegazione


Come per l’esercizio precedente si definisce, anzitutto, una retta a. Applicando le leggi del parallelismo e dell’appartenenza si costruisce una retta r parallela alla retta a ma passante per il punto X, quindi sarà r//a ed anche Xr . Si individuano così le due proiezioni r’ // a’, r”//a” ed anche, per l’appartenenza, X’r’ e X”r”. La retta r, così identificata conterrà il punto X e sarà, anche, parallela al piano perché parallela alla retta a . Inoltre per le tracce di r (T1r ,T2r) possiamo condurre un piano //, piano che passando per le tracce della retta significa che la conterrà.

r”

r’

t2

t1T1r

T2a

a”

a’T1a

La T2r appartenente a t2esce fuori dal rettangolo grafico

Dato Risultato

Spiegazione


Come per l’esercizio precedente si definisce, anzitutto, una retta a. Applicando le leggi del parallelismo e dell’appartenenza si costruisce una retta r parallela alla retta a ma passante per il punto X, quindi sarà r//a ed anche Xr . Si individuano così le due proiezioni r’ // a’, r”//a” ed anche, per l’appartenenza, X’r’ e X”r”. La retta r, così identificata conterrà il punto X e sarà, anche, parallela al piano perché parallela alla retta a . Inoltre per le tracce di r (T1r ,T2r) possiamo condurre un piano //, piano che passando per le tracce della retta significa che la conterrà.

T2aa”

a’T1a

r”

r’

T2r

t2

t1

La T1r appartenente a t1esce fuori dal rettangolo grafico

RisoluzioneEsercizio

t2

t1

No perché: a //

r”//a”

r’

T2r

T1r

No perché: r a

RisoluzioneEserciziot2

t1No perché: s

No perché: s


a”

a’

T2a

t2

t1

T1

a

a”

a’

T2a

T1

a

r”

r’

T2r

T1r


s”

s’

T2s

T1s

t2

t1

s”s’

T2s

T1s

r”

r’

T2r

T1r

1. Dati la retta r(T1r=3; T2r=6) ed il punto A(A’=1; A’’=3) definire e rappresentare un piano tale che sia (A)//r.

2. Dati la retta s(T1s=-4; T2s=8) ed il punto B(B’=3; B’’=5) definire e rappresentare un piano tale che sia (B)//s

3.Dati ed il punto C(C’=-1; C’’=-7) definire e rappresentare un

piano tale che sia ( C)//r (A,B).

A(A’=3; A”=7)B (B’=5; B”=1)

r

4.Dati ed il punto W(W’=3; W’’=3) definire e rappresentare

un piano tale che sia ( W)//s (X,Y).

X(X’=-3; X”=7)Y (Y’=7; Y”=-3)

s

1. Dati la retta a(1+; 2

+) ed un punto La, definire e rappresentare un piano (b)//a|(1

-; 2+).

2. Dati la retta b(1-; 2

+) ed un punto Mb definire e rappresentare un piano (M)//b|(1

+; 2+; //lt).

3. Dati il piano (1-; 2

+; //lt) ed un punto A definire e rappresentare la retta (rA)//.

4. Dati il piano (1+; 2

+) ed un punto B definire e rappresentare la retta (sB)//.

1. Dati i seguenti punti A(A'=3; A''=5), B(B'=6;B''=1), C(C'=4; C''=4), D(D'=1; D''=6), definire e costruire il piano (A,B,C), quindi condurre per D una retta s tale che sia s//

2. Dati i punti seguenti E(E'=1; E''=6), F(F'=1; F''=1), G(G'=3; G''=3); H(H'=6; H''=2), verificare se la retta a(E,F) è parallela alla retta b(G,H).

3. Dati i punti A(A'=-3; A''=6), B(B'=-5; B''=1), C(C'=-7; C''=3) definire e rappresentare il piano (A,B,C) quindi per un punto X(X'=6; X''=-2) costruire e rappresentare la retta (sX)//b(A,B) //|s.

4. Dati i punti D(D'=7; D''=3), E(E'=5; E''=1), F(F'=3; F''=6) definire e rappresentare il piano (D,E,F) quindi per un punto Y(Y'=2; Y''=-6) costruire e rappresentare la retta (rY)//a(E,F) //|r.

VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHEOgni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia

Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50



Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)

Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)



Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali:

1)Conoscenze teoriche

2)Capacità logiche

3)Competenze grafiche

Elementi della valutazione

Valutazioni Punti

1

4

3

2

PUNTEGGIO TOTALE

0,00 0,50 1,000,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

0,00 0,50 1,00

0,00 0,50 1,00

0,00 0,25 0,50

2,50

2,50

2,50

2,50

10,00

Test Eserc.

Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito

http://www.webalice.it/eliofragassi

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