Il problema della misura in Fisica

Appunti per la classe 3°C del Liceo Classico “C.Colombo”

Cosa è la Fisica?

La Fisica è una scienza sperimentale, basata sull’osservazione di fenomeni naturali.La Fisica studia i fenomeni naturali per:

– fornire una descrizione accurata di tali fenomeni

– interpretare le relazioni fra di essi

Il metodo scientificoIl metodo scientifico si basa su:

– osservazione sperimentale di un fenomeno• riconoscimento degli elementi caratteristici del

fenomeno • formulazione di ipotesi sulla natura del

fenomeno – costruzione di una teoria

• permette di interpretare il fenomeno in esame• permette di fare delle predizioni sul fenomeno

– verifica sperimentale della teoria• conferma o smentisce le previsioni teoriche

Perché misurare?

Studiare un fenomeno significa osservare con attenzione quali grandezze lo determinano e stabilire una relazione fra esse.Per fare ciò è necessario misurare queste grandezze.Una grandezza è una quantità che può essere misurata con un opportuno strumento di misura.

Cosa vuole dire “misurare”?

Misurare una grandezza significa dire quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza stessa.

Quale unità di misura?

Una unità di misura deve essere:• facilmente disponibile• facilmente usabile• non deteriorabile a seconda del tempo,

delle condizioni di misura ecc.• universale• esprimibile con multipli e sottomultipli

I passi necessari

Descrizione qualitativa

Misura

Descrizione quantitativa

Cosa misurare?Il fine di un esperimento scientifico consiste nella misurazione di grandezze fisiche e nella ricerca di relazioni fra esse. Esempi di grandezze fisiche sono:

• la lunghezza

• il tempo

• la massa

• il volume

• la velocità

Quali grandezze?

Le grandezze fisiche possono essere:

• continue (lunghezza, velocità, accelerazione, massa, temperatura…)

• discrete (quante volte viene “testa” lanciando una moneta?)

Come misurare?• Due grandezze si dicono omogenee se

sono della stessa specie.• Per misurare una grandezza è necessario

associare ad essa un numero seguendo regole ben stabilite (protocollo).

• Questo numero esprime il rapporto fra la grandezza in questione ed una ad essa omogenea presa come campione.

Risultato della misura

Il risultato della misura è di

associare ad una grandezza un

numero ed un’unità di misura.

Sistemi di unità di misuraLe relazioni indipendenti esistenti fra le grandezze fisiche sono in numero inferiore rispetto alle grandezze fisiche stesse.Esistono delle grandezze fisiche (dette grandezze fondamentali) per cui è necessario fissare i campioni e le unità di misura in maniera arbitraria.Le altre grandezze, le cui unità di misura sono dedotte da quelle delle grandezze fondamentali, si chiamano grandezze derivate.

Il Sistema InternazionaleUn sistema di unità di misura è definito scegliendo le grandezze fondamentali e le loro unità di misura. Le unità di misura delle grandezze derivate si esprimono in termini di quelle delle grandezze fondamentali. Esiste un sistema accettato da tutti in campo scientifico (e, ormai, in quasi tutti i Paesi) detto Sistema Internazionale in cui sono individuate alcune grandezze fondamentali ed altre da esse derivate.

Le grandezze fondamentaliGrandezza fondamentale

Unità di misura Simbolo

Lunghezza metro mMassa chilogrammo kgTempo secondo sCorrente elettrica Ampere ATemperatura grado Kelvin KIntensità luminosa candela cdQuantità di sostanza

mole mol

Come devono essere i campioni?• Le grandezze fondamentali sono definite

attraverso dei campioni meticolosamente definiti.

• Il problema di determinare un campione si presentò in contemporanea con la nascita della scienza moderna, a partire dal XVII secolo.

• I campioni sono stati via via meglio precisati a mano a mano che la tecnologia si è evoluta.

Equazioni dimensionali• Ad ogni grandezza misurata si associa una

dimensione, che è indipendente dall’unità di misura con la quale viene espressa

• Ciascuna grandezza fisica può essere espressa mediante un’equazione dimensionale

• Grandezze omogenee hanno le stesse dimensioni

• Due quantità possono essere uguagliate solo se sono dimensionalmente compatibili

Esempi di equazioni dimensionali

Grandezza Equazione dimensionaleVelocità v [v] = [l][t-1]

Area A [A] = [l2]Volume V [V] = [l3]

Forza F [F] = [mlt-2]

Grandezze adimensionali• Sono definite come rapporto fra grandezze

omogenee• Il loro valore è indipendente dal sistema di

unità di misura scelto

lR

θ = l / R

θ

Esempio: l’angolo piano espresso in radianti è definito come rapporto fra la lunghezza dell’arco ed il raggio

I campioni delle grandezze fondamentali

Grandezza Campionemetro lunghezza del tragitto compiuto dalla luce nel

vuoto nell’intervallo di tempo pari a 1/ 299 792 458 secondi

secondo tempo pari a 9 192 631 770 oscillazioni della radiazione emessa in una particolare transizione dell’ atomo di cesio 133

chilogrammo massa del prototipo internazionale

La storia del metro (1)Nel XVII secolo l'astronomo francese Jean Picard (1620-1682) aveva proposto, come unità di misura della lunghezza, la lunghezza di un pendolo oscillante con il semiperiodo di un secondo a 45° di latitudine al livello del mare. Il progetto non ebbe seguito

1) per le difficoltà tecniche, che allora si presentavano, per ottenere una discreta precisione;

2) per il fatto che due grandezze, il tempo e la lunghezza, non sarebbero state così indipendenti tra loro;

3) per non mettere in difficoltà quelle nazioni che non potevano costruire un tale campione, perché prive di tali condizioni.

La storia del metro (2)Nel 1790 Talleyrand, vescovo di Autun, propose all'Assemblea Costituente di Francia di realizzare un sistema unico di unità di misura. L'Assemblea incaricò a tale scopo una commissione composta da membri dell'Accadèmie des Sciences di Parigi.Nel 1791 la commissione definì il metro unità di misura di lunghezza, come la decimilionesima parte del quarto di meridiano terrestre passante per Parigi.Il 7 aprile 1795 nacque il Sistema Metrico Decimale.Nel 1799 Fortin costruì un regolo di spugna di platino compressa, con sezione di 25 mm · 4,05 mm, ("metro legale" o "metro degli archivi“). Tale campione doveva essere lungo un metro tra le due estremità alla temperatura di fusione del ghiaccio ma risultò più corto di 0,1÷0,2 mm, con una precisione di 10÷20 µm, perché tale era la precisione delle macchine di allora di lavorare facce parallele.

La storia del metro (3)Tra il 1792 ed il 1798 l'astronomo Delambre, facendo delle misurazioni tra Dunkerque e Montjuich (Barcellona), dimostrò che il meridiano era più lungo dei 40 milioni di metri stabiliti: al metro campione mancavano 0,2288 mm rispetto alla definizione teorica.Nel 1829 Jacques Babinet (1794-1872) propose di adottare la lunghezza d'onda di qualche raggio di luce particolare come campione di lunghezza. La proposta fu ripresa nel 1864 da Hyppolite Louis Fizeau, ma il primo tentativo fu fatto da C. S. Peirce e Rutherford nel 1879.Il 20 maggio 1875, 17 nazioni firmarono la Convenzione del Metro (Conferenza diplomatica del metro): si abbandonò la vecchia definizione del metro ridefinendolo in base ad un campione ricostruito con criteri migliori e si formò la Commissione Internazionale per i Pesi e Misure (CIPM)

La storia del metro (4)Nel 1878 si realizzò praticamente il campione. Nel 1899 vennero costruite 30 copie del metro campione che venne designato con la sigla M, costituite da una barra al 90% di platino e al 10% di iridio. Tale lega fu scelta perché dura e compatta con coefficiente di elasticità elevato e coefficiente di dilatazione termica praticamente nullo.

Il campione è conservato in ambiente termostatato a 0° C nei sotterranei di Sèvres (padiglione di Breteuil) presso Parigi ed è il prototipo n° 6 (i campioni 13 e 19 conservati sempre a Sèvres servono da riscontro).

Il metro M non è sufficientemente preciso, né accessibile.

La storia del metro (5)

Nel 1960 il metro è stato ridefinito come il multiplo 1.650.763,73 volte la lunghezza d'onda nel vuoto della luce rosso-arancio del kripto-86. Tale metro ottico consente una precisione di 3 su 10-9.Il metro è la lunghezza del tratto percorso dalla luce nel vuoto in 1/299792458 s.

Misure dirette e indirette

Distinguiamo 2 categorie di misure:• dirette ottenute confrontando direttamente

la grandezza con l’unità di misura• indirette ottenute misurando alcune

grandezze ed applicando le relazioni esistenti fra di esse per ricavare il valore della misura desiderata

Gli strumenti di misura

Possono essere:• Analogici (il valore della misura si legge su

una scala graduata)• Digitali (il valore della misura appare come

una sequenza di cifre)

Caratteristiche degli strumenti di misura

• Precisione (indice della qualità dello strumento)

• Portata (valore massimo che si può misurare)

• Sensibilità (valore più piccolo che si può distinguere)

• Prontezza (rapidità con cui lo strumento risponde alla variazione della quantità da misurare)

Ma la misura riesco a farla ugualmente… o no?

Per i motivi visti ora e legati allo strumento di misura viene spontaneo chiedersi se è comunque possibile effettuare misure sensate o se una misura risulta sempre errata e, quindi, inutile.In effetti ogni volta che si fa una misura si commette un errore, ma esistono dei metodi per capire se la misura che si sta facendo è più o meno corretta, ponendo rimedio ad alcuni errori.

Errori di misura• L’errore in una misura scientifica

rappresenta l’inevitabile incertezza che è presente in tutte le misure

• Quando si effettua la misura di una grandezza non si può essere certi che il risultato dell’operazione di misura corrisponda al vero, ma si può solo indicare un intervallo di valori in cui si è fiduciosi che cada il valore vero detto intervallo di validità

Incertezza della misura• Poiché non esistono misure esatte cioè

prive di errore, è importante conoscere l’incertezza della misura

• Se gli errori sperimentali sono superiori al limite accettabile per l’incertezza, la misura non è significativa

• Il limite dell’incertezza dipende da cosa si deve misurare (un secondo può essere un tempo brevissimo o lunghissimo a seconda dei punti di vista…)

Ci sono errori ed errori…• Incertezza legata alla sensibilità dello

strumento• Errori casuali: non possono essere eliminati

ma stimati e limitati facendo tante misure ripetute

• Errori sistematici: avvengono sempre nello stesso senso e dipendono da imperfezioni dello strumento di misura o da aberrazioni costanti dell’osservatore

Un esempio di errore casuale

Cronometrando una gara di nuoto, alcuni cronometristi fanno partire il cronometro un attimo prima, altri un attimo dopo, anche se tutti stanno attenti allo start.

Un esempio di errore sistematico

Ad esempio se si usa un metro metallico ad una temperatura diversa da quella nominale si commette un errore sistematico.

Un altro errore sistematico

Anche in questo caso si può verificare un errore sistematico, dovuto alla imperfetta posizione dell’osservatore rispetto allo strumento di misura: questo fenomeno si chiama parallasse.

E quindi…???• Si può migliorare l’esperimento eseguendo

la misura in modo più accurato, cercando di correggere o eliminare l’effetto di tutte le perturbazioni della misura che conosciamo.

• Tuttavia la misura non sarà mai esatta, perché ci possono essere errori sconosciuti, errori casuali e inadeguata sensibilità dello strumento.

Il risultato di una misura

Il modo corretto di dare il risultato di una misura (a causa dell’incertezza legata alla misura stessa) è il seguente:

G=M±ea

Risultato della misura

Stima migliore della misura

Intervallo in cui si è ragionevolmente sicuri che si trovi la misura

Stima della misura migliore: una prima possibilità

• Calcolare il valore medio

• Calcolare l’errore massimo o semidispersione

• Calcolare l’errore come il valore più grande fra l’errore massimo e la sensibilità dello strumento

1

n

iix

xn

==∑

max min

2mx xe −=

max( , )mx e sensibilità∆ =

Confrontare gli errori

• l’errore relativo

• l’errore percentuale

rxex

∆=

Per confrontare gli errori sono particolarmente utili:

% 100re e= ×

QUESTI SONO NUMERI PURI!!!

(più è piccolo più la misura è precisa)

Stima della misura migliore: un’altra possibilità

• Si può applicare solo quando si hanno molti dati a disposizione molte misure dello stesso fenomeno

• Si suddividono i dati in intervalli (se è necessario) detti classi

• Si calcola la frequenza di ciascuna classe• Si costruisce un istogramma• I dati più probabili sono quelli rappresentati

nel “picco” dell’istogramma

Dall’istogramma alla Gaussiana

Avendo molti dati si può verificare che l’istogramma tende a coincidere con una curva detta Gaussiana trattazione statistica

0

20

40

60

80

100

120

140

Lo scarto quadratico medioNella trattazione statistica si vede che il valore che approssima meglio la stima migliore della misura è lo scarto quadratico medio:

2

1( )

n

iix x

nσ =

−=

∑

I dati sperimentali minori di xmedio±σ sono solo un terzo del totale.

Misura la dispersione dei dati attorno alla media

Un esempioSupponiamo di avere i seguenti dati:

66 115 125 95 103 78 62

Calcoliamo lo scarto quadratico medio:

L’incertezza sulle misure indirette

Il valore più plausibile di tutte le grandezze derivate è quello che si ottiene facendo le operazioni necessarie sui dati sperimentali ottenuti.• L’errore sulla somma o sulla differenza di

misure è uguale alla somma dei corrispondenti errori

• L’errore relativo sul prodotto e sul quoziente di misure è uguale alla somma degli errori relativi sulle singole misure

La legge di propagazione degli errori

( )a b a ba b a b

∆ × ∆ ∆= +×

( )a b a b∆ ± = ∆ + ∆

aa bb

a a bb

∆ ÷ ∆ ∆ = +

( )nn

a ana a

∆ ∆=

Possiamo generalizzare quanto detto fino ad ora con queste regole:

La notazione scientifica• Le misure spesso sono espresse

usando la notazione scientifica• Nella notazione scientifica si

indica il risultato di una misura tramite le potenze di 10

• Il numero viene scritto mettendo la virgola dopo la prima cifra diversa da zero e moltiplicandolo per una opportuna potenza di 10, positiva o negativa

Esempi di misure in notazione scientifica

456,7 kg

0,00345 kg

4,567∙102 kg

3,45∙10-3 kg

Le cifre significativeVediamo alcuni risultati di misure forniti con diversi numeri di cifre significative:

– 1 cifra significativa: 5 m – 1 cifra significativa: 0,006 km

Gli zeri che precedono la prima cifra non nulla non sono cifre significative!

– 2 cifre significative: 3,0 mGli zeri che seguono l’ultima cifra non nulla sono cifre significative!

– 2 cifre significative: 0,40 m In questo caso lo zero prima della virgola non è una cifra significativa, mentre il secondo zero è una cifra significativa

Le cifre significative nelle operazioni

• Moltiplicazione e divisione di una misura per un numero: il risultato ha lo stesso numero di cifre significative

• Moltiplicazione e divisione di misure: il risultato ha lo stesso numero di cifre significative della misura meno precisa

• Addizione e sottrazione di misure: si arrotondano le misure in modo che la prima cifra incerta sia quella della misura con incertezza maggiore

Quante cifre dobbiamo tenere?Nella misura dello spigolo di un cubetto eseguita con un palmer con sensibilità di un centesimo di millimetro, si sono ottenuti i seguenti valori: 8,41mm, 8,40mm, 8,44mm, 8,41mm, 8,39mm, 8,43mmxM=8,407142857mmNon è necessario usare tutte queste cifre significative xM=8,41mm che ha lo stesso numero di cifre significative delle misure.Inoltre abbiamo che: ∆x=0,0035mm ∆x=0,04mm La misura dello spigolo è: (8,41±0,04)mm

Cifre significative in somme e differenze

70,6 m + 6,43 m =77,03 m77,0 m

24,02 m +122,157 m =146,177 m146,18 mRisultati corretti

Il risultato di una addizione (o di una sottrazione) va espresso con un numero di cifre dopo la virgola pari a quelle dell’addendo con meno cifre dopo la virgola

Gli arrotondamenti vanno fatti per difetto se la cifra che segue l’ultima cifra significativa è <5, per eccesso se tale cifra è >5. Se la cifra dopo l’ultima cifra significativa è un 5, e non è seguita da altre cifre, l’arrotondamento va fatto per difetto; se invece essa è seguita da altre cifre, si arrotonda per eccesso

Cifre significative in prodotti e rapporti

Esempio: misura dell’area di un rettangoloAccuratezza della misura: ±0,1cm

a = 11,6 cm

b = 6,4 cm

• I valori misurati a e b hanno rispettivamente 3 e 2 cifre significative• Calcoliamo l’area A = a×b = 74,24 cm2

• Il risultato corretto è A=74 cm2 (2 cifre significative, come b)

Il risultato di un prodotto va espresso con un numero di cifre significative pari a quello del fattore che ha meno cifre significative