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Fisica• 6 ore settimanali ( 2 di tutoraggio) - Totale 48 Ore

• Giovedi (307) 9:30 – 11:30 • Venerdi (405) 10:30 – 12:30• Giovedi (405) 16:30 – 18:30 – Tutoraggio -

• E’ una presentazione essenziale di concetti e metodi usati nella descrizione della natura intorno a noi

• Unità di misura – Vettori (cap. 1,3)• Meccanica - (cap.2,4,5,6,7,8,10,14,16)• Termodinamica - (cap. 19,20,21)• Elettricità e Magnetismo (cap. 25,26,27,29,30,31)

Testo: a) David Halliday, Robert Resnick, Jearl WalkerFondamenti di Fisica Casa Editrice Ambrosiana

b) SerwayPrincipi di FisicaEdiSeS

Lucidi presentati a Lezione:www.mi.infn.it/~camera/Informatica

Esame: 2 Compitini a metà ed alla fine del corsoScritto + Orale

E’ utile una buona conoscenza e manualità nell’analisi matematica

Introduzione alla fisica - Cap. 1 HRW 1


La matematica in fisica

La fisica è il tentativo dell’essere umano di descrivere in maniera quantitativa la natura ed il mondo che abbiamo attorno.

La descrizione viene fatta per mezzo di relazioni tra oggetti utilizzando le strutture logiche che vengono date dalla matematica

Attenzione

La fisica NON coincide con la matematica

Ogni variabile o oggetto che entra in gioco in una equazione della fisica è una entità reale che il più delle volte è possibile osservare e misurare.

La fisica parte dalla realtà e per mezzo del formalismo matematico descrive e/o prevede dei fenomeni reali

‘‘La forza esercitata da una molla è direttamente proporzionale alLa forza esercitata da una molla è direttamente proporzionale al suo allungamento. Il suo allungamento. Il coefficiente di proporzionalità, K, si dice costante elastica’coefficiente di proporzionalità, K, si dice costante elastica’

La fisica parte da oggetti e quantità REALI che è possibile osservare e misurare ed arriva ad oggetti e quantità REALI che è possibile misurare

ℜ∈⇒ℜ∈⇒

ℜ∈⇒−=

dipendentevariabilecostante

teindipendenvariabile

FKx

KxF

Matematica

molladallaesercitataForzamolladellaelasticacostante

molladellatoallungamenx

⇒⇒⇒−=

FK

KxF

Fisica


La Fisica dà informazioni

• L’informazione deve essere comunicabile

• Unità di Misura - Sistema Internazionale (S.I.)

• Deve dare l’attendibilità di questa informazione

• Cifre significative – Cenni -

• L’informazione deve essere coerente

• Calcolo Dimensionale

• L’informazione deve essere completa

• Grandezze Scalari e Vettoriali

• Calcolo vettoriale

Peso = 57.3 Kg

Velocità ??


Unità di Misura

Sistema Internazionale (S.I.)

(M.K.S.)

• Lunghezza ........................................ Metro m

• Massa (peso) ..................................... Chilogrammo Kg

• Tempo ............................................... Secondo s

• Corrente elettrica …………………. Ampere A

• Temperatura ………………………. Grado Kelvin K

Tutte le altre grandezze (grandezze derivate) si misurano per mezzo di queste Unità, derivano cioè dalla combinazione di queste quattro grandezze fondamentali

• Velocità a m/s• Accelerazione a m/s2

• Volume a m3

• Newton a Kg m / s2

AttenzioneE’ possibile sommare, sottrarre SOLO ed

ESCLUSIVAMENTE quantità dello stesso tipo


Il valore di una grandezza fisica, associato ad un’unità fondamentale o ad una unità derivata, è talvolta un numero molto grande o molto

piccolo. In questi casi vengono introdotti multipli o sottomultipli delle unità di misura secondo potenze di dieci

Prefissi del Sistema Internazionale

• 1018 Exa- E

• 1015 Peta- P

• 1012 Tera- T

• 109 Giga- G - Gigabyte 109 bytes

• 106 Mega- M - Megabyte 106 bytes

• 103 Kilo- k

• 102 Etto- h

• 101 Deca- D

• 10-1 Deci- d - decimetro - 10-1 m

• 10-2 Centi- c

• 10-3 Milli- m - millimetro 10-3 m

• 10-6 Micro- µ

•10-9 Nano- n - nanosecondo 10-9 s

•10-12 Pico- p - picosecondo 10-12 s

•10-15 Femto- f

•10-18 Atto- a


Misura:

“Espressione quantitativa del rapporto fra una grandezza ed un’altra ad essa omogenea scelta come unità”

Ovviamente a priori non si conosce il valore di ciò che si misura, al più, si avrà una idea sull’ordine di grandezza.

E’ quindi necessario fornire un ‘errore’, una stima cioè della possibile differenza tra il valore della misura e quello reale (che non conosciamo).

Quindi:1. E’ una espressione quantitativa2. Necessita di una grandezza di riferimento (Metro, Kg,

Secondo, Newton ...)3. Necessita di una stima dell’errore

Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornitodallo strumento, ma anche di un errore e di una unità di misura(la mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili)

Una misura DEVE dare una informazione COMPLETAUna misura DEVE essere ripetibile

Massa = 0.23 ± 0.001 10-5 KgMassa = 0.230 10-5 Kg


Tempo

• Ciò che si misura non è il tempo ma piuttosto un Intervallo di tempo

• Per misurare un tempo è necessario un orologio, cioè un oggetto che conta qualcosa, p.e. le oscillazioni di un fenomeno periodico

• Pendolo ( l’errore è circa di un secondo per anno )

• La rotazione della terra (l’errore è circa di 1 ms ogni giorno)

• Un quarzo (l’errore è circa di 1 s ogni 10 anni)

• Orologio atomico Cs (1 s ogni 300000 anni)• 1 secondo = 9192631770 vibrazioni della radiazione emessa dal cesio

• Maser a idrogeno (1 s ogni 30 106 anni)

Limiti sperimentali:

• Direttamente è possibile misurare intervalli di tempo fino a 10 ps

• In fisica entrano in gioco circa 60 ordini di grandezza

10-23 - 1027 s Fenomeni nucleari

5 1017 s Vita dell’universo


LunghezzaPer misurare una lunghezza è necessario un metro campione:

Il metro è la 10-7 parte della distanza tra il Polo Nord e l’Equatore

Il metro campione è una sbarra di Platino Iridio a Parigi

• Ma .. Parigi è lontana dai laboratori del mondo• Ma .. la sbarra di Parigi non è proprio

1/107 la distanza Polo Nord Equatore (è sbagliata dello 0.023% )

Nuova definizione:

1 m = 165763.73 volte la lunghezza d’onda emessa dal 86Kr

1 m = Lunghezza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299792458 di secondo

Limiti sperimentali:

• Direttamente è possibile misurare lunghezze fino a 10 nm

• In fisica entrano in gioco circa 40 ordini di grandezza

10-15 m Dimensione di un nucleo (Idrogeno/Protone)

2 1026 m Distanza tra la Terra e la Quasar più lontana


MassaPer misurare una Massa è necessario una massa campione:

Il Campione di Massa è un Cilindro di Platino Iridio depositato a Parigi

• Ma .. Parigi è lontana dai laboratori del mondo• Bisogna fare delle copie

la precisione è ~ 10-8 kg... troppo poco

• Nuova definizione: .... Non c’è ancora !

• In fisica nucleare/particelle si usa l’Unità di massa atomica = u

• u = 1/12 del peso di un atomo di 12C

• La Relazione u - Kg non è però nota con estrema precisione

1 u = 1.661 10-27 Kg (troppo imprecisa)

La massa ha una definizione dinamica (massa inerziale) ed una definizione gravitazionale (massa gravitazionale)

min ⇒ massa inerziale

m1,m2 ⇒ massa gravitazionale

La teoria della relatività generale ha come ipotesi di partenza che la massa inerziale e quella gravitazionali siano esattamente la stessa cosa

amF in=

= rGF 221

∧

rmm


Cifre Significative.

Una variabile intera a 8 bit può trattare, per esempio, numeri tra 0 (00000000) e 255 (11111111)

Un variabile intera a 16 bit può trattare, per esempio, numeri tra 0 (0000000000000000) e 65535 (1111111111111111)

Un variabile intera a 32 bit può trattare, per esempio, numeri tra 0 (00000000000000000000000000000000) e 4294967295 (11111111111111111111111111111111)

Questo ha una grossa influenza sul risulato e sulla precisione dei conti che possiamo fare

Avendo pochi bit a disposizione sono costretto a trattare i numeri con più cifre con una grossa approssimazione !

Esempio

Se volessi esprimere il raggio della Terra

R = 6.4 106 m avendo solo 8 bitIl volume della terra sarebbe V = 1.1 1021 m3

R = 6. 3702 106 m avendo 16 bitIl volume della terra sarebbe 1.0828 1021 m3

Ciò significa una differenza di 30 Km nel raggio della Terra e 2 1019 m3

nel volume della Terra


Esempio:

Voglio calcolare il peso di una fetta di torta:

- Uso una normale pesa di cucina, precisa al grammo -

310 g di farina5 uova (1 uova pesa 75 grammi)150 g di zucchero15 grammi di lievito

Se il peso della torta è 850 g e la divido in 6 fette ogni fetta peserà (uso la calcolatrice)

In altre parole secondo questo calcolo dovrei conoscere il peso della fetta di torta al milionesimo di grammo !!!!!

C’e’ qualcosa che non va !

Ovviamente la calcolatrice funziona perfettamente

Siamo noi che abbiamo sbagliato a scrivere le ‘cifre significative’ del peso della fetta di torta

g85015

150375310

=+++

g6666667.1416:850 =


Precisione e Cifre Significative

Un numero (una misura) è una informazione !

E’ necessario conoscere la precisione e l’accuratezza dell’informazione.

La precisione di una misura è contenuta nel numero di cifre significative fornite o, se presente, nell’errore di misura,

Il numero di cifre significative e l’errore forniscono le potenzialità ed i limiti dell’informazione a disposizione

Una manipolazione numerica ovviamente non può ne aumentare ne diminuire la precisione di una informazione !

Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla, da sinistra verso destra.

Esempio:

187.3 4 cifre significative10.0000 6 cifre significative10.0101 6 cifre significative1 1 cifra significativa1234.584 7 cifre significative 0.00001 1 cifra significativa


Esempio:

Una manipolazione numerica ovviamente non può ne aumentare ne diminuire la precisione di una informazione !

Quando si moltiplicano o si dividono due numeri il risultato non può avere più cifre significative del fattore meno preciso

Nelle addizioni e sottrazioni l’ultima cifra significativa del risultato occupa la stessa posizione relativa dell’ultima cifra significativa degli addendi.

Nella somma quindi non è importante il numero delle cifre significative ma la posizione di queste

8.1421584.12343.18710*518.130.12*450.123

10*52.13.12*450.123

1426:850

3

3

=+=

=

=esempialtri

gtortaesempio

9.1421884.1421458.1234

3.187

⇒=+


Analisi DimensionaleOgni numero in fisica è associato a qualcosa di reale, ad una misura

Ad ogni misura è associata una unità di misura !

Ogni Equazione DEVE essere quindi dimensionalmente consistente

I metri si devono sommare solo ai metri Non posso sommare i metri con i chilometri o con i secondi !

Lunghezza a [m] Massa a [Kg] Tempo a [s]

Legge di Newton a F = m a

1 N = [kg] * [m][s] -2 = [kg][m][s]-2

Numero Puro = Numero senza dimensione

Gli argomenti di esponenziali, seni, coseni, logaritmi .. DEVONOessere sempre numeri puri !

Se un serbatoio di automobile contiene inizialmente 8.01 litri di benzina e supponendo che la benzina venga introdotta nel serbatoio alla rapidità di 28.00 litri/minuto. Quanta benzina contiene il serbatoio dopo 96 secondi

Benzina = Benzina iniziale + Benzina aggiunta

Benzina = =

Benzina = =

Benzina = 8.01 litri + 44.8 litri = 52.81 litri

( )secondi96minuto

litri00.28litri01.8

+

+ secondi

minutolitri2688litri01.8

secondisecondi 60litri2688litri01.8 + secondi

secondilitri8.44litri01.8 +


Esempi alla lavagna:

- Quesiti - Calcoli dimensionali- Esercizi

Nota:

Anche questi argomenti trattati esclusivamente in Aula sono argomento di esame

Vettori - Capitolo 3 HRW 1

Vettori

Quando si misura una grandezza fisica, a volte è sufficiente considerare soltanto l’aspetto quantitativo. A volte invece un semplice valore numerico è in grado di descrivere solo parzialmente queste grandezze

Massa, Lunghezza a Grandezze scalariVelocità, spostamento a Grandezze Vettoriali

Quanto Veloce a ModuloIn che direzione a DirezioneCon che verso a Verso

Una grandezza vettoriale è quindi caratterizzata SEMPRE da un valore numerico (modulo), da una direzione e da un verso. Graficamente si indica con una freccia la cui lunghezza indica il modulo, la direzione della freccia indica la direzione della grandezza vettoriale ed il suo orientamento il verso.

modulo

direzione

Verso

K


Rappresentazione numerica

X

θ

Y

Dando le due componenti

K = (kx,ky)

Dando il Modulo e l’angolo

K = (|K|, θ)

In due Dimensioni

kx = |K| Cos (θ) |K| = (kx2+ky

2)1/2

ky = |K| Sen (θ) θ = Atan (ky/kx)

22KyxkkModulo +==

Identico ragionamento in tre dimensioni

),,( zyx KKKK = ),,( ϕθ KKKK r=


I Versori

Definisco 2 (3) vettori (nello spazio a 2 (3) dimensioni) con

• Modulo = 1

• Direzione = asse x, asse y, (asse z)

• Verso = Quello delle coordinate Positive

1 ∧

i∧

j

)2,3(

23

=

+=∧∧

k

jikk

Rappresentazione numerica


Poiché è possibile sommare/sottrarre/moltiplicare le grandezze vettoriali anche per i vettori deve essere possibile definire delle

operazioni di somma e prodotto

Poiché un vettore matematicamente non è altro che un elemento di un campo vettoriale allora le operazioni tra i vettori non sono altro che quelle

definite dalla matematica per i campi vettoriali.

Ho un tipo di somma:

Vettore + Vettore a Vettore

Posso avere quattro diversi tipi di prodotto

1) Prodotto semplice

Scalare * Vettore a Vettore

2) Prodotto Scalare

Vettore • Vettore a Scalare

3) Prodotto Vettoriale

Vettore Λ Vettore a Vettore

4) Prodotto Tensoriale

Vettore ⊗ Vettore a Matrice


Operazioni con i Vettori

Somma di Vettori:

Metodo Grafico:

Metodo Algebrico

La somma di vettori posso farla componente per componente (se espressi in rappresentazione cartesiana)

A( 3,2) + B(2,-3) = C

C = A+B = (3+2, 2-3) = ( 5,-1)

Metodo Grafico:

+= =

Metodo Algebrico:


Prodotto semplice ⇒ ha come risultato un vettore

• V (a,b) oppure V(|v|,θ)

• 4 V = V’ (4a, 4b) = V’(4|v|,θ)

Prodotto Scalare ⇒ ha come risultato uno scalare

A(a1,a2) , B(b1,b2) A(|a|,θa) , B(|b|,θb)

C = A∗Β = (a1*b1 + a2*b2 ) C = A*B = |a||b|Cos (θa-θb)

Geometricamente è il prodotto tra il modulo del primo vettore con la proiezione del secondo lungo la direzione del primo

Ovviamente:

• Il Prodotto scalare tra due vettori ortogonali e nullo !

• Il Prodotto scalare tra due vettori paralleli è il prodotto dei loro moduli

• A * B = B * A Infatti Cos (θa- θb) = Cos (θb- θa)

• Esempio: A=A(2,5) B=B(-3,4)

C = A*B = 2*-3 + 5*4 = - 6 + 20 = 14


Prodotto Vettoriale ⇒ ha come risultato un vettore

A(a1,a2) , B(b1,b2) oppure A(|a|,θa) , B(|b|,θb)

C = A x B = A Λ B

Modulo a |C| = |a||b| Sen (θa - θb)

Direzione a Ortogonale al piano individuato da A e B

Verso a Regola Mano Destra

A

BC B

AC

Con le dita della mano destra far girare il vettore A verso il vettore B, il pollice indicherà la direzione del vettore C

Ovviamente:

• Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo• A x B = - B x A


Prodotto Vettoriale in 3 dimensioni

A(xa,ya,za)B(xb,yb,zb)

X

Y

Z

A

B

C

( )( )( )babac

abbac

babac

xyyxzxzxzyyzzyx

BAC

−=−=−=

∧=i j k

xa ya za

xb yb zb

EsempioA(1,1,1) B(2,2,0) C = A Λ B

Cx = (1*0)-(2*1) = 2Cy = - ((1*0)-(2+1)) = 2Cz = (1*2)-(2*1) = 0

022111kji


Alcuni esempi sui vettori

Somma ?Differenza ?Prodotto Scalare ?Prodotto Vettoriale ?

Rappresentazione Polare ?

Somma ?Differenza ?Prodotto Scalare ?Prodotto Vettoriale ?

Rappresentazione Cartesiana ?


Esempi alla lavagna:

Nota:

Anche questi argomenti trattati esclusivamente in Aula sono argomento di esame

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