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Universita degli Studi di Lecce

Facolta di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Dipartimento di Fisica

Tesi di Laurea

Il Modello Standard SupersimmetricoNon Minimale

Laureanda: Elisa Manno

Relatore: Dr. Claudio Coriano

Correlatore: Dr. Pasquale Di Bari

Anno Accademico 2004-2005

Ringraziamenti

Vorrei dedicare questa tesi a tutte le persone che mi sono state accanto in questi

ultimi mesi di studio, mesi di duro lavoro ma anche di grande apprendimento.

In cima alla lista delle persone che voglio ringraziare c’e il mio relatore, il Prof.

Claudio Coriano, perche mi ha fatto capire cos’e la ricerca scientifica e mi ha insegnato

ad affrontare con grinta i problemi che si incontrano nello studio. Lo ringrazio non

solo per l’aiuto che mi ha fornito in questo lavoro di tesi ma anche per tutte le

opportunita che mi ha offerto, come il viaggio-studio a Monaco e la partecipazione

alla scuola dell’LHC, occasioni importanti nelle quali mi sono confrontata con altri

studenti e ho avuto modo di comprendere soprattutto lo spirito della ricerca.

Vorrei ringraziare per la sua disponibilita e i suoi consigli il mio corelatore, il Prof.

Pasquale Di Bari. Le sue belle ed originali lezioni assieme alla sua simpatia hanno

reso molto piacevole il periodo passato a Monaco.

Voglio ringraziare la mia famiglia che mi ha sostenuto con ogni mezzo, materiale

e non, e mi ha appoggiato in tutte le scelte fatte fino ad oggi. Ringrazio mia madre

per la sua dolcezza e per i continui incoraggiamenti che mi hanno “nutrito” quotidi-

anamente e che mi hanno permesso di arrivare fino a qui. Voglio ringraziare mio papa

perche mi ha insegnato che con la costanza e la perseveranza si puo raggiungere qual-

siasi obiettivo e che occorre essere tenaci di fronte alle difficolta che la vita ci mette

di fronte. Ringrazio mia sorella Paola per avermi sopportato quando ero davvero

insopportabile e perche ha saputo farmi ridere di me quando mi prendevo troppo sul

serio. Ringrazio Marco per la sua infinita pazienza dimostrata in questo periodo e per

il suo amore incondizionato che dura invece da tanti anni. La sua vicinanza e stata

per me fonte di grande serenita nello studio ed ha quindi contribuito positivamente

alla realizzazione di questo mio lavoro.

Vorrei ringraziare in maniera particolare Marco Guzzi ed Alessandro Cafarella

1

i

perche sono stati per me come “angeli custodi” dai quali correvo alla prima difficolta.

Mi hanno aiutato concretamente sia nello studio che nell’uso di alcuni programmi al

computer e lo hanno fatto con grande pazienza e disponibilita.

Ringrazio infine tutti i miei amici che hanno visto in questi ultimi giorni un’ Elisa

un po esaurita e lunatica e per questo mi hanno aiutato a svagarmi e a rilassarmi.

Grazie a Momo per la sua presenza, grazie a Daniela per la sua saggezza, grazie ad

Anto, a Sabry, a Benny e a Cla per l’ affetto dimostratomi. Grazie agli amici del

Fiorini perche ho condiviso con loro momenti di sconforto e di risate, nonche i famosi

panini di Roberto.

Infine vorrei ringraziare i miei nonni perche mi hanno voluto tanto bene e sono

sicura che oggi sarebbero fieri di me.

Contents

Introduzione al lavoro di tesi1

0.1 Organizzazione degli argomenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Fisica oltre il Modello Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Capitolo 1. Introduzione alla Supersimmetria 9

1.1 Spazi duali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Corrispondenza tra SL(2, C) ed L↑+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Proprieta degli spinori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Rappresentazioni di SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Algebra Supersimmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.1 Relazioni per le variabili θ e θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.2 Differenziazione e integrazione rispetto alle variabili θ e θ . . . 22

1.6 Supercampi e trasformazioni supersimmetriche . . . . . . . . . . . . . 25

1.6.1 Supercampi chirali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.6.2 Supercampi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.6.3 Campi di forza supersimmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7 Azione e lagrangiana supersimmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.8 Conclusioni sull’algebra supersimmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Capitolo 2. Il Modello Standard 45

2.1 Teorie di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Costituenti del Modello Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

ii

Contents iii

2.3 Lagrangiana del Modello Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4 Correnti neutre e correnti cariche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.5 Rottura di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6 Generazione delle masse dalla rottura di simmetria . . . . . . . . . . 62

2.7 Le divergenze quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Capitolo 3. Il Modello Standard Minimale Supersimmetrico 67

3.1 Espansione dei supercampi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2 Lagrangiana Supersimmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3 Dettagli relativi al calcolo di LSoft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4 Calcolo di LSusy attraverso tecniche di algebra supersimmetrica . . . 79

Capitolo 4. NMSSM 97

4.1 Lagrangiana on-shell per l’ NMSSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2 Settore di Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3 Metodo di diagonalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.1 Sezione 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.3.2 Sezione 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.3.3 Sezione 3-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Introduzione al lavoro di tesi

0.1 Organizzazione degli argomenti

Una delle tematiche di ricerca piu attuali in fisica delle alte energie concerne lo studio

delle estensioni del Modello Standard nella loro formulazione supersimmetrica.

Il Modello Standard e basato su una teoria di gauge alla Yang-Mills che permette

l’unificazione delle interazioni elettrodeboli e di quelle forti mediante una scelta op-

portuna del gruppo di gauge (SU(3)c × SU(2)L ×U(1)Y). La generazione di massa

in queste teorie si fonda sul meccanismo di Higgs. Secondo questo meccanismo un

campo scalare complesso assume nello stato di minimo del potenziale del modello un

valore non nullo che determina la rottura spontanea della simmetria di gauge.

Uno dei compiti principali dei prossimi anni, specialmente all’ LHC, il nuovo

acceleratore in costruzione al Cern di Ginevra che entrera in fuzione nel 2007, sara

quello di testare questo meccanismo.

Il Modello Standard ordinario e chiaramente una teoria incompleta. Questo, ad

esempio, lo si capisce dalla conferma sperimentale della presenza di oscillazioni del

neutrino che, pertanto, deve avere massa. Nel Modello Standard ordinario il neutrino

non ha massa.

Un altro aspetto importante che porta a formulazioni estese del Modello Standard

e il cosiddetto “problema delle gerarchie di gauge”. Questo problema lo si puo rias-

sumere nel fatto che il valore di aspettazione nel vuoto del campo di Higgs e molto

piu piccolo della scala di Planck (1019 GeV) e che correzioni radiative nella teoria

elettrodebole dipendono in modo molto sensibile dalla scelta della scala di rinorma-

lizzazione che, di fatto, puo essere arbitraria e pari anche alla costante di Planck.

Il fatto che una teoria formulata ad una scala caratterizzata da un valore di ener-

gia del vuoto dell’ordine di alcune centinaia di GeV sia sensibile nell’ultravioletto

1

2 Introduzione al lavoro di tesi

ad una scala molto piu grande alla quale il Modello Standard chiaramente non puo

essere giustificato e un mistero al quale bisogna dare una risposta teorica consistente

e testabile sperimentalmente.

La presenza di questa gerarchia ed, in particolare, la condizione di cancellazione

delle divergenze quadratiche nella massa degli scalari, punta decisamente a favore di

una nuova simmetria oltre il Modello Standard detta “Supersimmetria”. La super-

simmetria, dapprima formulata in due dimensioni da Ramond nell’ambito delle teorie

di stringa, venne estesa in quattro dimensioni da Wess e Zumino.

Gli sviluppi degli anni ’70 hanno portato ad una formulazione delle teorie super-

simmetriche ed hanno aperto la strada alle loro implementazioni fenomenologiche.

Nelle teorie supersimmetriche ad ogni grado di liberta bosonico viene associato un

corrispondente grado di liberta fermionico. L’area naturale in cui studiare queste

estensioni delle simmetrie ordinarie e il superspazio del quale forniremo una de-

scrizione nei capitoli a seguire.

In questo lavoro di tesi ci occuperemo di un’estensione del Modello Standard su-

persimmetrico detta “non minimale”. In questo modello mentre la carica di supersim-

metria e 1, nuovi campi vengono aggiunti al superpotenziale del Modello Standard su-

persimmetrico ordinario per migliorare la dinamica, ad esempio rispetto al cosiddetto

problema del termine µ che appare come parametro dimensionale nell’interazione dei

due doppietti di Higgs della teoria.

Una delle soluzioni al problema del µ-term e ottenuta mediante l’introduzione di

un supercampo di singoletto S il cui valore di aspettazione s genera il µ-term. Questi

aspetti sono analizzati in dettaglio nel nostro lavoro.

Questa tesi e organizzata come segue. Il primo capitolo e un’introduzione all’algebra

supersimmetrica e alle sue rappresentazioni in supermultipletti.

Le strutture matematiche trattate sono necessarie alle nuove teorie di campo super-

simmetriche e la descrizione di superspazi e supercampi ci permette la costruzione di

lagrangiane supersimmetriche.

La seconda parte e una rassegna del Modello Standard e delle teorie di gauge

attraverso le quali si descrivono le interazioni fisiche tra particelle elementari. Le

simmetrie locali sotto le quali trasformano gli stati porta all’introduzione dei bosoni

di gauge. Questi danno un’ interpretazione moderna delle forze in natura intese come

propagazione e scambio di particelle virtuali. La possibilita che le quattro interazioni

0.2. Fisica oltre il Modello Standard 3

fondamentali siano espressioni diverse di un’ unica teoria di campo unificata e un tema

di grandissimo interesse e finora il modello proposto da Glashow, Weinberg e Salam

spiega l’unificazione elettrodebole, che, appunto, analizzeremo nel secondo capitolo.

Il terzo capitolo si concentra sulla costruzione della lagrangiana del Modello Su-

persimmetrico ordinario che contiene il minimo numero di campi e parametri richiesti

per ottenere un modello realistico degli stati fisici. Sfruttando l’espansione dei su-

percampi e le tecniche di calcolo descritte nella prima parte, si derivano in dettaglio

tutti i termini relativi al superpotenziale, con i contributi della parte di Higgs e dei

termini di interazione di Yukawa. Inoltre si identificano i termini relativi alla parte

cinetica dei supercampi leptonici, adronici e delle particelle di gauge con relativi

partners supersimmetrici. I calcoli in questo capitolo sono stati rifatti partendo dalla

letteratura originale [5]. La richiesta di rottura della supersimmetria ci porta ad

inserire un termine di breaking che sara discusso in dettaglio.

La parte originale di questa tesi e il capitolo 4 nel quale studiamo il settore degli

scalari della teoria e procediamo ad una identificazione del suo spettro.

Diagonalizzando le matrici di massa al tree-level otteniamo autostati reali con ben

precisi valori di massa. Questi dovrebbero corrispondere a particelle che ci si aspetta

di scoprire in esperimenti di collisione nell’arco di pochi anni. Nello stesso capitolo

si da l’espressione completa della lagrangiana per questo modello. Anche questo

risultato e originale ed e parte di un lavoro in fase di preparazione.

0.2 Fisica oltre il Modello Standard

Vi sono molte questioni nell’ambito della fisica teorica che, come abbiamo gia detto,

non possono essere spiegate nell’ambito del Modello Standard. Una delle soluzioni ai

quesiti irrisolti in questo Modello e fornita dal Modello Standard Supersimmetrico.

Esso non puo essere considerato una teoria completa in quanto non e ben chiara

la natura di tutti i suoi parametri. Il motivo principale di questa scelta e legata

alla validita di tale teoria per elevate scale di energia, intorno alla scala di Planck.

Elenchiamo i principali argomenti che portano verso la necessita di formulare una

teoria che vada oltre il Modello Standard.

In primo luogo l’interazione gravitazionale non entra in gioco nella fisica del


Modello Standard. Oggi, nell’ ambito cosmologico, non si trova una spiegazione

per la probabible esistenza di una costante cosmologica, ne si riesce a giustificare

la presenza di materia oscura (dark matter), entrambi elementi importanti per il

successo fenomenologico del modello cosmologico standard basato su una dinamica di

Friedmann-Robertson-Walker. Dati i recenti risultati su supernovae di tipo I e quelli

piu vecchi sulle curve di velocita delle stelle esterne nelle galassie di vario tipo che

non seguono l’andamento newtoniano, la questione della (molto probabile) presenza

della materia oscura e quella della energia oscura nell’universo richiedono nuove idee

fisiche che permettano di dare delle risposte a questi quesiti.

Inoltre e particolarmente interessante il problema delle gerarchie di gauge, gia

citato, e che descriveremo tra breve in maggior dettaglio. Non si comprende il motivo

della presenza di tre famiglie di leptoni e di quark, ne dell’unificazione delle costanti

di accoppiamento di Yukawa per i quark bottom, top e per la particella tau. Inoltre la

massa del bosone di Higgs, relativamente ai dati del Modello Standard, dovrebbe avere

un valore non maggiore di 200 GeV. Nel Modello Supersimmetrico, dove abbiamo

introdotto due doppietti di Higgs, si predice la massa del campo di Higgs piu leggero

pari ad un valore non maggiore a 140 GeV. Questo risultato trova un pieno accordo

con il valore teorico previsto pari a 115 GeV.

Prendiamo in esame il problema delle costanti di accoppiamento di gauge. La

prima figura descrive quello che succede nel Modello Standard e si nota che, per cor-

rezioni al primo ordine, i reciproci delle costanti di accoppiamento α−11 (Q2), α−1

2 (Q2),

α−13 (Q2), relative ai gruppi di simmetria U(1), SU(2), SU(3), variano in maniera

lineare con logQ2, dove Q2 rappresenta l’energia. Sebbene α−11 decresca con Q2

mentre α−12 e α−1

3 crescano, esse tendono ad avvicinarsi per grandi valori di energia

(Q2 ∼ (1016GeV )2) ma non si incontrano.

Nel Modello Standard Supersimmetrico, invece, si ottiene l’unificazione delle costanti

di accoppiamento e questo fatto implica due importanti risultati. Innanzitutto la teo-

ria di base e perturbativa fino alla scala dell’unificazione, in secondo luogo la fisica

intorno alla scala di unificazione e molto piu semplice di quella descritta per piccoli

valori di energia.

Consideriamo finalmente il problema delle gerarchie di gauge.

Il settore elettrodebole del Modello Standard contiene un parametro importante

che fissa la scala di energia relativamente alla masse della teoria. Tale parametro,

indicato con v, e il valore di aspettazione del vuoto del campo di Higgs, pari a circa


60

50

40

30

20

10

103 105 107 109 1011 1013 1015 10170

World average 91

Q (GeV)

α1 (Q)-1

α i (

Q)

-1α2 (Q)-1

α3 (Q)-1

Figure 1: Costanti di accoppiamento nel Modello Standard.

60

50

40

30

20

10

0102 104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018

Q (GeV)

α1 (Q)-1

α2 (Q)-1

α3 (Q)-1

α i (

Q)

-1

Figure 2: Costanti di accoppiamento nel Modello Supersimmetrico Ordinario.


246 GeV. Al tree-level, quindi in assenza di loops, le masse dei bosoni vettori W +,

W− e Z0 sono espresse in funzione di v

MW =gv

2∼ 80 GeV

mentre

mH = v

√

λ

2,

(massa dell’Higgs) in cui ora abbiamo indicato con g la costante di accoppiamento di

gauge di SU(2) e λ e l’intensita dell’autointerazione del campo Higgs, il cui potenziale

e

VH = −µ2φ†φ +λ

4(φ†φ)2.

Una delle condizioni necessarie per avere una teoria predittiva e’ quella della sua

rinormalizzabilita. Possiamo spiegare questo concetto in modo molto semplice.

Data una lagrangiana L0 caratterizzata da termini cinetici e da un dato potenziale,

essa e’ detta rinormalizzabile se le divergenze che appaiono perturbativamente (cioe

in una espansione in serie nelle costanti di accoppiamento della teoria) possono essere

cancellate da una lagrangiana addizionale (detta “di controtermine”) ∆L0, che ha la

stessa struttura della lagrangiana di partenza ma con coefficienti infiniti in modo che

L0 + ∆L0 dia predizioni finite. Quindi condizione necessaria perche una lagrangiana

descriva un modello consistente dal punto di vista della teoria dei campi e che questa

sia rinormalizzabile.

Vi sono esempi di lagrangiane non rinormalizzabili, le cosiddette lagrangiane “effet-

tive”, che sono di ausilio nello studio di vari processi fisici in intervalli di energia

specifici. Noi ci aspettiamo, pero’, che la teoria descrivente le interazioni fondamen-

tali sia una teoria rinormalizzabile, o che sia, meglio ancora, una teoria “finita”.

Al momento si crede che la descrizione di tutte le interazioni fondamentali, inclusa

anche la gravita, deve basarsi su una teoria finita. Se questo sia possibile in teorie

di campi locali rimane un problema aperto. Sviluppi recenti nell’ambito di teorie

che incorporano la gravita, quali le teorie di stringa (stringa e’ “corda” in inglese),

indicano che sia possibile ottenere una teoria finita mediante l’introduzione di oggetti

non locali, le stringhe ad esempio, per le quali il concetto di interazione di vertice

“puntuale”, tipico della teoria dei campi locale, e assente.

In questo capitolo descriviamo sommariamente il problema tralasciando i dettagli

piu’ tecnici che verranno analizzati brevemente nel capitolo 2.


Abbiamo detto che in una teoria rinormalizzabile e possibile rimuovere le diver-

genze mediante una ridefinizione (infinita) dei parameteri della teoria: ampiezze dei

campi, costanti di accoppiamento e masse.

In genere queste divergenze possono essere “controllate” mediante l’introduzione di

un parametro dimensionale che ha le dimensioni di una energia (Λ) e che permette di

“tagliare” i contributi divergenti negli integrali provenienti dalle correzioni radiative.

Per essere piu specifici, se indichiamo con∫ ∞

0f(k)d k (1)

un tipico integrale divergente nello spazio degli impulsi di una certa funzione f(k), il

taglio sull’integrale si ottiene introducendo l’approssimazione

∫ Λ

0f(k)d k (2)

che e’ finito, se Λ e finito. Ricordiamo che in unita’ naturali (h = c = 1) k ha le

dimensioni di una energia (o di una massa, equivalentemente) esattamente come Λ. I

tipi di divergenze che ci si aspetta da queste correzioni sono della forma logn(Λ/M),

per qualche n intero e dove M e una scala tipica della teoria. Tali divergenze, dette

appunto logaritmiche, sono quelle piu accettabili, nel senso che le sottrazioni incor-

porate in ∆L0 sono debolmente dipendenti dalla scala scelta per fissare Λ.

Ovviamente la situazione e diversa se tali divergenze sono lineri oppure, addirittura

quadratiche in Λ, perche in tal caso, pur potendo rinormalizzare la teoria mediante

una opportuna ∆L0, e ovvio che gli aggiustamenti da fare nei parametri della la-

grangiana di partenza L0 sono fortemente dipendenti da questa scala di taglio (cut-

off).

Il settore di Higgs del Modello Standard che, come abbiamo detto, e rinormaliz-

zabile, ha proprio questa caratteristica: le correzioni alle masse degli scalari sono

affette da divergenze quadratiche nella scala Λ e quindi le sottrazioni imposte dalla

procedura di rinormalizzazione sono effettivamente molto grandi in quanto Λ puo

essere scelto in modo completamente arbitrario ed essere, addirittura, della scala di

Planck (MPlanck = 1019 GeV).

La supersimmetria ci permette di superare questo ostacolo mediante la cancel-

lazione delle divergenze quadratiche del settore degli scalari. Questo viene ottenuto

mediante un raddoppiamento dello spettro e l’imposizione di un’ algebra, detta ap-

punto supersimmetrica, che preserva la simmetria di gauge ordinaria ma introduce


una simmetria globale che manda fermioni in bosoni e viceversa.

Al contrario delle simmetrie di gauge, che sono appunto simmetrie locali, la su-

persimmetria e una simmetria globale e come nelle simmetrie ordinarie puo essere

descritta usando il linguaggio gruppale, detto in questo caso dei supergruppi.

Mentre nelle teorie con simmetrie ordinarie gli stati fisici della teoria sono descritti

mediante l’introduzione di rappresentazioni irriducibili dei gruppi ordinari, pensiamo

ad esempio ad un doppietto di SU(2) che descrive l’isospin delle interazioni nucleari o

ad altri casi fisici analoghi, anche nel caso della supersimmetria la realizzazione fisica

dell’algebra richiede campi che trasformano in modo irriducibile rispetto all’azione

dell’algebra. Questi vengono detti supercampi. Il formalismo che illustreremo breve-

mente nel prossimo capitolo servira a capire in modo molto semplice le regole che

servono per procedere nel calcolo con queste nuove entita matematiche senza alcuna

pretesa di essere rigorosi.

Un fatto che va sottolineato e che mediante l’introduzione dei supercampi le

varie componenti spinoriali in ciascuna rappresentazione irriducibile di una data alge-

bra supersimmetrica (supermultipletto) vengono incorporate in un solo supercampo.

L’analogia piu calzante e quella di una ordinaria rappresentazione di un vettore: si

possono usare le componenti oppure si puo scrivere il vettore in forma astratta in cui

le componenti sono moltiplicate per dei vettori di base.

Nel formalismo dei supercampi la situazione e molto simile: il ruolo delle componenti

del supermultipletto e analoga a quella delle componenti di un vettore ordinario, men-

tre il ruolo della base vettoriale viene preso da alcune coordinate (θ) dette variabili

di Grassmann che permettono di ottenere un oggetto “scalare”, cioe privo di indici

(in questo caso sono appunto indici di Lorentz) che e analogo al vettore astratto.

Si puo a qualunque punto del calcolo estrarre le varie componenti di ogni super-

campo mediante opportune proiezioni. Questo viene fatto nell’analisi fenomenologica

di specifici modelli, quali appunto il Modello Standard Supersimmetrico Minimale e

le sue estensioni non-minimali, che sono l’oggetto di questa tesi.

Capitolo 1

Introduzione alla Supersimmetria

In questo capitolo introduciamo gli aspetti essenziali delle teorie supersimmetriche e

sviluppiamo il formalismo necessario per lo studio di queste teorie nel superspazio.

In particolare introduciamo la descrizione delle superalgebre e dei supercampi in det-

taglio in modo da rendere la nostra trattazione autocontenuta. Cominciamo con

l’introdurre le rappresentazioni spinoriali del gruppo SL(2,C) ed in particolare i due

spinori -sinistri e destri- che appariranno nello studio dell’estensioni delle algebre di

Lie a superalgebre.

Sia M una matrice complessa 2-per-2 appartenente a SL(2,C). Definiamo con

SL(2,C) il gruppo delle matrici complesse 2-per-2 (GL(2,C)) con determinante pari

ad 1, cioe

SL(2,C) = {M ∈ GL(2,C) | detM = 1}. (1.1)

In generale avremo varie rappresentazioni irriducibile del gruppo. Fra queste, le

piu comunemene usate sono la fondamentale, che ha dimensione 2 e la sua complesso

coniugata. Queste due rappresentazioni, che descriveremo in dettaglio, sono inequiv-

alenti ed agiscono su spazi vettoriali bi-dimensionali i cui componenti sono spinori di

definita chiralita. Sia ψα, con α = 1, 2 uno spinore fondamentale nella 2. L’azione di

M su questo spinore e’ riassunta dalla formula [3]

ψ′α = Mα

βψβ (1.2)

dove abbiamo sottinteso la somma sugli indici ripetuti. Introduciamo inoltre la

matrice M∗ che e la complesso coniugata di M . Questa seconda matrice agira su un

9

10 Capitolo 1. Introduzione alla Supersimmetria

differente spazio vettoriale degli spinori “puntati”, cioe degli spinori che trasformano

nella rappresentazione complesso coniugata della M . Denotiamo tali spinori con ψ αe la relativa trasformazione sotto M ∗ con

ψα′= Mα

β ψβ. (1.3)

Le due matrici M ed M ∗ non sono equivalenti. In altri termini non esiste una

matrice C tale che M = CM ∗C−1.

Invece si puo dimostrare che la matrice M−1 T e equivalente ad M se esiste una

matrice ε tale che εMε−1 = M−1 T con ε ∈ GL(2,C).

Da qui si ricava l’espressione esplicita di ε con indici non puntati

(εαβ) =

0 −1

1 0

=(

εαβ)−1

(

εαβ)

=

0 1

−1 0

= (εαβ)T .

(1.4)

Valgono inoltre le relazioni

(

εαβ) (

εαβ)−1

= 12×2

(

εαβT) (

εβγ)

= −δαγ.

(1.5)

Quindi ε e la metrica che ci fa passare da una rappresentazione alla sua equivalente

e viceversa

εαβMβγ εγδ =

(

M−1T)α

δ

Mαβ = εαγ

(

M−1T)γ

δ εδβ.

(1.6)

11

Lo spinore ψα che trasforma con M e detto covariante. Definiamo come con-

trovariante ψα = εαβ ψβ e, da come ci si puo aspettare, esso trasforma sotto la rapp-

resentazione M−1 T

ψ′α =(

M−1T)α

β ψβ . (1.7)

In maniera analoga definiamo la rappresentazione M ∗−1T come l’equivalente della

complesso coniugata M ∗ grazie all’esistenza delle matrici

ε =

0 1

−1 0

:= εαβ

ε−1 =

0 −1

1 0

:= εαβ

(1.8)

che ci permettono di passare da una all’altra [3]

εαβ (M∗βγ) εγ δ =

(

M−1T)α

δ

M∗αβ = εαγ

(

M∗−1T)γ

δεδβ.

Le leggi di trasformazione per gli spinori “puntati” sono rispettivamente

ψ′α =(

M∗−1T)α

βψβ

(1.9)

per lo spinore controvariante, che definiamo mediante la relazione ψα

= εαβ ψβ,

mentre per lo spinore covariante

ψ′α = M∗

αβ ψβ. (1.10)

Ancora una volta sfruttiamo la metrica ε per passare dalla forma covariante a

quella controvariante

ψ′α = εαβ ψ

β. (1.11)


Con la stessa matrice posso anche dimostrare come ricavare la (1.10) dalla (1.9)

ψ′

α = M∗αβ ψβ

= εαγ (M∗−1T )γ δ εδβ ψβ

(1.12)

per la (1.8).

Moltiplicando a sinistra l’intera espressione per εεα ricaviamo

φε= εεα ψ

′

α = εεα εαγ (M∗−1T )γ

δ εδβ ψβ

= δε γ (M∗−1T )γ

δ εδβ ψβ

= (M∗−1T )ε

δεδβ ψβ

= (M∗−1T )ε

δ ψδ

(1.13)

in cui abbiamo chiamato con φε

il nuovo spinore.

1.1 Spazi duali

A questo punto sono note le leggi di trasformazione degli spinori ψα ,ψα, ψα e ψα. E

possibile quindi definire due spazi vettoriali bidimensionali F ∗ ed F ∗ che sono i duali

rispettivamente di F ed F , a cui appartengono gli spinori sinistri controvarianti nel

primo caso e destri controvarianti nel secondo. Stabiliamo una mappa da F in C

attraverso l’applicazione di elementi di F ∗ come segue

ψα ∈ F → φ(ψ) := φαψα ∈ C (1.14)

in cui φα ∈ F ∗.

1.1. Spazi duali 13

In accordo con quanto detto precedentemente, l’applicazione che ci permette di

passare dallo spazio F ad F ∗ e la matrice εαβ mentre per l’applicazione inversa uti-

lizziamo εαβ. Equivalentemente per gli spazi “puntati” vale

ψα ∈ F −→ ψ(φ) = ψα φα ∈ C (1.15)

in cui φα ∈ F ∗.

Ancora, come prima, sara la matrice ε a farci muovere dallo spazio F a F ∗. E

anche possibile ottenere spinori di F ∗ partendo da elementi di F con l’applicazione

delle matrici σ0, che definiremo in seguito, che agiscono come segue

(σ0)αβ : F → F ∗ ; (σ0)αβ ψβ∗ = ψ

α. (1.16)

Per la trasformazione inversa introduciamo la matrice (σ0)αβ

(σ0)αβ : F ∗ → F ; σ0αβ ψ

β= ψα. (1.17)

Per completezza forniamo le trasformazioni per i restanti spinori

ψα = ψ∗

β σ0βα

ψα = ψ∗β σ0βα.

(1.18)

Le formule precedenti saranno fondamentali nella definizione degli spinori di Ma-

jorana. Il passaggio (F → F ) e un’operazione di coniugazione complessa che ovvia-

mente non e un’applicazione lineare percio F ed F ∗ sono due spazi di SL(2,C) che

forniscono rappresentazioni non equivalenti. Diversamente F ed F ∗, cosı come F e

F ∗, sono spazi di rappresentazioni equivalenti perche il passaggio dai primi ai secondi

si ha usando la metrica εαβ e εαβ.


1.2 Corrispondenza tra SL(2,C) ed L↑+

E interessante stabilire una corrispondenza tra le matrici M ∈ SL(2,C) e le matrici

di Lorentz Λ ∈ L↑+ (gruppo delle trasformazioni di Lorentz proprie, cioe con determi-

nante uguale a +1, ed ortocrone, quindi con Λ00 ≥ 1). Intanto e necessario costruire

una mappa ρ dallo spazio di Minkosky M4 ad H(2,C) , spazio delle matrici complesse

due-per-due hermitiane

ρ : M4 → H(2,C) ; ρ(xµ) = xµσµ =

x0 − x3 x1 + x2

x1 − x2 x0 − x3

= X (1.19)

con

(xµ) := (x0, ~x) 4-vettore covariante di M4 ; (xµ) := (x0,−~x) 4-vettore con-

trovariante di M4 ; σµ := (σ0, ~σ) set di 4 matrici hermitiane due-per-due e tali che

σ0 = 12×2 e ~σ = (σ1, σ2, σ3), dove le σi sono le matrici di Pauli.

La mappa inversa e data da

ρ−1 : H(2,C) →M4

ρ−1(X) = xµ =1

2Tr(Xσµ)

(1.20)

dove Tr(Xσµ) indica la traccia della matrice in parentesi e il set σµ = (σ0, σi)

corrisponde a σ0 = σ0 e σi = −σi con i = 1, 2, 3 .

L’equazione precedente puo essere dimostrata immediatamente richiamando la

nota relazione: Tr(σνσµ) = 2ηµν dove il tensore metrico ηµν e la matrice

ηµν =

1 0

0 −13×3

(1.21)

1.2. Corrispondenza tra SL(2,C) ed L↑+ 15

Infatti

1

2Tr(Xσµ) =

1

2Tr(xνσ

νσµ)

=1

2Tr(σνσµ)xν

=1

22ηµνxν = xµ.

(1.22)

E necessario ora introdurre la rappresentazione aggiunta (che indichiamo con adj)

del gruppo SL(2,C)

adj : SL(2,C) → Aut(H(2,C))

M ∈ SL(2,C) →M ′ = adjM(x) = MXM† ∈ Aut(H(2,C))

(1.23)

in cui M,M † ∈ SL(2,C) e Aut(H(2,C)) e il gruppo isomorfo a GL(H(2,C)),

gruppo delle matrici di H(2,C) con determinante uguale a +1. Possiamo quindi

indicare una generica trasformazione di Lorentz M4 → H → H →M4

xµ → ρ(xµ) = X → adjM(x) = MXM†

= X ′ → ρ−1(X ′)

= x′µ (1.24)

che equivale a x′µ = Λµνx

ν . Confrontando le due espressioni ricaviamo la cor-

rispondenza tra SL(2,C) ed L↑+ attraverso una relazione esplicita

Λµν(M) =

1

2[Tr(σµMσνM

+)]. (1.25)

Per cui possiamo concludere che per ogniM ∈ SL(2,C) esiste una Λ = Λ(M) ∈ L↑†

per la quale


Λ(M1)Λ(M2) = Λ(M1M2). (1.26)

Per ricavare l’inversa di (1.25) sfruttiamo l’espressione seguente

Λµνx

νσµ = x′µσµ

= X ′ = MXM †

= MxνσνM† (1.27)

da cui deduciamo

Λµνσµ = MσνM

†. (1.28)

Moltiplicando ambo i membri a destra per σν otteniamo

Λµνσµσ

ν = MσνM†σν = M [2Tr(M †)]12×2 (1.29)

avendo utilizzato la proprieta σµMσµ = 2(Tr(M))12×2. Quindi avremo M(Λ) =1

2Tr(M†)Λµ

νσµσν , ed infine, esprimendo la Tr[M †] come il det(Λµ

νσµσν) otteniamo

finalmente

M(Λ) =1

det[Λµνσµσν]

1

2

Λµνσµσ

ν, (1.30)

per cui e stabilita la corrispondenza: Λ ⇐⇒ ±M .

1.3 Proprieta degli spinori

Riassumiamo qui brevemente alcune definizioni che torneranno utili in seguito. Le

forme quadratiche [1]

(ψφ) := ψαφα

(ψφ) := ψαφα

(1.31)

sono invarianti sotto trasformazioni di SL(2,C).

1.4. Rappresentazioni di SL(2,C) 17

Le componenti degli spinori sono variabili di Grassmann per cui valgono le relazioni

di anticommutazione

{ψα, ψβ} = {ψα, ψβ} = {ψα, ψβ} = 0, (1.32)

{φα, φβ} = {φα, φβ} = {φα, φβ} = 0. (1.33)

La validita di queste ultime implica che le quantita descritte dagli spinori soddis-

fino la statistica di Fermi-Dirac e quindi siano particelle di spin semintero.

E utile riportare le seguenti proprieta relative ai prodotti scalari

ψφ = φψ ; ψφ = φψ ; (ψφ)† = φψ = ψφ ;

φσµψ = −ψσµφ ; φσµσνψ = ψσνσµφ ;

(φσµψ)† = ψσµφ ; (φσµσνψ)† = ψσνσµφ.

(1.34)

1.4 Rappresentazioni di SL(2,C)

Finora abbiamo descritto l’algebra degli spinori bidimensionali di Weyl ψα e φα

. Essi

sono due diversi esempi di rappresentazioni di SL(2,C) che indichiamo rispettiva-

mente con (12, 0) e (0, 1

2). Possiamo ottenere altre rappresentazioni di SL(2,C) dal

prodotto diretto di due spinori di Weyl ( 12, 0), la prima scalare (di dimensione 1) e la

seconda tensoriale (di dimensione tre)

(1

2, 0) × (

1

2, 0) = (0, 0) + (1, 0). (1.35)

Ma e particolarmente interessante considerare il risultato che si ottiene dal prodotto

diretto di spinori left-handed e right-handed

(1

2, 0) × (0,

1

2) = (

1

2,1

2). (1.36)


Quest’ultima rappresentazione e quella dello spinore di Dirac (ΨD) a quattro com-

ponenti definito nello spazio F + F ∗. Infatti la sua prima componente trasforma

attraverso la matrice M mentre la seconda tramite M ∗−1T . Indichiamo schematica-

mente la legge di trasformazione di ΨD

Ψ′ = S(M)Ψ =

M 0

0 M∗−1

φ

ψ

=

Mφ

M∗−1ψ

(1.37)

in cui si e utilizzata l’applicazione

M ∈ SL(2,C) → S(M) =

M 0

0 M∗−1

(1.38)

dove M ed M∗−1 sono sottomatrici 2 × 2, come anche la matrice nulla 0.

Una relazione tra spinori a due componenti e spinori a quattro componenti si

ottiene con l’introduzione delle matrici γ (4×4) in rappresentazione chirale o di Weyl

[2]

γµW :=

0 σµ

σµ 0

. (1.39)

Per queste matrici vale l’algebra di Clifford

{γµW , γνW} = 2ηµν14×4. (1.40)

Inoltre e utile definire

γ5W := iγ0γ1γ2γ3 =

−1 0

0 1

. (1.41)

Le matrici γ0W e γ5

W sono hermitiane mentre le γiW , con i=1,2,3 , sono antihermi-

tiane.

Inoltre e banale verificare che

(γ5W )2 = 1 ; {γ5

W , γµW} = 0. (1.42)

Per mostrare esplicitamente il legame tra spinori di Weyl e spinori di Dirac con-

sideriamo l’equazione del moto di una particella fermionica massless relativistica. La

1.4. Rappresentazioni di SL(2,C) 19

dinamica sara data dall’equazione di Dirac γµW∂µψD = 0 che, in forma matriciale,

corrisponde a

0 (σµ∂µ)αβ(σµ∂µ)

αβ 0

φβ

ψβ

= 0. (1.43)

L’equazione precedente equivale ad un sistema di due equazioni disaccoppiate per

i due diversi spinori di Weyl. Queste possono essere riscritte utizzando il principio di

corrispondenza (usiamo unita naturali): i ∂∂t

→ E ; ∂∂xi

→ −ipi e si ottiene

(−E + ~σ · ~p)ψ = 0 (E + ~σ · ~p)φ = 0. (1.44)

Definiamo ora l’operatore di elicita ~σ · p (con p = ~p|~p|

) come la proiezione dello

spin di una particella nella direzione del moto. Poiche (~σ · ~p)ψ = Eψ = |~p|φ ,

cio implica la validita dell’espressione 12(~σ · p)ψ = 1

2ψ. Quindi possiamo concludere

che la prima equazione di (1.44) descrive una particella fermionica di elicita + 12.

E quindi uno stato right-handed. Procedendo analogamente si ricava che φ e un

autostato di elicita − 12

ed e percio un fermione left-handed, in pieno accordo con le

nostre definizioni precedenti di ψ e φ. Possiamo ricavare le matrici γ in due diverse

rappresentazioni, rispettivamente quella di Dirac e quella di Majorana, attraverso le

trasformazioni non singolari

γµD → XγµWX−1 ; γµM → Y γµWY

−1 (1.45)

con X e Y matrici note. Nella rappresentazione di Majorana lo spinore ha quattro

componenti e si esprime, come ψD, in funzione degli spinori bidimensionali di Weyl.

Ma lo spinore di Majorana ψM avra solo due gradi di liberta indipendenti perche,

fissata la prima componente spinoriale, la seconda sara la complessa coniugata

ψM =

φα

φα

. (1.46)


1.5 Algebra Supersimmetrica

La necessita di estendere l’ algebra di Poincare nasce con l’obiettivo di ottenere

una teoria supersimmetrica in uno spazio di dimensione maggiore rispetto a quello

minkowskiano, che chiameremo superspazio. Un generico punto del superspazio ha

coordinate (xµ, θα, θα) in cui xµ e un quadrivettore di Minkowski mentre θα e θα con

α = 1, 2 e α = 1, 2 sono variabili di Grassmann indipendenti. Esse corrispondono

agli spinori di Weyl nelle due diverse rappresentezioni di SL(2,C). Il set di coordi-

nate fissa a otto la dimensione del superspazio. Tratteremo trasformazioni globali di

supersimmetria generate dagli operatori Q e Q (hermitiano coniugato di Q). Questi

ultimi agendo sui supercampi trasformano particelle fermioniche in bosoni e viceversa.

Definiamo dunque le relazioni di commutazione e anticommutazione che regolano il

formalismo dei supercampi relative a tutti gli operatori e le variabili che vi agiscono

[4]

{Qα, Qβ} = {Qα, Qβ} = 0,

{Qα, Qα} = 2σµααPµ,

[Qα, Pµ] = [Qα, Pµ] = 0,

[Pµ, Pν] = 0,

{θα, θβ} = {θα, θβ} = {θα, θβ} = 0.

(1.47)

Possiamo sintetizzare le formule precedenti attraverso i seguenti commutatori

[θαQα, θβQβ] = 2θασµ

αβθβPµ,

[θαQα, θβQβ] = [θαQ

α, θβQ

β] = 0.

(1.48)

Gli operatori P,Q e Q sono hermitiani. In rappresentazione differenziale Pµ = i∂µ

mentre le espressioni per Q e Q saranno ricavate in seguito.

Riportiamo qui di seguito l’espressione generale di un’ algebra supersimmetrica

scritta utilizzando notazioni quadridimensionali, cioe supercariche espresse come spinori

1.5. Algebra Supersimmetrica 21

in 4 componenti piuttosto che come spinori di Weyl. Questa si compone di gener-

atori dell’algebra di Poincare estesa con l’addizione, appunto, dei generatori di su-

persimmetria Q e Q. Pertanto nel conto finale dei generatori avremo: i 4 generatori

delle traslazioni Pµ, i 6 generatori delle trasformazioni di Lorentz Mµν , i 4 generatori

fermionici Qa autoconiugati (spinori di Majorana) che soddisfano l’algebra

[Mµν ,Mρσ] = −i(ηµρMνσ − ηµσMνρ − ηνρMµσ + ηνσMµρ)

[Mµν , Pρ] = i(ηνρPµ − ηµρPν)

[Pµ, Pν] = 0

[Pµ, Qa] = 0

[Mµν , Qa] = −(σ4µν)abQb

{Qa, Qb} = 2 (γµ)ab Pµ,

{Qa, Qb} = 2 (C−1γµ)ab Pµ

{Qa, Qb} = −2 (γµC)ab Pµ. (1.49)

in cui a,b variano da 1 a 4. L’espressione presentata in (1.49) corrisponde ad

un’algebra con una sola carica di supersimmetria o N = 1 ed e quella che sara im-

plementata nella costruzione del modello standard supersimmetrico, che proprio per

questa ragione viene detto minimale. L’algebra contiene come componente boson-

ica l’algebra di Poincare ed i generatori fermionici trasformano, appunto, secondo

una rappresentazione spinoriale dell’algebra di Poincare. Essendo autoconiugati sono

degli spinori di Majorana. L’inclusione nella superalgebra di Poincare di una qualche

simmetria interna richiede un insieme di N cariche spinoriali QαA, Q

α

A (α = 1, ..., N)

dove N e la dimensione della rappresentazione del gruppo di simmetria interna. Le

algebre con N > 1 sono dette algebre supersimmetriche estese.

1.5.1 Relazioni per le variabili θ e θ

Riassumiamo qui una serie di relazioni quadratiche che saranno utili in seguito.

Queste coinvolgono la variabile θ


θ2 = (θθ) = θαθα = −2θαθβ

θ2

= (θθ) = θαθα

= 2θαθβ

θαθβ = −1

2εαβ(θθ)

θαθβ =1

2εαβ(θθ)

θαθβ

=1

2εαβ(θθ)

θαθβ = −1

2εαβ(θθ).

(1.50)

La dimostrazione di queste formule e piuttosto immediata richiedendo solo la

conoscenza delle relazioni

εαβεδγ = δγαδ

δβ − δδαδ

γβ

εαβεδγ = δγαδ

δβ− δδαδ

γ

β

(1.51)

e viene pertanto omessa.

1.5.2 Differenziazione e integrazione rispetto alle variabili θ e θ

Introduciamo ora degli operatori differenziali e integrali e riportiamo alcune relazioni

relative ad essi. Definiamo

∂α :=∂

∂θα; ∂α :=

∂

∂θα

∂α :=∂

∂θα

; ∂α

:=∂

∂θα.

(1.52)

1.5. Algebra Supersimmetrica 23

essere gli operatori rispetto a variabili di Grassman con indici puntati e non puntati

e le relazioni

εαβ∂β = −∂α ; εαβ∂β = −∂α

εαβ∂ β = −∂α ; εαβ∂β

= −∂ α,

(1.53)

che permettono l’innalzamento e l’abbassamento degli indici di questi nonche le re-

lazioni di anticommutazione

{∂α, ∂ β} = {∂α, ∂β} = 0

{∂α, θβ} = {∂α, θβ} = 0,

(1.54)

∂αθβ = δβα ; ∂αθβ = δαβ ; ∂αθ

β= δα

β; ∂

αθβ = δα

β

∂αθβ

= ∂αθβ = 0.

(1.55)

che saranno molto utili nello studio dello spettro dell’MSSM e dell’NMSSM. Un sem-

plice calcolo fornisce le relazioni

∂αθβ =∂

∂θα(εβγθ

γ) = εβγδγα = εβα

∂αθβ

=∂

∂θα(εβγθγ) = εβγδαγ = εβα

∂αθ2 = ∂α(θ

βθβ) = (∂αθβ)θβ − θβ(∂αθβ)

= δβαθβ − θβ(−εαγ∂γθβ) = θα + θβεαβ = 2θα

∂αθ2

= −2θα,

(1.56)


mentre l’integrazione rispetto a variabili di Grassmann e riassunta nelle seguenti

definizioni

∫

dθ = 0 ;∫

dθ θ = 1 ;∫

dθα dθβ = 0

∫

dθ = 0 ;∫

dθ θ = 1 ;∫

dθαdθβ = 0

∫

dθαdθβ θα =∫

dθαdθβ θβ =∫

dθαdθβ θα =∫

dθαdθβ θβ = 0

∫

dθα

∫

dθβ θαθβ =∫

dθα

∫

dθβ θαθβ = −1.

(1.57)

Va notato che l’integrazione su variabili grassmaniane e’ simile alla differenziazione.

Una discussione piu estesa di questi risultati la si puo trovare [5].

Inoltre scegliamo la normalizzazione

d2θ := −1

4dθαdθβεαβ

d2θ := −1

4dθαdθβε

αβ

d4θ := d2θd2θ

(1.58)

in modo da ottenere∫

d2θ(θθ) = 1 ;∫

d2θ(θθ) = 1. (1.59)

Sara particolarmente utile nel calcolo dell’azione la funzione delta definita rispetto

alle variabili grassmaniane, con relative proprieta di integrazione

∫

d2θf(θ)δ2(θ − θ0) = f(θ0) → δ2(θ) = (θθ) (se θ0 = 0) (1.60)

dove f e una generica funzione di θ del tipo

f(θ) = f (0) + θαf (1)α + (θθ)f (2).

1.6. Supercampi e trasformazioni supersimmetriche 25

Analogamente, nel caso di f(θ)

f(θ) = f (0) + θαfα (1) + (θθ)f (2)

definiamo

δ2(θ) = (θθ).

Valgono le relazioni

∫

d4θf(θ)δ2(θ) = f (2)

∫

d4θf(θ)δ2(θ) = f (2). (1.61)

Queste proprieta saranno fondamentali nello studio delle densita di lagrangiane e

permettono di porre a zero alcune delle componenti della espansione dei supercampi

in maniera diretta.

1.6 Supercampi e trasformazioni supersimmetriche

Procediamo adesso con l’introduzione dei supercampi, che saranno le entita fondamen-

tali che verranno usate per introdurre il contenuto particellare del Modello Standard

supersimmetrico e delle sue estensioni non minimali. In questo capitolo la discussione

verte sulle proprieta formali del calcolo supersimmetrico mentre le proprieta fisiche

di questa descrizione verra presentata nel capitolo 3.

Un generico supercampo e dato dall’espansione in serie di potenze delle variabili θ

e θ su un superspazio. Tale espansione sara una somma finita in quanto non saranno

presenti potenze di ordine superiore a due per le proprieta di anticommutazione di θ

e θ. Avremo

Φ(x, θ, θ) = f(x) + θαφα(x) + θαχα(x) + (θθ)m(x) + (θθ)n(x)

+ (θσµθ)Vµ(x) + (θθ)θαλα

+ (θθ)θαψα(x) + (θθ)(θθ)d(x)

(1.62)

dove Φ e uno scalare di Lorentz.


Le varie componenti hanno spin/chiralita differenti, infatti f(x), m(x), n(x) sono

funzioni scalari complesse, Vµ(x) e un campo vettoriale di Lorentz, φα, ψα sono spinori

left-handed, χα, λα

sono spinori right-handed ed infine d(x) e un campo scalare.

Quindi un supercampo Φ rappresenta un multipletto di campi di spin diversi.

Consideriamo ora una generica trasformazione di supersimmetria, ottenuta euris-

ticalmente “esponenziando” l’azione dei generatori con opportuni parametri di Grass-

mann θ e θ nella forma

L(xµ, θα, θα) := exp(−ixµP µ + iθQ + iθQ), (1.63)

con L operatore unitario. Pµ agira sulle coordinate bosoniche mentre Q e Q

su quelle fermioniche del supercampo. La forma esponenziale (1.63) non e l’unica

possibile. Infatti, se ora definiamo gli operatori unitari

L1(xµ, θα, θα) = exp(−ixµP µ + iθQ)exp(iθQ)

L2(xµ, θα, θα) = exp(−ixµP µ + iθQ)exp(iθQ)

(1.64)

possiamo dimostrare che questi permettono di definire due rappresentazioni equiv-

alenti ad L e che agiscono rispettivamente su Φ1 e Φ2, supercampi equivalenti a Φ.

Con la formula di Baker-Campbell-Hausdorff [10] si possono dimostrare le seguenti

relazioni

L(x, θ, θ) = L1(xµ + iθσµθ, θ, θ)

= L2(xµ − iθσµθ, θ, θ).

(1.65)

Per comprendere meglio la natura delle tre differenti definizioni degli operatori L,

conviene scrivere la relazione che collega un supercampo Φ0 nel punto del superspazio

(x0µ, θ

0, θ0) a quello nel punto (xµ, θ, θ). Questa e data da

φ(x, θ, θ) = L(x, θ, θ)Φ0L−1(x, θ, θ) (1.66)


e permette di “traslare” il supercampo da un punto ad un altro del superspazio.

Un risultato analogo si ottiene usando un operatore del tipo L1

φ(x, θ, θ) = L1(xµ + iθσµθ, θ, θ)Φ0L−11 (xµ + iθσµθ, θ, θ) (1.67)

e lo stesso ancora mediante l’azione di L2

φ2(x, θ, θ) = L2(xµ − iθσµθ, θ, θ)Φ0L−12 (xµ − iθσµθ, θ, θ). (1.68)

La dimostrazione di queste relazioni non e complessa, e la si puo ottenere ricordando

che l’espansione in serie dell’esponenziale con parametri di Grassmann si arresta al

secondo ordine. I supercampi di tipo 1 e 2 sono ovviamente definiti mediante le

rispettive azioni

φ1(x, θ, θ) = L1(x, θ, θ)Φ0L−11 (x, θ, θ) (1.69)

φ2(x, θ, θ) = L2(x, θ, θ)Φ0L−12 (x, θ, θ) (1.70)

e valgono le seguenti relazioni

Φ(x, θ, θ) = Φ1(xµ + iθσµθ, θ, θ)

= Φ2(xµ − iθσµθ, θ, θ),

(1.71)

Possiamo concludere che Φ1 e Φ2 rappresentano il supercampo Φ con coordinate

bosoniche traslate.

A questo punto, assegnato un supercampo del tipo Φ(x, θ, θ) definiamo la sua

trasformazione di supersimmetria essere data da

Tαφ(x, θ, θ) = L(0, θ, θ)Φ(x, θ, θ)L−1(0, θ, θ) (1.72)


dove la traslazione viene effettuata nelle direzioni puramente fermioniche con

parametri α ed α, avendo posto a zero xµ, che parametrizza l’azione del generatore

Pµ.

Le trasformazioni finite per i tre supercampi si riassumono cosı in termini di campi

primati

Φ′(x, θ, θ) = L(0, α, α)Φ(x, θ, θ)L−1(0, α, α)

= L(x− iασθ + iθσα, θ + α, θ + α) × Φ(0, 0, 0) ×

L−1(x− iασθ + iθσα, θ + α, θ + α)

Φ′1(x, θ, θ) = L1(iασα, α, α)Φ1(x, θ, θ)L

−11 (iασα, α, α)

= L1(x+ 2iθσα + iασα, θ + α, θ + α) × Φ1(0, 0, 0) ×

L−11 (x + 2iθσα + iασα, θ + α, θ + α)

Φ′2(x, θ, θ) = L2(−iασα, α, α)Φ2(x, θ, θ)L

−12 (−iασα, α, α)

= L2(x− 2iασθ − iασα, θ + α, θ + α) × Φ2(0, 0, 0) ×

L−12 (x− 2iασθ − iασα, θ + α, θ + α)

(1.73)

con α e α parametri di trasformazione delle variabili θ e θ.

Consideriamo ora una generica trasformazione infinitesima di supersimmetria per

il campo Φ ed espandiamo al primo ordine in α e α. Otteniamo

δSΦ = Φ′(x, θ, θ) − Φ(x, θ, θ)

= Φ(x + iθσα− iασθ, θ + α, θ + α) − Φ(x, θ, θ)

∼= Φ(x, θ, θ) + i(θσα− ασθ)∂µΦ(x, θ, θ)

+ α∂

∂θΦ(x, θ, θ) + α

∂

∂θΦ(x, θ, θ) − Φ(x, θθ)

=

{

α∂

∂θ+ α

∂

∂θ+ i(θσα− ασθ)∂µ

}

Φ(x, θ, θ).

(1.74)


In particolare, dalla trasformazione finita otteniamo l’espressione esplicita della

trasformazione infinitesima al primo ordine, introducendo degli opportuni generatori

Q e Q che verranno identificati in seguito

L(0, α, α) = exp(iαQ + iαQ) ∼= 1 + iαQ+ iαQ

L−1(0, α, α) = exp(−iαQ − iαQ) ∼= 1 − iαQ− iαQ,

(1.75)

per cui otteniamo l’espansione infinitesima della trasformazione di supersimmetria

δSΦ = (1 − iαQ+ iαQ)Φ(x, θ, θ)(1 − iαQ− iαQ) − Φ(x, θ, θ)

= i[αQ,Φ(x, θ, θ)] + i[αQ,Φ(x, θ, θ)].

(1.76)

Per stabilire un collegamento tra la (1.74) e la (1.76) usiamo il fatto che l’azione

dei due commutatori su una generica funzione di prova F = F (x, θ, θ) e della forma

[αQ,Φ(x, θ, θ)]F (x, θ, θ) = α(QΦ(x, θ, θ))F (x, θθ)

[αQ,Φ(x, θ, θ)]F (x, θ, θ) = α(QΦ(x, θ, θ))F (x, θθ).

(1.77)

Confrontando la (1.76) con la (1.74) ed unendo la (1.77) otteniamo in rappresen-

tazione differenziale gli operatori Q e Q

Qα = −i(∂α − iσµαβθβ∂µ)

Qα

= −i(∂α − iσαβµθβ∂µ).

(1.78)

Si puo procedere analogamente per il supercampo di tipo 1 e per quello di tipo 2,

ricavando rappresentazioni equivalenti di Qα e Qα

agenti su Φ1 e Φ2 rispettivamente.


Si ottiene

Q(1)α = −i∂α

Q(1)α = i∂α + 2θβσµβα∂µ

Q(2)α = −i∂α + 2σµ

αβθβ∂µ

Q(2)α = i∂α.

(1.79)

La trasformazione infinitesima di un supercampo rispetto alle sue componenti e

δSΦ(x, θ, θ) = δSf(x) + θαδSφα(x) + θαδSχα + (θθ)δSm(x)

+ (θθ)δSn(x) + (θσµθ)δSVµ(x) + (θθ)θαδSλα(x)

+ (θθ)θαδSψα(x) + (θθ)(θθ)δSd(x)

(1.80)

ed analizzando in dettaglio ciascuna componente si ottengono le seguenti trasfor-

mazioni supersimmetriche sulle singole componenti

δSf(x) = αφ(x) + αχ(x)

δSφ(x) = 2αm(x) + (σα){i∂µf(x) + Vµ(x)}

δSχ(x) = 2αn(x) + (ασµε){i∂µf(x) − Vµ(x)}

δSm(x) = αλ(x) − i

2∂µφ(x)σµα

δSn(x) = αψ(x) +i

2ασµ∂µχ(x)

δSVµ(x) = ασµλ(x) + ψ(x)σµα +i

2α∂µφ(x) − i

2∂χ(x)α

δSλα(x) = 2ααd(x) +

i

2αα∂µVµ(x) + i(ασµε)α∂µm(x)

δSψα(x) = 2ααd(x) −i

2αα∂

µVµ(x) + i(σµα)α∂µn(x)


δSd(x) =i

2∂µ(ψ(x)σµα− λ(x)σµα).

(1.81)

Notiamo che l’ultima componente del campo trasforma come una derivata totale.

Una generica combinazione lineare di supercampi e ancora un supercampo perche i

generatori delle trasformazioni supersimmetriche sono operatori differenziali lineari.

1.6.1 Supercampi chirali

Per considerare dei casi particolari di supercampi, i cosiddetti campi chirali, abbiamo

bisogno di introdurre sia il concetto di derivata covariante che quello di operatore di

proiezione. Ricordiamo che i campi chirali sono una componente fondamentale del

Modello Standard, data la natura chirale delle interazioni elettrodeboli.

Definiamo le derivate covarianti

Dα = ∂α + iσµαβθβ∂µ

Dα = −∂α − iθβσµβα∂µ

(1.82)

e controvarianti

Dα = εαβDβ

Dα

= εαβDβ.

(1.83)

Analogamente su supercampi di tipo 1 e 2 agiscono le derivate

D(1)α = ∂α + 2iσµ

αβθβ∂µ

D(1)α = −∂ α


D(2)α = ∂α

D(2)α = −∂ α − 2iθβσµβα∂µ.

(1.84)

Vale l’importante proprieta

D3 = D3

= 0, (1.85)

che puo essere verificata mediante calcolo diretto. Nella letteratura si introducono gli

operatori di proiezione chirali che permettono di isolare le componenti chirali left e

right [5] e che sono cosı definiti

Π+ = − 1

16D

2D2 ; Π− = − 1

16D2D

2. (1.86)

Inoltre si verificano immediatamente i seguenti vincoli

DΠ+ = D(− 1

16D

2D2) = D

3(− 1

16D2) = 0

DΠ− = D(− 1

16D2D

2) = D3(− 1

16D

2) = 0.

(1.87)

Un supercampo e un tipo di rappresentazione compatta dell’algebra supersimmet-

rica. L’imposizione di particolari vincoli ci fornisce i supercampi chirali e i supercampi

vettoriali, unici ingredienti necessari per la costruzione di una lagrangiana supersim-

metrica e rinormalizzabile. Definiamo finalmente i campi chirali come

φ− = Π+Φ → campo left − handed

φ+ = Π−Φ → campo right − handed.

(1.88)

Il primo soddisfa il vincolo

Dαφ− = 0 (1.89)


mentre il secondo

Dαφ+ = 0. (1.90)

Vogliamo ricavare l’espansione dei campi chirali in forma esplicita ed e quindi con-

veniente sfruttare un cambiamento di variabili. Procediamo inizialmente col campo

φ−. Questo permette di interpretare piu chiaramente le condizioni (1.89) e (1.90). Le

nuove variabili

yµ = xµ + iθσµθ

θ′α := θα

θ′

α = θα

(1.91)

introducono un cambiamento sia sul campo che sulla derivata che agisce su esso

φ(x, θ, θ) → φ−(y − iθσθ, θ, θ) ≡ φ1(y, θ, θ)

Dα → D(1)α = −∂ α.

(1.92)

Quindi la (1.89) diventa

D(1)α φ1(y, θ, θ) = 0. (1.93)

Percio l’espansione piu generale per φ1 e del tipo [5]

φ1(y, θ) = A(y) +√

2θψ(y) + (θθ)F (y). (1.94)

A(y) ed F (y) sono dei campi scalari complessi. F non e un campo dinamico percio

un supercampo chirale descrive una particella scalare (A) e un fermione (ψ).

La soluzione di (1.89) e il campo in termini della variabile bosonica xµ, quindi

espandiamo in componenti la (1.94) per ottenere


φ1(y, θ) = A(y) +√

2θψ(y) + (θθ)F (y) = A(x + iθσθ) +√

2ψ(x+ iθσθ)

+ (θθ)F (x+ iθσθ) = A(x) + iθσθ∂µA(x) +i2

2(θσµθ)(θσνθ)∂µ∂νA(x)

+√

2θψ(x) +√

2θ(θσµθ)∂µψ(x) + (θθ)F (x) = A(x) + i(θσµθ)∂µA(x)

− 1

4(θθ)(θθ)∂2A(x) +

√2θψ − i√

2(θθ)∂µψσ

µθ + (θθ)F (x) ≡ φ−(x, θ, θ)

(1.95)

avendo sfruttato la proprieta [3]

(θσµθ)(θσν) =1

2ηµν(θθ)(θθ) (1.96)

e le (1.50).

Per il supercampo φ+ trasliamo le variabili definendo

zµ = xµ − iθσθ

θ′α := θα

θ′

α = θα,

(1.97)

per cui l’equazione (1.90) risultera

D(2)α φ2(z, θ, θ) = 0 (1.98)

in cui e stabilita la corrispondenza

φ+(x, θ, θ) → φ+(z + iθσθ, θ, θ) ≡ φ2(z, θ, θ)

Dα → D(2)α = ∂α.

(1.99)


Espandendo nuovamente come per il caso precedente [5]

φ2(z, θ) = A∗(z) +√

2θψ(z) + (θθ)F ∗(z) = A∗(x) − i(θσµθ)∂µA∗(x)

+1

4(θθ)(θθ)∂2A∗ +

√2θψ(x) +

i

2(θθ)θσµ∂µψ(x) + (θθ)F ∗(x)

≡ φ+(x, θ, θ).

(1.100)

I campi φ− e φ+ sono l’uno l’hermitiano coniugato dell’altro ed appartengono a

due rappresentazioni diverse: φ− e un supercampo di tipo 1, φ+ di tipo 2.

Conoscendo le leggi di trasformazioni delle componenti di un supercampo generico

sono note le proprieta di trasformazioni dei campi chirali φ− e φ+ identificando

f(x) → A(x);A∗(x)

φ(x) →√

2ψ(x)

χ(x) →√

2ψ(x)

m(x) → F (x)

n(x) → F ∗(x)

Vµ → i∂µA(x);−i∂µA∗(x)

λ(x) → − i√2∂µψσ

µ

ψ(x) → i√2σµ∂µψ

d(x) → −1

4∂2A(x) +

1

4∂2A∗(x). (1.101)

(A, ψ, F ) e (A∗, ψ, F ∗) costituiscono due rappresentazioni irriducibili dell’algebra

supersimmetrica.

Il prodotto di due o piu supercampi di una certa chiralita e ancora un supercampo

chirale mentre il prodotto di campi di diversa chiralita non e ne chirale ne antichirale.

Quest’ ultimo caso fornisce un primo esempio di supercampo vettoriale.


1.6.2 Supercampi vettoriali

Quando e soddisfatta la condizione di realta

V = V † (1.102)

diremo che V = V (x, θ, θ) e un supercampo vettoriale. La sua espansione piu

generale e del tipo

V (x, θ, θ) = C(x) + θφ(x) + θφ(x) + (θθ)M(x) + (θθ)M ∗(x)

+ θσµθVµ(x) + (θθ)θλ(x) + (θθ)θλ(x) + (θθ)(θθ)D(x)

(1.103)

con C(x) e D(x) campi reali scalari, Vµ(x) campo reale vettoriale, λ , φ campi

spinoriali ed M(x) campo scalare complesso.

Cerchiamo le trasformazioni di gauge per le componenti supersimmetriche, lavo-

rando, per semplicta, nel caso abeliano. Abbiamo bisogno di tre importanti consid-

erazioni

1. φ+ + φ− e un supercampo vettoriale, infatti

(φ+ + φ−)† = φ†+ + φ†

− = φ− + φ+. (1.104)

Forniamo l’espansione del supercampo vettoriale φ+ + φ−

φ+ + φ− = A(x) + A∗(x) +√

2θψ(x) +√

2θψ(x) + (θθ)F (x) + θθF ∗(x)

+ iθσµθ∂µ(A(x) − A∗(x)) − i√2(θθ)θσµ∂µψ(x) − i√

2(θθ)θσµ∂µψ(x)

− 1

4(θθ)(θθ)∂2(A(x) + A∗(x)).

(1.105)

2. Scegliamo una forma speciale di V in cui sostituiamo


λ(x) → λ(x) − i

2σµ∂µφ(x)

D(x) → D(x) − 1

4∂2C(x)

(1.106)

per cui V assume la forma

V (x, θ, θ) = C(x) + θφ(x) + θφ(x) + (θθ)M(x)

+ (θθ)M∗(x) + θσµθVµ(x) + (θθ)θ(λ(x) − i

2σµ∂µφ(x))

+ (θθ)θ(λ(x) − i

2σµ∂µφ(x)) + (θθ)(θθ)(D(x) − 1

4∂2C(x)).

(1.107)

Questo nuovo supercampo conserva le properieta del supercampo di partenza (la sua

vettorialita) ma e utile per caratterizzare la scelta di gauge che faremo in seguito

(gauge di Wess-Zumino).

3. Definiamo una generica trasformazione di gauge supersimmetrica mediante la

formula [5]

V (x, θ, θ) → V ′(x, θ, θ) = V (x, θ, θ) + φ+ + φ− (1.108)

in cui il supercampo chirale Φ+ ed il suo coniugato fungono da “parametri” della

trasformazione. Osserviamo anche che la trasformazione preserva la natura vettoriale

del supercampo.

Quindi, esplicitando l’espressione di V ′(x, θ, θ) otteniamo le trasformazioni

C(x) → C ′(x) = C(x) + A(x) + A∗

φ(x) → φ′(x) = φ(x) +√

2ψ(x)

M(x) → M ′(x) = M(x) + F (x)

Vµ(x) → V ′µ(x) = Vµ(x) + i∂µ(A(x) − A∗(x))


λ(x) → λ′(x) = λ(x)

D(x) → D′(x) = D(x).

Va osservato che la componente di spin 1 del supermultipletto vettoriale trasforma

esattamente come nel caso di una trasformazione di gauge abeliana.

L’invarianza di D(x) sotto trasformazione di gauge implica la stessa invarianza per

la lagrangiana data da questo termine. Facciamo una ben precisa scelta di gauge, che

chiameremo gauge di Wess-Zumino, in cui C ′(x) = φ′(x) = M ′(x) = 0. Il supercampo

V allora assume la forma

VWZ(x, θ, θ) = θσµθ[Vµ(x) + i∂µ(A(x) − A∗(x))] + (θθ)θλ(x) + (θθ)θλ(x)

+ (θθ)(θθ)D(x).

1.6.3 Campi di forza supersimmetrici

Con un generico supercampo vettoriale V e possibile costruire i supercampi spinoriali

Wα := −1

4(DD)DαV (x, θ, θ)

W α = −1

4(DD)DαV (x, θ, θ).

E immediato verificare cheDW = 0 , DW = 0; quindiWα e un supercampo chirale

left mentre W α e chirale right. Inoltre i due campi sono invarianti sotto trasformazioni

di gauge supersimmetriche. Fissata la gauge di Wess-Zumino, otteniamo le espansioni

in componenti dei campi di forza in funzione delle variabili y e z

Wα(y, θ) = λα(y) + 2D(y)θα + (σµνθ)αFµν(y) − i(θθ)(σµ∂µλ(y))α

Wα(z, θ) = λ

α(z) + 2D(z)θ

α − (σµνθ)αFµν(z) + i(θθ)(∂µλ(z)σµ)α

dove in generale

Fµν(ξ) = ∂µVν(ξ) − ∂νVµ(ξ) e il campo di forza (field strength)σµν = 14(σµσν −

σνσµ); inoltre vale la corrispondenza σµν† = σµν .

1.7. Azione e lagrangiana supersimmetrica 39

1.7 Azione e lagrangiana supersimmetrica

Per definizione l’azione supersimmetrica e data da

A =∫

d4xL =∫

d4x∫

d4θL (1.109)

dove L e la densita di lagrangiana. Richiediamo che L soddisfi tre proprieta:

1. sia rinormalizzabile;

2. sia hermitiana;

3. sia invariante sotto supersimmetria.

Seguiremo questi tre criteri per la costruzione della lagrangiana supersimmetrica che,

in generale, sara un polinomio nei campi. I migliori candidati per questo scopo sono

le componenti (θθ)(θθ) di un supercampo generico ed in particolare di supercampi

chirali e vettoriali. Tali componenti trasformano come una quadridivergenza che,

integrata rispetto a xµ, fornisce un integrale di superficie. Questo si annulla per le

condizioni al contorno: tutti i campi del multipletto infatti sono nulli per xµ → ±∞;

rappresenta percio una quantita invariante per trasformazioni supersimmetriche.

Analizziamo intanto i possibili termini della lagrangiana provenienti dal prodotto

di supercampi chirali rinominando φ− con φ e φ+ con φ+.

Lc = φ+i φi + (giφi +

1

2mijφiφj +

1

3λijkφiφjφk)δ

2(θ)

+(g∗i φ+i +

1

2m∗ijφ

+i φ

+i +

1

3λ∗ijkφ

+i φ

+j φ

+k )δ2(θ)

(1.110)

con i , j , k = 1, ..n e dove n e il massimo numero di supercampi chirali presenti.

La condizione di hermitianita di Lc e ovviamente soddisfatta. Anche la rinormal-

izzabilita e evidente perche non sono presenti potenze nei campi superiori al terzo

ordine.

L’azione puo essere scritta come la somma di un’azione cinetica, una di massa e

una di interazione

Ac =∫

d4x∫

d4θL = gi

∫

d4x∫

d4θ φiδ2(θ) + g∗i

∫

d4x∫

d4θ φ+i δ

2(θ)


+∫

d4x∫

d4θ (φiφ†i + φ+

i φ+ †i ) +

1

2

∫

d4x∫

d4θ [(mijφiφj)δ2θ + (m∗

ijφ+i φ

+j )δ2(θ)]

+1

3

∫

d4x∫

d4θ [(λijkφiφjφk)δ2(θ) + (λ∗

ijk(φ+i φ

+j φ

+k )δ2(θ)]

= gi

∫

d4x∫

d4θ φiδ2(θ) + g∗i

∫

d4x∫

d4θ φ+i δ

2(θ) + Akin + Amass + Aint

(1.111)

dove λijk e mij sono parametri simmetrici nello scambio degli indici.

E necessario fornire le espressioni di φ†iφi, φiφj, φiφjφk (con l’operazione di coni-

ugazione complessa otteniamo immediatamente i termini hermitiani coniugati) per

ottenere la dipendenza esplicita dai campi dell’azione A. Si ottiene

φ†i (x)φi(x) = |Ai(x)|2 +

√2θψi(x)A

∗i (x) +

√2θψi(x)Ai(x) + (θθ)A∗

i (x)Fi(x)

+(θθ)F ∗i (x)Ai(x) + 2θθ|ψi(x)|2 + iθσµθ[(∂µAi(x))A

∗i (x)

−(∂µA∗i (x)Ai(x)] −

√2(θθ)θα{

i

2σµαβεβα(ψαi (x)∂µA

∗i (x)

−A∗i (x)∂µψ

αi (x)) + ψ

α

i (x)Fi(x)} +√

2(θθ)θα{− i

2σµαα(ψ

α

i (x)∂µAi(x)

−Ai(x)∂µψα

i (x)) + ψα i(x)F∗i (x)} + (θθ)(θθ){−A∗

i (x)∂2Ai(x) + |Fi(x)|2

+i(∂µψi(x))σµψi(x) + d.t.}

(1.112)

dove d.t.indica l’insieme di tutte le derivate totali. Inoltre avremo

φi(y)φj(y) = Ai(y)Aj(y) +√

2θ[Ai(y)ψj(y) + ψi(y)Aj(y)]

+ (θθ)[Ai(y)Fj(y) + Fi(y)Aj(y) − ψi(y)ψj(y)],

(1.113)

φi(y)φj(y)φk(y) = Ai(y)Aj(y)Ak(y) +√

2θ{Ai(y)Aj(y)ψk(y) + Ai(y)ψj(y)Ak(y)

1.7. Azione e lagrangiana supersimmetrica 41

+ ψi(y)Aj(y)Ak(y)} + (θθ){Ai(y)Aj(y)Fk(y) + Ai(y)Fj(y)Ak(y)

+ Fi(y)Aj(y)Ak(y) − ψi(y)ψk(y)Aj(y) − ψi(y)ψj(y)Ak(y)

− Ai(y)ψj(y)ψk(y)}.

(1.114)

Notiamo che le due ultime formule sono date in funzione della variabile y. E

possibile considerare la traslazione che ci porta da y ad x perche tale operazione

lascia invariante l’unica componente che non si annulla nel calcolo di L.

Calcoliamo in dettaglio i vari termini dell’azione. Ad esempio, dato il supercampo

φi, avremo

gi

∫

d4x∫

d4θ φiδ2(θ) =

∫

d4x giFi(x) (1.115)

avendo usato le (1.60).

Analogamente avremo

∫

d4x∫

d4θ φ†iφi =

∫

d4x{−A∗i (x)∂

2Ai(x) + i(∂µψ(x))σµψi(x) + F ∗i (x)Fi(x)},

(1.116)

1

2mij

∫

d4x∫

d4θ (φiφj)δ2(θ) =

∫

d4xmij[Ai(x)Fj(x) −1

2ψi(x)ψj(x)] (1.117)

dato che mij = −mji. Inoltre si ricava

1

3λijk

∫

d4x∫

d4θ (φiφjφk)δ2(θ) =

∫

d4x λijk[Ai(x)Aj(x)Fk(x) − ψi(x)ψj(x)Ak(x)].

(1.118)

Con calcoli analoghi si ricavano i termini hermitiani coniugati.

In conclusione avremo

A =∫

d4x{−A∗i (x)∂

2Ai(x) + i(∂µψi(x))σµψi(x) + F ∗

i Fi(x)

+ mij(Ai(x)Fj(x) −1

2ψi(x)ψj(x)) + λijk(Ai(x)Aj(x)Fk(x)


− ψi(x)ψj(x)Ak(x)) + giFi(x) + h.c.}

(1.119)

dove h.c. indica i termini hermitiani coniugati. La presenza dei campi Fi(x) e F ∗i (x),

detti ausiliari, fa sı che l’azione sia nella forma off-shell; se li eliminiamo tramite le

equazioni del moto otteniamo l’azione on-shell. In tal caso esprimiamo Fi ed F ∗i solo

in funzione di Ai e A∗i .

Per un solo campo scalare, assumendo g , m e λ reali, la densita di lagrangiana

on-shell si scrive

Lc = −iψ(x)σµ∂µψ(x) − A∗∂2A(x) − g2 − 1

2m(ψ2(x) + ψ

2(x))

− mg(A(x) + A∗(x)) − λ2(|A(x)|2) − λ(ψ2(x)A∗(x) + ψ2(x)A(x))

− gλ(A∗2(x) + A2(x)) +m2|A(x)|2 −mλ|A(x)|2(A(x) + A∗(x)).

(1.120)

Lc e in grado di descrivere solo particelle di spin 0 e di spin 12. Per includere anche

bosoni vettori (particelle di spin 1) dobbiamo introdurre nella lagrangiana termini

dipendenti da supercampi vettoriali. Perche questi siano invarianti li costruiamo

come prodotti del tipo WαWα e W αW

α.

Ricaviamo esplicitamente le espressioni precedenti usando le definizioni (1.109).

Prendendo in considerazione solo le componenti θθ di Wα e θθ di Wα possiamo

traslare le variabili y e z a x perche tali termini rimangono invarianti sotto traslazioni

di coordinate bosoniche. Questo significa che sono indipendenti dalla scelta della

rappresentazione. Si ottiene dopo un calcolo lungo ma diretto

W αWα|θθ = 4D2(x) − 2iλ(x)σµ∂µλ(x) − 1

2Fµν(x)F

µν(x) − i

2Fµν(x)F

∗µν(x),

W αWα|θθ = 4D2(x) + 2i∂µλ(x)σµλ(x) − 1

2Fµν(x)F

µν(x) +i

2Fµν(x)F

∗µν(x).

(1.121)

Questi calcoli verranno presentati in dettaglio nel capitolo tre. L’azione che con-

tiene i supercampi vettoriali tramite Wα e W α e quindi data da

1.8. Conclusioni sull’algebra supersimmetrica 43

Av =∫

d4x∫

d4θ{W αWαδ2(θ) +W αW

αδ2(θ)}

=∫

d4x[8D2(x) − FµνFµν − 4iλσµ∂µλ]

(1.122)

avendo integrato per parti i termini in funzione dei campi λα e λα.

Anche in questo caso e possibile eliminare D (campo ausiliario) ottenendo Av nella

forma on-shell.

Il campo bosonico Vµ, che e un campo con simmetria di gauge U(1), rappresenta

il fotone. Esso e implicito nella definizione di Fµν . Notiamo che questo, come richiesto

dalla supersimmetria, e accompagnato dal partner fermionico λ(x), chiamato fotino,

ovviamente anch’esso privo di massa.

Le azioni Ac e Av sono inoltre invarianti per trasformazioni di gauge supersim-

metriche.

1.8 Conclusioni sull’algebra supersimmetrica

L’importanza delle rappresentazioni irriducibili dell’algebra supersimmetrica sta nel

fatto che ciascuna di esse descrive un supermultipletto di particelle nel superspazio.

Gli stati sono legati tra loro dall’azione di Qα o Qα e quindi hanno spin che dif-

feriscono per mezza unita. Tutte le particelle hanno pero la stessa massa. Inoltre

un supermultipletto contiene sempre un ugual numero di gradi di liberta bosonici e

fermionici, [23].

Capitolo 2

Il Modello Standard

2.1 Teorie di gauge

Per poter descrivere il Modello Standard e necessario introdurre le teorie di gauge.

Esse descrivono le particelle interagenti in natura attraverso nuovi campi, chiamati

appunto bosoni di gauge. In generale le interazioni tra i vari stati fisici obbediranno

a certe simmetrie percio saranno descritte con il formalismo della teoria dei gruppi di

Lie sotto i quali esse trasformano [13]. Sebbene vi siano traformazioni di gauge globali

noi prenderemo in considerazione solo quelle di tipo locale, per cui i campi che rap-

presentano le particelle ed i parametri di trasformazione dipendono dalle coordinate

spazio-temporali.

L’interazione elettromagnetica e un noto esempio di teoria di gauge Abeliana che

andremo ora a descrivere.

Prendiamo una particella fermionica a cui e associata la carica e. Lo stato cor-

rispondente alla particella sara descritto dal campo ψ mentre l’antiparticella sara data

dal campo hermitiano coniugato (in particolare ψ = ψ†γ0).

In questo caso le leggi di trasformazione per lo stato ψ e per il suo coniugato ap-

partengono al gruppo U(1), gruppo delle matrici unitarie determinate completamente

da un unico generatore θ(x)

ψ′(x) = e−ieθ(x) ψ(x),

ψ′(x) = ψ eieθ(x).

(2.1)

45

46 Capitolo 2. Il Modello Standard

Le leggi precedenti non conservano l’invarianza locale della lagrangiana del sis-

tema, che per un campo fermionico libero, e del tipo

Lf = iψγµ∂µψ − mψψ. (2.2)

Infatti sostituendo le (2.1) in (2.2) ricaviamo

L′f = ψ

′(i γµ∂µ − m)ψ′

= iψ γµ∂µψ + eψ γµ(∂µθ)ψ − mψψ

6= Lf .

(2.3)

La richiesta di invarianza impone l’introduzione di un campo vettoriale Aµ, detto

campo di gauge, che si accoppia col campo fermionico carico. Il termine di interazione

che ne deriva e del tipo eψγµψAµ e la nuova lagrangiana sara

Lf = ψ(iγµ∂µ − m)ψ − JµAµ (2.4)

dove abbiamo indicato con Jµ = −eψγµψ la densita di corrente. L’invarianza

locale e garantita dalla legge di trasformazione di Aµ

A′µ = Aµ + ∂µθ(x). (2.5)

Dovendo tener conto anche della dinamica del nuovo campo occorre inserire nella

lagrangiana finale il termine cinetico 12Tr(FµνF

µν), dove Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. Si nota

come questo si conservi sotto (2.5).

Per dare una forma piu compatta a (2.4) definiamo la derivata covariante

Dµ = ∂µ + ieAµ (2.6)

che sostituiamo in (2.4)e giungiamo finalmente alla lagrangiana dell’elettrodinamica

quantistica

2.1. Teorie di gauge 47

LQED = iψγµDµψ − mψψ − 1

4FµνF

µν. (2.7)

Il caso trattato e un esempio di teoria Abeliana, cioe caratterizzata da operatori

che commutano tra loro. Questo non succede per teorie non Abeliane.

Si consideri ora l’insieme delle trasformazioni non abeliane descritte dall’algebra

di SU(n). Tale gruppo e caratterizzato da matrici n × n con determinante unitario

e i cui elementi sono indicati come U = eiT . T e il generico generatore del gruppo ed

e dato da una matrice Hermitiana e a traccia nulla. E sempre possibile decomporre

T su una base di generatori dell’algebra

T =n∑

a=1

θaλa (2.8)

dove θa(x) sono i parametri di trasformazione.

Consideriamo ora due diversi sottogruppi di SU(n). Nel caso di SU(2) i generatori

dell’algebra sono le matrici di Pauli e un generico campo spinoriale a due componenti

trasforma

ψ′ = ei2~ε·~σ ψ (2.9)

con εi = εi(x) parametri di traformazione, i ∈ {1, 2, 3}.

Anche in questo caso si vede immediatamente che la Lf di (2.2)non rimane invari-

ante sotto (2.9) ottenendo

L′f = Lf + i ψγµU †(∂µU)ψ, (2.10)

dove con U abbiamo indicato

U = ei2~ε·~σ. (2.11)

La lagrangiana invariante sara fornita invece dall’espressione seguente

L = Lf − Jµi Wiµ (2.12)


in cui definiamo la corrente Jµi = 12g2ψγ

µσiψ; g2 e la costante di accoppiamento

del gruppo mentre i W µi sono i coefficienti dell’espansione del nuovo campo ~W µ, con

i ∈ {1, 2, 3}. Possiamo infatti scrivere ~W µ = 12σiW µ

i .

Anche in questo caso dalla richiesta di invarianza della lagrangiana si ottiene una

relazione analoga alla (2.5) per le componenti del campo ~Wµ. Infatti se sviluppiamo

in forma infinitesima l’espressione (2.11) in (2.10) otteniamo

W iµ −→W i

µ − 1

g2∂µεi(x) − fabcε

bW cµ. (2.13)

La funzione di struttura fabc e antisimmetrica negli indici.

I campi vettoriali introdotti corrispondono ai bosoni di gauge che mediano le

interazioni deboli tra le particelle elementari [14]. Infatti da una combinazione dei

campi W µi si ottengono i bosoni vettori W+,W− e Z0. Questo aspetto della teoria

sara trattato in seguito.

Allo stesso modo l’interazione elettromagnetica e descritta dalla teoria Abeliana

di U(1), gia esaminata, e in tal caso il campo Aµ rappresenta proprio il fotone.

Per completezza forniamo la lagrangiana invariante localmente sotto SU(2) in

funzione della nuova derivata covariante

L = ψ(iγµDµ)ψ − 1

4W i

µνWµνi. (2.14)

L’ultimo termine e il contributo cinetico del campo vettoriale ~Wµ e sara specifi-

cato in seguito.Forniamo l’espressione della derivata covariante relativa al gruppo di

simmetria SU(2) e la sua legge di trasformazione

Dµ = ∂µ +i

2g2σiW

iµ

D′µψ = U(Dµψ). (2.15)

E proprio la validita dell’ultima espressione a garantire l’invarianza richiesta.

Poiche il Modello Standard viene descritto dal gruppo

G = SU(3)colore ⊗ SU(2)isospin−debole ⊗ U(1)ipercarica

2.1. Teorie di gauge 49

mostriamo brevemente come generalizzare i risultati precedenti al gruppo SU(3)

di colore. Esso descrive l’interazione forte ed i bosoni di scambio che intervengono

saranno chiamati gluoni.

La generica trasformazione e data da

ψ′ = e1

2i~α·~λ ψ (2.16)

in cui ψ in questo caso e un campo a tre componenti e gli αa(x) sono i parametri

di trasformazione, a ∈ {1, ...8}.

I generatori dell’algebra λa , con a ∈ {1, ...8} , sono le matrici di Gell-Mann e

sono indicate qui di seguito

λ1 =

0 1 0

1 0 0

0 0 0

; λ2 =

0 −i 0

i 0 0

0 0 0

; λ3 =

1 0 0

0 −1 0

0 0 0

λ4 =

0 0 1

0 0 0

1 0 0

; λ5 =

0 0 −i0 0 0

i 0 0

; λ6 =

0 0 0

0 0 1

0 1 0

λ7 =

0 0 0

0 0 −i0 i 0

; λ8 =

√

1

3

1 0 0

0 1 0

0 0 −2

(2.17)

Le espansioni dei campi e le relazioni di commutazione che seguono definiscono

completamente l’algebra di SU(2) e di SU(3)

~Wµ =1

2W i

µ σi ; [

σi

2,σj

2] =

1

2εijkσk ; Tr(σiσj) = 2δij

~Gµ =1

2Gaµλ

a ; [λa

2,λb

2] =

i

2fabcλc ; Tr(λaλb) = 2δab.

(2.18)

Il numero di campi associato ad ogni interazione e fissato dal numero dei parametri

del gruppo che si considera, secondo la relazione ncampi = n2parametri − 1. Quindi ad


SU(2) di isospin debole sono associati tre bosoni, gia precedentemente riconosciuti,

mentre per SU(3) si ricavano gli otto gluoni.

Notiamo che il gruppo U(1) di ipercarica non coincide col gruppo U(1) elettro-

magnetico esaminato precedentemente e per questo sostituiamo con Bµ il campo Aµ

e scriviamo la derivata covariante per il Modello Standard

Dµ = ∂µ1 − i

2g1YBµ +

i

2g2σiW

µi +

i

2g3λaG

µa (2.19)

dove Y rappresenta il generatore di ipercarica.

L’invarianza di gauge per la nostra teoria e garantita dalla forma di Dµ e la

presenza di matrici di diverse dimensioni nell’equazione che la definiscono indica che

essa puo operare su spazi differenti.

A questo stadio i bosoni di gauge sono massless e questo coincide col fatto che il

gruppo G descrive una teoria con simmetria di gauge esatta.

2.2 Costituenti del Modello Standard

Nel Modello Standard la materia e descritta da un insieme di particelle elementari.

I quark sono fermioni soggetti all’interazione forte, a quella debole e, avendo una

carica, anche all’interazione elettrica. Costituiscono gli adroni, in particolare tre

quarks formano un barione mentre un quark e un antiquark un mesone.

I quark sinistrorsi formano doppietti di SU(2) di isospin debole della teoria men-

tre i destrorsi si trasformano come singoletti sotto il medesimo gruppo, per cui per

indicare questi stati e giustificata la scelta seguente

Qi,left =

ui

di

left

; ui,right ; di,right (i = 1, 2, 3). (2.20)

L’indice i fissa la generazione dei quarks tra le tre possibili:

prima generazione −→ (u, d)left ; uright ; dright

seconda generazione −→ (c, s)left ; cright ; sright

2.2. Costituenti del Modello Standard 51

terza generazione −→ (t, b)left ; tright ; bright .

Con la scrittura Qi,left ∼ (3, 2)Y1,iindicheremo un doppietto di SU(3) con iper-

carica Y1,i mentre ui,right ∼ (1, 3)Y1,irappresenta un singoletto che trasforma nella

rappresentazione aggiunta di SU(3) ed ha ipercarica Y1,i.

I leptoni sono fermioni soggetti alle interazioni elettromagnetica (se carichi) e

debole.

Come per i quark, anche in questo caso il diverso comportamento dei leptoni left-

handed e right-handed ci permette di schematizzare gli stati attraverso le seguenti

espressioni

Li,left =

νi

ei

left

; ei,right (i = e, µ, τ). (2.21)

Nel Modello Standard non e prevista l’esistenza del neutrino right-handed.

L’indice di generazione i corre sulle tre famiglie:

prima generazione −→ (νe, e)left ; eright

seconda generazione −→ (νµ, µ)left ; µright

terza generazione −→ (ντ , τ)left ; τright .

Con la scrittura Li,left ∼ (2, 1)Y2,iintendiamo un doppietto di SU(2) di ipercarica

Y2,i e con eright ∼ (1, 1)Y2,iun singoletto avente ipercarica Y2,i.

Per brevita scegliamo di lavorare con la prima generazione di particelle (u, d, νe, e)

in quanto i risultati ottenuti saranno analoghi per le famiglie (c, s, νµ, µ) e (t, b, ντ , τ)

con le dovute sostituzioni delle masse. Questo perche le interazioni tra stati cor-

rispondenti avvengono attraverso lo stesso set di bosoni di gauge.

Infine abbiamo un campo scalare (che chiameremo campo di Higgs) soggetto ad

interazione debole e di ipercarica. Essendo un doppietto di SU(2) con prima compo-

nente carica positivamente e seconda componente neutra lo indichiamo

H ∼ (2, 1)Y3; H =

φ+

φ0

. (2.22)

Tutti gli stati di particelle elencati saranno invarianti sotto trasformazioni di U(1),

SU(2) ed SU(3), spazi di proprieta interne per essi.


Le proprieta pricipali delle quattro interazioni fondamentali sono riassunte nella

seguente tabella

Interazione Elettromagnetica Debole Forte Gravitaz.

Intensita relativa 10−2 10−7 1 10−39

Range di azione ∞ � 10−14cm ' 10−14cm ∞Bosone mediatore fotone W+W−Z0 gluone gravitone

Conserva C, P, T CPT P, T, C,simm. di I-spin /

Viola simm. di I-spin C, P, T / /

dalla quale si evince che l’interazione debole e infatti moto piu debole della forte

e questo giustifica i nomi assegnati per descriverle. Ma la diversita delle costanti

di accoppiamento che giustifica questo diverso comportamento non e l’unica pe-

culiarita delle interazioni alla Yang-Mills. Altre peculiarita sono appunto, la chi-

ralita/vettorialita di alcune interazioni rispetto ad altre. Infatti, stati sinistrorsi

o left-handed e stati destrorsi (o right-handed) trasformano diversamente sotto il

gruppo SU(2). Se consideriamo una rotazione RSU(2), essa converte, ad esempio, il

νleft con eleft o viceversa, mentre essendo eright un singoletto, esso non subisce nessuna

trasformazione poiche non possiede uno stato a cui accoppiarsi.

Per questo diverso trattamento riservato alle particelle sinistrorse e destrorse il

Modello Standard e detto, appunto, Chirale. La chiralita implica inoltre la violazione

della parita della teoria nel settore elettrodebole. La presenza di accoppiamenti dif-

ferenti per fermioni left e right ha delle conseguenze importanti anche nella rinormal-

izzabilita della teoria, attraverso il principio di cancellazione delle anomalie chirali.

2.3 Lagrangiana del Modello Standard

Il nostro obbiettivo e la derivazione di una lagrangiana che descriva il Modello Stan-

dard tenendo conto di tutti i campi dinamici che vi partecipano e delle loro interazioni,

che si trasmettono mediante lo scambio di particelle che sono i quanti dei campi di

gauge [16] detti anche bosoni vettori intermedi.

Per la costruzione di questa lagrangiana partiremo dagli ingredienti di base della

teoria procedendo in questo modo:

2.3. Lagrangiana del Modello Standard 53

1) introduciamo i termini cinetici dei campi dinamici fermionici e bosonici

LK,d = LK,f + LK,Higgsdove l’indice f si riferisce ai seguenti stati: f = Qi,left , Li,left , ui,righ , di,left , ei,right

.

2) calcoliamo i termini cinetici dei bosoni di gauge LK,g = LK,Bµ+LK,W i

µ+LK,Ga

µ

con i=1,2,3 ; a = 1,...8.

3) sommiamo i potenziali e le interazioni della teoria

LV = −VHiggs +LY ukawa ed assumiamo che il vuoto della teoria sia tale da essere

non triviale, cioe che il campo di Higgs abbia valore di aspettazione non nullo.

LY ukawa fornisce i termini di interazione del campo Higgs con due stati di chiralita

differenti. Il meccanismo di generazione della massa degli stati fermionici avviene solo

dopo la rottura spontanea di simmetria.

Il primo punto si ottiene immediatamente sostituendo alla derivata ordinaria del

termine cinetico di (2.2) la derivata covariante, e questa operazione va fatta per ogni

termine cinetico dei vari campi della teoria che hanno cariche sotto un certo gruppo

di gauge. La derivata covariante assicura l’invarianza di gauge per LK,d

LK,d = iQi,LγµDSU(3)×SU(2)×U(1)

µ Qi,L + iui,RγµDSU(3)×U(1)

µ ui,R

+ idi,RγµDSU(3)×U(1)

µ di,R + Li,LiγµDSU(2)×U(1)

µ Li,L + iei,RγµDU(1)

µ ei,R

+ (DµSU(2)×U(1)H)†(DµSU(2)×U(1)H),

(2.23)

avendo indicato con il pedice L ed R rispettivamente gli stati sinistrorsi e destrorsi.

Esplicitando le derivate covarianti si ricavano i termini di interazione tra i bosoni

di gauge e i campi, ma solo dopo la rottura di simmetria acquisteranno un significato

fisico.

Per poter calcolare LK,g occorre definire i campi di forza per i bosoni di gauge

Bµν = ∂µBν − ∂νBµ


W iµν = ∂µW

iν − ∂νW

iµ + g2f

ijkW jµW

kν

Gaµν = ∂µG

aν − ∂νG

aµ + g3f

abcGbµG

cν,

(2.24)

i quali trasformano genericamente come

Fµν → U(x)Fµν(x)U−1(x) (2.25)

con U appartenente a U(1), SU(2) o SU(3) rispettivamente secondo i tre casi.

Queste proprieta garantiscono l’invarianza di gauge per LK,g, che indicheremo

LK,g = −1

4BµνB

µν − 1

4Wµν

iW µνi − 1

4GaµνG

µνa. (2.26)

Infine indichiamo i due contributi che forniscono LV

VH = m2HH

∗H + λ(HH∗)2

LY ukawa = λijkLjHeR,k + λabcQbHdR,c + λfghQgHuR,h + h.c.

(2.27)

dove H = iσ2H∗.

Si nota l’assenza di contributi del tipo λαβγLβHνR,γ che darebbero massa al neu-

trino, se un neutrino destrorso fosse addizionato alla teoria.

2.4 Correnti neutre e correnti cariche

Dall’analisi dettagliata dei termini cinetici della lagrangiana ricaveremo le correnti

generate dalle diverse particelle e per fare questo conviene espandere in doppietti le

parti interessate. Per maggiore chiarezza esaminiamo separatamente il contributo

leptonico e quello adronico.

La parte leptonica e data dalla seguente espressione

2.4. Correnti neutre e correnti cariche 55

iLγµ(∂µ − i

2g1Y Bµ +

i

2g2σ

iW iµ)L + ieRγ

µ(∂µ − i

2g1Y Bµ)eR

= iνLγµ∂µνL + ieLγ

µ∂µeL + ieRγµ∂µeR

+g1

2[YL(νγ

µνL + eLγµeL) + YReRγ

µeR]Bµ

−g2

2(νL, eL)γ

µ

Wµ −√

2W+µ

−√

2W+µ −W 3

µ

νL

eL

(2.28)

in cui abbiamo introdotto le grandezze

W+µ = − 1√

2(W 1

µ − iW 2µ)

W−µ = − 1√

2(W 1

µ + iW 2µ)

W 0µ = W 3

µ .

(2.29)

Trascurando la parte propriamente cinetica, cioe quella relativa alle derivate or-

dinarie, otteniamo

Llept. =g1

2(νLγ

µνLBµYL + eLγµeLBµYL + eRγ

µeRBµYR)

− g2

2(W 0

µ νLγµνL −

√2 νLγ

µeLW+µ −

√2eLγ

µνLW−µ − eLγ

µeLW0µ).

(2.30)

La parte adronica e data

iQLDµQL + iuRγµDµuR + idRγ

µDµdR. (2.31)

Essendo i gluoni particelle neutre, esse non interagiscono col campo elettromag-

netico; poiche le matrici λa non sono tutte diagonali queste interazioni possono cam-

biare la carica di colore dei quarks.


Riarrangiando i termini di (2.30) possiamo distinguere contributi di natura diversa

(g1

2YLBµ +

g2

2W 0

µ)eLγµeL ;

(g1

2YRBµ )eRγ

µeR ;

(2.32)

(g1

2YLBµ − g2

2W 0

µ)νLγµνL . (2.33)

E evidente l’analogia delle (2.32) con la corrente elettromagnetica

Le−m = QAµ(eLγµeL + eRγ

µeR) .

Quindi e possibile interpretare le equazioni (2.32) come componenti di una corrente

carica in funzione dei campi Bµ e W 0µ .

L’equazione (2.33) indica invece la corrente neutra relativa ai neutrini. Occorre

ora parametrizzare i campi Bµ e W 0µ in funzione dei campi fisici neutri Aµ e Zµ per

poter dare un’interpretazione fisica delle espressioni precedenti. Mostriamo dunque

le equazioni delle trasformazioni dal set (Bµ , W0µ) al set (Aµ , Zµ) e viceversa che es-

primono proprio l’unificazione tra interazione debole ed interazione elettromagnetica.

Specificatamente avremo

Aµ =g2Bµ − g1YLW

0µ

√

g22 + g2

1Y2L

,

Zµ =g2W

0µ + g1YLBµ

√

g22 + g2

1Y2L

,

Bµ =g2Aµ + g1YLZµ√

g22 + g2

1Y2L

,

W 0µ =

g2Zµ − g1YLAµ√

g22 + g2

1Y2L

.

(2.34)

2.4. Correnti neutre e correnti cariche 57

Con queste sostituzioni in (2.32) otteniamo la corrente relativa agli elettroni e ai

neutrini

Jeletr. = −Aµ[

eLγµeL

(

g1g2YL√

g22 + g2

1Y2L

)

+ eRγµeR

(

g1g2YR

2√

g22 + g2

1Y2L

)]

−Zµ[

eLγµeL

(

g21Y

2L − g2

2

2√

g22 + g2

1Y2L

)

+ eRγµeR

(

g21YLYR

2√

g22 + g2

1Y2L

)]

Jneutr. = −1

2

(g21YL + g2

2)√

g22 + g2

1Y2L

ZµνLγµνL

(2.35)

Per comprenderne il significato fisico esprimiamo le costanti g1 e g2 in funzione

della carica elettrica e e dell’angolo di mixing θW , detto angolo di Weinberg. Inoltre

poniamo YL = −1 e YR = −2 per ottenere

e =g1g2

√

g21 + g2

2

, sin θW =g1

√

g21 + g2

2

, cos θW =g2

√

g21 + g2

2

.

Le espressioni (2.35) prenderanno la forma

Jeletr. = +Aµ

[

eLγµeL(e) + eRγ

µeR(e)]

− Zµ

[

eLγµeL(

e

cos θW sin θW(−1

2sin2 θW )) + eRγ

µeR

(

e

cos θW sin θW( sin2 θW )

)]

,

Jneutr. = −1

2

(

e

cos θW sin θW

)

ZµνLγµνL.

(2.36)

Definiamo ora la quantita Q che indichera l’intensita dell’accoppiamento tra le

particelle e il campo Zµ. Essa non e altro che la generalizzazione del coefficiente di

Zµ relativo a (2.36)

Q =e

cos θW sin θW

(

T f3 − Qf sin2 θW

)

, (2.37)


in cui l’operatore T f3 rappresenta la terza componente di isospin, mentre Qf

l’operatore di carica.

Tali operatori possono assumere i valori

T f3 =

eR; uR; dR → 0

νL; uL → 12

eL; dL → −12

Qf =

e → −1

ν → 0

uL; uR → 23

dL; dR → −13

Nella lagrangiana fermionica, oltre ai termini diagonali gia visti, vi sono anche

correnti cariche del tipo

g2√2

(

νLγµeLW

+µ + eLγ

µνLW−µ

)

. (2.38)

Queste correnti accoppiano gli elettroni e i neutrini ai bosoni W+µ e W−

µ . L’assenza

di un’interazione tra eR e W+µ o W−

µ indica proprio la violazione di parita della forza

elettrodebole.

2.5 Rottura di simmetria

I processi elettro-deboli sono ben descritti da una teoria di gauge non abeliana il cui

gruppo di simmetria e SU(2) ⊗ U(1) ed a questo stadio, dato che la simmetria e

preservata, i bosoni di gauge non hanno massa.

Le interazioni deboli sono caratterizzate da un corto raggio di azione e questa

e una conseguenza del fatto che i bosoni vettori della teoria W+ , W− e Z0 sono

massivi, come e confermato dall’ esperienza.

Per poter riprodurre a livello teorico una lagrangiana che descriva correttamente

quanto avviene in natura, si potrebbe pensare di introdurre dei termini di massa rela-

tivi ai campi di gauge in maniera opportuna, ma questi campi massivi romperebbero

2.5. Rottura di simmetria 59

la simmetria, dando origine ad una teoria non rinormalizzabile. Una soluzione molto

efficace per dare massa ai bosoni di gauge W+, W− e Z0 e il meccanismo di Higgs

secondo cui la simmetria e rotta spontaneamente e la rinormalizzabilita della teoria

e preservata. Descriviamo brevemente il meccanismo di Higgs.

Consideriamo un campo scalare complesso φ descritto dalla lagrangiana [8]

L = ∂µφ∗∂µφ− µ2φ∗φ− 1

4λ(φ∗φ)2 (2.39)

in cui i parametri µ2 ∈ R , λ ∈ R+0 .

L e manifestamente invariante per trasformazioni globali di U(1). Nel caso in cui

µ2 e positivo il potenziale esibisce un minimo assoluto in φ0 = 0 ed al parametro µ2

si attribuisce il significato di massa del campo complesso.

Se consideriamo valori negativi di µ2 otteniamo

∂V

∂φ= 0 −→ |φ0|2 =

−2µ2

λ. (2.40)

Dunque il vuoto e degenere in quanto non e fissata la fase di φ0; questo fatto e

una conseguenza dell’invarianza di gauge che fornisce un insieme di vuoti equivalenti

tra loro

|φ0 > → |eiqθφ0 > . (2.41)

La scelta di un particolare vuoto rompe la simmetria iniziale ed e proprio quello

che faremo fissando la fase.

Se chiamiamo v = (√

−4µ2

λ) si ha

φ0 =1√2v eiδ.

Il campo complesso puo essere descritto da due campi reali e dalla fase fissata

φ =1√2(φ1 + iφ2)e

iδ. (2.42)


Siccome il valore del vuoto < 0|φ |0 > non e nullo trasliamo il campo di una

quantita pari proprio a v definendo

φi = φi − vδi1 (i = 1, 2)

avendo scelto < 0|φ1|0 >= v e < 0|φ2|0 >= 0. φ1 e φ2 rappresentano delle deviazioni

del campo rispetto al vuoto nelle direzioni radiale la prima, tangenziale l’altra.

Esprimendo la lagrangiana in funzione dei campi φi si osserva che il campo reale

φ1 ha acquistato massa mentre il secondo campo risulta massless e sara per questo

chiamato bosone di Goldstone. Inoltre la nuova lagrangiana, fisicamente equivalente

alla vecchia, non risulta invariante sotto trasformazioni globali di U(1).

Il nostro primo obiettivo e quello di eliminare il bosone di Goldstone perche esso

non rappresenta una particella reale ma e una conseguenza naturale del meccanismo

di rottura di simmetria.

Prendiamo ora in esame una teoria di gauge locale. In tal caso il campo viene

descritto da una lagrangiana in cui compaiono le derivate covarianti ed il termine

cinetico dei campi vettoriali che mediano le interazioni. Nel caso in cui µ2 e negativo,

seguendo la procedura precedente, effettuiamo il cambio di variabili φi → φi i cui

valori di aspettazione sul vuoto sono nulli. Lo shift del campo induce un cambiamento

della derivata covariante fornendo

Dµφ =eiδ√

2[∂µφ1 + i(∂µφ2 + qvAµ) + iqvAµ(φ1 + φ2)].

Si nota che il campo di gauge Aµ e connesso con il modo di Goldstone. Infatti,

imponendo l’invarianza locale della lagrangiana data in funzione dei campi φi, si

ottiene

A′µ = Aµ +

1

qv∂µφ2. (2.43)

Riscrivendo L in funzione di A′µ appare un termine di massa relativo ad esso e

pari a mAµ= qv. Vogliamo sottolineare il fatto che la presenza di tale massa richiede

sia la rottura di simmetria (v 6= 0) che l’accoppiamento tra campo di gauge e campo

scalare (q 6= 0).

La (2.43) non e altro che una trasformazione di gauge particolare indicata con

2.5. Rottura di simmetria 61

Λ(x) =φ2(x)

qv

e che trasforma il campo iniziale

φ =1√2(v + φ1 + iφ2)e

iδ

in

φ′(x) =1√2[v +H(x)].

L’espressione precedente e ricavata avendo scelto la gauge di tipo unitario, che

non cambia il valore di aspettazione del minimo del modo massless.

Λ(x) =1

qarctan

φ2

v + φ1

→ φ′2 = 0.

La lagrangiana che ne deriva non dipendera esplicitamente dal bosone di Goldstone

che viene “assorbito” dal campo di gauge. Quest’ultimo prende una massa aumen-

tando il numero di gradi liberta da due (i due gradi di polarizzazione trasversi per

massa nulla), a tre (si aggiunge una polarizzazione longitudinale nel diventare mas-

sivo). H, che corrisponde al campo φ1, e il campo reale che chiameremo campo di

Higgs.

Siccome la teoria elettrodebole e una teoria locale non-abeliana possiamo general-

izzare i risultati del caso precedente in questo modo. Sia G il gruppo non-abeliano le

cui trasformazioni sono date dai generatori T a, con a = 1, ...n. Dato il campo scalare

φ(x) a n componenti e la derivata covariante in funzione dei vettori di gauge Aaµ

Dµ = 1∂µ + igT aAaµ

si ottiene la lagrangiana invariante del sistema. Procedendo come nel caso abeliano,

la rottura di simmetria da una ridefinizione dei campi φi con valore di aspettazione

sul vuoto nullo. Lo stato fondamentale |v > e invariante sotto un certo numero di

trasformazioni di G e il massimo numero di generatori che soddisfa tale proprieta fissa

un sottogruppo massimale per il quale

T av = 0 (a = 1, ...M)


mentre

T av 6= 0 (a = M + 1, ...n).

In conclusione i campi di gauge Aaµ con a = 1, ...M rimangono massless mentre ai

restanti n − M sono associati dei modi Goldstone che, una volta assorbiti, fanno

acquisire una massa agli altri bosoni di gauge [9].

2.6 Generazione delle masse dalla rottura di simmetria

Le masse dei bosoni vettori sono ottenute, una volta rotta la simmetria, dai termini

∣

∣

∣

∣

(

g1

2Bµ −

g2

2τ iWiµ

)

φ0

∣

∣

∣

∣

2

=v2

8

[

g22

(

W 21µ +W 2

2µ +W 23µ

)

+ g21B

2µ − 2g1g2W3µBµ

]

.

(2.44)

Con la sostituzione delle espressioni (2.29) e (2.34) otteniamo

mW± =vg2

2; mZ0 =

vg2

2

1 +

(

g1

g2

)2

.

Nel caso di masse fermioniche occorre fare alcune considerazioni. Perche la la-

grangiana sia invariante sotto trasformazioni di parita, le componenti di diversa chi-

ralita di un campo fermionico devono trasformare nello stesso modo sotto trasfor-

mazioni di gauge. In generale un fermione puo essere scritto come somma delle sue

componenti left e right

ψ = ψL + ψR

dove

ψL =1

2(1 − γ5)ψ ;ψR =

1

2(1 + γ5)ψ

e

PL,R =1

2(1 ∓ γ5)

sono operatori di proiezione. ψL e ψR sono autostati di chiralita con autovalore 1 il

primo, −1 il secondo.

2.7. Le divergenze quadratiche 63

Con l’assunzione fatta inizialmente, il termine cinetico della lagrangiana e in-

variante di gauge. Il termine di massa mψψψ, invece, rompe l’invarianza di gauge.

Sapendo che i fermioni in natura hanno massa, a parte i neutrini, occorrera rompere

spontaneamente la simmetria e generare le masse osservate. Tale meccanismo non

viola la simmetria di gauge e nello stesso tempo tiene conto della diversa natura di

ψL e ψR. Infatti il termine di massa non e invariante per trasformazioni chirali.

Il meccanismo di Higgs nel caso dei leptoni agisce in questo modo. Prendiamo il

doppietto left-handed neutrino-elettrone

Ll =

ν

e

L

, (2.45)

la massa dell’elettrone e definita come miscela tra modo left e modo right come segue

Y LlHeR → 1√2Y

Ll

0

v

eR

=Y v√

2(eLeR) , (2.46)

me =Y v√

2(2.47)

dove il coefficiente Y e la costante di accoppiamento di Yukawa scelta in modo da

conservare l’invarianza di gauge.

Se consideriamo la massa del bosone di Higgs essa si ricava considerando il poten-

ziale del campo nel punto di minimo. Il valore della massa e il coefficiente del termine

quadratico del polinomio in H dato da

mH =√

2λv.

2.7 Le divergenze quadratiche

A conclusione di questo capitolo e prima di inoltrarci nello studio delle teorie supersim-

metriche, riassumiamo qui brevemente il calcolo delle divergenze quadratiche ripor-

tando solo i risultati essenziali, essendo questo indispensabile per motivare l’introduzione

della supersimmetria in fisica delle alte energie. Maggiori dettagli possono essere

trovati in [12].


h

ψ >> >

Figure 2.1: Rinormalizzazione della massa fermionica da un loop scalare.

Il probema puo essere esaurientemente illustrato usando un modello semplificato in

cui un fermione singolo interagisce con uno scalare φ massivo e la cui lagrangiana puo

essere presa della forma

Lφ = ψ(iγµ∂µ)ψ+ | ∂µφ |2 −m2S | φ |2 −

(

λF2ψψφ+ h.c.

)

. (2.48)

Assumiamo che questa lagrangiana abbia una rottura spontanea per uno specifico

potenziale del campo scalare tale che, intorno al minimo φ = (h + v)/√

2, con h

indicante il bosone di Higgs fisico, il campo fermionico acquisisce una massa data

da mF = λFv/√

2 che, ovviamente, prende correzioni radiative, ad esempio di self-

energia, come illustrato in Fig. 2.1.

Il calcolo di queste correzioni porta ad un nuovo valore della massa del fermione

dato da mrF = mF + δmF dove

δmF = ΣF (p) |p=mF

= iλ2F

32π4

∫ 1

0dx∫

d4k′mF (1 + x)

[k′2 −m2Fx

2 −m2S(1 − x)]2

, (2.49)

dove alla massa all’ordine zero addizioniamo il contributo di Fig. 2.1. Introducendo

un cutoff Λ per regolarizzare l’integrale si ottiene

δmF = −λ2FmF

32π2

∫ 1

0dx(1 + x)

∫ Λ2

0

ydy

[y +m2Fx

2 +m2S(1 − x)]2

= −3λ2FmF

64π2log(

Λ2

m2F

)

+ .... (2.50)

dove abbiamo omesso i termini indipendenti dal cutoff stesso o che vanno a zero

quando questo va ad infinito.

Notiamo come questo risultato dipenda dal cutoff solo in forma logaritmica.

2.7. Le divergenze quadratiche 65

hψ

<

Figure 2.2: Rinormalizzazione della massa dell’Higgs da un loop fermionico.

La situazione nel caso delle correzioni alla massa dello scalare sono invece dif-

ferenti. Il contributo di Fig.2.2 si esprime nella forma

−iΣS(p2) =

(−iλF√2

)2

(i)2(−1)∫

d4k

(2π)4

Tr[(k +mF )((k − p) +mF )]

(k2 −m2F )[(k − p)2 −m2

F ](2.51)

ed integrando, dopo aver introdotto un cutoff Λ, si ottiene

(δM2h) = − λ2

F

8π2

[

Λ2 + (m2S − 6m2

F ) log(

Λ

mF

)

+(2m2F − m2

S

2)(

1 + I1

(

m2S

m2F

))]

+ O(

1

Λ2

)

, (2.52)

dove I1(a) ≡∫ 10 dx log(1− ax(1 − x)), con a =

(

m2

S

m2

F

)

, e la massa diverge quadratica-

mente col cutoff. La presenza di questa divergenza, che deve essere controllata me-

diante l’introduzione di una lagrangiana di controtermine, e una caratteristica molto

discutibile del modello, in quanto ad ordini perturbativi piu’ alti bisogna riaggiustare

il cutoff in modo da rieliminare le nuove divergenze.

Benche alcuni teorici considerino questa situazione accettabile, rimane il fatto che

l’aggiustamento perturbativo richiesto (fine tuning) per rendere la teoria sensibile e

comunque problematico.

L’introduzione della supersimmetria permette di cancellare le divergenze quadratiche

mediante il “raddoppiamento dello spettro”, cioe’ ad ogni scalare viene associato un

fermione nella medesima rappresentazione del gruppo di gauge che da un contributo

opposto a quello dello scalare, in modo tale che la somma dei due contributi radia-

tivi sia priva dei termini quadratici in Λ. L’implementazione di queste cancellazioni e

effettuabile sistematicamente mediante l’imposizione di una nuova simmetria della la-

grangiana che, si scopre, e una generalizzazione delle simmetrie ordinarie (bosoniche)

ed e caratterizzata da una struttura algebrica alquanto complessa. Le implicazioni


fisiche di questi modelli sono anche alquanto complesse, data l’ampliamento dello

spettro che e necessario per ottenere questo risultato.

Capitolo 3

Il Modello Standard MinimaleSupersimmetrico

In questo capitolo discuteremo la formulazione del Modello Standard Supersimmet-

rico Minimale (o MSSM) analizzando in dettaglio gran parte della sua struttura for-

male e discutendo il suo spettro e la metodologia usata nella derivazione della sua

lagrangiana. Partiamo, ad esempio, dal settore leptonico, ragionando su basi generali.

Al doppietto leptonico del Modello Standard, le cui componenti rappresentano

il neutrino e l’elettrone, nel processo di supersimmetrizzazione di questi campi, si

dovrebbe associare un doppietto bosonico di spin zero, se intendiamo bilanciare i

gradi di liberta fermionici e bosonici. Questo implica, naturalmente, che avremo

bisogno di campi scalari. Ma i campi fisici scalari, nel Modello Standard, sono solo

dati dal doppietto di Higgs, che non puo essere scelto come partner in quanto non

ha carica leptonica. Infatti un supermultipletto non puo contenere delle particelle

che conservano un certo numero quantico ed altre che non lo conservano, dovendo

appartenere tutte le sue componenti alla medesima rappresentazione (e quindi essere

caratterizzato dalle stesse cariche) del gruppo di gauge. Per questo motivo definiamo

il doppietto con componenti bosoniche date dallo sneutrino e dal selettrone, che sono

dei nuovi campi, e procediamo nello stesso modo anche per i quark. La procedura

pertanto si ripete per ogni generazione di leptoni e di quark. Una procedura analoga

is segue anche per la supersimmetrizzazione delle interazioni di gauge, con i campi

di gauge descritti da multipletti vettoriali di massa nulla. Questo vale per ciascun

campo di gauge descritto nel Modello Standard. Ricordiamo che dopo la rottura di

simmetria, i partner fermionici di W+, W−, Z0 e del fotone, anch’essi caratterizzati

da una matrice di massa, giocheranno un ruolo molto importante nella architettura

67

68 Capitolo 3. Il Modello Standard Minimale Supersimmetrico

finale del modello. Questi partner dei bosoni di gauge saranno chiamati wini, zino

e fotino rispettivamente. Per il settore relativo ai campi di Higgs si introducono gli

Higgsini.

Quindi, per riassumere, ogni componente ordinaria (fermionica o bosonica) del

Modello Standard viene promossa a supercampo. Ad esempio, se il doppietto left-

handed dei quarks e composto da due quark della terza generazione, entrambe le

componenti di tale doppietto vengono sostituite da supercampi con cariche di gauge

che sono le stesse del doppietto ordinario (cioe non supersimmetrico). Operando in

questo modo otterremo quindi un nuovo modello descritto da una lagrangiana che

terra conto della dinamica di tutte le possibili particelle in giuoco nella teoria e dei

loro rispettivi superpartners, [21], [22]. Va fatto presente, in ogni caso, che non sono

ancora state osservate sperimentalmente le particelle delle teorie supersimmetriche

partner di quelle ordinarie. Ricordiamo ancora una volta che, dal punto di vista

dell’algebra della supersimmetria, queste dovrebbero essere degeneri in massa con le

prime. Questo fatto chiaramente indica che la supersimmetria deve essere una teoria

rotta almeno sino alle energie studiate nei collisori precedenti all’LHC, quali LEP ed

il Tevatron. Le energie nel centro di massa nel caso di LEP sono state di circa 200

GeV, mentre il Tevatron, che e un collisore adronico, ha raggiunto circa i 2 TeV. In

quest’ultimo caso la vera energia a disposizione degli urti partonici e solo una frazione

dell’energia nel centro di massa, senz’altro inferiore ad 1 TeV.

3.1 Espansione dei supercampi

Basandoci sulle osservazioni precedenti possiamo dare un’espressione per l’espansione

dei supercampi. Nel caso leptonico avremo

L(x, θ, θ) =

νl(x, θ, θ)

l(x, θ, θ)

left

= L(x) + iθσµθ∂µL(x) − 1

4θθθθ∂2L(x) +

√2θL(x)

+i√2θθθσµ∂µL(x) + θθFL(x).

3.1. Espansione dei supercampi 69

(3.1)

La scelta della notazione e fondamentale per mettere in luce la natura dei super-

campi, infatti L rappresenta il doppietto di SU(2). Percio ciascuna componente sara

indicata in questo modo

L =

L1

L2

; L =

L1

L2

; FL =

f ν

f l

(3.2)

in cui le prime componenti avranno carica zero mentre le seconde -1. Le compo-

nenti fermioniche sono quelle fornite da L, in accordo con quanto detto sopra, mentre

L fornisce i partners supersimmetrici bosonici. FL e il campo ausiliario che sara

eliminato attraverso le equazioni del moto per ottenere la lagrangiana fisica (detta

lagrangiana on-shell).

Il supercampo corrispondente al singoletto elettronico right-handed del Modello

Standard sara sostituito dal supercampo

Ec(x, θ, θ) = lright(x)

= Ec(x) + iθσµθ∂µEc(x) − 1

4θθθθ∂2Ec(x) +

√2Ec(x)

+i√2θθθσµ∂µE

c(x) + θθFE(x).

(3.3)

In questo modo indichiamo l’espressione relativa a un singoletto di SU(2). Il

campo fermionico con carica +1 e fornito da Ec mentre quello bosonico corrispon-

dente, con la medesima carica, e Ec. Ancora una volta il campo ausiliario e indicato

con FE.

Forniamo l’espansione per i due doppietti di Higgs, gli unici supercampi scalari

della teoria

H1(x, θ, θ) =

H11 (x, θ, θ)

H21 (x, θ, θ)


= H1(x) + iθσµθ∂µH1(x) − 1

4θθθθ∂2H1(x)

+√

2θH1(x) +i√2θθθσµ∂µH1(x) + θθF1(x),

(3.4)

H2(x, θ, θ) =

H12 (x, θ, θ)

H22 (x, θ, θ)

= H2(x) + iθσµθ∂µH2(x) − 1

4θθθθ∂2H2(x)

+√

2θH2(x) +i√2θθθσµ∂µH2(x) + θθF2(x).

(3.5)

Definiamo Hi le componenti bosoniche dei campi di Higgs e con Hi indichiamo gli

Higgsini, per i che assume valore 1 o 2 a secondo del doppietto considerato.

H1 =

H11

H21

; H1 =

H11

H21

; F1 =

F 11

F 21

. (3.6)

Le prime componenti di H1 sono neutre mentre le seconde hanno carica -1.

H2 =

H21

H22

; H2 =

H21

H22

; F2 =

F 12

F 22

. (3.7)

Nel caso di H2 le prime componenti hanno carica +1, mentre le seconde saranno

neutre.

Nel caso dei quark procediamo in maniera analoga ai casi precedenti

Q(x, θ, θ) =

ul(x, θ, θ)

dl(x, θ, θ)

left

= Q(x) + iθσµθ∂µQ(x) − 1

4θθθθ∂2Q(x) +

√2θQ(x)

3.1. Espansione dei supercampi 71

+i√2θθθσµ∂µQ(x) + θθFQ(x),

(3.8)

uc(x, θ, θ) = uright(x, θ, θ) = uc(x) + iθσµθ∂µuc(x) − 1

4θθθθ∂2uc(x)

+√

2uc(x) +i√2θθθσµ∂µu

c(x) + θθFu(x),

(3.9)

dc(x, θ, θ) = dright(x, θ, θ) = dc(x) + iθσµθ∂µdc(x)

− 1

4θθθθ∂2dc(x) +

√2dc(x) +

i√2θθθσµ∂µd

c(x) + θθFd(x).

(3.10)

Si nota che il supercampo Q e un doppietto di SU(2), mentre u e d si trasformano

come singoletti per trasformazionioni dello stesso gruppo.

I supercampi vettoriali relativi a SU(3) , SU(2) e U(1) in funzione delle compo-

nenti, nella gauge di Wess-Zumino, prendono la forma

U l(x, θ, θ) = −θσµθU lµ(x) + iθθθλ

l(x) − iθθθλl(x) +

1

2θθθθDl(x)

V a(x, θ, θ) = −θσµθV aµ (x) + iθθθλ

a(x) − iθθθλa(x) +

1

2θθθθDa(x)

V ′(x, θ, θ) = −θσµθV ′µ(x) + iθθθλ

′(x) − iθθθλ′(x) +

1

2θθθθD′(x).

(3.11)

I supercampi vettoriali prendono valore nella rappresentazone aggiunta dei gruppi

di gauge e sono espandibili nelle basi dei rispettivi generatori

V = V aT a

V ′ = V ′Y

U = U lSl


L’indice a e un indice di SU(2), per cui assume i valori a = 1, 2, 3, mentre l e un

indice di SU(3), quindi l = 1, ...8.

U lµ , V

aµ e V ′

µ sono i bosoni di gauge mentre i gaugini sono dati da λl , λa e λ′.

Possiamo dunque riassumere la classifica dei supercampi come segue

Campi fermionici Campi bosonici

Leptoni e quarks Sleptoni e squarks

(Li, Qi, Ec, uc, dc)(spin 1/2) (Li, Ec, Qi, uc, dc)(spin 0)

Higgsini(H i1, H

i2) Bosoni di Higgs(H i

1, Hi2)

(spin 1/2) (spin 0)

Gaugini(λa, λ′, λl) Bosoni di gauge(V aµ , V

′µ, U

lµ)

(spin 1/2) (spin 1)

3.2 Lagrangiana Supersimmetrica

La lagrangiana completa sara composta da un termine invariante sotto trasformazioni

supersimmetriche, LSusy, e da altri termini responsabili della rottura di supersimme-

tria, Lsoft. Nei calcoli che seguiranno sono stati consultati [17], [18], [20] e [19].

Arriveremo a scrivere l’intera lagrangiana

LT = Lsusy + Lsoft

dopo aver analizzato con attenzione ciascuna sua parte. Se esplicitiamo l’espressione

di Lsoft si ha un contributo dai termini di massa per gli scalari, contributo che in-

dichiamo con L1, e un secondo contributo relativo ai termini di massa di gauge, dati

dall’espressione L2

L1 = −∫

d4θ[

M2LL

†L + m2EE

†E + M2QQ

†Q+m2uu

c†uc +m2dd

c†dc

+m21H

†1H1 + m2

2H†2H2 − m2

3εij(H i

1Hj2 + h.c.)

]

δ4(θ, θ),

3.2. Lagrangiana Supersimmetrica 73

L2 =1

2

∫

d4θ[

(MW aαW aα + M ′W ′αW ′

α + MlWl αW l

α + h.c.]

δ4(θ, θ).

(3.12)

Nella seconda espressione sono stati utilizzati i campi di forza relativi ai campi di

gauge, che sarranno definiti tra breve.

LSusy consiste nella somma dei termini cinetici dei campi leptonici, adronici, di

quelli di gauge ed infine dei campi di Higgs; inoltre comprende i termini di super-

potenziale che tratteremo in dettaglio.

LSusy =∫

d4θ[

L†e2gV+g′V ′

L + Ec†eg′V ′

Ec]

+∫

d4θ[

Q†egU+2gV+g′V ′

Q+ uc†egU+g′V ′

uc + dc†egU+g′V ′

dc]

+1

4

∫

d4θ([

W aαW aα +W ′αW ′

α +W lαW lα

]

δ2(θ))

+ h.c

+∫

d4θ[

H†1e

2gV+g′V ′

H1 + H†2e

2gV+g′V ′

H2

]

+∫

d4θWδ2(θ) + Wδ2(θ),

(3.13)

Abbiamo indicato con g′, g e g le costanti di accoppiamento rispettivamente di

U(1) , SU(2) e SU(3).

I campi di forza per i tre gruppi di gauge sono

W ′α = −1

4DDDαV

′,

W aα = − 1

8gDDe−2gVDαe

2gV ,

W lα = − 1

4gDDe−gUDαe

gU .

(3.14)

La rinormalizzabilita del modello richiede che il superpotenziale W sia un poli-

nomio nei campi di ordine non maggiore di tre. Esso sara la somma di due diversi

contributi


W = WHiggs + WY ukawa

= µεijH i1H

j2 + εij[fH i

1LjE + f1H

i1Q

j dc + f2Hj2Q

iuc]

(3.15)

dove µ e un parametro di massa ed f , il cosiddetto µ term, mentre f1 ed f2 sono

costanti di accoppiamento di Yukawa.

3.3 Dettagli relativi al calcolo di LSoft

La supersimmetria non e una simmetria esatta e questo fatto si puo dedurre dalla

conoscenza dello spettro del Modello Supersimmetrico Minimale. In generale le tec-

niche usate per rompere una simmetria sono due: la prima consiste nell’introduzione

di termini di rottura all’interno della lagrangiana che descrive il modello; la sec-

onda procedura e il meccanismo di rottura spontanea di simmetria. Abbiamo gia

escluso in quest’ultimo caso la prima procedura perche essa comprometterebbe la

rinormalizzabilita della teoria. Nel caso del Modello Standard Supersimmetrico min-

imale occorrera invece procedere in maniera differente, introducendo esplicitamente

dei contributi che chiamiamo termini di Susy-Breaking. La scelta di inserire ”a mano”

tali contributi e dettata dagli effetti che essi hanno a basse energie, una volta che il

meccanismo di rottura di supersimmetria si sia verificato a grandi scale di massa.

I termini di breaking saranno scelti in modo opportuno perche, ancora una volta,

occorre che il modello in esame sia rinormalizzabile. Questo aspetto rappresenta

proprio la risposta al problema delle gerarchie di gauge che si incontra nella fisica

standard.

La natura dei termini di breaking e di tipo ”soft”, cioe essi hanno dimensioni di

massa positive, essendo tutti del tipo m2φ2. La ragione di questa forma sta nel fatto

che essa non introduce nuove divergenze nelle relazioni tra le costanti di accoppia-

mento adimensionali della lagrangiana effettiva, costanti che garantiscono la stabilita

delle masse anche a grandi energie. I termini di soft-breaking fissano le cancellazioni

delle correzioni radiative all’ordine di m2, per ogni ordine perturbativo. Infatti pos-

3.3. Dettagli relativi al calcolo di LSoft 75

siamo scrivere

δm2 ∼ m2soft log(

Λ

m2soft

)

dove msoft fissa la scala di energia tipica dei termini di rottura (pari a circa 1 TeV).

Si noti come questi termini, pertanto, inducano correzioni radiative puramente logar-

itmiche e non quadratiche. L’introduzione di divergenze quadratiche sarebbe in con-

traddizione con lo scopo stesso della supersimmetria che e proprio quello di eliminare

tali divergenze. Un risultato importante della supersimmetria che si puo dimostrare

facilmente a partire dall’ algebra dei generatori supersimmetrici e che lo stato di vuoto

della teoria deve avere energia nulla perche la simmetria rimanga esatta. Potenziali

caratterizzati da un minimo non nullo rompono la supersimmetria. Questo, ovvia-

mente, e differente rispetto a quanto accade per ordinarie teorie di gauge. E possibile

avere potenziali a forma di “cappello messicano”, che quindi rompono la simmetria di

gauge senza che questi, pero, rompano anche la supersimmetria. Cio succede quando

i minimi non triviali della teoria hanno energia nulla. Quindi, l’esistenza di stati di

vuoto supersimmetrici non e incompatibile con la rottura dell’ordinaria simmetria di

gauge. Infatti, nel modello standard supersimmetrico abbiamo bisogno sia di poten-

ziali che rompano la simmetria di gauge per dare massa ai campi di gauge, ai quark

ed ai leptoni, che di una rottura “soffice”, cioe debole della supersimmetria.

Consideriamo ora proprio il termine di breaking

LSoft = L1 + L2

= −∫

d4θ[

M2LL

†L +m2EE

†E +m21H

†1H1 +m2

2H†2H2

−m23εij(H i

1Hj2 + h.c) + M2

QQ†Q+m2

uuc†uc +m2

ddc†dc]

δ4(θ, θ)

+1

2

∫

d4θ[

(MW aαWaα +M ′W ′αW ′α +MlW

l αW lα) + h.c.

]

δ4(θ, θ).

(3.16)

Esaminiamo per il momento il primo termine di L1, usando l’espansione dei su-

percampi e sfruttando la proprieta

(χσµψ)† = −(ψσµχ)† = −(χσµψ).


Con essa si ricava la seguente relazione

[

i√2θ2(θσµ∂µL)

]†

= −[

− i√2θ

2(∂µLσ

µθ)†]

=i√2θ

2(θσµ∂µL

†),

utile per ottenere

∫

d4θ[

M2L

(

L(x)† − iθσµθ∂µL(x)† − 1

4θθθθ∂2L(x)† +

√2θL†(x)

+i√2θ

2θσµ∂µL(x)† + θ

2F †L(x)

)(

L(x) + iθσνθ∂νL(x)

− 1

4θθθθ∂2L(x) +

√2θL(x) +

i√2θθθσν∂νL(x) + θθFL(x)

)]

δ4(θ, θ).

(3.17)

L’integrazione grassmaniana, le cui proprieta sono state discussa nel primo capi-

tolo, fornira come risultato dell’espressione precedente il prodotto delle componenti

scalari relative alla quantita L†L. Tutte le altre componenti si annullano nell’operazione

di integrazione. Il risultato e analogo per i contributi provenienti dall’espansione degli

altri campi, quindi avremo

L1 = Lmscalare= −

(

M2LL

†L +m2EE

†E +m21H

†1H1 +m2

2H†2H2

−m23εij(H i

1Hj2 + h.c.) + M2

QQ†Q +m2

uuc†uc +m2

ddc†dc

)

.

(3.18)

I termini di massa per i campi di gauge sono ricavati seguendo la stessa procedura,

esplicitando in componenti i prodotti W aαW aα , W ′αW ′

α e W l αW lα.

Avremo i seguenti risultati

1

2

∫

d4θ[(MW aαW aα) + h.c.]δ4(θ, θ) = −M

2(λaλa + h.c.)

1

2

∫

d4θ[(MlWlαW l

α) + h.c.]δ4(θ, θ) = −Ml

2(λlλl + h.c.)

3.3. Dettagli relativi al calcolo di LSoft 77

1

2

∫

d4θ[(M ′W ′αW ′α) + h.c.]δ4(θ, θ) = −M

′

2(λ′λ′ + h.c.).

(3.19)

Mostriamo come ricavare le espressioni precedenti, una volta fatte due ipotesi:

1) fissiamo la gauge di Wess-Zumino;

2) data la chiralita dei campi di forza utilizziamo la rappresentazione nella base

(y = x − iθσµθ) in cui la derivata covariante assume la forma data dalla prima

espressione di (1.84).

Otteniamo dunque nella nuova base

V a(y, θ, θ) = −θσµθV aµ (y) + iθ2θλ

a(y) − iθ

2θλa(y) +

1

2θ2θ

2[Da(y) + i∂µV a

µ (y)];

Wα = − 1

8gDD(1 − 2gV − 1

2(2g2)V V )Dα(1 + 2gV +

1

2(2g2)V V )

= − 1

8gDD(1 − 2gV aT a − 2g2V aV bT aT b) × (

∂

∂θα+ 2iσµααθ

α ∂

∂yµ) ×

(1 + 2gV aT a + 2g2V aV bT aT b).

(3.20)

Occorre ora procedere per gradi calcolando i risultati intermedi

Dα(2gVaT a) = (

∂

∂θα+ 2iσµααθ

α ∂

∂yµ)(2gV aT a)

= 2gT a{

− σναβθβV aν (y) + 2iθαθλ

a(y) − iθ

2λaα(y) + θ

2(θαD

a(y)

− (σµν)βαθβ [∂µVν(y) − ∂νVµ(y)])

+ θ2θ2σµαα∂µλ

αa(y)}

Dα(2g2V aV bT aT b) = 2g2T aT b

{

θ2θαV

aν(y)V bν (y)

}

,

(3.21)

e−2gVDαe2gV = 2gT a[−σµααθ

αV aµ + 2iθαθλ

a+ θ

2{θαDa − (σµν)βαθβVaµν}


−iθ2λaα + θ2θ

2σµαα{∂µλ

αa − gf abcV bµλ

αc}],

(3.22)

avendo introdotto il campo di forza relativo a SU(2), che definiamo

V cµν = ∂µVν − ∂νVµ − gf abcV a

µ Vbν .

Date le proprieta di derivazione delle variabili di Grassmann, ricorrendo a (1.56),

si giunge al risultato

Wα = T a[iλaα − θαDa + (σµν)βαθβV

aµν − θ2σµαα(∂µλ

αa − gf abcV bµλ

c)]. (3.23)

Poiche il nostro obbiettivo e quello di calcolare

1

2

∫

d4θ [(MW aαW aα) + h.c.] δ4(θ, θ)

nel prodotto W αWα consideriamo solo il termine di ordine inferiore, in quanto e

l’unico a sopravvivere all’operazione di integrazione. Se definiamo

W α = εαβWβ,

allora avremo

W αWα|0 = −T aT aλαaλaα (3.24)

per cui finalmente

1

2

∫

d4θ [(MW aαW aα) + h.c.] δ4(θ, θ) =

M

2

∫

d4θ [Tr(T aT a)(−λαaλaα) + h.c] =

−M2

(λαaλaα + λαaλa

α) .

(3.25)

Analogamente si procede per la seconda e la terza espressione di (3.19).

3.4. Calcolo di LSusy attraverso tecniche di algebra supersimmetrica 79

3.4 Calcolo di LSusy attraverso tecniche di algebra supersimmetrica

Per ricavare LSusy si puo inizialmente esplicitare il termine cinetico relativo al super-

campo Q

∫

d4θQ†egU+2gV+g′V ′

Q. (3.26)

Da questo si dedurranno banalmente i contributi cinetici dei supercampi di Higgs

e dei restanti leptoni ponendo la carica g di SU(3) a zero, mentre per i singoletti di

SU(2) occorrera annullare anche la costante g, ottenendo le espressioni

∫

d4θ L†e2gV+g′V ′

L

∫

d4θ uc†eg

′V ′

uc.

(3.27)

Il calcolo che ci siamo proposti di risolvere e particolarmente lungo quindi occor-

rera procedere per gradi. Cerchiamo innanzitutto l’espressione esplicita dell’operatore

egU+2gV+g′V ′

= (1 + gU lSl +1

2g2U lUmSlSm) × (1 + 2gT aV a + 2g2T aT bV aV b)

× (1 + g′Y V ′ +1

2Y 2V ′2) = (1 + gU lSl +

1

2g2U lUmSlSm)(1 + g′Y V ′

+2gT aV a +g′2

2Y 2V ′2 + 2g2T aT bV aV b + 2gg′Y T aV aV ′)

= 1 + g′Y V ′ + 2gT aV a +g′2

2Y 2V ′2 + 2g2T aT bV aV b + 2gg′Y T aV aV ′

+gU lSl + gg′Y SlU lV ′ + 2ggU lSlT aV a +1

2g2U lUmSlSm

(3.28)

dove i prodotti del tipo V aV b , U lV ′ etc. sono ottenuti sfruttando relazioni di

questo tipo

V aV b → (−θσµθV aµ )(−θσνθV b

ν ) =1

2ηµνθ2θ

2V aµ V

bν =

1

2θ2θ

2V aµ V

bµ


.

Abbiamo considerato solo la componente del prodotto che non si annulla nell’operazione

di integrazione.

Consideriamo l’azione di (3.28) sul campo Q, dopo aver fatto l’espansione in com-

ponenti sia del campo che dell’operatore considerato

eg+2gV+g′V ′

Q =

[

1 − θσµθ[2gT aV aµ + g′Y V ′

µ + gU lµS

l] + iθ2θ[2gT aλa+ g′Y λ

′+ gλ

lSl]

−iθ2θ[2gT aλa + g′Y λ′ + gλlSl] +

1

2θ2θ

2[2gT aDa + g′Y D′ + gDlSl

+2g2T aT bV aµV bµ +

g′2

2Y 2V ′µV ′

µ + 2gg′Y T aV aµV ′µ + gg′U lµV ′

µSlY

+2ggU lµV aµ T

aSl +1

2g2U lµUm

µ SlSm]

][

Q(x) + iθσµθ∂µQ(x)

−1

4θθθθ∂2Q(x) +

√2θQ(x) +

i√2θθθσµ∂µQ(x) + θθFQ(x)

]

= Q− (θσµθ)A{Q+ iθσνθ∂νQ+√

2θQ} + iθ2θBQ

−iθ2θC{Q+

√2θQ} +

1

2θ2θ

2QD.

(3.29)

Abbiamo indicato per comodita alcune espressioni in maniera sintetica

A = 2gT aV aµ + g′Y V ′

µ + gU lµS

l

B = 2gT aλa+ g′Y λ

′+ gλ

lSl

C = 2gT aλa + g′Y λ′ + gλlSl

D = 2gT aDa + g′Y D′ + gDlSl + 2g2T aT bV aµV bµ +

g′2

2Y 2V ′µV ′

µ + 2gg′Y T aV aµV ′µ

+ gg′U lµV ′µS

lY + 2ggU lµV aµ T

aSl +1

2g2U lµUm

µ SlSm.

(3.30)

Sfruttando le relazioni


i(θσµθ)(θσµθ) =i

2θ2θ

2ηµν ,

(θσµθ)θαQα =1

2εβαθ2σµ

ββθβQα =

1

2θ2(Qσµθ),

l’espressione (3.29) assume la forma

Q+√

2θQ + θ2FQ + θσµθ{

i∂µQ− (2gT aV aµ + g′Y V ′

µ + gU lµS

l)Q}

+ θ2θ2{

i√2σµ∂µQ+ i(2gT aλ

a+ g′Y λ

′+ gλ

lSl)Q

− 1√2Qσµ(2gT aV a

µ + g′Y V ′µ + gU l

µSl)}

− iθ2θ{

(2gT aλa + g′Y λ′ + gλlSl)Q}

+1

2θ2θ

2{

− 1

2∂2Q− iηµν(2gT aV a


µSl)∂νQ

+ Q(2gT aDa + g′Y D′ + gDlSl + 2g2T aT bV aµV bµ +

g′2

2Y 2V ′µV ′

µ + 2gg′Y T aV aµV ′µ

+ gg′U lµV ′µS

lY + 2ggU lµV aµ T

aSl +1

2g2U lµUm

µ SlSm) + i

√2Q(2gT aλa + g′Y λ′ + gλlSl)

}

.

(3.31)

Moltiplichiamo ora Q† per il risultato precedente. Successivamente proiettiamo le

componenti θ2θ2

del prodotto ottenuto. Quest’operazione coincide con l’integrazione

(3.26) ed il risultato finale e

∫


Q = ∂µQ†∂µQ+1

2Q†(2gT aDa + g′Y D′ + gDlSl)Q

+1

2Q†(2g2T aT bV aµV b

µ + 2gg′Y T aV aµV ′µ + gg′Y SlU lµV ′

µ + 2ggU lµSlT aV aµ

+1

2g2U lµUm

µ SlSm +

1

2g′2Y 2V ′µV ′

µ)Q− i

2Q†(2gT aV a

µ

+ g′Y V ′µ + gU l

µSl)∂µQ+

i

2∂µQ†(2gT aV a


µSl)Q


+i√2Q†(2gT aλa + g′Y λ′ + gλlSl)Q− iQ†σµ∂µQ− i√

2Q†(2gT aλ

a

+ g′Y λ′+ gλ

lSl)Q +

1

2Q†σµ(2gT aV a


µSl)Q + F †

QFQ.

(3.32)

Nel risultato precedente sono state sfruttate le seguenti identita

Qσµ∂µQ† = Q†σµ∂µQ+ ∂µ(Qσ

µQ†)

∂2Q†Q = −∂µQ†∂µQ + ∂µ(∂µQ†Q)

Q†∂2Q = −∂µQ†∂µQ + ∂µ(Q†∂µQ).

(3.33)

Se indichiamo il gruppo di simmetria con

G = SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1),

definiamo la derivata covariante relativa a G

Dµ = ∂µ + igT aV aµ + ig′

Y

2V ′µ + ig

Sl

2U lµ (3.34)

come fatto nel capitolo precedente. Introducendo questa nuova espressione in (3.32)

otteniamo il termine cinetico nella forma definitiva

∫


Q = (DµQ)†(DµQ) − iQ†σµDµQ+1

2Q†(2gT aDa

+ g′Y D′ + gDlSl)Q+i√2Q†(2gT aλa + g′Y λ′ + gλlSl)Q

− i√2Q†(2gT aλ

a+ g′Y λ

′+ gλ

lSl)Q+ F †

QFQ + t.d.

(3.35)

Con t.d. indichiamo le derivate spaziali totali; poiche esse si annullano nel calcolo

dell’azione d’ora in poi possiamo trascurarle.


Otteniamo banalmente il contributo del superpotenziale alla lagrangiana super-

simmetrica da considerazioni fatte precedentemente, relative all’integrazione rispetto

alle variabili di Grassmann

∫

d4θWδ2(θ) + Wδ2(θ) =

∫

d4θ[µεijH i1H

j2 + εij(fH i

1LjE + f1H

i1Q

j dc + f2Hj2Q

iuc)]δ2(θ) + h.c =

µεij[H i1F

j2 + F i

1Hj2 − H i

1Hj2 ] + fεij[F i

1LjEc +H i

1FjLE

c +H i1L

jFE − H i1L

jEc

−H i1L

jEc − EcH i1L

j] + f1εij[H i

1QjFD −H i

1Qjdc +H i

1FjQd

c − H i1Q

jdc − H i1Q

j dc

+F i1Q

j dc] + f2εij[Hj

2QiFu −Hj

2Qiuc +Hj

2FiQu

c − Hj2Q

iuc − Hj2Q

iuc

+F j2 Q

iuc] + h.c.

(3.36)

Tra i termini cinetici dei campi di gauge sviluppiamo in dettaglio il calcolo relativo

ai gluoni e ai gluini1

4

∫

d4θ[W lαW lα]δ

2(θ).

Dalla definizione di (3.14) occorre procedere per passi successivi. Per cominciare,

sviluppiamo U l nella base (y−iθσθ) e lavoriamo nella rappresentazione 1 della derivata

covariante. Vogliamo ottenere l’espressione

e−gUDαegU

e puo essere utile il calcolo precedente eseguito (3.29) se effettuiamo le sostituzioni

2g → g; V → U

avremo

Wα = − 1

4gDDe−gUDαe

gU =Sl

2{iλlα − θαD

l

+(σµν)βαθβUlµν − θ2σµαγ(∂µλ

γl − g

2f lmnUm

µ λγn

)}.

(3.37)


Successivamente calcoliamo il prodotto

W αWα =Sl

2

Sk

2

{

iλlα − θαDl + εαβ (σµν) βγθγU

lµν − εαβ θ2 σµ βγ

(∂µ λγl − g

2f lmn Um

µ λγn)}{

iλkα − θαDk

+ (σµν)αδθδU

kµν − θ2 σµαγ(∂µ λ

γk − g

2fkmn Um

µ λγn)}

.

(3.38)

Date le proprieta

Tr(σµν) = 0 ; Tr(σµνσρσ) =1

2(gµρgνσ − gµσgνρ) +

i

2εµνρσ

e assumendo che

Dµλl = (∂µδ

lm +ig

2(T nadj)

lmUnµ + ig[T cadj]

abV cµ + ig′

Yadj2V ′µ)λ

m

= ∂µλl − g

2f lmnUm

µ λn,

Yadj = 0 ; [T cadj ]ab = 0 ; [T ladj]

mn = −if lmn

otteniamo in conclusione

∫

d4θTr(W αWα) δ2 (θ) = − i

2λlσµDµλ

l +1

4DlDl − 1

8U lµνU l

µν

− i

16εµνρσ U l

µν Ulρσ +

i

2∂µ(λ

lσµλl).

(3.39)

Considerando l’espressione precedente e sommandola alla sua hermitiana coniu-

gata si ha


∫

d4θTr(W αWα) δ2 (θ) + Tr(W

αW α) δ

2 (θ) =

−iλl σµDµλl +

1

2DlDl − 1

4U lµνU l

µν +i

2∂µ(λ

lσµ λl).

(3.40)

La lagrangiana completa off-shell, quindi dipendente dai campi ausiliari Fi e Di,

sara data da

LT = (DµQ)†(DµQ) − iQ†σµDµQ +1

2Q†(2gT aDa + g′YqD

′ + gDlSl)Q

+i√2Q†(2gT aλa + g′Yqλ

′ + gλlSl)Q − i√2Q†(2gT aλ

a+ g′Yqλ

′+ gλ

lSl)Q+ F †

QFQ

+(Dµuc)†(Dµuc) − iuc†σµDµu

c +1

2uc†(g′YuD

′ + gDlSl)uc +i√2uc†(g′Yuλ

′ + gλlSl)uc

− i√2uc†(g′Yuλ

′+ gλ

lSl)uc + F †

uFu + (Dµdc)†(Dµdc) − idc†σµDµd

c

−1

2dc†(g′YdD

′ + gDlSl)dc +i√2dc†(g′Ydλ

′ + gλlSl)dc − i√2dc(g′Ydλ

′+ gλ

lSl)dc

+F †dFd + (DµL)†(DµL) − iL†σµDµL + L†(gT aDa − 1

2g′D′)L

+i√

2L†(gT aλa − 1

2g′λ′)L − i

√2L†(gT aλ

a − 1

2g′λ

′)L + F †

LFL

+(DµEc)†(DµEc) − iEc†σµDµE

c + Ec†g′D′Ec + i√

2Ec†g′λ′Ec

−i√

2Ec†g′λ′Ec + F †

EFE − iλaσµDµλ

a − iλ′σµDµλ

′ − iλlσµDµλ

l

−1

4(V aµνV a

µν + V ′µνV ′µν + U lµνU l

µν) +1

2(DaDa + D′D′ + DlDl)

+(DµH1)†(DµH1) − iH†

1σµDµH1 + H†

1(gTaDa − 1

2g′D′)H1

+i√

2H†1(gT

aλa − 1

2g′λ′)H1 − i

√2H†

1(gTaλ

a − 1

2g′λ

′)H1 + F †

1F1


2σµDµH2 + H†

2(gTaDa +

1

2g′D′)H2

+i√

2H†2(gT

aλa +1

2g′λ′)H2 − i

√2H†

2(gTaλ

a+

1

2g′λ

′)H2 + F †

2F2


+{

µεij[H i1F

j2 + F i

1Hj2 − H i

2Hj2 ] + fεij[F i

1LjEc +H i

1FjLE

c +H i1L

jFE − H i1L

jEc

−H i1L

jEc − EcH i1L

j] + f1εij[H i

1QjFd −H i

1Qjdc +H i

1FjQd

c − H i1Q

jdc − H i1Q

jdc

+F i1Q

j dc] + f2εij[Hj

2QiFu −Hj

2Qiuc +Hj

2FiQu

c − Hj2Q

iuc − Hj2Q

iuc + F j2 Q

iuc] + h.c.}

−(

M2LL

†L +m2EE

c†Ec +m21H

†1H1 +m2

2H†2H2 −m2

3εij(H i

1Hj2 + h.c.)

+M2QQ

†Q+m2uu

c†uc +m2dd

c†dc)

− M

2(λαaλaα + λ

αaλa

α)

−M′

2(λ′αλ′α + λ

′αλ′

α) −Ml

2(λlαλlα + λ

αlλl

α) + t.d.

(3.41)

Per ottenere la lagrangiana on-shell occorre eliminare i campi ausiliari Fi e Di

attraverso le equazioni del moto di Eulero-Lagrange. Per questo conviene indicare

con Laux = LF + LD i contributi alla lagrangiana totale relativi ad essi

LF = F †LFL + F †

EFE + F †1F1 + F †

2F2 + F †QFQ + F †

uFu + F †dFd + µεij[H i

1Fj2 + F i

1Hj2

+ H i1†F j

2

†+ F i

1†Hj

2

†] + fεij[F i

1LjEc +H i

1FjLE

c +H i1L

jFE + F i1†Lj

†Ec† +H i

1†F jL

†Ec†

+ H i1†Lj

†F †E] + f1ε

ij[H i1Q

jFd +H i1F

jQd

c + F i1Q

jdc +H i1†Qj

†F †d +H i

1†F j†Q d

c† + F i1†Qj†dc†]

+ f2εij[Hj

2QiFu +Hj

2FiQu

c + F j2 Q

iuc +Hj2

†Qi

†F c†u +Hj

2

†F i†Q u

c† + F j†2 Q

i†uc†],

(3.42)

LD =1

2(DaDa +DlDl +D′D′) + L†(gT aDa − 1

2g′D′)L + Ec†g′D′Ec +H†

1(gTaDa

− 1

2g′D′)H1 +H†

2(gTaDa +

1

2g′D′)H2 +

1

2Q†(2gT aDa + g′Y D′ + gDlSl)Q

+1

2dc†(g′Y D′ + gDlSl)dc +

1

2uc†(g′Y D′ + gDlSl)uc.

(3.43)

Effettuiamo dunque l’operazione di eliminazione dei D-term e degli F-term per

ogni campo usando le equazioni del moto. Va osservato che, non essendo questi dei


campi dinamici, le loro equazioni del moto si ottengono ponendo a zero le derivate

parziali

∂L∂F k

L

= F kL

†+ fεijH i

1 δjk E

c = 0 → F kL

†= −fεkiH i

1Ec

F iL = −fεkiHk

1

†Ec

†

∂L∂FE

= FE† + fεijH i

1Lj = 0 → FE

† = −fεijH i1L

j

FE = −fεijH i1

†Lj

†

∂L∂F k

1

= F k1

†+ µεij δki H

j2 + fεij δki L

jEc + f1εij δki Q

j dc = 0

→ F k1

†= −µεkjHj

2 − fεkjLjEc − f1εkjQj dc

F j1 = −µεjkHk

2

† − fεjkLk†Ec

† − f1εjkQk

†dc

†

∂L∂F k

2

= F k2

†+ µεij δkj H

i1 + f2ε

ij δjk Qiuc = 0

→ F k2

†= −µεikH i

1 − f2εikQiuc

F i2 = −µεkiHk

1

† − f2εkiQk

†uc

∂L∂F k

Q

= F kQ

†+ f1ε

ijH i1 δ

kj d

c + f2εijHj

2 δki u

c = 0

→ F kQ

†= −f1ε

ikH i1dc − f2ε

kiH i2u

c

F iQ = −f1ε

kiHk1

†dc

† − f2εikHk

2

†uc

†

∂L∂Fu

= F †u + f2ε

ijHj2Q

i = 0 → F †u = −f2ε

ijHj2Q

i

Fu = −f2εjiH i

2

†Qj

†

∂L∂Fd

= F †d + f1ε

ijH i1Q

j = 0 → F †d = −f1ε

ijH i1Q

j

Fd = −f1εjiHj

1

†Qi

†.

(3.44)

Sostituendo le espressioni ricavate in (3.42) e sfruttando le relazioni


εijεkj = δik ; εijεkl = δikδjl − δilδjk

otteniamo

Lf = −f 2{

|L|2|Ec|2 + |H1|2|Ec|2 + |H1|2|L|2 − (H†1 · L)(L† ·H1)

}

−µ2{

|H1|2 + |H2|2}

− µf{

(L† ·H2Ec†) + (H†

2 · LEc)}

−ff1

{

Q† · Ldc†Ec + L† · QEc†dc}

− f 21

{

|H1|2|Q|2 − (H†1 · Q)(Q† ·H1)

+|H1|2|dc|2 + |Q|2|dc|2}

− µf2

{

H†1 · Quc +H1 · Q†uc

†}

−f 22

{

|H2|2|Q|2 − (Q† ·H2)(H†2 · Q) + |H2|2|uc|2 + |Q|2|uc|2

}

+f1f2

{

(H†1 ·H2)u

cdc†+ (H†

2 ·H1)dcuc

†}

.

(3.45)

Esaminando ora l’espressione (3.43) ricaviamo esplicitamente Da, D′ e Dl at-

traverso le equazione del moto

∂L∂Da

= 0 → Da = −g(L†T aL +H†1T

aH1 +H†2T

aH2 + Q†T aQ),

∂L∂D′

= 0 → D′ = g′(1

2L†L− Ec

†Ec +

1

2H†

1H1 −1

2H†

2H2

−1

2Q†YqQ− 1

2dc

†Ydd

c − 1

2uc

†Yuu

c),

∂L∂Dl

= 0 → Dl = −1

2g(Q†SlQ + dc

†Sldc + uc

†Sluc). (3.46)

Esaminiamo in dettaglio alcuni termini di (3.43)

DaDa = g2[(L†T aL+H†1T

aH1 +H†2T

aH2 + Q†T aQ)


×(L†T aL +H†1T

aH1 +H†2T

aH2 + Q†T aQ)]

=[

(L†T aL)(L†T aL) + (H†1T

a)(H†1T

aH1) + (L†T aL)(H†2T

aH2) + ...]

(3.47)

Nel caso di SU(2) i generatori dell’algebra soddisfano la relazione

T aijTakl =

1

2(δilδjk −

1

2δijδkl)

per cui i prodotti precedenti assumono la forma

L†i T

aij Lj L

†k T

akl Ll =

1

4[ L†

i Lj L†k Ll (2δil δjk − δij δkl )]

=1

4[2(L†L)(LL†) − |L†L|2]

=1

2(L†L)(LL†)† − 1

4|L†L|2 =

1

4|L†L|2.

(3.48)

L†i T

aij Lj H1

†k T

aklH1l =

1

4[ L†

i LjH1†kH1l (2δil δjk − δij δkl )]

1

2(L†H1)(LH

†1) −

1

4(L†L)(H†

1H1)

1

2|L†H1|2 −

1

4(L†L)(H†

1H1).

(3.49)

In maniera analoga si sviluppano i restanti termini di (3.47) ottenendo

DaDa = g2[

1

4|L†L|2 +

1

2|L†H1|2 − 1

4(L†L)(H†

1H1) +1

2|L†H2|2

−1

4(L†L)(H†

2H2) +1

2|L†Q|2 − 1

4(L†L)(Q†Q) +

1

2|H†

1L|2

−1

4(H†

1H1)(L†L) +

1

4|H†

1H1|2 +1

2|H†

1H2|2 − 1

4(H†

1H1)(H†2H2)


+1

2|H†

1Q|2 − 1

4(H†

1H1)(Q†Q) +

1

2|H†

2L|2 − 1

4(H†

2H2)(L†L)

+1

2|H†

2H1|2 − 1

4(H†

2H2)(H†1H1) +

1

4|H†

2H2|2 +1

2|H†

2Q|2

−1

4(H†

2H2)(Q†Q) +

1

2|Q†L|2 − 1

4(Q†Q)(L†L) +

1

2|Q†H1|2

−1

4(Q†Q)(H†

1H1) +1

2|Q†H2|2 − 1

4(Q†Q)(H†

2H2) +1

4|Q†Q|2

]

.

(3.50)

E molto piu immediato il calcolo del termine D′D′ in cui gli operatori di ipercarica

assumono i seguenti valori

Yq =1

3; Yd =

2

3; Yu = −4

3.

D′D′ = g′2[

1

4|L†L|2 + |R†R|2 +

1

4|H†

1H1|2 +1

4|H†

2H2|2 +1

4|Q†YqQ|2

+1

4|dc†Yddc|2 +

1

4|uc†Yuuc|2 − (L†L)(Ec

†Ec) +

1

2(L†L)(H†

1H1)

−1

2(L†L)(H†

2H2) − 1

2(L†L)(Q†YqQ) − 1

2(L†L)(dc

†Ydd

c)

−1

2(L†L)(uc

†Yuu

c) − (Ec†Ec)(H†

1H1) + (Ec†Ec)(H†

2H2)

+(Ec†Ec)(Q†YqQ) + (Ec

†Ec)(dc

†Ydd

c) + (Ec†Ec)(uc

†Yuu

c)

−1

2(H†

1H1)(H†2H2) − 1

2(H†

1H1)(Q†YqQ) − 1

2(H†

1H1)(dc†Ydd

c)

−1

2(H†

1H1)(uc†Yuu

c) +1

2(H†

2H2)(Q†YqQ),+

1

2(H†

2H2)(dc†Ydd

c)

+1

2(H†

2H2)(uc†Yuu

c) +1

2(Q†YqQ)(dc

†Ydd

c) + (Q†YqQ)(uc†Yuu

c)

+1

2(dc

†Ydd

c)(uc†Yuu

c)]

.

(3.51)

Infine consideriamo il termine DlDl. Ciascun contributo e calcolato con la pro-


prieta relativa ai generatori di SU(3)

SlijSlkm =

1

2( δim δjk − 1

3δij δkm) ;

DlDl =1

4g2[

Q†SlQ + dc†Sldc + uc

†Sluc

]2

=1

4g2{

Qαi

†SlijQ

αj

˜Qβk

†

SlkmQβm + 2Qα

i

†SlijQ

αj d

c†

kSlkmd

cm + ...

}

(3.52)

in cui i, j, k, m sono indici di colore e α e β sono indici di SU(2).

Il primo termine fornisce

Qαi

†SlijQ

αj

˜Qβk

†

SlkmQβm =

[

(Qαi

†Qαj )(

˜Qβk

†

Qβm) × 1

2( δim δjk − 1

3δij δkm)

]

=1

2(Qα

†Qβ)(QαQβ

†) − 1

6|Q†Q|2

=1

2(Qα

†Qβ)(QβQα

†)† − 1

6|Q†Q|2 =

1

2|Qα

†Qβ|2 − 1

6|Q†Q|2

(3.53)

mentre nel caso in cui abbiamo il prodotto tra un doppietto e un singoletto di

SU(2)

Qαi

†SlijQ

αj d

c†

kSlkmd

cm = [Qα

i

†Qαj d

c†

kdcm] × 1

2( δim δjk − 1

3δij δkm)

=1

2(Qα

†dc)(Qαdc

†) − 1

3(Q†Q)(dc

†dc)

=1

2|(Qα

†dc)|2 − 1

3(Q†Q)(dc

†dc).

(3.54)

Se non sono indicati gli indici e sottinteso che sono contratti.

Con le stesse tecniche sfruttate finora calcoleremo tutti i termini di (3.43).


Otterremo in conclusione l’espressione finale di LD

LD =g2

8

{

− |L†L|2 − 4|L†H1|2 + 2(L†L)(H†1H1) − 4|L†H2|2 + 2(L†L)(H†

2H2)

−4|L†Q|2 + 2(L†L)(Q†Q) − |H†1H1|2 − 4|H†

1H2|2 + 2(H†1H1)(H

†2H2)

−|H†2H2|2 − 4|H†

1Q|2 + 2(H†1H1)(Q

†Q) − 4|H†2Q|2 + 2(H†

2H2)(Q†Q) − |Q†Q|2

}

−g′2

8

{

|L|2 − 2|Ec|2 + |H1|2 − |H2|2 − 1

3|Q|2 − 2

3|dc|2 +

4

3|uc|2

}2

+g2

24

{

− 3

2|Qi

†Qk|2 + (|Q|2)2 − 3|Qi

†dc|2 + |dc|2|Q|2 − 3|Qi

†uc|2

+|uc|2|Q|2 − 2(|dc|2)2 − 2(|uc|2)2 − 3|uc†dc|2 + |uc|2|dc|2}

.

(3.55)

in cui abbiamo ora indicato con i e k gli indici liberi di SU(2).

Ora siamo in grado di scrivere la lagrangiana on shell per il Modello Standard

Supersimmetrico minimale

LT = (DµQ)†(DµQ) − iQ†σµDµQ +i√2Q†(2gT aλa +

g′

3λ′ + gλlSl)Q

− i√2Q†(2gT aλ

a+g′

3Y λ

′+ gλ

lSl)Q + (Dµuc)†(Dµu

c)

−iuc†σµDµuc +

i√2uc†(−4

3g′λ′ + gλlSl)uc − i√

2uc†(−4

3g′λ

′+ gλ

lSl)uc

+(Dµdc)†(Dµdc) − idc†σµDµd

c +i√2dc†(

2

3g′λ′ + gλlSl)dc

− i√2dc†(

2

3g′λ

′+ gλ

lSl)dc + (DµL)†(DµL) − iL†σµDµL

+i√

2L†(gT aλa − 1

2g′λ′)L − i

√2L†(gT aλ

a − 1

2g′λ

′)L

(DµEc)†(DµEc) − iEc†σµDµE

c + i√

2Ec†g′λ′Ec

−i√

2Ec†g′λ′Ec − iλ

aσµDµλ

a − iλ′σµDµλ

′ − iλlσµDµλ

l


−1

4(V aµνV a

µν + V ′µνV ′µν + U lµνU l

µν) + (DµH1)†(DµH1) − iH†

1σµDµH1 +

+i√

2H†1(gT

aλa − 1

2g′λ′)H1 − i

√2H†

1(gTaλ

a − 1

2g′λ

′)H1


2σµDµH2 + i

√2H†

2(gTaλa +

1

2g′λ′)H2

−i√

2H†2(gT

aλa

+1

2g′λ

′)H2 +

{

µ− εijH i1H

j2 − fεij[H i

1LjEc

+H i1L

jEc + EcH i1L

j] − f1εij[H i

1Qjdc + H i

1Qjdc + H i

1Qj dc

−f2εij[Hj

2Qiuc + Hj

2Qiuc + Hj

2Qiuc] + h.c.

}

−f 2{

|L|2|Ec|2 + |H1|2|Ec|2 + |H1|2|L|2 − (H†1 · L)(L† ·H1)

}

−µ2{

|H1|2 + |H2|2}

− µf{

(L† ·H2Ec†) + (H†

2 · LEc)}

−ff1

{

Q† · Ldc†Ec + L† · QEc†dc}

− f 21

{

|H1|2|Q|2 − (H†1 · Q)(Q† ·H1)

+|H1|2|dc|2 + |Q|2|dc|2}

− µf2

{

H†1 · Quc +H1 · Q†uc

†}

−f 22

{

|H2|2|Q|2 − (Q† ·H2)(H†2 · Q) + |H2|2|uc|2 + |Q|2|uc|2

}

+f1f2

{

(H†1 ·H2)u

cdc†+ (H†

2 ·H1)dcuc

†}

+g2

8

{

− |L†L|2 − 4|L†H1|2 + 2(L†L)(H†1H1) − 4|L†H2|2 + 2(L†L)(H†

2H2)

−4|L†Q|2 + 2(L†L)(Q†Q) − |H†1H1|2 − 4|H†

1H2|2 + 2(H†1H1)(H

†2H2)

−|H†2H2|2 − 4|H†

1Q|2 + 2(H†1H1)(Q

†Q) − 4|H†2Q|2 + 2(H†

2H2)(Q†Q) − |Q†Q|2

}

−g′2

8

{

|L|2 − 2|Ec|2 + |H1|2 − |H2|2 − 1

3|Q|2 − 2

3|dc|2 +

4

3|uc|2

}2

+g2

24

{

− 3

2|Qi

†Qk|2 + (|Q|2)2 − 3|Qi

†dc|2 + |dc|2|Q|2 − 3|Qi

†uc|2

+|uc|2|Q|2 − 2(|dc|2)2 − 2(|uc|2)2 − 3|uc†dc|2 + |uc|2|dc|2}

−(

M2LL

†L +m2EE

c†Ec +m21H

†1H1 +m2

2H†2H2 −m2

3εij(H i

1Hj2 + h.c.)


+M2QQ

†Q+m2uu

c†uc +m2dd

c†dc)

− M

2(λαaλaα + λ

αaλa

α)

−M′

2(λ′αλ′α + λ

′αλ′

α −Ml

2(λαlλlα + λ

αlλl

α) + t.d.

(3.56)

Sarebbe interessante effettuare la rotazione dagli autostati di interazione a quelli

di massa nell’espressione precedente, relativamente al settore elettrodebole. Infatti,

in analogia al Modello Standard, possiamo definire le seguenti relazioni

Aµ(x) = cos θw V′µ(x) + sin θw V

3µ (x)

Zµ(x) = − sin θw V′µ(x) + cos θw V

3µ (x)

W±µ (x) =

V 1µ ∓ V 2

µ√2

(3.57)

λa(x) = cos θw λ′(x) + sin θw λ

3(x)

λz(x) = − sin θw λ′(x) + cos θw λ

3(x)

λ±(x) =λ1 ∓ λ2

√2

(3.58)

Non eseguiremo questo calcolo ma vogliamo comunque vedere come agiscono le

trasformazioni (3.57)(3.58) applicandole ad esempio al campo di Higgs H1.

Il primo passo da compiere e ricavare la derivata covariante in funzione dei nuovi

campi, occorre pertanto definire

Q = T 3 +Y

2; T± = T 1 ± T 2,

in cui Q e l’operatore di carica mentre T± sono operatori di salita e di discesa per

l’isospin debole, la derivata covariante sara fornita dalla seguente espressione


DSU(2)⊗U(1)µ = ∂µ +

ig√2T+W+

µ +ig√2T−W−

µ + ieQAµ +ig

cos θw

[

T 3 − Q sin2w

]

Zµ.

(3.59)

I termini relativi al settore cinetico e di interazione tra H1 e i campi di gauge sono

dati complessivamente da

(DµH1)†(DµH1) − iH†

1σµDµH1 + i

√2H†

1(gTaλa − 1

2g′λ′)H1

−i√

2H†1(gT

aλa − 1

2g′λ

′)H1.

(3.60)

In questa espressione la derivata covariante e ancora (3.34). Il contributo prece-

dente sara trasformato nella seguente forma

(DµH1)†(DµH1) − iH†

1σµDµH1 + ig

[

H†1T

+H1λ+ − λ

+H†

1T−H1

]

+ig[

H†1T

−H1λ− − λ

−H†

1T+H1

]

+√

2ieQi

(

H i†1 H

i1λa − λaH

i†1 H

i1

)

+

√2ig

cos θw

(

T 3i − Qi sin

2 θw) [

H i†1 H

i2λz − λzH

i†1 H

i1

]

(3.61)

in cui ora la derivata covariante e la (3.59).

Per completezza ridefiniamo i campi di forza in funzione delle componenti definite

mediante la (3.57)

Aµν = ∂µAν − ∂νAµ

Zµν = ∂µZν − ∂νZµ

W±µν = ∂µW

±ν − ∂νW

±µ .

(3.62)


Questa e la base dei generatori in cui la terza componenti di isospin di SU(2)

si mescola con il generatore di ipercarica. Una delle due combinazioni di questi

due generatori diventera il generatore di U(1)em, dando origine ad una simmetria di

gauge residua ed esatta che ha come campo di gauge il fotone, mentre la rimanente

combinazione lineare, appunto, e rotta e corrisponde allo Z0. Questo, ovviamente,

avviene solo dopo che i campi di Higgs hanno preso valori di aspettazione nel vuoto

non nulli. Al momento, la simmetria G rimane una simmetria esatta, anche se la base

di espansione delle derivate covarianti risulta ruotata.

Capitolo 4

NMSSM

In questo capitolo analizziamo in dettaglio il calcolo del contributo di un particolare

superpotenziale alla lagrangiana del Modello Supersimmetrico Minimale. Come ab-

biamo gia detto nella parte introduttiva, nel nostro caso includiamo un supercampo

addizionale S allo spettro ordinario della teoria. La componente scalare di questo

supercampo prende un valore di aspettazione del vuoto diverso da zero nel minimo

del potenziale. Questo termine addizionale quindi modifica drasticamente lo spettro

della teoria. Consideriamo il seguente superpotenziale

WNMSSM =1

3kS3 + λSHu · Hd + hτ L · HdL

cR + htQ · HuT

cR + hbQ · HdB

cR (4.1)

dove abbiamo introdotto oltre al termine cubico del singoletto anche l’interazione

tra i due Higgs e il singoletto ed inoltre gli accoppiamenti di Yukawa tra i supercampi

top e bottom con i leptoni. Si suppone che i parametri λ, k, ht, hb e hτ siano reali.

Esplicitiamo le componenti dei nuovi supercampi in quanto ora, a differenza del

caso minimale, vogliamo considerare stati di terza generazione

Q =

TL

BL

, L =

ντL

τL

, (4.2)

Hu =

H+u

H0u

, Hd =

H0d

H−d

, (4.3)

dove il prodotto dei supercampi e invariante di SL(2,C) e viene cosı definito

97

98 Capitolo 4. NMSSM

Hu · Hd = εijH iuH

jd = H+

u H−d − H0

uH0d . (4.4)

con

εij =

0 1

−1 0

.

E utile fornire l’espansione del singoletto S e dei doppietti Hu e Hd in funzione

della variabile bosonica yµ = xµ+iθσµθ, gia definita nel primo capitolo, avendo inoltre

settato θ = 0.

S(y, θ) = S(y) +√

2θS(y) + θ2FS(y)

Hu(y, θ) = Hu(y) +√

2θHu(y) + θ2Fu(y)

Hd(y, θ) = Hd(y) +√

2θHd(y) + θ2Fd(y).

(4.5)

In questa forma, completamente equivalente all’espansione dei supercampi con-

siderati nel Modello Standard Supersimmetrico minimale, si manifesta immediata-

mente la natura chirale del campo, come si desume da un confronto con (1.94).

Mostriamo ora la procedura generale per l’estrazione del potenziale della teoria

dal superpotenziale. Useremo la seguente relazione

Vw =∫

d4θ[

W(φi)δ2(θ) + h.c.

]

=∫

d2θW(φi) + h.c. (4.6)

dove φi e il generico supercampo chirale che corrisponde nel nostro caso, al variare

dell’indice i, ad S, Hu e a tutti i supercampi presenti in (4.1). La generica espansione

φi(y, θ) = Ai(y) +√

2θψi(y) + θ2Fi(y)

indica le componenti scalari Ai e quelle spinoriali ψi. Infine sono anche presenti gli

F-term che, come sappiamo, non corrispondono a stati dinamici della teoria. Nel

calcolo preposto sfrutteremo un importante risultato

∫

d2θW(φ1, ..φn) = WiFi −1

2Wijψiψj (4.7)

dove viene sottintesa la somma sugli indici ripetuti.

99

Occorre definire le grandezze utizzate in (4.7)

Wi =∂W∂Ai

Wij =∂2W∂Ai∂Aj

(4.8)

dove Wij rappresenta la matrice di massa fermionica.

L’azione e in generale definita dall’integrale

A =∫

d4x

{

∫

d4 θ[

φ†iφi]

+∫

d2 θ [W(φ1, ...φn)] +∫

d2 θ[

W(φ†i , ..φ

†n)]

}

=∫

d4x

{

∫

d4 θ[

φ†iφi]

+ WiFi −1

2Wijψiψj + W iF

∗i − 1

2W ijψiψj

}

.

(4.9)

Esplicitando il contributo cinetico∫

d4θ [φ†iφi], gia analizzato nel primo capitolo,

ed utilizzando le definizioni (4.8) otteniamo

A =∫

d4x{i∂µψiσµψi − A∗i ∂

2Ai + |Fi|2 + WiFi

−1

2Wijψiψj + WF ∗

i − 1

2W ijψiψj} + t.d.

(4.10)

L’eliminazione dei campi ausiliari Fi ed F ∗i attraverso le equazioni del moto e

immediata

∂L∂F ∗

i

= Fi(x) + W∗i = 0 → Fi(x) = −W∗

i ,

∂L∂Fi

= F ∗i (x) + Wi = 0 → F ∗

i (x) = −Wi .

(4.11)


Sostituendo questi risultati in (4.10) l’azione assume la forma

A =∫

d4x[

i∂µψiσµψi − A∗

i∂2Ai − |Wi|2

−1

2Wijψiψj −

1

2W ijψiψj

]

+ t.d.

(4.12)

dove il termine

|Wi|2 =∑

WiW i =∑

∣

∣

∣

∣

∣

∂W∂Ai

∣

∣

∣

∣

∣

2

= V (A,A∗) (4.13)

coincide con il potenziale scalare della teoria.

Il calcolo del potenziale scalare verra effettuato con il procedimento analizzato.

Sfrutteremo invece la tecnica di proiezione delle componenti dei supercampi attraverso

l’integrazione grassmaniana per il contributo corrispondente ai termini ∂2W∂Ai∂Aj

ψiψj.

Questi corrispondono alle componenti (θθ) del superpotenziale espanso nei campi,

escludendo la parte degli F-term.

Quindi, riassumendo, procederemo attraverso due fasi:

1) consideriamo dapprima le componenti θ2 senza gli F-term; tale contributo al

potenziale totale sara indicato con V0;

2) ricaviamo le componenti relative agli F-term con l’espressione (4.13) data in

funzione dei supercampi del nostro modello. Questo risultato sara indicato con VF .

Ricordiamo pero che in esso sono inclusi anche i contributi F †i Fi che provengono dai

termini cinetici dei supercampi, termini analizzati in gran dettaglio nel capitolo tre.

In conclusione∫

d4θ[Wδ2(θ)] + h.c = −VF + V0. (4.14)

Analizziamo separatamente ciascun contributo. Avremo

λSHu · Hd → λ(S +√

2θS)(Hu +√

2θHu)(Hd +√

2θHd)

→ λ{S(√

2θHu) · (√

2θHd) + (√

2θS)(√

2θHu) ·Hd + (√

2θS)Hu · (√

2θHd)}

101

= λ{2S(−1

2θ2)Hu · Hd + 2(−1

2θ2)SHu ·Hd − 2(SHd) ·Hu(−

1

2θ2)}

= −λ{SHu · Hd + SHu ·Hd − SHd ·Hu}θ2 (4.15)

dove il segno meno nell’ultimo prodotto e dato da

(θS)Hu · (θHd) = (θS)H iuεij(θHj

d) =

(θS)(θHjd)H

iuεij = −(θS)(θHj

d)εjiH i

u = −(θS)(θHd) ·Hu .

Il prodotto Hd ·Hu e invariante di SL(2,C), come detto precedentemente; inoltre

vale la proprieta Hu · Hd = −Hd ·Hu.

Per il calcolo (4.15) abbiamo sfruttato le relazioni

(θψ)(θχ) = −1

2θ2(ψχ)

(θψ)(θχ) = −1

2θ

2(ψχ).

(4.16)

Notiamo che ciascun termine di (4.15) e un invariante di Lorentz e contemporanea-

mente rimane invariante sotto trasformazioni di SL(2,C). Per esempio si consideri il

termine −λSHu · Hd che si ottiene

S(θHu)(θHd) = S(θαH iuα)ε

ij(θβHjdβ) = (−1

2θ2)S(Hu · Hd) ,

α e β sono indici di Lorentz mentre i e j sono indici di SL(2,C).

In conclusione

λSHu · Hd|θ2 → −λ(SHu · Hd + SHu ·Hd − SHd ·Hu).

Ragioniamo in maniera analoga per il termine seguente

k

3S3 → k

3(S +

√2θS)(S +

√2θS)(S +

√2θS)

→ k

3× 3 × S × 2(θS)(θS) = −2k

θ2

2S(SS),

(4.17)


quindi

k

3S3|θ2 → −kS(SS).

Occorre ora ottenere le espressioni hermitiane coniugate dei risultati precedenti

da sommare nel potenziale complessivo. Quest’operazione corrisponde al calcolo

∫

d4 θ

[

Wδ2(θ)

]

=∫

d4θ

[

λ(SHu · Hd)† +

k

3(S3)†

]

δ2(θ) . (4.18)

Il termine di interazione tra singoletto ed i due Higgs si sviluppa, ad esempio, come

segue

(−λSHu · Hd)† = −λ(Hu · Hd)

†S∗ = −λHu · HdS∗ = −λS∗Hu · Hd

e questo risultato e dovuto alla proprieta del prodotto di SL(2,C)

(Hu · Hd)† = (H i

uεijHj

d)† =

(H+u H0

u) ·

0 1

−1 0

·

H0d

H−d

†

=[

(H0

d H−

d ) ·

0 −1

1 0

·

H+

u

H0

u

]

= (−H0

dH0

u + H−

d H+

u ) =

(H+

u H−

d − H0

uH0

d) = Hu · Hd.

Abbiamo fatto uso della relazione

(ψχ) = (χψ)

infatti

ψχ = ψαχα = −χαψα = −εαβχβεαγψγ =

= −χβεTβαεαγψγ = χβδγβψγ = χβψβ = χψ.

Procediamo con l’operazione di coniugazione dei termini di (4.15) considerando

(−λSHu ·Hd)† = −λH∗

d · (SHu) = −λ(Hu ·H∗d)S = −λS(Hu ·H∗

d)

103

dove si e sfruttata la proprieta

(θφ) = (φθ).

Si procede in maniera analoga per i termini

(λSHd ·Hu)† = λHd ·H∗

uS = λSHd ·H∗u;

(−kS(SS))† = −kS∗(SS).

Calcoliamo allo stesso modo gli altri contributi al potenziale complessivo dati dalle

interazioni di Yukawa

htQ · HuTcR → ht{Q +

√2θQ}{Hu +

√2θHu}{T cR +

√2θT cR}

→ 2ht{Q(θHu)(θTcR) + (θQ)Hu(θT

cR) + (θQ)(θHu)T

cR}

= 2ht{Qiεij(θαH iuα)(θ

βT cRβ) + (θαQiα)H

juεij(θβT cRβ)

+(θαQαi)(θβHjuβ)ε

ijT cR}

= 2ht(−1

2θ2){QiHj

uεijT cR + (QiT cR)Hj

uεij +QiHj

uεijT cR}

= −ht{Q · HuTcR − Hu ·QT cR + Q · HuT

cR}θ2

(4.19)

dove si e sfruttata la proprieta di antisimmetria di εij.

(QiT cR)Hjuεij = Hj

uQiT cRε

ij = −εjiHjuQ

iT cR = −Hu ·QT cR.

Quindi

htQ · HuTcR|θ2 → −ht{Q · HuT

cR −Hu ·QT cR +Q · HuT

cR}.

Consideriamo ora la parte hermitiana coniugata

(−htQ · HuTcR)† = −htQ∗ · HuT

c

R,

(htHu ·QT cR)† = htH∗u ·QT

c

R,


(−htQ · HuTcR)† = −htQ · HuT

c∗R .

Per cui in totale

(htQ · HuTcR)†|

θ2 → −ht(Q∗ · HuT

c

R −H∗u ·QT

c

R +Q · HuTc∗R ) .

Il secondo e il terzo termine di (4.1) si ottengono immediatamente dal risultato

precedente con le sostituzioni

ht → hb

Q → Q

Hu → Hd

T cR → BcR

hbQ · HdBcR|θ2 → −hb{Q · HdB

cR −Hd ·QBc

R +Q · HdBcR}

mentre il contributo complesso coniugato e dato da

(hbQ · HdBcR)†|

θ2 → −hb{Q∗ · HdB

c

R −H∗d ·QB

c

R +Q · HdBc∗R }.

Analogamente si procede per il termine hτ L · HdLcR, che ha la stessa struttura

precedente, una volta effettuata la sostituzione

ht → hτ

Q → L

Hu → Hd

T cR → LcR

(hτ L · HdLcR)|θ2 → −hτ{L · HdL

cR + L · HdL

cR −Hd · LLcR};

(hτ L · HdLcR)†|

θ2 → −hτ{L∗ · HdL

c

R + L · HdLc∗R −H∗

d · LLc

R}.

Siamo pronti a fornire il primo risultato che ci eravamo prefissati

105

V0 = −λ(SHu · Hd + SHu ·Hd − SHd ·Hu) − kS(SS) − λ(S∗Hu · Hd

+S(Hu ·H∗d) − S(Hd ·H∗

u)) − kS∗(SS) − ht{Q · HuTcR

−Hu ·QT cR +Q · HuTcR} − ht{Q∗ · HuT

c

R +H∗u ·QT

c

R +Q · HuTc∗R }

−hb{Q · HdBcR −Hd ·QBc

R +Q · HdBcR} − hb{Q∗ · HdB

c

R −H∗d ·QB

c

R

+Q · HdBc∗R } − hτ{L · HdL

cR + L · HdL

cR −Hd · LLcR} − hτ{L∗ · HdL

c

R

+L · HdLc∗R −H∗

d · LLc

R}.

(4.20)

Ora occorre calcolare il contributo al potenziale complessivo dato dagli F-term.

Ottenuto il potenziale scalare della teoria, studieremo facilmente il settore di Higgs

nella seconda parte di questo capitolo e diremo come ricavare gli autostati massa

relativi al contributo esaminato.

Vediamo innanzitutto la tecnica usata per il primo termine proveniente da (4.15).

Se usassimo la tecnica di proiezione gia vista sopra, otterremmo

λSHu · Hd|θ2 → λ(FSHu ·Hd + SHuFd + SFuHd) (4.21)

ma in questo caso dovremmo procedere con l’eliminazione degli F-term, tecnica lunga

e gia vista nel capitolo tre nell’ottenere la lagrangiana on-shell del Modello Minimale.

Per questo motivo scegliamo di sfruttare la trattazione descritta all’inizio di questo

capitolo che risulta efficace e molto piu immediata.

Consideriamo la formula

VF =∑

F ∗i Fi =

∑

∣

∣

∣

∣

∣

∂W∂Ai

∣

∣

∣

∣

∣

2

,

in cui tutte le grandezze sono state gia definite e la derivata rispetto a W si effet-

tua se al polinomio (4.1) sostituiamo a ciascun supercampo la componente bosonica

corrispondente. Quindi si ricavano le seguenti espressioni

∣

∣

∣

∣

∂W

∂S

∣

∣

∣

∣

2

=

∣

∣

∣

∣

λHu ·Hd + kS2

∣

∣

∣

∣

2

,


∣

∣

∣

∣

∂W

∂Hju

∣

∣

∣

∣

2

=

∣

∣

∣

∣

εij(htQiT cR − λSH i

d)

∣

∣

∣

∣

2

,

∣

∣

∣

∣

∂W

∂Hjd

∣

∣

∣

∣

2

=

∣

∣

∣

∣

εij(hbQiBc

R + htLiLcR − λSH i

u)

∣

∣

∣

∣

2

,

∣

∣

∣

∣

∂W

∂Qi

∣

∣

∣

∣

2

=∣

∣

∣

∣

εijhtHjuT

cR

∣

∣

∣

∣

2

,∣

∣

∣

∣

∂W

∂T cR

∣

∣

∣

∣

2

=∣

∣

∣

∣

htεijQiHj

u

∣

∣

∣

∣

2

,

∣

∣

∣

∣

∂W

∂BcR

∣

∣

∣

∣

2

=∣

∣

∣

∣

hbεijQiHj

d

∣

∣

∣

∣

2

,∣

∣

∣

∣

∂W

∂Li

∣

∣

∣

∣

2

=∣

∣

∣

∣

hτ εijHjdL

cR

∣

∣

∣

∣

2

,

∣

∣

∣

∣

∂W

∂LcR

∣

∣

∣

∣

2

=∣

∣

∣

∣

hτ εijLiHj

d

∣

∣

∣

∣

2

.

(4.22)

Quindi l’espressione di VF e semplicemente la somma dei termini di (4.22) cambi-

ata di segno.

4.1 Lagrangiana on-shell per l’ NMSSM

La lagrangiana che descrive il Modello Supersimmetrico non Minimale puo essere

ricavata dal caso del Modello Supersimmetrico Ordinario semplicemente aggiungendo

i nuovi contributi del potenziale ricavati in questo capitolo. Inoltre occorre ricordare

che sono anche presenti dei termini aggiuntivi di rottura della supersimmetria, come

si puo vedere in (4.28), ma ovviamente non considerando i termini di massa scalari

gia inclusi nella lagrangiana del Modello Minimale. L’aggiunta di tutti questi termini

e dovuta ovviamente alla presenza del supercampo S. Ricordiamo che in questo caso

abbiamo scelto gli stati leptonici e adronici di terza generazione per cui occorrera fare

sostituzioni del tipo

uc → T cR ; dc → BcR ; τ cR → Ec .

Inoltre, per tenere in conto la dinamica del nuovo campo, inseriamo anche il termine

cinetico relativo ad S, che per semplicita chiamiamo KS.

Indichiamo sinteticamente la lagrangiana voluta attraverso l’espressione

LNMSSM = LMSSM(gener.1 → gener.3) + KS +

∣

∣

∣

∣

λHu · Hd + kS2

∣

∣

∣

∣

2

4.2. Settore di Higgs 107

−λ(SHu · Hd + SHu ·Hd − SHd ·Hu) − kS(SS)

−λ(S∗Hu · Hd + S(Hu ·H∗d) − S(Hd ·H∗

u))

−kS∗(SS) + m2S|S|2 + (λAλHu ·HdS +

1

3kAkS

3 + h.c.).

(4.23)

Tutti i termini presenti in questa lagrangiana sono stati gia abbondantemente

discussi in diverse sezioni di questa tesi.

4.2 Settore di Higgs

In generale e sempre possibile sviluppare il potenziale di una teoria in serie di Taylor

V (hi) = V0 +

(

∂V

∂hi

)

|min

hi + hTi

(

1

2

∂2V

∂hi∂hj

)

|min

hj + o(hi)2 (4.24)

dove gli hi rappresentano gli autostati di interazione del sistema fisico in esame

mentre 12

∂2V∂hi∂hj |min

e la matrice di massa di tali stati. Questa sara indicata con M 2ij.

Il nostro obiettivo e quello di diagonalizzarla nel caso in cui il potenziale preso in

considerazione e il potenziale scalare ricavato da (4.1).

Per maggior chiarezza parametrizziamo i supercampi Hu , Hd ed S in funzione di

una base reale che indichiamo con hi, per i ∈ {1, ...10}. In tal modo si puo ricavare il

potenziale scalare nella forma (4.24) ma occorrera prima fare alcune considerazioni.

Poniamo

Hu =

H+u

H0u

=

h5 + ih6

h7 + ih8

Hd =

H0d

H−d

=

h1 + ih2

h3 + ih4

S = (h9 + i h10) . (4.25)

Notiamo che H−d = h3 + ih4 → (H−

d )∗ = H+d = h3 − ih4 e H+

u = h5 + ih6 →(H+

u )∗ = H−u = h5 − ih6.


E necessario imporre le seguenti condizioni sul potenziale che stiamo considerando

1) condizione di stabilita (cioe il minimo in cui calcoliamo il potenziale deve es-

sere un minimo stabile).

2) condizioni di minimo (∂Vmin

∂hu= 0; ∂Vmin

∂hd= 0; ∂Vmin

∂s= 0; ∂

2Vmin

∂hu∂hd> 0).

Questi vincoli ci permettono di esprimere tutti i parametri della teoria in funzione

di mHu, mHd

ed mS. Il calcolo e molto complesso, benche diretto, in quanto la matrice

di massa e molto grande (10-per-10). Come vedremo, pero, dopo aver utilizzato le

condizioni di minimo nella definizione stessa della matrice, avremo una semplificazione

drastica del calcolo.

Esplicitando le condizioni di minimo otteniamo

hu(

hd2 − hu

2)

g2 + 2hd2huλ

2 + 2humhu

2 + 2huλ2s2 − 2hdλsAλ + κs) = 0

hd(

hd2 − hu

2)

g2 − 2huλs(Aλ + κs) + 2hd(

hu2λ2 + s2λ2 +mhd

2)

= 0

4k2s3 + 2Aκκs2 + 2hd

2λ2s+ 2hu2λ2s+ 2ms

2s− 2hdhuκλs− 2hdhul(Aλ + κs) = 0

(4.26)

e le relative soluzioni saranno

m2Hu

=−g2hu3 + g2hd

2hu− 2hd2λ2hu− 2λ2s2hu+ 2hdκλs

2 + 2Aλhdλs

2hu

m2Hd

=−g2hd

3 + g2hu2hd − 2hu

2λ2hd − 2λ2s2hd + 2huκλs2 + 2Aλhuλs

2hd

m2S =

−2κ2s3 − Aκκs2 − hd

2λ2s− hu2λ2s+ 2hdhuκλs+ Aλhdhuλ

s

(4.27)

Per ottenere gli autostati di massa della teoria occorre procedere nel seguente or-

dine:


1) ricaviamo il potenziale scalare (potenziale relativo solo ai campi Hu, Hd ed S)

ed indichiamolo con VHiggs;

2) calcoliamo il valore di VHiggs nel vuoto del potenziale;

3) otteniamo tutti gli elementi di M 2ij al variare di i e j (si notera immediatamente

che la matrice e simmetrica e che possiede un gran numero di elementi nulli);

4) analizziamo gli accoppiamenti tra gli elementi ottenuti (il che ci portera a sep-

arare all’interno della matrice un settore carico da uno neutro);

5) riorganizziamo l’intera matrice in sottomatrici a blocchi che disponiamo sulla

diagonale principale;

6) diagonalizziamo ciascuna sottomatrice in maniera indipendente e otteniamo per

ognuna gli autostati di massa con relative masse.

Per ottenere il primo risultato occorre sommare a VF il contributo di VD (che

in questo caso non cambia rispetto al Modello Supersimmetrico Minimale, poiche il

singoletto S non introduce nuovi D-term). Inoltre dovremo anche sommare il con-

tributo che genera la rottura di supersimmetria e che per questo chiameremo Vsoft.

Esso sara dato da termini di massa per gli scalari piu un contributo proporzionale al

superpotenziale (4.1). In conclusione avremo

VD =1

4g2(

|Hu|2 − |Hd|2)2

+1

2g22|H+

u H0∗d + H0

uH−∗d |2

Vsoft = m2Hu

|Hu|2 + m2Hd|Hd|2 + m2

S|S|2 + (λAλHu ·HdS +1

3kAkS

3 + h.c.),

(4.28)

per cui l’espressione del potenziale diventera [25]

VHiggs = λ2|Hu|2|S|2 + λ2|Hd|2|S|2 + λ2|Hu ·Hd|2 + λk(Hu ·HdS∗2 + h.c.)


+1

4g2(

|Hu|2 − |Hd|2)2

+1

2g22|H+

u H0∗d + H0

uH−d ∗ |2 + m2

Hu|Hu|2

+m2Hd|Hd|2 + m2

S|S|2 + (λAλHu ·HdS +1

3kAkS

3 + h.c.).

(4.29)

Procediamo adesso alla scelta dello stato di vuoto opportuno che rompe la sim-

metria di gauge. Per questo scegliamo nulli i valori di aspettazione sul vuoto delle

componenti cariche di Hu e Hd, e diamo valori di aspettazione non nulli alle parti

neutre dei due Higgs ed allo scalare S

H0u = hu +

HuR + iHuI√2

, H0d = hd +

HdR + iHdI√2

, S = s+SR + iSI√

2(4.30)

e assumiamo che sul vuoto i valori siano dati da hu , hd , s rispettivamente.

Con queste scelte otteniamo l’espressione

V = λ(h2us

2 + h2ds

2 + h2uh

2d) + k2s4 + m2

Huh2u +m2

Hdh2d + m2

Ss2

−2λAλhuhds − 2λkhuhds2 +

2

3kAks

3 +1

4g2(h2

u − h2d)

2.

(4.31)

Dall’analisi degli elementi della matrice M 2ij si osservano i seguenti accoppiamenti

(HuR, HdR, SR) → sezione 1 (stati neutri pari)

(HuI , HdI , SI) → sezione 2 (stati neutri dispari)

(h3, h5) → sezione 3 (stati carichi)

(h4, h6) → sezione 4 (stati carichi)

I restanti elementi della matrice saranno

M1−2 = M1−3 = M1−4 = M1−6 = M1−8 = M1−10 = M2−3 = M2−4 = M2−5 =

M2−7 = M2−8 = M2−9 = M2−10 = M3−4 = M3−6 = M3−8 = M3−10 = M4−5 =


M4−7 = M4−9 = M5−6 = M5−7 = M5−8 = M5−10 = M6−7 = M6−8 = M6−9 =

M7−8 = M7−10 = M8−9 = M8−10 = M9−10 = 0.

(4.32)

Ricordiamo inoltre la proprieta

M2ij = M2

ji

giacche la matrice di massa e simmetrica.

Sfruttando i risultati ottenuti possiamo schematizzare la matrice M 2ij in questo

modo

sezione 1

3×3

sezione 2

3×3

sezione 3

2×2

sezione 4

2×2

10×10

.

(4.33)

Vediamo un attimo quali sono i nostri risultati. Rispetto al caso minimale, nel

caso non minimale la struttura della matrice di massa e piu complessa e di dimensioni

maggiori. Nel settore neutro abbiamo un campo in piu, mentre il settore carico

contiene gli stessi stati del modello minimale. Osserviamo anche che stati carichi e

stati neutri non si accoppiano, che e quello che ci si aspetta sul piano fisico. Le parti

reali e quelle immaginarie dei campi neutri anche si disaccoppiano e daranno origine

alle parti pari e dispari sotto CP, dove con questo termine si indica la simmetria

prodotto dell’operazione di parita (P) con quella di coniugazione di carica.


4.3 Metodo di diagonalizzazione

Chiamiamo U la matrice le cui colonne rappresentano gli autovettori della matrice di

massa M2ij. La relazione tra gli autostati di interazione della teoria (X) e quelli di

massa (X ′) e espressa da

X = UX ′

dove X e X ′ sono vettori colonna. osserviamo che la matrice U e ortogonale

essendo la matrice di massa simmetrica. U viene costruita dagli autovettori ortonor-

malizzati identificati nei vari settori della teoria.

Dalla relazione

XTM2ijX = X ′TUTM2

ijUX′ = X ′TM

2ijX

′

si ottiene la matrice M2ij diagonale. I suoi elementi sono le masse relative agli

stati che andremo a determinare.

E necessario dunque conoscere per ogni sottomatrice di (4.33) gli autostati cor-

rispondenti.

4.3.1 Sezione 1

La matrice di massa relativa al settore CP- even di stati (HdR, HuR, SR) e data da

M1 = ξ1

g2hd3+huλs(Aλ+κs)

hdλ(−Aλhu−2κshu+2hdλs)−hdhug

2+λ(s(Aλ+κs)−2hdhuλ)λ(−Aλhu−2κshu+2hdλs)

1

−hdhug2+λ(s(Aλ+κs)−2hdhuλ)

λ(−Aλhu−2κshu+2hdλs)g2hu

3+hdλs(Aλ+κs)huλ(−Aλhu−2κshu+2hdλs)

−Aλhd−2κshd+2huλs−Aλhu−2κshu+2hdλs

1 −Aλhd−2κshd+2huλs−Aλhu−2κshu+2hdλs

κ(Aκ+4κs)s2+Aλhdhuλ

λs(−Aλhu−2κshu+2hdλs)

(4.34)

dove

ξ1 = λ(−Aλhu − 2κshu + 2hdλs). (4.35)

4.3. Metodo di diagonalizzazione 113

Se gli autostati di interazione sono (HdR, HuR, SR) indichiamo gli autostati di

massa col set (H0, h0, SR). L’espressione relativa alla matrice U che ci permette di

ricavare esplicitamente l’insieme (H0, h0, SR) in funzione del vecchio insieme di auto-

stati. La diagonalizzazione e stata effettuata usando un programma di manipolazione

simbolica Mathematica della Wolfram, ma i risultati sono troppo complessi per essere

riportati esplicitamente. Questi, comunque, possono comunque essere incorporati in

un programma numerico. Questo tipo di complessita e stata rilevata nella letteratura

precedente su altre estensioni del modello minimale [24].

4.3.2 Sezione 2

Mostriamo la matrice di massa relativa al set (HdI , HuI , SI)

M2 = ξ2

(hd2−hu

2)g2+2λ2(hu2+s2)+2m2

Hh

2huλ(Aλ−2κs)s(Aλ+κs)hu(Aλ−2κs)

1

s(Aλ+κs)hu(Aλ−2κs)

(hu2−hd

2)g2+2λ2(hd2+s2)+2m2

Hu

2huλ(Aλ−2κs)hd

hu

1 hd

hum2(3 3)

(4.36)

dove

ξ2 = 2huλ(Aλ − 2κs) (4.37)

m2(33) =

(

hd2 + hu

2)

λ2 + 2hdhuκλ + 2κ2s2 − 2Aκκs+m2S

huλ(Aλ − 2κs). (4.38)

Per questo e conveniente definire la matrice 2 × 2

M2 =

huλs(Aλ+ks)hd

λ(Aλ + ks)

λ(Aλ + ks) hdλs(Aλ+ks)hu

. (4.39)

Gli autostati di M 2 rappresentano le colonne della matrice di trasformazione U 2×2

con la quale si ottengono due degli stati di massa cercati


U =

−hd

hu

hu

hd

1 1

(4.40)

dove abbiamo definito il rapporto hu

hd= tanβ.

Ricaviamo la matrice di massa diagonale

M diag. = UTM2 U =

0 0

0h2

d+h2

u2

h3

dhu

(4.41)

Si nota che, poiche il primo autovalore e nullo, sara presente uno stato privo di

massa.

Da (4.40) risulta semplice costruire la matrice piu generale di autostati di M2,

che indichiamo ancora una volta con U , aggiungendo uno stato indipendente del tipo

(0, 0, 1)

U =1

√

h2u + h2

d

−hd hu 0

hu hd 0

0 0 1√h2

u+h2

d

=

− cos β sin β 0

sin β cos β 0

0 0 1

(4.42)

in cui e stata ridefinita la costante di normalizzazione.

Quindi otteniamo finalmente gli autostati di massa

A

G

SI

=

− cos β sin β 0

sin β cos β 0

0 0 1

T

HuI

HdI

SI

(4.43)

in cui abbiamo una relazione tra i tre stati di interazione (HuI, HdI , SI) e i tre autostati

di massa (A, G, SI), trai quali compare un bosone di Nambu-Goldstone, che abbiamo

chiamato G. Come noto, questo campo, che e’ ovviamente neutro, e non fisico e puo

essere eliminato mediante la procedura di gauge-fixing o scelta del gauge. I gauge nei

quali questi stati di massa zero non appaiono vengono detti gauge unitari. In altri

tipi di gauge, quali il gauge di Feynman-t’Hooft (detto anche gauge Rξ) questi campi

si propagano nelle correzioni virtuali, anche se rimangono dei campi non fisici. Sono

comunque utili nel provare la rinormalizzabilita della teoria.

4.3. Metodo di diagonalizzazione 115

4.3.3 Sezione 3-4

Consideriamo contemporaneamente la diagonalizzazione delle matrici di sezione 3 e

di sezione 4 in quanto queste sono riconducibili ad un’unica matrice, indicata ora per

brevita con M3 =

a b

c d

.

Infatti se la prima coincide proprio con M3, la seconda e data da

a −b−c d

.

Possiamo dunque considerare il settore carico come la somma di

(h3 h5)

a b

c d

h3

h5

− (ih4 ih6)

a −b−c d

ih4

ih6

=

(h3 h5)M3

h3

h5

+ (−ih4 ih6)M3

ih4

−ih6

=

(h3 − ih4 h5 + ih6)M3

h3 + ih4

h5 − ih6

=

(H+d H+

u )M3

H−d

H−u

. (4.44)

Esplicitiamo ora la matrice M3

M3 =

((h2d − h2

u)g2 + g2

2h2u + 2λ2s2) (hdhug

22 + 2λ(s(Aλ + ks) − hdhuλ))

(hdhug22 + 2λ(s(Aλ + ks+ huhdλ))) ((h2

u − h2d)g

2 + g22h

2d + 2λs2)

.

(4.45)

Questa puo essere ridotta nella forma piu semplice

M3 = A

cotβ 1

1 tan β

(4.46)

dove

A = (λs(Aλ + ks) + huhd(g22

2− λ)).

Riscriviamo l’ultima espressione di (4.41) come


(H+d H+

u ) U † Mdiag. U

H−d

H−u

= (H+ G+) Mdiag.

H−

G−

(4.47)

avendo definito con H± e G± gli autostati di massa. Essi si ricavano dalla seguente

espressione

H±

G±

= UT

H±d

H±u

dove Mdiag e finalmente la matrice diagonale cercata

Mdiag. =

0 0

0(h2

d+h2

u)2

h3

dhu

(4.48)

che chiaramente ha un autovalore nullo,

mentre la matrice degli autovettori e

U =

− cos β sin β

sin β cos β

. (4.49)

Per cui gli autostati di interazione sono espressi in funzione di quelli di massa dalle

seguenti relazioni

H±u = sin βH± + cos βG±

H±d = − cos βH± + sin βG±.

(4.50)

Notiamo la comparsa quindi di un modo di Nambu-Goldstone carico G±, analoga-

mente al modello minimale. Anche in questo caso, come nel caso precedente, la

scelta del gauge unitario permette di eliminare questi modi, a scapito, comunque, dei

vantaggi che si hanno in altri gauge nei calcoli perturbativi.

Riassumendo: la presenza di un singoletto scalare S nel superpotenziale ha dras-

tiche implicazioni nella struttura del settore di Higgs del modello minimale ed e’

per questa ragione che, tale modello, va considerato come una modifica di rilievo e

non secondaria del modello originario. Abbiamo visto in particolare che l’aggiunta

4.4. Conclusioni 117

di questo nuovo campo genera, nel settore neutro CP-pari un nuovo campo di Higgs

rispetto al caso minimale, essendo la matrice di quel settore diagonalizzabile con tre

autovalori non nulli. Il settore neutro dispari ammette, invece, 2 campi fisici ed un

modo di Goldstone, mentre il settore carico ammette un compo di Higgs carico ed

un modo di Goldstone carico. Ricordiamo che nel modello minimale la parte scarica

CP-pari fornisce due campi di Higgs fisici H1 ed H2, la parte dispari neutra, invece,

fornisce un solo modo fisico, H3, oltre ad un modo di goldstone scarico. Sempre in

questo modello il settore carico ammette un modo di Higgs carico ed un Goldstone,

come nel modello non minimale.

4.4 Conclusioni

In questo lavoro di tesi abbiamo visto che il ruolo della supersimmetria e quello di

fornire una estensione molto interessante del Modello Standard mediante l’imposizione

di una nuova algebra sulla struttura tradizionale (di gauge) delle interazioni fonda-

mentali subnucleari. Abbiamo passato in rassegna alcune delle proprieta di queste

estensioni, a partire dal loro ruolo e dalla loro motivazione fisica, ed, in particolare, la

loro capacita di risolvere il problema della gerarchia di gauge del Modello Standard.

Dopo una descrizione dei metodi del superspazio e dei supercampi, abbiamo descritto

in dettaglio la derivazione formale della lagrangiana del modello minimale, applicando

pertanto questi metodi a casi di interesse teorico e fenomenologico. Siamo poi passati

a discutere una estensione del modello minimale che introduce nel superpotenziale

della teoria minimale un nuovo campo di singoletto, del quale abbiamo analizzato il

ruolo in un settore specifico, il settore di Higgs. La derivazione della lagrangiana del

nuovo modello e anche stata delucidata.

Ovviamente, il ruolo di questo nuovo campo non si limita al settore di Higgs, ma

ha implicazioni anche nel settore fermionico, essendo un nuovo supermultipletto che

viene accoppiato alla teoria. Ad esempio il neutralino, che e l’autostato di massa

minima del settore neutro della matrice di massa fermionica (combinazione lineare

di gaugini e di higgsini) vedra’ anche il contributo del partner supersimmetrico di S,

detto “singlino”, nella sua dinamica. Questo studio addizionale e in corso e verra

presentato successivamente in un lavoro in fase di completamento.

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