Il Modello Standard delle interazioni elettrodeboli

Paolo Ciafaloni

Dipartimento di Fisica Universita di Lecce e INFN Sezione di Lecce

Via Arnesano, 73100 Lecce E-mail: paolo.ciafaloni@le.infn.it

Sommario

Questi sono gli appunti di un corso di dottorato di introduzione al Modello Standard delle interazioni

elementari. Focalizzo l’attenzione sulle interazioni deboli, analizzando il meccanismo di generazione delle

masse tramite rottura spontanea della simmetria di gauge nel settore di Higgs della teoria. Accenno alle

caratteristiche salienti del modello (violazione di CP, flavor ecc.) ponendo l’accento sul confronto fra teoria

ed esperimento.

Indice

I Il Modello Standard e le sue verifiche sperimentali 1

1 La simmetria di gauge 3

2 Rottura spontanea: il modello U(1) 3

3 Modello di Fermi e necessita di una nuova teoria 4

4 La Lagrangiana del Modello Standard 5

4.1 La parte di gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2 Il settore di Higgs e quello di Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.3 Rottura di simmetria; masse di bosoni e fermioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4 Flavor e matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5 Simmetrie discrete: Parita (P), coniugazione di carica (C), numero leptonico e numero barionico 10

6 Verifiche sperimentali Del Modello Standard 11

6.1 Verifiche di bassa energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.1.1 Violazione di parita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.1.2 Misura sperimentale di Vus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.1.3 Altre misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.1.4 Sistema K0 − K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.2 Verifiche di alta energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.2.1 La massa dello Z e il numero di famiglie di neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.2.2 Verifiche di Precisione a LEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Cosa sappiamo del bosone di Higgs 17

II Nuova Fisica: al di la del Modello Standard 17

8 Gli “acciacchi” del Modello Standard 19

8.1 Oscillazioni di neutrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8.2 La quantizzazione della carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8.3 Il problema della gerarchia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9 Grande Unificazione 20

10 Supersimmetria 21

11 Segnali di Nuova Fisica 21

12 .... e la gravita? 24

A Appendice 25

A.1 Il gruppo SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A.1.1 Fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

A.1.2 Aggiunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A.1.3 Composizione di due spin 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A.2 Il gruppo di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A.3 Matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

Parte I

Il Modello Standard e le sue verifiche sperimentali

In generale in fisica un Modello Standard e un modello che descrive una certa classe di fenomeni fisici e che e compatibile

con una quantita notevole di verifiche sperimentali non banali; cosı ad esempio esistono il Modello Standard delle

interazioni elementari e il Modello Standard della Cosmologia. La parola “modello”, in contrapposizione con “Teoria”,

fa riferimento al fatto che non e stato raggiunto un grado soddisfacente di coerenza interna per cui si ritiene che sia in

realta una approssimazione di una teoria fisica piu completa. La fisica cui il Modello Standard si rivolge e per l’appunto

quella dei costituenti elementari della materia e delle forze, o interazioni, elementari fra tali costituenti. Dal punto di

vista della teoria dei campi, che e il linguaggio in cui il MS e formulato, sia i costituenti della materia che le interazioni

sono descritti da campi, cioe operatori definiti in ogni punto dello spazio-tempo. I fermioni, costituenti elementari

della materia, e i bosoni mediatori delle interazioni fondamentali si possono riassumere nelle seguenti tabelle:

Figura 1: Le tre famiglie di quarks e leptoni

Figura 2: I bosoni mediatori delle forze fondamentali

Ci si puo raffigurare intuitivamente la forza trasmessa fra due corpi come il risultato dello scambio di uno dei

bosoni mediatori (vedi fig. 3(a)). In realta il diagramma in fig. 3(a) e un diagramma di Feynman, ed ha un significato

matematico preciso nell’ambito della teoria delle perturbazioni. Inoltre, essendo la teoria relativistica, e possibile la

conversione di energia in materia e viceversa: questo significa che sono possibili processi di creazione e distruzione di

particelle di materia, e non solo processi di scambio di interazioni. Peraltro, come gia accennato, sia i costituenti della

materia che i mediatori delle forze sono descriti da enti matematici detti campi. Senza entrare nei dettagli, accenniamo

al fatto che i campi di materia hanno spin 12 , e sono quindi fermioni, mentre i campi che mediano le interazioni hanno

spin 1, e sono quindi bosoni.

Componenti essenziali del Modello Standard sono la simmetria di gauge e il rottura spontanea di questa simmetria

che produce le masse. Queste componenti vengono prese in esame nei prossimi paragrafi nel caso semplice di simmetria

U(1).

2

1 La simmetria di gauge

La simmetria di gauge e una trasformazione locale (cioe dipendente dal punto dello spazio tempo) dei campi, che lascia

invariante la Lagrangiana L, o piu precisamente l’azione S =∫

d4xL(x). Nella sua forma piu semplice, la simmetria

agisce su un campo scalare ϕ(x) e su uno vettoriale (A0(x), A1(x), A2(x), A3(x)) nella maniera seguente:

ϕ(x) → eiθ(x)ϕ(x) Aµ(x) → Aµ(x) +i

e∂µθ(x) (1)

in maniera da lasciare invariante la Lagrangiana:

L = −FµνFµν +Dµϕ

∗Dµϕ Fµν = ∂µAν − ∂νAµ Dµ = ∂µ + ieAµ (2)

Il significato fisico dell’invarianza di gauge e che tutte le osservabili che si possono misurare sperimentalmente sono

indipendenti dalla trasformazione (1): ad esempio un cambio di fase nel campo scalare lascia invariate tutte le quantita

fisiche purche allo stesso tempo si modifichi il campo Aµ con la trasformazione di gauge. Cosı come avviene in meccanica

quantistica, anche in teoria dei campi ad ogni simmetria corrisponde una quantita conservata. La quantita conservata

nel caso della simmetria di gauge, che si puo ottenere tramite il teorema noto in teoria dei campi come teorema di

Noether, e la carica elettrica.

A questo punto occorre fare un’osservazione importante: la simmetria di gauge non e compatibile con una massa

del campo di gauge diversa da zero. Infatti un termine di massa m2AµAµ non e invariante per la trasformazione data

dalla (1). Quindi tale simmetria puo essere valida per la descrizione di un fotone di massa nulla, ma non ad esempio

per i bosoni mediatori delle interazioni deboli, che hanno masse dell’ordine di 100 GeV.

2 Rottura spontanea: il modello U(1)

La rottura di simmetria in teoria dei campi puo avvenire in due modi. Si parla di rottura esplicita della simmetria se

la Lagrangiana non e invariante sotto una data simmetria. Ad esempio, se definiamo una trasformazione U(1) per un

campo carico scalare ϕ(x) nel modo seguente: ϕ(x) → eiθϕ(x), un termine nella Lagrangiana ϕ2(x) → e2iθϕ2(x) non

e invariante, mentre un termine ϕ∗ϕ → ϕ∗ϕ lo e. Quindi, se nella Lgrangiana e presente un termine proporzionale a

φ2 la simmetria di gauge e rotta esplicitamente. Si dice che si ha rottura spontanea di una simmetria invece quando la

Lagranagiana e invariante ma lo stato di vuoto (ovvero quello di minima energia) non lo e. Quindi, se la trasformazione

e generata da un operatore di carica Q nel senso che δϕ = [Q,ϕ], si ha che δ|0〉 = Q|0〉 6= |0〉 e quindi il vuoto non e

invariante

L’esempio piu semplice di rottura spontanea e dato dal modello scalare con invarianza globale U(1):

L = ∂µϕ∗∂µϕ− V (ϕ) V (ϕ) = λ(ϕ∗ϕ)2 − µ2(ϕ∗ϕ) λ, µ2 > 0 U(1) : ϕ(x) → eiθϕ(x) (3)

Il potenziale V (ϕ) ha un minimo per tutti i punti tali che (ϕ∗ϕ) = µ2

2λ≡ v2, connessi fra loro dalla simmetria U(1). In

altre parole, siamo in un caso in cui c’e una degenerazione dei livelli; in particolare il livello di energia piu bassa, cioe il

vuoto, e infinitamente degenere. La rottura della simmetria e legata al fatto di scegliere come stato di minima energia

attorno a cui espandere le “piccole oscillazioni” che sono i campi della teoria, uno in particolare di questi stati degeneri.

Siccome c’e’ invarianza U(1) tutti i punti che soddisfano (ϕ∗ϕ) = v2 sono equivalenti e posso scegliere come vuoto la

configurazione di campo in cui 〈ϕ(x)〉 = v∀x. In natura esistono molti esempi di rottura spontanea di simmetria; forse

il piu semplice e quello dei materiali ferro magnetici che sono descritti da una Hamiltoniana invariante per rotazione

e tuttavia acquisiscono nello stato fondamentale un allineamento non nullo degli spin, cioe una magnetizzazione M

diversa da zero, in una data direzione. A questo punto il campo si puo scrivere ϕ(x) = v+σ(x)+ iχ(x), 〈0|ϕ(x)|0〉 = v,

dove σ(x), χ(x) sono i campi delle “piccole oscillazioni”, a valor medio nullo, che si quantizzano con le regole canoniche.

Riscrivendo la Lagrangiana in termini di questi campi, si ottiene

L = ∂µσ∂µσ + ∂µχ∂

µχ− 4λv2σ2 − λ(σ2 + χ2)2 − 2vσ(σ2 + χ2) (4)

Si ha quindi un bosone σ (di Higgs) con massaM2H ∼ λv2, un bosone χ (di Goldstone) con massa nulla che interagiscono

con le interazioni trilineari e quartiche determinate dal potenziale. In generale il numero di bosoni di Goldstone a

massa nulla, che esistono solo nel caso di rottura spontanea di una simmetria continua, e dato dal numero di generatori

rotti, cioe dal numero di generatori che non lasciano invarianti il vuoto. Infatti a causa dell’invarianza del potenziale,

3

Figura 3: (a) Interazione fra due fermioni che si scambiano un bosone W e (b) interazione effettiva per E � MW

(teoria di Fermi)

tutti i punti ottenuti dal vuoto tramite una di queste trasformazioni hanno lo stesso valore del potenziale. Le piccole

oscillazioni lungo le direzioni di tali generatori rotti corrispondono quindi a direzioni “piatte”, cioe a particelle di

massa nulla.

Fenomeni qualitativamente diversi si hanno quando a rompersi e una simmetria locale anziche globale come visto

finora. Consideriamo la Lagrangiana (3) con una simmetria di gauge, cioe in interazione con un campo vettore Aµ:

L = −FµνFµν +Dµϕ

∗Dµϕ− V (ϕ) V (ϕ) = λ(ϕ∗ϕ)2 − µ2(ϕ∗ϕ) Fµν = ∂µAν − ∂νAµ Dµ = ∂µ + ieAµ (5)

Questa Lagrangiana e invariante sotto una simmetria di gauge U(1) ϕ(x) → eiθ(x)ϕ(x), Aµ(x) → Aµ(x) + ie∂µθ(x).

Considerazioni analoghe a quelle sopra portano a concludere che si ha rottura spontanea con 〈Aµ〉 = 0, 〈ϕ〉 = v 6= 0.

Conviene scegliere una parametrizzazione diversa ma equivalente a quella sopra ϕ(x) = H(x) exp[i θ(x)v

] con H, θ campi

reali e 〈H〉 = v. Ancora, possiamo descrivere le piccole oscillazioni scrivendo H(x) = v + σ(x). La Lagrangiana si

riscrive allora:

L = −FµνFµν + ∂µσ∂

µσ + ∂µθ∂µθ + e2v2AµA

µ − 4λv2σ2 + . . . (6)

dove i puntini stanno ad indicare le interazioni fra i campi Aµ, σ, θ che ometto per brevita ma che sono facilmente

ricavabili dalla (5). Abbiamo, come nel caso della rottura di U(1) globale, un bosone di Goldstone θ e un bosone di

Higgs σ. In piu pero il fotone Aµ ha acquisito una massa pari a e2v2. Il campo θ in realta non e un campo fisico

della teoria, tant’e vero che puo essere eliminato con una particolare scelta di gauge (gauge unitaria). Infatti se scelgo

una trasformazione di parametro proprio − θv, ho che ϕ(x) = H(x) exp[i θ(x)

v] → exp[−i θ(x)

v]H(x) exp[i θ(x)

v] = H(x) e il

campo θ scompare dallo spettro della teoria. Corrispondentemente il campoAµ acquista una componente longitudinale,

cioe proporzionale (in trasformata di Fourier) a kµ dove k e l’impulso del fotone: Aµ(x) → Aµ(x)− ie∂µ

θ(x)v

. Il conteggio

dei gradi di liberta e coerente: prima della rottura abbiamo un fotone massless con 2 polarizzazioni trasverse e uno

scalare carico cioe 4 gradi di liberta; dopo la rottura abbiamo un fotone massivo che acquisisce una polarizzazione

longitudinale in piu, e uno scalare neutro (Higgs), cioe ancora 4 gradi di liberta. Il meccanismo per cui quando si

rompe una simmetria di gauge il bosone vettore acquista massa “mangiandosi” un bosone di Goldstone che ne fornisce

la polarizzazione longitudinale, prende il nome di meccanismo di Higgs.

3 Modello di Fermi e necessita di una nuova teoria

La fisica delle interazioni deboli di bassa energia (E . 1 GeV) e ben descritta dal modello di Fermi (vedi ad es. [1]

per molte applicazioni fenomenologiche):

LFermi = GF

(

J+µ J

−µ + ρJN

µ JNµ

)

(7)

J+µ = uiVijγµPLdj + νiγµPLei J−

µ = (J+µ )† JN

µ = J3µ − s2wJ

emµ = fiγµPLt

3i fi − s2wfiγµqifi (8)

dove GF ∼ 10−5GeV −2 e la costante di Fermi. Gli indici i, j sono di famiglia: la prima famiglia e composta dai quarks

u, d e dai leptoni νe, e; la seconda contiene c, s, µ, νµ e la terza t, b, τ, ντ . Cosı ad esempio u3 = t, e2 = µ e cosı via.

Questa Lagrangiana descrive ad esempio il decadimento β del neutrone, cioe il processo n(udd) → p(uud)e−νe (in

parentesi il contenuto in quarks). Sorge pero un problema: la Lagrangiana di Fermi e scritta in termini dei costituenti

elementari, cioe i quarks, mentre nel decadimento β compaiono il neutrone e il protone, all’interno dei quali i quarks

sono confinati. La situazione e peggiorata dal fatto che le interazioni forti che legano i quarks sono in regime non

4

perturbativo, quindi non si puo applicare l’apparato migliore che abbiamo per passare dalla teoria all’esperimento, che

e la teoria delle perturbazioni. Il problema e complesso; cercheremo di affrontarlo, almeno parzialmente, nel par. 6.1.

Si puo comunque stimare la larghezza di decadimento considerando che il decadimento puo avvenire solo se il neutrone

e piu pesante del neutrone. Siccome Γ deve azzerarsi per mp = mn, l’unica scala da cui puo dipendere e mn−mp ≈ 1.3

MeV. Nella Γ l’ampiezza A ∝ GF compare al quadrato, per cui per ragioni dimensionali Γ ≈ G2F (mn−mp)

5. Un calcolo

piu raffinato porta a concludere che le previsioni del modello di Fermi sono in buon accordo col valore sperimentale

della vita media del neutrone τ = 1Γ ≈ 886 s. Come ultima notazione, va detto che il processo di decadimento del

protone nel contesto di tale modello e impossibile in quanto il protone e piu leggero del neutrone (ma il protone puo

decadere nell’ambito di modelli di unificazione delle forze, vedi piu avanti). Sperimentalmente il limite sulla vita media

del protone e τp > 1031 anni, 21 oridini di grandezza piu grande della vita dell’universo che e circa 1010 anni.

Le quantita adimensionali A, che compaiono ad esempio nelle sezioni d’urto σ ∼ |A|2s

crescono, a causa del fatto

che GF ha dimensioni negative, come GFE2 dove E e la scala tipica del processo (ad esempio: la massa del µ

nel caso del decadimento del µ, l’energia del neutrino nel caso di uno scattering neutrino-nucleone, ecc.). Queste

ampiezze quindi saturano il limite di unitarieta (per cui deve essere sostanzialmente |A| < 1) ad una energia tale che

GFE2W ∼ 1 ⇒ EW ∼ 300 GeV. A energie molto piu basse di EW , gli andamenti tipici per sezioni d’urto e decadimento

sono, per ragioni dimensionali, σ ∼ G2FE

2,Γ ∼ G2Fm

5∗ . Oltre alla violazione di unitarieta, dal punto di vista della

teoria dei campi il modello di Fermi ha un altro grave problema: non e rinormalizzabile. Infatti GF ha dimensioni

negative (-2). Allora, preso un cutoff ultravioletto Λ, gli ordini superiori nell’espansione perturbativa di un ampiezza

con dato numero di gambe esterne sono via via sempre piu divergenti: aumentare un ordine di espansione perturbativa

significa infatti moltiplicare per la costante adimensionale GF Λ2. Questo significa che esistono ∞ ampiezze divergenze:

dato un numero qualunque di gambe esterne, esiste un certo ordine della teoria delle perturbazioni al quale l’ampiezza

diventa divergente. Siccome la Lagrangiana coinvolge invece un numero finito di termini, la rinormalizzabilita e

perduta.

La violazione di unitarieta della teoria viene evitata supponendo che non esista una interazione “dura” del tipo

corrente-corrente, bensi che l’interazione sia mediata dai bosoni intermedi massivi, con propagatore ∼ 1E2−M2 . Quando

E � M il propagatore diventa ∼ 1M2 e va a costituire la costante di Fermi. Quando invece E ∼ M gli effetti

di propagatore non si possono trascurare e le ampiezze crescono molto meno con l’energia di quanto facciano a

basse energie: M ∼ EW ∼ 100GeV fa quindi da cutoff ultravioletto. Mettere una massa tuttavia non basta per la

rinormalizzabilita: infatti il propagatore di un bosone massivo ha un termine ∼ gµν − kµkν

M2 che cresce piu delle sue

dimensioni naturali e rovina il power counting, essenziale per la rinormalizzabilita. A parte questo, il modello di Fermi

e insoddisfacente perche gli ingredienti sono messi “a mano”: alcune caratteristiche come l’accoppiamento universale

∼ GF , il fatto che il cambiamento di flavor stia solo nelle correnti cariche ed in particolare nel settore dei quarks,

richiedono una spiegazione. La soluzione finale e una teoria di gauge rotta spontaneamente: la rottura di simmetria e

un fenomeno di bassa energia che non rovina le buone proprieta di alta energia della teoria dovute alla simmetria di

gauge. La rinormalizzabilita delle teorie di gauge rotte e stata dimostrata in [4].

Nei prossimi paragrafi cerchiamo di costruire una teoria che

• sia unitaria, Lorentz invariante, rinormalizzabile

• abbia come limite di bassa energia (E ∼ 1 GeV) la (7)

4 La Lagrangiana del Modello Standard

4.1 La parte di gauge

La Lagrangiana del Modello Standard e completamente determinata dal requisito di rinormalizzabilita, dalla simmetria

di gauge e dal contenuto in particelle. Il gruppo che descrive la simmetria di gauge e il gruppo nonabeliano SU(3)color⊗SU(2)weak ⊗ U(1)hypercharge. Il sottogruppo SU(3)color descrive, appunto, il colore, cioe la carica delle interazioni

forti. Da qui in avanti mi occupero del gruppo SU(2)weak ⊗U(1)hypercharge che descrive le interazioni nucleari deboli

e quelle elettromagnetiche, settore nel quale avviene la rottura della simmetria e la generazione delle masse.

Data la simmetria di gauge SU(2)⊗ U(1) e le rappresentazioni di tutte le particelle sotto questa simmetria, la

Lagrangiana contiene tutte e sole le interazioni rinormalizzabili cioe con operatori di dimensione 4 o inferiore. Quanto

∗si puo dimostrare rigorosamente che l’unitarieta della teoria implica che le sezioni d’urto possono crescere con l’energia al piu come

σ ∼ (log E)2; questo e il limite di Froissart [3]

5

al contenuto in particelle, o campi di materia, fissiamoci per ora sulla prima famiglia. Abbiamo quindi u, d, ν, e che

sono campi fermionici. Uno spinore di Dirac e un campo a 4 componenti formato da due spinori di Weyl:

Ψ =

(

ΨL

ΨR

)

(9)

I due spinori di Weyl ΨL,ΨR sono gli usuali spinori a due componenti della meccanica quantistica, pero appartengono

a due rappresentazioni diverse del gruppo di Lorentz (vedi par. A.2 in Appendice). Fisicamente, essi corrispondono

sostanzialmente a elettroni con spin lungo la direzione di moto ed elettroni con spin in direzione opposta a quella di

moto. Una caratteristica del Modello Standard e che le interazioni deboli trattano in maniera diversa i fermioni di

tipo left e quelli di tipo right, mettendoli in due rappresentazioni diverse del gruppo SU(2). In particolare, i campi di

tipo left sono doppietti di isospin debole, mentre quelli di tipo right sono singoletti:

QL ≡(

uL

dL

)

⇒ U(x)

(

uL

dL

)

dR ⇒ dR uR ⇒ uR (10)

dove U(x) e una matrice di SU(2) dipendente dal punto x. Contestualmente si introducono tre campi di gauge

A1, A2, A3 che sono un tripletto di isospin, e un campo Bµ singoletto. Le trasformazioni di gauge per questi campi

sono:

Aaµ ⇒ A

′aµ tale che A

′aµ τ

a = UAaµτ

aU−1 + (∂µU)U−1 Bµ ⇒ B′µ = Bµ + i∂µθ (11)

con τa, a = 1, 2, 3 matrici di Dirac e con U(x) = exp[iαa(x)τa + iθ(x)Y ]. Siamo ora in grado di scrivere la parte di

gauge della Lagrangiana di Modello Standard, invariante sotto le trasformazioni (10,11):

Lgauge = −1

4Tr{FµνF

µν} − 1

4BµνB

µν +∑

k

iΨkDµγµΨk (12)

Aµ = AaµT

a Dµ = ∂µ−igAµ−ig′BµY Fµν = i [∂µ − igAµ, ∂ν − igAν ] = F aµνT

a Bµν = ∂µBν−∂νBµ (13)

Un piccolo inciso sulle notazioni. I generatori del gruppo SU(2) T a soddisfano le relazioni [T a, T b] = iεabcTc e

agiscono sui campi a seconda delle rappresentazioni; cosı ad esempio T aeR = 0, di modo che eR non ha interazioni

con i campi di gauge non abeliani Ai (vedi la (12)). L’ındice k qui varia sulle 5 rappresentazioni della prima famiglia:

L = (νL, eL), Q = (uL, dL), eR, uR, dR avendo considerato massless il neutrino (vedi piu avanti le considerazioni sulla

massa del neutrino).

4.2 Il settore di Higgs e quello di Yukawa

Come abbiamo visto nel par. 1 la simmetria di gauge e incompatibile con una massa non nulla dei bosoni di gauge,

in contraddizione con le osservazioni sperimentali di bosoni di gauge con masse vicine ai 100 GeV. Diversamente dal

caso della QED, in cui un termine di massa fermionico mΨΨ e consentito dalla simmetria abeliana Ψ → eiθΨ, nel

caso del Modello Standard anche un termine di massa fermionico e proibito dalla simmetria di gauge, a causa della

asimmetria fra fermioni left e right. Infatti un termine di massa si scrive:

mΨΨ = m(

ΨRΨL + ΨLΨL

)

ΨL =1 − γ5

2Ψ ΨR =

1 + γ5

2Ψ (14)

e un termine di massa ad esempio per i quarks u, d si scrive:

mu(uLuR + uRuL) +md(dLdR + dRdL) (15)

e questo termine non e ovviamente invariante sotto le trasformazioni di gauge definite dalla (10) che ruota solo le

componenti left.

Le masse dei fermioni quindi, al pari di quelle dei gauge bosons, devono generarsi tramite il meccanismo di rottura

spontanea. A questo scopo, al contenuto in particelle finora visto va aggiunto il settore di Higgs che e costituito nel

MS minimale da uno scalare ϕ, doppietto di SU(2) alla pari di QL:

φ =

(

ϕ+

ϕ0

)

φ ≡ iσ2φ∗ =

(

ϕ∗0

−ϕ−

)

(16)

6

Sotto trasformazioni di gauge si ha (vedi par. A.1.1):

φ→ Uφ φ ≡ iσ2φ∗ → iσ2U

∗φ∗ = Uiσ2φ∗ = Uφ (17)

cioe φ, φ trasformano nello stesso modo. Con il campo di Higgs si possono ad esempio costruire i seguenti termini

invarianti rinormalizzabili di dimensione 4 (α sono gli indici di isospin SU(2); h.c. indica l’hermitiano coniugato,

ϕ− = ϕ∗+):

(φ†αφα)2 = (ϕ−ϕ+ + ϕ0ϕ∗0)

2 QαLdRφ

α + h.c. = uLφ+dR + dLφ0dR + h.c. (18)

Il secondo termine in questa equazione e detto “di Yukawa” ed e responsabile delle masse dei fermioni. oltre a termini

analoghi che coinvolgono i leptoni left QL = (UL, DL) e right. Per quanto riguarda l’invarianza U(1), notare che vale

sempre y(DR) − y(QL) = qD − (qD − t3D) = t3D = − 12 mentre y(UR) − y(QL) = qU − (qU − t3U ) = t3U = 1

2 per cui la

giusta assegnazione di ipercarica e y(φ) = 12 .

Scriviamo ora la parte di LSM che coinvolge il doppietto di Higgs con le sue interazioni coi fermioni:

YdQLφdR + YuQLφuR + h.c.− V (φ) V (φ) = λ(φ†φ− v2)2 (19)

con Yd, Yu, λ, v costanti arbitrarie, tutte adimensionali tranne v che ha dimansioni di massa. E’ importante osservare

che la forma di queste interazioni e la piu generale possibile: queste sono tutte e sole le interazioni compatibili con la

simmetria di gauge e con il requisito di rinormalizzabilita della teoria.

4.3 Rottura di simmetria; masse di bosoni e fermioni

La forma del potenziale in (77) causa rottura spontanea della simmetria di gauge SU(2)⊗U(1) per cui lo scalare di

Higgs acquista un vacuum expectation value (v.e.v.) 〈0|φ|0〉 = v. la direzione di rottura spontanea non e arbitraria

perche deve rispettare U(1)em (da non confondere con l’U(1) di ipercarica in SU(2)⊗U(1). Questo significa che non

puo essere il campo carico ϕ+ in (16) ad acquisire un vev (vacuum expectation value, v = 〈0|φ|0〉) perche sotto

trasformazioni U(1)em ϕ+ → eiθϕ+ non e invariante. E’ la parte neutra invece ad acquisire un vev v:

φ0 =

(

0

v

)

; φ =

(

φ1 + iϕ2

v + σ + iϕ3

)

(20)

La rottura avviene quindi in maniera complicata: φ0 e invariante solo sotto il generatore Q ≡ T3 + Y mentre non lo e

sotto gli altri generatori T3 − Y, T2, T1. La struttura di rottura della simmetria e quindi SU(2)L ⊗ U(1)Y → U(1)em.

Corrispondentemente, si hanno 3 bosoni di Goldstone ϕ1, ϕ2, ϕ3 che corrispondono alle direzioni rotte. Questi 3 bosoni

daranno massa ai bosoni W+,W−, Z tramite il meccanismo di Higgs. Per vedere questo, riscriviamo la Lagrangiana

nel settore di Higgs tenendo conto del gauging che implica ∂µ → Dµ:

LHiggs = (Dµφ)†Dµφ− λ(φ†φ− v2)2 (21)

La parte che da le masse dei bosoni si puo scrivere :

〈φ〉(gAaµT

a + g′BµY )(gAbµT

b + g′BµY )〈φ〉 = g2v2(A1µA

1µ +A2

µA2µ) + v2(gA3

µ − g′Bµ)2 (22)

Lo spettro e quindi costituito dai seguenti bosoni con relative masse (sW ≡ g′√g2+g′2

, Q = T3 + Y ):

W± ≡ A1 ∓ iA2√2

;MW = gv Z ≡ cWA3 − sWB;MZ =√

g2 + g′2v A ≡ sWA3 + cWB;Mγ = 0 (23)

gA3µT

3 + g′BµY =g

cWZµ(T3 − s2WQ) + eQAµ e ≡ gsW = g′cW (24)

Quest’ultima espressione chiarisce il perche manchi automaticamente una massa per il fotone in quanto Q〈φ〉 = 0.

Acquista invece massa la combinazione ortogonale (gA3µT

3+g′BµY )〈φ〉 ∼ −gA3µ+g′Bµ, che e il bosone Z. L’invarianza

U(1)em assicura che il fotone rimanga massless a tutti gli ordini della teoria perturbativa.

E’ facile a questo punto scriverei termini di interazione fra gauge bosons e fermioni che derivano dalla (12) nella

base fisica (23):

L ⊃ g

cWZµ

∑

k

iΨkγµ(T 3 − s2Q)Ψk + ΨkγµQΨk + g(W+µ ΨkγµT

+Ψk + h.c.) (25)

7

Veniamo ora alle masse dei quarks, che si ottengono dalla (19) con la sostituzione φ→ 〈φ〉:

YdvdLdR + h.c.+ YdvuLuiR + h.c. (26)

I fermioni acquisiscono quindi masse proporzionali al vev, m ∼ Y v. Di conseguenza, gli accoppiamenti Y dei fermioni

al bosone di Higgs sono proporzionali alle masse dei fermioni stessi. Questo e importante fenomenologicamente

per la ricerca sperimentale del bosone di Higgs, che decade prevalentemente nel sapore bottom (il canale del top e

probabilmente chiuso per spazio delle fasi).

Si puo verificare che la Lagrangiana di bassa energia e data proprio dalla (7), con in piu la relazione importante:

ρ =M2

W

M2Z cos2 θW

= 1 (27)

Sperimentalmente [5]:

ρ = 1.0107± 0.0006 (28)

Anche se il valore misurato e molto vicino a 1, la (28) e la (27) sembrano essere in contraddizione se si pensa alla (27)

come una predizione della teoria, in quanto il valore (28) non e compatibile con 1 entro l’incertezza sperimentale. In

realta pero la (27) e una predizione della Lagrangiana classica, che non tiene in conto le correzioni quantistiche†. Tali

correzioni sono dell’ordine del parametro di espansione della teoria perturbativa, α4π

≈ 10−3, dove α = e2

4π≈ 1

137 con

e carica dell’elettrone in unita naturali. Un valore di ρ cosı vicino a 1 non e casuale: esso corrisponde al fatto che nel

Modello Standard, dopo rottura della simmetria SU(2) ⊗ U(1), oltre alla simmetria esatta U(1)em locale, sopravvive

una simmetria residua, detta custodial symmetry. Si tratta di una simmetria SU(2) globale, valida solo in maniera

approssimata in quanto rotta per l’appunto da termini nella Lagrangiana proporzionali alla costante di accoppiamento

α. Non entrero in maggior dettaglio su questo punto.

4.4 Flavor e matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa

E’ un fatto sperimentale che le diverse famiglie finora conosciute, riassunte nella figura I, si mescolano fra loro, dando

luogo a processi in cui una particella di una data famiglia si trasforma in una particella dell’altra. Tale fenomeno

avviene solo nel settore dei quarks, e non in quello dei leptoni. Ad esempio (fra parentesi il contenuto in quark dei

mesoni coinvolti):

K+(us) → π0(uu) e+νe B.R. = (4.82 ± 0.06)% B0(db) → π−(du) l+νl B.R. = (1.8 ± 0.6)10−4 (29)

L’analisi quantitativa di tale tipo di processi, e quindi il confronto fra teoria ed esperimento, e resa difficile dal fatto

che i quarks, a differenza dei leptoni, non esistono come particelle libere (confinamento), e la descrizione degli adroni

in termini dei loro costituenti e delle interazioni fondamentali del Modello Standard e un problema non risolto. Dal

punto di vista qualitativo comunque, si capisce come un quark della terza famiglia (il bottom) sia diventato un quark

della prima famiglia (l’up). Come puo il Modello Standard descrivere tale tipo di processi? Per capirlo, dobbiamo

ritornare al settore di Yukawa: la forma che come appare nella (19) non e la piu generale possibile se si tiene in

conto della esistenza di 3 famiglie; la forma piu generale compatibile con la simmetria di gauge e (vedi par. A.3 in

Appendice):

QiLΛij

d djRφ+ h.c.+ λi

uQiLU

iRφ+ h.c. (30)

dove gli indici i, j = 1, 2, 3 sono di famiglia e dove Λ e una matrice 3x3 hermitiana. Veniamo ora alle masse dei quarks,

che si ottengono dalla (30) con la sostituzione φ→ 〈φ〉:

Zµ

[

diL(t3 − s2wq)γ

µdiL + di

R(t3 − s2wq)γµdi

R + d↔ u]

+W+µ u

iLγ

µdiL + vdi

LΛijd d

jR + λu

i vuiLu

iR (+h.c.) (31)

La (31) evidenzia un fatto importante: non e possibile fare una trasformazione unitaria sui campi, ovvero un cambia-

mento di base, che diagonalizzi contemporaneamente i termini di massa e le interazioni di gauge. In effetti e possibile

diagonalizzare la matrice Λijd con una rotazione dei campi dL, dR, ma questo porta inevitabilmente fuori diagonale le

interazioni di gauge nel settore carico. Peraltro, ed e questa l’altra annotazione importante, qualsiasi rotazione dei

†si dice anche che e una predizione della teoria “ad albero”, riferendosi alla topologia dei diagrammi di Feynman che corrisponde al

primo ordine perturbativo

8

Ecm [GeV]

σ had

[nb]

σ from fitQED unfolded

measurements, error barsincreased by factor 10

ALEPHDELPHIL3OPAL

σ0

ΓZ

MZ

10

20

30

40

86 88 90 92 94

Figura 4: Sezione d’urto adronica e+e− → Had. In linea continua verde il fit dai dati, in linea tratteggiata la sezione

d’urto misurata una volta tenuto conto delle correzioni di QED, cioe dell’emissione di fotoni da parte di elettroni e

positroni iniziali.

9

campi lascia invariate le interazioni neutre: la Lagrangiana classica non ha termini che violano il flavor nel settore

neutro. Analogamente al caso del ρ, occorre precisare che anche se non ci sono interazioni neutre che violano il flavor

a tree level, queste interazioni vengono indotte agli ordini piu elevati dello sviluppo perturbativo. Risulta a questo

punto chiaro il perche nel settore leptonico non ci siano violazioni di flavor neanche nelle correnti cariche. Infatti

essendo i neutrini massless non c’e necessita di introdurre i νiR (l’analogo degli uR). Questo significa che, essendo il

termine λνi vν

iLν

iR assente dalla Lagrangiana, i campi νi

L possono essere ruotati liberamente ed in particolare in modo

da assorbire i termini che violano il flavor nel settore carico.

Anche se la fisica e indipendente dalla particolare base scelta, e uso comune scegliere una base in cui i termini

di massa, e quindi i propagatori, sono diagonali nel flavor. Occorre adesso diagonalizzare Λ per passare alla base

fisica degli autostati di massa: dL,R → V CKMdL,R. E’ facile vedere che questa trasformazione, oltre a diagonalizare i

termini di massa:

mdi d

iLd

iR + h.c.+mu

i uiLu

iR + h.c. (32)

ha come unico altro effetto quello di cambiare le correnti cariche, che diventano

(W−µ u

iLV

ijCKMγµdj

L + h.c.) (V CKM )†V CKM = 1 (33)

La matrice unitaria V CKM e nel Modello Standard la sorgente di tutte le violazioni di flavor e della violazione di

CP (vedi par. 5). Per la misura degli elementi della matrice si rimanda al Particle Data Group [5].

Un altro caso particolare in cui non ci sono violazioni di flavor in assoluto e quello di matrici di massa degeneri:

mid = md oppure mi

u = 0; anche in questo caso e possibile infatti fare rotazioni arbitrarie senza cambiare la matrice

di massa. Il meccanismo tramite il quale le violazioni di flavor scompaiono in casso di masse degeneri si chiama

meccanismo di GIM (Glashow-Iliopoulos-Maiani). E’ possibile dimostrare che le violazioni di flavor sono proporzionali

a ( δmMW

)2 dove δm e una tipica differenza di masse (splitting) fra le diverse famiglie. E’ questo il motivo per cui anche

se i neutrini hanno massa, come gli esperimenti sembrano indicare, le violazioni di flavor nel settore leptonico sono

trascurabili in quanto ( mν

MW)2 ∼ ( 1eV

100GeV)2 ∼ 10−22.

5 Simmetrie discrete: Parita (P), coniugazione di carica (C), numero

leptonico e numero barionico

Alcune simmetrie discrete sono molto importanti in fisica; fra queste la parita P che cambia di segno le componenti

spaziali di un quadrivettore e lascia invariata la componente temporale, e la coniugazione di carica C. Per ricordarsi

di come agiscono le trasformazioni C, P, conviene partire dalla usuale corrente elettromagnetica Jµ = euγµu. Sotto C

cambia segno la carica e quindi tutta la corrente, mentre sotto P cambia segno solo la trivelocita, quindi JµC→ −Jµ,

JµP→ Jµ. Le trasformazioni di Aµ si ottengono ricordandosi che la Lagrangiana di QED che contiene il termine JµA

µ

e invariante sia sotto C che sotto P, per cui Aµ C→ −Aµ, Aµ P→ Aµ.

Passiamo ora al caso piu generale di correnti anche cariche che possono coinvolgere solo campi left o solo right;

iniziamo con la parita P. Un fermione di tipo left e caratterizzato, nel limite di alta energia, dall’avere lo spin allineato

con l’impulso. La parita lascia invariato lo spin e cambia il segno dell’impulso, trasformando il fermione in un fermione

con spin antiallineato con l’impulso, quindi di tipo right. Ricordandosi che la corrente Jµ e un quadrivettore, si ottiene:

uLγµdLP→ uRγ

µdR ; uRγµdRP→ uLγ

µdL (34)

Il Modello Standard non e quindi invariante sotto P. Ad esempio le correnti cariche coinvolgono solo i fermioni di

tipo left. Il termine di corrente carica viene trasformato dalla parita in un termine che coinvolge i campi right, che

non esiste nella Lagrangiana:

W−µ uLγµdL + h.c.

P−→W−µ uRγ

µdR + h.c. (35)

Intuitivamente: le correnti cariche distinguono la destra dalla sinistra, in quanto coinvolgono solo oggetti sinistrorsi e

non oggetti destrorsi. Per le verifiche sperimentali vedi il par. 6.1

La coniugazione di carica cambia il segno della carica della particella. Poice un fermione con spin allineato

all’impulso e di tipo left se particella, e di tipo right se antiparticella, C oltre a coniugare i campi scambia left con

right, per cui (il segno - c’e perche la corrente cambia segno sotto C):

uLγµdLC→ −dRγµuR ; uRγµdR

C→ −dLγµuL (36)

10

Il modello Standard non e invariante sotto C in quanto (ricordarsi che W−µ

C→ −W+µ )

W−µ uLγ

µdL +W+µ dLγ

µuLC−→ W−

µ uRγµdR +W+

µ dRγµuR (37)

A questo punto viene spontaneo chiedersi se il Modello Standard sia invariante sotto la trasformazione combinata

CP; in effeti la prima trasformazione porta i left in right e la seconda riporta i right in left:

W−µ uLγ

µdL +W+µ dLγ

µuLC−→W−

µ uRγµdR +W+

µ dRγµuR

P−→W−µ uLγ

µdL +W+µ dLγ

µuL (38)

Apparentemente quindi tutto fila liscio, senonche ci siamo dimenticati della matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa

nella (33). La trasformazione C coniuga i termini nella Lagrangiana, per cui l’effetto globale e:

W−µ u

iLVijγ

µdjL + h.c.W−

µ uiLVijγ

µdjL + h.c.

CP→ W−µ u

iLV

∗ijγ

µdjL + h.c. (39)

quindi l’invarianza CP impone che gli elementi della matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa siano reali. Nel Modello

Standard, a causa della presenza di 3 famiglie di quarks, non e possibile ridefinire i campi in modo da ottenere questo:

resta una fase complessa ineliminabile (vedi par. A.3). Questa fase e nel Modello Standard la sorgente delle violazioni

di CP osservate nel sistema K − K (par. 6.1.4). Notare che in presenza di 1 oppure 2 famiglie non sarebbe possibile

descrivere la violazione di CP nel Modello Standard.

Altre simmetrie discrete molto importanti nel Modello Standard sono il numero barionico e il numero leptonico. Il

numero barionico conta i barioni (per i quali vale 1), cioe gli adroni pesanti come il neutrone e il protone. Esso e invece

0 per gli adroni leggeri come il mesone π, il K eccetera. A livello dei quarks, B vale 13 per tutti i quarks, e ovviamente

− 13 per tutti gli antiquarks. Si capisce allora come B valga 0 per i mesoni, composti da un quark e un antiquark, e

1 per i barioni composti da 3 quarks. La simmetria legata al numero barionico e una simmetria globale UB(1) tale

che ψ → eiθBψ dove B e appunto il numero barionico. Guardando la Lagrangiana di Modello Standard e immediato

verificare che UB(1) e una buona simmetria. Di conseguenza il numero barionico e conservato, e questo rende stabile

il protone. Infatti il protone non trova barioni piu leggeri in cui decadere (mentre il neutrone, piu pesante, decade).

Potrebbe decadere in mesoni leggeri, ad esempio p → π0e+νe ma questo e proibito, appunto, dalla conservazione del

numero barionico. Notare che UB(1) e una simmetria accidentale del Modello Standard, cioe una simmetria che non e

diretta conseguenza della simmetria di gauge, bensı dipende dalla simmetria di gauge, dal requisito di rinormalizzabilita

e dal contenuto in particelle, cioe dalle rappresentazioni scelte per le particelle elementari. Appena quest’ultimo punto

viene cambiato, il numero barionico puo cessare di essere conservato perche si aggiungono nuove particelle; e quanto

accade in teorie supersimmetriche e/o di grande unificazione.

Infine, il numero leptonico (1 per i leptoni, -1 per gli antileptoni) e un’altra buona simmetria. Nel Modello

Standard, oltre al numero leptonico totale Ne +Nµ +Nτ si conservano separatamente anche i numeri leptonici delle

singole famiglie, in quanto non ci sono correnti che collegano le diverse famiglie come invece accade nel caso dei quark.

Quindi si conservano separatamente Ne, Nµ, Nτ e un processo come µ→ eγ e strettamente proibito.

6 Verifiche sperimentali Del Modello Standard

6.1 Verifiche di bassa energia

Le verifiche sperimentali del modello Standard sono state storicamente le prime ad essere fatte. Per “bassa energia”

intendo qui E . 1 GeV, energie alle quali la fisica del Modello Standard e descritta dalla Lagrangiana effettiva di

Fermi (7). Nasce subito un problema pero. A basse energia i gradi di liberta fisici non sono i quarks che compaiono

nella (7) bensı gli adroni, cioe i barioni come protone neutrone ecc. e i mesoni come il π, il K ecc. (vedi [5] per

una lista esaustiva). Nasce quindi il problema di valutare gli elementi di matrice degli operatore-correnti, scritti in

termini di quarks, sugli stati fisici adronici. Per capire come si puo affrontare questo problema osserviamo che un

problema analogo nasce per gli elementi di matrice della corrente elettromagnetica. Se consideriamo lo scattering di

un protone da un potenziale, argomenti generali di invarianza di Lorentz e di parita delle interazioni elettromagnetiche

ci assicurano che tale elemento di matrice ha la forma:

〈P (p2)|Jemµ |P (p1)〉 = eUP (p2){F1(q

2)γµ + F2(q2)σµνq

ν}UP (p1) (40)

dove p1 e p2 sono gli impulsi iniziale e finale del protone, q = p1 − p2 e UP (p) e lo spinore di Dirac del protone

di impulso p. La carica del protone e per definizione quella misurata quando q → 0; questo perche la carica e una

11

Figura 5: Identita di Ward per la corrente elettromagnetica

proprieta globale, misurata a grandi distanze. Per q → 0 l’elemento di matrice assume la forma:

〈P (p2)|Jemµ |P (p1)〉

q→0−→ eF1(0)UP (p2)γµUP (p1) (41)

e quindi la carica misurata del protone e eF1(0). Che cosa sappiamo di F1(0)? In apparenza nulla, perche i quark

all’interno del protone hanno tutta una seri di interazioni complicate fra cui quelle di QCD (vedi fig. 6.1). Oltre al fatto

che non e possibile pensare di calcolare le interazioni a tutti gli ordini perturbativi, c’e il problema ancora piu grave che

le interazioni forti sono nonperturbative alla scala di massa del protone, cioe 1 GeV. Non potendo utilizzare la teoria

perturbativa e in mancanza di un credibile metodo non perturbativo, il calcolo dei fattori di forma elettromagnetici

del protone e semplicemente impossibile. Quindi, come possiamo concludere che QP = 1 dal fatto che 2Qu +Qd = 1?

Come possiamo cioe stabilire che la carica elettrica e un numero quantico additivo, visto che non sappiamo nulla delle

interazioni dei quark all’interno del protone? Lo possiamo sapere grazie alla simmetria delle interazioni, che si traduce

nella conservazione dell’operatore corrente ∂µJemµ = 0. Da un punto di vista classico, il fatto che possiamo definire una

carica e una corrente il cui flusso da la variazione della carica in un dato volume, significa che la carica e conservata ed

e una quantita additiva. Cioe le proprieta “di volume”, a grandi distanze di un oggetto non dipendeono dai dettagli

della struttura. Da un punto di vista quantistico della teoria dei campi la conservazione della corrente si traduce nelle

identita di Ward, che sono identita fra le funzioni di Green e in ultima analisi identita che collegano i vari diagrammi

di Feynmann di un processo. Ad esempio, indipendentemente dalla particella coinvolta, le correzioni di vertice e di

propagatore fermionico si annullano (vedi fig. 6.1) assicurando l’universalita della carica.

Passiamo ora agli elementi di matrice delle correnti deboli, che sono quelle che ci interessano e che sono definite

nella (7). Che cosa possiamo dire degli elementi di matrice adronici, potenzialmente ignoti a causa delle interazioni

forti non perturbative?

Nel caso degli elementi di matrice delle correnti deboli, la simmetria di gauge non e di nessuna utilita in quanto il

settore debole e spontaneamente rotto ad una scala (circa 100 GeV) molto piu grande della scala che ci interessa (circa

1 GeV). Le identita di Ward corrispondenti, diversamente da quanto succede per la QED, sono quindi pesantemente

violate. Esiste pero una simmetria globale, la simmetria chirale, che e rispettata dalle interazioni forti nel limite di

masse nulle dei quark. Nel caso in questione possiamo considerare di massa nulla ad esempio il down e l’up, che hanno

masse di pochi MeV. Questa simmetria ruota in maniera indipendente nello spazio di isospin (forte, e non debole!)

i quark left e quelli right ed e quindi del tipo SUL(2) ⊗ SUR(2). Tuttavia questa simmetria non e realizzata nello

spettro degli adroni (vedi [10]), che sembra essere invece compatibile con una simmetria di tipo vettoriale SUV (2),

che ruota nello stesso modo i quark di tipo left e quelli di tipo right. L’idea e che anche qui c’e un meccanismo di

rottura spontanea SUL(2) ⊗ SUR(2) → SUV (2) i cui Goldstone, stavolta visibili perche la simmetria e globale, sono

i pioni leggeri π+, π0, π−. Rimandando a [10] per i dettagli, mi limito ad osservare che e possibile definire correnti

deboli conservate almeno in maniera approssimata, ottenendo informazioni quindi sugli elementi di matrice deboli

negli adroni. Questo settore ha ricevuto un enorme impulso con lo sviluppo della teoria perturbativa chirale [10], che

sistematizza questo tipo di procedimenti. A livello di correnti, possiamo dire che la corrente vettoriale e conservata

(CVC) mentre quella assiale e solo parzialmente conservata; le correnti in questione sono:

JaVµ = Qγµτ

aQ JaAµ = Qγµγ5τ

aQ Q =

(

u

d

)

(42)

Nel par. 6.1.2 do un esempio di applicazione di ipotesi CVC.

12

Figura 6: Scattering del protone da un potenziale elettromagnetico esterno (indicato col cerchietto nero). Le linee

fermioniche sono i quarks, e le linee spiraleggianti sono i gluoni.

6.1.1 Violazione di parita

Una delle caratteristiche peculiari delle interazioni deboli e la violazione di parita. Questa si manifesta ad esempio

nei decadimenti β di nuclei di Cobalto 60 con spin allineati in una direzione data da un campo magnetico. Si osserva

una asimmetria fra il numero di elettroni uscenti nella semisfera “giu” e quelli uscenti nella direzione “su”, dove le

semisfere sono definite in base all’allineamento degli spin dei nuclei. Siccome sotto parita lo spin del nucleo e pari

mentre l’impulso dell’elettrone finale e dispari, questa osservazione costituisce una violazione della simmetria sotto

parita. Oggi, con migliaia di dati sperimentali e soprattuto con le osservazioni di LEP siamo in grado di asserire con

precisione che la foema della corrente carica debole e del tipo V-A, cioe proporzionale a γµ − γµγ5. La violazione della

parita e quindi massimale, essendo γµ un vettore e γµγ5 uno pseudovettore.

Per qualche tempo si e pensato che, pur in presenza di violazione della parita nelle interazioni deboli, la simmetria

combinata di coniugazione di carica e parita (CP) potesse essere una buona simmetria:

Γ(π+ → µ+νL) 6= Γ(π+ → µ+νR) = 0 violazione di P (43)

Γ(π+ → µ+νL) 6= Γ(π− → µ−νR) = 0 violazione di C (44)

Γ(π+ → µ+νL) = Γ(π− → µ−νL) invarianza CP (45)

Ma la osservazione di violazione di CP nel sistema dei K nel 1964 (par. 6.1.4) era destinata a rimettere in discussione

questa convinzione.

6.1.2 Misura sperimentale di Vus

Il decadimento K0(ds) → π−(du)e+νe (vedi fig. 6.1.2) e un buon esempio di violazione di flavour nel settore

elettrodebole del Modello Standard. All’elemento di matrice debole mesonico, che coinvolge le correnti cariche:

〈π|J+Vµ − J+A

µ |K〉 J+Vµ = Qγµτ

+Q J+Aµ = Qγµγ5τ

+Q Q =

(

u

d

)

(46)

contribuisce solo la parte di corrente vettoriale, conservata, in quanto π,K hanno la stessa parita (P=-1) e la corrente

assiale non puo connettere stati con parita diversa. L’invarianza di Lorentz assicura la forma dell’ampiezza:

A = GFVus[g(q2)Pµ + f(q2)qµ]uνγ

µPLue P ≡ pK + pπ q ≡ pK − pπ (47)

Il termine in P = pK + pπ = pe + pν e proporzionale, per via della equazione di Dirac, alla massa dell’elettrone e

quindi trascurabile in prima approssimazione data la scala del processo mK ≈ 500 MeV. Inoltre, siccome al processo

contribuisce solo la corrente vettoriale, conservata, possiamo desumere che f(0) = 1. Questo permette di scrivere la

previsione torica per Γ(K0 → π−e+νe). Dal confronto con l’osservazione sperimentale risulta |Vus| = 0.2196± 0.0023.

Attualmente, da questa e da altre misure analoghe la conferma dell’unitarieta di VCKM , che e un’altra predizione

caratteristica del Modello Standard, e a livelli molto buoni: |Vus|2 + |Vud|2 + |Vub|2 = 0.997± 0.002.

6.1.3 Altre misure

Sono innumerevoli le verifiche di bassa energia del Modello Standard. Voglio qui citare ad esempio

• la verifica dell’esistenza di correnti neutre, caratteristiche del settore debole e mediate dalle Z, nelle diffusioni

νh→ νh e νe→ νe dove h e un adrone.

13

Figura 7: Decadimento K0 → π−e+νe

• La violazione di parita nella fisica atomica, dovuta ad una modifica del potenziale e− − nucleoni per via dello

scambio di Z

• l’osservazione sperimentale di una violazione di CP (par. 6.1.4) che sembra al momento attuale compatibile con

l’esistenza di una unica sorgente di violazione di CP nella matrice CKM. La violazione di CP e stata osservata

sia nei sistemi di mesoni K(ds) finora descritti sia nei sistemi di mesoni B(bs, bd).

6.1.4 Sistema K0 − K0

Il mesone K0 e composto da un quark down e da un antiquark strange; l’antiparticella corrispondente e il K0(sd).

Quindi, pur essendo il K0 neutro la sua antiparticella non corrisponde a se stesso; in particolare mesone e antimesone

differiscono per il numero quantico additivo stranezza: S(K0) = 1, S(K0) = −1. Poiche la stranezza e conservata

dalle interazioni forti ma violata da quelle deboli, gli autostati di massa non coincidono con gli autostati di stranezza

K0, K0. Se assumiamo che CP sia un buon numero quantico, con CP K0 = K0, CP K0 = K0, gli autostati di massa

saranno gli autostati di CP:

K1 =K0 + K0√

2CP = 1 ; K2 =

K0 − K0√2

CP = −1 (48)

A questo punto ci si aspetta una vita media molto diversa per i due stati, visto che il K1 puo decadere in 2 π mantre

il K2 e obbligato a decadere in 3 π, con uno spazio delle fasi a disposizione molto piu piccolo. In effetti uno stato

con 2 π deve avere CP=1 per via della simmetria di Bose: esso ha spin 0 per via dello spin 0 del K, e deve essere

simmetrico per scambio dei due pioni. Sperimentalemente infatti esistono due stati, il KS con vita media 0.9 10−10s

e il KL con vita media 5 10−8s. La sorpresa pero e che il KL puo decadere in 2 π, anche se con un branching ratio

molto piccolo, dell’ordine di 10−3. E’ questo l’ordine di grandezza delle violazioni di CP misurate sperimentalmente.

Attualmente le violazioni di CP osservate nel sistema dei K e nell’analogo sistenma dei B (con un quark b al posto

del quark s) sembrano essere compatibili con una situazione in cui l’unica fonte di violazione di CP deriva da una fase

diversa da zero nella matrice CKM, ascrivibile quindi al Modello Standard.

Passiamo ora ad analizzare il sistema K0 − K0 in maniera piu dettagliata. Il K0 e il K0 fanno parte del nonetto

mesonico, costituito a partire dai 3 quarks u,d,s con simmetria SU(3) nella combinazione 3 ⊗ 3∗ = 8 + 1. Gli

stati che formano la base della rappresentazione irriducibile si possono costruire esplicitamente classificandoli con i

numeri quantici additivi carica elettrica e stranezza; questo corrisponde al fatto che SU(3) ha 2 generatori diagonali.

Classificando gli stati come |q, s〉 si ha:

|1,−1〉 = |us〉 ≡ |K+〉 |0,−1〉 = |ds〉 ≡ |K0〉 |1, 0〉 = |ud〉 ≡ |π+〉 | − 1, 0〉 = |du〉 ≡ |π−〉 (49)

|0, 1〉 = |sd〉 ≡ |K0〉 | − 1, 1〉 = |su〉 ≡ |K−〉 |0, 0〉 = |uu〉, |dd〉, |ss〉 (50)

Come si vede non viene risolta la degenerazione nel settore totalmente neutro che ha 3 stati. Tuttavia il singoletto e

facilmente identificabile, ∼ |uu〉 + |dd〉 + |ss〉; inoltre il π0 deve formare un tripletto di SU(2) insieme a π± e quindi

π0 ∼ |uu〉 − |dd〉; per ortogonalizzazione il terzo stato e ∼ |uu〉 + |dd〉 − 2|ss〉.In presenza di sole interazioni forti, che conservano la stranezza, K0 e K0 sono stabili perche non possono decadere

in mesoni piu leggeri di uguali stranezza; inoltre, per CPT , sono degeneri. Le interazioni deboli non conservano la

stranezza, per cui l’evoluzione di un sistema K(t) = a(t)K0 + b(t)K0 e descritta dall’hamiltoniana:

H =

(

H11 H12

H21 H11

)

iK = HK K0 =

(

1

0

)

, K0 =

(

0

1

)

(51)

14

dove ho tenuto conto che se H commuta con CPT, con CPTK0 = eiθK0 si ha 〈K0|H |K〉 = 〈CPTK|H |CPTK〉 =

〈K0|H |K〉 cioe H11 = H22. Notare che H non e in generale Hermitiana perche la probabilita non si conserva in quanto

i K decadono. Gli autovalori e autovettori di H si trovano facilmente:

λ+ = H11 +√

H12H21

(

1√

H21

H12

)

λ− = H11 −√

H12H21

(

1

−√

H21

H12

)

(52)

H e descritta da 6 parametri per i 3 numeri complessi H11, H12, H21‡ che posso riparametrizzare come i due autovalori

λL = ML − iΓL

2 , λS = MS − iΓL

2 e il numero complesso c ≡√

H21

H12. La hamiltoniana e quindi H = λL|KL〉〈KL| +

λS |KS〉〈KS | con |KL〉 = |K0〉−cK0

1+|c|2 , |KS〉 = |K0〉+cK0

1+|c|2§. Le interazioni forti conservano la stranezza, e quindi producono

uno stato iniziale che e un K0 oppure un K), che non sono autostati di massa. Supponendo di avere un K0 iniziale,

esso evolve come |K(t)〉 = exp(−iHt)|K0〉 con exp(−iHt) = e−iλLt|KL〉〈KL| + e−iλSt|KS〉〈KS | per cui la probabilita

di osservare un |K0〉 all’istante t e data

|〈K0|e−iλLt|KL〉〈KL| + e−iλSt|KS〉〈KS |K0〉|2 =|e−iλLt + e−iλSt|2

(1 + |c|2)2 =

[

e−ΓSt + e−ΓLt + 2e−ΓS+ΓL

2 cos(∆Mt)]

(1 + |c|2)2 (53)

Analogamente la probabilita di trovare un K0 e

|〈K0|e−iλLt|KL〉〈KL| + e−iλSt|KS〉〈KS |K0〉|2 =|c|2|e−iλLt − e−iλSt|2

(1 + |c|2)2 =|c|2

[

e−ΓSt + e−ΓLt − 2e−ΓS+ΓL

2 cos(∆Mt)]

(1 + |c|2)2(54)

Siccome la violazione di CP e piccola, |c| e molto vicino a 1 (vedi par. 6.1.4) e quindi all’istante t si ha la differenza

fra il numero di K0 e quello di K0 e

N(K0) −N(K0)

N(K0) +N(K0)≈ 2 cos(∆Mt)

eΓL−ΓS

2t + e

ΓS−ΓL2

t(55)

Questa differenza e sperimentalmente accessibile, e permette una misura di ∆M , contando il numero di e+ (prove-

nienti dal decadimento del K0) meno il numero di e− (provenienti dal decadimento del K0). Quindi 4 parametri

ML,MS ,ΓL,ΓS sono misurabili. Che dire di c?

Violazione indiretta di CP Per violazione indiretta si intende violazione nel mixing, cioe dovuta ad H, per

distinguerla da quella diretta, nei decadimenti, discussa nel prossimo paragrafo. Se CP e conservata con CP |K0〉 =

eiφ|K0〉 e quindi ((CP )2 = 1)CP |K0〉 = e−iφ|K0〉 si ha [H,CP ] = 0 ⇒ 〈K0HK0〉 = 〈CPK0HCPK0〉 = e−2iφ〈K0HK0〉cioe H12, H21 hanno lo stesso modulo e differiscono per una fase. E’ facile vedere che se CP e conservata, c ≡

√

H21

H12=

eiφ, gli autovettori di H in (52) sono autostati di CP, CP |KL〉 = −|KL〉 e CP |KS〉 = −|KS〉. Come si puo misurare la

(piccola) differenza di |c| da 1? Un modo e quello di considerare i decadimenti semileptonici. Al primo ordine nelle in-

terazioni deboli, il K0 puo decadere solo in e+π−ν e il K0 in e−π+ν. Inoltre, l’invarianza CPT e l’unitarieta impongono

che |〈e+π−ν|T |K0〉| = |〈e−π+ν|T |K0〉|. Infatti per CPT 〈e+π−ν|T |K0〉 = eiθT 〈K0|T |e−π+ν〉 = eiθT 〈e+π−ν|T †|K0〉∗e per unitarieta i(T − T †) + TT † = 0 cioe T = T † al primo ordine. Si ricava dunque:

Γ(KL → e+π−ν) − Γ(KL → e−π+ν)

Γ(KL → e+π−ν) + Γ(KL → e−π+ν)=

1 − |c|21 + |c|2 (56)

permettendo una misura dello scostamento di |c| da 1.

Violazione diretta di CP Dalla discussione precedente appare chiaro che occorre l’interferenza di almeno due

ampiezze per poter osservare violazione di CP diretta, cioe nei decadimenti. Questo e quello che succede nei decadimenti

dei K in π+π− e π0π0, che sono autostati di CP con CP=1. I 3 stati possibili con isospin totale I = 0, 1, 2 e

I3 = 0 (sistema neutro) sono facili da costruire: il singoletto e∑

i πiπ∗i mentre lo stato con I=1 e la combinazione

antisimmetrica di + e -, |π〉A. Il terzo stato, con I=2, per ortogonalita e proporzionale a π+π− + π−π+ − 2π0π0. Per

simmetria di Bose il sistema + - deve stare nello stato simmetrico |π〉S . Indicando |I, I3 = 0〉 con |I〉 si ricava:

|π+π−〉S =

√

2

3|0〉 +

√

1

3|2〉 |π0π0〉S =

√

1

3|0〉 −

√

2

3|2〉 (57)

‡in realta posso ridefinire i campi per una fase K0 → eiαK0, K0 → e−iαK0 per cui i gradi di liberta sono 5§ho tenuto conto che KL e parente dello stato con CP=-1, che non puo decadere in due π.

15

In generale, per quanto visto sopra, essendo CPT |I〉 = eiθI |I〉, I = 0, 2, =CPT+unitarieta impongono 〈I|T |K0〉 =

eiφI 〈I|T |K0〉∗. Siccome 〈ππ|T |K0〉 =∑

I〈ππ|I〉〈I|T |K0〉 mentre 〈ππ|T |K0〉 =∑

I〈ππ|I〉〈I|T |K0〉 =∑

I〈ππ|I〉〈I|T |K0〉∗e−iφI ,

non si ha necessariamente |〈ππ|T |K0〉| = |〈ππ|T |K0〉|. Una parametrizzazione conveniente e universalmente adot-

tata che tiene conto dei constraint di CPT ma ammette una possibile variazione di CP e 〈I|T |K0〉 = AIeiδI ,

〈I|T |K0〉 = A∗Ie

iδI dove le fasi δI sono dovute alle interazioni forti, CP invarianti.

Definendo ηij ≡ A(KL→πiπj)A(KS→πiπj)

, δ20 = δ2 − δ0 si ottiene quindi

η00 =A0(1 − c

A∗

0

A0) − eiδ20

√2A2(1 − c

A∗

2

A2)

A0(1 + cA∗

0

A0) − eiδ20

√2A2(1 + c

A∗

2

A2)

η+− =

√2A0(1 − c

A∗

0

A0) + eiδ20A2(1 − c

A∗

2

A2)

√2A0(1 + c

A∗

0

A0) + eiδ20A2(1 + c

A∗

2

A2)

(58)

Se vale CP, con la convenzione CP |K0〉 = eiφ|K0〉 si e visto che c = eiφ. Inoltre 〈I|T |K0〉 = eiφ〈I|T |K0〉 cioeA∗

I

AI= e−iφ

e gli ηij sono zero. In presenza unicamente di violazione di CP indiretta, cioe nel mixing, si haA∗

2

A2=

A∗

0

A0e quindi:

η+− = η00 =1 − c

A∗

0

A0

1 + cA∗

0

A0

≡ ε (no direct CP violation) (59)

Notare che ε e indipendente da riparametrizzazioni di fase. Quando invece c’e anche violazione di CP nel decadimento,

conviene scrivere ηij = ε+ ε′ij , con ε′ij = 0 in assenza di violazione diretta:

η+− = ε+ eiδ20

√2A2

A0

cA∗

0

A0− c

A∗

2

A2

(1 + cA∗

0

A0)[(1 + c

A∗

0

A0) + eiδ20

A2

A0(1 + c

A∗

2

A2)]

≈ ε+ eiδ20A2√2A0

(cA∗

0

A0− c

A∗2

A2) ≡ ε+ ε′ (60)

η00 = ε− 2√

2eiδ20A2

A0

cA∗

0

A0− c

A∗

2

A2

(1 + cA∗

0

A0)[(1 + c

A∗

0

A0) −

√2eiδ20

A2

A0(1 + c

A∗

2

A2)]

≈ ε− 2ε′ (61)

L’espressione approssimata vale per due motivi. Primo, la violazione di CP e molto piccola (dell’ordine di ε ≈ 10−3),

per cui i numeri cA∗

0

A0, c

A∗

2

A2sono molto vicini a 1. Secondo, sperimentalmente |A2

A0| ≈ 1

22 (regola “∆I = 12”). Quindi le

espressioni sono valide con ottima approssimazione, cioe a meno di termini di ordine relativo ( 122 )2 circa.

BR(KL → π+π−)/BR(KS → π+π−)

BR(KL → π+π−)/BR(KS → π+π−)= |η+−

η00|2 ≈ 1 + 6Re

ε′

ε(62)

6.2 Verifiche di alta energia

6.2.1 La massa dello Z e il numero di famiglie di neutrini

La massa del bosone neutro Z mediatore delle interazioni deboli e stata misurata con molta precisione [6]: MZ =

91.1875±0.0021 GeV. La misura e stata effettuata al Large Electron Positron collider (LEP), attivo al Centro Europeo

di Ricerche Nucleari (CERN) di Ginevra dal 1989 al 2000. Si tratta di un acceleratore circolare, con circonferenza

di 27 km, in cui collidono fasci di elettroni e di positroni ad una energia nel centro di massa√s pari all’energia di

risonanza dello Z di circa 91 GeV. Per capire come si possano misurare i parametri che caratterizzano lo Z, e utile

un paragone con l’esempio ben noto in meccanica quantistica dell’assorbimento di un fotone, che avviene quando un

fotone ha l’energia corrispondente al passaggio di un elettrone dallo stato fondamentale allo stato eccitato. L’atomo

eccitato poi decade, emettendo di nuovo un fotone: A + γ → A∗ → A + γ. Se si misura la corrispondente sezione

d’urto, essa presenta un picco di risonanza, la cui larghezza Γ e legata alla vita media τ dello stato eccitato A∗ dal

principio di indeterminazione di Heisenberg: Γ = 1/τ . Nel caso dello Z, la situazione del tutto analoga: la sezione

d’urto totale e+e− → Z → X dove X e uno stato finale qualsiasi presenta un picco di risonanza (Fig. 3); dalla

posizione del picco si ottiene la massa MZ e dalla sua larghezza si misura ΓZ = 2.4952±0.0023 GeV. La sezione d’urto

plottata in Fig. 3 e relativa a stati finali adronici: lo Z decade in quarks che a loro volta adronizzano, cioe si convertono

in adroni π,B, .... Lo Z puo anche decadere in leptoni, come elettroni e neutrini. Questi ultimi pero interagiscono

in maniera cosı debole (sono neutri, non hanno interazioni forti ma solo deboli) che non lasciano alcuna traccia nei

rivelatori. La larghezza di decadimento in neutrini non si puo quindi misurare direttamente, ma si puo ricavare dalla

relazione ΓZ = Γhad +Γee +Γµµ +Γττ +Γinv, dove Γinv e la larghezza invisibile, cioe relativa ai neutrini. Infatti, oltre

alla gia citata larghezza totale ΓZ sono misurabili sperimentalmente le larghezze parziali Γhad,Γee ecc. in quanto le

relative sezioni d’urto sono ad esse proporzionali: σ(e+e− → µ+µ−) ∝ Γµµ eccetera. Conoscendo gli accoppiamenti

del Modello Standard, si puo infine confrontare la larghezza misurata (indirettamente) Γexpinv con quella teorica ΓSM

inv e

determinare cosı il numero di famiglie di neutrini [5] Nν = 2.984 ± 0.008, compatibile con 3.

16

6.2.2 Verifiche di Precisione a LEP

Le predizioni del Modello Standard analizzate finora corrispondono alla teoria classica, cioe sono ricavate dalla La-

grangiana senza tener conto delle correzioni quantistiche. Tali correzioni sono dell’ordine del parametro di espansione

perturbativa, α4π

≈ 10−3. Ad esempio il parametro ρ, che abbiamo visto essere pari ad 1 nella Lagrangiana classica

(27), riceve correzioni quantistiche:

ρ = 1 +α

4π

3m2t

4M2W sin2 θW

+ .... (63)

Dove i puntini stanno per correzioni di ordine superiore in α4π

. Le verifiche di precisione a LEP hanno consentito di

verificare le predizioni del Modello Standard delle interazioni deboli al livello del permille all’energia di 100 GeV, che e

la scala caratteristica della teoria (scala di rottura di simmetria, masse dei bosoni di gauge). Tale scala corrisponde, in

base al principio di indeterminazione di Heisenberg, a distanze dell’ordine di 200Mevfm105MeV

≈ 10−3fm (1fm = 10−15m),

quindi migliaia di volte piu piccole del raggio nucleare. I risultati sono sintetizzati nella figura 12, nella quale sono

mostrate diverse osservabili misurate a LEP e la misura dello scostamento fra teoria ed esperimento. Come si vede,

l’accordo e molto buono.

7 Cosa sappiamo del bosone di Higgs

Il settore responsabile della rottura (spontanea) della simmetria di gauge, che nel Modello Standard e il settore di

Higgs, e quello meno verificato sperimentalmente. In particolare, il bosone di Higgs non e mai stato prodotto in

un esperimento di laboratorio. Sappiamo pero, dopo LEP, che se esiste l’Higgs e piu pesante di 114.4 GeV [6].

Oltre a questa informazione diretta, cioe proveniente direttamente dall’esperimento, abbiamo anche delle informazioni

indirette, legate alle correzioni radiative nel Modello Standard. Queste ultime dipendono dal fatto che le osservabili

misurate a LEP dipendono dalla massa dell’Higgs tramite le correzioni radiative, nelle quali l’Higgs compare come

particella virtuale. La fig. 8 riassume entrambe i tipi di informazione: il limite diretto e dato dalla zona gialla che

esclede masse dell’Higgs piu leggere di 114.4 GeV. Il limite indiretto si ricava dalla analisi del fit dei dati di LEP al

variare della massa dell’Higgs (banda blu). Il “best fit”, cioe il valore piu basso del χ2, si ottiene per MH = 126 Gev,

in perfetto accordo con il dato sperimentale. Se si consente un ∆χ2 = 1 si ottiene MH = 126+73−48 GeV.

Un altro tipo di informazione, anch’essa indiretta, si ottiene analizzando il potenziale V (φ) del settore di Higgs,

attraverso il quale si ottengono un limite inferiore e uno superiore per la massa dell’Higgs. Il limite inferiore deriva

dal fatto che la curvatura del potenziale nel punto di minimo, cioe la derivata seconda V (φ) calcolata per φ = v,

e proporzionale alla massa dell’Higgs. Se la massa dell’Higgs e molto piccola il potenziale e “piatto” e le correzioni

quantistiche possono destabilizzare il potenziale, producendo ad esempio un secondo minimo piu profondo del primo.

Il limite inferiore sulla massa dell’Higgs che ne deriva e detto “vacuum stability bound”. Se invece l’Higgs e molto

pesante, allora l’accoppiamento λ =M2

H

v2 diventa grande al punto da mettere in questione la validita dell’approccio

perturbativa e la coerenza stessa della teoria. In effetti, dato il valore di λ alla scala elettrodebole, l’evoluzione ad

un loop di tale “costante” di accoppiamento presenta una singolarita (polo di Landau) a valori elevati dell’energia,

cosicche non e possibile, a tale energia, dare un senso al modello stesso. La fig. 9 presenta insieme i due limiti citati.

In particolare, si ritiene che il Modello Standard sia il limite di bassa energia di una teoria piu completa; allora, se si

ritiene che il Modello Standard sia valido fino alla scala Λ, il valore della massa dell’Higgs deve essere compreso fra le

curve inferiore e superiore della fig. 9 (le bande corrispondono a incertezze nei calcoli teorici). Come si vede, esiste

una piccola finestra per la massa dell’Higgs, 130GeV < MH < 180GeV all’interno della quale il Modello Standard

rimane stabile e perturbativo fino a energie altissime, dell’ordine della scala di Planck MPl = 1019 Gev.

Parte II

Nuova Fisica: al di la del Modello Standard

Un diverso tipo di considerazioni nasce dalla richiesta di coerenza interna del Modello Standard. Le verifiche di pre-

cisione del settore elettrodebole del Modello Standard costituiscono, insieme alla verifica del numero si famiglie di

neutrini, uno dei risultati piu importanti di LEP. Si tratta di misure effettuate al livello di accuratezza del permille, in

grado di verificare la struttura quantistica della teoria caratterizzata, come si e gia detto, dal parametro α4π

∼ 10−3.

17

0

1

2

3

4

5

6

10030 500

mH [GeV]

∆χ2

Excluded

∆αhad =∆α(5)

0.02761±0.00036

0.02749±0.00012

incl. low Q2 data

Theory uncertainty

Figura 8: Limiti diretti e indiretti sulla massa dell’Higgs.

Come si vede dalla fig 12, l’accordo fra teoria ed esperimento e praticamente perfetto. Ci si potrebbe chiedere allora

perche si parli tanto di “Nuova Fisica”, cioe di fisica diversa o comunque aldila del Modello Standard: supersimmetria,

teorie di stringa, dimensioni spaziotemporali aggiuntive eccetera. Il fatto e che anche se non ci sono evidenze speri-

mentali che indichino un reale problema nel confronto tra teoria ed esperimento (oscillazioni di neutrini a parte), ci

sono vari motivi per i quali c’e un disagio nei confronti del Modello Standard cosı com’e, con la risultante convinzione

che siamo in presenza di un modello efficace che descrive una data classe di fenomeni, ma che necessita di essere

modificato/esteso per giungere ad una teoria piu fondamentale. La posizione del Modello Standard nei confronti di

questa teoria sarebbe quindi simile a quella del modello di Fermi nei confronti del Modello Standard, oppure della

meccanica classica nei confronti della teoria di campo relativistica. Passo ora ad analizzare, secondo la mia personale

gerarchia dalle indicazioni piu importanti a quelle meno serie, le indicazioni che nuova fisica debba essere presente a

scale del TeV o simili.

Fra le varie case del “mal di stomaco” che prende i fisici nel ritenere che il Modello Standard sia La teoria

fondamentale, ne elenco qui alcuni, secondo quella che ritengo essere la gerarchia dall’indicazione piu importante a

quella meno seria:

• Le oscillazioni di neutrini (par. 8.1)

• la quantizzazione della carica (par. 8.2)

• Il problema della gerarchia (par. 8.3)

• la proliferazione del numero di parametri indipendenti della teoria: 4(VCKM )+3(couplings)+2(Higgs sector)+9(masse

fermioni)=18 parametri che diventano 25 se si introduce un νR per descrivere le oscillazioni di neutrini

18

Figura 9: Limiti di stabilita (curva superiore) e di “trivialita” (curva inferiore) sulla massa dell’Higgs (da [13]). La

regione permessa, in funzione della scala Λ fino alla quale si crede che il Modello Standard sia valido, e quella fra le

due bande colorate, che riflettono varie incertezze teoriche.

8 Gli “acciacchi” del Modello Standard

8.1 Oscillazioni di neutrini

E’ un fatto sperimentale [7] che i neutrini oscillano nel flavor, cioe migrano da una famiglia all’altra. Ad esempio un

neutrino νe della prima famiglia puo trasformarsi in un neutrino νµ della seconda famiglia e viceversa. Fino ad oggi

gli esperimenti in tal senso hanno riguardato principalmente neutrini di origine solare [9] e neutrini che si originano

nell’atmosfera [8]; ci si aspettano nuove indicazioni anche da esperimenti con neutrini generati da un acceleratore [11].

Ad ogni modo, la oscillazione di neutrini non puo essere descritta all’interno del Modello Standard minimale finora

descritto: come gia notato, nessun processo che cambi il flavor nel settore leptonico e consentito. Tuttavia, e possibile

fare piccole modifiche al modello in maniera da consentire la descrizione di violazioni di flavor. Ad esempio si puo dare

una massa di Dirac al neutrino in maniera analoga a quanto visto per i quarks introducendo un νR. La corrispondente

matrice di massa, non diagonale in generale nello spazio del flavor leptonico, puo indurre le oscillazioni osservate.

Rimane comunque il fatto che le oscillazioni di neutrini costituiscono ad oggi l’unica indicazione sperimentale della

necessita di modificare il Modello Standard minimale fin qui descritto. Per concludere, vorrei accennare al fatto che

per il neutrino esiste anche la possibilita di una massa di tipo diverso, detta di Majorana [12].

8.2 La quantizzazione della carica

La carica elettrica dell’elettrone qe e quella del protone qp, somma delle cariche dei quark costituenti, sono due

parametri liberi e arbitrari del Modello Standard. Malgrado questo, queste due cariche sono sperimentalmente uguali

(in modulo) ad un livello di precisione fantastico [5]:∣

∣

∣

qp+qe

qe

∣

∣

∣< 10−21!

Esiste una differenza sostanziali fra le assegnazioni di ipercarica Y e quelle di isospin debole T3 dei fermioni (vedi

tabella 1): Il generatore T3 e infatti uno dei generatori del gruppo SU(2) non abeliano, mentre Y e il generatore del

gruppo abeliano U(1). Di conseguenza, i numeri quantici di isospin ± 12 sono fissati dall’algebra del gruppo, in analogia

a quanto succede per l’usuale spin. In effetti non e possibile rinormalizzare i generatori di un gruppo non abeliano

19

f

f

• •H H

• • •

W,Z,HW,Z,H

Figura 10: Diagrammi di Feynman per la correzione ad un loop alla massa dell’Higgs di Modello Standard.

senza cambiare le costanti di struttura: se Ta → kTa allora fabc → kfabc in [Ta, Tb] = ifabcTc. Quindi, non c’e nulla di

strano nel fatto che, ad esempio, il valore di T3 sia 12 per il neutrino e − 1

2 per l’elettrone. Le assegnazioni di ipercarica

Y sono, invece, totalmente arbitrarie, e per questo motivo risultano alquanto singolari: cospirano a rendere identiche

le cariche di elettrone e protone.

8.3 Il problema della gerarchia

Il problema della gerarchia nasce se si crede, com’e opinione comune fra i fisici teorici, che il Modello Standard sia

una teoria effettiva, cioe il limite di bassa energia di una teoria piu completa, cosı come il modello di Fermi e il

limite di bassa energia del Modello Standard stesso. Questa convinzione nasce, come si e visto, da tutta una serie

di considerazioni come la quantizzazione della carica, la proliferazione di parametri “ad hoc”, ecc. Sorge allora la

domanda: qual’e la scala di energia Λ fino alla quale si puo ritenere valido il Modello Standard e al di la della quale

interviene fisica di tipo nuovo?

Una possibilita e che il Modello Standard si inserisca in un contesto di grande unificazione (vedi cap. 9), e che

sia valido fino all’energia alla quale le costanti di accoppiamento si unificano, ΛGUT ≈ 1016 GeV. Questo scenario si

potrebbe descrivere come “il grande deserto”: nessun nuovo fenomeno appare dalla scala finora esplorata, 100 GeV,

fino alla scala di unificazione, distante ben 14 ordini di grandezza. Tuttavia nasce subito un problema di ordine

“estetico”, se vogliamo: la teoria unificata dovrebbe contenere due parametri enormemente diversi quali la scala di

rottura elettrodebole e la scala di grande unificazione; questo e lo “hierarchy problem”. Anche se si volesse liquidare

questo problema come irrilevante, o forse dovuto al nostro particolare modo di pensare, ne rimane un’altro piu difficile

da trattare: l’instabilita della massa dell’Higgs rispetto alle correzioni radiative.

Tagliando i momenti degli integrali a un loop a una scala Λ, e tenendo solo i contributi dominanti a tale scala, dai

diagrammi di fig. 10 si ottiene infatti:

M2H = (M0

H)2 +3Λ2

8π2v2

[

M2H + 2M2

W +M2Z − 4m2

t

]

(64)

In questa espressioneM0H e la massa “nuda”, cioe priva di correzioni quantistiche, che compare nella Lagrangiana prima

della rinormalizzazione. Il problema nasce se vogliamo dare un significato fisico a questa massa e alla scala Λ, come

parametri che intervengono nella teoria completa di alta energia. In tal caso la presenza di divergenze quadratiche,

cioe di termini in Λ2, diventa problematica. Se ad esempio il cutoff Λ e dell’ordine di 1016

significa che e necessario aggiustare in maniera molto precisa i parametri che compaiono nella (64) se vogliamo che

M0H cancelli quasi esattamente l’enorme valore di Λ2 = (1016GeV )2 a dare una massa dell’Higgs MH molto piccola,

dell’ordine di 100 GeV.

9 Grande Unificazione

Una possibile soluzione al problema della quantizzazione della carica elettrica e costituita dalle teorie di Grande

Unificazione. L’idea di base e che le forze elettrodeboli e forte sono in realta espressione di un’unica forza. Il motivo per

cui non ce ne accorgiamo e lo stesso per cui a scale molto minori di 100 GeV non ci accorgiamo che elettromagnetismo e

forze deboli sono la stessa forza: le forze si unificano ad energie molto maggiori di quelle attualmente accessibili. Ad alta

energia esistono un unico gruppo G, del quale il gruppo SU(3)⊗SU(2)⊗U(1) e un sottogruppo, ed un unica costante

di accoppiamento. Lo schema di rottura di simmetria e quindi GMG−→ SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1)

MW−→ SU(3) ⊗ U(1)em.

In che modo questo ha a che fare con la quantizzazione della carica? Il punto e che parallelamente all’unificazione

20

T3 Y Q B L

νe12 − 1

2 0 0 −1

e − 12 − 1

2 −1 0 −1

u 12

16

23

13 0

d − 12

16 − 1

313 0

Tabella 1: Numeri quantici dei fermioni della prima famiglia; Q = T3 + Y . Le antiparticelle hanno numeri quantici

opposti e i numeri quantici della seconda e terza famiglia sono identici a quelli della prima

delle forze, anche i campi di materia si unificano, nel senso che le particelle che stanno in rappresentazioni irriducibili

diverse del gruppo del Modello Standard entrano a far parte di un’unica rappresentazione irriducibile del gruppo di

grande unificazione. Ad esempio nel caso dei modelli in cui G = SU(5), i 3 fermioni dR (ricordiamo che esistono in 3

colori), il positrone e il neutrino si sistemano nella rappresentazione fondamentale di SU(5):

5 :

dr

dg

db

e+

νe

R

Q =

− 13

− 13

− 13

1

0

(65)

A questo punto, siccome tutti i generatori di SU(5) devono avere traccia nulla, e siccome Q e stato promosso a rango di

generatore di SU(5), il gioco e fatto. Infatti, visto che il neutrino e privo di carica, una volta assegnata (arbitrariamente)

carica +1 all’elettrone, i tre quarks down che sono identici per quanto riguarda le proprieta elettromagnetiche devono

necessariamente avere carica − 13 .

Sorge a questo punto un problema: ho detto che le teorie di grande unificazione sono carattrizzate da un’unica

costante di accoppiamento gG. Come si concilia questo col fatto che le interazioni forti, elettrodeboli sono caratterizzate

invece da tre costanti g, g′, gs relativa ad ognuno dei tre sottpgruppi? La risposta e che le costanti di accoppiamento

non sono veramente “costanti”, ma dipendono dalla scala di energia a cui le si misura. Rimandando a [12] per una

discussione di questo argomento e dell’argomento ad esso collegato della rinormalizzazione della teoria,

10 Supersimmetria

11 Segnali di Nuova Fisica

I possibili segnali sperimentali di nuova fisica si dividono a grandi linee in due categorie. Il primo tipo di segnale e di

tipo diretto: in un acceleratore viene prodotta una particella elementaredi tipo sconosciuto; questo evento puo essere

evidenziato ad esempio attraverso i prodotti di decadimento visibili, un po come abbiamo visto per lo Z

Un segnale chiaro di nuova fisica sarebbe la rivelazione del decadimento del protone. Infatti, mentre un neutrone

libero puo decadere 1

Un altro possibile segnale di nuova fisica e di tipo indiretto: riguarda infatti processi che coinvolgono particelle note,

e le cui probabilita sono diverse da quelle predette dal Modello Standard in caso di fisica di tipo nuovo. Tipicamente,

una particella di nuovo tipo con una massa superiore alle energie ad oggi acessibili, lascia la sua impronta sulle

osservabili di energia piu bassa tramite le correzioni in cui appare come particella virtuale, cioe come stato intermedio

e non come stato fisico iniziale o finale. Un esempio e il processo µ → eγ, che e strettamente proibito nel Modello

Standard minimale fin qui analizzato in quanto viola il flavor leptonico. In molte estensioni del Modello Standard

questo processo e pero consentito. Sperimentalmente, questo processo non e stato finora osservato (B.R. < 1.2 10−15).

Nella figura 11 appaiono i diagrammi di Feynman relativi a tale processo in una teoria supersimmetrica; il fotone si

puo attaccare a una qualunque delle gambe cariche. In questa figura appaioni i partner supersimmetrici dei bosoni

di gage, neutralini χ0 e chargini χ±, e i partner supersimmetrici degli ordinari leptoni l. Poiche tali particelle non

sono mai state osservate sperimentalemente, esse devono avere masse superiore alle energie finora esplorate di circa

200 GeV. D’altra parte siccome esse appaiono come particelle virtuali, la presenza dei propagatori riduce gli effetti di

un fattore pari circa a E2/Λ2

21

Figura 11: Dipendenza dall’energia delle costanti di accoppiamento nel Modello Standard

22

Measurement Fit |Omeas−Ofit|/σmeas

0 1 2 3

0 1 2 3

∆αhad(mZ)∆α(5) 0.02761 ± 0.00036 0.02770

mZ [GeV]mZ [GeV] 91.1875 ± 0.0021 91.1874

ΓZ [GeV]ΓZ [GeV] 2.4952 ± 0.0023 2.4965

σhad [nb]σ0 41.540 ± 0.037 41.481

RlRl 20.767 ± 0.025 20.739

AfbA0,l 0.01714 ± 0.00095 0.01642

Al(Pτ)Al(Pτ) 0.1465 ± 0.0032 0.1480

RbRb 0.21630 ± 0.00066 0.21562

RcRc 0.1723 ± 0.0031 0.1723

AfbA0,b 0.0992 ± 0.0016 0.1037

AfbA0,c 0.0707 ± 0.0035 0.0742

AbAb 0.923 ± 0.020 0.935

AcAc 0.670 ± 0.027 0.668

Al(SLD)Al(SLD) 0.1513 ± 0.0021 0.1480

sin2θeffsin2θlept(Qfb) 0.2324 ± 0.0012 0.2314

mW [GeV]mW [GeV] 80.425 ± 0.034 80.390

ΓW [GeV]ΓW [GeV] 2.133 ± 0.069 2.093

mt [GeV]mt [GeV] 178.0 ± 4.3 178.4

Figura 12: Misure di precisione del Modello Standard. Il pull e quanto la teoria si discosta dall’esperimento in unita

di σ (deviazione standard)

23

measu

red

valu

e

101

2

46

102

2

46

103

2

46

104

“mea

n”

SU

SY

mass i

n G

eV

0.160.140.120.10.08αs(MZ

) in MS scheme with DR

1016

GeV

2·1016

GeV

SUSYGUT

nonSUSYGUT

naïvestring

kY arbitrary,

perturbative

Figura 13: Predizione per αs in una estensione del Modello Standard unificata e supersimmetrica (SUSY GUT)

12 .... e la gravita?

La gravita e rimasta finora fuori dalla descrizione delle forze fondamentali, e questo per due motivi. Il primo motivo e

che, per quanto riguarda gli esperimenti che interessano la fisica delle particelle, la forza di gravita e quantitativamente

trascurabile rispetto alle altre tre interazioni. Ad esempio per un elettrone il rapporto fra forze di tipo elettromagnetico

e gravitazionale e e2

GN m2e≈ 1043. Un secondo motivo di tipo fondamentale e che non esiste al momento una teoria

che descriva correttamente la quantizzazione della interazione gravitazionale e che sia sperimentalmente verificabile.

Il tentativo di formulare una teoria quantistica della gravita nell’ambito della teoria dei campi si scontra con difficolta

simili a quelle incontrate dal modello di Fermi: le ampiezze adimensionali crescono con l’energia come GNE2 dove

GN e la costante di Newton. Analogamente al caso del modello di Fermi, le energie alle quali le ampiezze ad albero

saturano l’unitarieta e gli effetti quantistici diventano importanti sono dell’ordine di 1/√GN ≡ MP ≈ 1.2 1019 GeV.

La massa di Planck MP corrisponde a distanze dell’ordine di 10−35 m. che sono eneormemente piu piccole non solo

della scala atomica di 10−10 m. ma anche delle distanze piu piccole finora esplorate, che sono dell‘ordine di 10−18 m.

Il problema pero e che, diversamente dal modello di Fermi, non e possibile modificare la teoria della gravita ad energie

maggiori di MP in modo da renderla rinormalizzabile.

Il valore estremamente piccolo della forza di gravita rispetto alle altre forze e al tempo stesso una buona notizia e

una cattiva notizia. E‘ una buona notizia perche il fatto che gli effetti quantistici siano significativi a scale enormemente

piccole significa che per la stragrande maggioranza dei fenomeni la descrizione della gravita classica tramite la teoria

della relativita generale di Einstein funziona perfettamente. E‘ una cattiva notizia perche proprio gli effetti di gravita

quantistica sarebbero i piu interessanti da verificare sperimentalmente, ma sono appunto molto lontani dagli attuali

limiti tecnologici. I 17 ordini di grandezza che ci separano dalla scala di Planck rendono un programma per la gravita

analogo al programma di LEP per le interazioni elettrodeboli impossibile al momento e difficile da immaginare anche

per il futuro. D’altro lato, come abbiamo visto, esiste il problema fondamentale che relativita generale e meccanica

quantistica non si possono riconciliare nell’ambito della teoria di campo.

Per dare una descrizione unificata delle 4 forze e stato necessario ricorrere a un linguaggio nuovo e fondamentalmente

diverso da quello della teoria dei campi: quello della teoria di stringa. Quest’ultima e descritta in termini di oggetti

monodimensionali fondamentali, le stringhe appunto, con dimensione tipica pari alla lunghezza di Planck¶. Dal punto

di vista intuitivo, possiamo pensare che la dimensione dell’oggetto unidimensionale stringa definisca una sorta di

¶per confronto, nella descrizione che la teoria dei campi fa di una particella elementare come un elettrone ad esempio, non appare

nessuna scala fondamentale intrinseca: il campo e una funzione matematica definita in ogni punto dello spazio e la distanza fra due punti

puo essere arbitrariamente piccola

24

�

���

� ����

�

��

� ���

�

Figura 14: Diagrammi di Feynman SUSY a 1 loop per µ → eγ. A sinistra il contributo di scambio di chargino, a

destra quello di neutralino.

“distanza minima” oltre la quale non si puo andare. E’ importante notare che, dato il valore astronomicamente

piccolo della costante di Planck, questa specie di “granulosita” dello spazio-tempo e del tutto inavvertibile non solo

alla scala di distanze ordinarie (1 m), ma anche alla scala atomica (10−10 m) e alle piu piccole distanze fino ad oggi

osservate (10−18 m).

L’ambizioso tentativo di unificazione della teoria di stringa si e fino ad oggi scontrato con varie difficolta che sono

a mio modo di vedere riconducibili a due grossi filoni.

Da un lato, si e infatti capito che la teoria non viene univocamente determinata dalla semplice richiesta di descri-

vere le forze fondamentali in una maniera unficata e matematicamente coerente: difatti esistono infinite teorie‖ che

soddisfano a tali requisiti! Peraltro, la speranza di discriminare fra le infinite teorie isolando quella che ha il Modello

Standard come teoria effettiva a basse energie, e pure finora naufragata di fronte alle enormi difficolta matematiche di

traduzione dal linguaggio delle teoria di stringa a quello della teoria di campo.

A Appendice

A.1 Il gruppo SU(2)

Il gruppo SU(2) delle matrici unitarie a determinante uno e generato dalle matrici hermitiane τa = σa

2 dove le matrici

di Pauli σa soddisfano le proprieta fondamentali:

σ1 =

(

0 1

1 0

)

; σ2 =

(

0 −ii 0

)

; σ3 =

(

1 0

0 −1

)

;

σiσj = δij + iεijkσk ⇒ [σi, σj ] = 2iεijkσk σ2σiσ2 = −σ∗i = −σt

Tr[σa] = 0 Tr[σaσb] = 2δab Tr[σaσbσc] = 2iεabc Tr[σaσbσcσd] = 2(δabδcd + δbcδda − δacδbd)

I generatori τa sono normalizzati a Tr[τaτb] = 12δab e soddisfano [σi, σj ] = iεijkσk dove εijk e il tensore completamente

antisimmetrico (ε123 = 1) che definisce le costanti di struttura del gruppo. Ogni matrice U ∈ SU(2) si puo scrivere

come U = exp[iτaαa], a = 1, 2, 3, αa reali.

A.1.1 Fondamentale

La rappresentazione fondamentale e definita da uno spinore complesso s di spin 12 che trasforma come si → s′i = Uijsj .

Notare che s∗ → U∗s∗ mentre, date le proprieta delle matrici di Pauli, sc ≡ iσ2s∗ → Usc, s∗c → U∗s∗c. In gergo, s

sta nella rappresentazione 12 mentre s∗ ∈ 1

2

∗.

‖gli “stringhisti” continuano pero a sperare che queste infinite teorie siano in realta diverse manifestazioni di una unica teoria piu

generale, la Teoria-M (?).

25

10-14

10-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

B.R

.(µ

→ e

γ)

1.21.11.00.90.80.70.60.5

The unified third generation Yukawa coupling λ(MG)

Figura 15: B.R.(µ→ eγ) in funzione di λG per meR= 1 TeV e valori consentiti per gli altri parametri SUSY. La linea

di ‘5’ individua il limite superiore sperimentale.

A.1.2 Aggiunta

La rappresentazione aggiunta e definita da un vettore reale di spin 1 Ai, i = 1, 2, 3 che trasforma come

A′iσ

i = UAiσiU †, U ∈ SU(2) ⇒ A′

i = RijAj , R ∈ SO(3) (66)

Il gruppo SO(3) e quindi localmente isomorfo al gruppo SU(2), cioe ha le stesse costanti di struttura (non e pero

equivalente, perche?). In gergo, A ∈ 1.

A.1.3 Composizione di due spin 12

Dati due spinori s, w ∈ 12 esistono due possibili decomposizioni del prodotto tensore in rappresentazioni irriducibili:

1

2⊗ 1

2= 0 ⊕ 1

1

2⊗ 1

2

∗= 0 ⊕ 1 (67)

Le rappresentazioni irriducibili si possono classificare in base alle loro proprieta rispetto alla simmetria di scambio

s w.

A.2 Il gruppo di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz sono descritte dall’operatore Λ = exp[i(J+θ+ +J−θ−)] dove gli operatori J± soddisfano

l’algebra di SU(2) commutando fra loro, e inoltre θ+ = α− iβ,θ− = θ∗+ = α + iβ; i parametri α,β, reali, descrivono

rispettivamente le rotazioni e i boost. Il gruppo e quindi isomorfo a SU(2)⊗SU(2) e la rappresentazione fondamentale

e descritta da spinori di Weyl a due componenti ψL = (12 , 0) e ψR = (0, 1

2 ) che trasformano come:

ψL → eiσ2α+σ

2βψL ψR → eiσ

2α−σ

2βψR (68)

26

Figura 16: le 4 forze fondamentali

Si puo passare da una rappresentazione all’altra usando il tensore metrico reale antisimmetrico ε ≡ iσ2, ε2 = −1.

Infatti, utilizzando σ2σ∗i σ2 = −σi:

ψL → eiσ2α+σ

2βψL ⇒ ψc

L ≡ iσ2ψ∗L → iσ2e

−iσ∗

2α+σ∗

2β(−iσ2)(iσ2)ψ

∗L = eiσ

2α−σ

2βψc

L (69)

Gli scalari di Lorentz si possono scrivere usando due spinori di tipo left secondo la decomposizione (12 , 0) ⊗ (1

2 , 0) =

(0, 0) + (1, 0) oppure in maniera analoga con due spinori tipo right. La combinazione giusta e ψLεψL, ψRεψR. Infatti

la relazione fra le matrici di Pauli si puo anche scrivere σtiσ2 = −σ2σi da cui

ψtLσ2ψL → ψt

Leiσ

t

2α+σt

2βσ2e

iσ2α+σ

2βψL = ψt

Lσ2ei−σ

2α+−σ

2βeiσ

2α+σ

2βψL = ψt

Lσ2ψL (70)

Per vedere come trasformano i quadrivettori, ricordiamo che i trivettori spaziali Aatrasformano sotto rotazioni

come

A′aσa = UAaσaU

† U = eiσ2α ⇒ A′

aA′a = Tr{A′

aσaA′bσb} = Tr{UAaσaU

†UAbσbU†} = AaAa (71)

Si puo verificare direttamente con l’algebra delle matrici di Pauli che effettivamente A′a = (RA)a con R matrice ortog-

onale che descrive la rotazione di parametri α. Siccome ψ†σaAaψ e invariante se ψ → Uψ, ψ†σaψ deve trasformarsi

come un vettore. D’altra parte questo e implicito nella (71) che si puo scrivere

UAaσaU† = (RA)aσa = RabAbσa = Aa(R−1σ)a ⇒ UσaU

† = (R−1σ)a (72)

avendo usato Rt = R−1.

Nel caso dei quadrivettori, la metrica complica le cose. Sembra logico estendere la la (71) a∗∗:

A′µσµ = MAµσµM† σµ = (1, σi) M = exp[iσα + σβ] (73)

Pero occorre fare attenzione perche M−1 6= M † e perche Tr{σµσν} 6= gµν ; occorre definire σ = (1,−σi) di modo che

Tr{σµσν} = gµν . Se A′µσµ = MAµσµM† equivale a A′µσµ = M−1†AµσµM

−1 siamo a posto in quanto avrei

A′µA

′µ = Tr{(A′σ)(A′σ)} = Tr{M(Aσ)M †M †−1(Aσ)M−1} = Tr{(Aσ)(Aσ)} = AµAµ (74)

∗∗notare che σµ = σ†µ per cui A′µσµ = MAµσµM−1 non andrebbe bene in quanto M−1 6= M†

27

In effetti questo e il caso, in quanto σ2σtiσ2σ2 = σ2σ

∗i σ2σ2 = −σi cioe σ2σ

∗µσ2 = σµ per cui:

M(Aσ)M † = (A′σ) ⇒M∗(Aσ∗)M t = (A′σ∗) ⇒ σ2M∗σ2(Aσ2σ

∗σ2)σ2Mtσ2 = (A′σ2σ

∗σ2) ⇒ A′µσµ = M−1†AµσµM−1

(75)

Infine, ψ†L(Aµσµ)ψL con ψL → MψL e ψ†

R(Aµσµ)ψR con ψR → M−1†ψR sono invarianti, per cui ψ†LσµψL, ψ

†RσµψR

trasformano come quadrivettori.

A.3 Matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM)

Il settore di Higgs e i termini di Yukawa sono dati da (gli indici i, j sono di famiglia):

−λ(φ†φ− v2)2 + QiLM

Dij D

jRφ+ h.c.+ Qi

LMUijU

jRφ

α + h.c. (76)

Questa espressione si puo semplificare con un cambio di base, in quanto ogni generica matrice M si puo diagonalizzare

con una matrice unitaria a destra e una a sinistra: U †LMUR = D con D matrice diagonale. Per dimostrare questo,

cominciamo con l’osservare che cosı come un numero complesso si puo scrivere ρeiθ con ρ = ρ∗, eiθe−iθ = 1, una

generica matrice nxn complessa si puo sempre scrivere M = HU con H hermitiana e U unitaria; M e definita da 2n2

parametri mentre H e U hanno n2 gradi di liberta ciascuna. Infatti MM † e hermitiana e definita positiva e posso

quindi diagonalizzarla con autovalori positivi MM † = V †DV , V unitaria, e H =√MM † = V †√DV ; posso sempre

fissare le fasi di V in modo che gli autovalori di H siano positivi (sono le masse fisiche). Dalle equazioni sopra si ricava

U = (MM †)−12M = V † 1√

DVM . Si verifica facilmente che (V †√DV )(V † 1√

DVM) = M ; inoltre nel caso particolare in

cui ci sia un autovalore nullo, ad esempio D33 = 0, basta prendere ( 1√D

)33 = r con r numero reale qualsiasi. A questo

punto, basta prendere come UL la matrice che diagonalizza H , cioe U †LHUL = D e scegliere poi UR = (U †

LU)−1. In

questo modo quindi U †LMUR = (U †

LHUL)(U †LU)(U †

LU)−1 = D.

A questo punto, nella (76) posso fare il cambio di base QL → U †QLQL, UL → UUR

UR, DR → UDRDR con le U

matrici diagonali. Osservazione importante: questo cambio di base e ammesso perche non cambia i termini cinetici

nella (12) e quindi gli stati che si propagano restano invariati. Posso scegliere una mase in cui MU e diagonale,

U †QLMUUDR

= Diag(mui ) dovemu

i sono gli autovalori , che sono reali e posso scegliere positivi tramite una ridefinizione

delle fasi dei campi UR. Una volta fatto questo, la rotazione dei QL e fissata e il massimo che posso fare su MD e

renderla hermitiana. E’ facile vedere che per far questo, una volta scritto MD = HU , basta scegliere UDR= U †U †

QL.

Posso quindi riscrivere la (76), senza perdere di generalita, come

−λ(φ†φ− v2)2 + QiLΛD

ijDjRφ+ h.c.+ λu

i QiLU

iRφ

α + h.c. HD = H†D, λ

ui > 0 (77)

con Λ matrice 3x3 hermitiana. Veniamo ora alle masse dei quarks, che si ottengono dalla (76) con la sostituzione

φ→ 〈φ〉:

vDiLΛD

ijDjR + h.c.+ λu

i vUiLU

iR + h.c. (78)

Occorre adesso diagonalizzare Λ per passare alla base fisica degli autostati di massa: DL,R → V CKMDL,R. E’ facile

vedere che l’effetto di questa trasformazione, oltre che diagonalizare i termini di massa che diventano:

mdiD

iLD

iR + h.c.+mu

i UiLU

iR + h.c. (79)

ha come unico altro effetto quello di cambiare le correnti cariche, che diventano

La matrice di Cabibbo-Kobaiashi-Maskawa e una matrice unitaria 3x3 Uij = 〈ui|U |d〉 dove i e l’indice di flavor.

Posso ridefinire le fasi dei campi in modo che U sia reale? Se ui → eiθiui, di → eiθidi ho che Uij → ei(θi−θj)Uij ≡eiθijUij . Il numero delle fasi indipendenti non e pero 2x3=6 come ci si potrebbe attendere, in quanto c’e una invarianza

per riparametrizzazione con una fase overall: θi → θi + θ, θi → θi + θ ⇒ θij → θij . POsso quindi fissare a zero la fase

di un campo, poniamo u1, e considerare le fasi relative a questa, che sono dunque 5. Quante fasi indipendenti ci sono

in U? In principio sono n2, pero devo tenere conto delle relazioni di unitarieta UikU∗jk = δij . Quelle con i = j non

dicono nulla sulle fas ma solo sui moduli, quindi per le fasi ho n(n−1)2 = 3 relazioni. In totale quindi 9-3=6 fasi. Coi

5 gradi di liberta non riesco a eliminare tutte queste fasi; ne rimane una libera. In generale ho n2 − n(n−1)2 = n(n+1)

2

fasi libere in una matrice unitaria nxn e 2n−1 possibili ridefinizioni; posso rendere la matrice reale se 2n−1 ≥ n(n+1)2

cioe 1 ≤ n ≤ 2; in pratica solo n = 1, 2 lo consentono. Nel caso n = 3, il numero di parametri iniziale e n2 = 9. Con 5

ridefinizioni di fase ho un totale di 9 − 5 = 4 gradi di liberta di cui uno, come si e visto, e una fase ineliminabile e gli

altri 3 sono angoli di rotazione ad esempio.

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Riferimenti bibliografici

[1] L.B. Okun, “Leptoni e quark”, Edizioni Mir

[2] G. Altarelli, “The Standard Electroweak Theory and Beyond”, hep-ph/0011078; J. Erler, P. Langacker, “Status of

the Standard Model”, hep-ph/9809352

[3] M. Froissart, Phys. Rev. 123, 1053 (1961)

[4] G. ’t Hooft, Nucl. Phys. B33, 173 (1971)

[5] K. Hagiwara et al., Phys. Rev. D66, 010001 (2002); vedi anche la pagina web del Particle Data Group

http://pdg.lbl.gov/

[6] [LEP collaborations] arXiv:hep-ex/0101027; vedi anche LEP Electroweak Working Group homepage

http://lepewwg.web.cern.ch/LEPEWWG/

[7] Vedi ad esempio A. Ereditato, Eur. Phys. J. directC 4S1 (2002) 38, e le citazioni nell’articolo

[8] K. Kaneyuki [SUPER-KAMIOKANDE Collaboration], Nucl. Phys. Proc. Suppl. 112 (2002) 24.

[9] V. V. Gorbachev et al. [SAGE Collaboration], Phys. Atom. Nucl. 65, 2156 (2002) [Yad. Fiz. 65, 2219 (2002)];

J. Farine [SNO Collaboration], Phys. Atom. Nucl. 65 (2002) 2147 [Yad. Fiz. 65 (2002) 2210].

[10] S. Scherer, arXiv:hep-ph/0210398; vedi anche http://castore.mib.infn.it/ nason/misc/chiral-lagrangians.ps.gz

[11] vedi ad esempio M. Diwan, arXiv:hep-ex/0211001 e riferimenti all’interno

[12] Ta-Pei Cheng e Ling-Fong Li, “Gauge theory of elementary particle physics”, Oxford Science Publications

[13] T. Hambye and K. Riesselmann, Phys. Rev. D 55 (1997) 7255 [arXiv:hep-ph/9610272].

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