1

Interazione debole di corrente neutra;il “Modello Standard” della Teoria

Elettrodebole

Bibliografia:- F.Halzen, A.D.Martin , “Quarks & leptons”, Wiley & Sons, 1984 cap. 13 e 15- D.H. Perkins, “Introduction to High Energy Physics”, Addison-Wesley ,1987 cap. 7 - W.E. Burcham, M.Jobes “Nuclear and Particle Physics, Longman 1995, cap. 13- I.J.R.Aitchison, A.J.G.Hey, “Gauge Theories in Particle Physics”, Hilger, 1989, cap. 10

Slides: http://www.pd.infn.it/~ugs/didattica/fisica/FisicaSubNucl/2011

2

Interazione debole di corrente neutra

Nell’ esperimento con camera a bolle GARGAMELLE al PS del CERN(fascio “Wide Band” di , con energia del fascio primario di protoniEp= 26 GeV) furono osservati, oltre agli eventi di corrente carica alcuni centinaia di eventi senza muone nello stato finale:

XN

XN

interpretati come “processi di corrente neutra”:[successivamente confermati dall’ esperimentoHPWF (spettrometro a FNAL, 1974)]

adroni

nucleone

X

Z0

e 3 eventi di scattering elastico -elettrone :

ee

3

Inter.debole di corrente neutra

(come vedremo, la sezione d’ urto s = 2ME, dove M e’ la massa della targhetta, in questo caso l’elettrone, e’ 3 ordini di grandezza minore cheper lo scattering su nucleone: il processo e’ quindi molto piu’ raro)

ee e-

e-

Z0

e-

e-

[N.B.: con un fascio di e il processo

avrebbe contributi sia di C.N. che di C.C.:

e-

ee

Z0

e-e-

e

e

W

e-

ee ee

+

la sua osservazione non sarebbe di per se’ evidenza dell’ esistenza di una corrente neutra ]

4

In analogia con la teoria per l’ interazione di corrente carica, descrittadall’ elemento di matrice:

Int.debole di corrente neutra

x

)]()1()'()][()1()'([ 55 kukupupuGM eduCCif (2.15)

l’ elemento di matrice di transizione di corrente neutra puo’ essere scritto:

(4.1) )]()1()'()][()()'([ 55 kukupuggpuGM qqA

qVq

CNif

dove le costanti gV,Aq parametrizzano il fatto che l’ interazione possa non

essere “pura V-A” (come invece e’ quella di C.C. che si manifesta nel DIS,quando i quark nel nucleone possono essere considerati liberi, onel decadimento del muone ). Abbiamo visto come le sez. d’urto di C.C. che derivano dalla (2.15) sianodate dalle eq. (2.20) e (2.21):

(2.20)

)()()1(2

)()1()(2

22

22

xqxqyxsGdxdyd

xqyxqxsGdxdyd

CC

XN

CC

XN

(2.21)

[ memo:variabile di inelasticita’

)cos1(21' *

EEEy

momento frazionario del partone ]

angolo di scattering nel CM

5

Int. debole di corrente neutraCalcoli analoghi a partire dalla (4.1) portano alle espressioni per le sez. d’urto di corrente neutra:

dove:

)()1()()()1()(2

)()1()()()1()(2

22222

22222

xqyxqgxqyxqgxsGdxdyd

xqyxqgxqyxqgxsGdxdyd

RL

CN

N

RL

CN

N

(4.2)

)(21

,qA

qV

qRL ggg (4.3)

Le costanti gL,R misurano direttamente l’ accoppiamento alle componentileft-handed e right-handed dei quarks: uu RL )1( 5,

[ Infatti, in (4.1):

Rq

qA

qV

qLq

qA

qV

qq

qA

qV

qA

qV

q ugguugguuggggu )2

()2

()]1(2

)1(2

[ 55

qqA

qV

qV

qA

qA

qVqq

qA

qVq ugggggguuggu )()( 5555

Se fosse gV=gA=g (ossia interazione pura V-A in (4.1) con costante G’=Gg ),si avrebbe gL=g, gR=0, e le (4.2) si ricondurrebbero alla forma (2.20), (2.21)delle CC, con G’ al posto di G ]

6

Integrando su x le sez. d’ urto differenziali (2.20, 2.21) e (4.2), si ottiene:

Int. debole di corrente neutra

dove si sono definite le quantita’, integrali delle pdf q(x), q(x):

QQysGdyd

QyQsGdyd

CC

XN

CC

XN

22

22

)1(2

)1(2

QyQgQyQgsGdyd

QyQgQyQgsGdyd

RL

CN

N

RL

CN

N

22222

22222

)1()1(2

)1()1(2

(4.4)

(4.5)

per le correnti cariche

per le correnti neutre

1

0

1

0

1

0

1

0

)]()([)(

)]()([)(

dxxdxuxdxxqxQ

dxxdxuxdxxxqQ(4.6)

7

Si vede allora che valgono le:

Int.debole di corrente neutra

che sono indipendenti dalle funzioni di struttura q(x) delnucleone, permettendo di determinare le costanti di accoppiamento gL,R

prescindendo dalla loro conoscenza.

CC

NR

CC

NL

CN

N

CC

NR

CC

NL

CN

N

dydg

dydg

dyd

dydg

dydg

dyd

22

22

(4.7)“relazioni diLlewelling-Smith”

Come vedremo, tali relazioni sono una delle basi per la determinazionedell’ angolo di Weinberg nell’ ambito del “Modello Standard” dellaTeoria unificata elettrodebole (QEWD) dalle misure di ‘bassa energia’(s = 2EmN << MZ, massa del bosone intermedio) e quindi per la predizionedella scala di massa dei bosoni mediatori dell’ interazione debole.

8

Int. debole di corrente neutra

Dati dall’ esperimento CHARM al CERN SPS [Z.Phys. C36 (1987),611]:

Dal ‘best fit’ ai dati:

L’ interazione debole di corrente neutra non e’ ‘pura V-A’.

010.0042.0

008.0287.02,

2,

Rq

Lq

g

g

AVR ggg ,0

QyQ )1( 2

QQy )1( 2

Correnti Cariche Correnti Neutre

Gli andamenti delle NC non sonomolto diversi daquelli delle CC

gR2 e’ piccolo

[ cfr. eq. (4.7) ]

piccolo

9

Esperimento CHARM

evento di CC

evento di CN

(Cern-Hamburg-Rome-Moscow collaboration)[Nucl. Instr. Meth. 178 (1980) 27 ]

Calorimetro:78 moduli marmo-scintillatore (ognuno di 8 cm spessore)+ tubi a drift proporzionali, circondati da Fe magnetizzato

Massa fiduciale della targhetta : 65 tons

CDHS

10

Corrente neutra: “settore -elettrone”A partire dagli anni ’80, con il crescere delle dimensioni e complessita’ degliesperimenti (massa della “targhetta”, fino a varie tonnellate di materiale, capacita’ di rivelazione elettronica degli eventi…) si e’ resa disponibile unanotevole quantita’ di dati relativi anche ai processi di scatteringneutrino- elettrone:

(questi ultimi con esperimenti presso i reattori nucleari).Le sezioni d’urto implicate, proporzionali a s=ECM

2 [vedi eq.(4.5)], sono 3ordini di grandezza inferiori (s=2Eme) rispetto allo scattering -nucleone(s=2EmN); di qui la maggior difficolta’, ed incertezza statistica nei risultati,degli esperimenti.

ee

ee

ee

ee

11

Corrente neutra: settore -eL’ elemento di matrice del processo e’ lo stesso visto per il caso -N in (4.1):

dove ora la corrente “adronica” del quark e’ sostituita dalla corrente leptonicadell’ elettrone, ed in essa gV,A sono a priori diverse dalle corrispondenticostanti gq

V,A in (4.1) [vedremo che in effetti lo sono, esattamente secondo quanto previsto dal “Modello Standard”] .

)]()1()'()][()()'([ 55 kukupuggpuGM eAVeCNif (4.8)

Le sezioni d’urto osservabili sono esprimibili in questo caso direttamente comesezioni d’urto ‘point-like’ [ l’ elettrone e’ puntiforme, a differenza del nucleone,nel quale abbiamo l’ integrazione su q(x)]; in stretta analogia con le (4.5)viste per N, abbiamo:

2222

2222

)1(

)1(

RL

CN

e

RL

CN

e

gygsGdyd

yggsGdyd

)(21

, AVRL ggg

dove al solito:(4.9)

[nota: il fattore 2 al denominatore in (4.2) e’ dovuto al considerare una targhetta isoscalare nello scattering N, e qui non e’ presente]

12

Corrente neutra: settore e-e

Per lo scattering

si deve tener conto di un ulteriore contributo nella componente left-handed dovuto al processo di corrente carica:

Integrando su y le (4.9), le eq. delle sezioni d’urto totali sono rappresentate daellissi nel piano (gV,gA):

ee ee

e-

e

e

W

e-

2222

)1( RL

CN

e

gyGsGdyd

e

)1( LL gG con

222

222

3

3

AAVVCN

e

AAVVCN

e

ggggsG

ggggsG

13

Corrente neutra: settore -e

L’ ellisse per il processo e’ spostata a causa del termine di C.C. Cio’ permette di risolvere la ambiguita’ di segno nel rapporto gV/gA che si avrebbe dai soli dati con neutrini del mu.

Infine , la soluzione “dominante assiale”: gA-0.5 (che e’ quella prevista,come vedremo, dal Modello Standard) e’ deteminata dagli esperimenti di DIS elettromagnetico eN con fasci di e- polarizzati (eseguiti a SLAC),studiando la (piccola!) asimmetria tra le sez. d’urto con fasci e- di diversapolarizzazione, dovuta alla corrente debole.

ee ee

gV

gA

[Sakurai,Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.31 (1981), 375]

14

Esperimento di DIS e.m. con fasci polarizzati

Esperimento a SLAC con fasci polarizzati su targhetta di deuterio:

XeDe RL 2,

Targhetta isoscalare(egual numero di protoni e neutroni:non richiede la conoscenza separata di u(x),d(x)per il calcolo delle asimmetrie)

Si misura, con alta statistica:

LR

LRDISA

[Prescott e collab., Phys.Lett. B77 (1978),347; Phys.Lett. B84 (1979), 524 ]

15

Esperimento di DIS e.m. con fasci polarizzati

Dall’ interferenza tra i processi e.m.(grande) e debole (piccolo):

)()1(1)1(1)(

22)( 2

222 xb

yyxaGqqA F

DIS

con a(x),b(x) funzioni della variabile x di Bjiorken e di gV,gA

[ per maggiori dettagli, vedi P.A.Sauder in ‘Precision tests of Standard Model, Langakher,1995]

Risultato:

262 )/(102.42.685 cGeV

qADIS

e-L,R

Z0

e-L,R

+

e-L,R

e-L,R

2

L,R

N N

16

Esperimento CHARM2

420 moduli (piani di vetro +tubi a streamer)

Massa: 600 tons

36 m

[ Nucl.Instr.Meth. A278 (1989) 670; Nucl.Instr.Meth. A325(1993) 92 ]

Misura N Ned anche:e e

- Grande massa- Basso Z (minimizza il mult.scattering dell’elettrone)

05.0)(

23.0

GeVEE

E

)(17

GeVEmrad

17

Esperimento CHARM2

E2 (GeV)

variabile discriminante tra e e e N N

Le misure con neutrini (basso q22ME)di gA,gV sono in ottimo accordo conquelle provenienti dallo scattering e+e- …a LEP (vedi dopo), fatte a momenti trasferiti molto piu’elevati (q2MZ

2 (90 GeV)2)

gA

gv

200 GeV

e

ee E

m2

notarela scala…

18

Il “Modello Standard” della teoria elettrodebole

La teoria elettrodebole unificata ( QEWD: Quantum Electro-Weak Dynamics) descrive in un’ unica teoria di campo di guage, non abeliana,l’ interazione debole (di CC e di CN) e la QED.

Il cosiddetto “Modello Standard” dell’ interazione elettrodebole [proposto da Weinberg,Salam ancora nel 1967, prima della scopertadelle correnti neutre (1973)] si basa sul gruppo di simmetria SUL(2) UY(1):

esso suppone l’invarianza dell’ interazione (ossia della lagrangiana che ladescrive) rispetto a due trasformazioni locali ( dipendenti dalle 4-coordinate)di gauge indipendenti dei campi fermionici dei leptoni e dei quarks: - del gruppo di simmetria SU(2), che ‘genera’, attraverso la derivata covariante nella lagrangiana, i termini di interazione debole) - e del gruppo U(1) (che genera, essenzialmente come in QED, l’ interazione e.m.)

19

Il Modello Standard

I campi fermionici spinoriali sono organizzati in doppietti di SU(2)(doppietti di “isospin debole”) per quel che riguarda la loro componente“left-handed”:

ed in singoletti di SU(2) per quel che riguarda la componente right-handed:

LLLLL b

tsc

du

,,,

,,e[ sono le tre famiglie leptoniche, e si sono indicate le tre famigliedi quarks di tipo (u,d): up,down/ charm,strange / top,bottom ;con si intende lo spinore del fermione considerato:

; inoltre , ecc…. ]

,....,, u

,....,

....,,,, RRRRR cduR

(4.10)

(4.11)

)1(21

5L

20

Le trasformazioni di gauge dei campi spinoriali sono:

Il Modello Standard

dove sono i tre generatori del gruppo SU(2)(la loro rappresentazione nello spazio 2 X 2 degli stati di isospin debole sono le matrici di Pauli: )

Rxi

RR

Lxxai

LL

e

e

)(

))()((

'

'

(4.13)

),,( 321

2/

))(),(),(( 321 xxx

e (x) sono 4 funzioni arbitrarie delle 4-coordinate.

[ la (4.13) costituisce per la QEWD la relazione di trasformazione che per laQCD , basata sul gruppo di simmetria SU(3) con 8 generatori che agisce su tripletti di colore, abbiamo visto essere data dalla prima delle eq.(3.1):

)()()( )( xexUx ixig

iiaa a=1,…8

i =1,2,3 ](3.1)

La derivata covariante, che in QED e’ [eq. (1.2)]:

BgWgiD '2

in QEWD diviene:

eAiD

21

Il Modello StandardLa parte fermionica della lagrangiana del sistema, che in QED e’ data da:

[ da questa discende, attraverso le eq. di Eulero-Lagrange, l’ “eq. del moto” (1.3) della QED: ;

diventa:

QED

QEDferm

Lmi

AemimDL

int

.

)(

)()(

0])([ meAi

quarkleptQEWDferm LLL .

sono i campi spinoriali dei fermioni elettricamente carichi ]...,, du

,,

___

''2

),(el

RR

LLlept BgiBgWgiL

bsddtcuu

RR

LLquark uBgiu

du

BgWgiduL,,,,

___

''2

),(

dove e B(x) sono i campi vettoriali associati alla trasf. di gauge (4.12). [ Nota: In (4.14), si sono indicati con d=(d,s,b) gli autostati di quark di tipo down gia’ ruotati dalla matrice CKM: q’=UCKMq rispetto agli autostati di massa ].

))(),(),(( 321 xWxWxWW

(4.14)

22

Sviluppando in (4.14) i termini in ,

Il Modello Standard....

0110

1

WW

AeLQED .int

,,

5

_

5

_.int )1(

21)1(

21

2ellept WWgL

,,

0_

22

20

5

_0

5

_2/122

)'('2)1(

21)1(

21

2)'(

el

Zgg

gZZgg

,,

_

2/122 )'('

el

Agg

gg

W- W+

“correnticariche”

“correnti debolineutre”

“correntee.m.” (=> QED)

Z0

e un termine analogo si ha per Lint.quark

A

,

,

(4.15)

g+

g

egg

gg

2/122 )'('

2/)'( 2/122 gg

I3

I3l

la parte di interazione per i leptoni, corrispondente ae’:

23

Per identificare l’ ultimo termine in (4.15) con l’interazione e.m. LQEDint ,

deve essere:

Il Modello Standard

30 cossin

sincos

WB

ZA

WW

WW

2/122 )'/(cos gggW “angolo di Weinberg”:tutte le costanti di accoppiamentodi tutti i fermioni ai bosoni intermedinello SM sono esprimibili in funzionedi quest’ unico parametro

dove:

eggggg W sin)'/(' 2/122 carica elettrica

Dal meccanismo di rottura spontanea della simmetria, sviluppando iltermine di massa del campo scalare di Higgs [come verra’ discusso nel Corso di Teoria delle Int.Fondamentali; vedi ad es. Halzen, cap.15 ], si ottiene inoltre: MW = vg/2, MZ= v(g2+g’2)1/2/ 2

e quindi:valore di aspettazione nel vuoto del campo di Higgs

(4.16)

(4.18)

(4.17)

WZW MM cos

con:

])'/('sin 2/122 gggW [ e quindi:

21

21

iWWW

24

Il Modello Standard

L’ identificazione del primo in (4.15) con l’elemento di matrice dell’ interazionedi C.C. V-A [cfr. eq.(2.15)]:

])1(][)1([2 55 uuuuGM eeif

porta alla relazione (a “livello albero” della teoria perturbativa; tale relazione verra’ modificata dalle correzioni radiative, che modificano ilpropagatore del bosone intermedio W):

WWW Me

MgG

22

2

2

2

sin882

W(4.19)

[ il propagatore di un bosone massivo e’ 1/(q2-M2W), dove

q2 e’ il momento trasferito dal bosone; la costante di fermi G e’ misuratain processi, come il decadimento nucleare o il decadimento del muone,nei quali q2 << MW

2 (100 GeV)2 ]

2G

W

egsin2222

22g

1/ MW2

WMg

8

2

25

Il Modello Standard

)(8 52

2

AVW

ggMg

)()1(

25

_5

_

AVCNif ggGM

Analogamente, le costanti di accoppiamento vettore e assiale-vettore che entrano nella definizione delle correnti neutre per calcolare le ampiezze di scattering neutrino-leptone [eq.(4.8)]:

gA=-1/2gV=-1/2 + 2 sin2W

costante di Fermi (dal decadimento del muone)

sono date confrontando (4.8) con il termine di corrente neutra in (4.15) :

(4.8)

Z0

)(2 5 AV ggG

)cos22/()')(22/1( 2/122Wggg

5

2

21

21sin2)cos22/( WWg

(4.20)

2

2

2

cos1

W

W

Z MM

2

2

8 WMg

5

22

2

2

2

21

21sin2cos

cos8

WW

W

W Mg

Si ottiene quindi:

26

Il Modello StandardLa relazione che generalizza la (4.20) a tutti i fermioni (leptoni carichi,neutrini, quarks) e’ la seguente:

(4.21)

dove I3f e’ la 3a componente dell’ isospin debole ( I3

, u = +1/2, I3e, d =-1/2 )

e qf e’ la carica elettrica del fermione in unita’ di carica elementare.

Le (4.21) sono riassunte nella tabella seguente:

Wfff

V

ffA

qIg

Ig

23

3

sin2

W

W

W

e

fV

fAf

bsdtcu

ev

ggqf

2

2

2,,

sin)3/2(2/12/13/1,,sin)3/4(2/12/13/2,,

sin22/12/11,,2/12/10

(4.21’)

27

Il Modello Standard Riassumendo, la QEWD prevede l’ esistenza, in aggiunta al fotone A,dei 3 bosoni massivi W

e Z0, le cui masse sono in relazione con le

costanti di accoppiamento G, gA, gV misurate nei processi di int. debolidi CC e CN a basse energie. Tali relazioni sono (a livello albero dell’ espansione perturbativa della teoria):

La determinazione piu’ precisa della costante di Fermi G deriva dal decadimento del muone:

WWMeG

22

2

sin82

2/1

2sin2

WW G

M

Wfff

V

ffA

WWZ

qIg

Ig

MM

23

3

sin2

cos/

(4.22)

W

G

g=e/sinW

e

e

ee

2

2

3

52

1921

mmf

mG efattore dispazio delle fasi

Vita media osservata: s6102.2 2510167.1 GeVG

[cfr.cap.2]

(=e2/4)

28

Il Modello Standard

L’ angolo di Weinberg e’ determinato dalle misure di scattering -N e -elettrone di CN. Integrando sulla variabile di inelasticita’ y=Eadr/E le relazioni di Llewelling-Smith [eq.(4.7)] si ha:

Inoltre, integrando le relazioni (4.5) per le sez. d’urto di CC, poiche’:

CCNR

CCNL

CNN

CCNR

CCNL

CNN

gg

gg

22

22

1

0

2

31)1( dyy si vede che , se si trascura il

contributo di antiquark: 1

0

0)( dxxqxQ

[ questa approssimazione va in realta’ corretta; abbiamo visto dalle misure di F2

N e F3N ]: 3/CC

NCCN (4.24)

(4.23)

29

Misura di sin2W dai neutrini

Inserendo quindi (4.24) in (4.23) si ha:

22

22

3

3/

RLCCN

CNN

RLCCN

CNN

ggR

ggR

2/)(, AVRL ggg Utilizzando: e le relazioni (4.21) previste dal Modello Standard per gA,gV, si ottiene, per una targhetta isoscalare (egualnumero di protoni e neutroni ) :

2,

2,

2, )()( d

RLu

RLRL ggg

WW

WW

R

R

42

42

sin920sin

21

sin2720sin

21

(4.26)

(4.25)

[Sakurai,Ann.Rev.Nucl.Part.Sci.31 (1981), 375]

I risultati sperimentali possono esserevisualizzati nel piano La curva che mostra la dipendenza da sin2W

e’ detta ‘naso di Weinberg’.

),( RR

30

Misura di sin2W dai neutriniCon gli esperimenti di scattering di “seconda generazione” (anni ’80-90)la determinazione dell’ angolo di Weinberg si e’ resa molto precisa.Ad esempio, gia’ nel 1986 (tenendo conto delle correzioni dalle PDF degliantiquark), dai dati delle collaborazioni CHARM e CDHS:

Una determinazione indipendente viene dal settore -elettrone;dalle eq. (4.9) si ha, con calcoli analoghi [es. 4.1]:

WWCN

e

WWCN

e

sG

sG

422

422

sin3

16sin34

31

4

sin3

16sin414

010.0231.0sin 2 W

[Part.Data Group, 1992]

004.0230.0sin2 W

[CHARM: Phys.Lett.B177(1986),446; CDHS : Phys.Rev.Lett. 57 (1986), 298 ]

in pieno accordo con i dati neutrino-nucleone.

[da Perkins, Fig. 9.8 ]R

R

anno 1984

31

Misura di sin2W dai neutrini

(x=sin2W)

Compilazione di risultati dagli esperimenti di “seconda generazione”(CERN e Fermilab):

errore sperimentale (stat+sist.)

incertezza teoricaCHARM2 (e, e, 1993):sin2W=0.232 0.006 0.007

32

Il Modello StandardLa predizione (a livello albero) del Modello Standard, dai dati ottenutidalle misure a bassa energia, per le masse dei bosoni intermedi e’ quindi:

GeVMM

GeVGeVGG

M

WWZ

WWWW

7.88cos/

8.77sin

3.37sin

2/sin2

2/1

2

Le correzioni radiative, come vedremo, determinano uno spostamento verso l’ alto di circa 3 GeV di tali predizioni. Come vedremo , la massa misurata dei bosoni e’:

GeVMGeVM

Z

W

)007.0187.91()04.045.80(

in ottimo accordo con la ‘struttura fine’ delle predizioni dalla teoria.

( sin2W=0.23 )

33

La scoperta di W/Z

CERN, 1982: produzione, accumulazione e accelerazione di anti-protoni

SppS

34

La scoperta di W/ZEsperimento UA1 (1983):Il primo candidato W→e

Esperimento UA2:Energia delle “torri calorimetriche”evento candidato Z→e+e-

Esperimento UA1:

35

La scoperta di W/Z“missing transverseenergy”

electron pT

[Ganvey J , Rep. Prog Phys 50 (1311), 1987]

ECM=540 GeV

La sezione d’ urto di produzione di Wal CERN SppS (√ s= 540 GeV) e’ dell’ ordine del nb: Nev=Lint

Dal fit alla distribuzione della “massa trasversa”:

GeVsyststatppM TeTT ))(7.2)(0.15.83()cos(1(2

2/1

(UA1, 1984)

36

Massa del W

CDFW

Circa ~20 anni dopo,al Tevatrone (ECM=1.9 TeV):

Esperimento CDF

CERN, SppS

Tevatron collider

Moriond, 2002Discuteremo successivamentel ‘importanza delle misure diprecisione delle masse deibosoni vettori…

37

Esercizio 4.1

2222

2222

)1(

)1(

RL

CN

e

RL

CN

e

gygsGdyd

yggsGdyd

Abbiamo visto che per lo scattering v-e le sez.d’urto differenziali sonodate da:

(4.9))(

21

, AVRL ggg con:

e inoltre, nel ModelloStandard: gA= -1/2 gV= -1/2 + 2 sin2W

Allora: WWAVL ggg 22 sin21

21sin2

21

21)(

21

WWAVR ggg 22 sin21sin2

21

21)(

21

Integrando le (4.9) su y, essendo 1

0

2

31)1( dyy , si ha:

)3/( 222

RLCN

e ggsG

)3/( 222

RLCN

e ggsG

38

Esercizio 4.1(cont.)

WWWW

WWWRL

CNe

sGsG

sGggsG

242

242

424

222

2

sin4sin3

1614

sinsin34

41

3sinsinsin

41)3/(

WWWW

WWWRLCN

e

sGsG

sGggsG

242

242

4242

222

sin34sin

316

31

4sin

31sin

34

121

sinsinsin41

31)3/(