Controllo dei Robot A. Rizzo Dinamica del manipolatore L=T-U Lagrangiana del sistema meccanico T =...

Controllo dei Robot A. Rizzo

Dinamica del manipolatore

L=T-U Lagrangiana del sistema meccanico

T = Energia cineticaU = Energia potenziale

iii

LL

dt

d

Equazioni di Lagrange

i = 1, 2, …, n

i è la forza generalizzata associata alle coordinate generalizzate i


Per un manipolatore a catena aperta la scelta più naturale per le coordinate generalizzate è data dalle variabili di giunto q = [1, 2, …, n]T

Alle forze generalizzate daranno contributo le forze non conservative, in altre parole le coppie generate ai giunti dagli attuatori, le coppie d’attrito dei giunti, nonché le coppie ai giunti indotte da forze esplicate dall’organo terminale sull’ambiente in situazione di contatto.

Il termine, coppia, è usato come sinonimo della forza generalizzata al giunto.

iii

LL

dt

d


Determinazione dell’energia cinetica

n

imii

TTT1

energia cinetica del braccio i energia cinetica del motore che aziona il giunto i.

i

i V i

T

i dVppT

**

2

1

vettore velocità lineare densità della particella elementare di volume dV


ipp

r

r

r

r i

iz

iy

ix

i

*

baricentro

Particellaelementare

ii

i

V

i dVpm

p

*1


iiiii rSprppii

)(*

i

i V i

T

i dVppT

**

2

1Sostituendo nella :

iii

iii

ppmdVpp T

V

T

2

1

2

1

02

12

2

12 *

iii

ii V ii

T

V iiT dVppSpdVrSp

iV iiTT

iV iiiTT

iii

dVrSrSdVrSSr

2

1

2

1

traslazione

mutuo

rotazione

S(i)ri = -S(ri)i


0

0

0

ixiy

ixiz

iyiz

i

rr

rr

rr

rS

iT

iV iiiTT

i ii

IdVrSSr 2

1

2

1

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

iziyiziyizix

iziyizixiyiz

izixiyiziziy

iii

iii

iii

i

III

III

III

dVrrdVrrdVrr

dVrrdVrrdVrr

dVrrdVrrdVrr

I

22

22

22

tensore d’inerzia relativo al baricentro del braccio i espresso in terna base


poiché la posizione del braccio i dipende dalla configurazione del manipolatore, il tensore d’inerzia, espresso in terna base, risulta dipendente dalla configurazione.

Se la velocità del braccio i viene espressa con riferimento ad una terna solidale al braccio i (secondo a convezione di D – H), si ottiene:

iTi

ii R

matrice di rotazione dalla terna solidale al braccio i alla terna base

Ti

ii RIRI

ii

Tensore espresso con riferimento alla terna i (tensore costante)

Se la terna solidale al braccio i coincide con la terna centrale d’inerzia, i prodotti d’inerzia sono nulli e il tensore d’inerzia relativo al baricentro è una matrice diagonale


iTi

ii

Ti

T RIRppmTiiiii

2

1

2

1

qJqJqJ

qJqJqJp

ii

i

i

ii

i

i

i

ii

pipp

0010

1

...

...

1

1

0...0...

0...0...

000 1

1

i

i

ii

i

i

ii

JJJ

JJJ ppp

rotoidale giunto unper

prismatico giunto unper 0

rotoidale giunto unper p

prismatico giunto unper

10

11

1

i

j

jj

j

p

zJ

pz

zJ

i

j

i

j


qJRIRJqqJJqmT i

i

iii

ii

Ti

ii

TTp

T

pT

002

1

2

1

Per l’energia cinetica dell’attuatore:

Energia cinetica del braccio

il motore del giunto i si ritiene posto sul braccio i-1

Le coppie ai giunti sono fornite dai motori tramite opportuni organi di trasmissione meccanica del moto, in alternativa si possono avere giunti azionati con motori calettati direttamente sull’asse di rotazione senza organi di trasmissione.


iiiiiii m

im

Tmm

Tmmm IppmT

2

1

2

1

Massa del rotore velocità lineare del baricentro del rotore

tensore d’inerzia del rotore relativo al baricentro velocità angolare del rotore

ii mir qk

Rapporto di trasmissione meccanica

Velocità angolare del rotoreiii mirim zqk 1

Velocità angolare del braccio i-i versore dell’asse del rotore


qJ

qJp

i

i

i

i

mm

mpm

0

0...0...

0...0...

000 1

11

i

i

ii

i

i

ii

mmm

mp

mp

mp

JJJ

JJJ

ij z

1-1,2,...ij

rotoidale giunto unper p

prismatico giunto unper

0

0

11

1

i

ii

i

ji

j

i

j

mr

m

jmj

jmp

k

JJ

pz

zJ

qJRIRJqqJJqmT i

i

i

ii

iii

ii

mTm

mmm

TmTmp

Tmp

Tmm 002

1

2

1


qJRIRJqqJJqmT i

i

i

ii

iii

ii

mTm

mmm

TmTmp

Tmp

Tmm 002

1

2

1

qJRIRJqqJJqmT i

i

iii

ii

Ti

ii

TTp

T

pT

002

1

2

1

n

imii

TTT1

qqBqqqqbT Tn

i

n

jjiij

2

1)(

2

1

1 1

n

i

mTm

mmm

Tmmp

Tmpmp

Ti

ii

T

p

T

pi

i

i

ii

iii

i

i

i

iii

iJRIRJJJmJRIRJJJmqB

1000


n

i

mTm

mmm

Tmmp

Tmpmp

Ti

ii

T

p

T

pi

i

i

ii

iii

i

i

i

iii

iJRIRJJJmJRIRJJJmqB

1000

B(q) è la matrice d’inerzia (nxn) che risulta:SimmetricaDefinita positivaDipendente dalla configurazione

qqBqqqqbT Tn

i

n

jjiij

2

1)(

2

1

1 1


Determinazione dell’energia potenziale

n

imii

UUU1

Energia potenziale del braccio iEnergia potenziale del motore che aziona il braccio i

ii

ii

pgmdVpgU T

V iT

0*

0

vettore accelerazione gravitazionale riferito alla terna base (ad esempio g0 = [0, 0, -g]T se l’asse z è quello verticale)


iii m

Tmm pgmU 0

n

im

Tm

T

iiiipgmpgmU

100

Funzione delle sole variabili di giunto


Equazioni del moto

n

im

Tm

Tn

i

n

jjiij qpgmqpgmqqqbqqUqqTqqL

iiii

100

1 1

)()()(2

1,,,

iii

LL

dt

d

n

j i

mTm

i

Tn

j

n

kjk

i

jk

i q

pgm

q

pgmqq

q

qb

q

L j

j

j

j1

001 1

)(

2

1

n

j

mp

Tmp

Tn

j

n

kjk

i

jk

i

qJgmqJgmqqq

qb

q

L j

ij

j

ij1

001 1

)()()(

2

1


n

j

mp

Tmp

Ti qJgmqJgmqg j

ij

j

ij1

00 )()()(

contributo gravitazionale

Posto

)()(

2

1

1 1

qgqqq

qb

q

Li

n

j

n

kjk

i

jk

i

n

jjij

i

qqbq

L

1

)(

n

j

n

kjk

k

ijn

jjij

i

qqq

qbqqb

q

L

dt

d

1 11

)(


Equazioni del moto

i

n

j

n

kijk

i

jkn

j

n

kjk

k

ijn

jjij qgqq

q

bqq

q

qbqqb

1 11 11

)(2

1)(

i

jk

k

ijijk q

b

q

bh

2

1Posto

ii

n

j

n

kjkijk

n

jjij qgqqqhqqb

)()(1 11


Interpretazione fisica

ii

n

j

n

kjkijk

n

jjij qgqqqhqqb

)()(1 11

Termini di accelerazione

• bii rappresenta il momento d’inerzia visto dall’asse del giunto i, nella configurazione corrente del manipolatore, quando gli altri giunti sono bloccati

• il coefficiente bij tiene conto dell’effetto dell’accelerazione del giunti j sul giunto i.

2jijjqh

Termini quadrati in velocità

• rappresenta l’effetto centrifugo indotto al giunto i dalla velocità del giunto j

hiii = 0 poiché

• rappresenta l’effetto di Coriolis indotto al giunto i dalle velocità dei giunti j e k

0

i

ii

q

b

kjijk qqh

Termini dipendenti solo dalla configurazione

gi(q) rappresenta le coppie generate all’asse del giunto i nella configurazione corrente del manipolatore per effetto della gravità


Coppie di attrito statico

Forze non conservative

qqf ,

)sgn(qFf ss

Forze n.c. che compiono lavoro

Coppie di attuazione ai giunti

Coppie di attrito viscoso

Fv q

Coppie di attuazione a bilanciamento di forze di contatto

esterne JT(q)h


Modello dinamico nello spazio dei giunti

n

j

n

kjkijk

n

jjij qqhqc

1 11

C è una matrice scelta in modo tale da soddisfare :

(tale scelta non è univoca)

hqJqgqFqFqqqCqqB Tsv sgn,


Proprietà notevoli delle equazioni della dinamica

Antisimmetria della matrice CB 2

La scelta della matrice C non è univoca

n

j

n

kjk

i

jk

j

ikn

j

n

kjk

k

ij

n

j

n

kjk

i

jk

k

ijn

j

n

kjkijk

n

jjij

qqq

b

q

bqq

q

b

qqq

b

q

bqqhqc

1 11 1

1 11 11 2

1


Di conseguenza :

n

kkijkij qcc

1

i

jk

j

ik

k

ijijk q

b

q

b

q

bc

2

1Simboli di Christoffel del primo tipo

),(2)(),( qqCqBqqN Antisimmetrica se C viene scelta come visto sopra

In particolare : 0),( qqqNqT Per qualunque scelta della matrice C

Si può dimostrare che tale relazione è una diretta conseguenza del principio di conservazione dell’energia (La derivata totale dell’energia cinetica bilancia la potenza generata da tutte le forze agenti ai giunti del manipolatore)


Linearità nei parametri dinamici

qgqFqFqqqCqqB sv sgn,

),,( qqqY

n

1

12 x n parametri

Baricentro del braccioTensore d’inerzia rispetto albaricentro

Momento d’inerzia del rotore

TimizziyziyyixzixyixxzCiyCixCiii FIIIIIIImmmmiiii ˆˆˆˆˆˆ


Modello Dinamico nello Spazio Operativo

Si vogliono descrivere le equazioni del moto direttamente nello spazio operativo, legando le forze generalizzate e l’insieme minimo di variabili che descrivono posizione e orientamento nello spazio operativo

La caratterizzazione con la lagrangiana nello spazio operativo non consente di trattare con manipolatori ridondanti, in quanto le variabili non costituiscono un set di coordinate generalizzate

Non è infatti possibile descrivere in questo caso i moti interni della struttura provocati da un insieme di forze generalizzate ai giunti il cui effetto sul moto dell’organo terminale sia nullo


Modello dinamico nello spazio operativo

hqJqgqFqFqqqCqqB Tsv )()()sgn(),()(

hqJqBqgqBqqqCqBq T )()()()(),()( 111

)(qJ T

hqJqBqgqBqqqCqBq T )()()()(),()( 111

Forze equivalenti all’organo terminale

qqJx A )(

qqqJqqJx AA ),()(


J = TA()JA quindi TA

TA

T JTJ

qqqJhTqJqBqJqgqBqJqqqCqBqJx ATA

TAAAA ),()()()()()()(),()()( 111

ATAT A

TA hhT

AATAAAAA hqJqBqJqqqJqgqBqJqqqCqBqJx )()()(),()()()(),()()( 111

gBJBg

qJBqCBJBxC

JBJB

AAA

AAAAA

TAAA

1

1

11

qqqJhqJqBqJqgqBqJqqqCqBqJx AT

AAA ),()()()()()()(),()()( 111


Modello dinamico nello spazio operativo

AA

TAAAAAAAAAA hJBJBqJBgBJBqCBJBxB 111

AAAAA hgxCxB

AAAAA hxgxxxCxxB )(),()(


Osservazioni

Il modello è formalmente analogo a quello nello spazio operativo

Come nello studio della cinematica differenziale, nel caso di singolarità non è possibile effettuare l’inversa dello jacobiano e quindi la trattazione necessita di particolari accorgimenti

Il modello è valido anche per manipolatori ridondanti, benché le variabili x non costituiscoo un insieme di coordinate generalizzate

In questo caso la matrice BA caratterizza una pseudo-energia cinetica


Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo

Dinamica diretta: determinare le accelerazioni all’organo terminale assegnando le coppie ai giunti e le forze/coppie applicate all’organo terminale. Per un manipolatore ridondante il modello dinamico nello s.o. non è direttamente utilizzabile

in quanto = JT(q) ha soluzioni in solo se

In modelli di simulazione, si lavora nello spazio dei giunti per poi ottenere le variabili dello s.o. tramite la cinematica diretta

)Im( TJ



Dinamica Inversa: si può invertire la cinematica e lavorare successivamente nello spazio dei giunti

In alternativa si può usare il modello nello s.o. per calcolare le A e poi calcolare le tramite

trasposta dello Jacobiano.

Con tali tecniche la ridondanza non viene sfruttata, in quanto le coppie calcolate non generano moti interni per la struttura



E’ possibile risolvere la cinematica a livello

dinamico

Ricordando

gBJBg

qJBqCBJBxC

JBJB

AAA

AAAAA

TAAA

1

1

11

Il modello nello spazio operativo può essere scritto come

AAAAAAAA hgBJBqCBJBqJxB 11)(



AAAAAAAA hgBJBqCBJBqJxB 11)(

Sappiamo che qqqJqqJx AA ),()(

AAAAAAAA hgBJBqCBJBqJB 11

Poniamo )()()()( 1 qBqJqBqJ ATAA

AATA hgqCqBJ )(



AATA hgqCqBJ )(

Modello nello spazio operativo

AAATA

TA hhJJ )(

Da cui

ATAJ



ATAJ

La soluzione in di questa equazione è

aTA

TAA

TA JqJIqJ ))(()(



aTA

TAA

TA JqJIqJ ))(()(

• Tale soluzione si ottiene tenendo conto del fatto

che è una pseudo-inversa destra di pesata

secondo la matrice B-1

• Il vettore a non dà contributo di forza all’organo

terminale, ma genera moti interni della struttura da

impiegare per la gestione della ridondanza a livello

dinamico

TAJ T

AJ

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