Il curriculo per la cittadinanzaArea Scientifica: matematica

Brunetto Piochi (università di Firenze)

IRRE Toscana, 28 febbraio 2007

Matematica: Perché? Cosa?L’Educazione Matematica contribuisce

alla formazione del pensiero nei suoivari aspetti: di intuizione, diimmaginazione, di progettazione, diipotesi e deduzione, di controllo equindi di verifica o smentita”,sviluppando “in modo specifico,concetti, metodi e atteggiamenti utilia produrre le capacità di ordinare,quantificare e misurare fatti efenomeni della realtà e a formare leabilità necessarie per interpretarlacriticamente e per intervenireconsapevolmente su di essa

(MPI 1985)

La competenza matematicaè la capacità di unindividuo di identificare ecomprendere il ruoloche la matematica giocanel mondo reale, dioperare valutazionifondate e di utilizzare lamatematica econfrontarsi con essa inmodi che rispondonoalle esigenze della vitadi quell’individuo inquanto cittadino cheesercita un ruolocostruttivo, impegnato ebasato sulla riflessione.

(PISA 2003)

Che cosa è PISA?Che cosa è PISA?• Un’indagine internazionale promossa dall’OCSE

(Organizzazione per la Cooperazione e lo SviluppoEconomico) per accertare le competenze deiquindicenni scolarizzati: si svolge con periodicitàtriennale.

• PISA ha l’obiettivo generale di verificare se, e inche misura, i giovani che escono dalla scuoladell’obbligo abbiano acquisito alcune competenzegiudicate essenziali per svolgere un ruolo consapevolee attivo nella società, per continuare ad apprendereper tutta la vita.

• PISA non si focalizza sulla padronanza di contenuticurricolari, ma sulla capacità di utilizzarecompetenzecompetenze acquisite durante gli anni di scuola, utiliper affrontare e risolvere problemi e compiti che siincontrano nella vita quotidiana e per continuare adapprendere.

PRESENTAZIONE DELLPRESENTAZIONE DELL’’INDAGINEINDAGINE

Caratteristiche del progettoCaratteristiche del progetto• Tre ambiti di literacy: lettura, matematica e scienze+ problem-solving (solo nel 2003)• Periodicità triennale con un’area di contenutiprincipale in ciascun ciclo

– PISA 2000 lettura, PISA 2003 matematica, PISA2006 scienze

• Popolazione bersaglio: i quindicenni scolarizzati– PISA 2003: nati nel 1987

• In ogni Paese il campione è costituito da un minimo di150 scuole con un campione di 35 studenti per scuola.• Il campione italiano nel 2003 è stato di 407 scuoleper un totale di oltre 11.000 studenti a rappresentareuna popolazione di circa 500.000 studenti.

Risultati di PISA 2003 - MatematicaRisultati di PISA 2003 - MatematicaH

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L’educazione matematica deve contribuire, insieme contutte le altre discipline, alla formazione culturale delcittadino, in modo da consentirgli di partecipare alla vitasociale con consapevolezza e capacità critica. Lecompetenze del cittadino, al cui raggiungimento concorrel'educazione matematica, sono per esempio: esprimereadeguatamente informazioni, intuire e immaginare,risolvere e porsi problemi, progettare e costruire modelli disituazioni reali, operare scelte in condizioni d'incertezza.La conoscenza dei linguaggi scientifici, e tra essi in primoluogo di quello matematico, si rivela sempre più essenzialeper l'acquisizione di una corretta capacità di giudizio. Inparticolare, l'insegnamento della matematica deve avviaregradualmente, a partire da campi di esperienza ricchi perl'allievo, all'uso del linguaggio e del ragionamentomatematico, come strumenti per l'interpretazione del realee non deve costituire unicamente un bagaglio astratto dinozioni. (UMI 2003)

La formazione del curricolo scolastico non puòprescindere dal considerare sia la funzione strumentale,sia quella culturale della matematica: strumentoessenziale per una comprensione quantitativa dellarealtà da un lato, e dall'altro un sapere logicamentecoerente e sistematico, caratterizzato da una forte unitàculturale.Entrambi gli aspetti sono essenziali per una formazioneequilibrata degli studenti: priva del suo caratterestrumentale, la matematica sarebbe un puro gioco disegni senza significato; senza una visione globale, essadiventerebbe una serie di ricette prive di metodo e digiustificazione. I due aspetti si intrecciano ed ènecessario che l'insegnante li introduca entrambi inmodo equilibrato lungo tutto il percorso di formazione.(UMI 2003)

(Misurare)Modellizzare la realtà

Risolvere e porsi problemiUsare linguaggio matematico erappresentazioni

Argomentare,congetturare,dimostrare

Argomentare,generalizzare,comunicare

Nuclei di Processo

Dati e PrevisioniIncertezza

Relazioni e funzioniCambiamento e Relazioni

Spazio e figureSpazio e Figure

Numero e algoritmi;Quantità

Nuclei di Contenuto

Nuclei di Contenuto

QuantitàQuantificare per organizzare la realtà. Tra i suoi

aspetti più importanti vi sono la comprensione delledimensioni relative, il riconoscimento di modellinumerici e l’uso di numeri per rappresentarequantità e attributi quantificabili degli oggetti delmondo reale (misure e conteggi). Inoltre, la quantitàha a che fare con l’elaborazione e la comprensionedi numeri rappresentati in vari modi.

Ragionamento quantitativo. Componenti essenzialidel ragionamento quantitativo sono: il concetto dinumero, l’uso di diverse rappresentazioninumeriche, la comprensione del significato delleoperazioni, l’avere un’idea dell’ordine di grandezzadei numeri, i calcoli eleganti da un punto di vistamatematico, i calcoli mentali e le stime.

Spazio e formaLo studio della forma e delle costruzioni comporta la

ricerca di somiglianze e differenze ed è strettamente legatoal concetto di “capire lo spazio”. Questo significa impararea conoscere, esplorare e conquistare lo spazio per potervivere, respirare e muoversi in esso con una maggioreconsapevolezza (Freudenthal,1973).

Per ottenere ciò, dobbiamo essere in grado di capire leproprietà degli oggetti e le loro relative posizioni:dobbiamo essere consapevoli di come vediamo le cose edel perché le vediamo così, dobbiamo imparare a navigareattraverso lo spazio e attraverso le costruzioni e le forme.Ciò significa capire la relazione tra forme e immagini orappresentazioni visive, come la relazione tra una cittàreale e le fotografie e le carte topografiche di quella città;significa anche capire come si possano rappresentare glioggetti tridimensionali in due dimensioni, come si creino esi interpretino le ombre e che cosa sia la prospettiva ecome funzioni.

Cambiamento e RelazioniPensare in termini funzionali, cioè pensare in termini di

relazioni, è uno degli obiettivi disciplinari fondamentalidell’insegnamento della matematica.

Ogni fenomeno naturale è la manifestazione di uncambiamento; nella realtà si possono osservare tra ifenomeni molte relazioni, sia temporanee chepermanenti. Alcuni processi di cambiamento comportanosemplici funzioni matematiche e possono essere descritti omodellizzati in base a esse. Le relazioni matematicheassumono spesso la forma di equazioni o diseguaglianze,ma vi possono anche essere relazioni di natura piùgenerale (equivalenza, divisibilità, inclusione, …).

Le relazioni possono essere rappresentate in molti modi(rappresentazioni simboliche, algebriche, grafiche, tabularie geometriche). Rappresentazioni diverse possono essereutili per scopi diversi e hanno proprietà differenti. Ilpassaggio da una rappresentazione all’altra è spesso unprocedimento chiave.

IncertezzaL’attuale “società dell’informazione” offre una gran

quantità di informazioni, presentandole spessocome precise, scientifiche e dotate di un certogrado di certezza. Nella vita quotidiana, tuttavia, ciimbattiamo in risultati elettorali incerti, crolli delmercato azionario, previsioni del tempoinattendibili, e molte altre dimostrazionidell’incertezza del nostro mondo.

La constatazione di tale incertezza chiama in causadue argomenti tra loro correlati: i dati e il caso.Tali fenomeni sono oggetto di studi matematicinella statistica e nella teoria della probabilità.Attività e concetti matematici specifici in questoambito sono la raccolta e l’analisi dei dati, la lororappresentazione o visualizzazione, la probabilitàe l’inferenza statistica.

Matematizzare la realtà

1) Si parte da un problema situato nella realtà.

2) Si organizza il problema in base a concetti matematici esi identificano gli strumenti matematici pertinenti.

3) Si ritaglia progressivamente la realtà attraverso processiquali il fare supposizioni, il generalizzare e il formalizzare ilproblema, che mettono in evidenza le caratteristichematematiche della situazione e trasformano il problemareale in uno matematico che rappresenti fedelmente lasituazione di partenza.

4) Si risolve il problema matematico.

5) Si interpreta la soluzione matematica nei termini dellasituazione reale, individuando anche i limiti della soluzioneproposta.

Tradurre il problema dalla realtàalla matematica

• identificare gli aspetti matematici pertinenti a unproblema collocato nella realtà;

• rappresentare il problema in modo diverso, cioèorganizzarlo secondo concetti matematici edeffettuare supposizioni adeguate;

• capire le relazioni tra il linguaggio del problemae il linguaggio simbolico e formale richiesto percapire il problema dal punto di vista matematico,

• trovare regolarità, relazioni e pattern;• riconoscere aspetti isomorfi ad altri problemi già

noti;• tradurre il problema in termini matematici, cioè in

un modello matematico

Lavorare sul modello matematico

• l’uso di diverse rappresentazioni e ilpassaggio da una all’altra;

• l’uso di un linguaggio simbolico, formale etecnico e delle operazioni;

• la rifinitura e l’adattamento dei modellimatematici, l’associazione e l’integrazionedei modelli;

• l’argomentazione;• la generalizzazione.

Interpretare e convalidare i risultati

• la comprensione delle potenzialità e deilimiti dei concetti matematici;

• la riflessione sulle argomentazionimatematiche e la spiegazione e lagiustificazione dei risultati;

• la comunicazione del procedimentoseguito e della soluzione trovata;

• la critica del modello e dei suoi limiti.

Nuclei di Processo

Modellizzare la realtà

• strutturazione del campo o della situazioneche deve essere modellizzata;

• tradurre “la realtà” in strutture matematiche;• lavorare con un modello matematico e

validarlo,• interpretare i modelli matematici in termini di

“realtà”;• riflettere, analizzare e valutare un modello e i

suoi risultati;• comunicare ad altri il modello e i suoi risultati

(compresi i limiti di tali risultati)

Usare linguaggio matematico e rappresentazioni (Porsi e Risolvere Problemi)

• decodificare e codificare, tradurre, interpretare edistinguere le diverse forme di rappresentazione di oggettie situazioni matematiche e le relazioni tra le varierappresentazioni;

• scegliere e passare da una forma di rappresentazione aun’altra, in relazione alla situazione e allo scopo.

• decodificare e interpretare il linguaggio simbolico eformale, comprendere il suo rapporto con il linguaggionaturale;

• tradurre il linguaggio naturale in linguaggiosimbolico/formale;

• lavorare con enunciati ed espressioni che contenganosimboli e formule;

• usare variabili, risolvere equazioni ed effettuare calcoli.• formulare e definire diversi tipi di problemi matematici

(problemi “puri”, “applicati”, “aperti” e “chiusi”) e risolverli invari modi.

Argomentare, generalizzare, comunicare

• sapersi esprimere in vari modi su questioni dicarattere matematico, in forma orale e scritta

• comprendere gli enunciati scritti od orali di altrepersone circa tali questioni.

• formulare domande tipiche della matematica(“C’è…?”, “Se è così, quanti?”, “Cometroviamo…?”);

• conoscere i tipi di risposte che la matematica dà atali domande;

• seguire catene di ragionamenti matematici didiverso tipo e valutarne la validità;

• creare ed esprimere ragionamenti matematici.

http://archivio.invalsi.it/ri2003/pisa2003/