Il calcolo letteraleConsideriamo la seguente frase:

“ La somma di due numeri naturali è uguale a 5 ” In linguaggio matematico si può tradurre nel modo seguente

0+5=51+4=52+3=53+2=51+4=50+5=5

Oppure, in simboli matematici, e quindi in maniera sintetica, si può scrivere

a+b=5

sottolineando che

a e b rappresentano numeri naturali

Se i calcoli vengono eseguiti con

le lettere invece che con i numeri,

si può costruire una forma più

generale rispetto ad un semplice

esempio numerico.

Per esempio

Per definire la proprietà commutativa fra due numeri naturali si può scrivere

2+5=5+2 oppure 4+9=9+4 oppure 2+6=6+2 oppure9+7=7+9 oppure12+84=84+12

similmente, in maniera generale, si può scrivere

a+b = b+a (sottolineando che a e b sono numeri naturali)

• Il calcolo letterale consente di risolvere espressioni con le lettere proprio come fossero numeri.

• Espressioni dove compaiono numeri e lettere si chiamano “espressioni algebriche letterali”

Possiamo dire quindi che

• Una espressione algebrica letterale è un’espressione in compaiono numeri e lettere.

Esempi

in generale la somma di due numeri qualsiasi si può scrivere

in generale il prodotto di due numeri

qualsiasi si può scrivere x x y

oppure, ancora meglio,

(per non confondere il segno di moltiplicazione con la lettera x)

yx

yx

Il doppio di quattro in linguaggio matematico si può scrivere

Il doppio di dodici in linguaggio matematico si può scrivere

Il doppio di un numero in linguaggio matematico si può scrivere

Dove x rappresenta un numero qualsiasi.

42

122

x2

La metà di 8 in linguaggio matematico si può scrivere

La metà di 13 in linguaggio matematico si può

scrivere

La metà di un numero in linguaggio matematico si può scrivere

Dove x rappresenta un numero qualsiasi.

2

8

2

13

2

x

Consideriamo un rettangolo e indichiamo con x il lato maggiore e con y il lato minore. Quanto vale il perimetro?

Esercizio

Il perimetro vale

L'espressione letterale più semplice è il monomio.

Definizione di monomio“Un monomio è una espressione algebrica di numeri e lettere in cui compare soltanto l’operazione di moltiplicazione e gli esponenti delle lettere sono numeri naturali.”

Possiamo anche dire:“Un monomio è una espressione algebrica letterale in cui compare solo l’operazione di moltiplicazione e gli esponenti delle lettere sono numeri naturali.”

Esempio : -2a3b4x6 ; xyt ; a3b2c 5a37b4x2

Un monomio si dice nullo quando la parte numerica è uguale a 0

Un monomio si dice ridotto in forma normale quando è scritto come prodotto di un solo numero e una o più lettere tutte diverse tra loro.

5

3

Quando un monomio è ridotto in forma normale:

La parte numerica si dice coefficiente numerico

Le lettere costituiscono la parte letterale.

Esempio :

-2a3b4x6 è ridotto in forma normale (-2 rappresenta il coefficiente numerico e a3b4x6 rappresenta la parte letterale )

5a33b4x2b non è ridotto in forma normale; (per ridurlo in forma normale dobbiamo scrivere 30 a3b5x)

Grado di un monomio: è la somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomioEsempio : 4 a3b2c è un monomio di grado 6 , perché 3+2+1 = 6

Monomi simili : due o più monomi sono simili quando hanno la stessa parte letteraleEsempio : 2ab ; - 3ab ; 5ba;

Monomi opposti : sono due monomi simili , ma con coefficienti opposti Esempio : - 2ab e + 2ab

Operazioni tra monomiAddizione e sottrazione di monomiL’addizione e sottrazione tra monomi si può eseguire solo tra monomi simili.Il risultato è un monomio simile , avente la stessa parte letterale e come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti Esempio :

Moltiplicazione di monomi Il prodotto tra 2 o più monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coefficienti e come parte letterale il prodotto delle lettere NB per il prodotto delle lettere uguali applicare la prima proprietà delle potenze (addizione degli esponenti delle lettere uguali)per il prodotto dei coefficienti ricordare le regole del segno del prodotto di 2 numeri relativi.Esempio

5565423 yx30a - y) 5a ()y3x- (2ax

4a - 2ac a ) 2 6 (- ac 5) 3- ( 2a 6a 5ac 3ac-

Divisione di monomi Il quoziente tra 2 monomi è un monomio avente per coefficiente il quoziente dei coefficienti e come parte letterale il quoziente delle lettere NB per il quoziente delle lettere uguali applicare la seconda proprietà delle potenze (sottrazione degli esponenti delle lettere uguali)per il quoziente dei coefficienti ricordare le regole del segno del quoziente di 2 numeri relativi.Esempio:

Potenza di un monomio per elevare a potenza un monomio , basta elevare a quella potenza sia il coefficiente che tutte le lettere della parte letterale.Esempio:

M.C.D. e m.c.m. tra monomiIl M.C.D. tra 2 o più monomi è il monomio che ha :

per coefficiente il M.C.D. dei coefficienti, se essi sono tutti numeri interi, altrimenti il coefficiente è sempre + 1

per parte letterale solo le lettere comuni con l’esponente minore Il m.c.m. tra 2 o più monomi è il monomio che ha :

per coefficiente il m.c.m. dei coefficienti, se essi sono tutti numeri interi, altrimenti il coefficiente è sempre + 1

per parte letterale tutte le lettere, comuni e non comuni , prese una sola volta , con l’esponente maggiore

Esempio 1calcolare il M.C.D. e il m.c.m. fra i seguenti monomi

Esempio 2calcolare il M.C.D. e il m.c.m. fra i seguenti monomi

POLINOMI

DEFINIZIONE DI POLINOMIO

Un polinomio è dato dalla somma algebrica di 2 o più monomi non simili (i monomi che compaiono in un polinomio si dicono TERMINI del polinomio)

Esempio : 2a + 3b ; 4axy – 3x + 5a

GRADO COMPLESSIVO DI UN POLINOMIO : è il grado del suo monomio di grado maggiore

Esempio : il polinomio ( 3a4xy5 – 2x) ha grado complessivo 10 , perché tra i 2 monomi che formano il polinomio , il 1° monomio ha grado maggiore e vale 10

POLINOMIO ORDINATO IN MODO CRESCENTE RISPETTO A UNA LETTERA

se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine crescente

Esempio : 8x5y – 5x6y2 + 7 x8 è ordinato secondo potenze crescenti di x

POLINOMIO ORDINATO IN MODO DECRESCENTE RISPETTO A UNA LETTERA

se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine decrescente

Esempio : 8x6y3 – 5x2y2 + 7 xy1

POLINOMIO COMPLETO RISPETTO AD UNA LETTERA

se per tale lettera si presentano tutte le potenze dal grado massimo fino al grado 0

Esempio : 2a3 + a2 – 7a + 8

POLINOMIO OMOGENEO

se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado

Esempio : 2a3 + a2b – 7ab2 + 8 b3

OPERAZIONI TRA POLINOMI

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE TRA POLINOMI

Per addizionare o sottrarre 2 o più polinomi si scrivono uno di seguito all’altro eliminando le parentesi e sommando i termini simili

Per eliminare le parentesi si applicano le regole già note:

se la parentesi è preceduta da un segno + , i termini in essa contenuti non cambiano segno

se la parentesi è preceduta da un segno - , i termini in essa contenuti cambiano segno

esempio ( 2a3 + a2 – 25a + 12 ) = 2a3 + a2 – 25a + 12 - ( 2a3 + a2 – 25a + 12 ) = - 2a3 - a2 +25a – 12

Eseguire la seguente somma algebrica di polinomi:

eliminiamo le parentesi

Semplifichiamo i monomi opposti 5b e -5b; +3a e -3a

Sommiamo i monomi simili e otteniamo il polinomio cercato.

5a b)(6a-2b)-(3a-5b)(3a 5b)(2a 22

5a b6a- 2b3a- 5b3a5b2a 22

2a- b2a

MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO

Basta applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione , moltiplicando ogni termine del polinomio per il monomio ( ricordando la proprietà della moltiplicazione tra potenze con basi uguali e la regola dei segni della moltiplicazione)

Esempio : ( - 3a2b ) . ( 3a - b + 5ab ) = - 9 a3b + 3 a2 b2 – 15 a3 b2

DIVISIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO

Basta applicare la proprietà distributiva della divisione, dividendo ogni termine del polinomio per il monomio ( ricordando la proprietà della divisione tra potenze con basi uguali e la regola dei segni della divisione )

Esempio 1 (12a2 – 9ab + 6a ) : ( - 3 a ) = - 4 a + 3b – 2

Esempio 2 ( x + 3y – 4 ) : 2x =

MOLTIPLICAZIONE TRA DUE POLINOMI

Basta moltiplicare ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo polinomio

Esempio :

( 2a - 3b ) . ( -3ab + 5ax + 1 ) = - 6a2b + 10 a2x + 2a + 9ab2- 15abx – 3b

Lettere al posto dei numeri

Video lezione sui monomi