Il Calcolo Delle Ruote Dentate(Fatica)

7/26/2019 Il Calcolo Delle Ruote Dentate(Fatica)

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12ALPNE-Costruzione di Macchine Anno accademico 2014-2015

Francesca Cur

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Calcolo a fatica

4.1 Normativa UNI 8862Resistenza a flessione

Per quanto riguarda il calcolo a fatica per flessionedelle ruote di ingranaggi la normativa UNI 8862

(1987) fa riferimento alla condizione di resistenza a rotturadel dente tramite la relazione:

FPF (17)

doveF

la tensione equivalente al piede del dentenel punto pi sollecitato (tensione effettiva)

espressa nel modo seguente:

Ft

n

Fa Sa A V F F

F

b my y y y K K K K

( ) (18)

ed una tensione calcolata che dipende dalla forza tangenzialet

F (forza media di funzionamento),

dalla larghezza di fascia b, dal modulo normalen

m e da una serie di fattori (parametri relativi

allingranaggio e parametri relativi al funzionamento).

La tensione FP detta tensione ammissibile, ma calcolata in modo completamente diverso dalla

tensione ammissibile del calcolo statico. Essa infatti vale:

FPF ST NT

F

relT RrelT X

y y

Sy y y

lim

min

(19)

ed funzione della tensione limite di fatica del materiale limF , del fattore di sicurezza minimo

alla flessioneminF

S e di una serie di coefficienti (parametri relativi alla fatica) che correggono il

limite di fatica del materiale, uno dei quali, il fattore di durataNTY , rappresenta la curva di Whler

del componente.

I parametri relativi allingranaggiosono:yFa fattore di formadel dente,

ySa fattore di correzione della tensione,

y

fattore del rapporto di condotta,

y

fattore dellangolo delica,

e tengono conto degli effetti della geometria del dente sulla massima tensione equivalente che si

realizza nel materiale.

In particolare:

yFa il fattore di forma e tiene conto delleffetto della geometria del dente sulla tensione

nominale di flessione; calcolabile analiticamente tramite la relazione seguente:

n

n

Fn

an

n

Fa

Fa

m

s

m

h

Y

cos

cos6

2

(20)


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che analoga a quella relativa al calcolo del fattore di formayLw (secondo Lewis) (4); in questo

caso, per, si tiene conto delleffettivo angolo di inclinazione della forza globaleFscambiata

fra i denti (conan

) riferito alla sezione normale del dente (che ovviamente coincide con

quella frontale nel caso di ruote a denti dritti) (Figura 6). La sezione pi sollecitata secondo la

normativa individuata da due rette inclinate di 30 rispetto allasse di simmetria del dente (aventi

origine nel punto di intersezione fra lasse di simmetria e la retta dei contatti) e tangenti al profilo

ad evolvente (Figura 7) (mentre nel calcolo di Lewis si faceva riferimento al punto di tangenza

con la parabola di uniforme resistenza (Figura 6)).

Figura 6Inclinazione della forze scambiata fra i denti

Figura 7Rette che individuano la sezione pi sollecitata alla base del dente

Il valore di yFa anche facilmente leggibile da diagrammi forniti dalla normativa (diversi aseconda della tipologia della dentiera di riferimento) in funzione del numero di denti virtualev

z

(9).

ySa il fattore di correzione della tensione nominale di flessione e tiene conto delle

concentrazioni di tensione al piede del dente e del fatto che la tensione effettiva non dovuta solo

alla flessione. Il calcolo analitico di tale fattore piuttosto complicato e presenta molti casi

particolari che sono descritti dalla normativa; se non si necessita di particolare precisione il valore

di ySapu essere agevolmente ricavato da diagrammi forniti dalla normativa stessa ed esattamente

analoghi a quelli utilizzati per il calcolo di yFa.

In sostituzione dei fattori yFae ySasi pu utilizzare il prodotto dei due, indicato in letteratura [3]

come fattore ySF ; questo fattore impiegato per il calcolo della tensione equivalente al piede del

dente ed diagrammato in funzione del numero di denti Z (o ZVnel caso di ruote a denti elicoidali)(Figura 7).

F

W

an

sFn

hFa

Ftn

x

Parabola di

uniforme

resistenza


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y

ilfattore del rapporto di condotta e tiene conto del fatto che, se ci sono pi di due denti in

presa contemporaneamente, nelle condizioni di massima tensione al piede la forza non applicata

in testa al dente (condizione per cui sono calcolati yFae ySa), ma in un altro punto del profilo del

dente stesso. Il valore di ypu essere ottenuto dalle seguenti formule fornite dalla normativa:

25,0

275,025,0

y

y (21)

con

t

tbebe

b p

RRRRRR

p

AB

cos

sin21

2

2

2

2

2

1

2

1

(22)

dove 1R ed 2R sono i raggi primitivi (di funzionamento nel caso di ruote a profili spostati)

rispettivamente delle ruote 1 e 2,1e

R ed2e

R i raggi di troncatura esterna,1b

R ed2b

R i raggi di

base, p e bp i passi sulla circonferenza primitiva e di base e t langolo di pressione (di

funzionamento nel caso di ruote a profili spostati) sulla sezione frontale del dente.

.

Figura 8Andamento del fattore ySF


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y

il fattore dellangolo delica e tiene conto delleffetto dellelicoidalit del dente sulla

tensione effettiva (assume valore unitario nel caso di ruote a denti diritti). Sulla normativa pu

essere ricavato sia tramite una relazione analitica (in funzione dellangolo delica e del

coefficiente di ricoprimento ), sia tramite un diagramma (sempre in funzione dellangolo

delica e del coefficiente di ricoprimento ) (Figura 9).

I parametri relativi al funzionamentosono:KA fattore di applicazione del carico;

KV fattore dinamico;

KF fattore di distribuzione longitudinale del carico(o di disallineamento);

KF

fattore di distribuzione trasversale del carico.

Figura 9 - Andamento del fattore y

Nel caso pi generale necessario calcolarli nellordine appena indicato, poich ognuno di essi

funzione anche dei precedenti (o meglio della forza tangenziale Ftcorretta).

Esistono per, anche in questo caso, dei metodi di calcolo semplificati che tengono conto dei vari

fattori in modo meno preciso, ma di solito accettabile se non si hanno esigenze particolari.

E da precisare inoltre che gli effetti dinamici interni ed esterni di cui tengono conto i primi due

coefficienti sono determinati in maniera piuttosto arbitraria e sarebbe preferibile, quando possibile,

effettuare un calcolo pi preciso della forza tangenziale Ftattraverso una analisi dinamica del sistema.

KA il fattore di applicazione del carico e tiene conto dellentit dei sovraccarichi a cui

sottoposto il sistema per cause esterne allingranaggio; pu essere determinato tramite una tabellain funzione dei tipi di sovraccarico che si presentano sul motore e sulla macchina operatrice

(Tabella 3) (Prospetto I, [2]) .

KV ilfattore dinamico etiene conto degli effetti dovuti alle masse rotanti, e, secondo un calcolo

di prima approssimazione, funzione solo della massima velocit periferica della ruota dentata

vp (velocit calcolata in corrispondenza della circonferenza primitiva). Si pu, in questo caso,

ottenere tramite la formula reperibile in letteratura [4]:

6,5

6,5 pV

vk

(23)


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Per ingranaggi e condizioni di funzionamento ordinarie la normativa fornisce unaltra

espressione analitica:

BAKV

1 permm

N

b

Fz

t 150,50min

(24)

dove B ([B]=s/m) e A ([A]=m/s) hanno le seguenti espressioni:

100

minzv

A p

)9()7,0( GcB (25)

essendo G il grado di precisione della ruota dentata e c una costante: ( 18,0c per ruote a denti

diritti con 9G e 1,0c per ruote a denti elicoidali con 9G ).

Se il numero di denti minimo superiore a 50 o la forza riferita alla larghezza di fascia inferiore

al limite, bisogna usare dei KV pi cautelativi di quelli calcolati, oppure svolgere una analisi

dinamica completa. KF

il fattore di distribuzione longitudinale del carico(o di disallineamento) e tiene conto

delle disuniformit di applicazione del carico lungo il dente (nel caso di mancanza di informazioni

precise si pu ipotizzare unitario).

KF ilfattore di distribuzione trasversale del carico e tiene conto delle disuniformit a causa

di errori di passo e di profilo nellapplicazione del carico (nel caso di mancanza di informazioni


Tabella 3Valori del fattore di applicazione del carico KA

Iparametri relativi alla faticasono:yST fattore di correzione della tensione;

SFmin fattore di sicurezza a flessione;

y

relT fattore relativo di sensibilit allintaglio;

yRrelT fattore relativo dello stato della superficie al piede del dente;

yX fattore di dimensione;

yNT fattore di durata.

Essi tengono conto delle riduzioni della tensione ammissibile per cause prettamente correlate alla

fatica.


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In particolare:

yST il fattore di correzione della tensione e tiene conto del tipo di sollecitazione (pulsante,

alternata, alternata positiva) e si ricava utilizzando il diagramma di Smith e Goodman (Figura

10). Nel caso, ad esempio, di sollecitazione pulsante positiva si ha (come implicitamente indicato

nella normativa):

222 lim0 stFFPss y SFmin il fattore di sicurezza a flessione(per le sollecitazioni di fatica in generale unitario).

Figura 10 - Diagramma di Smith e Goodman

y

relT il fattore relativo allintaglioedipende dal grado di precisione tecnologica della ruota

dentata ( pari a uno per ruote tecnologicamente perfette prese come riferimento). Si calcola

come:

'2,11

'212,01

s

relT

qy (26)

Figura 11 - Dentiera di riferimento

mn

ha0

a0

max

s=FP

s0=Flim


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Il coefficiente dipende dalla sensibilit intrinseca del materiale allintaglio e si pu ricavare da

tabelle fornite dalla normativa; qs detto parametro dintaglio e pu essere calcolato come:

F

Fns

sq

2 (27)

Tale parametro ottenibile conoscendo le caratteristiche della dentiera di riferimento della ruota

(Figura 11); sFn([sFn]=mm) lo spessore del dente al piede ed calcolabile con le formule fornite

dalla normativa:

n

a

vnFn

m

Gzms

0

cos3

3sin

(28)

con

xm

h

mG

n

a

n

a 00 (29)

dovex il coefficiente di spostamento del profilo della dentatura e F ([F]=mm) il raggio dicurvatura del raccordo al piede del dente nel punto di tangenza delle rette inclinate a 30. Le

formule per il calcolo sono fornite dalla normativa:

GzmG

v

n

aF

2coscos

2

2

2

0

(30)

yRrelT il fattore relativo dello stato della superficie al piede del dente e dipende dal grado difinitura superficiale nei punti di maggiore sollecitazione alla base del dente. La normativa fornisce

delle espressioni analitiche del tipo:

mRcy

mRmRbay

tmRrelIT

tm

n

tmRrelIT

1

401)1( (31)

dove Rtm la rugosit media al piede del dente ([Rtm]=m). Le costanti a, b, c, ndipendono dalmateriale. La normativa fornisce anche dei grafici per un calcolo pi veloce, se non si necessita

di particolare precisione.

yX il fattore di dimensionee dipende dalle dimensioni della ruota. Il fattore di dimensione

diagrammato in funzione del modulo normale e del tipo di materiale (Figura 12). Se il materiale

costituente la ruota idoneo alla dimensione della stessa ed stato trattato in modo opportuno, si

pu assumere questo fattore di valore unitario.

yNT il fattore di duratao fattore della curva di Whlere dipende dal materiale utilizzato. Per

la maggior parte dei materiali utilizzati in meccanica si pu esprimere come:

LvNT

Lv

Lv

NT

olNT

NNy

NNN

Ny

NNky

per1

Nper

per

ol

E

(32)


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dove k, Nol, NLv, Esono costanti adimensionali dipendenti dal materiale e fornite dalla normativa.

Nella normativa sono riportati gli andamenti dei fattori di durata per alcune classi di materiali

(Figura 13) e sono inoltre fornite le corrispondenti relazioni analitiche.

A titolo di esempio si riporta la relazione analitica del fattore di durata per gli acciai cementati,

con tempra superficiale (Figura 14) (andamento della curva corrispondente illustrata in Figura13).

Figura 12 Fattore di dimensioneyX

Figura 13Fattore di durata yNT

Figura 14Relazioni relative al fattore di durata yNT per acciai con tempra superficiale


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4.2 Normativa UNI 8862Resistenza a pitting

Per quanto riguarda il calcolo a fatica per contatto hertziano ripetuto o pittingla normativa UNI

8862 (1987) fa riferimento alla condizione di resistenza a rottura del dentetramite la relazione:

HPH (33)

doveH

la pressione di contatto (pressione di Hertz) espressa nel modo seguente:

H H Et

A V H Hz z z z

F

d b

u

uK K K K

1

1 (34)

ed una tensione calcolata (come nella verifica a flessione) che dipende dalla forza tangenzialet

F

(forza media di funzionamento), dalla larghezza di fascia b, dal rapporto dingranaggio u

1/ 12 zzu , dal diametro primitivo della ruota pi piccola 1d e da una serie di fattori (parametrirelativi allingranaggio e parametri relativi al funzionamento).

La tensione HP detta pressione di contatto ammissibile(pressione di Hertz ammissibile) ed

calcolata nel seguente modo:

HP

H N

H

L R V W X

z

Sz z z z z

lim

min

(35)

dove limH la pressione limite base di fatica di superficie, minHS il fattore di sicurezza minimo

al pitting e i parametri NZ , LZ , sono i fattori relativi alla fatica; NZ il fattore di durata e pu

essere considerato, analogamente al caso della fatica per flessione, come la curva diWhler a pitting

del componente.

I parametri relativi allingranaggiosono:

zH fattore di zona;

zE fattore di elasticit del materiale;

z

fattore del rapporto di condotta;

z

fattore dellangolo delica.

e tengono conto degli effetti della geometria del dente sulla massima la pressione di contatto che si

realizza nel materiale.In particolare:

zH il fattore di zonaed funzione degli angoli caratteristici delle ruote e tiene conto degli effetti

della curvatura relativa dei fianchi dei denti nel punto primitivo di ingranamento. Il fattore di zona

si calcola tramite la relazione seguente:

'2

'

sincos

coscos2

tt

tb

Hz

(36)

dove gli angoli t, t (le grandezze con lapice sono relative al funzionamento per ingranaggi

tagliati con spostamento dei profili) possono essere determinati, noti,ne tramite le relazioni:


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tt

n

t

d

d

coscos

cos

tantan

/

/

(37)

dove d il diametro primitivo di riferimento e d quello primitivo di funzionamento.

Ovviamente essi coincidono per ruote a profili non spostati, cos come tet.

zE il fattore di elasticit del materialee dipende dalle caratteristiche elastiche del materiale;

si ottiene dalla relazione seguente (1

E ,2

E e1

,2

sono rispettivamente i moduli elastici e i

coefficienti di Poisson delle due ruote):

2

2

2

1

2

1 11

1

EE

zE

(38)

z il fattore del rapporto di condotta e dipende dal rapporto di condotta trasversale e dalrapporto di ricoprimento ed pari a:

11

113

4

03

4

z

z

z

z

il fattore dellangolo delicae tiene conto degli effetti dellangolo delica sulla distribuzione

del carico. Si calcola tramite la relazione (ottenuta sperimentalmente):

cosz (39)

I parametri relativi al funzionamentosono:

KA fattore di applicazione del carico.

KV fattore dinamico.

KH fattore di distribuzione longitudinale del carico(o di disallineamento);

KH fattore di distribuzione trasversale del carico.

I parametri KAe KV sono identici a quelli calcolati per il caso della flessione. Inoltre:

KH il fattore di distribuzione longitudinale del carico(o di disallineamento) e tiene conto

delle disuniformit di applicazione del carico lungo il dente (nel caso di mancanza di informazioni


KH il fattore di distribuzione trasversale del caricoe tiene conto delle disuniformit a causa

di errori di passo e di profilo nellapplicazione del carico (nel caso di mancanza di informazioni


I parametri relativi alla faticasono:SHmin fattore di sicurezza a pitting;

ZL fattore del lubrificante;


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ZR fattore di rugosit;

ZV fattore di velocit;

ZW fattore del rapporto fra durezze;

ZX fattore di dimensione;

ZN fattore di durata.

Essi tengono conto delle riduzioni della pressione limite base di fatica di superficie per causeprettamente correlate alla fatica. In particolare:

SHmin il fattore di sicurezza a pitting(in generale unitario).

ZL il fattore del lubrificante ed funzione della viscosit cinematica del lubrificante a

temperature standard (40C e 50C) e della tensione limH . La normativa riporta delleespressioni analitiche per il calcolo e un diagramma che esprime landamento di ZL in funzione

della viscosit (Figura 15).

Figura 15 - Fattore del lubrificante ZL

ZR il fattore di rugosited funzione delle rugosit medie sui fianchi dei denti e della tensione

limH . La normativa riporta delle espressioni analitiche per il calcolo e un diagramma cheesprime landamento di ZR in funzione della rugosit di superficie (Figura 16).

ZV ilfattore di velocit e tiene conto degli effetti della rotazione tramite la massima velocit

periferica vp. La normativa riporta delle espressioni analitiche per il calcolo e un diagramma che

esprime landamento di ZV in funzione della velocit periferica e della tensione limH

(Figura

17).

ZW ilfattore del rapporto tra durezze e tiene conto del fatto che la resistenza di una ruota di

acciaio aumenta se questa ingrana con un pignone che ha subito un indurimento superficiale e

presenta una bassa rugosit sulla superficie dei denti. In prima approssimazione funzione solo

della durezza della ruota pi tenera e pu essere espresso tramite la relazione:


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1700

1302,1

HBZ

W (40)

dove HB la durezza Brinell sui fianchi della ruota. Se HB400 si assume ZW

pari a uno. In realt altri fattori influiscono su ZW, perci la formula analitica ci fornisce solo il

valore centrale di una fascia di valori, come si pu chiaramente notare dal diagramma fornitodalla normativa (Figura 18).

ZX il fattore di dimensione e dipende dalle dimensioni della ruota. Se il materiale costituente

la ruota idoneo alla dimensione della stessa ed stato trattato in modo opportuno si pu assumere

valore unitario.

ZN ilfattore di durata o fattore della curva di Whler e dipende dal materiale utilizzato. Per

la maggior parte dei materiali utilizzati in meccanica si pu esprimere tramite relazioni analoghe

alle (32).

La relazione generale per il fattore di durata la seguente:E

L

LV

N

N

NZ

doveNL il numero di cicli richiesto eNLV e dE hanno i valori riportati in Figura 20.

Nella normativa, infatti, sono riportati gli andamenti dei fattori di durata per alcune classi di

materiali (Figura 19) e sono inoltre fornite le corrispondenti relazioni analitiche (Figura 20).

Figura 16 - Fattore di rugosit ZR


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Figura 17 - Fattore di velocit ZV

Figura 18 - Fattore del rapporto fra durezze ZW


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Figura 19 - Fattore di durata ZN

Figura 20 - Relazioni relative al fattore di durataZN per acciai con tempra superficiale


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