CAP 5.ruote dentate - uniroma1.it 5.ruote... · 2019-04-15 · ruote è in evidente contrasto con...

Meccanica Teorica e Applicata, AA 2006-2007, A.Carcaterra

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5.1 RUOTE DI FRIZIONE E RUOTE DENTATE La trasmissione del moto tra due alberi, quando questi debbano ruotare a velocità angolare costante, è frequentemente realizzata mediante ruote solidali agli alberi stessi. Per trasmissione di basse potenze si usano talvolta ruote liscie, dette ruote di frizione. La limitazione fondamentale delle ruote di frizione risiede nella massima coppia trasmissibile. Infatti la regolare trasmissione della potenza è garantita fin quando non si verificano fenomeni di slittamento fra le due ruote in presa (figura 1). Se N è la forza normale al contatto ed f il coefficiente di attrito, la forza tangenziale T, per evitare lo slittamento, deve essere NfT < .

Figura 1 Il rapporto di trasmissione τ della coppia di ruote è definito come:

2

1

ωω

τ =

dove 1ω è il modulo della velocità angolare della ruota motrice e 2ω quello della ruota condotta. In assenza di strisciamento, le velocità 21, PP vv delle ruote in corrispondenza del punto di contatto devono essere uguali (vedi figura 2).

SEZIONE 5 RUOTE DENTATE


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Figura 2 Questo comporta (utilizzando la formula fondamentale della cinematica):

2221112222111121 POPOPOPO PPPP ×=×→×=×== ωωωvωvvv e poiché le due velocità angolari sono ortogonali al piano del disegno, passando ai moduli delle grandezze vettoriali:

1

2

2

1

RR

==ωω

τ

Il momento motore massimo trasmissibile senza slittamento (ossia rispettando la condizione sopra) è

11 RNfRTM <=

Per aumentare M si può aumentare f , N oppure 1R . All’aumento di f esiste un’ovvia limitazione legata ai materiali impiegabili per realizzare la ruota. D’altra parte un aumento di N produce due effetti negativi (vedi figura 3): il carico N genera un’infelssione dell’albero su cui la ruota è montata; le ruote tendono a deformarsi in prossimità del contatto con alterazione delle proprietà cinematiche dell’accoppiamento (rapporto di trasmissione alterato). In questo modo si perde il beneficio originario di un contatto di puro rotolamento, con conseguente riduzione del rendimento meccanico della coppia soggetta ad elevate perdite per attrito. Infine un aumento dei raggi delle ruote è in evidente contrasto con esigenze di ingombro, peso ed economicità della trasmissione. Ciò spiega il ricorso frequentissimo a ruote dentate in cui la trasmissione della potenza è assicurata attraverso superfici non più cilindriche, passando così da un accoppiamento di forza ad un accoppiamento di forma.


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Figura 3

La forma delle superfici dei denti in presa è tale da garantire che la trasmissione del moto avvenga con rapporto di trasmissione costante. Studieremo nel seguito solo le profilature ad evolvente, attualmente le uniche di reale interesse pratico, pur essendo possibile realizzare profilature diverse. 5.2 EVOLVENTE E SUE PROPRIETA’ Si consideri una circonferenza γ ed una retta t ad essa tangente. Si fissi un punto P appartenente a t. Si faccia rotolare senza strisciamento la t su γ . Il punto P descrive la traiettoria σ che prende nome di evolvente della circonferenza γ .

Figura 4

Nella figura 4, si è eseguita la costruzione dell’evolvente della circonferenza secondo la definizione data precedentemente e 4321 ,,, tttt sono quattro successive posizioni della tangente t durante il


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rotolamento su γ ; 4321 ,,, PPPP sono infine le posizioni di P lungo la traiettoria σ (evolvente) descritta nel moto di rotolamento. Si noti che il centro di istantanea rotazione nel moto di rotolamento di t sulla circonferenza cade nel punto di tangenza T. Infatti, poiché non vi è strisciamento, il punto della t che si trova a contatto con γ in T deve avere velocità nulla.

Figura 4

La velocità di P nel moto di rotolamento di t su γ è pertanto ortogonale a TP. Se infatti ω è la velocità angolare di t, la formula fondamentale della cinematica permette di scrivere:

TPP ×=ωv

dove la velocità angolare è ortogonale al piano del disegno della figura 4. Sappiamo inoltre che la velocità Pv giace lungo la tangente σt alla traiettoria σ descritta da P. Dunque: tt PP ⊥vv ,σ cioè tt ⊥σ . Da quanto detto deduciamo una semplice proprietà geometrica dell’evolvente σ : la tangente σt dell’evolvente σ è ortogonale alla retta generatrice t.

Figura 5

Si osservi infine un’ultima intuitiva proprietà (ne omettiamo la dimostrazione). Consideriamo due successive posizioni 21, tt della t (figura 6).


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Figura 6

Si scelga come punto per generare σ il punto 11 TP ≡ della 1t . Dopo che t ha rotolato senza strisciamento lungo γ fino a giungere nella posizione 2t e P ha descritto l’arco ( )21PParc di evolvente σ , risulta:

( ) 2221 PTTTarc =

ossia l’arco ( )21TTarc descritto lungo la circonferenza γ è pari alla lunghezza del segmento 22PT . 5.3 ELEMENTI GEOMETRICI DELLE RUOTE DENTATE Introduciamo gli elementi geometrici caratteristici delle ruote dentate. Seguiamo la figura 7. I due alberi su cui le ruote 1ℜ e 2ℜ sono montate hanno assi di rotazione le cui proiezioni sul piano del foglio sono 21,OO . Le circonferenze 21,γγ sono dette circonferenze base e servono a costruire le profilature ad evolvente dei denti delle ruote, nel modo che abbiamo descritto nel paragrafo precedente. Si generano quindi i profili delle superfici laterali dei denti, 21,σσ , che sono le superfici fisicamente a contatto durante il moto. La retta per i punti 21,TT prende nome di retta d’azione (per motivi che spiegheremo di seguito). La tangente comune ai due profili 21,σσ , σt , è ortogonale (vedi paragrafo precedente) alla retta d’azione 21TT . Infatti 1σ ha sempre tangente ortogonale alla retta generatrice del profilo. Analogamente per 2σ . Le circonferenze 21,λλ sono dette circonferenze primitive. La loro costruzione è immediata. Dopo aver tracciato le circonferenze base 21,γγ e la tangente 21TT , si congiungono i centri 21,OO . Il segmento 21OO interseca la 21TT in un punto T (vedi figura 7). Facendo centro in 1O si traccia una circonferenza di raggio TO1 che è poi la 1λ . Analoga la costruzione per 2λ . Dimostreremo nel prossimo paragrafo che aver profilato i denti ad evolvente permette di far ruotare le ruote 1ℜ e 2ℜ come fossero ruote di frizione con profili a contatto di tipo circolare.


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Figura 7

I profili 21,σσ vengono limitati nella loro estensione attraverso ulteriori circonferenze: le circonferenze di troncatura esterna ed interna (vedi figura 8).

Figura 8


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Le due circonferenze tite CC , delimitano l’estensione radiale dei denti. Più precisamente con i simboli riportati in figura 8, si usa la seguente nomenclatura:

dedendum daddendum a

dentedelaltezza

ti

te

tite

RRRRRRh

−=

−=

−=

λ

λ

Nella figura 8 sono disegnati due denti consecutivi. La circonferenza primitiva λ interseca i due profili corrispondenti σσ ʹ′, nei due punti QQ ʹ′, , rispettivamente. La lunghezza dell’arco

)( QQarc ʹ′ prende nome di passo p. La lunghezza dell’arco )(QRarc prende nome di spessore s del dente, mentre la distanza )( QRarc ʹ′ è il vano tra i denti. Il vano e lo spessore sono scelti uguali tra loro per cui:

sp 2=

E’ chiaro che se z è il numero dei denti della ruota, il passo è anche:

zR

p λπ2=

E’ chiaro che due ruote accoppiabili devono avere lo stesso passo. Tutti gli elementi che caratterizzano la geometria del dente (h,a,d,p) potrebbero essere scelti indipendentemente. Per semplificare la progettazione si adottato però il cosiddetto proporzionamento modulare. In altre parole h,a,d,p vengono resi dipendenti da un’unica dimensione m, modulo, che definisce, una volta assegnata, tutti i parametri geometrici. Si ha dunque:

md

ma

mh

mp

45

49

=

=

=

= π

Il modulo è espresso per convenzione in millimetri e varia secondo una serie di valori standard.

5.4 ELEMENTI DI CINEMATICA DELLE RUOTE DENTATE Consideriamo il contatto tra i due profili coniugati 21,σσ . Durante il moto delle ruote il punto di contatto P si sposta lungo il segmento 21TT . Si considerino infatti i due profili 21,σσ a contatto in una generica posizione (vedi figura 9). I due profili a contatto sono tangenti. La comune tangente nel punto di contatto P è σt . Se σt è comune, anche la normale σn ai profili è comune. Per costruzione dei profili ad evolvente 21,σσ , σn è proprio la retta generatrice che è tangente alla circonferenza base. Quindi σn è tangente sia a 1γ (in quanto normale di 1σ ) e a 2γ (in quanto normale di 2σ ). Allora σn , normale ai profili nel punto di contato, coincide con la retta 21TT tangente alle due circonferenze base 21,γγ . Poiché il punto P di contatto appartiene sempre a σn allora appartiene sempre a 21TT che prende nome di linea dei contatti.


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La proprietà cinematica più rilevante consiste nel fatto che le ruote 21,ℜℜ , in contatto attraverso i profili coniugati 21,σσ , si muovono come se ruote di frizione di raggi pari a quelli delle circonferenze primitive 21,λλ . Consideriamo due successive posizioni di contatto di una stessa coppia di profili coniugati. Ad esse corrispondono rispettivamente i profili 21,σσ e 21,σσ ʹ′ʹ′ (vedi figura 10). I punti di contatto (appartenenti sempre a 21TT ) sono rispettivamente PP ʹ′, . Mentre il punto di contatto si sposta da P in P’ , le due ruote compiono le rotazioni 21,αα (vedi figura 10).

Figura 9

Per quanto visto in precedenza (a proposito delle proprietà dell’evolvente) si ha:

( ) ( ) ',' 2211 PPSSarcPPSSarc =ʹ′=ʹ′

Inoltre poiché

( ) ( )

( ) ( )22

212222212

11

1111111

'

'

γγγ

γγγ

αα

αα

RPP

RSSarcRSSarc

RPP

RSSarcRSSarc

=ʹ′

=→=ʹ′

=ʹ′

=→=ʹ′


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mentre 1ℜ compie la rotazione 1

1'

γ

αRPP

= , la 2ℜ compie la rotazione 2

2'

γ

αRPP

= . Il rapporto τ tra

gli angoli di rotazione è allora:

ταα

γ

γ ==1

2

2

1

RR

Figura 10

Poiché gli angoli in questione sono descritti in uno stesso intervallo di tempo tΔ , è anche:

1

2

2

1

2

1

//

γ

γ

ωω

αα

τRR

tt

==Δ

Δ=

Dunque il rapporto di trasmissione τ è costante e pari al solo rapporto tra i raggi delle circonferenze base. E’ poi immediato sostituire al posto del rapporto suddetto il rapporto tra i raggi delle primitive. Infatti osservato che i triangoli TTO 11 e TTO 22 sono simili (vedi figura 11), segue:

1

2

1

2

2

1

λ

λ

γ

γ

ωω

τRR

RR

===


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Questo comporta che, pur essendo il moto trasmesso effettivamente attraverso il contatto tra i profili coniugati ad evolvente 21,σσ , le ruote si muovono come se fossero ruote di frizione con superfici a contatto cilindriche e di raggi pari a quelli delle circonferenze primitive 21,λλ . Il vantaggio fondamentale nell’aver impiegato ruote dentate risiede nel fatto che il momento massimo trasmissibile non è più limitato dall’assenza di strisciamento garantita dall’attrito, come per le ruote di frizione. Ora il momento massimo è limitato dalla sola resistenza strutturale dei denti della ruota e, come si capisce facilmente, è in tal caso molto più elevato. Si è visto a proposito delle ruote di frizione che la velocità di strisciamento nel punto di contatto,

21 PPs vvw −= , tra le due ruote è nulla. Nel caso delle ruote dentate invece questa favorevole circostanza si perde: nel punto di contatto la velocità di strisciamento tra i due profili coniugati a contatto 21,σσ è diversa da zero. Analizziamo più in dettaglio la questione.

Figura 11

Consideriamo due profili 21,σσ in una generica posizione di contatto (vedi figura 11). La formula fondamentale della cinematica permette di scrivere la velocità del punto 1P quale punto appartenente al corpo rigido 1ℜ sul profilo 1σ che si trova nella configurazione in esame ad occupar il punto dello spazio P. Si ha:

TPTP ×+= 111 ωvv

dove 1Tv è la velocità del punto che appartiene alla ruota 1ℜ e si trova ad occupare il punto T. Analogamente il punto 2P del profilo 2σ che si trova in P ha velocità


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TPTP ×+= 222 ωvv

La velocità di strisciamento è:

TPTTPPs ×−+−=−= )( 121212 ωωvvvvw

Poiché le ruote si muovono come fossero dischi di frizione i cui profili sono 21,λλ , ciò comporta che nel punto di tangenza T (ideale punto di contatto tra 21,λλ ) sia 0vv =− 12 TT . Da cui:

TPs ×−= )( 12 ωωw

Se durante il moto le velocità angolari delle ruote restano costanti, la velocità di strisciamento varia solo per effetto delle variazioni di TP. Pertanto quando il punto di contatto tra i profili coniugati si allontana da T, la velocità di strisciamento aumenta. L’esistenza di un effetto di striciamento tra i profili coniugati ha come conseguenza l’usura delle superfici a contatto ed il loro conseguente surriscaldamento. Tale effetto dissipativo riduce il rendimento meccanico della trasmissione: parte della potenza erogata sull’albero motore non è più restituita sull’albero condotto in uscita. Al fine di ridurre questo effetto negativo, è opportuno che che il punto di contatto P tra i profili rimanga abbastanza vicino al punto T . Per questa ragione i cerchi di troncatura esterna ed interna limitano l’escursione del punto P al segmento 21MM interno al segmento 21TT (in ogni caso il punto di contatto non deve uscire dal segmento 21TT per non incorrere nel cosiddetto fenomeno di interferenza, del quale qui non parleremo) come indicato in figura 13.

Figura 12

Il segmento 21MM prende nome di segmento di ingranamento. In corrispondenza di 2M la coppia di profili 21,σσ dei due denti viene in contatto.


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Figura 13

Il punto di contatto P si sposta lungo 21MM durante la rotazione fino a che, quando 2MP ≡ , i due profili cessano di essere in contatto. E’ ovvio che quando il contatto tra i due denti cessa è necessario che entri in contatto un’altra coppia di denti, per garantire la trasmissione del moto in modo continuo. Se consideriamo il profilo 2σ nella posizione in cui si trova appena inizia il contatto (ossia all’ingresso del punto P sul segmento di ingranamento 21MM ) si determina l’intersezione tra 2σ e la primitiva 2λ (punto 2Q di figura 14).

Figura 15

Considerata poi la posizione di 2σ quando sta per lasciare il segmento di ingranamento, si determina la nuova intersezione tra 2σ e la primitiva 2λ (punto 1Q ). L’arco )( 21QQarc descritto da


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2σ lungo la primitiva 2λ (vedi figura 14), al variare del punto di contatto lungo il segmento di ingranamento, si chiama arco d’azione e. Per garantire la continuità del moto allora bisogna che sia verificata la condizione sul passo:

)(, 21QQarceep =<

Infatti p è proprio la distanza tra due denti consecutivi misurata lungo la primitiva. Se p<e allora prima che una coppia di profili coniugati abbia lasciato il segmento di ingranamento, una nuova coppia di profili è entrata in contatto lungo lo stesso segmento. Ciò garantisce che durante il moto almeno una coppia di denti sia in presa. Si chiama fattore di ricoprimento f il rapporto f=e/p (se e>p allora f>1). Usualmente f=1.4. 5.5 FORZE NELLE RUOTE DENTATE Concludiamo questo capitolo con alcune di queste considerazioni sulla natura delle forze che i profili si scambiano durante il contatto. La forza che scambiano due superfici a contatto è, in assenza di attrito, diretta lungo la normale ai due profili. Pertanto la direzione della forza di contatto tra 1σ e 2σ è quella della retta d’azione

21TT (vedi figura 16).

Figura 17

Finora ancora nulla è stato detto circa le dimensioni relative delle circonferenze primitive 21,λλ in rapporto alle dimensioni delle circonferenze base 21,γγ . In generale se si assegnano le dimensioni delle primitive 21,λλ (sulla base di considerazioni progettuali che affronteremo nel prossimo capitolo) mediante i raggi 21 , λλ RR realizzeremo una coppia di ruote dentate con rapporto di trasmissione 21 / λλτ RR= . Le circonferenze base 21,γγ che dovremo costruire per tracciare i profili dei denti (con il metodo descritto in questo capitolo) possono avere in teoria raggi arbitrari purchè 2121 // γγλλτ RRRR == . Si considerino ad esempio due primitive 21,λλ assegnate. In figura 18 sono mostrate due possibili scelte per le circonferenze

base: 21,γγ ʹ′ʹ′ in un caso, 21,γγ ʹ′ʹ′ʹ′ʹ′ nell’altro. Le coppie di profili coniugati 1σ ʹ′ e 2σ ʹ′ e poi 1σ ʹ′ʹ′ e ʺ″2σ ,

dal punto divista cinematica, sono perfettamente equivalenti. Vale a dire che costruire i profili nei due modi illustrati produce un risultato cinematicamente perfettamente equivalente: il moto avviene


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come se le ruote accoppiate fossero le ruote di frizione 21,λλ . L’effetto è invece diverso se consideriamo le forze che i profili si scambiano. Le rette d’azione infatti variano. Nel primo caso è

21TT ʹ′ʹ′ nel secondo 21 TT ʹ′ʹ′ʹ′ʹ′ .Quindi le direzioni delle forze di contatto cambiano. Si chiama angolo di pressione ϑ l’angolo formato dalla forza di contatto con la tangente ai profili 21,λλ

Figura 18

Risulta:

11 cos γλ ϑ RR =

Se la ruota motrice deve trasmettere il momento 1M risulta (se una sola coppia di profili è in presa):

11 MFR =γ

che esprime l’equilibrio alla rotazione della ruota 1ℜ sotto l’azione del momento 1M , esercitato dall’albero su cui è montata, e della forza di contatto F il cui braccio è il raggio del cerchio base. Quindi:

ϑϑ

λλ coscos

1

111 R

MFMRF =→=

A parità di momento motore 1M e fissate le dimensioni delle primitive, si vede che se ϑ è grande (il coseno di quest’angolo è quindi piccolo) F è grande.Questo significa che l’angolo di pressione (legato al rapporto 11 /cos λγϑ RR= ) modifica, a parità di altri parametri, la forza di contatto. E’ opportuno limitare l’angolo di pressione per limitare F e quindi limitare le usure dei denti. Il valore che nella pratica costruttiva si adotta è °= 20ϑ .

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